正弦定理和余弦定理专题及解析

正弦定理和余弦定理

教学目标 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理

1.正弦、余弦定理

在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .

3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：

a ＝

b sin A b sin A b a ≤b

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )

(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )

(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.

(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2

3，则b ＝( ) A. 2

B. 3

C.2

D.3

解析 由余弦定理，得5＝b 2

＋22

－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D. 答案 D

3.(2017·郑州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B

＝a

sin A ，则cos B ＝( ) A.－12

B.12

C.－

32

D.32

解析 由正弦定理知

sin B 3cos B

＝sin A

sin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝1

2，故选B. 答案 B

4.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为3

2，则BC 的长为( )

A.

3

2 B.

3 C.2 3 D.2

解析因为S＝1

2×AB×AC sin A＝

1

2×2×

3

2AC＝

3

2，所以AC＝1，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，

所以BC＝ 3.

答案B

5.在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，

即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝π2，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

答案等腰三角形或直角三角形

考点一利用正、余弦定理解三角形

【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()

A.1个

B.2个

C.0个

D.无法确定

(2)(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()

A.1

B.2

C.3

D.4

(3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，

sin B＝1

2，C＝

π

6，则b＝________.

解析(1)∵b sin A＝6×

2

2＝3，∴b sin A

∴满足条件的三角形有2个.

(2)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2＝a2＋b2－2ab cos C，得13＝9＋b2＋3b，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1，因此AC＝1.

(3)因为sin B＝1

2且B∈(0，π)，所以B＝

π

6或B＝

5π

6.

又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3. 又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b

sin B ，即3sin 2π3＝b sin π6

， 解得b ＝1.

答案 (1)B (2)A (3)1

【训练1】 (1)(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A.1

B.2

C.4

D.6

(2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4

5，cos C ＝5

13，a ＝1，则b ＝________.

解析 (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去).

(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513， 可得sin A ＝35，sin C ＝12

13，

sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝63

65， 由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝21

13. 答案 (1)C (2)21

13

考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)

【例2】 (经典母题)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.不确定

解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，

即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .