正弦定理习题及答案
高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料
高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。
利用正弦定理解决问题练习题
利用正弦定理解决问题练习题正文：问题一：已知一座塔楼，其高度为30米，与地面水平距离为50米。
请问，从塔楼顶部向地面投掷物体时，物体离塔楼底部最远的位置在距离塔楼多远的地方？解法：设物体离塔楼底部的距离为x米。
根据正弦定理，可得：sin45°/30 = sinθ/x其中θ为塔楼顶部与水平方向的夹角。
由正弦定理可得：x = (30 * sinθ) / sin45°已知塔楼与地面水平距离为50米，所以θ的值为：θ = arcsin(50/√(30^2 + 50^2)) ≈ 57.64°将θ的值代入上述公式，可得：x = (30 * sin57.64°) / sin45° ≈ 38.94米因此，从塔楼顶部向地面投掷物体时，物体离塔楼底部最远的位置在距离塔楼约38.94米的地方。
问题二：一架无人机从飞行器上空向下俯视地面，形成一个与水平方向的夹角θ。
已知无人机离地面的高度为100米，观察点距离飞行器的水平距离为200米。
请问，观察点与地面的夹角α是多少？解法：设观察点与地面的夹角α为α°。
根据正弦定理，可得：sin(90°-α)/100 = sinθ/200由正弦定理可得：sin(90°-α) = (100 * sinθ) / 200对于任意角x，sin(90°-x) = cosx，所以上述公式可进一步化简为：cosα = (100 * sinθ) / 200已知观察点距离飞行器的水平距离为200米，所以θ的值为：θ = arcsin(200/√(100^2 + 200^2)) ≈ 63.43°将θ的值代入上述公式，可得：cosα = (100 * sin63.43°) / 200 ≈ 0.446通过反余弦函数，可求得α的值：α = arccos(0.446)≈ 63.93°因此，观察点与地面的夹角α约为63.93°。
正弦定理习题(含答案)
正弦定理习题姓名_______班级______一、选择题1. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =√3，A =π3，则B =( ) A. π6 B. 5π6 C. π6或5π6 D. 2π32. 在△ABC 中，若∠A =60°，∠B =45°，BC =3√2，则AC =( ) A. 4√3 B. 2√3 C. √3 D. √323. 在△ABC 中，已知a =√3,b =√2,B =45°，则角A 的值为( )A. 60°或120°B. 120°C. 60°D. 30°或150°4. 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c =2bcosA ，则此三角形必是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形5. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosC =2√23，bcosA +acosB =2，则△ABC 的外接圆的面积为( )A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π 二、填空题6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =60°，b =√6，c =3，则A =______．7. 设ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a =√3，sin B =12，C =π6，则b =_________．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可求sinB=bsinAa =12，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．【解答】解：∵a=3，b=√3，A=π3，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =√3×√323=12，∵a>b，∴B为锐角，B=π6．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．结合已知，根据正弦定理，BCsinA =ACsinB可求AC．【解答】解：根据正弦定理，BCsinA =ACsinB，则AC=BC⋅sinBsinA =3√2×√22√32=2√3，故选：B．3.【答案】A【解析】【分析】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．由B的度数求出sin B的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin A的值，根据a大于b，得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=√3，b=√2，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得：sinA=asinBb =√3×√222=√32，∵b<a，∴B<A，即45°<A<180°，∴A=60°或120°．故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用以及两角和与差的三角函数公式等内容，考查运算能力，属于基础题．利用正弦定理、两角和与差的三角函数公式化简即可判断．【解答】解：∵c=2bcosA，由正弦定理，可得：，即，，∴sinAcosB−sinBcosA=0，即，∵A、B是△ABC的内角，∴A=B，故△ABC是等腰三角形，故选B．5.【答案】C【解析】【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc +a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c=2，又∵cosC=2√23，可得：sinC=√1−cos2C=13，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=c sinC=213=6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．故选C．【分析】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．6.【答案】75°【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．根据正弦定理和三角形的内角和计算即可．【解答】解：根据正弦定理可得bsinB =csinC，C=60°，b=√6，c=3，∴sinB=√6×√3 23=√22，∵b<c，∴B=45°，∴A=180°−B−C=180°−45°−60°=75°，故答案为75°．7.【答案】1【解析】【分析】本题考查了正弦定理、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 由sinB =12，可得B =π6或B =5π6，结合a =√3，C =π6及正弦定理可求b ． 【解答】解：∵sinB =12，∴B =π6或B =5π6， 当B =π6时，a =√3，C =π6，A =2π3， 由正弦定理可得，√3sin 2π3=b12，则b =1；当B =5π6时，C =π6，与三角形的内角和为π矛盾． 故答案为：1．。
解三角函数：正弦定理习题及详细答案
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对．以上答案都不对解析：选C.sin B c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC D，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，解三角函数：正弦定理＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°45°. . 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，的平分线，交对边BC 于∴CDAC ＝sinA2 sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC. 一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35C.37 D.5B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C. ∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B. 3．15，b＝10，A ＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10·10·sin 60°sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a＞b，A 7解析：选A.