2018年高中数学必修五达标练习：第2章 §1-1.1 正弦定理
2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 1.1 正弦定理二 精品
1.1 正弦定理(二)学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用两边夹角求三角形面积．知识点一 正弦定理的常见变形 1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝____________； 2.a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________； 3．a ＝________，b ＝________，c ＝________； 4．sin A ＝________，sin B ＝________，sin C ＝________. 知识点二 判断三角形解的个数思考1 在△ABC 中，a ＝9，b ＝10，A ＝60°，判断三角形解的个数． 梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一． 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可求得sin B ＝b sin Aa.在由sin B 求B 时，如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一；如果a <b ，则有A <B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个．思考2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？ 梳理 解三角形4个基本类型：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两边及其一边对角；④已知一边两角． 其中只有类型③解的个数不确定． 知识点三 三角形面积公式的拓展思考 如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？梳理 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12bc sinA ＝12ac sin B .类型一 判断三角形解的个数 引申探究例1中b ＝28 cm ，A ＝40°不变，当边a 在什么范围内取值时，△ABC 有两解(范围中保留sin 40°)?例1 在△ABC 中，已知a ＝20 cm ，b ＝28 cm ，A ＝40°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1 cm)反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1 已知三角形中a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．类型二 利用正弦定理求最值或取值范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题． 跟踪训练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求cb 的取值范围．类型三 三角形面积公式的应用 命题角度1 已知边角求面积例3 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，求△ABC 的面积．反思与感悟 三角形面积公式S ＝12ab sin C ，S ＝12bc sin A ，S ＝12ac sin B 中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．跟踪训练3 在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A.22 B.24 C.32 D.3＋14命题角度2 给出面积求边角例4 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则AC 的长为________． 反思与感悟 利用三角形两边夹角表示的三角形面积公式有3个，到底选择哪一个，要看题目给出的条件和解题目标．跟踪训练4 已知锐角三角形ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( ) A ．45° B ．30° C ．75°D ．90°2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝________.1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．答案精析问题导学 知识点一1．a ∶b ∶c 2.2R 3.2R sin A 2R sin B 2R sin C 4.a 2R b 2R c2R知识点二思考1 解 sin B ＝b a sin A ＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°， 也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．思考2 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题． 知识点三思考 △ABC 中，如果已知边AB 、BC 和角B ，边BC 上的高记为h a ，则h a ＝AB sin B ．从而可求面积． 题型探究例1 解 根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝28sin 40°20≈0.899 9.因为0°<B <180°，且b >a ，B >A ， (1)当B ≈64°时，C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(40°＋64°)＝76°， c ＝a sin C sin A ＝20sin 76°sin 40°≈30(cm)．(2)当B ≈116°时，C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(40°＋116°)＝24°， c ＝a sin C sin A ＝20sin 24°sin 40°≈13(cm)．综上，B ≈64°，C ≈76°，c ≈30 cm 或B ≈116°，C ≈24°，c ≈13 cm. 引申探究解 如图，∠A ＝40°，CD ⊥AD .AC ＝28 cm ，以C 为圆心，a 为半径画圆弧， 当CD ＜a ＜AC ，即b sin A ＜a ＜b ， 28sin 40°＜a ＜28时，△ABC 有两解(△AB 1C ，△AB 2C 均满足题设)． 跟踪训练1 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，b sin A ＜a ＜b ， 所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，因为b >a ，B >A ，B ∈(0°，180°)， 所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝ 43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝4 3 或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 例2 解 ∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ， 又∵A ∈(0，π2)，sin A ≠0，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin []π－(B ＋A ) ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 由锐角△ABC 知， π2－B <A <π2，∴π3<A <π2. ∵2π3<A ＋π3<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，32.跟踪训练2 解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ， 所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1，所以1<2cos B <2，又c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ， 所以1<cb<2.例3 解 由正弦定理，得1sin 30°＝3sin C ，∴sin C ＝32. ∵0°<C <180°，AB >AC ，∴C >B ， ∴C ＝60°或120°. ①当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12×3×1＝32；②当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.跟踪训练3 D [B ＝180°－A －C ＝180°－30°－45°＝105°， 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝112×6＋24＝6＋22，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×6＋22×sin 45°＝3＋14.]例4 1 跟踪训练4 B 当堂训练 1．C 2.B 3.32。
