导数及其应用复习学案zst
导数及其应用导学案(题型归纳、复习)
第三章导数及其应用(复习) 学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备1.导数的几何意义:___________________________________________________2导数的定义:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0'x x y =,即'0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 3切线:0()f x '是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数'()f x ,从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,4 常见函数的导数公式:1.'0C =;2.1)'(-=n n nx x; 3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=;4.x x 1)'(ln =;e xx a a log 1)'(log =; 5.x x cos )'(sin =;xx sin )'(cos -= 8和差的导数: )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±.9积的导数: [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 10商的导数:'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 1.若0()2f x '=,求lim kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+-②2(32)y sin x =+※ 典型例题1.求曲线的切线例1:求曲线122+=x x y 在点(1,1)处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线,则切点坐标为________ 2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1.利用导数求函数的单调区间(1)求()f x ';(2)确定()f x '在(,)a b 内符号;(3)若()0f x '>在(,)a b 上恒成立,则()f x 在(,)a b 上是增函数;若()0f x '<在(,)a b 上恒成立,则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++,其中常数1a ≥ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++,a R ∈. ①讨论函数()f x 的单调区间; ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭,内是减函数,求a 的取值范围.2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->,讨论()f x 的单调性.2.已知函数的单调性,利用导数求参量例(08-湖北-7)若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是C A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数,则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (1)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围.3.利用导数研究函数的极值 1极大值: 一般地,设函数()f x 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近的所有的点,都有0()()f x f x <,就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值,记作0()()f x f x =极大值, 0x 是极大值点 2极小值:一般地,设函数()f x 在0x 附近有定义,如果对0x 附近的所有的点,都有0()()f x f x >,就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值,记作0()()f x f x =极小值,0x 是极小值点 3极大值与极小值统称为极值 (ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值 5 求函数()f x 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数()f x ' (2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么()f x 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么()f x 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则()f x 在这个根处无极值 6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3: 函数的极值与最值例6:(08-山东-文)设函数2132()x f x x e ax bx -=++,已知2x =-和1x =为()f x 的极值点. (Ⅰ)求a 和b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性; (Ⅲ)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小.4:求参变量的范围例7.(08-安徽)设函数1()(0ln f x x x x =>且1)x ≠ (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围。
高中数学 第3章《导数及其应用》复习 精品导学案2 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏教版选修1-1复习要求:1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值;会求闭区间上函数的最大值、最小值.课前预习:1.知识要点回顾:(1)函数的导数与单调性的关系:(2)函数的极值与导数:(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a ,b]上有最值的条件:如果在区间[a ,b]上函数y =f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.②求y =f(x )在[a ,b]上的最大(小)值的步骤:(4)若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值,则①对任意x ∈A ,f(x)>0⇔ >0;②存在x ∈A ,f(x)>0⇔ >0.2.判断: (1)函数f(x)在区间(a ,b)内单调递增,则f′(x)>0;( )(2)函数的极大值一定比极小值大;( )(3)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件;( )(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值。
( )3.函数f(x)=x +4x的单调减区间是 4.函数f(x)=xex 的极小值点是5.已知f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则a 的最大值是课堂探究:2.已知函数f(x)=x-alnx.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.3.已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6a x.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.变式:已知函数f(x)=(x-k)ex(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.3.设函数f(x)=x3-3ax+b (a≠0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(x))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.4. 设L为曲线C:y=ln xx在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.教师个人研修总结在新课改的形式下,如何激发教师的教研热情,提升教师的教研能力和学校整体的教研实效,是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
《导数及其应用》课件(复习课
存在性:在闭区间[a,b]上连续函 数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
求最大(小)值的方法:函数f(x)在闭区间[a,b]上最值求 法:
1. 求出f(x)在(a,b)内的极值; 2. 将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中较大的一个是最大值,
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . (Ⅰ)求 f x 的单调递减区间; (Ⅱ)若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
(II)由(I)知,
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表: m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解: f/(x)=3x2- 1,
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为:
y-2=2(x -1),
即 y=2x
例1.已经曲线C:y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程?
变式1:求过点A的切线方程?