根据根据正弦定理正弦定理得sin A sin (2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin 3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D.3 解析：选 B.．两解．两解 B ．一解．一解 C ．无解．无解 D ．无穷多解．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5. 答案：25 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶3 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°150°. . 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°30°. . 故C ＝90°，由，由勾股定理勾股定理得c ＝2. 6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A9．(2010年高考北京卷)＝6，＝. ＝a2R∶b2R∶c2R＝×4A＝bsin B，得＝a sin Bb＝×322＝534＞＝532，所以cos(π－cos(π－cos(π2－cos(π2－a·a2Rcos(π2－cos(π2－2.＝π15＝根据正弦定理正弦定理asin ＝b·b2R，。
正余弦定理练习题(含答案)[1]
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在“ABC 中，0, b, c 分別是角4 8. C 所对的边，若^ = 105% 8=45% 则c=（A. 1C. 2在茲 ABC 中，已知 a=3y[2. cosC=j, Sg=4品 则 b= ____________. 在茲ABC 中，b=4{i, C=30。
，c=2,则此三角形有 ________组解. 如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角）为140。
的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110% 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔人的方位角是65。
・则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18. ii ：A ABC 中，0、b 、c 分別为角 A 、8. C 的对边•若 a=2晶 sin|cos|=^r sin Bsin C=cos^.求 A 、 6 及 b 、c.19. （2009年高考四川卷）^A ABC 中，久B 为锐角•角久B 、C 所对应的边分別为6 b 、c,且cos 2A= sin ⑴求 A+B 的值：（2）若 o —/?=匹一1,求 a, b, c 的值.20. 'ABC 中，0b=65/5，sin fi=sinC △ ABC 的面枳为 15 羽，求边 b 的长.在AAfiC 中，Z&=45°, ZB=60°, a=2.2. 3. 已知 0=8, S=60°, C=75°, B ・ 45/3 C. 角A 、B 、C 的对边分別为a 、 B ・ 135" 正弦定理练习题则b 等于（）D. 2& 则b 等于（）4& b. G &=60。
，0=4羽，b=4品则角 5为（ D.以上答案都不对 4. 在△ ABC 中， A. 4迈在△ ABC 中， A. 45°或 135° B ・ 135" C・ 45° 在 A ABC 中，o: b ： c=i: 5 : 6.贝 IJsiM: sinB : sinC 等于（ ） A. 1:5:6 B. 6:5:1 C. 6:1:5解析J 选 A.由正弦定理知 siM : 5in8 : sinC=o : b : c=l : 5 : 6.D-不确泄5. 6. 8.9.10. 在^ ABC 中，若签?=夕，则^ ABC 是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 己知A ABC 中，AB=E AC=1, Z 8 = 30% 则A ABC 的面积为（）或或誓'ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b. c •若c=迈，b=E S=120\则o 等于（ B ・ 2 c"在4 ABC 中，角久B 、C 所对的边分別为6 b 、G 若0=1, c=Ql C 岭 则A=_ 已知 a=響,fa=4,4 = 30% 则 sin8= _____________________________________ .li:A ABC 中,11. 12. 在茲ABC 中, 在4 ABC 中, 已知ZA=30°, Z S = 120\ 6=12,贝I] o+c=o=2facosC,贝ijA^fiC 的形状为 ________ • 13.14- 在△AB C 中，人= 60°, O = 6A /3, 6=12, S“8c=18 羽，则;;活三篇行花a — 2b + cc —已知"阮中，ZA ：ZB ：Z C=l: 2:3. a-1,则 sM_2sinB+sinC15. 16. 17.2.3. 4. 5. 6- 1. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14- IS 16. 17. 余弦定理练习题在“ABC 中，如果BC=6, AB=4, cosB=p 那么AC 等于（ A. 6 B. 2& C ・ 3yf6 在A ABC 中，0=2, C=30\ 则 c 等于（ D. 2 在AAfiC 中，Q2=b2+s+羽be.则ZA 等于（ ） A. 60° B ・ 45° C ・ 120° 在4 ABC 中，厶A 、Z 8、ZC 的对边分别为6 b 、c, T 、5n 2n riv tfV 以6 以3 在A ABC 中，0、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cosB+bcosA 等于（ A. o B. b C ・c D.以上均不对D. 150" 若（a^+c^—b2）tanB=dlac,则Z B 的值为（ 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（） A-锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D ・由增加的长度决；4^ 已知锐角三角形A3C 中，I 為1=4, I 為1=1., A- 2 B. -2 C. 4在4 ABC 中，b=y[3, c=3, 0=30。
正弦定理、余弦定理习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1） 2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3（2）C=45°,B=15°。
正弦定理练习题(含答案)
正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B.2 C. 3D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14 解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sinB ＝c sinC 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183， ∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
正弦定理余弦定理练习题
第七节 正弦定理和余弦定理【知识回顾】【课前演练】1. 在△ABC 中, 若∠A ＝60°, ∠B ＝45°, BC ＝3 , 则AC ＝( ) A. 4 B. 2 C.D.2．（余弦定理）在△ABC 中, a ＝ , b ＝1, c ＝2, 则A 等于( ) A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°[例1](2012·浙江高考)在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3, sin C＝2sin A, 求a, c的值.变式训练一:△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B＋bcos2A＝ a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋a2, 求B.[例2]在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边, 且2asi.A＝(2b＋c)si.B＋(2c＋b)si.C.求A的大小；【变式训练二】: 已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 向量m＝(4, －1), n＝, 且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2 , 试判断△ABC的形状.