(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明(最新整理)

3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解
π
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
所对的边分别为 a，b，c.若 a＝2，B＝ ，c＝2 6
(3)余弦 (4)余弦
3，则 b＝________．
1
1
1
abc
4． (1) absinC bcsinA acsinB
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accosB＝22
2
2
2
2
22
1 . 3
则解此三角形的结果有( )
A．无解
B．一解
C．两解
D．一解或两解
c·sinB 5
解：由正弦定理知 sinC＝
＝ ，又由
b6
c>b>csinB 知，C 有两解．也可依已知条件，画
【自查自纠】
出△ABC，由图知有两解．故选 C.
abc 1．(1) ＝ ＝ ＝2R
sinA sinB sinC
时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定理，
必有一解．
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三 角 形 面 积 公 式 S△＝
＝
＝
____________＝
____________＝
____________．其中 R，r 分别为三角形外接圆、
内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则 A＝__________，
A ＝ __________， 从 而 sinA＝ 2
____________，
cosA＝
____________，
tanA＝
____________；
A
A
sin ＝__________，cos ＝__________，
2
2
1
A tan ＝ ________.tanA＋ tanB＋ tanC＝
2
D．既不充分也不必要条件 解：因为在同一三角形中，角大则边大，边
4
sinA
5π asinC
π
＝2sin ，c＝ ＝2sin .
8
sinA
8
1
1
5π
π
∴S△ABC＝
bcsinA＝ 2
×2sin 2
8
×2sin 8
2 ×
2
5π π
ππ 2
＝ 2sin sin ＝ 2cos sin ＝ sin
88
8 82
π1 ＝.
42
类型二 余弦定理的应用
( ) π
－csin ＋B ＝a. 4
故 cosC＋ sinC＝ sinA＋ sinC＝ 2sin(A＋ C)＝ 2sin(90°＋2C)＝ 2sin2(45°＋C)． ∴ 2sin(45°＋ C)＝ 2 2sin(45°＋
C)cos(45°＋C)， 1
即 cos(45°＋C)＝ . 2
又∵0°＜C＜90°，∴45°＋C＝60°，C＝ 15°.
【评析】①根据所给等式的结构特点利用余 弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关
(2013·山东)设△ABC 的内角 A，B，
键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注 C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＋c＝6，b＝2，cosB
意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
7 ＝.
9
若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，
(1)求 a，c 的值； (2)求 sin(A－B)的值．
b，c 满足(a＋b)2－c2＝4，且 C＝60°，则 ab
解：(1)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，
的值为( )
4
A.
B．8－4 3
3
2 C．1 D.
3
解：由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2
＋b2－ab，代入(a＋b)2－c2＝4 中得(a＋b)2－(a2
4
1
2
(2)△ABC 的面积 S＝ acsinB＝ ac.
2
4
π 由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－2accos .
4
4
又 a2＋c2≥2ac，故 ac≤
，
2－ 2
在 三 角 形 ABC 中 ， 若 tanA∶tanB＝
a2∶b2，试判断三角形 ABC 的形状．
2 ＋c2－2accosB，得 13＝42－2ac－2accos π，
3 解得 ac＝3.
1
33
∴S△ABC＝2acsinB＝ 4 .
【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的 正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知 边及其对角求三角形面积最值是高考中考过 多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以 用余弦定理化边后用不等式求最值．
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题．
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的 能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常 常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明， 或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度 等问题，且多以应用题的形式出现．
【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角 角关系，这是解此题的关键．
(2012·江西)在△ABC 中，角 A，B，
( ) π
π
C 的对边分别为 a，b，c.已知 A＝ ，bsin ＋C
4
4
3π (2)∵B＋C＝π－A＝ ，又由(1)知 B－C＝
4
π ，
2
5π π
∴B＝ ，C＝ .
8
8
π
asinB
∵a＝ 2，A＝ ，∴由正弦定理知 b＝
若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a2＋b2______c2.故
由 a2＋b2 与 c2 值的大小比较，可以判断 C 为锐
角、钝角或直角．
图 形
关 a＝ bsinA<a
系
a≥b
a>b
bsinA
<b
式
解
的 ① ② ③ ④
个
数
(3)已知三边，用____________定理．有解
3．解斜三角形的类型
(1)已 知 三 角 形 的 任 意 两 个 角 与 一 边 ， 用
____________定理．只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对
角 ， 用 ____________定 理 ， 可 能 有
___________________．如在△ABC 中，已知 a，b
和 A 时，解的情况如表：
π (1)求证：B－C＝ ；
2 (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
( ) ( ) π
π
解：(1)证明：对 bsin ＋C －csin ＋B
4
4
( ) π
＝a 应用正弦定理得 sinBsin ＋C －sinCsin 4
( ) π ＋B ＝sinA， 4
即
( ) 2
2
sinB sinC＋ cosC －
(2013·陕西)设△ABC 的内角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 若 bcosC＋ ccosB＝
bc (2)①2RsinB 2RsinC ②
2R 2R
asinA, 则△ABC 的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
③sinA∶sinB∶sinC
C．钝角三角形
D．不确定
2．(1)b2＋c2－2bccosA c2＋a2－2cacosB
解 ： 由 已 知 和 正 弦 定 理 可 得 sinBcosC＋
a2＋b2－2abcosC a2＋b2
sinCcosB＝ sinA·sinA， 即 sin(B＋ C)＝
b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 a2＋b2－c2
(2)
A 为锐角
A 为钝角 或直角
1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它
所对角的正弦的比相等，即
．其
中 R 是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式：
①a＝ 2RsinA， b＝
，c
＝
；
a
②sinA＝ ，sinB＝
，
2R
sinC＝
；
③a∶b∶c＝______________________.
