理论力学7_非线性动力学与混沌 讲义..
现代物理概论-第四章-非线性力学和混沌
（1）一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线 性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现 了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝 克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
（2）另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态 学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都 发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。 促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。 科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解 析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并 打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线 性系统的行为。
对混沌的研究是从对微分方程求解开始的。二十世纪初， 著名的法国数学家和理论天文学家庞加莱发现某些特殊的微 分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的 细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象。但 他的发现没有引起数学家和物理学家的重视。1963年，美国 气象学家洛仑兹在计算机上用他建立的微分方程模拟气象变 化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以 引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻说，在南半球 某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流几星期后 可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是天气的“蝴 蝶效应”。它的本质仍然是非现性耦合。洛仑兹的发现意味 着混沌理论的诞生。
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
第四章 非线性力学和混沌简介
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。 它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分 支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世 纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自 然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世 界的传统看法。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有 重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境 的利用也具有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论 和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的 重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的 思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
数学的非线性动力学
数学的非线性动力学数学的非线性动力学是一个引人入胜且具有重要意义的领域。
它研究的是非线性系统在时间上的演化规律和行为，涉及到动力学系统、混沌理论、分岔理论等方面，深刻揭示了自然界中普遍存在的复杂性和随机性现象。
本文将介绍非线性动力学的基本概念、研究方法和应用领域。
1. 动力学系统动力学系统是研究对象在时间上演化的数学模型。
非线性动力学研究的系统一般都是非线性的，即其演化规律不满足线性叠加原理。
这种非线性特性使得动力学系统的行为变得复杂多样，涌现出了许多有趣而深奥的现象。
2. 混沌理论混沌理论是非线性动力学的重要组成部分。
混沌现象指的是看似随机但又具有确定性的动力学系统行为。
非线性系统中的微小扰动可能导致系统演化出完全不同的轨迹，表现出非常敏感的依赖初始条件的特点。
混沌理论对于解释自然界中的复杂现象，如气象学中的天气预报、生物学中的人口动态等具有重要的应用价值。
3. 分岔理论分岔理论是非线性动力学研究的另一个重要方向。
它研究的是系统参数变化过程中出现的稳定点突变的现象。
通过调整系统的参数，非线性动力学系统可以从一个稳定状态转变为另一个稳定状态，这种相变行为称为分岔。
分岔理论帮助我们理解自然界中一些重要的现象，如物理学中的相变、力学中的杆的失稳等。
4. 应用领域非线性动力学在许多学科领域都有着广泛的应用。