解:变1:设切点为P(x0,x03-x0+2), k= f/(x0)= 3 x02-1,
∴切线方程为 y- ( x03-x0+2)=(3 x02-1)(x-x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2-( x03-x0+2)=( 3 x02-1)(1-x0) 化简得(x0-1)2(2 x0+1)=0,
导数及其应用导学案
导数及其应用导学案姓名: ;小组编号: ;自评: ;小组长评价: ;教师评价:【使用说明与学法指导】1.本导学案为导数复习学案,在做导学案之前需熟记导数的有关公式;2.自主高效完成导学案并总结规律方法;3.注意待定系数法在解题中的应用;4.带★的题C 层同学可选做。
【学习目标】1.熟练掌握导数有关的知识点。
2.掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【重点】 掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【知识点回顾】1.基本初等函数的导数公式:①='C ②=)'(n x ③=)'(sin x ④=)'(cos x⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则:①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf3.导数的应用:(1)切线斜率与导数的关系:(2)求极值的方法:(3)求最值得方法:【合作、探究、展示】例1、右图为)(x f y =的导函数的图像,则正确的判断是①()x f 在(-3,1)上是增函数。
②1-=x 是()x f 的极小值点。
③()x f 在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数。
④2=x 是()x f 的极小值点。
规律方法总结:例2、设()bx ax x x f 3323+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点(1,-11) 求a,b 的值。
规律方法总结:例3、已知a 为实数,()()()a x x x f --=42(1)求()x f ' (2)若1-=x 是函数()x f 的一个极值点,求()x f 在[]2,2-上的最大值和最小值。
规律方法总结:★例4:已知函数()x x x f ln 22-=,求()x f 的单调区间与极值。
【2019年整理】高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》
高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》学科:数学 课题:导数及导数的应用 (一) 编号:1.会用导数求函数的单调区间以及已知单调区间求参数范围2记住极值、极值点的定义并会用导数求函数的极值、最值3.提高规范意识和注重细节意识,从而提高“稳做会,求全对”的得分意识4.不断提高运用数形结合、分类讨论以及转化等思想的能力1记住导数的几何意义,求导公式(8个基本函数求导公式,导数的四则运算,复合函数如何求导)2回顾用导数求函数单调区间以及已知单调区间求参数范围的方法步骤3 回顾极值、极值点的定义及用导数求极值、最值的方法步骤4结合一轮复习回顾导数部分常见题型及解题方法.)x (f .a x x )x ln(a )x (f x .的极值)求函数(的值)求(的一个极值点是函数已知21101362-++== 处取得极小值,则实数在函数 的单调递增区间为函数 )轴交点的纵坐标是( 处的切线与在点山东文)曲线==-=-=--+=m x )m x (x )x (f .x ln x y .y ),(P x y .(152215(D) 9(C) 3 (B)9(A)1211120111223 的单调递增区间是函数x x x )x (f .32132323++-=)内单调递减,则,在(若函数204423+-=ax x )x (f . 的取值范围是 a考点一 函数的单调性与导数例1 (2011年天津高考19(2))【求单调区间】已知函数 R x t x t tx x x f ∈-+-+=,1634)(223 其中t R ∈当0t ≠时,求()f x 的单调区间.变式训练:求f(x)的单调区间.例2 2011年青岛模拟考试(理21(2))【已知单调区间求参数范围】 ),0)(2)((6)(1'≠-+=t t x t x t x f 若[].)x (f 上的单调性,在讨论21),0)(2)((6)(2'>-+=t t x t x t x f 若 已知函数),x ('f )x ln()x (g ,x ax x )x (f -++=++-=31323223问: 是否存在实数 使得 在 上单调递增,若存在求实数 的取值范围;若不存在请说明理由.考点二 函数的极值、最值与导数例3的取值范围? 个交点,求的图像有与函数若直线的极值求函数的值求的一个极值点是函数已知b )x (f b y )x (f a x x )x ln(a )x (f x 3(3)(2)(1)10132=-++==思考:若方程0101162=--++b x x )x ln(有三个不同实根,该如何求b 的取值范围?a )x (g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21a )x (g )x (f )x (F .m x x )x (g ,x ln a x )x (f -=+-=-=令22(1)当 时,试求实数 的取值范围使得 的图像恒在 轴上方;(2)当 时,若函数 在 上恰有两个不同零点,求实数 的取值范围;(3)是否存在实数 的值,使函数 和函数 在定义域上具有相同的单调性?若存在求出 的值,若不存在请说明理由 .)(1,0+∞∈=x ,m a )x (F x 2=a )x (F [1,3]m a )x (f )x (g a的( )条件是则 )内单调递增,,在( 设q p m q mx x x x f p ,5:012ln )(:.12-≥∞++++= (A) 充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要2. (2011年湖南高考)设直线x=t 与函数f(x)= x 2,g(x)=lnx 的图像分别交于M,N 点,则当MN 达到最小时t 的值为( ) (A )1 (B )21 (C )25(D )22 3. 已知4)2(2)(24-++-=x p px x f 在]3,-∞-(上为增函数,在)0,3[-上为减函数,则p=4 已知函数 ,常数 为实数(1)是否存在实数 使得 在区间 上单调递增恒成立,若存在求出 的取值范围,若不存在请说明理由; (2)求函数 的单调递增区间B 组(选): 5)x (a )x ln(x )x (f 11+-+=a a )x (f [)+∞,1a x ax )x ('f )x (g +-=1121(2)(1)010212-+>=>+-=)a ln()a (g ),a (g )x (f )x (f b a )('f )a (bx ax x ln )x (f 试证明不等式的最大值为设函数的单调区间,并求的代数式表示试用含有且已知函数。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1.在求平均变化率时,自变量的增量为( )A .0x ∆>B .0x ∆<C .0x ∆=D . 0x ∆≠ 【答案】D2.函数f (x )=2x 2-1在区间[1,1+Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A .4B .4+2ΔxC .4+2(Δx )2D .4x 变式.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是__________.3. 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.(x+x 1)′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=-2xsinx4.下列说法正确的是( )A .若)(0x f '不存在,则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线;B .若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线,则)(0x f '必存在;C .若)(0x f '不存在,则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在;D .若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在,则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5.设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值,则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰,由上述估值定理,估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 .【解析】:因为当12x -≤≤ 时,204x ≤≤ ,所以,212116x -≤≤所以由估值定理得:()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰, 即22132316x dx --≤≤⎰,所以答案应填:3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 6.211dx x +=⎰⎰.【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则曲线在点A 处的切线斜率为( )A .4B .16C .8D .2 8.求过点P (-1,2)且与曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线.变式1.已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________.变式2.已知函数f (x )=-13x 3+2x 2+2x ,若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0,使得曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线与直线x +my -10=0垂直,则实数m 的取值范围是( )A .[6,+∞)B .(-∞,2]C .[2,6]D .[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16,则实数m 的值为 .9.已知抛物线y =x 2,直线l :x -y -2=0,则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 . 变式.点P 是曲线2ln y x x =-,则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 .题型三、导数的综合应用 类型1:导数的运算性质10.