正弦定理经典练习题
完整版正弦定理练习含答案
n•••么=3.故ZB= 30 或 150 °课时作业 1正弦定理时间：45分钟 满分:100分课堂训练1. （2013湖南理，3）在锐角△ ABC 中，角 为a, b.若2asinB = V 3b,则角A 等于（ ）A, B 所对的边长分别 A.12 L n B.6 c nC.4r nD .3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由 asinA —sinB ，得 SinA= 2， a—Z 3,b — 1,则c 等于（ ) A. 1 B. 2C.V 3-1D.V 3【答案】 B【解析】由正弦定理silb"si nB ，1 . 12.在△ ABC 中，角 A 、B 、 2n =3：.n sinB sin3C 的对边分别为 a 、b 、c,已知/ A由 a>b，得ZA> ZB./.zB= 30 ° 故ZC = 90 °由勾股定理得c= 2,故选B.1 53.在△ ABC 中，若 tanA=3, C^gn, BC= 1,贝J AB =【答案】•••tanA= 3,且 A 为/△ABC 的内角，「.sinA=¥10由【解析】正弦.5定理得AB—BCsinC-仆二6［血疋理得AB— sinA —血—2 .104.在△ ABC 中，若Z B= 30° AB= 2&, AC = 2,求^ ABC 的周长.【分析】本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边 BC,但BC的对角Z A未知，只知道Z B,可结合条件由正弦定理先求出Z C,再由三角形内角和定理求出Z A.【解析】由正弦定理，得sinC = A B S CB=¥3.••AB>AC,.・.ZC>/B,又TO <ZC<180 ； AzC= 60 或120°(1)如图(1)，当ZC = 60°时，ZA= 90° BC = 4,^ABC 的周长为 6(2)如图⑵，当ZC= 120°时，/A= 30°, ZA=ZB, BC = AC= 2, △ABC 的周长为4+ 2^3.综上，AABC 的周长为6+厶/3或4 + 2/3.【规律方法】 已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正 弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分 别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1.在△ ABC 中，sinA= si 门（3,贝卩厶 ABC 是（ ）2.已知△ ABC 的三个内角之比为 A:B:C= 1:2:3,那么a b c=B. 1:2：V 3D. 1：V 3 :2A .直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D .钝角三角形【答案】【解析】 ••SinA= sinC,「.由正弦定理得a= c,「.ZABC 为等腰三角形，故选 B.A. 1:2:3 C. 1：V 2 弋 4(2)【答案】 D【解析】设/A= k,ZB = 2k,ZC= 3k,由/A+/B+ ZC= 180°得，k+2k+ 3k= 180 ° Ak= 30° 故ZA= 30° ZB= 60； ZC= 90°由正弦定理得 a:b:c = sinA:sinB:sinC = sin30 :sin60 :sin90 =°1:萌:2.3.在△ ABC 中，已知 a= 8,Z B= 60； / C= 75；则( )A. b = 4眾B. b=师f 3ID. b= 3C. b=4^6【答案】 C【解析】2低」60。
正弦定理练习--含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π. 5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0， 得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12.又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC中，已知sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，判断△ABC的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.π∴cos A＝0，∴∠A＝2，∴△ABC为直角三角形．。
正弦定理练习题典型题（含答案）
正弦定理练习题典型题（含答案）正弦定理⼀1、在ABC ?中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ?解的情况（）A ．⽆解B ．有⼀解C ．有两解D ．不能确定2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三⾓形的⾯积S=，则三⾓形外接圆的半径为( ) A ．B ．2C ．2D ．43、在ABC △中，,,a b c 分别是⾓A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2A =，求⾓C ．4、在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ．（1）求⾓A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．5、在锐⾓△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ．（1）求⾓C 的值；（2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．参考答案1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A =，得6A π=，⼜1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B=，∴sin 2sin 2b A B a ==，⼜b a >，得4B π=或4B 3π=，当4B π=时，6412C ππ7π=π--=；当4B 3π=时，6412C π3ππ=π--=，∴⾓C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]．试题分析：（1）要求解，已知条件中有⾓有边，⼀般情况下我们可以利⽤正弦定理把边化为⾓的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，⽽sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3A π=；（2）由（1）23CB π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-，由两⾓和与差的正弦公式可转化为3sin()6B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从⽽sinB ＝2sinBcosA ．因为sinB ≠0，所以cosA ＝．因为0＜A ＜π，所以A ＝．（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sincosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)．因为0＜B ＜，所以＜B ＋＜．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(，]．考点：正弦定理，两⾓和与差的正（余）弦公式，正弦函数的性质.5、【答案】试题分析：（1）由a=2csinA 及正弦定理得sinA=2sinCsinA ，⼜sinA≠0，可sinC=．⼜△ABC 是锐⾓三⾓形，即可求C ．（2）由⾯积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a 2+b 2﹣ab=7，联⽴⽅程即可解得a+b 的值的值．试题解析：解：（1）由a=2csinA 及正弦定理，得sinA=2sinCsinA ，∵sinA≠0，∴sinC=．⼜∵△ABC 是锐⾓三⾓形，∴C=．（2）∵c=，C=，∴由⾯积公式，得absin =，即ab=6.①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2abcos=7，即a 2+b 2﹣ab=7.②由②变形得（a+b ）2=3ab+7.③将①代⼊③得（a+b ）2=25，故a+b=5.考点：正弦定理．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三⾓形⾯积公式的应⽤，考查了转化思想和计算能⼒，属于中档题．正弦定理⼆1、在ABC ?中，o 60A =，3a =2b =B 等于 ( )A. o 45B.o 135C. o 45或o 135D. 以上答案都不对2、在ABC ?中，若ab c b a 2222+=+，则C =（）A ．030B ．0150C ．045D ．01353、在△ABC 中，若30A =o ，8a =，b =ABC S ?等于（）A ．．．．4、设ABC ?的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ?的形状为（）A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．不确定5、已知,,a b c 是ABC ?的三边长，且222a b c ab +-=（1）求⾓C（2）若3a c ==，求⾓A 的⼤⼩。