例如，在经济学中，非线性动力学模型常常用于分析市场波动和经济周期；在生物学中，非线性动力学模型可以用于研究罕见疾病的发展机理和生物钟的调节机制；在物理学中，非线性动力学模型被广泛应用于描述粒子间的相互作用和地震的发生机制等。
5. 研究方法非线性动力学的研究方法主要包括数值模拟、解析方法和实验观测。
数值模拟方法通过计算机模拟系统的演化过程，可以得到系统的定性和定量的特征；解析方法则通过数学分析推导系统的解析解，揭示系统的特性和演化规律；实验观测方法通过实际观测系统的演化行为，验证理论模型的正确性。
总结：非线性动力学作为数学的一个重要分支，对于揭示复杂系统的行为规律和演化机制具有重要意义。
动力系统理论与混沌现象研究
动力系统理论与混沌现象研究混沌，这个词在我们的日常生活中并不陌生。
当我们听到“混沌”时，脑海中浮现出的是一种无序、不可预测的状态。
然而，混沌并不仅仅是一种表象，它是动力系统理论中一个重要的研究领域。
动力系统理论是数学中的一个分支，研究的是描述物体运动规律的数学模型。
它的基本假设是，物体的运动是由一组微分方程描述的。
通过解析这些微分方程，我们可以了解物体在不同条件下的运动轨迹和变化规律。
混沌现象是动力系统理论中的一个重要分支，它研究的是一类特殊的非线性动力系统，这些系统的特点是具有极其敏感的初始条件。
换句话说，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的结果。
混沌现象最早在20世纪60年代被发现，并在此后的几十年中得到了广泛的研究。
研究者们发现，混沌现象存在于许多自然界和人工系统中，如天气系统、金融市场、生物系统等。
这些系统的运动规律并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂、非周期性的行为。
混沌现象的研究对于我们理解自然界的复杂性和不确定性具有重要意义。
通过研究混沌现象，我们可以揭示系统内部的隐藏规律和结构，为科学家们提供了一种新的思考方式。
在混沌现象的研究中，一个重要的概念是“吸引子”。
吸引子是描述系统演化过程中的稳定状态的数学概念。
简单来说，吸引子可以看作是系统在长时间演化后的稳定轨迹。
不同的吸引子代表了系统在不同条件下的演化结果。
混沌现象的研究方法主要包括数值模拟和实验观测两种。
数值模拟是通过计算机模拟系统的运动规律，得到系统的演化轨迹和吸引子。
实验观测则是通过实际观测系统的运动行为，如测量物体的位置、速度等参数，来研究系统的演化规律。
混沌现象的研究不仅仅是一种理论探索，它还具有实际应用的价值。
例如，在金融市场中，混沌现象的研究可以帮助我们理解市场的波动和变化规律，从而制定更有效的投资策略。
在天气预报中，混沌现象的研究可以提高预报的准确性，帮助我们更好地应对自然灾害。
总之，动力系统理论与混沌现象的研究为我们揭示了自然界的复杂性和不确定性。
非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf
θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
非线性动力学混沌理论方法及其意义
非线性动力学混沌理论方法及其意义吴 彤(清华大学 科学技术与社会研究所,北京 100084) 摘 要:本文考察了非线性混沌的各类描述定义,研究了混沌的细致分类,讨论和研究了混沌特性以及判别混沌、寻找混沌征兆的方法,区别了混沌与噪声;对混沌理论的认识论和方法论意义进行了四方面的研究:混沌研究对复杂性研究的非线性方法论的意义,混沌和决定论与可预测性的关系,混沌边缘研究意义,建设和避免混沌的关系。
关键词:非线性;混沌;方法;可预测性中图分类号:F22410 文献标识码:A 文章编号:1000-0062(2000)03—0072-08 如果仔细考察人类在自己的生命演化过程中的关注,似乎有两个问题最重要,第一,如何预测未来,第二,是否能够预测未来,因果关系等问题均在此列。
第一个问题是实用性的,而第二个问题则是理论性的,它关系到一种原则和生活的意义。
20世纪中叶以后,当气象学家洛伦兹提出“蝴蝶效应”时,人们了解到,就是完全确定性的动力学方程,也仍然会出现随机性演化。
那么,如何预测未来呢?预测还可能吗?人们现在更害怕混沌理论打破他们对未来可预测性的幻想。
但是这种幻想实在是一种幻象。
其实,从休谟起,科学哲学对归纳问题本质的揭示已经对单一的决定论因果观念给出了不可能的回答。
有哪一个人知道自己的生命和生命之途将如何走向呢?哪一个生命的道路不是在生命演化过程中逐渐完成的呢?其实,宿命论与线性决定论的联系比与随机论的联系更强。
另一方面,也出现了相反的误读和误解。
人们以为,混沌理论如果正确,那么世界将完全不可预测。
似乎混沌理论助长了悲观主义。
其实,混沌理论的出现,一方面揭示了自然界和社会客观存在混沌,谁都无法避免;另一方面,混沌理论对混沌动力学系统的研究,恰恰帮助人们了解混沌现象,对“混沌”不混沌,才能处事(处世)不惊、不乱。
混沌理论在一定意上更支持了决定论,因为它把原来属于随机性的、偶然性的领域,也纳入到决定论的管辖范围内。
生物学中的混沌与非线性动力学研究
生物学中的混沌与非线性动力学研究生物学中的混沌现象，指生物体内的系统呈现出的不规则、无序、不可预测的动态行为，这种行为远非简单的线性或周期性的运动可以描述。
混沌理论揭示了非线性系统内在的动态行为，尤其在自然界中的复杂系统中应用广泛，如气候、地震、心电图、神经系统、生态学等。
在生物系统中，混沌现象的研究对于理解机体内部的信息传递、信号调控、生命活动的协调等方面有着重要的作用。
混沌现象最早是由埃德华·洛伦兹在1963年提出的。