设()f x ,()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,且(3)0f -=,则不等式()()0f x g x <的解集是( )A .(3,0)(3,)-+∞ B .(3,0)(0,3)- C .(,3)(3,)-∞-+∞ D .(,3)(0,3)-∞-变式1.函数f (x )在定义域R 内可导,若f (x )=f (2-x )且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0.设a =f (0),b =f ⎝⎛⎭⎫12,c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系是______ .变式2.设函数F (x )=f (x )e x 是定义在R 上的函数,其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则( )A .f (2)>e 2f (0),f (2 016)>e 2 016f (0)B .f (2)<e 2f (0),f (2 016)>e 2 016f (0)C .f (2)<e 2f (0),f (2 016)<e 2 016f (0)D .f (2)>e 2f (0),f (2 016)<e 2 016f (0)变式3.已知函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为____________. 变式4.定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x ',若对任意的实数x ,都有()()22f x xf x '+<恒成立,则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为( )A .{}1x x ≠±B .()(),11,-∞-+∞C .()1,1-D .()()1,00,1-【解析】:当0x >时,由()()220f x xf x +'-<可知:两边同乘以x 得: ()()2220xf x x f x x -'-< 设:()()22g x x f x x =-,则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<,恒成立:∴()g x 在(0)+∞,单调递减,由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-,即()()1g x g <,即1x >;当0x <时,函数是偶函数,同理得:1x <-;综上可知:实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞,,,故选:B变式5.函数()f x 的定义域是R ,(0)3f =,对任意,()()1x R f x f x ∈+>/,则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为( )A .{|0}x x <B .{|0}x x >C .{|1,}x x x <->或1D .{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/,∴()()0xxxe f x e f x e +>>/,∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/,即{[()1]}0x e f x '->,∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增,且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->,∴x>0,故选B类型2:单调性问题11.函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是( )DA .(-∞,2)B .(0,3)C .(1,4)D .(2,+∞) 变式1.已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调,实数a 的取值范围是( ) A .()()2,00,2- B .()()4,00,4- C .()0,2 D .()0,4【答案】D变式2.已知函数()f x 的导函数图象如图所示,若ABC ∆为锐角三角形,则下列结论一定成立的是( )A .()()sin cos f A fB > B .()()sin cos f A f B <C .()()sin sin f A f B >D .()()cos cos f A f B < 12.(全国Ⅱ卷)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)内单调递增,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-2]B .(-∞,-1]C .[2,+∞)D .[1,+∞)变式1.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是_____________.变式2.已知a ≥0,函数f (x )=(x 2-2ax )e x .设f (x )在区间[-1,1]上是单调函数,求a 的取值范围.变式3.函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增,在()1,2-上单调递减,在()2,+∞上递增,则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4.若函数y =a (x 3-x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫-33, 33,则a 的取值范围是( )A .(0,+∞)B .(-1,0)C .(1,+∞)D .(0,1)13.已知f(x)=e x -ax-1.(1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x )在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.【答案】解 : f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0,f ′(x)= e x -a ≥0恒成立,即f(x)在R 上递增. 若a >0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为(lna ,+∞).(2)∵f (x )在R 内单调递增,∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0,即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤(e x )min ,又∵e x >0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] (3)由题意知e x -a ≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a ≥e x 在(-∞,0]上恒成立. ∵e x 在(-∞,0]上为增函数. ∴x=0时,e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a ≤e x 在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤1,∴a=1.14.设函数2e (),1axf x a x R =∈+. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数)(x f 单调区间. 【答案】解:因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.(Ⅰ)当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分(Ⅱ)因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++, ……………5分 (1)当0a =时,由()0f x '>得0x <;由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 (2)当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+,方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时,此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->;由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时,此时0∆≤.所以()0f x '≥,所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时,此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<; 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤,()0f x '≤,所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3:图像问题15.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )A .B .C . D.【解析】:由三视图可知该几何体是圆锥,顶点朝下,底面圆的上面,随之时间的推移,注水量的增加高度在增加,所以函数是增函数,刚开始时截面面积较小,高度变化较快,随着注水量的增加,高度变化量减慢,综上可知B 正确16.函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示, 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有( )BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图,那么导函数()y f x '=的图象可能( )O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如图所示,则y =f (x )的图象最有可能的是( )类型4:极值(最值)问题17.已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1,且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. (1)曲线在P 点处的切线方程; (2)求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解:(1)因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1,所以1b = 又'2y x a =-,所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=(2)由题意可得,令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下:x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭, 极小值为661f =⎝⎭18.已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3,其中c b a ,,为常数.(1)求b a ,的值; (2)求函数)(x f 的单调区间;(3)若对任意0>x ,不等式02)(2≥+c x f 恒成立,求c 的取值范围.解:(1))4ln 4()(3/b a x a x x f ++=,0)1(='f ,∴04=+b a ,又c f --=3)1(,∴3,12-==b a ; 经检验合题意;………4分(2)x x x f ln 48)(3/=()0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ,当0)(/<x f 时,10<<x ,)(x f 单调递减;当0)(/>x f 时,1>x ,)(x f 单调递增;∴)(x f 单调递减区间为)1,0(,单调递增区间为),1(+∞ ……8分 (3)由(2)可知,1=x 时,)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(,列表略 依题意,只需0232≥+--c c ,解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. (1)求()f x 的单调区间; (2)求()f x 在区间]2,1[上的最小值;(3)设)(')()(x f x f x g +=,当2523≤≤k 时,对任意]1,0[∈x ,都有λ≥)(x g 成立,求实数λ的范围。
