高中数学高考总复习推理与证明习题及详解
高考数学真题 推理与证明
12.2推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2017课标Ⅱ理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D本题主要考查逻辑推理能力.由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.2.(2014北京理,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人答案B设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.3.(2012江西理,6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199答案C解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,代入后三个等式中符合,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C. 解法二:令a n=a n+b n,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,……得a n+2=a n+a n+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.评析本题考查了合情推理和递推数列,考查了推理论证和运算求解能力.4.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B 解法一:假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A 错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D 错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C 错误.故选B.解法二:设袋中共有2n 个球,最终放入甲盒中k 个红球,放入乙盒中s 个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k 个球,其中红球有s 个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s 个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B.5.(2017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得{x >y,y >z,2z >x,且x,y,z 均为正整数.①当z=4时,8>x>y>4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6, 故女学生人数的最大值为6.②x>y>z>x 2,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5>y>z>52,此时z=3,y=4. ∴该小组人数的最小值为12.6.(2016山东文,12,5分)观察下列等式: (sin π3)-2+(sin2π3)-2=43×1×2;(sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3; (sin π7)-2+(sin2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=43×3×4; (sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=43×4×5;…… 照此规律,(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2= .答案4n(n+1)3解析 观察前4个等式,由归纳推理可知(sinπ2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2=43×n×(n+1)=4n(n+1)3. 评析 本题主要考查了归纳推理,认真观察题中给出的4个等式即可得出结论.7.(2015福建理,15,4分)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n)称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于 . 答案 5解析 设a,b,c,d ∈{0,1},在规定运算法则下满足:a ⊕b ⊕c ⊕d=0,可分为下列三类情形:①4个1:1⊕1⊕1⊕1=0,②2个1:1⊕1⊕0⊕0=0,③0个1:0⊕0⊕0⊕0=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得: 由x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕1⊕0⊕1≠0; 由x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕0⊕0⊕1=0; 由x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,∴1⊕0⊕1⊕1≠0, ∴错码可能出现在x 5,x 7上,若x 5=0,则检验方程组都成立,故k=5.若x 7=0,此时x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7≠0,故k ≠7. 综上分析,x 5为错码,故k=5.评析 本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,属中等难度题. 8.(2015陕西文,16,5分)观察下列等式 1-12=121-12+13-14=13+14 1-12+13-14+15-16=14+15+16 ……据此规律,第n 个等式可为 . 答案 1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12)解析 规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-12+13-14+…+12n -1-12n ;等式右边共有n 项且分母分别为n+1,n+2,...,2n,分子为1,即为1n+1+1n+2+ (12).所以第n 个等式可为1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12). 9.(2014课标Ⅰ,理14,文14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 . 答案 A解析 由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B 城市,乙没有去过C 城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B 城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A. 10.(2014陕西理,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体 面数(F) 顶点数(V)棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E 所满足的等式是 . 答案 F+V-E=2解析 观察表中数据,并计算F+V 分别为11,12,14,又其对应E 分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2. 11.(2014北京文,14,5分)顾客请一位工艺师把A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:原料时间工序粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B621则最短交货期为 个工作日. 答案 42解析 工序流程图如图所示:则最短交货期为6+21+15=42个工作日.12.(2014安徽文,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .答案14解析 由BC=2√2得AB=a 1=2⇒AA 1=a 2=√2⇒A 1A 2=a 3=√2×√22=1,由此可归纳出{a n }是以a 1=2为首项,√22为公比的等比数列,因此a 7=a 1×q 6=2×(√22)6=14.13.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n =a n .若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是 .答案 a n =√3n -2解析 记△OA 1B 1的面积为S,则△OA 2B 2的面积为4S. 从而四边形A n B n B n+1A n+1的面积均为3S. 即得△OA n B n 的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.∴a n 2=3n-2,即a n =√3n -2.评析 △OA n B n 的面积构成一个等差数列,而△OA n B n 与△OA 1B 1的面积比为a n 2,从而得到{a n}的通项公式.本题综合考查了平面几何、数列的知识.考点二 直接证明与间接证明1.(2014山东理,4,5分)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A 因为“方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x 3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x 3+ax+b=0没有实根.2.(2015北京理,20,13分)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数. 由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36, 所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数. 类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n ={2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数,从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}, 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.考点三 数学归纳法1.(2017浙江,22,15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln(1+x n+1)(n ∈N *). 证明:当n ∈N *时,(1)0<x n+1<x n ; (2)2x n+1-x n ≤x n x n+12; (3)12n -1≤x n ≤12n -2.证明 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性基础知识,不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力. (1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n=1时,x 1=1>0.假设n=k 时,x k >0,那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k =x k+1+ln(1+x k+1)≤0,矛盾,故x k+1>0. 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1.因此0<x n+1<x n (n ∈N *).(2)由x n =x n+1+ln(1+x n+1)得,x n x n+1-4x n+1+2x n =x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1).记函数f(x)=x 2-2x+(x+2)ln(1+x)(x ≥0),f '(x)=2x 2+xx+1+ln(1+x)>0(x>0). 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1)=f(x n+1)≥0,故2x n+1-x n ≤x n x n+12(n ∈N *). (3)因为x n =x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n ≥12n -1.由x n x n+12≥2x n+1-x n 得1x n+1-12≥2(1x n -12)>0, 所以1x n -12≥2(1x n -1-12)≥…≥2n-1(1x 1-12)=2n-2, 故x n ≤12n -2.综上,12n -1≤x n ≤12n -2(n ∈N*).方法总结 1.证明数列单调性的方法.①差比法:作差a n+1-a n ,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号. ②商比法:作商a n+1a n ,判断an+1a n与1的大小,同时注意a n 的正负. ③数学归纳法.④反证法:例如求证:n ∈N *,a n+1<a n ,可反设存在k ∈N *,有a k+1≥a k ,从而导出矛盾. 2.证明数列的有界性的方法.①构造法:构造函数,求函数的值域,得数列有界. ②反证法. ③数学归纳法. 3.数列放缩的方法.①裂项法:利用不等式性质,把数列的第k 项分裂成某数列的相邻两项差的形式,再求和,达到放缩的目的. ②累加法:先把a n+1-a n 进行放缩.例:a n+1-a n ≤q n,则有n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)≤a 1+q+q 2+…+q n-1.