他研究了黄石国家公园热泉中的对流现象，发现该系统表现出了不确定、无序以及无周期的动态行为。
在此基础上，洛伦兹建立了混沌理论，揭示了非线性系统中动态行为的本质。
混沌理论对于物理学、数学、生物学等学科都产生了重要的影响。
非线性动力学则是研究复杂系统运动行为的数学理论。
这种系统一般是由多个相互作用的元件构成，其行为与系统各个元件间的剧烈耦合效应密切相关。
这种理论揭示了复杂系统的统计规律性，如复杂系统内部的同步现象、周期运动、混沌现象等。
在生物系统中，混沌与非线性动力学的研究是相对新近的。
最初，拜诊断技术的发展，科学家们才发现在生命体内存在着不规则、无序的动态行为。
例如，心脏的电生理活动中，可发现一些明显不规则的动态行为。
后来，随着计算机技术的进展，人们逐渐意识到混沌现象与非线性动力学的重要性，开始将这些理论应用到生物学中。
一方面，混沌理论可以用于生物体内的信号处理。
大多数生物体内的信号并不是单一、确定的信号，而是由众多分量构成的复杂信号，难以精确地进行分析和处理。
但是，混沌理论可以通过相空间、吸引子等技术对这些信号进行有效处理，从而揭示信号的本质和规律。
另一方面，非线性动力学在生物学中也有着广泛的应用。
比如，在神经生物学中，人们使用非线性动力学对神经元的单电脉冲行为、节律强制振荡等进行研究，建立了一些实际应用价值的模型。
此外，在生态学中，非线性动力学也被广泛应用，用于模拟和预测生态系统内物种种群相互作用的规律性，对于生态环境的制定和调控具有一定的参考意义。
[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解
![[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/fc77ec380812a21614791711cc7931b765ce7b48.png)
朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭
• “《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两 个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微 分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年 则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑 沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大 量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守 系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是 决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学 摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣 1987, 第12页)
费格尔
（Herbert Feigl,1902-1988）说
“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B.
• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.
非线性动力学与混沌理论
非线性动力学和混沌理论非线性动力学随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。
非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。
非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。
事实上，这不是三个孤立的方面。
混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。
经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。
如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。
然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。
非线性动力学问题的解析解是很难求出的。
因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。
混沌理论是谁提出的？混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。
美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。
1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。
1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。
1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。
这就引起了数学物理界的广泛关注。
与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。
非线性动力学中的混沌现象_王兰芳