新高中数学(北师大版)必修五同步练习：2-1-1正弦定理(含答案解析)
1.1正弦定理双基达标限时20 分钟1．以下对三角形解的状况的判断中，正确的选项是()．A ． a＝ 4， b＝ 5， A ＝ 30°，有一解B．a＝ 5， b＝4， A ＝ 60°，有两解C．a＝3， b＝2， B＝ 120 °，有一解D． a＝3， b＝6， A ＝ 60°，无解分析关于 A ， bsin A<a<b ，故有两解；关于 B ， b<a，故有一解；关于C， B＝ 120°且a>b，故无解；关于D， a<bsin A ，故无解．答案D2．相关正弦定理的表达：①正弦定理只合用于锐角三角形；②正弦定理不合用于直角三角形；③在某一确立的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是必定值；④在△ABC中，sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ a∶b∶ c.此中正确的个数是()．A ． 1B． 2C． 3D． 4分析正弦定理合用于随意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确立了，故③正确；由比率性质和正弦定理可推知④正确．答案B3．已知锐角△ABC的面积为 33，BC＝4，CA＝3，则角 C的大小为()．A．75°B．60°C． 45°D． 30°分析由 S△ABC＝ 33＝1BC·CA·sin C ＝1×3×4sin C 得 sin C＝3，又 C 为锐角．故 C＝22260°.答案B4．在△ ABC 中，由“ a>b ”推出“ sin A>sin B ；由”“ sin A>sin B ”推出“ a>b．”(填“能够”或“不能够”)分析在△ ABC 中，必有 sin B>0 ，由正弦定理得a＝sin A，于是，若 a>b，则a>1，则sin A>1.b sin B b sin B由 sin B>0 ，可得 sin A>sin B ；反之，若sin A>sin B ，由 sin B>0 ，可得sin Aasin B >1，则 b >1， a>b.答案能够 能够5．已知 a ，b ，c 分别是△ ABC 的三个内角所对的边，若 a ＝ 1，b ＝ 3，A ＋ C ＝2B ，则 sin A＝ ________.分析π∵ A ＋ C ＝2B ，A ＋ B ＋ C ＝π，∴ B ＝ ，3∴由正弦定理，a ＝b ， 1 ＝3.∴ sin A ＝1.sin Asin Bsin A π2sin 3答案126．在△ ABC 中，已知 a ＝10， B ＝75°， C ＝ 60°，试求 c 及△ ABC 的外接圆半径 R.解∵A ＋B ＋ C ＝ 180°，∴ A ＝ 180°－ 75°－ 60°＝ 45°.3由正弦定理，得a ＝ c ＝ 2R ，∴ c ＝ a ·sin C＝10×2 ＝ 5 6，∴ 2R ＝ a＝ 10＝sin A sin Csin A2sin A 222 102，∴ R ＝ 5 2.综合提升（限时 25 分钟）7．在△ ABC 中，AB ＝ 3，A ＝ 45°，C ＝ 75°，则 BC ＝()．A ．3－ 3B. 2C ． 2D ．3＋ 3分析 ∵AB ＝ 3， A ＝ 45°， C ＝ 75°，由正弦定理得：BC ＝ AB BC ＝ AB ＝3 ，sin A sin C ?sin 45°sin 75 °6＋ 24∴ BC ＝3－ 3.答案 A8．已知△ ABC 中， A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c.若 a ＝c ＝ 6＋ 2且 A ＝ 75°，则 b 等于() ．A ． 2B ． 4＋2 3C ．4－ 2 3D.6－ 2分析 sin A ＝ sin 75 ＝°sin(30 °＋45°)＝ sin 30 cos ° 45 °＋ sin 45 cos ° 30 °＝2＋6，4由 a ＝ c ＝ 6＋2可知， C ＝ 75°，因此1B ＝30°， sin B ＝ .2由正弦定理得 b ＝a ·sin B ＝ 2＋ 6 1sin A × ＝2，应选 A.2＋ 6 24答案 A9．在△ ABC 中， a ＝ 3 2， cos C ＝ 1， S △ABC ＝ 4 3，则 b ＝ ______. 3分析1 sin C ＝ 221 12 2 ＝ 4 3? b ＝ 2 3.cos C ＝ ?； S ABC ＝ absin C? ·32·b ·33△223答案2 310．已知△ ABC 中， a ＝x ，b ＝2，∠B ＝ 45°，若三角形有两解， 则 x 的取值范围是 ________．分析 由正弦定理，得 x ＝bsin A＝ 2 2sin A ，sin B∵ 45°<A<90°或 90°<A<135°，∴ 2<x<2 2.答案2<x<2 2111．在△ ABC 中，已知 tan B ＝ 3， cos C ＝ 3，AC ＝ 3 6，求△ ABC 的面积．解设 AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b.由 tan B ＝ 3，得 B ＝ 60°，∴ sin B ＝3 1 2， cos B ＝ .2又 sin C ＝ 1－ cos2C ＝ 2 3 2，2 2由正弦定理，得c ＝ bsin C ＝3 6× 3 ＝ 8.sin B32 又∵ A ＋ B ＋ C ＝ 180°，∴ sin A ＝sin(B ＋C)＝ sin Bcos C ＋ cos Bsin C＝ 3 1 1 2 2 ＝ 322 × ＋ ×3 6＋.3 2 3∴所求面积 S △ABC ＝1bcsin A ＝6 2＋ 8 3.212．( 创新拓展 )在△ ABC 中，已知b ＋ a sin B，且 2sin A ·sin B ＝ 2sin2＝C ，试判断其形asin B － sin A状．解 由正弦定理可得 b ＋ a ＝ sin B ＝ b ，a sin B － sin Ab － a∴ b 2－ a 2＝ ab ，① 又∵ 2sin Asin B ＝ 2sin 2C ，∴由正弦定理，得 2ab ＝ 2c 2.②由①、②得b2－ a2＝ c2，即 b2＝ a2＋ c2.∴该三角形为以 B 为直角极点的直角三角形．。
2018年高中数学北师大版必修五达标练习第2章 §1-1.3 正弦定理和余弦定理习题课 Word版含解析
[基础达标]．在△中，＝，＝，＝°，则等于( )．．－．－解析：选.因为＝，＝，＝°，所以在△中，由正弦定理可得＝)＝＝，又由>可得>，即得为锐角，则＝＝.．在△中，，，分别是角，，的对边，且＝，则△是( )．直角三角形．等腰三角形或直角三角形．等边三角形．等腰直角三角形解析：选.因为＝及－＝，所以＝，即＝，所以＋＝，则△是直角三角形．故选.．在△中，已知＝，＝，△的面积为，则·＝( )．±．±．．解析：选.因为＝，＝，△的面积为，所以△＝···＝×××＝.所以＝，所以＝±＝±.所以·＝··＝××＝±，故选.．在△中，＝，且最大边长和最小边长是方程－＋＝的两个根，则第三边的长为( )．．．．解析：选.已知＝，且最大边长和最小边长是方程－＋＝的两个根，则第三边为，＋＝，＝，所以＝)＝(π))＝＝＝.．△的内角、、的对边分别为、、.已知＋ ( － )＝，＝，＝，则＝( )．．解析：选.因为＋(－)＝，所以(＋)＋·－·＝，所以＋＋－＝，整理得( ＋)＝，因为≠，所以＋＝，所以＝－，因为∈(，π)，所以＝，由正弦定理得＝)＝＝，又<<，所以＝.故选.．△中，＝°，＝，则＋＋ )＝．解析：由题知，设△外接圆半径，则＝)＝)＝)＝＝，则＋＋)＝＋＋）＋＋)＝＝.答案：．在△中，已知∶＝∶，＝＋，则三内角、、的度数依次是．解析：由题意知＝，＝＋－，即＝＋－，又＝＋，所以＝，得＝°，＝，＝°，所以＝°.答案：°，°，°．在△中，＝°，＝，则＋的最大值为．解析：由正弦定理知)＝°)＝)，所以＝，＝．又＋＝°，所以＋＝＋(°－)＝( ＋°－°)＝( ＋＋)＝( ＋)＝(＋α)，其中α＝，α是第一象限角．由于°<<°，且α是第一象限角，因此＋有最大值.答案：．在△中，内角，，的对边分别为，，，已知＝(－) ．()求角的大小；()若＝，试确定△的形状．解：()由已知及正弦定理，有＝( －) ，即＋＝．所以(＋)＝．因为(＋)＝≠，所以＝，即＝，所以＝°.()由题设及余弦定理＝＋－得，＝＋－°，即＋－＝.所以(－)＝.从而＝.由第一问知＝°，所以＝＝＝°.所以△为正三角形．．在△中，＋＝＋.()求的大小；()求＋的最大值．。