导数及其应用复习课教案共三课时
导数及其应用复习课教案(共三课时)复习目标:1.熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理,并能根据事例正确理解。
2.熟悉微积分的基本知识结构,记住并理解其联系。
3.会正确地求给定函数的导数,会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。
4.能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。
5.能熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。
复习重点:1.熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理,并能根据事例正确理解。
2.正确地求给定函数的导数,会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。
3.熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。
4.熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。
复习难点:1.熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理,并能根据事例正确理解。
2.正确地求给定函数的导数,会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。
3.熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。
4.熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。
第一课时一.知识结构二.知识点精析(一)求函数的导数1.导数的基本概念、变化率。
2.记住基本初等函数的导数公式3.记住导数的四则运算4.理解复合函数的求导,即[]'(())f x ϕ=''(())()f x x ϕϕ(1)求初等函数的导数注:'()a x =1a ax -(a 为常数) '()x a =ln x a a (a 0,1a >≠常数) '()x e =x e(二)导数的应用1.求函数的单调区间与极值步骤:①求出函数的定义域,求导函数。
②求出导数为0的点(驻点)或导数不存在点。
③列表讨论④总结2.求函数的最大值与最小值①闭区间[a ,b ]上连续函数()f x 一定能取到最大与最小值且最大值与最小值点一定包含在区间内部的驻点或内部导数不存在点及端点之中。
②应用题的最大与最小值。
设所求的量为y ,设于有关量为x ,建立()y f x =,x D ∈,求()f x 的最大值或最小值。
导数及其应用导教学案(题型归纳复习)
第三章导数及其应用(复习)学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程___________________________________________________ 2导数的定义:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比xy∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0'x x y =,即'0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆3切线:0()f x '是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为000()()(y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数'()f x ,从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数, 4 常见函数的导数公式:1.'0C=; 2.1)'(-=n n nx x ;3.x x e e =)'(a a a x x ln )'(=;4.x x 1)'(ln =;e x x a a log 1)'(log =; 5.x x cos )'(sin =;x x sin )'(cos -=8和差的导数:)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±.9积的导数:[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=10商的导数:'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭1.若0()2f x '=,求0lim→k kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数 ①2(1)(231)y x x x =-+- ②2(32)y sin x =+典型例题1.求曲线的切线例1:求曲线122+=x xy 在点(1,1)处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线,则切点坐标为________2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1.利用导数求函数的单调区间 (1)求()f x ';(2)确定()f x '在(,)a b 内符号;(3)若()0f x '>在(,)a b 上恒成立,则()f x 在(,)a b 上是增函数;若()0f x '<在(,)a b 上恒成立,则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++,其中常数1a ≥(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++,a R ∈.①讨论函数()f x 的单调区间; ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭,内是减函数,求a 的取值范围.2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->,讨论()f x 的单调性.2.已知函数的单调性,利用导数求参量 例(08-湖北-7)若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是CA. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗 1、已知0a>,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数,则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R .(1)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围.3.利用导数研究函数的极值1极大值: 一般地,设函数()f x 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近的所有的点,都有0()()f x f x <,就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值,记作0()()f x f x =极大值, 0x 是极大值点2极小值:一般地,设函数()f x 在0x 附近有定义,如果对0x 附近的所有的点,都有0()()f x f x >,就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值,记作0()()f x f x =极小值,0x 是极小值点3极大值与极小值统称为极值(ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值5 求函数()f x 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数(f x '(2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么()f x 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么()f x 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则()f x 在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. ⑶)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3: 函数的极值与最值 例6:(08-山东-文)设函数2132()x f x x e ax bx -=++,已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.Ⅰ)求a 和b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性;(Ⅲ)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小4:求参变量的范围例7.(08-安徽)设函数1()(0ln f x x x x=>且1)x ≠(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围。
2019-2020学年高中数学第3章《导数及其应用》复习导学案1苏教版选修1-1
14 2. 已知曲线 y= 3 x3 + 3.