正弦定理试题及答案
正弦定理练习题一 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = . 三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b .正弦定理练习题二一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A 2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° 4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解 5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 367.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.1038.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4 ,cos 2B =552， 求△ABC 的面积.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.正弦定理练习题一 答案 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 ［答案］C ［解析］设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,故选C. 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π［答案］ C ［解析］ 由A a sin ＝B b sin ,得sin B =a A b sin ,∴sin B =130sin ·3︒ =23 ,∴B =3π或32π.3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：1［答案］ D ∴A =90°,B =60°,C =30°∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C =1：23 ：21=2：3：1. 二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = ［答案］1由正弦定理，得32sin3π=B sin 1,∴sin B =21.∵∠C 为钝角∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1. 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = .［答案 2［解析］由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°，∵B b sin =Ccsin ∴c =B C b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵B b sin =C c sin ,∴b =C B c sin sin =︒︒105sin 30sin 10, 又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).正弦定理练习题二 答案一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A ［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得A a sin ＝B b sin ,∴a =B A b sin sin ,在△ABC 中，0<sin B ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 ［答案］ B ［解析］ 设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x . ∴a ：b ：c =7：5：3.∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° ［答案］ B ［解析］ 由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23,又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解［答案］ A ［解析］ 对于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；对于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；对于C,a<b sin A ,故无解；对于D ，c sin B<b<c ,故有两解.5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π［解析］ ∵A a sin =B b sin ,∴sin A =22,∴A =4π或A =43π,又∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 36 ［答案］ D ［解析］ 由正弦定理，得︒60sin 15=B sin 10∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33. ∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =B sin -12 =2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.103［答案］ B ［解析］ 由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+, c=A C a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1) 8.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 ［答案］ C 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .［答案］2［解析由正弦定理得sin B =a b ·sin A =31-×23=21, 又∵b =1<a =3,∴B<A =3π,而0<B <π,∴B =6π,C =2π, 由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . ［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得B b sin ＝Ccsin , ∴︒75sin 2=︒45sin c ],又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30=22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2. 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . ［解析］由正弦定理，得b a =B A sin sin , ∴a =25b 可转化为B A sin sin =25.又∵A =2B ，∴B B s i n s i n 2=25,∴cos B =45. 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .［答案］62+83［解析］设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°，∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C 2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32,∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］由正弦定理得，sin A =b B a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23，∵a ＞b ,∴A ＞B=45∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°， sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262 +⨯=226+， 当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°， sin15°=sin(45°-30°)= 426-,c =B C b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262 -⨯ =226-∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-.14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4π,cos 2B =552， 求△ABC 的面积. ［解析］由题意知cos2B =552,则cos B =2cos 22B-1=53，∴B 为锐角,∴sin B =54,sin A =sin(π-B-C )=sin(53π-B )= 1027由正弦定理，得c ＝A C a sin sin =1027222 ⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B , 由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π.∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.［解析］（1）因为b=a cos C ,所以由正弦定理得： sin B =sin A cos C ,从而sin(A+C )=sin A cos C ,所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C[；所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0.所以cos A =0 所以∠A =3π,所以△ABC 为直角三角形. (2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则C c sin =12,且sin C =31,∴c =4,从而b =22c a -=82,∴S △ABC=21bc =162.。
(完整word)正弦定理练习含答案,推荐文档
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断△ABC 的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
解三角函数：正弦定理习题及详细答案
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对．以上答案都不对解析：选C.sin B c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC D，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，解三角函数：正弦定理＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°45°. . 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，的平分线，交对边BC 于∴CDAC ＝sinA2 sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC. 一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35C.37 D.5B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C. ∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B. 3．15，b＝10，A ＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10·10·sin 60°sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a＞b，A 7解析：选A.根据根据正弦定理正弦定理得sin A sin (2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin 3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D.3 解析：选 B.．两解．两解 B ．一解．一解 C ．无解．无解 D ．无穷多解．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5. 答案：25 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶3 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°150°. . 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°30°. . 故C ＝90°，由，由勾股定理勾股定理得c ＝2. 6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A9．(2010年高考北京卷)＝6，＝. ＝a2R∶b2R∶c2R＝×4A＝bsin B，得＝a sin Bb＝×322＝534＞＝532，所以cos(π－cos(π－cos(π2－cos(π2－a·a2Rcos(π2－cos(π2－2.＝π15＝根据正弦定理正弦定理asin ＝b·b2R，。
(完整word)正弦定理练习题
第一章 解三角形一、选择题。
1。
在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于（ )A 。
30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º 2。
在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为（ ） A 。
3π B.6πC.6π或6π5D 。
3π或3π2 3。
△ABC 中，下述表达式：①sin （A + B ）+ sin C ;②cos(B + C )+ cos A ； ③2tan 2tanCB A +，其中表示常数的是（ ） A. ①和② B. ①和③C 。
②和③ D. ①②③4。
在△ABC 中，“A = B ”是“sin A = sin B ”的( ) A. 充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 C. 充要条件 D 。
即不充分又不必要条件5. 已知 a ，b ，c 是△ABC 三边的长，若满足等式(a + b - c )（a + b + c )= ab ，则∠C 的大小为（ ) A 。
60º B 。
90º C 。
120º D 。
150º6. 若△ABC 满足下列条件: ① a = 4，b 10，A 30; ② a 6，b 10,A 30； ③ a 6，b 10,A 150； ④ a12,b10，A150； ⑤ a + b + c = 4，A 30，B 45.则△ABC 恰有一个的是( )A 。
①④B 。
①②③ C. ④⑤ D 。
①②⑤ 7。
△ABC 中，若 sin(A + B ）sin （A — B ）= sin 2C ,则△ABC 是( ) A 。
锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形D 。
等腰三角形 8. △ABC 中，若a ，b ，c 成等差数列，则∠B 的取值范围是( ）A. ⎝⎛⎥⎦⎤3π 0， B 。
正弦定理练习题(含答案)资料
正弦定理练习题(含答案)正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
正弦定理练习题(最新整理)
正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．262362．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4 D.2363233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1 B. C ．2 D.12146．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B b aA ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B. C.或 D.或323432334328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等于( )26A. B ．2 C. D.6329．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π310．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.43311．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则＝________，c ＝33a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则＝________.a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C15．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213316．在△ABC 中，b ＝4，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．317．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin A b sin B a sin B sin A62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 B ．4 C ．