③累乘法:先把a n+1a n 进行放缩.例:an+1a n≤q(q>0), 则有n ≥2时,a n =a 1·a2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1≤a 1q n-1(其中a 1>0).④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{a n}放缩成等比数列{b n},求和后,再进行适当放缩.2.(2014重庆理,22,12分)设a1=1,a n+1=√a n2-2a n+2+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{a n}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=√2+1.由题设条件知(a n+1-1)2=(a n-1)2+1.从而{(a n-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n-1)2=n-1,即a n=√n-1+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=√2+1,可写为a1=√1-1+1,a2=√2-1+1,a3=√3-1+1.因此猜想a n=√n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a k=√k-1+1,则a k+1=√(a k-1)2+1+1=√(k-1)+1+1=√(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a n=√n-1+1(n∈N*).(2)解法一:设f(x)=√(x-1)2+1-1,则a n+1=f(a n).令c=f(c),即c=√(c-1)2+1-1,解得c=14.下用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=√2-1,所以a2<14<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)=√(x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 先证:0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n=1时,结论明显成立. 假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而0=f(1)≤f(a k )≤f(0)=√2-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n+1(n ∈N *).②当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(a 2)=f(0)=√2-1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k+1=f(a 2k )>f(a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f(a 2k+1)<f(a 2k+2)=a 2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <√a 2n 2-2a 2n +2-1, 即(a 2n +1)2<a 2n 2-2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a 2n )>f(a 2n+1), 即a 2n+1>a 2n+2,所以a 2n+1>√a 2n+12-2a 2n+1+2-1,解得a 2n+1>14.④综上,由②、③、④知存在c=14使a 2n <c<a 2n+1对一切n ∈N *成立.评析 本题考查由递推公式求数列的通项公式,数学归纳法,等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》知识点总复习附答案解析
新《推理与证明》专题解析一、选择题1．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】由()(27)39nf n n =+⋅+，得(1)36f =，(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯，(4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。
(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；当1n k =+时,1[2(1)7]39k k +++⋅+13(27)391823k k k +⎡⎤=+⋅+-+⨯⎣⎦ ()13(27)391831k k k -⎡⎤=+⋅++-⎣⎦131k --Q 是2的倍数，()11831k -∴-能被36整除，∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有()(27)39n f n n =+⋅+能被36整除， m 的最大值为36.故选：C. 【点睛】本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.2．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( )A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．12n n n nn n c c c d n++⋯+=D ．12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅ 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴112121111n n n n n n d c c c c c q c q c q--=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=∴12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅是等比数列故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．3．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．4．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22ABFC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.5．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ） A ．d B ．bC ．cD ．a【答案】A 【解析】 【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可. 【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品 C ．B 作品 D ．A 作品 【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.8．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x xx z x y z y+++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋xz ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(yz ＋z y )＋(z x ＋x z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.9．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=，()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A.此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-11．0=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为0【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.12．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B13．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（ ） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数，所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -， 所以第191个奇数为21911381⨯-=． 故选：C. 【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．14．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．15．用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．k【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解.【详解】用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边11112321k =+++⋅⋅⋅+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：111122121k k k +++⋯++-， 共()121212k k k +--+=项.故选：A 【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.16．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；14假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，7则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．7综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：甲说：我去过阿勒泰；乙说：丙去过阿勒泰；丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【解析】【分析】先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话．【详解】解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过．故选：C ．【点睛】本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB． CD．【答案】A【解析】【分析】 根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】 由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x =231111333++++⋅⋅⋅=( ) A ．2B ．32C ．3D ．53 【答案】B【解析】【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.【详解】 232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x = 23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴ 故选：B【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.20．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ）A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学【答案】D【解析】【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》知识点总复习有答案