(1) 求曲线在点 P(2,4) 处的 切线方程; (2) 求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3) 求斜率为 1 的曲线的切线方程.
3.(1) 若曲线 y= x2 + ax+ b 在点 P(0, b) 处的切线方程为 x- y+ 1 = 0,求 a,b 的值 .
2019-2020 学年苏教版数学精品资料
高中数学 第 3 章《导数及其应用》复习 1 导学案 苏教版选修 1-1
复习要求:
1. 了解导数概念的实际背景
.2.理解导数的几何意义 .3. 能根据导数的定义求简单的多项式、
分式函数的导数 .4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导
2 .判断:
(1)f ′ (与x0()f(x0))表示′的意义相同; ()
(2) 求 f ′ (x时0),可先求 f( x0) 再求 f ′ (x;0)(
)
(3) 曲线的切线与曲线不一定只有一个交点;
()
(4) 若 f(a) = a3 + 2ax - x2 ,则 f ′ =(a)3a2 + 2x 。 ( )
数.
课前预习:
1 .知识要点回顾:
(1) 导数的概念:
( 2 )导数的几何意义:函数
f(x) 在点 x0 处的导数
f(x0)) 处的切线斜率.相应地,切线方程为
( 3)基本初等函数的导数公式:
f ′ (x的0)几何意义是曲线
y= f(x) 在点 (x0 ,
( 4)导数的运算法则
( 5)曲线 y= f(x) 在“点 P(x0 , y0) 处的切线 ”与 “过点 P(x0, y0) 的切线 ”的区别:
1
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题:导数专题及其应用教案教案目标:1. 理解导数的概念和意义;2. 掌握导数的计算方法;3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点:1. 导数的定义和计算方法;2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点:1. 理解导数的概念和意义;2. 运用导数解决实际问题。
教学准备:1. 教师准备:教学课件、教学素材、计算工具;2. 学生准备:教材、笔记、计算器。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引入导数的概念,提问学生对导数的理解;2. 通过一个简单的例子,引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法(15分钟)1. 介绍导数的定义和符号表示;2. 讲解导数的计算方法,包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数;3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用(15分钟)1. 讲解导数与函数图像的关系,包括导数与函数的增减性、极值和拐点;2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性,并绘制函数图像;3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点,并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用(15分钟)1. 引入导数与曲线的切线方程的关系;2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤;3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程,并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用(15分钟)1. 介绍导数在实际问题中的应用领域,如物理、经济等;2. 提供一些实际问题,引导学生运用导数解决问题;3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结(5分钟)1. 简要回顾导数的概念和计算方法;2. 强调导数在实际问题中的应用;3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸:1. 提供更多的导数计算练习题,巩固学生的计算能力;2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例,并进行讨论和分享。
教学评估:1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现;2. 学生完成课后作业,包括导数计算和应用题目;3. 学生进行小组或个人报告,展示导数在实际问题中的应用案例。
导数及其应用复习课教学设 计
导数及其应用复习课教学设计教学目标1、知识与技能(1)利用导数求函数的单调区间;(2)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值;(3)解决很成立问题2、过程与方法1)能够利用函数性质作图像,反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况,能合理利用数形结合解题。
2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。
3、情感态度与价值观这是一堂复习课,教学难度有所增加,培养学生思考问题的习惯,以及克服困难的信心。
重点和难点:重点是应用导数求单调性,极值,最值难点是恒成立问题教学过程:(一)、导入.给出三道题(1)曲线在点处的切线方程为()A. B.C. D.(2)过原点作曲线的切线,切线的斜率____________(3)函数在上的最大值____________[设计意图: 数学的教学要遵循循序渐近的原则,三道题是导数应用中基础的题型。
其中(1),(2)两题同是求切线方程,却不同类型题,学生不易识别其间的不同之处容易出错。
通过题目的求同存异,加深学生对题目的本质的理解](二)、例题剖析例1.已知函数若在上单调递减,在上单调递增,求实数的值提问:本题已知函数在给定区间上的单调性,求解析式中参数。
由条件得到什么?学生:是极小值师:为什么?没有回答师:在学习极值的时候,要成为极值点,首先要保证在这个点上的导数等于0,现在导数=0不能保证,怎么能说取得极小值。
举反例:如图:1xy函数的单调性能满足题中条件,但是在1上并不是取极小值师:看来这样的一种题型并不是大家说熟悉的,那么我们能由熟悉的题型加以过渡吗?跟这样的题目类似的题型,你们会想到什么?学生:已知函数的解析式,求函数的单调性师:对,刚好是已知,未知交换一下。
那么我们可以把它当成我们熟悉的题型做分析-----整理求解过程。
例2.若函数为常数),当,函数取得极值(1)求的值(2)求的单调区间(3)当,求与轴的交点个数师:将条件整理下,可以怎么来利用条件?生:,函数取得极值可以得到师:可以得到什么?生:计算出的值在黑板上给出第(1)题的解题过程能。
导数及其应用(复习教案)(精)
