统一练习高三数学文史类一(崇文区一模) 试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校2006年崇文区统一练习高
三数学文史类一(崇文区一模试卷)
第一卷〔选择题，共40分〕
一. 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 向量a ＝〔－5，3〕，b ＝〔2，x 〕，且a//b ，那么x 的值是 A.
6
5
B.
103
C. -
65
D. -
103
2. 椭圆x y 2
2
4
1+=的准线方程是 A. x
=±
43
3
B. y =±
43
3
C.
y =±4
D. x =±4
3. 直线m 、n 及平面α、β
A.
m n //////αβαβ⎫
⎬⎭
⇒
B.
m m n n //////αα⎫
⎬⎭
⇒ C. m m ⊥⊥⎫⎬⎭
⇒ααββ//
D. m n m n ⊥⎫⎬⎭
⇒⊥αα// 4. 集合A x x x =-=-{|()}332，B x x x =-=-{|}33，p x A ：∈，q x B ：∈，那么p 是
q 的
A. 充分条件，但不是必要条件
B. 必要条件，但不是充要条件
C. 充分必要条件
D. 既不是充分条件，也不是必要条件 5. 方程x ＝sinx 在x ∈-[]ππ，上实根的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. θ是第二象限角，sin θ=
45
，那么tan()θπ
-4的值为
A. 7
B. -7
C.
17
D. -
17
7. 等差数列{}a n 中，a a a S n 1281
2
5105=
+==，，，那么n 为 A. 20 B. 21
C. 210
D. 218
8. 函数
f x ()是R 上的减函数，A 〔0，－2〕
、B 〔－3，2〕是其图象上的两点，那么y f x y =-->|()|()220的图象可能是
A B C
D
第二卷〔共110分〕
二. 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。

t 把答案填在题中横线上。

9. 假设x y x y ≥≥+≤⎧⎨⎪
⎩
⎪1
26，那么目标函数z x y =+2的最小值为_____________
10. 函数
f x x x x x R ()cos (sin cos )()=-+∈222的最小正周期是_____________；当函数f x ()取得
最大值时，自变量x 的集合是_____________
11. 小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，假设小明上有五级台阶的楼梯，那么有_____________种不同的走法。

12. 假设曲线y
x =
-83
12
与曲线y x =-143在x x =0处的切线互相垂直，那么x 0=_________ 13. 假设()127
+x 展开式的第三项为168，那么lim()n n x x x
→∞+++=1112 _____________
14. 双曲线
x y 22
916
1-=的左、右焦点为F 1
、F 2
，那么左焦点F 1
到渐过线的距离为_____________，假设双曲线上一点P 使得∠F PF 12为锐角，那么P 点横坐标的取值范围是_____________。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。

解容许写出文字说明，x 证明过程或演算步骤。

15. 〔本小题共13分〕 一次函数
f x ax ()=-2
〔I 〕当a ＝3时，解不等式|()|f x <4；
〔II 〕解关于x 的不等式|()|f x <4；
〔III 〕假设不等式|()|f x ≤3对任意x ∈(]01，恒成立，求实数a 的取值范围。

16. 〔本小题共14分〕
如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，侧面PAD 垂直底面ABCD ，且ΔPAD 为正三角形，E 为侧棱PD 的中点。

〔I 〕求证：AE ⊥平面PCD ；
〔II 〕求平面PAB 与平面PDC 所成二面角的大小； 〔III 〕求直线PB 与平面PDC 所成角的大小。

17. 〔本小题共13分〕
某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙阴明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球HY 。

假设在点球HY 中双方每名运发动进球概率均为3
4。

现规定：点球HY 中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求： 〔I 〕乙队以4：3点球取胜的概率有多大？ 〔II ξξ的概率分布和数学期望。

18. 〔本小题共12分〕 数列{}a n 满足32S n a n N n
n =+∈()()*，其中S n
为其前n 项的和，a 1
＝2
〔I 〕证明：数列{}a n 的通项公式为a n n n
=+()1；
〔II 〕求数列{
}1
a n
的前n 项和T n
； 〔III 〕是否存在无限集合M ，使得当n M
∈时，总有||T n
-<
11
10
成立，假设存在，请找出一个这样的集合；假设不存在，请说明理由。

19. 〔本小题共14分〕
过抛物线x
px p 2
20=>()的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点。

〔I 〕证明：ΔABO 是钝角三角形； 〔II 〕求ΔABO 面积的最小值；
〔III 〕过点A 作抛物线的切线交y 轴于点C ，求线段AC 中点M 的轨迹方程。

20. 〔本小题共14分〕
为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y x =上〞这个课题，我们可以分三步进行研究：
〔I 〕首先选取如下函数：
y x =+21，y x
x =
+21
，y x =-+1 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：
y x =+21与其反函数y x =
-1
2
的交点坐标为〔－1，－1〕 y x x =+21与其反函数y x
x
=-2的交点坐标为〔0，0〕，〔1，1〕
y x =-+1与其反函数y x x =-≤210，()的交点坐标为〔
15215
2
--，〕，〔－1，0〕，〔0，－1〕
〔II 〕观察分析上述结果得到研究结论； 〔III 〕对得到的结论进行证明。