非线性动力学中的混沌现象王兰芳 (陕西工学院基础课部 汉中 723003)【摘 要】 本文论述了非线性动力学系统中的长期行为的不可预测性—即混沌现象和非线性系统的特征以及理解混沌的三个要点。
【关键词】 非线性动力学;混沌;初始条件【分类号】 O4本文收到时间:1996-01-19 作者:女 46岁 高级实验师1 前 言在大型计算机没有出现之前,由于解决非线性微分方程的技术条件还不成熟,人们多限于简单地、线性地、有规律地描述动力学问题。
牛顿力学系统一直被认为是确定性的,即认为一系统确定后,就能预测其任意一个时刻的运动状态,只要列出系统的运动方程,在条件给定后,其解是唯一的。
但在近二三十年里,人们发现非线性动力学系统中的长期行为的不可预测性—即混沌现象。
混沌的出现和混沌理论的研究,使物理界的人们更深刻地理解牛顿力学体系的内在含意。
2 非线性系统的特征某一个弹性非线性系统在运动过程中,其运动方程可表示为:X ″+ω20X =-αX ′-εX 3+F cos Ψt (1)这就是著名的Duffing 方程。
左边的第一项X ″为系统的运动加速度,第二项ω20X 为与位移X成正比的恢复力(f =-ω20X );右边的第一项αX ′为阻尼项,第二项εX 3体现了系统的非线性,第三项F cos Ψt 为强迫振动项。
解非线性方程(1)的过程是很复杂的,一般得不到精确的解。
下面我们采用多变量多R 度的近似解法来解(1)式,为了简化取掉阻尼项αX ′和强迫项F cos Ψt 后,(1)式变为:X ″+ω20X =-εX 3(2)取ω0=1,ε是微小量。
多变量多R 度法解方程的方法是:引入m +1个依赖于不同R 度的时间变量。
T m =εm t (m =0,1,2,…,m )(3)第i 个时间变量T i 依次比前一个变量T i -1随时间t 变化的速度减慢一个数量级。
那么非线1997年3月 第13卷第1期陕西工学院学报JOU RNA L OF SHAAN XI INST I T U T E OF T ECHNO LOG Y M arch .1997Vol .13 No .1性方程的解将取以下形式:X (t ;ε)=X (T 0,T 1,…,T m ;ε)=∑m -1m =0εmX m (T 0,T 1,…,T m )+O (ε,T m )O (ε,T m )为近似解∑m -1m =0εmX m (T 0,T 1,…,T m )的余项,m 取多少,则取决于需要近似到那一级。
混沌效应非线性混沌电路（精）
混沌效应一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌二、实验原理⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
X 0X A X B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。
k 从2.8增大到4。
⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。
它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。
图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
x f (x)
x (x1, x2 ,, xn ) f ( f1, f2 ,, fn )
❖(1) 设t=t0时方程的解为x0 (t0 )，t时为 x0 (t) ，另一受扰动而偏离它的
解t0时为x(t0 ) ， t时为x(t)。如果对于任意小的数 0，总有一小数 0 存在，使得当 x(t0) x0(t0) 时，必有 x(t) x0(t) ,t0 t
例1. x 2 t
x0 (0) 1
解： x(t) 2t 1 t 2 c 2
x0 (0)Leabharlann c 1x0 (t)2t
1 2
t2
1
x(0) x0(0) c 1
x(t) x0 (t) c 1
x0 (t) 是Lyapunov稳定的
例2. x t x
1阶，2维 n+1维自治
Duffing方程
mx x kx x3 F cos t
x1 x, x2 x x3 cos t, x4 x3
x1 x2
x2
k m
x1
m
x13
m
x2
F m
x3
xx34
x4 2 x3
一阶常微分方程组 xi fi (x1, x2 ,, xn )
i 1,2,, n
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安曲线图3电路的非线性动力学方程为:
11211( dVc C G Vc Vc gVc dt
=--
2212( L dVc C G Vc Vc i dt
=-+ 2Vc dt
di L L -=式中,导纳12V V G R R =+, 1C V和2C V分别表示加在1C和2C上的电压, L i表示流过电感器L的电流, g表示非线性电阻R的导纳。
1(x kx x -→
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统
1(1n n n x kx x -=+ , 0=n , 1, 2„
我们发现:①当k小于3时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时,随着k的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之为周期2循环; k继续增大会出现4, 8, 16, 32„周期倍化级联; ③很快k在58. 3左右就结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0~1的范围称为奇怪吸引子。
图5图6
图7实际非线性混沌电路图
