第6章 图像复原

3）尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确 而普遍地反映图像复原问题的本质，但在数学 上求解困难。只有在要求很精确的情况下才用 位移可变的模型去求解，其求解也常以位移不 变的解法为基础加以修改而成。
1. 空间域图像的退化模型
假定成像系统是线性位移不变系统 ,则获取的 图像g(x,y)可表示为
g x, y f x, y hx, y
设图像f(x,y)和点扩散函数h(x,y)的大小分别为 A×B, C×D,把它们延拓为M×N周期图像，方法是添 零。
f x, y f e x, y 0 h x, y he x, y 0
0 x A 1,0 y B 1 A x M 1, B y N 1 0 x C 1, 0 y D 1 C x M 1, D y N 1
x, y dxdy x, y dxdy 1


说明： 1.δ函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数，
它没有给出函数与自变量之间的对应关系，在
通常情况下是没有意义的。 2. δ函数所给出的‚函数值‛只是在积分运算中才 有意义，如
f (0,0)



he j, N 1 he j , N 2 he j ,0 h j,1 he j,0 he j, N 1 e H j he j ,2 he j ,1 he j,0 he j , N 1 he j , N 2 he j , N 3
M 1 N 1 m 0 n 0
g e x, y f e m, n h x m, y n ne x, y x 0,1,, M 1; y 0,1,, N 1;
写成矩阵形式
g Hf n
其中，f,g,n分别为MN×1的列向量，分别由M×N矩阵
ˆ ( x, y) ,即f(x,y)的最佳估计，求 于原图像的复原图像 f f(x,y)最佳估计的过程就是图像复原。
1 ˆ f ( x, y) T {g ( x, y) n( x, y)}
2. 离散的退化模型
对图像及其点扩散函数进行均匀采样就可以得到
离散退化模型，为方便计算，要将各函数进行延拓。
g ( x, y ) T f ( x, y ) T f ( , ) ( x , y )dd
线性



f ( , )T x , y dd


位移不变

f , h x , y dd
3. 二维线性位移不变系统 如果对二维函数施加运算T[·] ，满足 ⑴
T f1 x, y f 2 x, y T f1 x, y T f 2 x, y
⑵
T af x, y aT f x, y
则称该运算为二维线性运算。 由它描述的系统，称为二维线性系统。
面目，是一个客观过程，最终结果有客观评价准
则。图像增强的目的是改善图像的视觉效果，而 不考虑处理后图像是否与原图像相符。因此，图
像增强可以不顾增强后的图像是否失真，只要看
得舒服就行。
（3）图像复原是针对图像整体，以改善图像的整体质
量。图像增强可以是针对图像的局部，以改善图 像的局部特性。
三、线性系统描述
f ( x, y) ( x, y)dxdy
2. 狄拉克函数的性质 1）一个重要特性就是采样特性，即


f ( x, y) ( x , y )dxdy f ( , )

当α=β=0时
f (0,0)


f ( x, y) ( x, y)dxdy

2）位移性
fe x, y , ge x, y , ne x, y 各行堆积而成。
H为MN×MN的矩阵，也称为分块循环矩阵
H0 H 1 H H2 H M 1 H M 1 H0 H1 H M 2 H M 2 H1 H M 1 H 2 H0 H3 H M 3 H 0 he j ,1 he j,2 he j,3 he j,0
第六章 图像复原 Image Restoration
6.1 图像退化 6.2 代数恢复方法 6.3 图像几何纠正
6.1 图像退化
一、图像的退化 二、图像复原（恢复） 三、图像退化的数学模型
空间域图像的退化模型 离散的退化模型 频率域退化模型
一、图像的退化
图像的退化指图像在形成、传输和记录过程中，由于 成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量
3. 频率域退化模型
• 空间域退化模型：
g ( x, y) f ( x, y) * h( x, y) n( x, y)
• After Fourier Transform:
G(u, v) F (u.v) H (u, v) N (u, v)
• H(u,v)称为系统的传递函数，从频率域角度看，它 使图像产生退化。
f(x,y)：输入的图像函数 g(x,y)：输出的退化函数或退化图像 h(x,y)：点扩散函数 若受加性噪声n(x,y)的干扰，则退化图像可表示为
g x, y f x, y hx, y nx, y
这就是线性位移不变系统的退化模型。
退化模型如图所示
若已知h和n(x,y)，经过反演运算，可以得到一个近似
1
采用不同的Q，得到不同的复原图像。
当Q=I，则有
1 T ˆ f H H I HTg
1
称为能量约束恢复。 当 Q R f Rn ，则有
1 1 T ˆ f H H R f Rn H T g
1