——王彦文 青铜峡一中
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边
角____________，余弦定理亦可以写成 sin2A＝
sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝
____________；sin2C＝__________________.注
意式中隐含条件 A＋B＋C＝π.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等
于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹
角的余弦的积的两倍．即
a2＝
，b2＝
，
c2＝
.
若令 C＝90°，则 c2＝
，即为勾
股定理．
(2)余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA
＝
，cosB＝
，cosC
＝
.
若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a2＋b2______c2；
b3
(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的 内
角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csinB.
(1)求 B； (2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 ： (1)由 已 知 及 正 弦 定 理 得 sinA＝
因为 a＝c，所以 A 为锐角， 1
所以 cosA＝ 1－sin2A＝ . 3
__________.
大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选 C.
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b
在△ABC 中，已知 b＝6，c＝10，B＝30°，
＝____________⇔2sinB＝____________⇔2sin
B A－C
A＋C A－C A C
＝cos ⇔2cos ＝cos ⇔tan tan ＝
2
2
2
4R
π
1 (a＋b＋c)r
＋(2 3)2－2×2×2 3×cos ＝4，b＝2.故填 2.
6
2
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
π B＋C (2)π－(B＋C) －
为 a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB＝ 2，
22
则角 A 的大小为________．
sin(B＋C) －cos(B＋C)
2
2
2
类型一 正弦定理的应用
sinCcosB＝1，即 sin(B－C)＝1.
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
( )3π
π
由于 B，C∈ 0， ，∴B－C＝ .
4
2
为 a，b，c，已知 A－C＝90°，a＋c＝ 2b，求 C. 解：由 a＋c＝ 2b 及正弦定理可得 sinA＋
sinC＝ 2sinB. 又由于 A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，
4
ab 根 据 正 弦 定 理 ＝ ， 可 得 sinA＝
sinA sinB
asinB 1 ＝.
b2
在△ABC 中，A>B 是 sinA>sinB 的( ) A．充分不必要条件
ππ
∵a＜b，∴A＜B.∴A＝ .故填 .
6
6
B．必要不充分条件
C．充要条件
2
( ) 2
2
2
sinB＋ cosB ＝ ， 整 理 得 sinBcosC－
因 此 sin(A－ B)＝ sinAcosB－ cosAsinB＝
10 2 .
27
sinBcosC＋sinCsinB.①
又 A＝π－(B＋C)，故
类型四 判断三角形的形状
sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②
由①，②和 C∈(0，π)得 sinB＝cosB.
π 又 B∈(0，π)，所以 B＝ .
2
2
sinC
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C
cosB
b
的对边，且 ＝－ .
cosC 2a＋c
(1)求 B 的大小；
(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC osB＝
，
2ac
a2＋b2－c2
cosB
b
cosC＝
，将上式代入 ＝－ 得
>
sinAsinA，亦即 sinA＝sinAsinA.因为 0<A<π，
2bc
2ca
2ab
π
<
所以 sinA＝1，所以 A＝ .所以三角形为直角三 2
(3)互化 sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB 角形．故选 B.
sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC
(2012·陕西)在△ABC 中，角 A，B，C
4 ＋b2－ab)＝4，即 3ab＝4，∴ab＝ .故选 A.
3
得 b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又 a＋c＝ 6，b＝2，
7 cosB＝ ，所以 ac＝9，解得 a＝3，c＝3.
9
42 (2)在△ABC 中，sinB＝ 1－cos2B＝ ，
9
类型三 正、余弦定理的综合应用
asinB 2 2 由正弦定理得 sinA＝ ＝ .
B＋C B＋C
－ tan(B＋ C) cos sin
2
2
1
解：∵sinB＋cosB＝ 2，
( ) ( ) π
π
∴ 2sin B＋ ＝ 2，即 sin B＋ ＝1.
4
4
B＋C tan
2 tanAtanBtanC (3)a＋c sinA＋sinC
ππ π
又∵B∈(0，π)，∴B＋ ＝ ，B＝ .
42
2ab
cosC 2a＋c
a2＋c2－b2
2ab
b
·
＝－ ，
2ac
a2＋b2－c2 2a＋c
整理得 a2＋c2－b2＝－ac.
a2＋c2－b2 －ac 1
∴cosB＝
＝ ＝－ .
2ac
2ac 2
2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π.
3
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入 b2＝a2
3
3