4 D.236323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝＝4.a sin B sin A63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理＝得：sin B ＝＝，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.a sin A b sin B b sin A a 224．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1 B. C ．2 D.1214解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c ＝＝1.b sin B c sin C 2×sin 30°sin45°6．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B b a A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin B sin Asin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π27．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B.3234C.或 D.或3233432解析：选D.＝，求出sin C ＝，∵AB ＞AC ，AB sin C AC sin B 32∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝AB ·AC sin A 可求面积．128．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等于( )26A. B ．26C. D.32解析：选D.由正弦定理得＝，6sin120°2sin C ∴sin C ＝.12又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝.29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π3解析：由正弦定理得：＝，a sin A c sin C 所以sin A ＝＝.a ·sin C c 12又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝，∴A ＝.π3π6答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.433解析：由正弦定理得＝a sin A b sin B ⇒sin B ＝＝＝.b sin A a 4×1243332答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由＝得，a ＝＝4，a sin A b sin B 12×sin30°sin120°3∴a ＋c ＝8.3答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则＝________，c ＝33a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ________.解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S △ABC ＝bc sin A ，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C a sin A 63sin60°1212×12×sin60°×c ＝18，3∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则＝________.a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝＝＝2，a sin A 1sin30°又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴＝＝2R ＝2.a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C 2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C答案：215．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：依题意，sin C ＝，S △ABC ＝ab sin C ＝4，223123解得b ＝2.3答案：2316．在△ABC 中，b ＝4，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．3解析：∵b sin C ＝4×＝2且c ＝2，3123∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×＝20，12∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝＝10(km)．20sin30°sin45°2即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 km.218．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin 3C 2C 214C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .A 2解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A 2sin B sin C ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin A b sin B c sin C b ＝c ＝a ＝2×＝2.sin B sin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2.2π3π619．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝，sin B ＝.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝－1，求a ，b ，c 的值．3510102解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝，1010∴cos B ＝＝.1－sin 2B 31010又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝，∴sin A ＝，cos A ＝，3555255∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝×－×＝.2553101055101022又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝.π4(2)由(1)知，C ＝，∴sin C ＝.3π422由正弦定理：＝＝得a sin A b sin B c sin C a ＝b ＝c ，即a ＝b ，c ＝b .510225∵a －b ＝－1，∴b －b ＝－1，∴b ＝1.222∴a ＝，c ＝.2520．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A b sin B15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．。
正弦定理训练测试题（含答案）
正弦定理训练测试题（含答案）正弦定理⼀、单选题（共15题；共30分）1.（2020⾼⼀下·⼤庆期末）已知的三个内⾓的对边分别为，且满⾜，则等于（）A. B. C. D.2.（2020⾼⼀下·六安期末）设的内⾓所对的边分别为，若，则的形状为（）A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 等腰三⾓形3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆⾯积为（）A. B. π C. 2π D. 4π4.在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三⾓形有两个，则a满⾜的条件是（）A. B. C. D.5.（2020⾼⼀下·抚顺期末）在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2 ，C＝30°，则B等于（）A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 60°或120°6.（2020⾼⼀下·南昌期末）在中，，，，则（）A. B. C. D.7.（2020⾼⼀下·牡丹江期末）已知的内⾓的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.8.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）在中，，那么（）A. B. C. 或 D.9.（2020⾼⼀下·台州期末）在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. 2 D.10.（2020⾼⼀下·⾦华⽉考）在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.11.