现在，请你完成〔II 〕和〔III 〕。

参考答案
一. 选择题 1. C
2. B
3. D
4. B
5. A
6. A
7. A
8. B
二. 填空题 9. 4
10. {|,}x x
k x Z =-
∈ππ
8
11. 5 12.
3
2
13. -2，45≤<x
14. 4，x
<-
3415或x >341
5
三. 解答题 15. 解：〔I 〕 a
=3时，f x x ()=-32
∴不等式的解集为{|}x x -<<2
3
2
6分
〔II 〕g x a x x ()
sin []=-∈-
2263
，，ππ
x ∈-[]ππ63，，所以2323
x ∈-[]ππ
，
∴当a>0时，g x a ()max
=-=24，得a =6
当a<0时，g x a ()max
=-
-=3
2
24，得a =-43 12分
16. 证明：〔I 〕连结BA’交AB’于O ，连OE ∵三棱柱ABC －A’B’C’是直三棱柱 ∴四边形ABB’A’是矩形 ∵O 是BA’中点。

又E 为CB 中点 ∴OE//CA’ OC
⊂平面AB’E
CA '⊄平面AB’E ∴CA’//平面AB’E。

5分
〔II 〕∵CB ⊥平面ABB’A’ ∴CB ⊥AB ，CB ⊥BB’ 又BB’⊥AB ，AB ＝BC ＝AA’
∴四边形ABB’A’和四边形BB’C’C 是全等的正方形 由三垂线定理得CB’⊥A’B’
∴∠CB’B 是二面角C －A’B’－B 的平面角，∠CB’B＝45°。

10分
〔III 〕∵AB ⊥BB’，AB ⊥BC
∴AB ⊥BB’C’C ∴A’B’⊥BB’C’C
∴∠A’CB’是直线CA’与平面BB’C’C 所成的角 而CB A B '''=
2
∴直线CA’与平面BB’C’C 所成的角为arctan
22。

14分
17. 证明：〔I 〕由
a a n n n n -=+-11
1
叠乘得：a n n n
=+()1。

6分
解：〔II 〕
11111
1
a n n n n n =+=-+() =-+=
+1111
n n
n 。

10分
〔III 〕令||||T n n n n -=+-=+<111111
10
得：n n
+>>1109，
故满足条件的M 存在，
M n N n =∈>{|}9是一个这样的集合。

13分
18. 〔I 〕乙队踢进4个球的概率为 C 5
4
4341
4
0396()().= 。

6分
〔II 〕5个点球过后是4：4或5：5平局的概率为 =
=34340213810(/).。

13分
19. 解：〔I 〕f x ax x c '()=++322
f x ()在［－1，0］上是减函数，在［0，2］上是增函数 ∴=x 0点是f x ()的一个极值点 ∴=c。

4分
〔II 〕令
f x '()=0，解得x x a
12023==-
，
f x ()在［0，2］上是增函数，在［4，5］上是减函数
即-≥-≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪232234a a
∴-
≤≤-1316
a 。

9分
〔III 〕假设存在点M 〔x 0，y 0〕使得曲线y
f x =()在点M 处的切线的斜率为3，那么f x '()03=，即
323002
0ax x +-=，其中∆=+436a
∴+-=323002
0ax x 无实数根
∴
=f x '()03不成立
∴不存在点
M x y ()00，使得曲线y f x =()在点M 处的切线的斜率为3。

14分
20. 解：〔I 〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，AB 方程y kx p
=+
2
由y kx p x py =+=⎧
⎨⎪⎩
⎪222，得x pkx p 2220--=
∴∠AOB 为钝角，∆ABO 为钝角三角形。

5分
〔II 〕由〔I 〕x x p x x pk 12
2122=-+=，
=+=+≥=p p k p p k p k 444212
022222
2，时取等号 ∴∆ABO 面积的最小值是
p 2
2。

9分
〔III 〕解法一 设过点A 的切线方程为y
m x x y =-+()11
由y m x x y x py
=-+=⎧⎨
⎩()112
2
得x
pmx pmx py 2
112220-+-=
令∆
=--=442202211p m pmx py ()
解得m p x =
11 ∴切线方程为
y p
x x x y =
-+1
111() 令x =0，得y x p
y y y y =-+=-+=-1
2
11112
∴线段AC 中点M 为〔x ，0〕 ∴点M 的轨迹方程为y x =≠00()。

14分
解法二
由x
py 2
2=得y p
x =
122
∴过点A 的抛物线的切线方程为
y y p
x x x -=
-1111
() 令x =0，得y x p
y y y y =-+=-+=-1
2
11112
∴线段AC 中点M 为〔x ，0〕 ∴点M 的轨迹方程为y
x =≠00()。

14分。