高中数学第一章基本不等式和证明不等式的基本方法1.2比较法证不等式课件湘教版选修4-5
高中数学基本不等式 PPT
【变式2】 已知x>0,y>0,且x＋2y＋xy＝30,求xy得最大值、 解 由 x＋2y＋xy＝30，得 y＝320＋－xx (0<x<30)， xy＝302x＋－xx2＝－2＋x2＋2＋34x2＋x－64 ＝34－x＋2＋x＋642， 注意到(x＋2)＋x＋642≥2 x＋2·x＋642＝16， 可得 xy≤18，当且仅当 x＋2＝x＋642，即 x＝6 时等号成立．代 入 x＋2y＋xy＝30 中可得 y＝3.故 xy 的最大值为 18.
那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为
10 0200000a0＋b＝a＋2 b(元/片)；
乙公司两次购芯片的平均价格为
10
20 000 a000＋10
b000＝1a＋2 1b(元/片)．
∵a>0，b>0 且 a≠b，∴a＋2 b> ab，
1a＋1b>2
a1b＝ 2ab，∴1a＋2 1b< ab，
∴a＋2 b>1a＋2 1b，∴乙公司的平均成本比较低．
[思维启迪] 解答本题可灵活使用“1”得代换或对条件进 行必要得变形,再用基本不等式求得与得最小值、
解 法一 ∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16. 当且仅当yx＝9yx，又1x＋9y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．
故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16. 法二 由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)， 可 知 x ＞ 1 ， y ＞ 9 ， 而 x ＋ y ＝ (x － 1) ＋ (y － 9) ＋ 10≥2 x－1y－9＋10＝16. 所以当且仅当 x－1＝y－9＝3， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
基本不等式(课件)
比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本 不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等 式。
代入法
使用代入法证明基本不等 式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、 物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在 数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基 本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广 内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含 义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式 的解集。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1_2 基本不等式课件 新人教B版选修4-5
2 + 2 + 2+ 2
4
=
2 + 2
2
(当且仅当a=b 时等号成立).
≤ ≤
+
2
≤
(当且仅当a=b 时等号成立).
2 + 2
2
,
2
,
题型一
题型二
题型三
题型四
反思基本不等式有着重要的应用,在使用时还应记住重要的变
2
+
形公式.如 a,b 是正数,且 b≥a 时,a≤
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
4
= .
27
3
2
2
当且仅当 2x =1-x ,即 x= 时,等号成立.
3
2 3
2 3
∴y≤ 9 , 即ymax = 9 .
反思利用基本不等式解题时要注意考察“三要素”:(1)函数中的
相关项必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常
数;(3)当且仅当各项相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三
D.若 x≤0,则 2x+2-x≥2 2 ·2- = 2
解析:对于选项 A,当 ab>0 时,有 + ≥2;
对于选项 B,当 x>1,y>1 时,有 lg x+lg y≥2 lg·lg;
4
对于选项 C,当 x<0 时,有 x+ = − -故可排除选项 A,B,C,故选 D.
答案:D
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为 32x+3=32
湘教版高中数学选修4-5：不等式选讲-第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法 复习课件
2．(2017·天津卷)若 a，b∈R，ab＞0，则a4＋a4bb4＋1的最小 值为__________.
解析：∵a，b∈R，ab＞0， ∴a4＋a4bb4＋1≥4a2ab2b＋1＝4ab＋a1b≥2
4ab·a1b＝4，
a2＝2b2， 当且仅当4ab＝a1b，
即a2＝ 22，
＝
lg tlg 9－lg 8 lg 2×lg 3 >0.
∴2x>3y.
又
∵
2x
－
5z
＝
2lg t lg 2
－
5lg t lg 5
＝
lg t2lg 5－5lg 2 lg 2×lg 5
＝
lg tlg 25－lg 32 lg 2×lg 5 <0.
∴2x<5z.∴3y<2x<5z.
答案：D
3．若 a＝ln33，b＝ln22，则 a 与 b 的大小关系为__________.