1 2
1 2
称为维纳滤波。 其中Rf、Rn分别为信号和噪声协方差矩阵。
T{}：成像系统作用的运算符 假定成像系统是线性位移不变系统。
采用线性位移不变系统模型的原因：
1）许多种退化都可以用线性位移不变模型来近似， 这样线性系统中的许多数学工具如线性代数， 能用于求解图像复原问题，从而使运算方法简 捷和快速。
2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统 模型来复原图像，在很多应用中有较好的复原 结果，且计算大为简化。

简记为
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
上式表明，线性位移不变系统的输出等于系统的输入和 系统脉冲响应（点扩散函数）的卷积。
四、图像退化的数学模型
设一成像系统的物像映射关系为函数
g(x,y)：输出的退化函数或退化图像
当输入为单位脉冲δ(x,y)时，系统的输出便称为脉 冲响应，用h(x,y)表示。在图像处理中，它便是对 点源的响应，称为点扩散函数。用图表示为
当输入的单位脉冲函数延迟了α、β单位，即当输 入为δ(x-α,y-β)时，如果输出为h(x-α,y–β)， 则称此系统为位移不变系统。
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为f(x,y), 输出为g(x,y)，系统加于输入的线性运算为T[ • ]，则 有
三、Matlab中的图像恢复函数
1.维纳滤波
格式： fr=deconvwnr(g，PSF，NACORR，FACORR) 其中， fr为复原图像 g为观测的退化图像 PSF为点扩展函数 NACORR为噪声自相关函数 FACORR为原图像自相关函数
例
f=checkerboard(8) %生成一个棋盘图像 subplot(2,2,1),imshow(f),title (‘原始图像’) PSF=fspecial(‘motion’,7,45); % 生成点扩散函数 gb=imfilter(f,PSF,’circular’); noise=imnoise(zeros(size(f)),‘gaussian’,0,0.001); % 噪声 g=gb+noise; % 加上噪声的图像 subplot(2,2,2);imshow(g);title(‘退化图像’) Sn=abs(fft2(noise)).^2; % 计算噪声功率谱 Sf=abs(fft2(f)).^2; % 计算图像功率谱 NCORR=fftshift(real(ifft2(Sn))); % 噪声的自相关函数 ICORR=fftshift(real(ifft2(Sf))); % 原图像的自相关函数 fr=deconvwnr(g,PSF,NCORR,ICORR); subplot(2,2,3);imshow(fr);title(‘维纳滤波图像’);
1. 点源的概念 事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像素 所组成，每一个像素都可以看作为一个点源成像，因 此，一幅图像也可以看成由无穷多点源形成的。 在数学上，点源可以用狄拉克δ函数（单位脉冲函 数）来表示。二维δ函数可定义为 且满足

x 0, y 0 ( x, y ) 其它 0
运用和退化相反的过程，将退化图像恢复。 图像复原过程： 找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像
基本思路：
研究退化模型
高质量图像
图像退化
因果关系
退化了的图像
图像复原
复原的图像
2.图像复原质量评价
对图像复原结果的评价，已确定了一些准则，如
最小均方误差准则，加权均方误差准则和最大熵
准则。 用某一客观标准来度量，则为某种准则下的最 优估计。
6.2 代数恢复方法
•无约束复原法 •有约束复原法
一、无约束复原法
• 由退化模型可得：
g f mhx m n
m
n gH f
ˆ ，使得噪声项 • 希望找到一个 f
ˆ n gH f
2
2