【最新】数学复习题《推理与证明》专题解析一、选择题1．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： 3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B2．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.3．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．4．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 2014 32 1521515 6561216 15 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.5．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.6．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.7．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49 B ．43C ．07D ．01【答案】C 【解析】 【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.8．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】 【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．9．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( )A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．10．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和B B ．B 和CC ．A 和CD ．无法判断【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论. 【详解】B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，由于甲、乙共同选修的课不是B，则甲、乙共同选修的是C，但甲不能选择B课程.因此，甲选修是A、C两门课程.故选：C.【点睛】本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;()9物理A 层4班,生物B 层3班,政治1班; ()10物理A 层4班,生物B 层2班,政治1班;共10种. 故选:B 【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（ ） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数，所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -， 所以第191个奇数为21911381⨯-=． 故选：C. 【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．13．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案. 【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角. 第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角. …………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C 【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.14．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.15．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =，由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A ．②④B ．①③C ．①④D ．①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确； 对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确； 对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.17．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析
高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.6．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A．物理化学等级都是B的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】-+-=人根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），表格变为：对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】 因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+，5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．15．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（ ） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数， 所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，所以第191个奇数为21911381⨯-=．故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C【解析】【分析】 根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.17．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．三角形的面积为1()2S a b c r=++⋅，其中,,a b c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．13V abc =B．13V Sh =C．1()3V ab bc ca h=++，（h为四面体的高）D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．都大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ （ ）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.。
高考数学压轴专题专题备战高考《推理与证明》真题汇编含答案
【最新】《推理与证明》专题解析一、选择题1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ）A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学【答案】D【解析】【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D .【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．观察下图：12343456745678910L L则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017B ．1009C ．1010D ．1011 【答案】B【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n =故选：B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】【分析】 由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a , 所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.4．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 132 10 20 1432 152 15 1565 6 12 161 5 10S=+++++=.所以6603020151210147故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.5．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A．1个B．5个C．7个D．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2 【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<， 2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n n n n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( ) A ．911 B ．1011 C ．1112 D ．910【答案】B【解析】【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解． 【详解】 由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+， a 2001011=， 故选B ．【点睛】 本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班;共10种.故选:B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案解析
【高中数学】数学《推理与证明》复习知识要点一、选择题1．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．910【答案】B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．2．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.7．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A．1个B．5个C．7个D．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.8．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）A．小钱B．小李C．小孙D．小赵【答案】A【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.11．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。
【高考数学】专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明(含答案)
11．（2016 年山东）观察下列等式：
(sin π )−2 + (sin 2π)−2 = 4 1 2 ；
3
33
(sin π )−2 + (sin 2π)−2 + (sin 3π)−2 + (sin 4π)−2 = 4 2 3 ；
5
5
5
53
(sin π )−2 + (sin 2π)−2 + (sin 3π)−2 + + (sin 6π)−2 = 4 3 4 ；
24．（2011 陕西）观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第 n 个等式为
．
25．（2010
浙江）设 n
2, n N, (2x +
1)n 2
− (3x +
1)n 3
=
a0
+
a1x +
a2 x2
+ + an xn ，
将 ak (0 k n) 的最小值记为Tn ，
的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不
是 5”，则甲的卡片上的数字是________________.
14．（2015 陕西）观察下列等式：
1－ 1 = 1 22
1－ 1 + 1 − 1 = 1 + 1 234 34
1－ 1 + 1 − 1 + 1 − 1 = 1 + 1 + 1 23456 456
高中数学高考总复习推理与证明习题及详解
高中数学高考总复习推理与证明习题及详解一、选择题1．(2010·广东文，10)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算、⊗如下： 那么d ⊗(ac )＝( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] A[解析] 根据运算、⊗的定义可知，a c ＝c ，d ⊗c ＝a ，故选A.2．(文)(2010·福建莆田质检)如果将1,2,3，…，n 重新排列后，得到一个新系列a 1，a 2，a 3，…，a n ，使得k ＋a k (k ＝1,2，…，n )都是完全平方数，则称n 为“好数”．若n 分别取4,5,6，则这三个数中，“好数”的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] C[解析] 5是好数，4和6都不是，∵取a 1＝3，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝5，a 5＝4，则1＋a 1＝4＝22,2＋a 2＝4＝22,3＋a 3＝4＝22,4＋a 4＝32,5＋a 5＝32.(理)(2010·寿光现代中学)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( ) A ．3 B.23 C ．3 3 D. 3 [答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.3．(文)定义某种新运算“⊗”：S ＝a ⊗b 的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1. (理)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合{θ|0<θ<3π2}中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )A.13B.12C.23D.34 [答案] A[解析] 该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sin θ，需sin θ>tan θ，且sin θ>cos θ，∵当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，总有tan θ>sin θ，当θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，sin θ>0，tan θ<0，cos θ<0，当θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，tan θ>0，sin θ<0，故输出的结果是sin θ时，θ的范围是⎝⎛⎭⎫π2，π，结合几何概型公式得，输出sin θ的概率为π－π232π－0＝13，故选A. 4．