专题 正余弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
正弦余弦定理及应用
正弦余弦定理及应用正弦定理和余弦定理是在解三角形问题中常用的两个定理。
在解决三角形问题时，我们经常需要求解三角形的边长或者角度。
使用正弦定理和余弦定理可以帮助我们更方便地解决这些问题。
首先来看正弦定理。
正弦定理是针对一个三角形中的角和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B和∠C，三个对边长度分别为a、b和c，则正弦定理可以表示为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C其中sin∠A表示∠A的正弦值。
正弦定理的推导过程非常简单，可以通过三角形的面积公式进行得出。
由于三角形的面积与其对边的关系为S = (1/2)ab*sin∠C，我们可以得到sin∠C = (2S)/(ab)，从而推导出上述的正弦定理。
正弦定理的应用非常广泛。
通过正弦定理，我们可以方便地求解角度或者边长。
举个例子来说，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5、b=7，以及它们之间的夹角为∠C=30，我们可以利用正弦定理来求解第三条边c的长度。
根据正弦定理，我们可以得到c/sin∠C = b/sin∠B，化简后得到c = b*sin∠C/sin ∠B。
将具体数值代入计算可以得到c=3.5。
而余弦定理则是针对三角形的边和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b和c，三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则余弦定理可以表示为：c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C余弦定理的推导过程较为复杂，这里我们只给出其结果。
余弦定理是由向量的内积推导而来的，通过应用余弦定理，我们可以求解未知角或边长。
同样以一个例子来说明，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5和b=7，以及它们夹角的余弦值cos∠C=1/2，我们可以利用余弦定理来求解第三条边c 的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C，将具体数值代入计算可以得到c²= 25 + 49 - 35/2 = 59.5。
专题4.5正弦定理和余弦定理的应用(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；①利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ①B ①C 为( ) A ．1①1①3 B ．1①2①3 C ．1①3①2D ．1①4①1【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ①B ①C ＝1①2①3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，①ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小；①若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos①ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos①BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos①BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则①ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．【例2】在①ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则①ABC 的形状为 ．【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，A ＝π2或A ＝B ，故①ABC 为等腰或直角三角形．题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S ①ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ①ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则①ABC的面积为 ．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以①ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以①ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则①ABC 的面积为 ．【解析】因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S ①ABC ＝12ab sin C＝12×23sin π6＝32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且①ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由①ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若①ABC 的面积为3，周长为8，求a .【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求①ABC 外接圆的直径；(2)求a ＋c 的取值范围．【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，①ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，从而32＜3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ①R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，①ABC 的面积为12，求a 的值．【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1.令2x ＋π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-，k ①Z ，解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z .(2)因为f (A )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＋1＝2，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA ＝1. 因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由①ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，解得a ＝3－1. 【例2】①ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【解析】：(1)法一：在①ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0，则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2，此时B ＝π2.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中，a ①b ①c ＝3①5①7，那么①ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形【解析】：因为a ①b ①c ＝3①5①7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，①ABC 是钝角三角形，故选B. 2．(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则①ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：在①ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ①(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以①ABC 的形状是等边三角形，故选C.3．(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( ) A.823 B.1433 C.73D ．733【解析】：因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D. 4．(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sinB ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24 B.24 C.528D ．34【解析】：由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为①ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.5．(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°【解析】：法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sin C ＝12sin C ，又在①ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ，b ，c 分别为①ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ①sin B ＝1①3，c ＝2cos C ＝3，则①ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3 B ．23 C ．3＋2 3D ．3＋3【解析】：因为sin A ①sin B ＝1①3，所以b ＝3a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以①ABC 的周长为3＋23，故选C.7．(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，①ABC的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B.5 C.13D ．17【解析】：因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A . 所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.易得cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a ＝1.故选A. 8．(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，①ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( ) A ．10 B ．12 C ．8＋ 3D ．