（2020·南昌模拟）已知中⾓所对的边分别为，若，则⾓A等于( )A. B. C. D.12.（2020·漯河模拟）设锐⾓的三内⾓A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为( )A. B. C. D.13.（2020⾼⼀下·太原期中）在锐⾓三⾓形中，已知，则的范围是( )A. B. C. D.14.（2020⾼⼀下·怀仁期中）在△ABC中，，则三⾓形解的情况是（）A. ⼀解B. 两解C. ⼀解或两解D. ⽆解15.（2020⾼⼀下·沈阳期中）的内⾓的对边分别为,且, ，，则⾓C=( )A. B. C. 或 D. 或⼆、填空题（共4题；共5分）16.（2020⾼⼆下·嘉兴期末）已知中，，是的中点，且，则________.17.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）已知中，，则⾓A等于________.18.（2020⾼⼀下·温州期末）在中，，，点M在上，且，则________，________．19.（2020⾼⼀下·六安期末）在中，⾓所对的边分别是，若，则⾓C的⼤⼩为________.三、解答题（共5题；共35分）20.（2020⾼⼀下·深圳⽉考）在中，已知，，，求的值．21.（2019⾼三上·杭州期中）在中，a，b，c分别为⾓A，B，C所对边的长，且.（Ⅰ）求⾓B的值；（Ⅱ）若，求的⾯积.22.（2019⾼⼆上·榆林⽉考）在中，，，分别是⾓，，的对边，且，，．求：（1）的值．（2）的⾯积．23.（2019·贵州模拟）在中，内⾓的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知，的⾯积为，求的周长.24.（2018·天津）在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.（Ⅰ）求⾓B的⼤⼩；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值.答案解析部分⼀、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得,所以,因为在中, ,所以,因为,所以,故答案为：D【分析】利⽤正弦定理化边为⾓可得,则,进⽽求解.2.【答案】B【解析】【解答】∵，由正弦定理得：，∵，∴，，故三⾓形为直⾓三⾓形，故答案为：B.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为⾓的正弦，利⽤两⾓和公式化简求得的值进⽽求得A，判断出三⾓形的形状.3.【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.故答案为：B.【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.4.【答案】C【解析】【解答】为使此三⾓形有两个，即bsinA＜a＜b，∴2 × ＜a＜2 ，解得：3＜a＜2 ，故答案为：C．【分析】为使此三⾓形有两个，只需满⾜bsinA＜a＜b，即可求a范围．5.【答案】D【解析】【解答】由c＝2，b＝2 ，C＝30°，由正弦定理可得：，，由⼤边对⼤⾓可得：，解得60°或120°．故答案为：D.【分析】由正弦定理可解得，利⽤⼤边对⼤⾓可得范围，从⽽解得A的值．6.【答案】C【解析】【解答】∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，B为锐⾓，∴．故答案为：C【分析】由已知利⽤正弦定理可得，结合，可得B为锐⾓，可求．7.【答案】D【解析】【解答】因为，故.故答案为：D.【分析】利⽤正弦定理可求的值.8.【答案】D【解析】【解答】由正弦定理得，因为，∴，所以，从⽽．故答案为：D．【分析】由正弦定理求C，然后再得A⾓．9.【答案】B【解析】【解答】根据正弦定理可得，即，解得，故答案为：B.【分析】直接利⽤正弦定理，结合题中所给的条件即可得结果.10.【答案】D【解析】【解答】解：在中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，利⽤正弦定理：，整理得：．故答案为：D．【分析】直接利⽤正弦定理的应⽤和三⾓函数值的应⽤求出结果．11.【答案】B【解析】【解答】由及正弦定理可得，⼜，所以，解得或（舍），⼜，所以.故答案为：B【分析】由正弦定理可得，结合解⽅程组即可得到答案.12.【答案】A【解析】【解答】且为锐⾓三⾓形，，，⼜，，，，，由正弦定理得：，.故答案为：A.【分析】根据锐⾓三⾓形的特点和可确定的取值范围，进⽽求得的取值范围；利⽤正弦定理可得到，进⽽求得结果.13.【答案】C【解析】【解答】，⼜，，锐⾓三⾓形，∴，故，故.故答案为：C.【分析】根据正弦定理得到，计算，得到答案.14.【答案】D【解析】【解答】过点A作AD⊥BD．点D在∠B的⼀条边上，∵h＝csinB＝6 3 3＝b＝AC，因此此三⾓形⽆解．故答案为：D．【分析】由csinB＞b，即可得出解的情况．15.【答案】B【解析】【解答】由正弦定理，，所以，⼜，则，所以，故答案为：B。
正余弦定理典型例题
正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。
解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。
因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。
再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。
所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。
2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。
解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。
把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。
因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。
当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。
正弦定理练习题(经典)
正弦定理演习题 【1 】1．在△ABC 中,A ＝45°,B ＝60°,a ＝2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.144．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( ) A.6B ．2C.3D. 26．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________.9．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________.10．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.11．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解．12 . 断定知足下列前提的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解 正弦定理1．在△ABC 中,∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.运用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ,求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.4．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B ＝45°. 5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A.6B ．2 C.3D. 26sin120°＝2sin C, ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A ＝30°,△ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.6．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin B sin A, sin A cos A ＝sin B cos B ,∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B ,或A ＋B ＝π2. 8．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B ＝30°,则△ABC 的面积为( ) A.32B.34 C.32或3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ,求出sin C ＝32,∵AB ＞AC , ∴∠C 有两解,即∠C ＝60°或120°,∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 9．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C, 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ,∴A ＜C ＝π3,∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a ＝c ,由a sin A ＝b sin B 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43,∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解． 解析：∵Bb Cc sin sin =,有B sin 3430sin 2=︒,得sinB=13＞ ∴此三角形无解．答案：0一,二,二,无。