(2010·曲师大附中)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 [答案] C[解析] 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ，即V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.5．(2010·辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x2，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )． A ．①③B．②④C．①④D．①②③④[答案] D[解析]实际代入逐个验证即可．如S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝a x－a－x2·a y＋a－y2＋a x＋a－x2·a y－a－y2＝14(ax＋y－a y－x＋a x－y－a－x－y＋a x＋y＋a y－x－a x－y－a－x－y)＝14(2ax＋y－2a－x－y)＝a x＋y－a－(x＋y)2＝S(x＋y)，故①成立．同理可验证②③④均成立．6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1、2、3、4号位子上如图所示，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()第一次第二次第三次第四次A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换座后的结果如下图所示：第一次 第二次 第三次 第四次据此可以归纳得到：四个小动物在换座后，每经过四次换座后与原来的座位一样，即以4为周期，因此在第2011次换座后，四个小动物的位置应该是和第3次换座后的位置一样，即小兔的座位号是4，故选D.[点评] 因为问题只求小兔座位号，故可只考虑小兔座位号的变化，用1→2表示小兔从1号位换到2号位，则小兔座位的变化规律是：3→1→2→4→3→1→2→4→3…，显见变化周期为4，又2011＝4×502＋3，故经过2011次换座后，小兔位于4号座．7．(2010·山东文)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则f (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) [答案] D[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D. 8．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a 1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a 2.对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a 3.当a 3>a 1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a 1的取值范围是( )A ．[－12,24]B ．(－12,24)C ．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[24，＋∞) [答案] D[解析] 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a 1＋36，a 1＋18，a 1＋36，14a 1＋18出现的机会是均等的，由于当a 3>a 1时，甲胜且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a 1，∵a 1＋18>a 1，a 1＋36>a 1，故在其余二数中有且仅有一个大于a 1，由4a 1＋36>a 1得a 1>－12，由14a 1＋18>a 1得，a 1<24，故当－12<a 1<24时，四个数全大于a 1，当a 1≤－12或a 1≥24时，有且仅有3个大于a 1，故选D.9．(2010·广州市)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 ………………………………A.1140B.1105C.160D.142 [答案] A[解析] 第6行从左到右各数依次为16，130，160，160，130，16，第7行从左到右各数依次为17，142，1105，1140，1105，142，17，故选A. 10．(2010·山东淄博一中)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n ，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[答案] C[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解． 二、填空题11．(2010·盐城调研)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 12＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n12．(文)如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 中，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 之间满足的关系式是________．[答案] S △ABC 2＝S △BCO ·S △BCD[解析] 根据类比推理，将线段的长推广为三角形的面积，从而得到答案．(理)(2010·湖南湘潭市)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．[答案]a 3813．(文)(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 [解析] 观察所给等式可以发现： 13＋23＝32＝(1＋2)2 13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2 13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2 ……推想：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2∴第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212. (理)(2010·广东省佛山顺德区质检)已知一系列函数有如下性质： 函数y ＝x ＋1x 在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋2x 在(0，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋3x 在(0，3]上是减函数，在[3，＋∞)上是增函数；…………利用上述所提供的信息解决问题：若函数y ＝x ＋3mx (x >0)的值域是[6，＋∞)，则实数m 的值是________．[答案] 2[解析] 由题目提供信息可知y ＝x ＋3mx (x >0)在(0，3m ]上是减函数，在[3m ，＋∞)上是增函数，∴当x ＝3m 时，y min ＝6，∴m ＝2.14．(文)(2010·湖南衡阳八中)如图(1)有关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则如图(2)有关系V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.[答案]P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC[解析] 根据类比推理，将平面上三角形的结论，推广到空间，即V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC.简证如下：设B ′、B 到平面P AC 的距离分别为h 、H ，则h H ＝PB ′PB .又已知S △P A ′C ′S △P AC＝P A ′·PC ′P A ·PC ，∴V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝13S △P A ′C ′·h13S △P AC·H ＝P A ′·PC ′·PB ′P A ·PC ·PB .(理)(2010·江苏姜堰中学)如图①，数轴上A (x 1)、B (x 2)，点P 分AB 成两段长度之比APPB ＝λ，则点P 的坐标x P ＝x 1＋λx 21＋λ成立；如图②，在梯形ABCD 中，EF ∥AD ∥BC ，且AEEB ＝λ，则EF ＝AD ＋λ·BC 1＋λ. 根据以上结论作类比推理，如图③，在棱台A 1B 1C 1－ABC 中，平面DEF 与平面ABC 平行，且A 1DDA ＝λ，△A 1B 1C 1、△DEF 、△ABC 的面积依次是S 1，S ，S 2，则有结论：________________________.[答案]S ＝S 1＋λS 21＋λ[解析] 将三棱台补成棱锥P －ABC ，不妨令P A 1＝m ，DA ＝n ，则A 1D ＝nλ，那么， 由S 1S ＝m m ＋nλ，得m ＝n S 1S －S 1， 又由S S 2＝m ＋nλm ＋n (λ＋1)，得m ＋nλ＝n SS 2－S， ∴nλS 1S －S 1＋nλ＝n SS 2－S，∴S λS －S 1＝SS 2－S，由此得S ＝S 1＋λS 21＋λ.三、解答题15．(2010·瑞安中学)用分析法．．．证明：3－2>5－ 4. [证明] 证法1：要证3－2>5－4成立， ∵3－2>0，5－4>0，∴只要证(3－2)2>(5－4)2成立． 即证5－26>9－220成立． 即证－26>4－220成立， 只须证6<－2＋20成立．∵20－2>0，故只须证6<24－420成立． 即证9>220成立，即证81>80成立．最后一个不等式显然成立，以上步步可逆，故原不等式成立．证法2：要证3－2>5－4成立，只须证3＋4>5＋2成立，只须证7＋212>7＋210成立，即证12>10成立，即证12>10成立，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．16．(文)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ，n 为偶数a n＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38.∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝⎛⎭⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝⎛⎭⎫a －14. 猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列． (理)(2010·湖南文)给出下面的数表序列：表1 表2 表3 …1 1 3 1 3 54 4 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列，1,4,12，…，记此数列为{b n }．求和：b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1(n ∈N *)． [解析] (1)表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简证如下(对考生不作要求)首先，表n (n ≥3)的第1行1,3,5，…，2n －1是等差数列，其平均数为1＋3＋…＋(2n －1)n＝n ；其次，若表n 的第k (1≤k ≤n －1)行a 1，a 2，…，a n －k ＋1是等差数列，则它的第k ＋1行a 1＋a 2，a 2＋a 3，…，a n －k ＋a n －k ＋1也是等差数列．由等差数列的性质知，表n 的第k 行中的数的平均数与第k ＋1行中的数的平均数分别是a 1＋a n －k ＋12，a 1＋a 2＋a n －k ＋a n －k ＋12＝a 1＋a n －k ＋1.由此可知，表n (n ≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．(2)表n 的第1行是1,3,5，…，2n －1，其平均数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)n＝n . 由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列(从而它的第k 行中的数的平均数是n ·2k －1)，于是，表n 中最后一行的唯一一个数为b n ＝n ·2n －1.因此b k ＋2b k b k ＋1＝(k ＋2)2k ＋1k ·2k －1·(k ＋1)·2k ＝k ＋2k (k ＋1)·2k －2 ＝2(k ＋1)－k k (k ＋1)·2k －2＝1k ·2k －3－1(k ＋1)·2k －2(k ＝1,2,3，…，n ) 故b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11×2－2－12×2－1＋⎝⎛⎭⎫12×2－1－13×20＋…＋⎣⎡⎦⎤1n ×2n －3－1(n ＋1)×2n －2 ＝11×2－2－1(n ＋1)×2n －2＝4－1(n ＋1)×2n －2. 17．(文)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1(m ∈N *)成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论．