谢谢
• [高考冲浪] • 1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2. • （1）求证：(a＋b)(a5＋b5)≥4. • （2）求证：a＋b≤2. 证明：（1） (a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋ b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
第1章 基本不等式和证明 不等式的基本方法 复习课件
知识网络
专题归纳
专题一：不等式的基本性质及实数的大小比较。
• [考情分析] • 1．利用不等式的基本性质判断不等式或有关结论
是否成立，利用不等式基本性质进行数值或代数式 大小的比较，常用到分类讨论的思想。 • 2．不等式的基本性质及应用是不等式的一个基础 内容，常以客观题形式呈现，难度不大。
高中数学 第一章 基本不等式和证明不等式的基本方法 1
教学意图
时间
一、组织教学，稳定课堂秩序
二、教学过程
Ⅰ.复习回顾：
前面，我们学习了比较两实数大小的方法，其主要依据是实数运算的符号法则，首先，我们作一简要的复习.
，
，
利用上述等价形式，也可证明不等式，这将是我们这一节学习的内容.Ⅱ.讲授新课： Nhomakorabea1.比较法：
要证明 ，只要证明 ；要证明 ，只要证明 ，这种证明不等式的方法，通常叫做比较法.我们通过具体的例子来熟悉比较法在证明不等式中的运用.
例3已知a，b是正数，且a≠b，求证
证明：
因为a，b是正数，所以a+b>0，
又因为a≠b，可知
∴
即
∴
说明：此题在证明过程中，采用了分组分解因式的方法，将差式变形为多个因式的积，然后由各个因式的正负得出因式乘积的正负，从而判断差值正负.
例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
2.例题讲解：
例1求证
证明：∵
=
= ≥
∴
说明：此题在证明的变形过程中，为了判断差式的正负，采用了配方法，使题中出现了 的形式，从而易于判断符号，作出结论.
例2已知a，b，m都是正数，并且 ，求证： .
证明：
因为a，b，m都是正数，且 ，所以
∴
即：
说明：此题在证明过程中采用了通分的手段，使差式变形为多个因式的积，从而使差式的正负得以判断.
∴ （其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
3.比较法证明不等式的步骤：
基本不等式的应用+课件--2024学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
1、对任意三个正实数，，，求证：
+ + ≥ + +
当且仅当 = = 时等号成立。
证明：因为，， > 0，由基本不等式，得：
+ ≥ 2 ， + ≥ 2 ， + ≥ 2
把上述三个式子的两边分别相加，得：2( + + ) ≥ 2( + + )
1
2
1
时等号成立
2
因此，当 = 时，函数取到最大值
1
2
典型例题
3、设，为正数，证明下列不等式：
1
（1） + ≥ 2；
（2）
+
≥ 2.
证明：（1）由基本不等式，得：
1
+
1
≥2 ∙ =2
1
当且仅当 = ，即 = 1时等号成立，所以原不等式成立。
（2）由基本不等式，得：
当且仅当
+
≥2
∙
=2
= ，即 = 时等号成立，所以原不等式成立。
4
拓 展 提 高
拓展提高
某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的
两端用半圆弧相连接。已知这块绿景观地带的内圈周长为400m，
当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
拓展提高
解：设平行线段长为m，半圆形直径为m，中间矩形区域面积为2
即
+ + ≥ + +
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1
>
������ ������2+1
,
故正确;对于选项
D,当 c=0 时不正确.
答案:C
【做一做2-2】 下列命题中正确的有
.
①若a>b,则ac2>bc2;
②若
������ ������2
>
������ ������2
,
则a>b;
③若
a>b,ab≠0,则
1 ������
<
1 ������
;
④若 a>b,c>d,则 ac>bd;
C.
������ ������2+1
>
������ ������2+1
D.a|c|>b|c|
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都
为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
确;对于选项
C,由
1 ������2+1
>
0,a>b,可知
������ ������2+1
(3) 加(减) 如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b⇔a+c>b+c
(4)
乘(除)
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc
(5) 乘方 如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N*,且 n≥2)
(6) 开方 如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N*,且 n≥2)
湘教版高中数学《等式与不等式》课件
分析
若食用碘盐的单价为x元，则销售的总收入为
2500
x 1 0.1
50
x元．
那么不等关系“销售的总收入不低于3000元”可以用不等式表示为
2500
x 1 0.1
50
x
≥3000
一 等式与不等式
为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质做必要的了解． 我们知道，实数可以比较大小．如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应 两个不同的实数a与b，那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大（如 图2.1-3）．
一 等式与不等式
一 等式与不等式
现实世界中，既有大量的相等关系，又广泛地存在着不等关系．在方程的 学习中，我们学会了用相等关系解决生活中的诸多问题．同样地，可以用不等 式刻画现实世界中的数量关系．相等关系更多地刻画“静态的数量关系”，而 不等关系经常用来刻画“动态的数量关系”.