混沌理论与动力系统
混沌理论与动力系统混沌理论与动力系统是现代科学中的两个重要概念，它们的研究涉及到多学科的交叉和合作。
混沌理论研究的是一种似乎没有规律可循的复杂现象，而动力系统则是研究物体或系统的运动行为，通过数学模型描述和分析其演化规律。
本文将探讨混沌理论与动力系统之间的关系，并介绍一些相关的研究成果和应用。
一、混沌理论的基本概念与特征混沌理论源于20世纪60年代的一系列研究，最初是应用于气象学和天体物理学领域。
它提出了一种新的动力学模型，用于描述当系统变量连续演化时可能出现的非周期性行为。
混沌的定义相对宽泛，一般指的是系统的演化过程中表现出的极度敏感性和随机性，即使初始条件略有差异，系统的演化轨迹也会迅速发生巨大的变化。
混沌现象具有以下几个特征：首先，混沌系统对初值非常敏感，微小的初始扰动可以引起系统演化轨迹的严重偏离。
其次，混沌系统的演化并不完全是没有规律的，而是存在一种隐含的确定性。
虽然混沌系统的行为看起来像是随机的，但其实是由一些确定性的非线性规律所决定的。
最后，混沌系统的演化呈现出无周期、无重复和无界限的性质，即系统的演化轨迹不会回到起始点，也没有确定的稳定状态。
二、动力系统的基本原理与应用动力系统是研究物体或系统运动行为的数学模型，它描述了物体在时间和空间上的变化规律。
动力系统的研究对象可以是天体运动、经济增长、生物演化等各种现象，其目的是通过建立数学模型，分析系统的行为和演化规律。
动力系统的基本原理是牛顿力学和微分方程理论。
根据这些理论，可以将动力系统分为两类：确定性动力系统和随机动力系统。
确定性动力系统是指系统的演化规律完全由数学模型所决定，并且在给定初始条件下具有确定的演化轨迹。
而随机动力系统则包含了随机因素，使得系统的演化不再完全可预测。
动力系统的研究在许多领域都有广泛的应用。
在物理学领域，动力系统的理论不仅用于解释和预测天体运动、粒子物理等现象，还被用于复杂系统的建模和仿真。
在经济学领域，动力系统的模型可以用于分析和预测经济增长、市场波动等现象。
数学专业的动力系统与混沌理论
数学专业的动力系统与混沌理论动力系统与混沌理论是数学中一个重要的研究领域，它研究的是随时间变化的系统的行为。
这个领域的研究对理论科学以及应用科学有着广泛的意义和深远的影响。
在本文中，我们将介绍数学专业的动力系统与混沌理论的基本概念和理论框架，并探讨其在科学研究与实际应用中的价值和作用。
一、动力系统的基本概念动力系统是指由一组规定的方程描述的物理系统或抽象系统，通过时间的推移而演化。
它可以是连续的或离散的，可以是确定性的或随机的。
动力系统关注的是系统的长期行为，即系统在演化过程中的稳定性和收敛性等性质。
在动力系统的研究中，我们常常会遇到一些重要的概念，比如稳定性、周期解和混沌等。
稳定性是指系统在微小扰动下的抗干扰能力。
对于一个稳定的动力系统，无论初始条件如何变动，系统都会最终趋于一个固定的解。
周期解是指系统在某个时间尺度上的重复行为，它可以是稳定的也可以是不稳定的。
混沌是指在动力系统中出现的看似随机的、高度敏感的、但又具有确定性的行为。
混沌现象的发现对于科学界来说是一次重要的突破，它改变了我们对复杂系统行为的认识。
二、混沌理论的发展与研究方法混沌理论的起源可以追溯到19世纪末，当时的科学家们对于天体运动和气象系统的行为产生了浓厚的兴趣。
然而，由于复杂性和非线性特征的存在，这些系统的行为很难用传统的数学方法描述和解释。
直到20世纪60年代以后，混沌现象的研究才逐渐引起了科学家们的广泛关注。
混沌理论的研究方法主要包括数值模拟和数学分析两种。
数值模拟是通过计算机模拟系统的演化过程，得到系统在时间上的行为。
数学分析则是通过构建合适的数学模型，通过解析和近似的方法研究系统的特性和性质。
这两种方法相辅相成，各有优势，在混沌理论的研究中都起着重要的作用。
三、混沌理论的应用领域混沌理论的研究不仅深化了我们对动力系统行为的理解，也找到了在各个研究领域中的实际应用。
在物理学领域，混沌理论被用来研究天体运动、涡旋生成和流体力学等问题；在生物学领域，混沌模型被应用于生物进化、心脏节律和神经元网络等研究中；在经济学领域，混沌理论提供了一种新的方法来解释市场波动和经济预测等问题。
非线性动力学-混沌
1975 年，美籍华人学者李天岩和美国数学家 J. A. Yorke 在《美国数学月刊》上发表了一篇震惊学术 界的论文 “周期三蕴含着混沌”[1], 第一次给出了混 沌的数学定义。
[1] T. Y. Li and J. A. Youke, Period 3 implies chaos, “The American Mathematical Monthly,” 1975, 82(10): 985-992. 8
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
6
In Chinese
中文诗（苏轼）：
斫得龙光竹两竿，持归岭北万人看。 竹中一滴曹溪水，涨起西江十八滩。
成语：
一着不慎，满盘皆输。 《礼记 ·经解》： 《易》曰 “君子慎始，差若毫厘，缪以千里。”
17
Lorenz Attractor
Lorenz attractor
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19
Chaotic Universe
20
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Early Solar System
Present Solar System
23
24
It appears that the essence of our universe is chaotic, isn’t it?