[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (a 1≠0，q ≠0)，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1.∴2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m . ∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0.解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，∴2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.∴当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 证明如下：证法1：∵(S m ＋S m ＋1)－2S m ＋2＝(S m ＋S m ＋a m ＋1)－2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝－a m ＋1－2a m ＋2＝－a m ＋1－2qa m ＋1＝－a m ＋1－2a m ＋1⎝⎛⎭⎫－12＝0， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 证法2：∵2S m ＋2＝2a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， 又S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋11＋12＝23a 1⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫－12m －⎝⎛⎭⎫－12m ＋1 ＝23a 1⎣⎡⎦⎤2－4⎝⎛⎭⎫－12m ＋2＋2⎝⎛⎭⎫－12m ＋2 ＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． (理)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：函数f (x )在R 上是增函数；(2)若关于x 的不等式f (x 2－ax ＋5a )<2的解集为{x |－3<x <2}，求f (2010)的值；(3)在(2)的条件下，设a n ＝|f (n )－14|(n ∈N *)，若数列{a n }从第k 项开始的连续20项之和等于102，求k 的值．[解析] (1)证明：设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0. f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．(2)设f (b )＝2，于是不等式化为f (x 2－ax ＋5a )<f (b )．则x 2－ax ＋5a <b ，即x 2－ax ＋5a －b <0.∵不等式f (x 2－ax ＋5a )<2的解集为{x |－3<x <2}．∴方程x 2－ax ＋5a －b ＝0的两根为－3和2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋2＝a －3×2＝5a －b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，∴f (1)＝2. 在已知等式中令x ＝n ，y ＝1得，f (n ＋1)－f (n )＝1.所以{f (n )}是首项为2，公差为1的等差数列．f (n )＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，故f (2010)＝2011.(3)a k ＝|f (k )－14|＝|(k ＋1)－14|＝|k －13|.设从第k 项开始的连续20项之和为T k ，则T k ＝a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19.当k ≥13时，a k ＝|k －13|＝k －13，T k ≥T 13＝0＋1＋2＋3＋…＋19＝190>102.当k <13时，a k ＝|k －13|＝13－k .T k ＝(13－k )＋(12－k )＋…＋1＋0＋1＋…＋(k ＋6)＝k 2－7k ＋112.令k 2－7k ＋112＝102，解得k ＝2或k ＝5.[点评] 当k ≥13时，a k ＝|k －13|＝k －13，令T k ＝20(k －13)＋20×192×1＝102，无正整数解，故k ≥13时，T k 不可能取值为102.。
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》知识点总复习附答案解析
【高中数学】单元《推理与证明》知识点归纳一、选择题1．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】f n个部分,设画n条直线,最多可将面分成()1,(1)112Q;==+=n f==+=;2,(2)(1)24n f f==+=;,3,(3)(2)37n f f4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.3．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C 【解析】【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.6．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( )A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.8．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．9．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b >C ．5748b b b b +<+D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．11．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.12．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．13．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．23C ．6513D ．53【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =--=，所以5c e a ==， 故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.14．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．故可能推出的有②⑤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．15．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】 【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -，首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.16．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】由()(27)39nf n n =+⋅+，得(1)36f =，(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目数学推理与证明题是高考数学中的一种重要题型，对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求。
在高考中，这类题目常常考查学生的分析和推理能力，对于学生而言，掌握一定的解题技巧和方法是非常重要的。
本文将为大家介绍一些经典的高考数学推理与证明题，帮助大家加深对这一题型的理解和应对能力。
一、数列推导与证明题数列是高考数学中经常出现的题型，其推导与证明题目主要考查学生的数学归纳法和推理能力。
下面我们来看一个经典的数列推导与证明题。
例题1: 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1/n，证明该数列单调递增。
解析: 首先我们将证明该数列是递增的，即an+1≥an。
当n=1时，根据题目条件有a2=a1+1/1=3/1=3，显然3≥2，满足条件。
假设当n=k时，an+1≥an成立，即ak+1≥ak。
当n=k+1时，根据题目条件有a(k+1)+1=a(k+1)+1/(k+1)=ak+1+1/(k+1)。
由假设条件可得a(k+1)+1≥ak+1+1/(k+1)≥ak+1。
综上所述，根据数学归纳法，可证明该数列是递增的。
通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在数列推导与证明题中的重要性。
在解这类题目时，我们要善于利用归纳法的思想，合理运用数学推理的方法。
二、平面几何推理与证明题平面几何推理与证明题是高考数学中的又一个重要考点，其解题过程需要注意严谨的逻辑推理和几何图形的分析。
下面我们来看一个经典的平面几何推理与证明题。
例题2: 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，0)，B(b，0)与C(0，c)所构成的三角形ABC为正三角形，证明ab=3c²。
解析: 首先我们知道如果三角形ABC为正三角形，则其三个内角均为60°。
利用点A、B和C的坐标可以得到三条边的长度分别为√((a-b)²+c²)，|a-b|和√(a²+b²)。
高考数学不等式、推理与证明、复数(含高考真题)
高中数学不等式、推理与证明、复数（含高考真题及解析）1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i )+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0 ,即{a =1b =−2 故选:A6．【2022年新高考1卷】若i (1−z)=1，则z +z̅=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i )(1−2i )=（ ） A ．−2+4i B ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ). 【详解】(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ， 故选：D.8．【2022年北京】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B 【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y −z =0过A 时z 有最大值. 由{x =22x +y −7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)， 故z max =3×2+4×3=18， 故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x −b|+|x −4|−|2x −5|≥0，则（ ） A ．a ≤1,b ≥3 B ．a ≤1,b ≤3 C ．a ≥1,b ≥3 D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】 【分析】将问题转换为a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|恒成立．设f(x)=a|x −b|，g(x)=|2x −5|−|x −4|={1−x,x ≤523x −9,52<x <4x −1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3a≤3，故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y =±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ,√32y=sinθ，所以x=cosθ+√3y=√3，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ√3=1+√3−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23,2]，所以当x=√33,y=−√33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限. 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-， 所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限. 故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅. 【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-， 所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．15【答案】A 【解析】 【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-， 所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】 【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++.