2018高中数学北师大版高二必修5_第二章1.1_正弦定理_作业_word版含解析
[学业水平训练]1．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a <b sin A B ．a ＝b sin A C ．a ≤b sin AD ．a ≥b sin A解析：选D.由正弦定理，得asin A ＝bsin B，∴sin B ＝b a sin A ，在△ABC 中，∵0<sin B ≤1，∴0<b asin A ≤1，∴a ≥b sin A .2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D.322 解析：选C.在△ABC 中，A ＝180°－(B ＋C )＝45°，由正弦定理asin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A＝4 6. 3．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．b ＝10，∠A ＝45°，∠C ＝70° B ．a ＝30，b ＝25，∠A ＝150° C ．a ＝7，b ＝8，∠A ＝98° D ．a ＝14，b ＝16，∠A ＝45°解析：选D.对于A 项，∠B ＝180°－∠A －∠C ＝65°，由正弦定理知只有一解； 对于B 项，∵a >b ，∴A >B ，又A ＝150°， ∴只有一解；对于C 项，∵a <b ，∴A <B ，而A ＝98°，∴无解； 对于D 项，sin B ＝b sin A a ＝16×sin 45°14＝427<1，且b sin A <a <b ， ∴有两解．4．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B.设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴a ∶b ∶c＝7∶5∶3，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.5．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2，43)C ．(33，43]D ．(3，6]解析：选D.由正弦定理，得AC ＝BC ·sin B sin A ＝23sin B ，AB ＝BC ·sin Csin A＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C ) ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝23⎝⎛⎭⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴3<6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤6. 6．已知△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________.解析：由已知得a sin A ＝3sin 60°＝2，所以由正弦定理知a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2.答案：27．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A ＝π3，b ＝1，△ABC 的外接圆半径为1，则S △ABC ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝2R ，∴a ＝3，sin B ＝12，∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝π6，C ＝π2.∴S△ABC＝32. 答案：328．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B .故A ＝π6.答案：π69．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，B ＝30°，解三角形． 解：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B .∴sin A ＝a sin Bb ＝3sin 30°＝32. ∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝2. 当A ＝120°时，C ＝30°，c ＝b ＝1.10．在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． 解：由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，∴a 2·cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．由正弦定理，得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin A >0，sin B >0，0<2A <2π，0<2B <2π，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[高考水平训练]1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则A 、B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.∵m⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴tan A ＝ 3.∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3.∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，由正弦定理，有sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C .∴sin C ＝sin 2C .∴sin C ＝1.∴C ＝π2.∴B ＝π6.2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长可以用角B 表示为________．解析：设周长为x ，则BCsin A ＝AB ＋BC ＋CA sin A ＋sin B ＋sin C ＝xsin A ＋sin B ＋sin C. ∴332＝x32＋sin B ＋sin C .∴x ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.答案：6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3 3．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，求角A 的取值范围．解：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0<sin B ≤1，所以0<sin A ≤12.所以0°<A ≤30°或150°≤A <180°. 又因为a <b ，所以只有0°<A ≤30°. 故角A 的取值范围为0°<A ≤30°.4．在△ABC 中，已知ln(sin A ＋sin B )＝ln sin A ＋ln sin B －ln(sin B －sin A )，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C .(1)确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的取值范围． 解：(1)∵ln(sin A ＋sin B )＝ln sin A ＋ln sin B －ln(sin B －sin A )， ∴ln(sin 2B －sin 2A )＝ln(sin A ·sinB )， ∴sin 2B －sin 2A ＝sin A ·sinB . 