8＋23【解析】：因为①ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cosA ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以①ABC 为正三角形，所以①ABC 的周长为3×4＝12.故选B.9．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，①D ＝90°，①BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B.6C.7D ．22【解析】：如图，在①ACD 中，①D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以①CAD ＝60°.又①BAD ＝120°，所以①BAC ＝①BAD －①CAD ＝60°.在①ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos①BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2Cc ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]【解析】：根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.二、填空题1.在①ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为 ． 【解析】：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B . 2．(2020·天津模拟)在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝ ．【解析】：在①ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sinC ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.3．(2020·河南期末改编)在①ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，则C ＝ ，BC ＝ ．【解析】：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.4.在①ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则①ABC 的面积为 ．【解析】：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S ①ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.5．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝ ，①ABC 的面积等于 ．【解析】：①ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝4×sinπ323＝1.又B 为三角形的内角，所以B ＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2，所以S ①ABC ＝12×2×23＝2 3.6．在①ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S ①ABC ＝574，则b 的值为 ．【解析】：由sin A sin B ＝5c 2b ①a b ＝5c 2b ①a ＝52c ，①由S ①ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，①联立①，①得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．【解析】：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA ＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4. (2)在①ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 2.在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求cos B 的值．【解析】：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求①ABC 面积的最大值．【解析】：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S ①ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故①ABC 面积的最大值为2＋ 3.4．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：①ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且①ADB ＝2①ACD ，a ＝3，求b 的值．【解析】：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c .故①ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为①ADB ＝2①ACD ＝①ACD ＋①DAC ， 所以①ACD ＝①DAC ，所以AD ＝CD ＝1.又因为cos①ADB ＝－cos①ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3.法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以①B ＝①C ，又因为①DAC ＝①ADB －①C ＝2①C －①C ＝①C ＝①B ， 所以①CAB ①①CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知①ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】：(1)因为S ①ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6.由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-＝13.所以BD ＝13.。
正余弦定理的应用
利用正余弦定理，可以求出三角形的 角度，特别是当已知两边及其夹角时。
在三角形边长问题中的应用
计算边长
已知三角形的两边及夹角，正余弦定理可以用来计算第三边的长度。
验证边长条件
在解决三角形问题时，可以使用正余弦定理验证给定的边长是否满足三角形的性质。
在三角函数问题中的应用
计算三角函数值
利用正余弦定理，可以求出三角函数值 ，例如sin、cos或tan。
VS
验证三角函数关系
在解决三角函数问题时，可以使用正余弦 定理验证给定的三角函数关系是否成立。
04
CHAPTER
实际应用举例
பைடு நூலகம்
测量问题中的应用
确定不可达物体的高度
通过测量物体在太阳下形成的阴影长度，结 合正弦定理，可以计算出物体的高度。
正余弦定理的应用
目录
CONTENTS
• 正弦定理的应用 • 余弦定理的应用 • 正余弦定理的综合应用 • 实际应用举例
01
CHAPTER
正弦定理的应用
在三角形边长问题中的应用
确定已知两边及一边对角时，利用正弦定理求第 三边。
已知三角形的两边及其中一边的对角，可以使用 正弦定理求出第三边。
在三角形中已知两边及夹角，可以使用正弦定理 求出第三边。
解决三角函数方程
通过余弦定理，我们可以解决一些三角函数方程，例如求解sin(x) = 1/2在[0,2π]内的 解。
03
CHAPTER
正余弦定理的综合应用
在解三角形问题中的应用
确定三角形形状
通过正余弦定理，可以判断三角形的 形状，例如是否为直角三角形、等腰 三角形或等边三角形。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是数学中的两个重要的三角函数定理，它们在解决各种几何和数学问题时具有广泛的应用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两个定理。
一、余弦定理的应用余弦定理是解决三角形中边和角之间关系的重要定理。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据余弦定理可以得出以下公式：a² = b² + c² - 2bc·cosAb² = a² + c² - 2ac·cosBc² = a² + b² - 2ab·cosC余弦定理可以用来求解未知边长或角度的问题。
下面通过几个实际问题来展示余弦定理的应用。
【例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和6cm，夹角为60°，求第三边的长度。
解：根据余弦定理，可得c² = 5² + 6² - 2×5×6·cos60°c² = 25 + 36 - 60c² = 61c = √61因此，第三边的长度约为7.81cm。
【例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为30°，求夹角的余弦值。
解：根据余弦定理，可得cosA = (7² + 9² - 2×7×9·cos30°) / (2×7×9)cosA = (49 + 81 - 63) / 126cosA = 67 / 126所以，夹角A的余弦值约为0.532。
二、正弦定理的应用正弦定理是另一个求解三角形边与角关系的重要定理。
与余弦定理类似，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据正弦定理可以得出以下公式：a / sinA =b / sinB =c / sinC通过正弦定理可以求解未知边长或角度的问题。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
余弦定理及正弦定理的应用
余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。
下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。
一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。
2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。
3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。
二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。
2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。
综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。
在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。
一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。
它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。
例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。
通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。
同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。
