专题 正余弦定理的应用

正余弦定理的应用

1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.

2、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若

45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．

3、【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

（1）若a =3c ，b ，cos B =2

3

，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2

B π

+的值．

4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥

AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线

段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．

已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．

（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；

（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．

5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2

A C

a b A +=． （1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．

6、【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12

-

． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．

7、【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，

3sin 4sin c B a C =.

（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭

的值.

一、正弦、余弦定理

1、在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则

2、S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R

3、正余弦定理的作用：

(1)．正弦定理的作用：边角互化问题，方法有： ①利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 将边化为角；

②利用cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

等将余弦化为边；

③c cos B ＋b cos C ＝a 等化角为边．

(2)．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．

二、在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

a＝b sin A b sin Ab

1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.

(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.

题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量

三角形的基本量主要是指变、角、面积等。解题时注意一下两点：(1)根据所给等式的结构特点利用正、余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用正、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.

例1、(2019通州、海门、启东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝3b cos A，

B＝A－π

6

，则B＝________．

例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sin B＝2sin A，且△ABC的面积为23，则AB的长为________．

例3、(2019镇江期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B. (1) 求cos B 的值；

(2)若|CA →－CB →

|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.

题型二、运用正余弦定理研究三角形中的范围

运用正余弦定理研究三角形中的范围主要涉及两方面的问题：一是：与不等式结合；二是有角的范围，确定三角函数值的范围·

例4、(2019苏州期初调查）在斜三角形ABC 中，已知

1

tan A ＋

1

tan B

＋tan C ＝0，则tan C 的最大值等于________．

例5、(2018苏锡常镇调研（二））在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC

的面积为S ，且2224)S a c b =

+-.

（1）求B ∠的大小；

（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围．

题型三、正余弦定理与向量的综合

正余弦定理与向量的综合主要就是借助于向量的知识转化为边角的函数关系式，然后运用正余弦定理解决问题。

例6、(2019无锡期末）在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量 m ＝ (a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n . (1)求角 C 的大小；

(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．

题型四、运用正余弦定理解决实际问题

解三角形应用题的解题技巧：首先，理清题干条件和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果. 例7、（2019苏北三市期末）如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把△ABC 所在的区域改造成绿化区域．已知∠BAC＝π

6

，AB ＝2 km .