【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++， 33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（） ，则z =（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-， 故i z =-， 故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（ ）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n ++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】 【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可. 【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+= 从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b < C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】 【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2. 故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值 【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=- 又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥=当且仅当()221141a a =--即a = 故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．32【答案】B【解析】 【分析】将已知的式子12x y ==()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果 【详解】因为()21x y =，所以12x y ==设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 所以2x y +的最小值为2． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】 【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值 【详解】1212i,3i z z m =+=+，23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4##4+【解析】 【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】 【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】2222222122233abbc ab bca b ca b b c++=≤++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3()33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.故答案为：9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足11iz≤++≤则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z 满足11z i ≤++()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：。
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》知识点总复习有答案解析
新数学高考《推理与证明》专题解析一、选择题1．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n +B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B【解析】【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论.【详解】 313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B.【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.2．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a , 所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.3．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.4．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B【解析】【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.5．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n a x n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n - 【答案】B【解析】【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可.【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；当分母的指数为2时，分子为224=；当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a x n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．6．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”；②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.依题意列表如下：S=+++++=.所以6603020151210147故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.8．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）A．小钱B．小李C．小孙D．小赵【答案】A【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A. 9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙【答案】D【解析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】 假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋x z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A【解析】【分析】 结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ）A ．可能是国画B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B【解析】【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；故小刚可能选择的是书法和篮球.故选：B .【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.14．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和BB ．B 和C C ．A 和CD ．无法判断【答案】C【解析】【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论.【详解】 B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程.故选：C.【点睛】本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.15．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ）A ．912392a a a a =LB ．912392a a a a ++++=LC ．123929a a a a L =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯L【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得.【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确．【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.16．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ）A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C【解析】【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案.【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定 故选：C【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.17．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭ C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案.【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，故选D.【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.18．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =B ．13V Sh =C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB． CD．【答案】A【解析】【分析】 根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】 由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．23C ．6513D ．53【答案】D【解析】【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率.【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =--=，所以5c e a ==， 故选：D.【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》知识点总复习有答案
新《推理与证明》专题解析一、选择题1．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.2．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.3．下面几种推理中是演绎推理的为（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】 【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.5．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.8．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111nn nn n c c c c c q c qc q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．11．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2 D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.13．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.14．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.15．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．16．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x xx z x y z y+++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋xz ＋x y ＝(y x＋x y )＋(yz ＋z y )＋(z x ＋x z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.17．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.18．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（ ）．（取lg 20.3010,lg30.4771==） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】C 【解析】 【分析】由折线长度变化规律得到n 次构造后，曲线的长度为1444333n nn l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，建立不等式41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用对数运算求解. 