双指数混沌系统的动力学分析及数字实现
《2024年两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其运动状态表现出对初始条件的敏感依赖性，即“蝴蝶效应”。
近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步问题。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）第一个混沌系统：Lorenz系统Lorenz系统是一种经典的混沌系统，由三个非线性微分方程组成。
通过对Lorenz系统的动力学分析，我们可以了解其运动轨迹、稳定性和分岔行为等特性。
该系统的运动轨迹表现出极度的复杂性，即使在微小的初始条件变化下，也会产生显著的差异。
此外，Lorenz系统还具有多种不同的稳定状态和分岔行为，这为我们的研究提供了丰富的素材。
（二）第二个混沌系统：Chua-Cichon系统Chua-Cichon系统是一种新型的混沌系统，其数学模型具有更加复杂的非线性特性。
与Lorenz系统相比，Chua-Cichon系统的运动轨迹更为复杂，分岔和稳定性分析更为丰富。
在分析Chua-Cichon系统的过程中，我们可以深入探讨其与Lorenz系统之间的异同，以及在不同条件下的运动特性。
三、系统控制与同步研究（一）控制策略与方法针对混沌系统的控制与同步问题，本文将介绍多种控制策略与方法。
包括反馈控制法、优化控制法、自适应控制法等。
这些方法可以有效地抑制混沌系统的运动复杂性和随机性，使其趋于稳定或达到某种特定的运动状态。
同时，针对不同的混沌系统，我们可以根据其特性和需求选择合适的控制策略和方法。
（二）同步技术研究在混沌同步方面，本文将探讨各种同步技术及其应用。
包括主从同步法、变结构同步法等。
这些方法可以实现不同混沌系统之间的同步，从而在通信、信号处理等领域具有广泛的应用前景。
通过实验验证和仿真分析，我们可以评估不同同步技术的性能和效果，为实际应用提供指导。
四、实验验证与仿真分析为了验证本文的理论分析结果，我们将进行实验验证和仿真分析。
《2024年度两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。
近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的方法。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz混沌系统Lorenz混沌系统是一种典型的流体动力学系统，具有三维非线性微分方程描述。
通过对该系统的动力学分析，我们可以发现其状态变化具有对初始条件的敏感性、具有分岔和混沌等现象。
具体地，我们可以通过分析该系统的相图、功率谱等特征，进一步了解其动力学特性。
（二）Chua's电路混沌系统Chua's电路混沌系统是一种电子电路系统，其电路元件包括电阻、电感和非线性电容等。
该系统的动力学行为表现为复杂的混沌振荡，具有一定的应用价值。
通过对该系统的动力学分析，我们可以了解到混沌系统在不同参数条件下的动态变化情况。
三、系统控制与同步研究（一）系统控制对于混沌系统的控制，主要是通过调整系统参数或者引入外部控制信号等方式，使得系统的状态达到预期的稳定状态。
针对Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统，我们可以采用不同的控制策略，如参数微调法、反馈控制法等，以实现对系统状态的稳定控制。
（二）系统同步混沌系统的同步是指两个或多个混沌系统在一定的条件下，其状态变化达到某种程度的协调和一致性。
针对两个混沌系统的同步问题，我们可以采用不同的同步方法，如完全同步法、延迟同步法等。
这些方法可以通过调整系统参数或者引入适当的控制器来实现两个混沌系统的同步。
四、实验结果与分析（一）实验设计为了验证上述理论分析的正确性，我们设计了相应的实验方案。
具体地，我们采用了数值模拟和实际电路实验两种方式来验证Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统的动力学特性和控制与同步效果。
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统：了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统是一门研究动力学行为的学科，它以方程和映射为基础，研究系统随时间发展的规律。
动力系统的研究范围广泛，其中一个重要的分支是混沌理论。
本文将介绍动力系统的基本概念以及混沌理论的相关内容。
一、动力系统的基本概念动力系统是研究系统在时间上变化的行为的数学模型。
它可以用一组方程或映射来描述系统的演化过程。
动力系统的核心概念是状态和演化规律。
1. 状态系统的状态是描述系统特征的变量，它可以是一个向量、一个矩阵或一个函数等。
在动力系统中，状态随时间变化，我们可以通过状态轨道来表示系统状态随时间的演化。
2. 演化规律动力系统中的演化规律由方程或映射来描述。
方程可以是微分方程、差分方程或者其他类型的方程，映射则是描述状态之间的转移关系。
二、混沌理论的相关内容混沌理论是动力系统中的一个重要分支，它研究的是系统的非线性行为。
混沌指的是一个看似随机、无规律的运动状态，但实际上具有确定性的系统行为。
1. 混沌现象混沌现象是指系统在具有一定非线性性质的情况下，表现出对初值极为敏感的特征。
小的初始差异会随着时间的演化而不断放大，使得系统的行为变得难以预测和理解。
2. 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统行为的概念。
它是一个具有复杂结构的子集，可以吸引系统的轨道进入，并且保持系统在一定范围内的变化。
3. 分岔现象分岔现象是指系统参数的微小变化会导致系统行为的剧变，从而产生新的稳定状态或周期解。
分岔现象是非线性系统的典型特征，与混沌现象密切相关。
4. 混沌控制混沌控制是利用混沌现象中的特性来控制系统行为的方法。
通过对系统参数或外界干扰的调节，可以实现系统状态的稳定或目标轨道的引导。
三、动力系统和混沌在实际应用中的意义动力系统的理论和方法不仅在数学领域有着重要的应用，还在物理、生物、经济等领域发挥着重要的作用。
1. 物理学中的应用动力系统理论在物理学中广泛应用于描述粒子运动、非线性波动等现象。
动力学中的混沌理论研究
动力学中的混沌理论研究“混沌”这个词在日常生活中经常被用来形容一种无序、混乱的状态，但在物理学中，混沌理论却有着严谨的定义和数学模型。
动力学中的混沌现象指的是一种看似无规律的、高度敏感的系统行为，引发了研究人员的极大兴趣。
1. 系统的敏感性和确定性混沌混沌现象的出现通常和系统内部的敏感性有关。
我们知道，在一个确定性系统中，初始状态的微小变化可以引起系统产生激烈的反应，比如万有引力场中行星的运动轨迹。
但在普通的确定性系统中，这种敏感性通常会逐渐衰减，最终转化为可预测的运动轨迹。
然而，在某些特殊的情况下，系统内部的微小变化会被逐渐放大，进而导致系统行为的不确定性和复杂性。
这种现象也被称为“确定性混沌”。
“确定性混沌”在动力学中是一种特殊现象，它表现出了系统的极高敏感度和不可预测性。
2. 混沌系统模型和常见应用混沌现象的研究是非常复杂和严峻的，通常需要构建出适当的混沌系统模型以及运用高度复杂的数学方法进行分析。
早期的混沌系统研究主要集中于天体力学以及其他物理学领域的基础研究领域，比如流体力学、量子力学等。
随着混沌研究的深入，这一理论开始在更多的领域得到应用，比如经济学、社会科学等。
在经济学中，混沌理论有着广泛的应用，尤其是在预测股票价格和研究经济波动等方面。
社会科学方面则主要应用于人类行为和集体行为的建模。
3. 混沌理论的意义和展望混沌理论的出现和发展对于人类认识自然的深度和广度有着重要的影响。
混沌现象的探索，让我们重新认识到了自然界的复杂性和多样性。
许多此前认为是随机、无序现象的自然现象，比如气象、生物进化等，现在都可以用系统动力学的方法进行建模和研究。
同时，混沌理论也对人类社会的发展产生了深远影响。
混沌系统模型和相关的数学方法具有广泛的应用潜力，可以用于分析和优化复杂系统，比如城市交通、食物供应、能源消耗等。
这些应用不仅能够提高系统的效率和可持续性，还有助于人们对社会和环境问题的更深入认识。
在未来，混沌理论的研究还将继续深入，同时也将不断涌现出越来越多的应用场景。
混沌动力学
混沌动力学
混沌动力学（Chaotic Dynamics）是当今数学与物理研究中一个有趣而又重要的课题，它是以拓扑和动力系统学中的知识为基础的。
最常被提及的混沌动力学系统是基于著名的
离散时间动力学方程式的称为“映射”的系统。
它描述可以被重复，不断发展的非线性过程，并且可能伴随着令人兴奋的结果，比如混沌现象。
混沌动力学有时也称作时变动力学，因为它关注与正常系统之间的微小变化反应，有可能带来结果的巨大差异。
由于混沌动力学的知名度和其强烈的数学化方法，目前它也用于许多社会科学研究，
这些研究也在慢慢开发出许多有意思的结果，为社会科学这个广阔的领域增添了许多新的
观点。
在许多研究中，混沌动力学被用于解释一些重要的现象，比如为什么物价会如此频
繁地上涨，或者为什么社会发展中会出现一些崩溃性的问题，这些问题在其他模型里要么
无法诠释，要么难以解释。
另外，混沌动力学也被用于研究微米世界、地理领域中的一些现象，尤其是其中的近
似模型。
一旦设置合适的参数，开发出来的模型可以被应用到仿真上，以期将计算结果与
现实结尾进行对比，并帮助研究者理解和解释定量分析结果。
总之，混沌动力学可以成为数学与社会科学等领域研究的有用工具，它有助于更好地
理解一些比较复杂的关系，而应用于实践中也可以带来许多实际的好处。
《2024年两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统作为非线性动力学的一个重要分支，具有广泛的应用场景和深入的研究价值。
两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究，旨在探讨不同混沌系统的内在机制、动力学行为及其控制策略，以及如何实现两个混沌系统的同步。
本文将对这一领域进行详细的分析和探讨。
二、两个混沌系统的动力学分析1. 第一个混沌系统以Lorenz系统为例，它是一个经典的混沌系统。
通过对Lorenz系统的数学模型进行推导和分析，我们可以了解其动力学特性和行为模式。
Lorenz系统具有三个状态变量，其运动轨迹在三维空间中呈现出复杂的混沌特性。
通过分析其相图、Lyapunov 指数等动力学参数，可以进一步了解其动力学行为和内在机制。
2. 第二个混沌系统本文研究的第二个混沌系统以Chua's电路为例。
Chua's电路是一种电子电路混沌模型，通过非线性电路元件和电源等构成。
通过对Chua's电路的数学模型进行推导和分析，我们可以了解其产生混沌现象的机理和动力学特性。
此外，我们还可以分析其电路参数对混沌行为的影响，为后续的控制系统设计提供依据。
三、系统控制与同步研究1. 系统控制策略针对两个混沌系统的控制策略，本文提出了一种基于反馈控制的策略。
通过引入外部控制信号，调整系统参数，使混沌系统的运动轨迹逐渐趋于稳定。