导数及其应用(复习教案)
杭州市源清中学徐益强【教学目标】
通过几个基本问题的解决,进一步掌握函数在某一点处的导数的几何意义,利用导数求函数图象上某一点处的切线方程;
【教学重点】
导数的基本应用——切线.
【教学难点】
导数的综合应用.
①函数y=f(x)的递增区间是
导数及其应用(学案)
杭州市源清中学徐益强【学习目标】
掌握函数在某一点处的导数的几何意义,会利用导数求函数图象上某一点处的切线方程;
【学习重点】
导数的基本应用——切线
【课堂程序】
三、实践探究→综合能力提升
8、如图所示,曲线段OMB:y=x3(0<x<2)在点x=t(即点
M)处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q,且BA⊥x
轴于A.
⑴试用t表示切线PQ的方程;
⑵求△QAP的面积g(t)的最大值.
9、设t>0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处的切线相同.
⑴用t示a、b、c;
⑵若函数y=f(x)–g(x)在(–1,3)上单调递减,求t的取值范围.
四、反思总结
1、本节课所用到的主要知识有哪些?主要的方法有哪些?
2、你能用本节课所用到的主要知识解决哪些问题?解决相应的问题的一般
过程如何?。
高考数学专题复习学案导数及其应用 学案
2010高考数学专题复习学案导数及其应用【学法导航】导数是高中数学中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法,是解决实际问题强有力的工具。
导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的对象。
要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握求导数的方法。
导数的应用是高考考查的重点和难点,题型既有灵活多变的客观性试题,又有具有一定能力要求的主观性试题,这要求我们复习时要掌握基本题型的解法,树立利用导数处理问题的意识.所以在复习中要重点把握以下几点:一是导数的概念及其运算是导数应用的基础,这是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义;二是导数的应用,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等,已成为高考热点问题.三是应用导数解决实际问题.【专题综合】导数是高中数学知识的一个重要的交汇点,命题X 围非常广泛,为高考考查函数提供了广阔天地,处于一种特殊的地位,高考命题在利用导数工具研究函数的有关性质,把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时,进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明,是函数知识和不等式知识的一个结合体,它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法,突出了对能力的考查.例1(2009某某卷文)设函数329()62f x x x x a =-+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值; (2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值X 围. 解:(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-,即m 的最大值为34- (2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 2利用导数研究函数的图像变化规律例3(2009某某卷文)已知函数3()31,0f x x ax a =--≠()I 求()f x 的单调区间;()II 若()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m的取值X 围。
导数及其应用复习学案
复习课 沈阳市第五中学
导数及其应用
学习目标 :
1.理解导数的概念,几何意义,求导方法及其单调性、极值等方面的应用;
2.结合导数应用,会用函数性质作图像,反过来利用函数的图像研究函数的性质; 3.培养学生数形结合的思想方法,学会总结分析所学知识。
学习重点 :理解导数的概念,掌握求导数的基本方法及导数的应用。
学习难点 :理解导数的几何意义及导数的应用。
课堂教学 :
(1)自问引思(回顾思考,引出新知)
思考问题一: 1、曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 ( )
A. 34y x =-
B. 32y x =-+
C. 43y x =-+
D. 45y x =-
2、过原点作曲线x y e =的切线,切线的斜率____________
3、函数3223125y x x x
=--+在[0,3]上的最大值____________
(2)互问明思(探索合作,明确新知)
思考问题二:结合你的复习,画出导数及其应用知识点的思维导图(提示:可从导数的定义、几何意义、导数的运算、导数的应用等几个方面入手)。
听课随笔
听课随笔
、
(3)追问深思(质疑展示,评价分析)
思考问题三:画出导数及其应用的有关题型的思维导图(提示:可从导数的定义、切线问题、
单调性问题、极值问题、实际应用等几个方面入手),并根据你总结的类型举例说明。
听课随笔
听课随笔
(4)切问成思(深入探究,形成思想)
思考问题四:通过对导数及其应用的复习,结合思维导图,你的收获是什么?。
高三数学 3.9导数及其应用复习导学案
山东省高密市第三中学高三数学 3.9导数及其应用复习导学案一、考纲要求:1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数, 二、基础知识自测:1.求下列函数的导数:(1)常函数:y=c(c 为常数)(2)幂函数:3y x = ; y=1x ; y = (3)指数函数: 2x y =; x y e = ;(4)对数函数:2log y x =; y lnx = ;(5)正弦函数:y=sinx(6)余弦函数:y=cosx2.求下列函数的导数:(1)xe x y 2=; (2)x x y ln =; (3)x x y ln 2=3.如果某物体的运动方程是22(1)s t =-,则在 1.2t =秒时的瞬时速度是( )A .4B .4-C .4.8D .0.84.与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为( )A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x5.(2011山东文)曲线311y x =+在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )(A )-9 (B )-3 (C )9 (D )156.(2013江西文)若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________7.