【详解】设原线段长为a ，经过n 次构造后，曲线的长度为n l ， 则经过1次构造后，曲线的长度为14433a a l =⨯=， 经过2次构造后，曲线的长度为221444333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 经过3次构造后，曲线的长度为331144443333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 依次类推，经过n 次构造后，曲线的长度为1444333n nn l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，则41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以43lg10022log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3n ≥====-⨯-， 所以至少需要通过构造的次数是17. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.19．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB． CD．【答案】A【解析】【分析】 根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】 由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D【解析】【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=--()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯-所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x +=故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案
【高中数学】高考数学《推理与证明》解析一、选择题1．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．23C ．6513D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===，所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得c ==，所以c e a ==， 故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变 【答案】B 【解析】 【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．4．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题5．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ）A ．2017B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.6．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.7．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.8．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.9．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．910【答案】B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．13．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】 【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．14．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径） 【答案】D 【解析】 【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ． 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.15．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A．②④ B．①③ C．①④ D．①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.17．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
高中数学高考专题28 推理与证明(原卷版)
专题28 推理与证明命题规律内容典型１以断臂维纳斯为素材考查合情推理2019年高考全国I卷文数２以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理2019年高考北京卷文数３以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理2019年高考全国II卷文数命题规律一以断臂维纳斯为素材考查合情推理【解决之道】此类问题的解决之道为，通过适当的估算、合适的推理即可得出结论.【三年高考】1.【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（）A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm命题规律二以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理【解决之道】此类问题解决之道为，认证阅读题目，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可得出结论.1.【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg21EE，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1命题规律三以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理【解决之道】要解决此类问题，首先认真阅读材料，仔细观察归纳规律，即可归纳出结论，其次，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可推出正确结论.【三年高考】1.【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学高考总复习推理与证明习题及详解一、选择题1．(2010·广东文，10)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算、⊗如下： 那么d ⊗(ac )＝( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] A[解析] 根据运算、⊗的定义可知，a c ＝c ，d ⊗c ＝a ，故选A.2．(文)(2010·福建莆田质检)如果将1,2,3，…，n 重新排列后，得到一个新系列a 1，a 2，a 3，…，a n ，使得k ＋a k (k ＝1,2，…，n )都是完全平方数，则称n 为“好数”．若n 分别取4,5,6，则这三个数中，“好数”的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] C[解析] 5是好数，4和6都不是，∵取a 1＝3，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝5，a 5＝4，则1＋a 1＝4＝22,2＋a 2＝4＝22,3＋a 3＝4＝22,4＋a 4＝32,5＋a 5＝32.(理)(2010·寿光现代中学)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( ) A ．3 B.23 C ．3 3 D. 3 [答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.3．(文)定义某种新运算“⊗”：S ＝a ⊗b 的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1. (理)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合{θ|0<θ<3π2}中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )A.13B.12C.23D.34 [答案] A[解析] 该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sin θ，需sin θ>tan θ，且sin θ>cos θ，∵当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，总有tan θ>sin θ，当θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，sin θ>0，tan θ<0，cos θ<0，当θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，tan θ>0，sin θ<0，故输出的结果是sin θ时，θ的范围是⎝⎛⎭⎫π2，π，结合几何概型公式得，输出sin θ的概率为π－π232π－0＝13，故选A. 4．(2010·曲师大附中)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 [答案] C[解析] 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ，即V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.5．(2010·辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x2，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )． A ．①③B．②④C．①④D．①②③④[答案] D[解析]实际代入逐个验证即可．如S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝a x－a－x2·a y＋a－y2＋a x＋a－x2·a y－a－y2＝14(ax＋y－a y－x＋a x－y－a－x－y＋a x＋y＋a y－x－a x－y－a－x－y)＝14(2ax＋y－2a－x－y)＝a x＋y－a－(x＋y)2＝S(x＋y)，故①成立．同理可验证②③④均成立．6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1、2、3、4号位子上如图所示，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()第一次第二次第三次第四次A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换座后的结果如下图所示：第一次 第二次 第三次 第四次据此可以归纳得到：四个小动物在换座后，每经过四次换座后与原来的座位一样，即以4为周期，因此在第2011次换座后，四个小动物的位置应该是和第3次换座后的位置一样，即小兔的座位号是4，故选D.[点评] 因为问题只求小兔座位号，故可只考虑小兔座位号的变化，用1→2表示小兔从1号位换到2号位，则小兔座位的变化规律是：3→1→2→4→3→1→2→4→3…，显见变化周期为4，又2011＝4×502＋3，故经过2011次换座后，小兔位于4号座．7．(2010·山东文)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则f (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) [答案] D[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D. 8．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a 1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a 2.对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a 3.当a 3>a 1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a 1的取值范围是( )A ．[－12,24]B ．(－12,24)C ．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[24，＋∞) [答案] D[解析] 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a 1＋36，a 1＋18，a 1＋36，14a 1＋18出现的机会是均等的，由于当a 3>a 1时，甲胜且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a 1，∵a 1＋18>a 1，a 1＋36>a 1，故在其余二数中有且仅有一个大于a 1，由4a 1＋36>a 1得a 1>－12，由14a 1＋18>a 1得，a 1<24，故当－12<a 1<24时，四个数全大于a 1，当a 1≤－12或a 1≥24时，有且仅有3个大于a 1，故选D.9．