【全国百强校】湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高一上学期第二次阶段性检测数学试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合{}A=x 02x <<，{}220B x x x =+-≥，则A B = （ ） A ．(]0,1 B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,2【答案】B考点：集合的运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.()()01f x x =-+的定义域是（ ） A ．()1-+∞ B ．(),1-∞- C ．RD ．()()1,11,-+∞【答案】D 【解析】 试题分析：11011≠->⇒⎩⎨⎧>+≠x x x x 且，故选D.考点：函数的定义域.3.直线10x y -+=倾斜角的度数为（ ） A ．30 B ．45C ．90D ．135【答案】B【解析】试题分析：1=k ，所以倾斜角为45 ，故选B. 考点：直线的倾斜角.4.设函数()221,1,2,1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1- B ．34C ．1516D ．4 【答案】C考点：分段函数.5.在棱长为a 的正方体1111C D ABCD B —A 中，M 是AB 的中点，则三棱锥1C DM —A 的体积为（ ）A ．316aB ．313aC ．323a D 2 【答案】A 【解析】试题分析：33161213131V 11a a AA S V CDM CDM A DM A C =⨯⨯=⋅==--，故选A. 考点：三棱锥的体积.6.关于直线m ，n 与平面a ，β，有以下四个命题：①若m //a ，n //β且a //β，则m //n ；②若m a ⊥，n β⊥且a β⊥，则m n ⊥； ③若m a ⊥，n //β且a //β，则m n ⊥；④若m //a ，n β⊥且a β⊥，则m //n . 其中真命题的序号是（ ）A ．②③B ．③④C ．①④D ．①②【答案】A考点：空间中线面，面面的位置关系.【思路点睛】判断或证明线面平行的常用方法有: ①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理ααα////,,a b a b a ⇒⊄⊆；③利用面面平行的性质定理βαβα//,//a a ⇒⊆；④利用面面平行的性质βαβαβα////,,,//a a a a ⇒⊄⊄.线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是"由已知想性质,由求证想判定",也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.7.函数()21x f x e -=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）A B C D【答案】C 【解析】试题分析：易得)(x f 为偶函数，故排除A,B ，又由()21x f x e -=0>，故排除D,故选C. 考点：函数的图象.8.三棱锥S —ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C D ．【答案】D考点：三视图.【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.已知点()2,3A -、()3,2B --，直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 【答案】A考点：求直线的斜率.10.某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A ．2B ．6.5C ．8.8D ．10【答案】D 【解析】试题分析：根据题意,第二年该产品年售量为)8.11x -（万件,年销售收入为70%1%x x ⋅-)8.11x -（万元,则第二年商场在A 种产品收取的管理费为70%1%x x ⋅-)8.11x -（%x 万元,故所求函数为：)0()10118(1007>--=x x x x y ，令14)10118(1007>--x x x，化简得020122≤+-x x ,解得x x ∴≤≤,102的最大值是10.故选D.考点：函数的应用.11.如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠= ，A 、D 分别是BF 、CE 上的点，AD //BC ，且22AB DE BC AF ===（如图1）.将四边形ADEF 沿AD 折起,连结BE 、BF 、CE （如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的是（ ）A ．AC //平面BEFB ．B 、C 、E 、F 四点不可能共面C ．若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD D ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直 【答案】A考点：空间线面关系. 12.设函数()1421xx f x +=-+-，()()2141g x g ax x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,4B ．(],4-∞C ．(]4,0-D ．