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The Birth of Chaos
To his surprise, the weather that the machine began to predict was completely different from the weather calculated before.
数学中的动力系统与混沌理论
动力系统是数学中一个重要的研究领域，它主要研究事物随时间的变化规律。
动力系统可分为线性动力系统和非线性动力系统两类，而混沌理论则是研究非线性动力系统中的混沌现象。
动力系统与混沌理论的研究对于深入理解自然界和人类社会中复杂的现象有着重要意义。
动力系统研究的核心问题是找到系统稳定状态和周期解，这主要通过求解非线性方程组和微分方程来实现。
其中最为重要的动力系统方程就是著名的洛雷兹方程。
洛雷兹方程描述了一个三维动力系统中的混沌现象，它的数值解表现出了不可预测的、高度复杂的运动轨迹。
例如，对于某些初始条件，在洛雷兹方程中的运动轨迹可以形成一片混沌的吸引子，即混沌现象。
这种混沌现象在自然界中广泛存在，如天气系统中的气旋、生态系统中的物种竞争等，而混沌理论则为理解这些复杂现象提供了一种重要的数学工具。
混沌理论的研究主要包括奇异吸引子、Lyapunov指数和分岔等内容。
奇异吸引子是非线性动力系统中一个重要的概念，它形状复杂且填满整个相空间。
Lyapunov指数则是刻画动力系统的敏感依赖性，它描述了系统对初值的微小变化的敏感程度。
当Lyapunov指数为正值时，系统具有混沌性质；而当Lyapunov指数为负值时，系统是渐近稳定的。
所谓分岔，则是指当系统参数发生微小变化时，系统动力学行为发生突变，从而产生新的动力学模式。
混沌理论的应用相当广泛。
在天气预测方面，混沌现象的非线性特性使得长期天气预测变得困难，因为微小的初始条件差异会导致完全不同的天气模式。
此外，混沌动力学还用于经济领域的金融市场预测、通信领域的密码系统设计以及生物学领域的神经网络模型等。
混沌理论的应用还在不断发展，为人类认识和掌握复杂系统提供了新的思路和方法。
总之，数学中的动力系统与混沌理论是研究事物随时间的变化规律的一个重要领域。
动力系统的研究帮助我们理解和预测自然界和人类社会中的许多复杂现象，而混沌理论则提供了一种数学工具，用于描述和分析非线性动力系统中的混沌现象。
数学中的动力系统与混沌理论
数学中的动力系统与混沌理论动力系统和混沌理论是数学中的两个重要分支，它们研究的是事物的运动规律和复杂性质。
动力系统研究的是系统随时间变化的演化规律和长期行为，而混沌理论则探讨的是看似随机但有内在规律的现象。
本文将介绍动力系统和混沌理论的基本概念、方法和应用领域。
一、动力系统的基本概念在数学中，动力系统是研究不断变化的物体或系统的数学模型。
它主要关注系统随时间变化的演化规律和长期行为。
动力系统可以分为离散动力系统和连续动力系统两种。
离散动力系统是指系统状态在离散的时间点上进行更新，即系统状态从一个时刻到下一个时刻发生突变。
连续动力系统则是指系统状态在连续的时间上进行变化，系统状态的变化是连续的。
动力系统的基本组成包括状态空间、状态变量和演化规律。
状态空间是描述系统可能状态的集合，状态变量是用来描述系统状态的数学量，演化规律则是描述系统状态变化的数学方程或规律。
二、混沌理论的基本概念混沌理论是研究看似随机但具有内在规律的系统行为的数学理论。
混沌现象具有灵敏依赖初值、迭代产生复杂轨迹和长期不确定性等特点。
混沌系统的基本特征是其演化轨迹对初值极其敏感。
微小的初始条件变化可能会导致系统的发展出现完全不同的轨迹，这就是所谓的“蝴蝶效应”。
混沌系统的轨迹通常表现出复杂、难以预测的特征。
混沌理论的核心概念是“吸引子”。
吸引子是一个系统状态的稳定集合，描述系统演化过程中的长期行为。
吸引子可以是一个点、一条轨道，甚至是一个分形结构。
三、动力系统与混沌理论的应用动力系统和混沌理论在许多科学领域都有广泛应用。
其中，天体力学、流体力学和生物学是应用动力系统和混沌理论较为典型的领域。
天体力学中的三体问题是动力系统研究的经典问题之一。
通过分析天体系统的演化规律，科学家们揭示了行星轨道、陨石带等天文现象的本质。
流体力学中的混沌现象在气象学、水力学等领域有重要应用。
通过研究流体系统的混沌特性，可以更好地理解和预测气候系统的行为，优化水力发电系统的设计等。
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x A cos(0t ) x1
A0 sin(0t ) x2 x
x2
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
• 1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。
• 1846年，海王星在预言的位置被发现。 • 日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
• 广义相对论，量子力学也是决定论的。
2. 力学决定论不断受到挑战