[例3](2012·新课标全国卷)已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边, acos C ＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2, △ABC的面积为, 求b, c.【变式训练三】: . (2012·江西重点中学联考)在△ABC中, cos 2A＝cos2A－cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3, sin B＝2sin C, 求S△ABC.1. 在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C所对的边. 若A＝, b＝1, △ABC的面积为, 则a的值为() A. 1 B. 2 C. D.2．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知a＝2 , c＝2 , 1＋＝, 则C ＝()A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°3．在△ABC中, 角A, B, C所对边的长分别为a, b, c, 若a2＋b2＝2c2, 则cos C的最小值为()A. B. C. D. －4．在△ABC中, 若sin2 A＋sin2B<sin2C, 则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 在△ABC中, 角A.B.C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B, 则角A的大小为6. 在△ABC中, 若a＝3, b＝, A＝, 则C的大小为________.7. 在△ABC中, 若a＝2, b＋c＝7, cos B＝－, 则b＝________.8．△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, asin A＋csin C－asin C＝bsin B.(1)求B；(2)若A＝75°, b＝2, 求a, c.9. 在锐角三角形ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边, 且满足a－2bsin A＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5, 且a>c, b＝, 求·的值.。
正弦定理与余弦定理测试题及答案
正弦定理与余弦定理练习题1.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A．1：1：4 B．1：1：2 C．1：1：D．2：2：2.（2015•浙江）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosC C．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC3.在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（）A．B．C．D．4.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对5.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．6.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．47.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则∠C等于（）A．60°B．90°C．120°D．60°或120°8.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣19.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=2，b=2，A=60°，则角B等于（）DA．45°或135°B．135°C．60°D．45°10.在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，求△ABC周长的取值范围（）A．（2，3] B．[1，3] C．（0，2] D．（2，5]11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣B．C．﹣D．12.在△ABC中，已知C=，b=4，△ABC的面积为，则c=（）A．B． C． D．13.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣14.在三角形A BC中，∠C=60°，AC+BC=6，A B=4，则AB边上的高为（）A． B．C． D．15.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2D．316.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B的大小为（A ）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17在△ABC中，B=，c=150，b=50，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形18.在△ABC中，如果a+c=2b，B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．19.若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc且sinA=2sinBcosC，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形20.（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．21.（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．22.（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．23..（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，，则∠B=．25.在△ABC中，已知A=45°，b=1，且△ABC仅有一个解，则a的取值范围是．26.已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c2﹣（a﹣b）2，则tanC=．27.设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，且满足S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为．28.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角B的值为29（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．30.（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．31.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．32.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．33.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．34.△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．35.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．36.在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．37.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．答案1-5CBDCA 6-10CDCDA 11-15BCDAC 16-19ABBD286420.221.122.123.624.4525.126.27.28.601201517a a ︒≥=︒︒或或29.解：①因为△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cosB=，sin （A+B ）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin 2A+cos 2A=1， 得27sin 2A ﹣6sinA ﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin （A+B ）=sinC=，sinA=，所以a=2c ，又ac=2，所以c=1．30.解：（Ⅰ）因为向量=（a ，b ）与=（cosA ，sinB ）平行，所以asinB ﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB ﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7=4+c 2﹣2c ，解得c=3，△ABC 的面积为：=． 