此外，还可以采用其他控制策略，如自适应控制、模糊控制等，以实现对混沌系统的有效控制。
2. 系统同步方法两个混沌系统的同步是实现复杂系统协同工作的重要手段。
本文提出了一种基于相位同步的方法来实现两个混沌系统的同步。
通过分析两个系统的相位差，引入适当的控制信号，使两个系统的相位逐渐趋于一致，从而实现同步。
此外，还可以采用其他同步方法，如耦合振子同步、滑模控制同步等。
四、实验验证与结果分析为了验证本文提出的控制策略和同步方法的有效性，我们进行了实验验证和结果分析。
混沌系统的复杂动力学行为研究及应用
混沌系统的复杂动力学行为研究及应用
混沌系统是一类具有高度非线性、异步和随机行为的随机系统,其复杂动力学行为表现出一系列奇异的现象,例如混沌现象、分岔、奇异吸引子等现象,这些现象在物理学、数学、工程学等领域具有重要的应用价值。
混沌系统的复杂动力学行为研究及应用可以分为以下几个方面:
1. 混沌现象研究:混沌现象是混沌系统的基本特征,其研究涉及到数学、物理、工程等领域的交叉学科,包括偏微分方程、分形几何、随机过程等多个领域。
混沌现象的应用包括天气预报、金融市场、流体力学等领域。
2. 分岔现象研究:分岔是混沌系统的另一类重要特征,其研究涉及到数学、物理、工程学等多个领域。
分岔现象的应用包括光学、通信、分子模拟等领域。
3. 奇异吸引子现象研究:奇异吸引子是混沌系统的一类特殊形态,其研究涉及到数学、物理、工程学等多个领域。
奇异吸引子的应用包括天体物理学、粒子物理学、生物医学等领域。
4. 混沌系统的应用:混沌系统在数学、物理、工程学等领域都有
重要的应用,例如混沌天气预报、混沌控制、混沌加密、混沌优化等领域。
混沌系统的应用正在不断拓展和深化。
混沌系统的研究和应用涉及到数学、物理、工程学等多个领域,其研究不仅具有理论意义,同时也具有重要的工程意义和实际价值。
混沌摆系统的动力学分析和数值模拟
２０ ０ ８年 ８月
扬 州 学学报 （ Ｉ大 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｉ ｆ ｌｏ ｎ ｚ ｏ ．ｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｔ ｌ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔｏ Ｏ ｌｉ ｆＹａ ｇ ｈ ｕ １ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ￣： ｃ ｉｉｎ） ａ ｒ ５ ｙ ｅ
Ｌ Ａ √ Ｌ ＋ Ｌ 一 ２ Ｃ Ｓ ｃ一 ： ： ： ； Ｏ 丸，
Ｌ —Ａ √ ：＋ Ｌ；一 ２ ６ Ｏ （ ｄ ２ ２ Ｓ Ｗ ｔ＋ ）， Ｃ 图 １ 混沌摆 动力学 示意图
式 中 为初始 相 角 ， 为 策 动 力 的 角 速度 ，Ａ 为 策 动 振 Ｆｇ１ ｃｅ ａｉｐｏ ｏ ｅ ｈ ｏｃｐｎ ｕｕ ｉ Ｓｈｍ ｔ ｌ ｆ ｈ ａｔ ｅｄ ｌｍ ． ｃ ｔ ｔ ｃ ｉ
偏 心 转 矩 惯 量 Ｉ ， ｇ 。； 阻 尼 力 矩 用 表 示 ， 一 厶 磁 。
线 性 弹簧 的倔 强系数 为 ｋ ；外部 策 动 力 的距 离 如 图所 示分
别为 Ｌ， ， 厶 厶．容 易得 到该 系统 中转 轮 的动 力学 方程 为
阳 ＋ ＋ Ｉ０ ｓ ｃ ｉ ０＋ ｋ （ ｋ Ｆ ｎ ｒ ２ Ｏ一 △ ）一 ｋ （ — Ｌ ） Ｌ） ｒ Ｌｃ ，
实 验 参 数 的 取 值 参 照 Ｐ Ｓ （ 公 司 实验 混 沌 摆 数 据 如下 ：转 动 圆 盘 实验 参 数 为 ，一０ １ ｇ Ａ Ｃ） ｎ ． ２ｋ 。 Ｒ＝０ ０ ５ｉ 一０ ０ 偏 心铜 圆柱 体参 数为 ７… 一０ ０ ５ｋ ， 一０ ０ １ 弹簧 的倔 强系 数 是 一 ． ９ １ ＂ １ ．４ ｍ； ＂ ． １ ｇ Ｌ ． ６ｎ ； 一２ ０Ｎ ・ １ Ｌ 别为 ０ １ ０ １ Ａ ． 和 作 为 实验 系统 的可 凋节 参数 ．为 简单 起 见 ， ． ｎ 一； Ｌ 分 ． ，． ３ｍ； 对 系统 动 力学 性 质 没有 影 响 的弹 簧初 始 伸长 和 外 部策 动力 的初位 相分 别 取 △ 一０ 一丌 ９ ， ／ ．在 以
混沌动力学模型
混沌动力学模型混沌动力学模型是一种描述非线性系统行为的数学模型。
它的核心概念是混沌现象，即系统的微小变化会引起巨大的效应，使系统表现出不可预测的行为。
混沌动力学模型的研究对于理解和揭示自然界中复杂系统的行为规律具有重要意义。
混沌动力学模型的起源可以追溯到20世纪60年代，由美国数学家Edward Lorenz提出。
他在研究大气环流系统时，发现微小的初始条件变化会导致天气预报的巨大误差。
这一发现引发了他对非线性系统的研究，最终形成了混沌动力学模型。
混沌动力学模型的核心方程是著名的洛伦兹方程，它描述了一个简化的大气对流系统。
洛伦兹方程是一个三维非线性常微分方程组，它的解决过程展现了混沌现象。
洛伦兹方程的形式如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y、z是系统的三个状态变量，t是时间，σ、ρ、β是系统的参数。
通过调节参数的值，可以观察到不同的系统行为，包括稳定状态、周期运动和混沌运动。
混沌动力学模型的研究揭示了非线性系统的一些重要特性。
首先是灵敏依赖于初值条件，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。
这意味着我们无法准确预测系统的未来行为，只能给出可能的演化趋势。
其次是周期倍增现象，系统在某些参数值下会表现出周期倍增的行为，即周期长度不断加倍，最终进入混沌状态。
最后是拓扑混沌，非线性系统的相空间结构呈现出复杂的拓扑特征，例如奇异吸引子和分岔图等。
混沌动力学模型的研究不仅在天气预报、气候学等领域有重要应用，还在物理学、生物学、经济学等多个学科中发挥着重要作用。
通过混沌动力学模型，我们可以更好地理解和解释自然界中的复杂现象，为科学研究和实践提供指导。
混沌动力学模型的研究也给我们带来了一些启示。
首先是复杂系统的不可预测性，即使是简单的非线性系统也可能表现出混沌行为，我们无法准确预测系统的未来演化。
其次是系统的微小变化可能引起巨大效应，这对于控制和管理复杂系统具有挑战性。
两类混沌系统的定性分析
摘要自气象学家洛伦兹首次发现了混沌模型-洛伦兹系统，混沌系统成为众多专家学者研究的热点之一. 众所周知，混沌系统蕴含着极其复杂的动力学行为. 而对混沌系统的定性分析可以帮助我们了解其丰富复杂的动力学行为. 因此，本文对两个混沌系统进行了定性分析，其中一个系统为双翼洛仑兹类混沌系统，另一个为金融混沌系统.分析过程主要包括以下几点：（1）求解各参数范围内的平衡点及其稳定性；（2）分析平衡点的局部动力学行为；（3）平衡点的分支分析；（4）庞加莱紧致法分析系统在无穷远处的动力学行为；（5）分析系统的特殊轨道.通过以上分析，得到了系统的全局动力学行为.关键词：混沌系统，定性分析，平衡点，无穷远分析，分支AbstractMore authors devoted them themselves to the chaotic system since the first chaotic system-Lorenz system was found by Lorenz. It is well-known that chaotic system poses more complicated and plentiful dynamic behaviors. And the qualitative analysis of the chaotic system can help us to reveal the complicated dynamic behaviors.So in this paper, we make qualitative analysis for two chaotic systems. One is the double wing Lorenz-like chaotic system, and the other is a financial chaotic system. And the work in this paper include:（1）the equilibrium points and its stability;（2）the local dynamic behavior of the equilibrium points;（3）the bifurcation analysis of the equilibrium points;（4）the dynamics at infinity using Poincare compact;(5）the special orbits of the system.By the above analysis, the global dynamics are obtained.Keywords: Chaotic system, Qualitative analysis, Equilibrium point, Dynamics at infinity, Bifurcation目录第一章 引言 (1)1.1研究背景和意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 本文的主要工作及安排 (4)第二章 研究混沌系统的理论和方法 (5)2.1奇点类型 (5)2.2稳定性理论 (6)2.2.1 线性稳定性理论 (6)2.2.2 非线性稳定性理论 (7)2.3三维系统中的无穷远分析-庞加莱紧致化方法 (8)2.4 分支理论 (10)2.4.1 鞍结点分支 (10)2.4.2 超临界分支 (11)2.4.3 草叉分支 (11)2.4.4 Hopf分支 (11)第三章 一个双翼混沌系统的动力学行为 (14)3.1 系统的提出 (14)3.2 系统的局部动力学特性 (14)3.2.1 系统的平衡点 (14)3.2.2 平衡点0E的局部动力学行为 (15)E的局部动力学行为 (18)3.2.3 平衡线z3.2.4 平衡点±E 的局部动力学行为 (19)3.3 无穷远动力学行为 (22)3.3.1 在坐标卡11,V U 中 (22)3.3.2 在坐标卡22,V U 中 (24)3.3.3 在坐标卡33,V U 中 (25)3.4 无穷异宿轨 (27)第四章 一类金融混沌系统的动力学行为 (28)4.1系统的局部动力学行为 (28)4.1.1 系统的平衡点 (29)4.1.2 0E 点的局部动力学行为 (29)4.1.3 ±E 点的局部动力学行为 (31)4.1.4 ±E 点的局部动力学行为 (32)4.2系统在无穷远处的动力学行为 (33)4.2.1 在坐标卡11,V U 中 (33)4.2.2在坐标卡22,V U 中 (34)4.2.3在坐标卡33,V U 中 (35)第五章 结论 (38)致谢 (39)参考文献 (40)第一章 引言·1.1研究背景和意义众所周知，常微分方程的实际作用是从17世纪末诞生之际就显现出来的.随着科技的不断发展，常微分方程已经在气象、工程、生物、物理、化学、经济金融等众多应用领域中发挥着重要作用.