正弦定理练习题
正弦定理练习题1.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b等于（B）2.2.在三角形ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（C）43.3.在三角形ABC中，已知∠A=60°，a=43，b=42，则∠B等于（A）45°或135°。
4.在三角形ABC中，已知a:b:c=1:5:6，则.5.在三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A=105°，∠B=45°，b=2，则c等于（C）2.6.在三角形ABC中，若cosA=cosB，则三角形ABC是（D）等腰三角形或直角三角形。
7.已知三角形ABC中，AB=3，AC=1，∠B=30°，则三角形ABC的面积为（A）3.8.三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
若c=2，b=6，∠B=120°，则a等于（B）2.9.在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=3，∠C=43°，则∠A=（C）63°。
10.在三角形ABC中，已知a=√3，b=4，∠A=30°，则sinB=（B）1/2.11.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=120°，b=12，则a+c=（D）24.12.在三角形ABC中，若a=2bcosC，则三角形ABC的形状为（A）等腰三角形。
13.在三角形ABC中，∠A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则sinA+sinB+sinC=（C）2.14.已知三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，a=1，则sinA-2sinB+sinC=（B）-1.15.在三角形ABC中，a=32，cosC=1/3，S△ABC=43，则b=（A）24.16.在三角形ABC中，b=43，C=30°，c=2，则此三角形有（B）两组解。
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。
正弦定理练习题(打印版)
正弦定理练习题（打印版）
# 正弦定理练习题
## 一、选择题
1. 在三角形ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求角A的正弦值。
A. 1/3
B. 1/4
C. 1/5
D. 2/5
2. 若三角形ABC的内角A、B、C的正弦值分别为sinA、sinB、sinC，且a=5，b=7，c=8，求sinC。
A. 3/4
B. 4/5
C. 5/8
D. 8/7
## 二、计算题
1. 在三角形ABC中，已知a=7，b=8，A=45°，求B和C的度数。
2. 已知三角形ABC的边长分别为a=5，b=7，c=6，求角A的正弦值。
## 三、证明题
1. 证明：在任意三角形ABC中，如果a=b，那么sinA=sinB。
2. 证明：在三角形ABC中，如果sinA+sinB+sinC=2，那么三角形ABC 是直角三角形。
## 四、应用题
1. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，求这个三角形的面积。
2. 在三角形ABC中，已知b=8，c=10，B=60°，求边长a。
## 五、综合题
1. 已知三角形ABC的边长a，b，c和对应的角A，B，C，求证：
a/sinA = b/sinB = c/sinC。
2. 在三角形ABC中，已知a=9，b=12，C=90°，求角A和B的度数以及三角形ABC的面积。
注意：请在解答时，确保计算过程清晰，步骤合理，结果准确。
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《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》
一、复习要求 ：
1． 掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。
2． 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。
二、知识点回顾
（1） 正弦定理：,22sin sin sin ∆
====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC
a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC
(2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bc
a c
b A 2cos 2
22-+= , (轮换得另二式) 余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b
c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 -
2﹒a ﹒b =a 2+b 2 - 2abcosC (其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)
三、典型例题分析：
例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求
b
c 的范围 分析：角边比转化，可用正弦定理 解：1cos 4cos 22cos sin )2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B B
B B B B B
C b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22<<B ∴ １<４cos 2B-1<3 故 31<<b
c 练习1：在∆ABC 中，若sinA=2cosBsinC,则∆ABC 的形状是
例2：在∆ABC 中，已知4sinBsinC=1, B>C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。
解：2
122cosA 222==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11sin 22sin 31)sin 2
1cos 23(sin 42=+⇒=+⇒B B B B B B con B 22sin 3=⇒ ∴3
32tan =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050
∴A=600 B=1050 C=150
练习2：在∆ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小
（2） 若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c
例３：如图，已知Ｐ为∆ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ
＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝θ
求证cot θ=cotA+cotB+cotC
C A B a c b θ A B C
P θθ
解：在∆ABC 中，
APB
c PB ∠=sin sin θ [][]θθππ+--=∠-∠-=B c ABO BAP c sin sin ＝B
c sin 同理C a C PB sin )sin(=-θ ∴C C C a C C a B c sin )sin cos cos (sin sin )sin(sin sin θθθθ-=-= ∴sinAsinBsinCcos θ=sinAsinBcosCsin θ+sin 2C sin θ ∴C B A B
A B A B A C B A C C cot cot cot sin sin sin cos sin sin cot sin sin sin cot cot ++=++=+=θ 四：作业
１．在∆ABC 中，a+b=366+ 030=∠A 060=∠B 求边c 的长
２．在∆ABC 中，Ｓ是它的面积，a,b 是它的两条边的长度，Ｓ＝
)(4122b a + 求这个三角形的各内角．
３．已知圆Ｏ的半径为Ｒ，它的内角三角形ＡＢＣ中，２Ｒ（sin 2A-sin 2C ）=B b a sin )2(- 成立，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值．。