在日常生活中，我们经常用大与小、重与轻、长与短、高与矮、不低于或 不超过等来描述客观对象在数量上的不等关系．
一 等式与不等式
例 1 比较(x+1)(x+3)与(x+2)2的大小． 解 因为 (x+1)(x+3)－(x+2)2
=(x2+4x+3)－(x2+4x+4) =－1<0， 所以 (x+1)(x+3)<(x+2)2 ．
一 等式与不等式
例 2 a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a>b>0，m>0)，生活常识告 诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一 个不等式吗？试给出证明.
(3)若a＞b，且c＞d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1
——教学资料参考参考范本——高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1______年______月______日____________________部门[读教材·填要点]1．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．2．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[对应学生用书P21]用反证法证明否定性结论[例1] 设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.[思路点拨] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析] 假设4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有a(1－b)＞，b(1－c)＞，c(1－d)＞，d(1－a)＞.∴＞，＞，＞，＞.又∵≤，≤，≤，≤，∴＞，＞，c＋1－d＞，＞.2将上面各式相加得2＞2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N＋)，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.用反证法证明“至多”、“至少”型命题[例2]若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析] 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3∴π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)≥0∴a＋b＋c>0这与a＋b＋c≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd>1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数.用放缩法证明不等式[例3] 求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N*且n≥2)．[思路点拨]本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[精解详析] ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，∴＜＜.即－＜＜－(k∈N＋且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得1－＜＜1－，－＜＜－，2…1－＜＜－，将这些不等式相加得n1－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，2即－＜＋＋…＋＜1－.∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－.即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)成立．(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a<b，可换成证a<c且c<b.(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：2＋＞2；将分子或分母放大(缩小)：＜，＞1，＜，＞(k∈R，k＞1)等．3．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.证明：由2n≥n＋k≥n(k＝1,2…，n)，得≤<.当k＝1时，≤<；当k＝2时，≤<；…当k＝n时，≤<，∴＝≤＋＋…＋<＝1.[对应学生用书P23]一、选择题1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．答案：D2．设M ＝＋＋＋…＋，则( ) A ．M ＝1 B ．M<1 C ．M>1D ．M 与1大小关系不定解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝＋＋＋…＋1211－1<＝1.101010102111···222+++个答案：B3．设a ，b ，c∈(－∞，0)，则三数a ＋，b ＋，c ＋的值( ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋＞－6，∵a，b，c＜0，∴a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，∴a＋＋b＋＋c＋≤－6，这与假设矛盾，则选C.答案：C4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a>2)，则( )A．p>q B．p<qC．p≥q D．p≤q解析：∵p＝(a－2)＋＋2，又a－2>0，∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，由a>2，可得q<4，∴p>q.答案：A二、填空题5．给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以上两种说法正确的是________．解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①错误；对于②，其假设正确．答案：②6．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条7．A ＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________． 解析：A ＝＋＋＋…＋≥＝＝.111++?··+n n n n项答案：A≥n8．设a>0，b>0，M ＝，N ＝＋，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a>0，b>0， ∴N ＝＋>＋ ＝＝M. ∴M<N. 答案：M<N 三、解答题9．已知0<x<2,0<y<2,0<z<2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.证明：法一：假设x(2－y)>1且y(2－z)>1且z(2－x)>1均成立， 则三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.①由于0<x<2，∴0＜x(2－x)＝－x2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1.同理：0＜y(2－y)≤1，且0＜z(2－z)≤1，∴三式相乘得：0<xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1② ②与①矛盾，故假设不成立．∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.法二：假设x(2－y)＞1且y(2－z)＞1且z(2－x)＞1. ∴＋＋＞3.③又＋＋≤＋＋＝3④④与③矛盾，故假设不成立，∴原题设结论成立．10．已知实数x 、y 、z 不全为零，求证： ＋ ＋ >(x ＋y ＋z)． 证明：x2＋xy＋y2＝ ≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋y 22 ＝|x ＋|≥x＋.同理可得：≥y＋，z2＋zx＋x2≥z＋.由于x 、y 、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：x2＋xy＋y2＋＋>＋＋＝(x ＋y ＋z)．11．设数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，Sn ＝nan －2n(n －1)．(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)设数列的前n 项和为Tn ，求证：≤Tn<.解：(1)由Sn ＝nan －2n(n －1)得an ＋1＝Sn ＋1－Sn ＝(n ＋1)an ＋1－nan －4n ， 即an ＋1－an ＝4.∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴an ＝4n －3.(2)证明：Tn ＝＋＋…＋1anan＋1 ＝＋＋＋…＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n－3－14n＋1＝<.又易知Tn 单调递增，故Tn≥T1＝，得≤Tn<.。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件2.1.2基本不等式
(+1)
所以 -1 的最小值为
2 2+3.