已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点P (1,1),且在点Q (2,-1)处与直线y =x -3相切,求实数a 、b 、c 的值.课内探究案四、典型例题题型一 利用定义求函数的导数例1若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则limh→0f x0+h -f x0-hh的值为( )A.f′(x0) B.2f′(x0) C.-2f′(x0) D.0题型二导数的几何意义例2 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.题型三利用导数研究函数的单调性例3已知函数f(x)=e x-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.题型四 利用导数求函数的极值例4 设a >0,函数f (x )=12x 2-(a +1)x +a (1+ln x ). (1)求曲线y =f (x )在(2,f (2))处与直线y =-x +1垂直的切线方程;(2)求函数f (x )的极值.变式训练:1.曲线2x y x =+在点(-1,-1)处的切线方程为 2.设函数f (x )=13x 3-(1+a )x 2+4ax +24a ,其中常数a >1,则f (x )的单调减区间为________.3.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是________. 4.已知函数f (x )=x ln x .(1)求函数f (x )的极值点;(2)设函数()()(1)g x f x a x =-- ,其中a ∈R ,求函数g (x )在区间[1,e]上的最小值.当堂检测:1.曲线f (x )=x 3+x -2在0P 点处的切线平行于直线y =4x -1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)2.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()2(1)ln f x xf x '=+,则(1)f '=( )A .e -B .1-C .1D .e课后拓展案A 组1. (2014广东理)曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .2. (2014全国2理)设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a = ( )A. 0B. 1C. 2D. 33.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=,则(1)f '-=( )A .4-B .2-C .2D .4B 组4.(2012新课标)曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________5.(2011大纲)已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点,处切线的斜率为,()A .9 B .6 C .-9 D .-66.(2013 广东)若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =______7. 设函数())ln 2(2x x k x e x f x +-=k 为常数, 2.71828e = 是自然对数的底数)(I )当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间;(II )若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点,求k 的取值范围.。
2020学年高中数学第1章导数及其应用阶段复习课学案苏教版选修2-2(2021-2022学年)
第1章 导数及其应用第一课 导数及其应用导数的几何意义及其应用【例1】 已知曲线y =\f(1,3)x3+3。
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为4的曲线的切线方程.[解] (1)∵P (2,4)在曲线y =错误!未定义书签。
x 3+43上,且y ′=x 2,∴在点P (2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y -4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=错误!x 3+错误!未定义书签。
与过点P (2,4)的切线相切于点A 错误!,则切线的斜率k=y ′|x =x0=x 错误!未定义书签。
.∴切线方程为y -错误!未定义书签。
=x 错误!未定义书签。
(x -x0),即y =x 错误!未定义书签。
·x-\f(2,3)x错误!未定义书签。
+错误!。
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x错误!未定义书签。
-错误!x错误!未定义书签。
+错误!,即x错误!未定义书签。
-3x错误!未定义书签。
+4=0,∴x错误!+x错误!未定义书签。
-4x错误!+4=0.∴x错误!未定义书签。
(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率k=x错误!=4,∴x0=±2。
∴切点为(2,4)或错误!。
∴斜率为4的曲线的切线方程为y-4=4(x-2)和y+错误!=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0。
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点,则应先求出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.注意:曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如,y=x3在(1,1)处的切线l与y=x3的图象还有一个交点(-2,-8).1.(1)曲线y=x ex-1在点(1,1)处切线的斜率等于________.(2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是________.(填序号)ﻬ(1)2 (2)②[(1)y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′错误!=2.(2)从导函数的图象可以看出,导函数值先增大后减小,x=0时最大,所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小,在x=0时变化率最大.①中,在x=0时变化率最小,故错误;③中,变化率是越来越大的,故错误;④中,变化率是越来越小的,故错误;②正确.]【例2】(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)内单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.[思路探究]研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决.因为涉及参数a,所以要分类讨论.[解](1)由已知,得f′(x)=3x2-a。