由正弦定理，得b 2－a 2＝ab .① 又∵cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ， ∴cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ， ∴2sin A sin B ＝2sin 2C . 由正弦定理，得ab ＝c 2.② 由①②，得b 2－a 2＝c 2，∴b 2＝a 2＋c 2，∴△ABC 是以B 为直角的直角三角形． (2)由正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin Csin B＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.∵0<A <π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，∴1<2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤2，故a ＋cb的取值范围是(1，2]．。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 解三角形 1.1 正弦定理(一) Word版含答案
1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理1．正弦定理的表示 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号 语言在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径．(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .3．正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴c＝asin A＝bsin B＝csin 90°＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，CD＝a sin_B＝b sin_A，∴asin A＝bsin B，同理，作AC边上的高BE，可得asin A＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，过B作BD⊥AC于D，则BD＝a sin(π－C)＝a sin_C，BD＝c sin_A，故有a sin C＝c sin_A，∴asin A＝csin C，同理，asin A＝bsin B，∴asin A＝bsin B＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．。
人教A版高中数学必修五《1.1.1正弦定理》练习题.docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 §1.1.1 正弦定理一.知识与技能目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．二.课内检测1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）. A ．1∶1∶4 B ．1∶1∶2 C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ． 6（选作）在45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中，求和．三.课外作业1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．3. 在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．4. 在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．5.在60,1,,ABC b B c a A C ∆===o 中，求和．6（选作）在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____.7.（选作）在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数答案：6（选作） 2<x<22 7.（选作） 300 或1500。
18-19 第2章 §1 1.1 正弦定理
比值的 含义
)
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
(1)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B 变形
，c＝ 2Rsin C
合 作 探 究 • 攻 重 难
c a b (2)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝2R (3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C
2．三角形面积公式
自 主 预 习 • 探 新 知
阅读教材 P47～P48 问题 3，完成下列问题． 1 1 1 三角形 ABC 的面积：S＝ 2absin C＝ 2acsin B ＝ 2bcsin A
.
当 堂 达 标 • 固 双 基
思考：(1)在△ABC 中，若已知边 a，b 和角 B，能否确定△ABC 的面积？
合 作 探 究 • 攻 重 难
asin B 2sin 60° 3 [解析] 由正弦定理得sin A＝ b ＝ 3 ＝ 3 . [答案] 3 3
当 堂 达 标 • 固 双 基
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[合 作 探 究· 攻 重 难]
利用正弦定理解三角形
在△ABC中， (1)若A＝45° ，B＝30° ，a＝2，求b，c与C；
第二章
解三角形
§1 正弦定理与余弦定理 1.1 正弦定理
自 主 预 习 • 探 新 知
学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内 容及其证明方法．(重点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的三角
当 堂 达 标 • 固 双 基
2018版高中数学人教版A版必修五学案§1.1.1 正弦定理(二)
．正弦定理(二)
[学习目标].熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.能根据条件，判断三角形解的个数.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．
知识点一正弦定理及其变形
．定理内容：＝＝＝．
．正弦定理的常见变形：
()∶∶＝∶∶；
()＝＝＝＝；
()＝，＝，＝；
()＝，＝，＝．
知识点二对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知，和解三角形为例，从两个角度予以说明：
()代数角度
由正弦定理得＝，
①若>，则满足条件的三角形个数为，即无解．
②若＝，则满足条件的三角形个数为，即一解．
③若<，则满足条件的三角形个数为或，即一解或两解．
()几何角度
图形
关系式
解的
个数
为锐角
①＝；②≥
一解
<<
两解
<
无解
为
钝 角 或 直 角
>
一解
≤
无解
知识点三三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：
()△＝＝＝，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． ()△＝，其中为△的一边长，而为该边上的高的长． ()△＝(＋＋)＝，其中，分别为△的内切圆半径及△的周长．。
2018版高中数学人教版A版必修五学案§1.1.1 正弦定理(一)
． 正弦定理(一)
[学习目标].通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．
知识点一正弦定理
．正弦定理的表示
文字
语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径
符号
语言
在△中，角，，所对的边分别为，，，则＝＝＝
.正弦定理的常见变形
()＝，＝，＝，其中为△外接圆的半径．
()＝，＝，＝(为△外接圆的半径)．
()三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即∶∶＝∶∶.