学以致用·随堂检测促达标
1 2 3 4 5
1.下列说法正确的个数是( B )
①a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0;
②a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;
③a+b≥2 成立的条件是 a≥0,b≥0;
④a+b≥2 成立的条件是 ab>0.
.
(x>0,a>0),
时等号成立,此时
2
时,4x+ 的最小值为
a=36.
36
4 ,
4x+ 取得最小值
4 .
+
2
≥a+b
2
a≥2b- ,
2
b≥2a- ,
3
2.已知x>0,求y=x+ 的最小值,并说明x为何值时y取得最小值.
解 因为 x>0,所以
当且仅当
3
x= 且
3
y=x+ ≥2
3
· =2
3,
x>0,即 x= 3时等号成立,即当 x= 3时,y 取得最小值 2 3.
重难探究·能力素养速提升
大(小)值,则可将要求的式子看成一个函数,利用函数求最大(小)值.
变式训练2
设
(+1)
x≥2,求 -1 的最小值.
解 由题意,设 t=x-1(t≥1),则 x=t+1,
(+1)
则 -1
=
当且仅当
(+1)(+2)
2
t= ,即
湘教版高中数学《基本不等式》教学课件
返
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目
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6
课后延伸
6
课后延伸
基本不等式.
定理 对任意 a, b R ，必有 a 2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
+
推论 对任意, ≥ 0，必有
2
≥ ，当且仅当 a b 时等号成立.
6
课后延伸
通过本节课的学习，你对基本不等式有怎样的认识？你能归纳一下基本不等
3
归纳探索
问题 2 特别地，用 ， 分别代替猜想 1 中的 a,b 可以得到什么？
+
猜想 2 对任意, ≥ 0，必有
2
≥ ，当且仅当 a b 时等号成立.
返
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目
录
3
归纳探索
问题 3 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．
返
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目
录
3
归纳探索
问题 3 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．
一元二次函数、方程和不等式
——2.1.2 基本不等式
务
2
3
创设情景
归纳探索
4
5
例题讲解
课堂练习
6
课后延伸
1
课前任务
1
课堂任务
请同学们回忆一下，在前面的学习中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出
了什么不等关系.
2
创设情景
2
创设情景
在前面的学习中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出一个不等关系:
ab
为 a, b 的算术平
2
均数
+
基本不等式
2
≥ 又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
湘教版高中数学《等式与不等式》教学课件
a<b ⇔ − < 0
2
不等式的基本性质（一）
例1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小
解： (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a2- 2a- 15)-(a2-2a-8)
=- 7
<0
∴ (a+3)(a-5) <(a+2)(a-4)
2
不等式的基本性质
——2.1.1 等式与不等式
1
CONTENTS
目
录
课堂任务
2
3
创设情景
归纳探索
4
5
例题讲解
课堂练习
6
课后延伸
1
课前任务
1
课堂任务
你认识下面的交通标志吗？
v≤60
h≤3.5
M≤10
1
课堂任务
问题1
a2+b2>2ab
1
课堂任务
问题2 某商店食用碘盐以单价1元销售,可以卖出2500袋.据市场调查，若
>
.
3
不等式的基本性质（二）
小结
不等式的几条性质及其推论，
作差比较法。
返
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目
录
(2) (x2-1)与x4 -x2 +1
(3) x2+y2 +1与2(x+y-1)
与 的大小.
−1 −1
2.若a<b<1，比较
2
不等式的基本性质（一）
小 结
作差比较法：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式
最新湘教版高中数学《基本不等式》同步课件
一 基本不等式
在2.1.1节问题1中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当a≠b时，a2+b2>2ab． 不 难 发 现 ， 当 图 2.1-2(3) 中 E ， F ， G ， H 四 点 重 合 ， 即 a=b 时 ， 有 a2+b2=2ab．而且，我们可用作差比较法给出如下证明：
一 基本不等式
一般地，对于正数a,b，我们把 a b 称为a，b的算术平均数， ab 称为a，b的 2
几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
一 基本不等式
例 5 设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)
a+
1 a
≥2；
1
(2)
b a
a b
≥2
．
证明 (1)因为a，a 均为正数，由基本不等式，得
(a2+b2)－2ab=(a－b)2≥0.