• 1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)，湍流实验。 （烟） • 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）， 三体问题，不存在统一的第一积分，混沌。 • 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz），天气预报， “蝴蝶效应” ：巴西热带雨林中一只蝴蝶扇一下翅膀， 两个星期后，就可能在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。
x1
时空轨迹 相图
阻尼弹簧振子 通解
2x x x
2 0
x Aet
2
1 x2 x 0 x 2 0 x1 2 x2 2
代入方程
2 0
2 0
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时
0 0
第七章. 非线性动力学与混沌 Chapter 7. Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@
吉林大学物理学院
参考书
• 刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994 • 林振山，《非线性力学与大气科学》，南京 大学出版社，1993 • 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂现 象》，气象出版社，1989
2阶，1维
1阶，2维
（2）非自治的 n维非自治
i 1 xi t , x
n+1维自治
例1：Duffing方程
x kx x3 F cost m x
x1 x, x2 x
x3 cost 3 x4 x
1 x2 x k 3 F 2 x1 x1 x2 x3 x m m m m x 3 x4 2 x4 x3 •
i , 02 2
阻尼弹簧振子
x1 x Ae
2
t t 2
cos(t )
t
Ae [ cos(t ) sin(t )] x2 x Ae
1
0.8
sin(t 0 )
• 混沌现象是矛盾的结合体
决定性与随机性 稳定与不稳定 有序和无序
三. 常微分方程的一般形式
1. 自治方程与非自治方程
F(x, x ) m x F(x, x , t) m x
2. 常微分方程一般形式
不显含时间，自治的 显含时间，非自治的
1 x2 x x1 x f ( x, x ) （1）自治的 x 2 f ( x1 , x2 ) x 1 x x2 x
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
定义：运动微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
kx m x kx 2 x 2 m x k 2 m x x
线性 非线性
非线性
二. 决定性系统与不可预测性
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
-0.4
相图
时空轨迹
0.6 0.4 0.2 0 -0.2
-0.6
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0.8 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式
0.235268 0.235
洛仑兹方程
10x 10 y x 28x y xz y z xy 8 z / 3
初值敏感演示
Duffing方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）
x kx x F cost m x
3
x10 1,
优点： 数值计算
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
i 1,2,, n
• 系统的状态
一阶常微分方程组
• 相空间
四. 相空间（相图）
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动 量（速度）张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态 的变化轨迹称为相图。 1 x2 x 2 2 弹簧振子 0 x x0 x 0 x1 2
1. 力学决定论及其伟大成就
F( x , x , t) x m x 0, x x 0 , x t t0
(t ) x(t ), x
存在且唯一， 可预测性
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组 成它的物体的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据 进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动 凝聚在一个公式中，没有什么事物是不确定的，将来就像 过去一样清晰地展现在眼前。 ——Laplace，法国数学家，（1749-1827）
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
1. 定态解
i 1,2,, n
x2
i 0 x
i 1,2,, n
初值敏感性
10 0 x 20 0 x20 1.000001 , x
不可预测性，混沌
不可预测性 = 客观世界的非决定论 ？
• 线性系统是特殊的、近似的 • 非线性系统是普遍的、本质的（ex:弹簧、单摆）
振动、流体力学、声学、光学、气象学、天文学 化学、生命学、生态学 经济学、金融学、社会学