()＝＝＝.
()＝，＝，＝
.
．正弦定理的证明
()在△中，设为直角，如图，由三角函数的定义：
＝，＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝＝．
()在锐角三角形中，设边上的高为，如图，
＝＝，
∴＝，
同理，作边上的高，可得＝，
∴＝＝.
()在钝角三角形中，为钝角，如图，
过作⊥于，则
＝(π－)＝，
＝，故有＝，
∴＝，
同理，＝，∴＝＝.
思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△中，∶∶＝∶∶.其中正确的个数有()
．．．．
答案。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 解三角形
[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．知识点一 正弦定理及其变形 1.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 2．a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ．(化角为边) 3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(化边为角)知识点二 余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(边角互化)2．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 知识点三 解三角形的几类问题和解法在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有 (1)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ， tan(A ＋B )＝－tan_C ，(2)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值例1 如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC＝17. (1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． 解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，∠ADC ∈(0，π2)，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC ·cos B －cos ∠ADC ·sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437 ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.反思与感悟 应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理．当题目中出现多个三角形时，应注意弄清每一个三角形中的边角关系，并分析这几个三角形中的边角之间的联系．跟踪训练1 如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________． 答案3解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝18＋9－2·32·3·223＝3.∴BD ＝ 3.题型二 判断三角形的形状例2 在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，所以c 2＋b 2＝a 2，所以△ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又因为b ＝a sin C ，所以b ＝a ·ca ，所以b ＝c ，所以△ABC 也是等腰三角形． 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．反思与感悟 (1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化．但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定． (2)常用的几种转化形式：①若cos A ＝0，则A ＝90°，△ABC 为直角三角形； ②若cos A <0，则△ABC 为钝角三角形；③若cos A >0且 cos B >0且cos C >0，则△ABC 为锐角三角形； ④若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C ＝90°，△ABC 为直角三角形； ⑤若sin A ＝sin B 或sin(A －B )＝0，则A ＝B ，△ABC 为等腰三角形；⑥若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝90°，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．跟踪训练2 在△ABC 中，cos A ＝45，且(a －2)∶b ∶(c ＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．解 由已知设a －2＝x ，则b ＝2x ，c ＋2＝3x ， 所以a ＝2＋x ，c ＝3x －2，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋(3x －2)2－(x ＋2)24x (3x －2)＝45.解得x ＝4，所以a ＝6，b ＝8，c ＝10， 所以a 2＋b 2＝c 2，所以三角形为直角三角形． 题型三 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数．(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．解 (1)由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2 A ＋1＝72，4(1＋cos A )－4cos 2 A ＝5，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， ∴(2cos A －1)2＝0， 解得cos A ＝12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .∵cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，所以32－(3)2＝3bc ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.反思与感悟 本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪训练3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝65ac .求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值．解 由已知a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B ＝1＋35＋2×35×45＝6425.题型四 有关创新型问题例4 已知x >0，y >0，且x 2－xy ＋y 2＝1，求x 2－y 2的最大值与最小值． 解 构造△ABC ，使AB ＝1，BC ＝x ，AC ＝y ，C ＝60°， 由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ， ∴1＝x 2＋y 2－xy ，即x ，y 满足已知条件， 由正弦定理得x sin A ＝y sin B ＝1sin 60°＝233.∴x ＝233sin A ，y ＝233sin B ，x 2－y 2＝43(sin 2A －sin 2B )＝23(1－cos 2A －1＋cos 2B ) ＝23(cos 2B －cos 2A ) ＝23[cos(240°－2A )－cos 2A ] ＝23(－32cos 2A －32sin 2A ) ＝－233sin(2A ＋60°)．∵0°<A <120°，∴60°<2A ＋60°<300°， 当2A ＋60°＝90°时，x 2－y 2有最小值－233.当2A ＋60°＝270°时，x 2－y 2有最大值233.反思与感悟 解答此类题目，我们可以根据条件，构造三角形，利用正弦、余弦定理将问题予以转化．如本题中将x 2－y 2转化为三角恒等变换及y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域的问题． 跟踪训练4 已知x 、y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．解 构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x 、y 满足已知条件． ∵x sin A ＝y sin B ＝3sin 60°＝2， ∴x ＝2sin A ，y ＝2sin B ， ∴x ＋y ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )] ＝2(sin A ＋32cos A ＋12sin A ) ＝23(32sin A ＋12cos A ) ＝23sin(A ＋30°)．∵0°<A <120°，∴当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.约分忽略因式为0的情况致误例5 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B ，试判断三角形的形状．错解 由已知得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，即a cos A ＝b cos B .由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)， ∴c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为直角三角形．错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0得a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，而不是a ＝b 且a 2＋b 2＝c 2. 正解 由已知得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，即a cos A ＝b cos B .由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．误区警示 在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性．跟踪训练5 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C 得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.(2)由(1)得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由正弦定理得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . ∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，又sin B ＋sin C ＝1，∴sin B ＝sin C ＝12，∵B 、C ∈(0°，90°)，∴B ＝C ＝30°， ∴△ABC 为等腰三角形．1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1＜c ＜3 B ．2＜c ＜3 C.5＜c ＜3 D ．22＜c ＜3答案 C解析 在钝角△ABC 中，由于最大边为c ，所以角C 为钝角．所以c 2＞a 2＋b 2＝1＋4＝5，即c ＞5，又因c ＜a ＋b ＝1＋2＝3，所以5＜c ＜3.2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形．3．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 答案 D解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19，故选D.4．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )， 又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.5．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形．答案 等边解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0， ∴sin(A －B )＝0，∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形．1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．。