一 基本不等式
据此，可得到如下定理: 定理 对任意a，b∈R，必有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.
特别地，当a≥0，b≥0时，用 a ， b 分别代替定理中的a，b可得： 推论 对任意a，b≥0，必有 a b≥ ab ，当且仅当a=b时等号成立. 2
(1) 4，16； (2) 3，12； (3) 1，4a2； (4) 5a，5a. 2. 已知a，b，c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 3. 设a，b为正实数，求证：(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3. 4. 求函数y＝(1＋x)·x2·(1－x)(0≤x≤1)的最大值．
返 回 目 录
结束
一 基本不等式
高中数学 第一章 基本不等式和证明不等式的基本方法 1
1.2 比较法证不等式本次授课目的与要求：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学方法：启发与诱导、讲练结合。
教具、挂图：多媒体、实物投影仪。
考核（或提问）：1、不等式的一个等价命题。
2、比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论。
复习旧知识要点：不等式的概念。
新课难点、重点与解决措施：1、重点：不等式的常用证明方法之一——比较法；2、难点：熟练地运用作差、作商比较法证明不等式；3、解决措施：启发诱导、精讲多练。
教学过程：一、 引入新课：（一） 、复习：1．不等式的一个等价命题2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论（二）、作差法：（P13—14）1． 求证：x 2 + 3 > 3x证：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 2． 已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：ba mb m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？ 3． 已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3)= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3)= (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 24． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则：21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn nm S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=-∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2从而：甲先到到达指定地点。
高中数学 第一章 基本不等式和证明不等式的基本方法 1
1.1 实数可以比较大小【教学目标】1．知识目标：理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小．2．能力目标：从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．情感目标：培养学生勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单化也是我们着意培养的一种优秀的思维品质．【教学重点】理解实数的大小的基本性质，初步学习作差比较的思想．【教学难点】用作差比较法比较两个代数式的大小．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．从关注数字的大小入手，引导学生学习用作差比较法来比较两个实数、代数式的大小．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握作差比较法．【教学过程】问题导入：研究实数与数轴上的点的对应关系观察：实数与数轴上的点的关系是怎样的？点A 对应的实数与点B 对应的实数各是多少？哪个大？点 P 从左向右移动，对应实数大小的变化．讲授新课：数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大．a ＞b ⇔ a －b ＞0a ＝b ⇔ a －b ＝0a ＜b ⇔ a －b ＜0 x 0 12 3 －1 －2 A B P含有不等号(＜，＞，≤，≥，≠)的式子，叫做不等式．例1 比较下列各组中两个实数的大小：(1) －3和－4；(2) 67和56；(3) －711和－1017；(4) 12.3和1213．解(1)因为(－3)－(－4)＝－3＋4＝1＞0，所以－3＞－4；(2)因为67－56＝3642－3542＝142＞0，所以67＞56．例2对任意实数x，比较(x＋1)(x＋2)与(x－3)(x＋6)的大小．解因为 (x＋1)(x＋2)－(x－3)(x＋6)＝(x2＋3x＋2)－(x2＋3x－18)＝20＞0．所以 (x＋1)(x＋2)＞(x－3)(x＋6)．练习1(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；(2)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2 的大小．例3 比较(x2＋1)2 与x4＋x2＋1 的大小．解因为 (x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－x4－x2－1＝x2≥0，所以 (x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时，等式成立．练习2(1)比较 2 x2＋3 x＋4 和x2＋3 x＋3 的大小；(2)比较 (x＋1)2 和 2 x＋1的大小小结与复习：作差法的步骤：作差→变形→定号(与0比较大小) →结论．作业设计：必做题：教材 P 33，练习 A 组第 3 题；选做题：教材 P 34，练习 B 组第 2 (2)(5)(6)题．。
高中教育数学必修第一册湘教版《2.1.2 基本不等式》教学课件
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 ab
C．1a
+
1＞
b
2 ab
D．ba + ba≥2
答案：D
解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，
b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba＞0，ba＞0，所以ba + ba≥2
a+b 2
2
B．不能判断p的真假
C．p是假命题
D．p是真命题
答案：C
2．下列命题中正确的是( )
A．当a，b∈R时，ba + ba≥2
a b
·
ba＝2
B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)
1+1
ab
≥4
C．当a＞4时，a＋9a≥2 a · 9a＝6 D．当a＞0，b＞0时，a2+abb ≥ ab
答案：B
5．设a>0，b>0，证明：ba2 + ab2≥a＋b.