[)4,+∞【答案】B 【解析】 试题分析：令021>=x t ，则有()1221-+-=t t x f ，当0>t 时0122≤-+-t t ，即()]0,(1-∞∈x f ，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，故有()()2141g x g ax x =-+]0,(-∞⊃，令14)(2+-=x ax x u ，则]1,0(⊃u ，当0>a 时，1)0(=u ，0416≥-=∆∴a ，解得40≤<a ；当0≤a 时，显然成立；综上：4≤a 故选B. 考点：函数的值域.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.计算：1327125-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】53考点：指数运算.14.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，120AOC ∠=，11160A O B ∠= ，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧．则异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小是 ．【答案】45 【解析】试题分析：设点1B 在下底面圆周的射影为B ,连结1BB ,则11//AA BB ,C BB 1∠∴为直线C B 1与1AA 所成角(或补角),111==AA BB ,连结OC BO BC 、、,3,32,3111πππ=∠∴=∠=∠=∠BOC AOC B O A AOB ，BOC ∆∴为正三角形,1tan ,11=∠==∴C BB BO BC ,∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45 .考点：异面直线所成角.【方法点睛】求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.15.已知直线()1:248l a x y ++=与直线()2:12l x a y +-=平行，则a 的取值为 ． 【答案】3-考点：两直线平行的条件.【方法点睛】两直线位置关系的判断：0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：02121=+B B A A ；平行：1221B A B A =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！16.已知正方体1111ABCD B C D —A 中，M ，N ，Q 分别是棱11D C ，11A D ，BC 的中点，点P 在对角线1BD 上，给出以下命题：①当P 在1BD 上运动时，恒有MN //面APC ；②当P 在1BD 上运动时，恒有1AB ⊥面PBC ；③若123BP BD =，则1C Q //面APC ；④若过点P 且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m 条，过点P 且与直线1AB 和11A C 所成的角都为60 的直线有m 条，则7m n +=．其中正确的命题为 ．（填写序号） 【答案】②④考点：空间中的线面位置关系.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个顶点为()3,0A -，()2,1B ，()0,3C ，求： （1）过点A 与BC 平行的直线m 的方程； （2）BC 边垂直平分线n 的方程.【答案】（1）30x y ++=；（2）10x y -+=. 【解析】试题分析：（1）两直线平行则斜率相等，所以有1m ac k k ==-即可得直线m 的方程；（2）求出BC 边中点坐标为()1,2，再求斜率即可. 试题解析：（1）31102BC k -==--，1m ac k k ==-， 因此直线m 的方程为()013y x -=-⨯+，即30x y ++=.……（5分） （2）BC 边中点横坐标为2012+=，BC 边中点纵坐标为1322+=， 因此，BC 边中点坐标为()1,2.又1m BC k k ⨯=-，所以1n k =.因此直线n 的方程为()211y x -=⨯-，即10x y -+= …………………………（10分） 考点：直线方程. 18.(本小题满分12分)在四棱锥ABCD P —中,PD ⊥ 面ABCD ,ABCD 为正方形，M 为PC 中点. （1）求证：PA //平面MBD ； （2）求证：AC PB ⊥.【答案】（1）证明见解析；(2)证明见解析.考点：空间的线面位置关系. 19.（本小题满分12分）长方体1111ABCD A B C D —中，1AA =16，BC=10，AB=8，点E ，F 分别在1AA ，1DD 上，AE=DF=4，过E ，F 的平面a 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线BF 与平面a 所成角的正弦值.（注：图中未标注名称的点均为线段等分点，仅为（1）中作图提供参考.）【答案】（1）正方形见解析；（2）1554.试题解析：（1）交线围成的正方形EFGH 如图所示.………………（6分）（2）作1HN AA ⊥，垂足为N ，因为EFGH 为正方形，所以10EH EF ==，于是6EN ==.作BM EH ⊥，垂足为M ，连接FM .因为//EF AD ，AD ⊥面11ABB A ，所以EF ⊥面11ABB A ，又BM ⊂面11ABB A ，因此EF BM ⊥，又EF EH E = ，所以BM ⊥面EFGH .因此BFM ∠为直线BF 与平面EFGH 为成角.………………（9分）1122BEH S BM EH AB BH ∆=⨯=⨯，可得8BM =，BF ==在直角三角形BFM 中，sinBM BFM BF ∠===.………………（12分）考点：空间中线面位置关系.20.