2018年春高中数学必修五课后提升作业 一 1.1.1 正弦定理 含解析
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课后提升作业一正弦定理(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·广州高二检测)在△ABC中,sinA=sinB,则必有( )A.A=BB.A≠BC.A=B或A=C-BD.A+B=错误！未找到引用源。
【解析】选A.因为错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
, sinA=sinB,所以a=b,故A=B.2.满足a=4,b=3和A=45°的△ABC的个数为( )A.0B.1C.2D.无数多个【解析】选B.因为A=45°<90°,a=4>3=b,所以△ABC的个数为1.3.在△ABC中,sinA=sinC,则△ABC一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选 B.设错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=k,又sinA=sinC,即错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以a=c,所以△ABC一定是等腰三角形.4.(2016·聊城高二检测)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= ( )A.±错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.±错误！未找到引用源。
【解析】选C.由正弦定理可知错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,即错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,解得sinB=错误！未找到引用源。
,因为b<a,A=60°,所以B为锐角,故cosB=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.【误区警示】解答本题易出现选D的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了b<a的条件.5.在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不等边三角形【解析】选B.由正弦定理知c=2RsinC,a=2RsinA,故sinC=2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.所以sinAcosB=cosAsinB,即sin(A-B)=0,所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.6.(2016·包头高二检测)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )A.4错误！未找到引用源。
高中数学必修5单元配套练习试题1.1.1 正弦定理及参考答案解析
1.1.1 正弦定理姓名:___________班级:______________________1.在△ABC中,一定成立的等式是( )2.△ABC中,则△ABC的面积为( )3.在△ABC中,则最短边长等于( )4.在△ABC中 ( )A.45°B.135°C.45°或135°D.以上答案都不对5.在△ABC中,对边分别已则6.在△ABC中),则△ABC的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形7.在△ABC中则此三角形解的个数为( )不确定8.如图,,,15°方向走10测得＝45°,( )A.10 米9.在△ABC中,角所对的边分别为,且,则10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,别在中12.在△ABC中,若C＝2B,.13.在△ABC中,A＝30°,C＝45°,c求a、b及cos B.14.某社区拟建一个活动广场,老年活动区,路(不考虑宽度),饮区.(1);(2).参考答案1.C故选C. 考点:正弦定理.2.B所以三角形为直角三角形,其中c 为斜边,所以故选B.考点:正弦定理解三角形.3.C【解析】在△ABC 中因为大边对大角,所以△ABC 中,.在△ABC 中,考点:大边对大角,正弦定理解三角形.4.A263< 考点:正弦定理解三角形.5.D【解析】在△ABC 中,由正弦定理可得故选D. 考点:正弦定理的应用.6.B三角形为直角三角形. 考点:正弦定理边角互化的应用.7.C34=,,也可能是钝角,所以此三角形有两解,故选C.考点:正弦定理判定三角形解的个数.8.D【解析】在△BCD中,米..故选D.考点:利用正弦定理解三角形.考点:正弦定理解三角形.【解析】由,及,得,由正弦定理得即,考点:正弦定理解三角形.【解析】如图,,))同理,中)))θ+考点:正弦定理解三角形.12.(1,2) 【解析】因为A ＋B ＋C ＝π,C ＝2B,所以A ＝π－3B ＞0,所以0＜B cos B ＜故1 2. 考点:正弦定理在解三角形中的应用.13.a ＝1,b【解析】因为A ＝30°,C ＝45°,c所以由正弦定理,得a 又B ＝180°－(30°＋45°)＝105°,所以cos B ＝cos 10b＝2sin(45°＋30°) 考点:正弦定理在解三角形中的应用.【解析】(1)由正弦定理,(2)在△A DC 中,设则,由正弦定理得i n D C ,,考点:正弦定理解三角形,三角恒等变换,函数的最值.。
2018年高中数学必修五达标练习：第2章 §1-1.1 正弦定理
[A 基础达标]1．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( )A.π3B ．π6 C.π3或2π3 D ．π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 2．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1B ．3∶2∶1 C.3∶2∶1 D ．2∶3∶1解析：选D.因为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，所以a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 3．符合下列条件的△ABC 有且只有一个的是( )A ．a ＝1，b ＝2，A ＝30°B ．a ＝1，b ＝2，c ＝3C ．b ＝c ＝1，B ＝45°D ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° 解析：选C.对于A ，由正弦定理得1sin 30°＝2sin B，所以sin B ＝22.又a <b ，所以B ＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B ，a ＋b ＝c ，构不成三角形．对于C ，b ＝c ＝1，所以B ＝C ＝45°，A ＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D ，a <b ，所以A <B ，而A ＝100°，所以没有满足条件的三角形．4．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2B cos A . 因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin B cos A， 所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 5．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a的值为( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D ． 2 解析：选D.由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .所以sin B ＝2sin A ．所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于__________．解析：由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63. 答案：637．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________． 解析：在△ABC 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52b ，A ＝2B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝52sin B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝54. 答案：54 8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0，即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案：29．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C 的大小．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ．所以sin A sin C ＝12.① 由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．②由①②得sin 2C ＝14， 于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12. 又a ＝2c ，所以C ＝π6. 10．在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解：由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，所以a 2·cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B .因为0<A <π，0<B <π，所以sin A >0，sin B >0，0<2A <2π，0<2B <2π，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[B 能力提升]11．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( )A ．k ＝8 3B ．0<k ≤12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k ＝8 3解析：选D.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC <BC sin B ，即12<k sin 60°，即k >83时，三角形无解；当AC ＝BC sin B ，即12＝k sin 60°，即k ＝83时，三角形有一解；当BC sin B <AC <BC ，即32k <12<k ，即12<k <83时，三角形有两解； 当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形有一解．综上，0<k ≤12或k ＝83时，三角形有一解．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b，则角A 的大小为__________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b可得 1＋sin A cos B cos A sin B ＝2c b， 由正弦定理可得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B整理得sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝2sin C sin B， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，又因为0<A <π， 所以A ＝π3. 答案：π313．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． 解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得a sin B ＝b sin A ， 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 14．(选做题)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C . (1)试确定△ABC 的形状；(2)求a ＋c b的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ， 根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝b b －a， 所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ，所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b 2R＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2.所以△ABC 是直角三角形．(2)由第一问知B ＝π2，所以A ＋C ＝π2， 所以C ＝π2－A . 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin C sin B＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为ac <ab ＝c 2，所以a <c ，所以0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2. 所以22＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<1， 所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<2， 即a ＋c b的取值范围是(1， 2 )．。
