苏教版高中数学必修二《直线的斜率》教案

2.1.1直线的斜率

教学目标：

1．理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；

2．理解直线倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；

3．掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系；

4．使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线斜率的变化规律。

教材分析及教材内容的定位：

本节课是平面解析几何的入门课，应该让学生知道解析几何的本质；斜率和倾斜角是刻画直线的两个基本量，要让学生理解两个量的定义及两个量之间的关系，应该明确斜率的两种计算方法；要让学生体会斜率变化规律和直线变化规律的关系．

教学重点：

过两点的直线的斜率公式的运用。

教学难点：

斜率的引入及倾斜角与斜率之间的关系。

教学过程：

一、问题情境

1．本章研究的问题是——对于基本的几何图形——直线与圆。

——如何建立它们的方程？

——如何通过方程来研究它们的性质？——位置关系（平行、相交、…）。

2．本节课研究的问题是：

——如何确定直线？——两个要素（两点、点与方向）——通过建立直角坐标系，点可以用坐标来表示。

——如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？

二、学生活动

1．探究1：在同一坐标系中作出下列函数的图象：

（1）y＝x＋1；

（2）y＝2x＋1；

（3）y ＝－x ＋1．

2．探究2：

上图为环法自行车赛某日路线图的一部分，OA ，AB 两段哪段路程更“陡峭”？为什么？用什么来刻画山坡的倾斜程度？怎样将“直观”量化？

三、建构数学

1．直线的斜率

已知两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率（slope ）为： )(211

212x x x x y y k ≠--=。 说明：

（1）如果x 1＝x 2，那么直线PQ ⊥x 轴，此时k 不存在（斜率不存在）；

（2）k ＝2121y y y x x x

-∆=-∆； （3）对于一条（与x 轴不垂直的）直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的。

2．直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination ），并规定：与x 轴平行或者重合的直线的倾斜角为0o 。

说明：

（1）由定义可知，直线的倾斜角的取值范围是 1800<≤α；

（2）与斜率比较，直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，其中所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率；

（3）通过研究发现：当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tanα。

四、数学运用

例1已知直线l1，l2，l3，l4都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3，l4分别经过点Q1(3，7)，Q2(－3，2)，Q3(－2，－1)，Q4(4，－2)，讨论l1，l2，l3，l4的斜率是否存在，如存在，求出直线的斜率。

例2经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：

（1）3

4；（2）−

4

5；（3）0；（4）斜率不存

例3根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线，并写出倾斜角α：

（1）P(1，2)，k＝1；（2）P(－1，3)，k＝0；

（3）P(0，－2)，k＝（4）P(1，2)，斜率不存在．

五、要点归纳与方法小结

1．如何确定直线？直线的方向（倾斜程度）用什么量来刻画？

——斜率是刻画直线方向（倾斜程度）的代数量，它可以由直线的方程直接地体现。

2．斜率的取值范围是什么？倾斜角的取值范围是什么？斜率与倾斜角有什么关系？

——斜率k∈R，倾斜角α∈[0，π)，k＝tanα，一般地，斜率k随着倾斜角α的增大而增大，但是，[0，π)不是其单调区间（分隔成两个单调区间）。