(2010·广州市)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 ………………………………A.1140B.1105C.160D.142 [答案] A[解析] 第6行从左到右各数依次为16，130，160，160，130，16，第7行从左到右各数依次为17，142，1105，1140，1105，142，17，故选A. 10．(2010·山东淄博一中)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n ，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[答案] C[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解． 二、填空题11．(2010·盐城调研)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 12＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n12．(文)如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 中，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 之间满足的关系式是________．[答案] S △ABC 2＝S △BCO ·S △BCD[解析] 根据类比推理，将线段的长推广为三角形的面积，从而得到答案．(理)(2010·湖南湘潭市)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．[答案] a 3813．(文)(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 [解析] 观察所给等式可以发现： 13＋23＝32＝(1＋2)2 13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2 13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2 ……推想：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2∴第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212. (理)(2010·广东省佛山顺德区质检)已知一系列函数有如下性质： 函数y ＝x ＋1x 在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋2x 在(0，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋3x 在(0，3]上是减函数，在[3，＋∞)上是增函数；…………利用上述所提供的信息解决问题：若函数y ＝x ＋3mx (x >0)的值域是[6，＋∞)，则实数m 的值是________．[答案] 2[解析] 由题目提供信息可知y ＝x ＋3mx (x >0)在(0，3m ]上是减函数，在[3m ，＋∞)上是增函数，∴当x ＝3m 时，y min ＝6，∴m ＝2.14．(文)(2010·湖南衡阳八中)如图(1)有关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则如图(2)有关系V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.[答案]P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC[解析] 根据类比推理，将平面上三角形的结论，推广到空间，即V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC.简证如下：设B ′、B 到平面P AC 的距离分别为h 、H ，则h H ＝PB ′PB .又已知S △P A ′C ′S △P AC＝P A ′·PC ′P A ·PC ，∴V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝13S △P A ′C ′·h13S △P AC·H ＝P A ′·PC ′·PB ′P A ·PC ·PB .(理)(2010·江苏姜堰中学)如图①，数轴上A (x 1)、B (x 2)，点P 分AB 成两段长度之比APPB ＝λ，则点P 的坐标x P ＝x 1＋λx 21＋λ成立；如图②，在梯形ABCD 中，EF ∥AD ∥BC ，且AEEB ＝λ，则EF ＝AD ＋λ·BC 1＋λ. 根据以上结论作类比推理，如图③，在棱台A 1B 1C 1－ABC 中，平面DEF 与平面ABC 平行，且A 1DDA ＝λ，△A 1B 1C 1、△DEF 、△ABC 的面积依次是S 1，S ，S 2，则有结论：________________________.[答案]S ＝S 1＋λS 21＋λ[解析] 将三棱台补成棱锥P －ABC ，不妨令P A 1＝m ，DA ＝n ，则A 1D ＝nλ，那么， 由S 1S ＝m m ＋nλ，得m ＝n S 1S －S 1， 又由S S 2＝m ＋nλm ＋n (λ＋1)，得m ＋nλ＝n SS 2－S， ∴nλS 1S －S 1＋nλ＝n SS 2－S，∴S λS －S 1＝SS 2－S，由此得S ＝S 1＋λS 21＋λ.三、解答题15．(2010·瑞安中学)用分析法．．．证明：3－2>5－ 4. [证明] 证法1：要证3－2>5－4成立， ∵3－2>0，5－4>0，∴只要证(3－2)2>(5－4)2成立． 即证5－26>9－220成立． 即证－26>4－220成立， 只须证6<－2＋20成立．∵20－2>0，故只须证6<24－420成立． 即证9>220成立，即证81>80成立．最后一个不等式显然成立，以上步步可逆，故原不等式成立．证法2：要证3－2>5－4成立，只须证3＋4>5＋2成立，只须证7＋212>7＋210成立，即证12>10成立，即证12>10成立，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．16．(文)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n，n 为偶数a n＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38.∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝⎛⎭⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝⎛⎭⎫a －14. 猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列． (理)(2010·湖南文)给出下面的数表序列：表1 表2 表3 …1 1 3 1 3 54 4 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列，1,4,12，…，记此数列为{b n }．求和：b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1(n ∈N *)． [解析] (1)表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简证如下(对考生不作要求)首先，表n (n ≥3)的第1行1,3,5，…，2n －1是等差数列，其平均数为1＋3＋…＋(2n －1)n＝n ；其次，若表n 的第k (1≤k ≤n －1)行a 1，a 2，…，a n －k ＋1是等差数列，则它的第k ＋1行a 1＋a 2，a 2＋a 3，…，a n －k ＋a n －k ＋1也是等差数列．由等差数列的性质知，表n 的第k 行中的数的平均数与第k ＋1行中的数的平均数分别是a 1＋a n －k ＋12，a 1＋a 2＋a n －k ＋a n －k ＋12＝a 1＋a n －k ＋1.由此可知，表n (n ≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．(2)表n 的第1行是1,3,5，…，2n －1，其平均数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)n＝n . 由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列(从而它的第k 行中的数的平均数是n ·2k －1)，于是，表n 中最后一行的唯一一个数为b n ＝n ·2n －1.因此b k ＋2b k b k ＋1＝(k ＋2)2k ＋1k ·2k －1·(k ＋1)·2k ＝k ＋2k (k ＋1)·2k －2＝2(k ＋1)－k k (k ＋1)·2k －2＝1k ·2k －3－1(k ＋1)·2k －2(k ＝1,2,3，…，n ) 故b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11×2－2－12×2－1＋⎝⎛⎭⎫12×2－1－13×20＋…＋⎣⎡⎦⎤1n ×2n －3－1(n ＋1)×2n －2 ＝11×2－2－1(n ＋1)×2n －2＝4－1(n ＋1)×2n －2. 17．(文)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1(m ∈N *)成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论．[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (a 1≠0，q ≠0)，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1.∴2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m .∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0.解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，∴2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.∴当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 证明如下：证法1：∵(S m ＋S m ＋1)－2S m ＋2＝(S m ＋S m ＋a m ＋1)－2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝－a m ＋1－2a m ＋2＝－a m ＋1－2qa m ＋1＝－a m ＋1－2a m ＋1⎝⎛⎭⎫－12＝0， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 证法2：∵2S m ＋2＝2a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， 又S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋11＋12＝23a 1⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫－12m －⎝⎛⎭⎫－12m ＋1 ＝23a 1⎣⎡⎦⎤2－4⎝⎛⎭⎫－12m ＋2＋2⎝⎛⎭⎫－12m ＋2 ＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． (理)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：函数f (x )在R 上是增函数；(2)若关于x 的不等式f (x 2－ax ＋5a )<2的解集为{x |－3<x <2}，求f (2010)的值；(3)在(2)的条件下，设a n ＝|f (n )－14|(n ∈N *)，若数列{a n }从第k 项开始的连续20项之和等于102，求k 的值．[解析] (1)证明：设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0. f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．(2)设f (b )＝2，于是不等式化为f (x 2－ax ＋5a )<f (b )．则x 2－ax ＋5a <b ，即x 2－ax ＋5a －b <0.∵不等式f (x 2－ax ＋5a )<2的解集为{x |－3<x <2}．∴方程x 2－ax ＋5a －b ＝0的两根为－3和2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋2＝a －3×2＝5a －b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，∴f (1)＝2. 在已知等式中令x ＝n ，y ＝1得，f (n ＋1)－f (n )＝1.所以{f (n )}是首项为2，公差为1的等差数列．f (n )＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，故f (2010)＝2011.(3)a k ＝|f (k )－14|＝|(k ＋1)－14|＝|k －13|.设从第k 项开始的连续20项之和为T k ，则T k ＝a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19.当k ≥13时，a k ＝|k －13|＝k －13，T k ≥T 13＝0＋1＋2＋3＋…＋19＝190>102.当k <13时，a k ＝|k －13|＝13－k .T k ＝(13－k )＋(12－k )＋…＋1＋0＋1＋…＋(k ＋6)＝k 2－7k ＋112.令k 2－7k ＋112＝102，解得k ＝2或k ＝5.[点评] 当k ≥13时，a k ＝|k －13|＝k －13，令T k ＝20(k －13)＋20×192×1＝102，无正整数解，故k ≥13时，T k 不可能取值为102.。