2018年高中数学必修五达标练习：第2章 §1-1.2 余弦定理
[A 基础达标]1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2D ．219解析：选D.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219，故选D.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A 、B 、C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π3B ．⎣⎡⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎦⎤0，π6D ．⎣⎡⎭⎫π6，π解析：选 A.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac 2ac ＝（a －c ）22ac ＋12≥12，因为0<B <π，所以B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.4．在△ABC 中，若b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形解析：选B.因为b cos A ＝a cos B ， 所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac .所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2. 所以a 2＝b 2.所以a ＝b .故此三角形是等腰三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析：选A.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＝b 2＋ab ，则⎝⎛⎭⎫b a 2＋b a －1＝0，所以b a ＝5－12<1，所以a >b ，故选A. 6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________． 解析：依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac >0，cos B ＝12.又0<B <π，所以B ＝π3.答案：π37．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以3a ＝2b .又a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，所以c ＝4. 答案：48．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a 2＝b 2＋14c 2，则a cos Bc 的值为________．解析：因为a 2＝b 2＋14c 2，所以b 2＝a 2－14c 2.所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a .所以a cos Bc ＝a ·5c8a c ＝58.答案：589．设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b 的值．解：(1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ，因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝27＋25－2×33×5×32＝7. 所以b ＝7.10．在△ABC 中，若已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，并且sin C ＝2sin B cos A ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .代入sin C ＝2sin B cos A ， 得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc .整理得a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，故C ＝π3.又a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形．[B 能力提升]11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( ) A ．a ＝c B ．b ＝c C ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：选B.因为b 2＋c 2－a 2＝3bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝30°.因为b ＝3a ，所以sin B ＝3sin A ＝32.又因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，此时△ABC 为直角三角形，得到a 2＋b 2＝c 2，2a ＝c .当B ＝120°时，C ＝30°，此时△ABC 为等腰三角形，得到a ＝c .综上可知，b ＝c 一定不成立．故选B.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是__________． 解析：因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)．同理ac cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)，ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.答案：61213．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.若a ＝7，求角C 的大小． 解：因为AB →·BC →＝－21，所以BA →·BC →＝21.所以BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cos B ＝ac cos B ＝21. 又cos B ＝35，所以sin B ＝45，ac ＝35.又a ＝7，所以c ＝5.所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，所以b ＝4 2.由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.因为cos B ＝35＞0，所以B 是锐角．因为c ＜b ，所以C 一定是锐角，所以C ＝45°.14.(选做题)如图，△ABC 的顶点坐标分别为A (3，4)，B (0，0)，C (c ，0)． (1)若c ＝5，求sin A 的值； (2)若A 为钝角，求c 的取值范围． 解：(1)因为A (3，4)， B (0，0)， 所以AB ＝5， 当c ＝5时，BC ＝5， 所以AC ＝（5－3）2＋（0－4）2＝2 5.由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋（25）2－522×5×25＝55. 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255.(2)因为A (3，4)，B (0，0)，C (c ，0)， 所以AC 2＝(c －3)2＋42，BC 2＝c 2，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC .因为A 为钝角，所以cos A <0， 即AB 2＋AC 2－BC 2<0，所以52＋(c －3)2＋42－c 2＝50－6c <0，所以c >253.故c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫253，＋∞.。
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §1-1.1 正弦定理 Word版含解析
[A 基础达标]1．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( )A.π3B ．π6 C.π3或2π3 D ．π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 2．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1B ．3∶2∶1 C.3∶2∶1 D ．2∶3∶1解析：选D.因为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，所以a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 3．符合下列条件的△ABC 有且只有一个的是( )A ．a ＝1，b ＝2，A ＝30°B ．a ＝1，b ＝2，c ＝3C ．b ＝c ＝1，B ＝45°D ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° 解析：选C.对于A ，由正弦定理得1sin 30°＝2sin B，所以sin B ＝22.又a <b ，所以B ＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B ，a ＋b ＝c ，构不成三角形．对于C ，b ＝c ＝1，所以B ＝C ＝45°，A ＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D ，a <b ，所以A <B ，而A ＝100°，所以没有满足条件的三角形．4．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2B cos A . 因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin B cos A， 所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 5．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a的值为( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D ． 2 解析：选D.由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .所以sin B ＝2sin A ．所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于__________．解析：由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63. 答案：637．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________． 解析：在△ABC 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52b ，A ＝2B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝52sin B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝54. 答案：54 8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0，即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案：29．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C 的大小．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ．所以sin A sin C ＝12.① 由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．②由①②得sin 2C ＝14， 于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12. 