常微分方程在17世纪末诞生之时还并未单独成为一门分支学科，18世纪才成为有自己的方法和目标的新的分支学科，这段时期，众多专家学者把注意力放在如何求解微分方程上.而微分方程作为应用的重大意义就是很多实际问题可以化归为微分方程的求解问题.因此求微分方程的解析解是数学家们讨论微分方程解的任务之一.但实际上，很多微分方程的解析解很难求出，于是有了对解的数值模拟.直到现在，随着计算机的飞速发展，求微分方程的数值解仍然是一热点话题.然而，数值解只是一种模拟，而且在实际应用中（如物理、工程、天文学）并非一定要找到解，要想了解的性态，我们还可以不求解微分方程而只根据方程本身的特性直接研究解的性质，这就是微分方程解的定性分析.早在19世纪，数学家庞加莱开创了微分方程解的定性理论（讨论微分方程相空间的几何特征，如平衡解的拓扑类型，稳定性，周期轨的存在性等），李雅谱诺夫则开创了微分方程解的稳定性理论的研究.到了20世纪，微分方程进入了定性理论研究的阶段.关于定性理论的研究，目前已经取得了很多卓越的成果.可以说常微分方程定性理论已经构成近代非线性分析中重要的组成部分，对于其他学科分支的研究有宝贵的参考价值.1963 年，美国的气象学家洛仑兹在研究大气现象时构造了一个确定的三维自治常微分方程系统——洛仑兹系统⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−=,,),(xy bz z xz y cx yx y a x 其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛=28,38,10,,c b a .并以题目为《决定性非周期流》的论文发表了所得结果，开辟了混沌学的研究新里程.洛仑兹系统是第一个混沌模型.1975年，美国数学家Yorke 和Tien-Yien Li 首次给出混沌的正确表述，并发表了著名的论文-《周期3 意味着混沌》. 1976年，Logistic 映射的混沌学行为首次出现在《Nature 》杂志上的《具有复杂动力学行为的简单数学模型》一文中. 1976年Rossler 在研究化学反映时发现了一个混沌系统，后来被人们称为Rossler 系统（Rössler O E ，1976）.1983年，美国伯克利分校Chua 在研究电路时发明“蔡氏电路”震动了学术界，蔡氏电路模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−=，，，y z z y x yx f y x βα ))(( 其中0,,>γβα，)(x f 为连续奇对称函数（Messias M ，2009）.当)(x f 为分段线性函数时，尽管系统非常简单，它却可以表现出标准的混沌理论行为.常期以来洛仑兹系统和蔡氏电路系统成为众多专家学者研究混沌系统的主要对象.Chua 电路的发现不仅促进了混沌的发展，也推进了混沌理论在工程中的应用.随着对混沌学研究的不断渗入，更多的新混沌系统如陈系统（Chen ，1999）、吕系统（吕金虎，2002）等被专家学者研究.由于混沌系统表现出的丰富的动力学行为，利用微分方程中定性理论方法对混沌系统的复杂动力学行为进行定性分析成为对混沌系统进行理论研究的重要组成部分.主要包括对混沌系统的平衡点类型及稳定性研究，奇点分支、Hopf 分支研究，同宿、异宿轨道的存在性，退化异宿轨的存在性等.系统在无穷远的性态也是系统定性分析的重要内容.但在2008年之前，很少有人对三维系统中的无穷远性态进行分析.2008年， Llibre, Messias 和Silva （Llibre J ，2008）对 Rabinovich 系统的全局动力学进行了分析，包括利用庞加莱紧致化方法对该系统的无穷远动力学行为进行了详细的分析.从而推动了混沌系统无穷远动力学行为的研究.1.2 国内外研究现状近年来关于混沌系统的定性分析的论文硕果累累.尤其是对经典的洛仑兹系统，Chua 电路系统等的研究.2008年， Llibre, Messias 和Silva （Llibre J ，2008）对如下Rabinovich 系统⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=+−=,,,321xy z v z xz y v hx yyz x v hy x4321),,,(R v v v h ∈进行了全局动力学分析，并利用庞加莱紧致化方法对该系统的无穷远动力学进行了分析.次年，Messias （Messias M ，2009）又研究了洛仑兹系统的无穷远动力学分析及其无穷远异宿轨道等，并且在该文献中，详细介绍了庞加莱紧致化方法.同年，Llibre ，Messias （Llibre J ，2009）对 Rikitake 系统⎪⎩⎪⎨⎧−=−+−=+−=,1)(,xy z x a z y yyz x x μμ的全局动力学进行了分析，其中主要的一项工作是利用庞加莱紧致化方法对无穷远动力学进行研究.2011年，Messias （Messias M ，2011）利用庞加莱紧致化方法对经典 Chua 系统利用无穷远动力学做了分析，同时作者在文献（Messias M ，2012）中对Shimizu-Morioka 方程做了无穷远动力学和全局动力学分析. 此后，众多关于混沌系统的动力学行为分析都加入了关于无穷远动力学行为分析（Liu Y ，2012）（Wang H ，2014）.2011年，文献（Kuzenetsov Y.A ，2004）研究了如下新洛伦兹系统()⎪⎩⎪⎨⎧++−=−=−=，2,,ex xy bz z xz cx y x y a x 其中R c b e a ∈≥>,,0,0,讨论了该系统的不同参数区域内不变流形的局部特性，Hopf 分支，退化的草叉分支，同宿、异宿轨道的存在性等.2014年，文献（Wang H ，2014）研究了如下系统()()⎪⎩⎪⎨⎧+−=−+−=−=,,,xy bz z axz cy x a c yx y a x 其中a , b, c 为不等于零的实数, 揭示了更多该系统隐藏的动力学行为，如平衡点的分 布及稳定性，同宿、异宿轨道的存在性及退化异宿轨的存在性，无穷远动力学分析等. 更多关于混沌系统的文献可参看（Li X ，2012）（Liu Y ，2010）（Liu C ，2006）（LiuY，2013）（马红光，2006）（Sprott J.C，2000）（Yang Q，2010）（Wang H，2015）.1.3 本文的主要工作及安排受以上文献研究结果的启发，本文对一类双翼洛仑兹类混沌系统和一类金融混沌系统进行了全局动力学分析，主要包括平衡点及其稳定性，平衡点的特征，Hopf分支分析，无穷异宿轨分析和利用庞加莱紧致化方法进行无穷远动力学分析等.尤其本文给出了系统各平衡点在各参数范围内的稳定性.在已有文献中，很多平衡点处稳定性研究比较复杂，一般情况下作者会采取将参数取特殊值再做研究. 本文则克服困难给出了各参数值范围内平衡点的稳定性，这样，可不用代数参数值即可看出平衡点的稳定性，也便于寻找混沌吸引子. 具体安排如下第一章介绍混沌系统的相关知识背景，以及混沌系统定性分析国内外的一些研究现状.第二章介绍了本文定性分析所要用到的一系列基本的定义定理，包括平衡点的相关知识，稳定性相关知识，庞加莱紧致化方法在三维空间的转换方法，分支的相关知识等.第三章研究了一个双翼洛仑兹类混沌系统的动力学行为，主要从平衡点及其稳定性，无穷远动力学行为，无穷远异宿轨和奇点即Hopf分支几方面进行研究讨论.第四章讨论了一个金融混沌系统的动力学行为，主要包括平衡点及其稳定性，无穷远动力学行为，奇点分支等.第五章给出了本文研究的主要结论，并且指出了自己文章中的不足和对未来的展望.第二章 研究混沌系统的理论和方法本章介绍文中用到的基础理论和知识. 本部分内容可参看文献（马知恩，2015）（张锦炎，1997）（张祥，2015）（张芷芬，2003）.2.1奇点类型考虑常系数n 维线性自治微分系统如下)12(),(−=x f x这里n R x ∈，令其解空间为G . 定义2.1.1 若点G x ∈，使得0)(≠x f ，则称x x =为系统(2-1)的常点；若G x ∈∗，使得0)(=∗x f ，则称∗=x x 为系统(2-1)的奇点，奇点也称为平衡点.若∗x 为系统(2-1)的奇点，则()∗=x t x 必为系统的解，这个解是平行于时间t 轴的直线，它在相空间的投影就是奇点∗x .对于非线性系统的奇点类型分析，我们可借助于线性系统来考虑，线性系统的奇点类型有鞍点、结点、焦点、中心.对平面非线性系统，分离线性项后为)22(),,(),,(−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=y x Y dy cx dt dy y x X by ax dt dx其中)(,r o Y X =且连续可微，22y x r +=.定理2.1.1 设系统(2-2)中的Y X ,满足（i ）在奇点)0,0(O 的邻域内有有连续的一阶偏导数；（ii ）)(),(r o y x X =，)(),(r o y x Y =，22y x r +=.则如果)0,0(O 是对应线性系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dt dy by ax dt dx的一个奇点，那么无论是焦点、结点或是鞍点，)0,0(O 都是相应的非线性系统(2-2)的一个同类型奇点.2.2稳定性理论2.2.1 线性稳定性理论考虑常系数n 维线性自治微分系统如下)32(,−=Ax dtdx这里阶实常数矩阵是n A R x n ,∈.定理2.2.1 若A 的所有特征值的实部均小于零，则系统(2-3)的零解是渐进稳定；若A 的所有特征值的实部都不大于零，并且实部为零的特征值仅对应单重初等因子，则系统(2-3)的零解是稳定的；若A 的特征值中存在实部大于零的根，则系统(2-3)的零解是不稳定的.定理2.2.2（Routh 判据）对于一个已知的三维动力系统，其雅克比行列式的特征方程为.0322130=+++a a a a λλλ设0>n a ，各项系数均为正数.按特征方程系数列写Routh 阵表：000111230123a a cb a a λλλλ 其中010********,)(a b a bc a a a a a b ==−=. 如果此阵表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有根均有负实部.假如第一列的系数有负数，那么系统是不稳定的，不稳定的平衡点个数等于第一列系数符号改变的次数.定理2.2.3（Hurwitz 判据）考虑一元三次代数方程，032213=+++a a a λλλ此方程所有的根的实部均为负数的充要条件是,0013142531>=a a a a a a a H k此式中3,2,1=k ，同时规定当3>j 时，0=j a .2.2.2 非线性稳定性理论定理2.2.4 非线性系统)42(.0)0,(),,(−=+=t f x t f Ax dtdx若),(x t f 连续，关于x 满足Lipschitz 条件，且对t 一致的有，0),(lim=→xx t f x 则当A 没有零实部特征值时，系统（2.2.2）与其去掉扰动项的线性系统Ax dtdx= 的零解有相同的稳定性.