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导数及其应用复习学案
一、学习目的
(1)复习回顾导数的概念及其几何意义(2)掌握导数的计算
(3)能利用导数这个工具解决求函数单调区间、极值以及最值的问题
二、学习重点
利用导数这个工具解决求函数单调区间、极值以及最值的问题
三、学习难点
利用导数这个工具解决求函数单调区间、极值以及最值的问题
四、学习过程 (一)知识归纳
导数的概念及其几何意义 导数的计算 导数的应用
导数的引入 平均速度→平均变化率y x ∆∆→几何意义(割线AB 的斜率)→瞬时速度→ 瞬时变化率(导数) 0lim x y x ∆→∆∆→几何意义(在该点处切线的斜率) 利用导数的几何意义求切线的斜率、切线方程及参数 1、 利用定义求导数 00()()()lim lim x x y f x x f x f x x x
∆→∆→∆+∆-'==∆∆ 2、 基本初等函数的导数公式 3、 导数的运算法则 []'''()()()()f x g x f x g x ±=± []'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 推论:[]''()()cf x cf x = []'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 4、 复合函数求导 (())
(),()''.'
x u x y f g x y f u u g x y y u ====令
1、利用导数求函数的单调区
间('()0f x >,函数在这个区间内为增函数,'()0f x <,函数在这个区间内为减函数) 2、求函数的极值点与极值 (极值点处导数为零,导数为零的点不一定是极值点,左导正,右导负为极大值,左导负,
右导正为极小值) 3、求函数的最值点与最值 (最值必在极值点或闭区间端
点处取得,故只需计算极值和
端点处的函数值,再比较大小
即可) 生活中的优化问题距离:利用导数工具解决生活中遇到的利润最大、用料最省、效率最高
此类题即是运用导数来求解函数在给定定义域内的最值,当给定的区间为开区间时,最值必在极值点出取到
(二)模块练习
导数的定义及其几何意义
优化问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题
1.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒时的瞬时速度是 ( )
A .7米/秒
B .6米/秒
C .5米/秒
D .8米/秒
2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h
→+-- 的值为( ) A .'0()f x B .'02()f x C .'02()f x - D .0
3.曲线1704,4y x P x ⎛⎫--=- ⎪⎝
⎭上一点处的切线方程是 ( )
(A ) 5x+16y+8=0 (B )5x-16y+8=0 (C )5x+16y-8=0 (D )5x-16y-8=0
4.设曲线b ax x y ++=4在x =1处的切线方程是x y =,则=a ,=b .
5.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程
6.求抛物线y=2x 过点5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
的切线方程 导数的计算
求函数的导函数(1)23cos sin x y x
-=
(2)21x x y x =-+ (3)2x y x e =
(4)3231y x =+
(5)22x y e x =-
(6)()2log 21a y x =-
导数的应用
图像题
1.如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图像,则2212x x +等于
( )
A 、23
B 、43
C 、83
D 、123
2.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示,给出下列
判断:
(1) 函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增;
(2) 函数y=f(x)在区间(-1/2,3)内单调递减;
x '
a b x y
)(f y =O
(3) 函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增;
(4) 当x= -1/2时,函数y=f(x)有极大值;
(5) 当x=2时,函数y=f(x)有极大值; 则上述判断中正确的是: 。
3.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 ( )
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个 4.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图1所示,则导函数y=f '(x)可能为 (
)
求函数的单调区间、极值、最值
1.函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________
2、函数,1)(23-++=bx ax x x f 当1=x 时,有极小值1,则函数bx ax x x g ++=23)(的 单调减区间是___________________________________
3.函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为
4.若函数()3f x ax x =+在区间[]1,1-上单调递增,求a 的取值范围
5.已知a 为实数,))(4()(2a x x x f --=。
⑴求导数)(x f ';
⑵若0)1(=-'f ,求)(x f 在[-2,2] 上的最大值和最小值;
⑶若)(x f 在(-∞,-2)和[2,+∞]上都是递增的,求a 的取值范围。
x y O A x y O B x y O C y O D x x y
O 图1
生活中的优化问题
1.如图用铁丝围成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为2am ,为使所用材料最省,底宽应为多少?
2. 某商品每件60元时,每星期能卖出300件;如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖10件。
已知每件商品成本为40元,问:如何定价才能使利润最大?
证明题
1、 证明函数()32
()2670,2f x x x =-+在内是减函数。
2.证明方程x-1sin 2
x =0有一个根。
3. 证明:当1>x 时,不等式x x 132-
>成立。