又a ＝2c ，所以C ＝π6. 10．在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解：由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，所以a 2·cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B .因为0<A <π，0<B <π，所以sin A >0，sin B >0，0<2A <2π，0<2B <2π，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[B 能力提升]11．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( )A ．k ＝8 3B ．0<k ≤12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k ＝8 3解析：选D.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC <BC sin B ，即12<k sin 60°，即k >83时，三角形无解；当AC ＝BC sin B ，即12＝k sin 60°，即k ＝83时，三角形有一解；当BC sin B <AC <BC ，即32k <12<k ，即12<k <83时，三角形有两解； 当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形有一解．综上，0<k ≤12或k ＝83时，三角形有一解．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b，则角A 的大小为__________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b可得 1＋sin A cos B cos A sin B ＝2c b， 由正弦定理可得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B整理得sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝2sin C sin B， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，又因为0<A <π， 所以A ＝π3. 答案：π313．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． 解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得a sin B ＝b sin A ， 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 14．(选做题)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C . (1)试确定△ABC 的形状；(2)求a ＋c b的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ， 根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝b b －a， 所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ，所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b 2R＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2.所以△ABC 是直角三角形．(2)由第一问知B ＝π2，所以A ＋C ＝π2， 所以C ＝π2－A . 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin C sin B＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为ac <ab ＝c 2，所以a <c ，所以0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2. 所以22＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<1， 所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<2， 即a ＋c b的取值范围是(1， 2 )．。
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[A 基础达标]1．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( )A.π3B ．π6 C.π3或2π3 D ．π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 2．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1B ．3∶2∶1 C.3∶2∶1 D ．2∶3∶1解析：选D.因为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，所以a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 3．符合下列条件的△ABC 有且只有一个的是( )A ．a ＝1，b ＝2，A ＝30°B ．a ＝1，b ＝2，c ＝3C ．b ＝c ＝1，B ＝45°D ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° 解析：选C.对于A ，由正弦定理得1sin 30°＝2sin B，所以sin B ＝22.又a <b ，所以B ＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B ，a ＋b ＝c ，构不成三角形．对于C ，b ＝c ＝1，所以B ＝C ＝45°，A ＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D ，a <b ，所以A <B ，而A ＝100°，所以没有满足条件的三角形．4．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2B cos A . 因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin B cos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 5．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a的值为( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D ． 2 解析：选D.由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .所以sin B ＝2sin A ．所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于__________．解析：由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63. 答案：637．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________． 解析：在△ABC 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52b ，A ＝2B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝52sin B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝54. 答案：54 8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0，即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝答案：29．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C 的大小．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ．所以sin A sin C ＝12.① 由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．②由①②得sin 2C ＝14， 于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12. 又a ＝2c ，所以C ＝π6. 10．在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解：由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，所以a 2·cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B .因为0<A <π，0<B <π，所以sin A >0，sin B >0，0<2A <2π，0<2B <2π，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[B 能力提升]11．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( )A ．k ＝8 3B ．0<k ≤12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k ＝8 3解析：选D.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC <BC sin B ，即12<k sin 60°，即k >83时，三角形无解；当AC ＝BC sin B ，即12＝k sin 60°，即k ＝83时，三角形有一解；当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形有一解．综上，0<k ≤12或k ＝83时，三角形有一解．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b，则角A 的大小为__________． 解析：由1＋tan A tan B ＝2c b可得 1＋sin A cos B cos A sin B ＝2c b， 由正弦定理可得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B整理得sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝2sin C sin B， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，又因为0<A <π， 所以A ＝π3. 答案：π313．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． 解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得a sin B ＝b sin A ， 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 14．(选做题)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C . (1)试确定△ABC 的形状；(2)求a ＋c b的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R， 代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝b b －a， 所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ，所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b 2R＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2.所以△ABC 是直角三角形．(2)由第一问知B ＝π2，所以A ＋C ＝π2， 所以C ＝π2－A . 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin C sin B＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为ac <ab ＝c 2，所以a <c ，所以0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2. 所以22＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<1， 所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<2， 即a ＋c b的取值范围是(1， 2 )．。