定理2.2.5 （稳定流形定理）对于系统，n R x x f dtdx∈=),( 设)(,0)0(x f f =在0的一个邻域G 内连续可微，)(0x t ϕ是系统的解所确定的流，)0(Df A =有k 个负实部的特征值和k n −个正实部的特征值，则存在一个k 维可微流形S ，它与该系统的稳定子空间s E 在原点0相切，且对所有S x ∈0和0≥t 有，0)(lim ,)(0=⊂+∞→x S S t t t ϕϕS 称为该系统的稳定流形.也存在一个k n −维可微流形U ，它与该系统的不稳定流形U E 在原点0相切，且对所有U x ∈0和0≤t 有，0)(lim ,)(0=⊂−∞→x U U t t t ϕϕU 称为该系统的不稳定流形.2.3三维系统中的无穷远分析-庞加莱紧致化方法平面系统无穷远奇点是平面有限奇点的一种推广，用于研究平面系统的轨线在平面上无穷远处的性态，参看文献（马知恩，2015）.N 维系统中的多项式向量场X 可以扩展到球体n S 上的解析向量场, 进行这种扩展的方法称为庞加莱紧致化方法. 并且通过该方法我们可研究多项式向量场无穷远处的动力学，其对应于球体n S 的赤道1−n S . 文献（Messias M ，2009）详细介绍了将该方法.考虑多项式微分系统⎪⎩⎪⎨⎧===，，，)()()(321z y x P z z y x P y z y x P x 上式也可以等价的写成多项式向量场)(321P P P X =，X 的度定义为{}3,2,1:)deg(max ==i P n i .令{}1||:||),,,(443213=∈==y R y y y y y S 为4R 中的单位球，{}0>: =43+y S y S 是北半球，{}0:3〈∈=−y S y S 是南半球.在点y 处S 的切线空间由3S T y 表示.则有切面}),,(:),,,{(3321443213)01,0,0(R x x x R x x x x S T ∈∈=.考虑中心投影++→=S S T R f 3)1,0,0,0(3:;−−→=S S T R f 3)1,0,0,0(3:，x x x x x f Δ±=±/)1,,,()(321，其中2/1312)1(∑=+=Δi i x x . 3S 的赤道为}0=: {=432y S y S .显然，2S 可以通过3R 的无穷大来识别.+f 和−f 为3S 上定义的两个映射，在北半球定义一个X Df −，南半球定义另一个X Df −.用X 表示−+∪=S S S S 23/上的向量场，向量场限制在+S 与−S 上分别与X Df +和X Df −一致.)y X 在−+∪S S 上有如下表达式：，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−−−−−−−−=3214342412332312322211312214111)(P P P y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y X 其中|)|/|,|/|,|/(434241y y y y y y P P ii =.通过这种方式，)(y X 是与球3S 相切的4维空间中的向量场.现在我们可以通过)())((14y X y y X P n −=将向量场)y X 解析地延拓到整个球体3S .该扩展向量场)(X P 称为庞加莱紧致.由于3S 是一个可微流形，为了计算)(X P 的表达式，我们可以考虑八个局部坐标卡),(),,(i i i i G V F U ，其中)4,3,2,1=(}0<: {=},0>: {=33i y S y V y S y U i i i i ；微分同胚3:R U F i i →和3:R V G i i →，4,3,2,1=i 是分别从原点到切空间的中心投影在()0,0,0,1±，()0,0,1,0±，()0,1,0,0±和()1000±，，，的逆映射.首先在1U 中进行计算.假设原点()0,0,0,0，点34321),,,(R y y y y ∈和3S 的切线平面中的点)0,0,0,1(),,,,1(321z z z 共线，则有43322111y zy z y z y ===. 则 ),,()/,/,/()(3211413121z z z y y y y y y y F ==.如，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=1214121312121/100/0/10/00/1/)(y y y y y y y y y y DF和1314)/(−−Δ=n n z z y ，解析向量场)(X P 变为，),,}()/({1331221113P z P P z P P z z z n n−+−+−Δ− 其中)/,//1(3231,3z z z z z P P ii =，以类似的方式我们可以推导出2U 和3U 中)(X P 的表达式分别为在2U 中，),,}()/({2332212113P z P P z P P z z z n n−+−+−Δ− 其中)./,/1,/(3233122z z z z z P P =在3U 中，),,}()/({3323213113P z P P z P P z z z n n−+−+Δ− 其中)/1,/,/(3323133z z z z z P P =.把i U 中的表达式乘以1)1(−−n 即可得到)(X P 在i V 中的表达式.当在局部坐标卡中使用压缩向量场)(X P 的表达式时，我们通常省略因子1)/(1−Δn z . 我们可以通过重新调整时间变量来做到这一点. 接下来，我们将使用从封闭的北半球的)(X P 的正交投影到04=y ，我们继续通过)(X P 表示该投影向量场.注意，封闭北半球的投影是半径为1的封闭球B ，其内部与3R 不同，其边界2S 对应于3R 的无穷远.当然，在整个闭合球B 中定义了)(X P ，使得边界上的流是不变的.B 上的这个新的x 向量场被称为庞加莱紧致化，B 将被称为庞加莱球.2.4 分支理论分支是非线性动力系统的参数变化导致其拓扑相图不等价的现象.分支主要包括局部分支和全局分支两大部分，其中局部分支是集中研究相轨迹在系统平衡点或闭轨的邻域内发生的变化，然而全局分支是要研究动力系统的相轨迹拓扑结构在整个相空间内的变化情况.动力系统的分支又可以进一步细分为动态和静态分支，动态分支是研究其相轨迹的拓扑结构的变化情况，突出的是系统的运动情况，而静态分析是研究平衡点的数目及其稳定性的变化，突出的是系统的性质问题.动力系统厂家爱你的分支主要有超临界分支，鞍结分支，草叉分支和Hopf 分支等.首先以一维单参数非线性微分方程为例介绍奇点分支.此部分结果选自（张祥，2015）.2.4.1 鞍结点分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(2R x x x f dtdf∈+==μμμ当0>μ时，系统不存在平衡点；当0=μ时，系统只有一个二重平衡点00=x ；当0<μ时，二重奇点分裂成两个平衡点μ−±=21，x ，此时可以看出μ−=1x 是一个不稳定的鞍点，而μ−−=2x 则为稳定的结点，这种两个奇点重合最后消失的现象称为鞍结点分支.2.4.2 超临界分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(2R x x x x f dtdf∈−==μμμ可以得到系统有两个平衡点μ==21,0x x .当0<μ时1x 是不稳定的，2x 是稳定的；当0=μ时两个平衡点在重合成半稳定的二重奇点，当0>μ时，上述二重平衡点又分裂成两个平衡点，1x 是稳定的，2x 是不稳定的，这类两个奇点重合交换稳定性的现象称为超临界分支.2.4.3 草叉分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(3R x x x x f dtdf∈+==μμμ当0>μ时，系统只有唯一的不稳定平衡点0=x .当0=μ时，系统有唯一的三重平衡点0=x ，它仍是不稳定的；当0<μ时，三重平衡点分裂成三个平衡点： 不稳定平衡点0=x 和稳定平衡点μ−±=21，x .这种在参数变化的某个过程中保持一个奇点，然后突然分裂成三个奇点的现象称为草叉分支.2.4.4 Hopf 分支首先我们考虑如下平面系统：)52(),,,(),,,(−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==μμy x g dtdy y x f dt dx其中R ∈μ为参数，下面先以系统（2-5）为出发点给出Hopf 分岔的定义和Hopf 分岔定理.定义2.4.1 Hopf 分支是指由于平衡点突然改变了稳定性，进而系统因此产生了孤立的周期解（平面系统中为极限环）的现象.定理2.4.1（平面Hopf 分支定理1）设),(μμμy x O 是系统（2-5）对应的线性系统的一个中心型奇点，当0=μ时，)0,0(μO 是系统（2-5）的一个稳定（不稳定）的焦点，当0>μ)0(<时，μO 变成了一个不稳定（稳定）的焦点，则当)0(0><μ，且μ充分小时，在μO 点附近系统（2-5）有至少一个稳定(不稳定)的极限环存在.通过定理（2-5）发现如果需要确定周期接的存在性，可以用奇点的稳定性的判定作为依据.而当系统的线性部分是非奇异的, 则有如下结论： 定理2.4.2（Hopf 分支定理2）设在系统()()()62,,:12−∈∈=C f R x x f xI μμ中，()0,0O 是()0I 的奇点，即()00,0=f .又设()()()μμμO x x f D A |,=，其中()μO 是()μI /的奇点，()0det ≠μA ，()μA det 的特征根为()()μβμαi ±.如果： （1）()00=α，()00>β； （2）()0|0≠=μμμαd d . 则当μ充分小时，系统（2-6）在0=μ的某一侧邻域中至少存在一个闭轨，且当0μμ≤时，参数的分岔值0=μ是唯一的.然而在本文中包括在实践中，我们更多遇到的是三维的动力系统，定性分析也都是围绕着三维系统展开.而在寻找三维非线性动力系统的Hopf 分支的时候还是可以借鉴平面系统的方法，只是对三阶特征方程进行分析而已.同时对于三维混沌系统的Hopf 分支，我们有下面这个定理.定理2.4.3 （三维空间中的Hopf 分支定理） 考虑系统()()72,,3−∈=R x x F dtdxλ设()λ,x F 在R R ×3包含原点的一个邻域U 内解析，()0,0=λF ,()()λλ,0DF A =有特征值()()λβλαi ±和()λδ，()00=α，()00>β，()00<δ，()00'>α.则有下列结论：（1）若系统（2-7）的原点当0=λ时是稳定而不渐近稳定的平衡点时，则系统（2-7）的解在原点邻域内的某一区面上全是闭轨；（2）若系统（2-7）的原点当0=λ时是渐近稳定（不稳定）的平衡点，则对充分小的()00<>λλ，系统（2-7）在原点的邻域内有渐近稳定的闭轨.第三章 一个双翼混沌系统的动力学行为3.1 系统的提出文献（Zhang C ，2012）研究了一个双翼混沌系统)13(2−⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+−=，，，ky bz z cy x y yz ax x其中R k c b a ∈,,,均为实系数.并说明当时7,10,5,20====k c b a ，该系统呈现双翼轨线图，如下图（3-1）（a ）在y x −平面上的双翼轨线图 （b ）在z y −平面上的双翼轨线图图3-1 系统（3-1）轨线图然而文献（Zhang C ，2012）只是对该系统的数值仿真模拟相图进行讨论，并没有进行定性分析.本文将再次深入讨论该系统，对其做定性分析.包括平衡点、平衡点类型、流形情况、奇点分支情况、Hopf 分支、无穷远奇点、无穷异宿轨等.3.2 系统的局部动力学特性在这一部分中，我们将针对系统（3-1）的局部动力学行为进行研究，主要包括系统的平衡点分布情况，孤立与非孤立平衡点的稳定性与分支.3.2.1 系统的平衡点求解如下代数方程组可以得到系统（3-1）的平衡点⎪⎩⎪⎨⎧=+=+−=+−.0,0,02ky bz cy x yz ax 解此方程组后，下面讨论该系统平衡点.（1）当0=k 时，0===z y x ，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ； （2）当0>k 时，有如下四种情况（i ）当b=0时，R z y x ∈==,0此时z 轴为系统一条平衡线()z E z ,0,0=； （ii ）当0,0=≠ac b 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ； （iii ）当0>abc 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iv ）当0<abc 时，系统有三个平衡点分别为()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,. （3）当0<k 时，有如下四种情况（i ）当0=b 时，R z y x ∈==,0，z 轴为系统一条平衡线()z E z ,0,0=； （ii ）当0,0=≠ac b 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ； （iii ）当0<abc 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iv ）当0>abc 时，系统有三个平衡点分别为()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,.由如上讨论不难看出，当0≠b 时，如果0≥abck 系统有唯一平衡点()0,0,00=E ，然而如果0≤abck 则系统有三个平衡点()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,，由此可知在abck 由正变到负的过程中，系统（3-1）从一个三重平衡点分裂为三个单重平衡点，这种现象被称为草叉分支.3.2.2 平衡点0E 的局部动力学行为首先系统（3-1）在平衡点()000,,z y x 处的雅克比行列式为，bky c y z a J 002001−−= 因此可知在0E 处的雅克比行列式为，bc a J 0001000−−=其特征方程()()()()0=−−+=c b a f λλλλ，由此可得三个特征值分别为，，，c b a ==−=321λλλ根据稳定流形定理，可知系统（3-1）在平衡点0E 处具有如下稳定性，为方便表达，在接下来的部分中统一用Sloc W 表示稳定流形，Uloc W 表示不稳定流形，Cloc W 表示中心流行：（1）当0>a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-2:表3-2 当0>a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型0E 附近的流形0<b0<c渐近稳定的结点 Sloc DW 30=c 非双曲的 S loc DW 2和Cloc DW 1 0>c 鞍结点 S loc DW 2和U loc DW 1 0=b0<c非双曲的 S loc DW 2和C loc DW 10=c非双曲的 S loc DW 1和C loc DW 2 0>c非双曲的S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1续表3-20>b0<c鞍结点 S loc DW 2和Uloc DW 1 0=c 非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10>c鞍结点S loc DW 1和Uloc DW 2当0=a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-3:表3-3 当0=a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型 0E 附近的流形0<b0<c非双曲的S loc DW 2和C loc DW 1 0=c S loc DW 1和C loc DW 2 0>c S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=b0<cS loc DW 1和Cloc DW 20=c Cloc DW 3 0>c C loc DW 1和Uloc DW 20>b0<cS loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=c C loc DW 2和Uloc DW 1 0>cC loc DW 1和U loc DW 2当0<a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-4:表3-4 当0<a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型 0E 附近的流形0<b0<c鞍结点 Sloc DW 2和U locDW 10=c 非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10>c 鞍结点 S loc DW 1和Uloc DW 2 0=b0<c非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=c 非双曲的 C loc DW 2和Uloc DW 1 0>c 非双曲的 C loc DW 1和U loc DW 2 0>b0<c鞍结点 S loc DW 1和U loc DW 20=c 非双曲的 C loc DW 1和U loc DW 20>c结点Uloc DW 33.2.3 平衡线z E 的局部动力学行为当0,0≠=k b 时，系统有平衡线()z E z ,0,0=，此时的雅克比行列式为，bc z aJ z 00010−−=此时的特征方程()，0])()[(2=+−−+−=z ac c a b f λλλλ 可解得特征值为.0,24)()(3221=−+±−=λλzc a a c ，在此处有ac z a c −=−=+2121,λλλλ，因此z E 处的动力学行为可由如下表3-5:表3-5 系统（3-1）在z E 处的动力学行为3.2.4 平衡点±E 的局部动力学行为当参数范围为0,0<≠abck b 时，系统有三个平衡点，现讨论±E 两个平衡点处的动力学行为，由于两个点的对称性，所以仅以+E 为例进行详细讨论. 此时系统在平衡点+E 的雅克比行列式为，bkabc kc kabc ac a J −−−−=+2001容易得特征方程为02)()()(23=−−+−−+=abc ab bc c b a f λλλλ. 设参数所在集合为{}0|),,,(4<∈=abck R k c b a W ，此集合又可分为参数范围z E 附近的流形a c >ac z >C loc DW 1和Uloc DW 2ac z = C loc DW 2和U loc DW 1 ac z < S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1a c =ac z >发生Fold-Hopf 分支ac z = Cloc DW 3ac z < S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1a c < ac z >S loc DW 2和Uloc DW 1ac z = S loc DW 1和C loc DW 2 ac z <S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1{}{}{}，，，0,0,0|),,,(0,0,0|),,,(0,0|),,,(321><>∈=<>>∈=><∈=ac b k W k c b a W ac b k W k c b a W abc k W k c b a W 这其中3W 集合又可分为{}{}，，a c W k cb a W ac W k c b a W <∈=≥∈=|),,,(|),,,(332331 再进一步将32W 划分为.02|),,,(02|),,,(2|),,,(2|),,,(32432323323223232132⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−−−∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−−−<∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−>∈=c a ac c a W k c b a W c a ac c a b W k c b a W c a ac c a b W k c b a W c a ac c a b W k c b a W ，，，根据Routh-Hurwitz 判别准则结合韦达定理可以得出如下结论:定理 3.2.1 当参数1323121),,,(W W W W k c b a ∪∪∪∈时，±E 是不稳定的；而当参数432332),,,(W W k c b a ∪∈时，±E 是局部渐近稳定的.证明：由+J 的特征方程结合Hurwitz 判据可以得到，c b a H −−=1 ，abc a c b H a c b abcc b a H 2)()(1212+−=−−−−= .2200)(10223abcH abcc b a a c b abcc b a H −=−−−−−−−=当1),,,(W k c b a ∈时，有02<−abc ，容易知道32H H 和符号相反，不可能同时为正，因此±E 是不稳定的；当2),,,(W k c b a ∈时，有0,0<>ac b .若0,0><c a ，则01<−−=c b a H ，±E 是不稳定的；若0,0<>c a ，此时1H 正负未知，若1H 为负则±E 显然是不稳定的，若1H 为正，此时0,0,0<><−abc b a c ，可知02)(12<+−=abc a c b H H ，±E 是不稳定的. 当31),,,(W k c b a ∈时，有a c ac b ≥><,0,0.此时1H 正负未知，若1H 为负则±E 显然是不稳定的，若1H 为正，此时0,0,0<<>−abc b a c ，可知02)(12<+−=abc a c b H H ，±E 是不稳定的.当131),,,(W k c b a ∈时，此时ca acc a b abc b c a −−−><<>−2,0,0,0，我们将2H 展开可得0)]2()[(2<−−−−−=ca acc a b c a b H ，±E 是不稳定的. 当432332),,,(W W k c b a ∪∈时，此时ca acc a b abc b c a −−−<<<>−2,0,0,0，可以得到01>−−=c b a H ，02()[(2>−−−−−=ca acc a b c a b H ，0223>−=abcH H ，此时±E 是渐近稳定的. 证毕.由定理3.2.1也不难看出，当参数232),,,(W k c b a ∈时，系统（3-1）会发生分支行为，具体情形如下所述.定理3.2.2 当参数232),,,(W k c b a ∈，系统（3-1）会在+E 处经历Hopf 分支. 证明：当232),,,(W k c b a ∈时，易知系统（3-1）的特征方程有一个负实根ca ac−−=21λ 和一对共轭的纯虚根i ωλ±=32，，其中2)(2c a ac −−=ω.事实上，若参数满足ca acc a b −−−=2，那么()0Re 2=λ，进而 ().024)(1616]2)[()(4Re 2222222≠−−−+−−+−=ca acc a c a ac c a c a dbd ωωωωλ因此当232),,,(W k c b a ∈时，发生Hopf 分支的横截性条件成立.同时，()0Re 1<λ和i ωλ±=32，，其中0>ω，从而发生Hopf 分支的所有条件都成立.综上所述系统在+E 处发生Hopf 分支.证毕.。