证明：∵a>0，b>0，∴ba2＋a≥2b，ab2＋b≥2a，∴ba2 + ab2≥a＋b.
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当a，b同号时，ba + ba≥2.( √ ) (2)函数y＝x＋1x的最小值为2.( × ) (3)6和8的几何平均数为2 3.( × ) (4)不等式a2＋b2≥2ab与 ab ≤ a+2b有相同的适用范围．( × )
2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是( )
∴ab2＋b≥ 2
a2 b
·
b＝2a，
当且仅当ab2＝b时等号成立．
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例2 如 果 用a k g白 糖 制 出 b k g糖 溶 液, 则 其 浓 度 为a.若 在 上 述 溶 液 中 再m添k加 g白 糖,此 时
b 浓 液 的 浓 度 增 加a 到m,将 这 个 事 实 抽 象 为 数
bm 学 问 题,并 给 出 证.明
分析显然 ,a,b,m都是正 ,而数 且 ab.生活经验告 诉我,在 们已有的糖溶 ,溶液液中的加浓糖 .度增
解 可以把上述事实 如抽 下象 不成 等式 : 问
已知 a,b,m都是正,并 数且 ab,则ama. bm b
下面给出证明 .
将不等式两边相减,得
a b
m m
a b
bmbbma.
因a为 b,所b以 a0;又因 a,b,m 为 都是, 正
所m 以 ba0,bbm0.
所b m b 以 b m a 0 ,即 b a m m b a0 ,
第一章 基本不等式和证明不等式 的基本方法
• 1.2 比较法证不等式
一、复习
证明不等式的方法有那些？比较法 的步骤是什么？
前面已经学习了一些证明不等的式方法. 我们知道,关于数的大小的基本实事、不 等式的基本性质、基本不等式以及绝对 值不等式| x | a和| x | a的解集的规律等, 都可以作为证明不等的式出发点.本讲中, 我们进一步学习证明等不式的基本方法.
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
• 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。
分 析由 于a,b是 正 数 ,所 以 不 等 式 两 边 都 是 数.由 于 要 证 的 不 等都 式是 两指 边数 形 ,把式它 们 相 除 并 考 察 商 1的式大与小 关 系 比 较 . 方 便
证明 将不等式两边相除,得
aabb abba
aab bba
a
ab
.
b
根据要证的不等 点(式 交的 换 a,b特 的位,置
二、学习目标
1、理解并掌握证明不等式的基本方法---比 较法;
2、会用比较法证明不等式.
三、尝试学习
思考一：已知 a,b 是正数，且a b，求证：a3 b3 a2b ab2
尝试 1：作差比较，作差——变形——定符号
根据 a－b>0 a>b，欲证 a>b 只需证 a－b>0.
证明：∵ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) = a2 (a b) b2 (a b) = (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
所以ama. bm b
除 了 把 不 等 式 两 边,通 相 过 减 比较 差 与0 的 大 小 来 证 明 不 等,有 工时 外也 通 过 把 不 等 式 两 边 相,转 除化 为 证 明 所 得 的与商 式 1的大小关. 系
例 3已a知 ,b是 正 ,求数 a证 abbabba,当 且 仅 当 ab时 ,等 号. 成 立
不等式不 ),不变妨a设 b0,于是
a 1,ab0. b
所以aab 1,当且仅当 b
a b时,等号成立 .
所a以 abbabba,当且 a 仅 b时 ,等 当号 . 成
(2)作商比较法
例 3已a知 ,b是 正 ,求数 a证 abbabba, 当且a仅 b时 ,当 等号. 成立
证:明 a ab ab bb的特 位,不 置等式)不
不妨a设 b0,则a1,ab0,aab1
b
b
当且仅 a当 b时,等号成 . 立
aabbabba,当且a 仅 b时 ,等 当号. 成立
（二）巩固练习
比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1） x 2 与 x2 x1 ；
（2） x2 x1与 (x 1)2 .