通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。
例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。
通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。
由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。
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正余弦定理的应用1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.2、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．3、【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．6、【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．7、【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.一、正弦、余弦定理1、在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2、S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R3、正余弦定理的作用：(1)．正弦定理的作用：边角互化问题，方法有： ①利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 将边化为角；②利用cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等将余弦化为边；③c cos B ＋b cos C ＝a 等化角为边．(2)．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．二、在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量三角形的基本量主要是指变、角、面积等。
解题时注意一下两点：(1)根据所给等式的结构特点利用正、余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用正、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.例1、(2019通州、海门、启东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝3b cos A，B＝A－π6，则B＝________．例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sin B＝2sin A，且△ABC的面积为23，则AB的长为________．例3、(2019镇江期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B. (1) 求cos B 的值；(2)若|CA →－CB →|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.题型二、运用正余弦定理研究三角形中的范围运用正余弦定理研究三角形中的范围主要涉及两方面的问题：一是：与不等式结合；二是有角的范围，确定三角函数值的范围·例4、(2019苏州期初调查）在斜三角形ABC 中，已知1tan A ＋1tan B＋tan C ＝0，则tan C 的最大值等于________．例5、(2018苏锡常镇调研（二））在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC的面积为S ，且2224)S a c b =+-.（1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围．题型三、正余弦定理与向量的综合正余弦定理与向量的综合主要就是借助于向量的知识转化为边角的函数关系式，然后运用正余弦定理解决问题。
例6、(2019无锡期末）在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量 m ＝ (a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n . (1)求角 C 的大小；(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．题型四、运用正余弦定理解决实际问题解三角形应用题的解题技巧：首先，理清题干条件和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果. 例7、（2019苏北三市期末）如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把△ABC 所在的区域改造成绿化区域．已知∠BAC＝π6，AB ＝2 km .(1) 若绿化区域△ABC 的面积为1 km 2，求道路BC 的长度；(2) 若绿化区域△ABC 改造成本为10万元/km 2，新建道路BC 成本为10万元/km .设∠ABC＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ≤2π3，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？一、填空题1、(2018苏中三市、苏北四市三调） 在△ABC 中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C 的值为 ．2、(2017常州期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.3、(2019苏州三市、苏北四市二调） 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．4、(2019南京学情调研） 已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14，则BC 的长为________．5、(2019苏州期初调查） 已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________．6、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调） 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为则BC 的长是 ．7、(2019苏锡常镇调研（一）） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝________．8、(2018苏锡常镇调研）） 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan A B= ．9、(2019南京、盐城二模）在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 10、(2017南京、盐城一模）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________．二、解答题11、(2019南京、盐城一模）在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，记△ABC 的面积为S ，若2S ＝AB →·AC →，(1) 求角A 的大小；(2) 若c ＝7，cos B ＝45，求a 的值．12、(2019南通、泰州、扬州一调）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a cos B ＝2b cos A ，cos A ＝33. (1) 求角B 的值；(2) 若a ＝6，求△ABC 的面积．13、(2019宿迁期末）已知△ABC 的面积是S ，AB →·AC →＝233S.(1) 求sin A 的值；(2) 若BC ＝23，当△ABC 的周长取得最大值时，求△ABC 的面积S.14、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝32sin 2x －cos 2x －12. (1) 求函数f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合；(2) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f(C)＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值15、(2019镇江期末）某房地产商建有三栋楼宇A ，B ，C ，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D ，规划要求楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值；(2) 当楼宇D 与楼宇B ，C 间距离相等时，拟在楼宇A ，B 间建休息亭E ，在休息亭E 和楼宇A ，D 间分别铺设鹅卵石路EA 和防腐木路ED ，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a ，2a(单位：元/千米，a 为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．答 案1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈πQ ，sin 0,A ∴≠ ∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=2、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.3、【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ=17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭． 这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 6、【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =． 所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==7、【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．一、正弦、余弦定理1、在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2、S△ABC＝2ab sin C＝2bc sin A＝2ac sin B＝4R3、正余弦定理的作用：(1)．正弦定理的作用：边角互化问题，方法有：①利用a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C将边化为角；②利用cos A＝b2＋c2－a22bc等将余弦化为边；③c cos B＋b cos C＝a等化角为边．(2)．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．二、在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②). (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量三角形的基本量主要是指变、角、面积等。