iypt2023赛题解析
iypt2023赛题解析国际青少年物理学术研讨会（IYPT）是一项具有挑战性的物理学活动，在全球范围内激发年轻学生们对科学的探究热情，培养他们的创新能力。
每年，参加IYPT的学校都是由国际物理学联合会（IUPAP）委员会挑选出来的，因此所有参赛团队都需要以较高的水平准备好能够回答2023年赛题的解决方案，把赛题提出的科学问题转化为解决方法。
2023年IYPT的赛题将基于六大主题，包括：混沌系统的特性、惯性动力学、量子计算机、生物物理学、抗体与药物设计以及热力学与统计物理学。
来自希腊、捷克、英国、日本、瑞典、德国、美国、韩国等多个国家及地区的青少年将可以从六大主题中挑选任何一个与比赛有关的科学问题进行研究与探讨。
混沌系统的特性是本次IYPT的首先研究主题，它提出的科学问题可以是混沌系统中的动力学分析和控制水平，以及混沌性如何影响控制过程的实现等。
这一类问题可以通过采用数学模型，包括混沌方程和计算机模拟系统，来揭示特定混沌系统的行为规律，从而分析其输出信号的可预测性和可控性等问题。
第二个主题是惯性动力学，它可以解释由质点运动构成的系统和机械系统如何运行及其对外部力作用的反应。
此外，该主题还可以探究在一定惯性内动力学系统中质点的运动规律、运动状态和由此带来的改变、以及如何影响物理效应的问题。
第三个主题是量子计算机，可以用来研究在量子物理状态空间中实现可靠的信息处理和存储的技术。
它是一种新的计算机技术，它能够更有效地处理复杂问题，如机器学习、量子优化、量子化学研究等。
参赛队伍可以研究如何更有效地运用量子计算机来处理大量数据，以及量子技术在实际中的应用。
第四个主题是生物物理学，可以研究物质的超微结构，如细胞、DNA、蛋白质等的物理特性，以及它们之间的相互作用。
另外，参赛队伍还可以研究如何利用物理原理和技术来测量、分析以及预测生物系统行为，以探索特定生物系统功能的物理实现方式。
第五个主题是抗体与药物设计，它可以探讨如何设计出高效、安全的抗体与药物，以及它们如何在抵御疾病方面发挥作用。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。
近年来，随着非线性动力学理论的发展，混沌系统的研究受到了广泛的关注。
本文以两个典型的混沌系统为例，对其动力学行为进行深入分析，并探讨其系统控制与同步技术。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz混沌系统Lorenz混沌系统是一种经典的混沌系统，其动力学行为表现为对初值的敏感依赖性以及长期行为的不可预测性。
该系统的动力学方程包括三个一阶微分方程，通过对这些方程的求解和分析，可以揭示Lorenz系统的混沌特性。
（二）Chua's电路混沌系统Chua's电路混沌系统是一种电路形式的混沌系统，其动力学行为同样具有复杂性和不可预测性。
该系统的动力学方程包括非线性电阻和电容等元件的电压和电流关系，通过对这些关系的分析和求解，可以揭示Chua's电路的混沌特性。
三、系统控制与同步技术（一）控制技术针对混沌系统的控制技术，主要包括参数控制和外部扰动控制。
参数控制是通过调整系统的参数来改变其动力学行为，使其从混沌状态转变为周期状态或稳定状态。
外部扰动控制则是通过引入外部扰动信号来影响系统的状态，从而实现对混沌系统的控制。
（二）同步技术混沌系统的同步技术是实现多个混沌系统之间状态同步的一种方法。
常见的同步技术包括主从同步、自适应同步和基于观测器的同步等。
这些技术可以通过对系统状态的观测和调整，实现多个混沌系统之间的状态同步，从而实现对复杂系统的控制和优化。
四、实验研究为了验证上述理论分析的正确性，本文进行了实验研究。
首先，通过仿真实验对Lorenz系统和Chua's电路系统的动力学行为进行了分析和比较，得到了它们在不同参数下的行为变化规律。
然后，采用了参数控制和外部扰动控制的方法对这两个系统进行了控制实验，实现了对系统状态的调整和优化。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态在时间上表现出不可预测的、敏感依赖于初始条件的特性。
近年来，随着科技的不断进步和理论研究的深入，两个混沌系统的动力学分析、系统控制以及同步问题引起了众多研究者的广泛关注。
本文将对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的研究方法。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）第一个混沌系统本部分选取经典Lorenz混沌系统为例进行详细的动力学分析。
该系统通过一系列的数学公式，揭示了系统在一定的参数范围内如何展现出混沌行为。
通过对该系统的状态变量、控制参数及其变化的分析，了解其在相空间中的行为，进而预测和推断出系统在不同状态下的行为模式。
（二）第二个混沌系统第二个混沌系统则以Chua-Comellas混沌电路为例进行分析。
该电路通过非线性元件和电容、电感等元件构成，其动态行为呈现出混沌特性。
本文将通过电路的数学模型，分析其动力学特性，如分岔、周期轨道等，以及其与系统行为之间的关系。
三、系统控制研究针对两个混沌系统的控制问题，本文将探讨不同的控制策略和方法。
首先，将介绍基于反馈控制的策略，如线性反馈控制和非线性反馈控制等。
其次，将探讨基于智能算法的控制方法，如神经网络控制、模糊控制等。
这些方法旨在使混沌系统的行为变得可预测和可控，以便于实际工程应用中的使用。
四、同步问题的研究针对两个不同混沌系统的同步问题，本文将提出基于线性控制和基于非线性控制的同步方法。
首先，将介绍基于主从同步的思想，通过设计合适的控制器使两个混沌系统达到同步状态。
其次，将探讨基于自适应同步的方法，使两个不同特性的混沌系统在动态过程中实现同步。
此外，还将对同步的稳定性和性能进行评估，确保同步方法的可靠性和有效性。
五、实验验证与结果分析为了验证上述理论分析的正确性，本文将进行一系列的实验验证和结果分析。
首先，通过搭建Lorenz混沌系统和Chua-Comellas混沌电路的实验平台，观察和分析系统的动态行为。
动力系统控制中的双曲混沌系统研究
动力系统控制中的双曲混沌系统研究动力系统控制是一个具有广泛影响的交叉学科领域，涉及机器人、自动控制、信息技术和材料领域等多个方面，而双曲混沌系统在其中发挥了举足轻重的作用。
本文将探讨双曲混沌系统的相关内容以及动力系统控制中的实际应用。
首先，什么是双曲混沌系统？双曲混沌系统是一类具有双曲轨道的非线性动力系统，其特点是分岔结构、混沌性质、左右对称性和周期多样性。
由于其独特的性质，双曲混沌系统在科学研究中得到了广泛的应用，在控制领域，其研究尤为重要。
其次，如何控制双曲混沌系统？在理论探讨中，最常用的方法是控制李雅普诺夫指数。
控制李雅普诺夫指数在控制双曲混沌系统中具有广泛的应用，其通过调整系统参数和外控输入来实现对混沌系统的控制。
另外，基于神经网络的方法也被广泛应用于控制双曲混沌系统，其具有训练简单、鲁棒性好、适应性强等优点。
另外，在实际应用中，双曲混沌系统也有着广泛的应用前景。
在机器人控制领域，通过运用混沌控制理论，能够实现机器人的跟踪控制和避障控制等。
在通信领域，双曲混沌系统被应用于混沌扩频通信领域。
在图像处理中，双曲混沌系统还可用于图像加密、图像压缩等领域。
最后，双曲混沌系统在工程实践中也有着广泛的应用。
以仿真设计为例，为了获得更好的仿真效果，需要对混沌系统进行研究与控制。
此外，在实际环境下，如何控制双曲混沌系统也是非常重要的，可以通过实验等方式进行控制，以实现系统的稳定和精度提升。
总之，双曲混沌系统在动力系统控制中的应用是一个具有挑战性的问题，涉及到多个学科领域的交叉研究。
在未来的研究中，我们需要不断探索新的方法和技术，以推动双曲混沌系统在动力系统控制中的应用，为人类的进步做出更大的贡献。
混沌与复杂动力系统中的数学方法与应用
混沌与复杂动力系统中的数学方法与应用在现代科学和工程领域中，混沌与复杂动力系统的研究日益受到关注。
混沌指的是一种看似随机、无序而又具有确定性的行为模式，而复杂动力系统则是由多个相互作用的部分组成的系统，其整体行为难以通过简单的规律描述。
为了理解和控制这些系统，数学方法被广泛应用。
本文将介绍混沌与复杂动力系统中常用的数学方法，并探讨它们在实际应用中的作用。
一、非线性动力学与混沌理论在混沌与复杂动力系统的研究中，非线性动力学是一个基础的理论框架。
非线性动力学研究的是非线性系统，即系统的响应不满足线性关系。
非线性动力学理论提供了描述和分析非线性系统行为的数学方法，对于混沌现象的研究起到了重要的作用。
混沌现象最早由美国数学家洛伦兹在20世纪60年代提出，他发现即使是简单的非线性系统，也可能出现极其敏感的依赖于初始条件的行为。
这种行为被称为“蝴蝶效应”，即微小的初始差异可能导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论通过数学方法描述了这种复杂而又确定的行为，如迭代映射和微分方程。
二、分形几何与自相似性分形几何是混沌与复杂动力系统中常用的数学工具之一。
分形几何研究的是具有自相似性质的几何图形，即整体和部分之间存在相似的结构。
分形几何的概念由法国数学家曼德博特在20世纪70年代提出，他发现了一类具有无限细节的几何图形，这些图形在任意缩放下都保持自身的形状。
分形几何在混沌与复杂动力系统的研究中有着广泛的应用。
例如，分形维度可以用来描述混沌系统的奇异吸引子的几何结构。
此外，分形几何还可以用来分析复杂系统的空间分布和形态，为理解复杂系统提供了新的视角。