31.解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC ﹣sinCcosA ，∵C 为三角形的内角，∴sinC ≠0，∴sinA ﹣cosA=1，整理得：2sin （A ﹣）=1，即sin （A ﹣）=，∴A ﹣=或A ﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=； （2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC 的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得：4=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc=（b+c ）2﹣12，整理得：b+c=4②， 联立①②解得：b=c=2． 32.解：（I ）∵a=2csinA ．∴由正弦定理可得sinA ， 又sinA ≠0，∴sinC=，∵A 为锐角，∴． （2）∵c=，，且△ABC 的面积为，∴=，化为ab=6，由余弦定理可得：==（a+b ）2﹣3ab ，∴a+b=5．33.解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2（cosAcosC ﹣sinAsinC ）=﹣1，∴，∴，又0＜B ＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，又，，∴，故，∴．34.解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，∴sinA==，∵5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ，∴cosC==，∵0＜C ＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos 2C ﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．35.解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos+cosAsin=2cosA，整理得sinA=cosA，∵cosA≠0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）由正弦定理得：，∴，，∴==，∵，∴，即6＜b+c≤12（当且仅当B=时，等号成立）36.解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．37.解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．。
正弦定理练习题
正弦定理练习题1.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b等于（B）2.2.在三角形ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（C）43.3.在三角形ABC中，已知∠A=60°，a=43，b=42，则∠B等于（A）45°或135°。
4.在三角形ABC中，已知a:b:c=1:5:6，则.5.在三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A=105°，∠B=45°，b=2，则c等于（C）2.6.在三角形ABC中，若cosA=cosB，则三角形ABC是（D）等腰三角形或直角三角形。
7.已知三角形ABC中，AB=3，AC=1，∠B=30°，则三角形ABC的面积为（A）3.8.三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
若c=2，b=6，∠B=120°，则a等于（B）2.9.在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=3，∠C=43°，则∠A=（C）63°。
10.在三角形ABC中，已知a=√3，b=4，∠A=30°，则sinB=（B）1/2.11.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=120°，b=12，则a+c=（D）24.12.在三角形ABC中，若a=2bcosC，则三角形ABC的形状为（A）等腰三角形。
13.在三角形ABC中，∠A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则sinA+sinB+sinC=（C）2.14.已知三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，a=1，则sinA-2sinB+sinC=（B）-1.15.在三角形ABC中，a=32，cosC=1/3，S△ABC=43，则b=（A）24.16.在三角形ABC中，b=43，C=30°，c=2，则此三角形有（B）两组解。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
正弦定理余弦定理习题及答案
正弦定理余弦定理习题及答案Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正 余 弦 定 理1．在ABC∆中，A B >是sin sin A B >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c .AB323π1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60AB <=，所以30A =，180C A B =--90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
正弦定理、余弦定理习题
正弦定理、余弦定理习题题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于 ( )A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.12D. 2变式练习1(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于 ( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .变式练习2在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．例3 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．变式练习3已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．正弦定理、余弦定理习题答案例1解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°. 故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.练习: 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝c sin C， 将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得b sin B ＝85b sin 2B， 化简得1sin B ＝852sin B cos B， 则cos B ＝45， 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A. (2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12， 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. 例2解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.练习2解 (1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．例3：解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ． 方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形．练习3解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。
正弦定理和余弦定理习题及答案