三、网络理论与复杂网络复杂网络是由大量节点和连接构成的网络结构，它在混沌与复杂动力系统的研究中扮演着重要的角色。
网络理论提供了描述和分析复杂网络的数学方法，可以揭示网络的拓扑结构、信息传播和动力学行为。
复杂网络的研究源于20世纪60年代的社会学领域，随着计算机科学和物理学的发展，复杂网络理论逐渐成为一个跨学科的研究领域。
《2024年基于超混沌系统的双向身份认证算法的研究》范文
《基于超混沌系统的双向身份认证算法的研究》篇一一、引言随着网络技术的发展，信息安全问题越来越受到人们的关注。
在众多的网络安全问题中，身份认证是最为基本也是最为关键的安全问题之一。
它主要是验证用户的真实身份，从而确定其是否有权访问某个资源或服务。
在现有的身份认证技术中，基于超混沌系统的双向身份认证算法因其高安全性和高可靠性而备受关注。
本文将就基于超混沌系统的双向身份认证算法展开研究，探讨其原理、实现方法及优势。
二、超混沌系统概述超混沌系统是一种具有多个正Lyapunov指数的混沌系统，其动力学行为比单一混沌系统更为复杂。
由于其具有高度的随机性、敏感依赖初始值等特点，超混沌系统在密码学中具有很高的应用价值。
利用超混沌系统产生的密钥流具有更好的随机性和抗攻击性，可以大大提高身份认证的安全性。
三、双向身份认证算法原理双向身份认证算法是一种在用户和服务器之间进行双向验证的算法。
在传统的身份认证中，通常只由服务器对用户进行验证，而双向身份认证则要求用户和服务器相互验证对方的身份。
这种双向验证机制可以有效地防止假冒攻击和中间人攻击等安全问题。
基于超混沌系统的双向身份认证算法主要包括以下几个步骤：1. 用户向服务器发送身份验证请求，并附带自己的身份信息；2. 服务器接收到请求后，利用超混沌系统生成一个随机密钥，并将该密钥与用户的身份信息一起发送给用户；3. 用户接收到密钥后，利用自己的超混沌系统生成与服务器相同的密钥，并用自己的私钥对密钥进行加密，然后将加密后的信息发回给服务器；4. 服务器接收到加密后的信息后，用自己的公钥进行解密，验证密钥的正确性；5. 如果密钥正确，则服务器确认用户的身份，并完成身份认证过程。
四、算法实现及优势基于超混沌系统的双向身份认证算法的实现需要涉及到密码学、混沌理论等多个领域的知识。
在实际应用中，需要结合具体的系统环境和需求进行设计和优化。
该算法的优势主要体现在以下几个方面：1. 高安全性：由于超混沌系统具有高度的随机性和敏感依赖初始值等特点，使得该算法产生的密钥具有很好的抗攻击性，可以有效防止各种攻击手段；2. 高可靠性：该算法采用双向验证机制，不仅可以验证用户的身份，还可以防止假冒攻击和中间人攻击等问题；3. 灵活性：该算法可以根据具体的系统环境和需求进行定制和优化，具有良好的灵活性和扩展性。
一双峰混沌系统非线性动力学行为
一双峰混沌系统非线性动力学行为1 双峰混沌系统双峰混沌系统是一个既复杂又现象多样的非线性动力学行为，本质上是一个多模型非线性体系。
其特性有：时变的，可复式地或拓扑的表示；无可忽视的初始态依赖；仰仗关系网失稳，易于发生混沌。
双峰混沌系统分布在各个领域，如社会动态过程，生物和化学动态过程，电子学，金融系统，气象学，甚至古气候过程。
2 时变特性双峰混沌系统具有时变特性，即牢固拓扑失稳具有时变性，这有利于研究双峰混沌奇点。
当物理系统运行时，系统性质是变化的，因此双峰混沌系统若想在这种时变的动力学环境中发挥其最大效用，则必须适应系统的改变并采取有效的控制措施。
3 双峰混沌特性双峰混沌系统具有许多特殊性质，如大量关系网，变化率不一（可以有很大的变化率或几乎没有变化率），再现性（不一定有），非完全可预测的行为，变化的拓扑，和多模态性等。
这些特性让双峰混沌系统引起人们的兴趣，促使研究者寻找和挖掘双峰混沌系统的新奥秘。
4 混沌模型双峰混沌系统的混沌模型是一个重要的研究工具，该模型可表达数学上的多重性，如参数多模型，多维度空间，多种系统状态等。
它还可以帮助我们理解双峰混沌性质，如光彻性，拓扑性，时变性，不可忽视的初始状态依赖性等。
5 双峰混沌的应用双峰混沌的应用涉及许多领域，比如金融领域，可用于交易市场的定量分析；气象领域，可用于气象预报；生物领域，可用于植物生长预测；生物化学领域，可用于大脑活动的定量分析；社会学领域，可用于探讨社会发展规律等。
总之，双峰混沌系统在各个领域均有着重要的作用。
6 总结双峰混沌系统是一种非线性动力学行为，具有特定的时变特性、双峰混沌特性和多模态特性，应用于许多领域，从而有助于解释现象多样的非线性系统行为。
双峰混沌系统的研究不断深化，在理解它的动力学原理，探索它的应用潜力、实用预测方法等等，仍然充满挑战性。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是物理学、数学和工程学等多个领域中研究的热点问题。
这些系统具有复杂的动态行为和不可预测性，对混沌系统的动力学分析和控制研究具有重要的理论和实践价值。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的方法。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz系统Lorenz系统是一种典型的混沌系统，其动力学行为表现为对初值敏感的依赖性。
该系统由三个一阶非线性微分方程组成，描述了一个流体在不稳定对流状态下的运动过程。
通过对Lorenz系统的动力学分析，可以了解其相空间结构、稳定性、周期轨道等基本特征。
（二）Chua-Complicated系统Chua-Complicated系统是另一个具有代表性的混沌系统，它由四个一阶非线性微分方程组成，常用于电路模型的研究。
该系统的动力学行为具有复杂的频率组成和拓扑结构，对其进行动力学分析可以更深入地理解其动态行为特征。
三、系统控制与同步方法（一）控制方法针对混沌系统的控制方法主要包括参数控制和外部扰动控制。
参数控制是通过调整系统参数来改变其动态行为，使其从混沌状态转变为周期状态或稳定状态。
外部扰动控制则是通过引入外部信号或能量来改变系统的状态，从而实现对混沌系统的控制。
（二）同步方法混沌系统的同步是指两个或多个混沌系统在一定的条件下，其动态行为达到某种程度的协调和一致性。
常见的同步方法包括主从同步法、自适应同步法、反馈同步法等。
这些方法可以通过调整系统的参数或引入适当的控制信号来实现混沌系统的同步。
四、两个混沌系统的控制与同步研究（一）Lorenz系统的控制与同步针对Lorenz系统的控制与同步研究，可以采用参数控制和外部扰动控制相结合的方法。
通过调整系统参数，可以改变其相空间结构，使其从混沌状态转变为周期状态或稳定状态。
同时，引入适当的外部扰动信号，可以进一步优化系统的动态行为，实现与目标状态的同步。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第37 "第# #杭州电子科技大学学报（自然科学版) 2017 年 11 月Journal of Hangzhou Dian2i University (Natural Sciences)Vol. 37 No. 6 Nov. 2017DOI：10. 13954/j. cnki. hdu. 2017. 06. 003双指数混沌系统的动力学分析及数字实现吴™，王光义(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018)摘要：为产生复杂的混沌伪随机信号，在经典的L o r e n z系统基础上，设计了含有双指数的混沌系统，其指数项的底数d可在一定范围内任意变化.对此混沌系统的一些基本动力学特性进行了理论分析和数值仿真，如平衡点、平衡点的稳定性、L y a p u n o v指数谱和分岔图等.利用D S P实现了该混沌系统，并对该系统的伪随机序列进行了 N I S T测试，结果表明与其它指数混沌系统相比，该系统产生的伪随机序列的随机性良好，在混沌加密应用中有着良好的前景.关键词：混沌；动力学特性；N I S T测试中图分类号：T N401文献标识码：A文章编号：1001-9146(2017)06-0009-05〇引言混沌现象的发现被称为第三次物理革命，它改变了确定性和随机性有分界线的说法[1].混沌系统主 要特点为内在随机性、初值敏感性及非规则有序性.其中前两种特性由其非线性项引起，并且非线性项 的选取影响着混沌系统动力学特性的复杂程度.混沌系统可以产生数字序列，其数字序列具有长周期、伪随机的特性，可广泛应用于保密通信和信息加密之中[2].其中混沌动力学特性越复杂，其混沌序列的 随机性就越好，密文的安全性就越高.因此，优良的混沌系统力求其数学结构简单，动力学特性复杂（].Lorenz混沌系统（]是第一个被发现的混沌模型，在混沌学的形成和发展中具有重要的参考价值.基于L o e n z系统的连续混沌系统设计主要分为两个方向，一种是将乘积项（巧，:r2，/)作为非线性项（]，另一种是将固定底数的指数项（典型的为e%e-S e=等）作为非线性项[6].非线性项决定了混沌系 统的复杂性（]，底数固定的指数非线性项（典型的为e%e'e=等），其复杂性比乘积非线性项（；y，：r2，y)的混沌系统复杂性更强.但底数固定的指数如自然指数其规律性强，使得其复杂性受到一定的限制.为此，本文提出了一个新的混沌系统，具有2个底数可变的指数(，，^2)，一方面提高了非线性函数的复杂性;另 一方面增加了一个可变的系统参数，扩展了参数空间和混沌序列的密钥空间，使其序列的安全性得以提高;更重要的是本文提出的系统提高了混沌序列的随机性能，其序列性能优于自然指数混沌系统.1 双指数混沌系统的构建本混沌系统的数学模型为:d：rd乙=ay E dzd乙=一尤 E ydz d乙cdx一+z(1)式中，状态变量分别为K，y，z，时间变量为.，系统参数a，+，c，d为实常数.当a= 10，+ = 3.5，c= 1.6,收稿日期！016-11-11基金项目：国家自然科学基金资助项目（60971046,61281230357);浙江省自然科学基金重点资助项目（L Z12F01001)作者简介：吴捃（987 —），女，山东枣庄人，硕士研究生，非线性电路与智能信息处理.通信作者：王光义教授，E-mail: w a n g g y i@163. com.10杭州电子科技大学学报（自然科学版"2017 年^ = 2.4,初始值（〇，30%〇]= [0. 01，0.01，0.01)时，系统产生单祸旋吸引子.通过Matlab仿真获得的混沛 时序和吸引子相图如图1所G，图1(a)为的时序图，图1(b)为相图，图1(c)为相图，图1(G) X I相图，可以 序的 光滑曲线，并不自 ，呈现复杂的结构纹路.图1混沌吸引子相图与时序图2 系统的理论证明和动力学特性分析2.1 耗散性及吸引子的存在性首先，从混沌系统的耗散性对系统！）进行动力学特性分析.系统的散度为%V= 1-b=-2 ' 0 (2)&X〇y dz系统 数形式dV/ck C e(1-b)，的过程中，所有包含系统的轨线的体积元以指数速率e(1-b)，混沌系统会演化到一 ，引子的存在.2.2 平衡点及其稳定性分析为了求系统的平衡点，令(a y E d z = 0"—x E y = 0(3)Ud x2—bz = 0当a = 10，b = 3.5，c = 1.6，d = 2.4 时，式（3)求解系统的平衡点 s = (—0. 150, 一0. 150,0. 466).系统在平衡点的Jacobian矩阵为#0 a d zlog(d)—110(4 )2cd(x )xlog(d)0 —b第#期吴捃，等：双指数混沌系统的动力学分析及数字实现11d d图2 Lyapunov 指数谱图3 分岔图由图3可以 ^参数的变化，当^ 0,3. 1]时，系统处于混沌状态，可以明显观察到3个期 ，此分岔图期分岔，系统从混沌状态期状态，当[3.1，3.8]时，系统|期期二，期期一.固定参数^ = 10，〔 = 1.6,6/ = 2.4，当系统的初始条件为（0.01，0.01，0.01)时，改变参数6，当6在 [1. 5,6.4]的 化时，系统的Lyapunov 指数 图4所示，状态 x 随参数^变化的分岔图如图5所示.图4 Lyapunov 指数图分图图4和图5可见，系统的Lyapunov 指数谱与分岔图所表现运行轨线的稳定与定一致，系统 期岔 期，期岔混沌，最后系统经期岔期.3混沌系统的数字化混沌系统产生的伪随机序列进行数字化处理，结合D S P 仿真实验，用到的实验仪器是TSM 320V C 5509A 数字信号处理器和ICETEK -V C 5509A 实验箱.首先采用欧 对此混沌系统产生的连续信号进行离散化处理，将式！）转化为#(x ^n ) = x (n — 1) E t (ay (n — 1) E dz )\ y {n ) = y (n — 1) E t ( — x (n — 1) E y (n — 1))lz (n ) = z (n — 1) E t (bz (n — 1) E cd x (n —1))(5)特征方程I J —AE | = 0，E •在平衡点s 处的特％ = 0. 450 3 E 3. 150 2z ，A )=0. 450 3 — 3. 150 2z ，A 3 =— 3. 400 5,由此可见A 1和A )是实部为正数的共辗复根，A3为负实根；根据Routh -Hurwitz 条件，平衡点s 定 点.2. 3Lyapunov 指数谱与分岔图当系统的初始条件为（0. 01，0. 01，0.01)时，固定参数a = 10，b = 3.5，c =1.6，改变参数d ，当d 在[2.0，. 8] 化时，系统（1)的Lyapunov 指数图2所示，状态x 随参数d 变化的分岔图图 3 所示 .ooooI X 11l x1X lx----------^12杭州电子科技大学学报（自然科学版"2017 年固定参数10, 1. #% = 3. 5, ^ = 2. 4,当系统的初始条件为（0. 01，0. 01，0. 01)时，取量化f = 0. 001，根据式（5)进行迭代求解得到混沌离散序列.D S P 实验程序编写在CCS下进行，并通过J T A G 下载到DSP ，利用模拟示波器进行，系统的时序图如图6(a )所示，混沌吸引子相图如图6(b ) —（d )所示，与图1中的M atlab 仿真图进行比较％参 数条件下，D S P 的仿真与M atlab 数值仿真合，验数混沌信号可进行数字化处理，并且产生的伪随机序列具有实际应用的可能.D S P 实验中所使用的仪器及实验现 口图 7 所 示 "4 指数混沌序列性能分析为研究本文构建的指数混沌系统在保密通信中性能是否良好，采用美国国家技术标准局NIST 的测试软件包S T S ，对混沌系统进行了一系列参数的，以便其离散化后的伪随机序列的详细随机特性.利用M atlab 编程 伪随机序列，采用〇deD 5函数对混沛方程进行积 ，初始x = 0. 01，^ =0.01，= 0.01，选取x 作为伪随机数，每次对x 进行量化，选取小数点后 第D、第5位、第6位、第7位、第8位的数字进行比较，大于等于5 伪随机序列文件写入“1”，小于5入“0”，得到伪随机序列文件chaos , txt ，然后对chaos , txt 进行NIST.生成伪随机序列总长度n = 1 000 000 000,对其进行分组处理，分组M = 1 000,每组序列长度N = 1 000 000. NIST 序列的均勻性与率，其P -valu :示序列的均勻性％SM = 1 000的情况下，P -value 的值大于0. 001序列的分布是均勻的，通过率Proportion 的值须大于0. 980 5.取自然指数混沌系统如下#E :—x E ((6)样的条件下，进行的 1所示，式（1)指数混沌序列具有良好的随机性，15项 ：均勻性 率，而式（6)所示的混沌系统产生的伪随机序列Serial 选项的均勻性和均勻性没有，数的混沌系统产生的序列优于自然指数混沌系统产生的序列，并且此混沌系统产生的伪随机序列的随机性，应用于信息加密和保密通信的大.d xd ^( dt第6期吴捃，等:双指数混沌系统的动力学分析及数字实现13表1指数混沌系统伪随机序列与自然指数系统的伪随机序列N IS T测试结果不固定底数的指数混沌自然指数混沌P-V A L U E P R O P O R T IO N P-V A L U E P R O P O R T IO N Frequency0.935 9080. 998 00.9203830.989 0 Block Frequency0.926 0690.99300.2178570.9920C um ulative Sum s0.501 3110.99200.4708560.9910R uns0.741 9180.99800.6123450.9910 L ongest R un0.844 6910.98100.8129050.9870 R an k0.9454900.99400.1223250.9860F F T0.0738720.98900.0248550.9790N onO verlapping T em p late0.9807550.99400.6537730.9880O verlapping T em p late0.3570000.99000.2622490.9880 U niversal0.8368330.98500.5564600.9910A pp rox im ate E ntropy0.7695270.98900.4446910.9160R an d om E xcursions0.9217040.99900.2317560.9867 R an d om E xcursions V ariant0.9217040.99900.3711010.9867 Serial0.4472570.99900.0000000.8930 Linear C om plexity0.9033380. 994 00.2622490.99105结束语本文设计了一个新的混沌系统，具有2个非线性项，且其指数项的底数可在一定范围内任意变化.通过数值仿真、平衡点求解与稳定性判断，对其分岔特性以及计算Lyapunov指数谱等动力学特性进行 分析，同时对此混沌系统进行了 DSP实验验证，DSP实验结果与数值仿真结果具有一致性.最后对此混 沌系统产生的伪随机序列进行N IST测试，分析结果显示，此混沌系统伪随机性优于自然指数的混沌系 统，可作为伪随机序列发生器的信号源，可应用于保密通信和信息加密中.参考文献[1]臧鸿雁，柴宏玉.一个二次多项式混沌系统的均匀化及其熵分析物理学报，2016,65(3)64-70.[2] Stankevich N V，K u z n etsov A P，P o p o v a E S，et al. Experimental diagnostics of multi-frequency quasiperiodicoscillations[J]. C o m m u n i c a t i o n s in Nonlinear Science h Numerical Simulation,2016 ?43 ：200-210.(]Lin X，Z h o u S，L i H.C h a o s and Synchronization in C o m p l e x Fractional-Order C h u a?s System[J]. C h a o s Solitons h Fractals,2016,39(4)：1595-1603.[4] Lorenz N. Deterministic Nonperiodic Flow. J. A t m o s.Sci[J]. Journal of the A t m o spheric Sciences，1962，20:130-141'[5] L e o n o v G A，K u z n etsov N V，K o r z h e m a n o v a N A，et a l.L y a p u n o v dimension formula for the global attractor of theLorenz system[J]. M a t h e m a t i c s，2015，41:84-103.[]袁方，王光义，靳培培.一种忆感器模型及其振荡器的动力学特性研究[J].物理学报，2015,64(21):210504.Dynamical Analysis and Digital Realization of a ChaoticSystem with Dual-exponentialW U J u n，W A N G G uangyi{School o$Electronic Information，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou Zhejiang 310018，China)A bstract； For generating complex chaotic pseudo random signals, based on Lorenz system，this paper designs a novel chaotic s ystem with two exponential terms，in which the base of exponential term d can be varied at a c ertain range. Some basic dynamical characteristics，such as equilibrium points，Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of this system，are analyzed simulated numerically. The proposed system is realized by DSP technology and tested by NIST criterion. Results show that proposed system possesses better randomness and complexity for its chaotic sequences compared with other exponent-based chaotic systems，and has good potential applications in chaotic encryptions.Keywords: chaos; dynamic；NIST test。