正弦定理和余弦定理习题及答案正弦定理和余弦定理 测试题一、选择题：1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63D.632．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.344．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2ªC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a7、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=15．15．53 D ．53-8、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形9、ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π10、已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ．323 Ｃ．158Ｄ．15720、已知ABC △21，且sin sin 2A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．21、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B（Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a ＋c 的值.22、 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东︒60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东︒30，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．答案1.解析：依题意得0°<B <60°，由正弦定理得a sin A ＝bsin B得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D. 2.解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A. 3.解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 答案：D 4.解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 22.∴a c ＝sin B ＝22. ∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，由c ＝2a ， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝3a 2－b 222a2＝22. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . 答案：D5.解析：2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 答案：C6.解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12， 又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°. 所以b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C2cosB －C23＝cosB －C2≤1，b ＋c ≤2a . 答案：c7.解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A8.解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。
正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。
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正弦定理习题及答案
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B ＝2，sin A ＝12
，则b 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 解析： 由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝212
＝4. 答案： B
2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．锐角三角形
解析： ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C .
∴由正弦定理可得a 2＝b 2＋c 2
∴△ABC 是直角三角形．
答案： C
3．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝75°，b ＝6，则a 等于( ) A. 3
B ．2 3 C. 6 D ．3 6 解析： ∵B ＝180°－(60°＋75°)＝45°，
∴a ＝b sin A sin B ＝6×322
2
＝3 6. 答案： D
4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )
A ．b ＝10，A ＝45°，
B ＝70°
B ．a ＝60，c ＝48，B ＝100°
C ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°
D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°
解析： D 中，b sin A ＝82，a ＝14，所以b sin A <a <b ，所以三角形有两个解．故选
D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a ∶b ∶c 为________．
解析： ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°，
∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，
设a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝k ， 则a ＝k sin A ＝k ，b ＝k sin B ＝
32k ，c ＝k sin C ＝k 2. ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶1.
答案： 2∶3∶1
6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝15，b ＝2，A ＝60°，则tan B ＝________.
解析： 由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝215×32＝15
， 根据题意，得b <a ，
故B <A ＝60°，因此B 为锐角．
cos B ＝1－sin 2B ＝25
. 故tan B ＝sin B cos B ＝12. 答案： 12
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝6，b ＝23，求B .
(2)在△ABC 中，已知A ＝60°，a ＝6，b ＝2，求B .
解析： (1)在△ABC 中，由正弦定理可得6sin 30°＝23sin B
， 解得sin B ＝22
∵b >a ，∴B >A .
∴B ＝45°或135°.
(2)在△ABC 中，由正弦定理可得6sin 60°＝2sin B
， 解得sin B ＝
22，
∵b <a ，∴B <A .
∴B ＝45°.
8．在△ABC 中，若sin B ＝a c ＝22
，且B 为锐角，试判断△ABC 的形状． 解析： ∵sin B ＝
22
，且B 为锐角， ∴B ＝45°.
∵a c ＝22. ∴由正弦定理得sin A sin C ＝22
， 又∵A ＋C ＝135°，
∴sin(135°－C )＝22sin C ， 整理得cos C ＝0.
∴C ＝90°，A ＝45°.
∴△ABC 是等腰直角三角形． 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)△ABC 的各边均不相等，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B ，求a ＋b c
的取值范围． 解析： ∵a cos A ＝b cos B ，
∴sin A cos A ＝sin B cos B ，
∴sin 2A ＝sin 2B .
∵2A,2B ∈(0,2π)，
∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，
∴A ＝B 或A ＋B ＝π2
. 如果A ＝B ，则a ＝b 不符合题意，
∴A ＋B ＝π2
. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C
＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A
＝2sin(A ＋π4
)， ∵a ≠b ，C ＝π2
， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且A ≠π4， ∴a ＋b c
∈(1，2)．。