（本小题满分12分）已知函数()x a f x x b+=+（a 、b 为常数）. （1）若1b =，解不等式()10f x -<；（2）当0b =，0a <时，存在实数m ，()n m n <使函数()f x 的定义域与值域均为[],m n ，求此时实数a 的取值范围.【答案】（1）当1a <时，不等式的解集为：()0,1a -，当1a =时，不等式的解集为：x O ∈，当1a >时，不等式的解集为：()1,0a -；（2）104a -<<.试题解析：（1）()x a f x x b +=+ ，1b =，()1x a f x x +∴=+, ()()()11111x a x a f x x x -+-+∴-==-+， ()10f x -< ，10x a x -+∴<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①当10a ->，即1a <时，不等式的解集为：()0,1a -，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：x O ∈，③当10a -<，即1a >时，不等式的解集为：()1,0a -，………………（6分）（2）当0b =时，()1x a a f x c x+==+， 因为0a <，所以()f x 在(),0-∞，()0,+∞上单调递增，()f x 的定义域与值域均为[],m n ，故[](),,0m n ⊆-∞或[](),0,m n ⊆+∞.因此()f m m =且()f n n =，所以m ， n 是方程()f x x =的两个根，即方程20x x a --=有同号的相异实数根.………………（10分） 因为0mn a =->，m ，n 同号，所以只需140a ∆=+>即可， 解得14a >-. 故此时负实数a 的取值范围是104a -<<.………………（12分） 考点：解不等式和二次函数与方程. 【方法点睛】解分式不等式的常用方法，将分式等价转化为整式不等式，10x a x -+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦，进而再讨论10a -与的关系即可；注意两根相等时解集为空集；分析条件定义域与值域均为[],m n ，转成研究函数的单调性和最值，根据条件可知函数单增，所以有()f m m =且()f n n =，转成研究方程20x x a --=有同号的相异实数根即可.21.（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成的角分别为30 ，45 ，M 、N 分别为DE 、BD 的中点，且1MN =.（1）求证：MN ⊥平面ABCD ；（2）求线段AB 的长；（3）求二面角A DE B --的平面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）AB =；（3面角,用面积法求出BO 和BH ,由sin BO BHO BH∠= 求得二面角A DE B --的平面角的正弦值. 试题解析：（1）证明：因为面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD 面ABEF AB =，EB AB ⊥，所以EB ⊥面ABCD .因为M ，N 分别为DE ，DB 的中点，所以//MN EB ，故MN ⊥面ABCD .………………（4分）（2）由（1）可知EDB ∠为DE 与面ABCD 所成角，30EDB ∠= ，在直角三角形EBD 中，22EB MN ==，90EBD ∠= ，所以4DE =.又面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD 面ABEF AB =，AD AB ⊥，所以AD ⊥面ABEF .所以DEA ∠为DE 与面ABEF 所成角，45DEA ∠= ，因此，在直角三角形中，.在直角三角形中，AB ==………………（8分） （3）如图，过B 作BO AE ⊥于点O ，过O 作OH DE ⊥于点H ，连接BH .因为AD ⊥面ABEF ，BO ⊂面ABEF ，所以AD BO ⊥.又BO AE ⊥，AD AE A = ，所以BO ⊥面ADE ，DE ⊂面ADE ，故BO DE ⊥，又OH DE ⊥，OH BO O = ，所以DE ⊥面BOH .BH ⊂面BOH ，故BH DE ⊥，又OH DE ⊥，因此BHO ∠为所求二面角的平面角.在直角三角形DBE 中，由面积相等有BH DE BD BE ⨯=⨯，得BH =在直角三角形ABE 中，同理可得BO =sin BO BHO BH ∠==………………（12分） 考点：空间的线面位置关系；二面角.【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线MN EB 与平行,再推证MN 与平面ABCD 垂直即可.关于的二面角的余弦值的问题,解答时利用题中的已知条件找到BH DE ⊥，又OH DE ⊥，因此BHO ∠为所求二面角的平面角.22.（本小题满分12分）对于在区间[],a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意的[],x a b ∈，均有()()1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在[],a b 上是接近的，否则称()f x 与()g x 在[],a b 上是非接近的.现在有两个函数()()log 3t f x x t =-与()()1log 01t g x t t x t ⎛⎫=>≠ ⎪-⎝⎭且，现给定区间[]2,3t t ++. （1）若12t =，判断()f x 与()g x 是否在给定区间上接近； （2）是否存在t R ∈，使得()f x 与()g x 在给定区间[]2,3t t ++上是接近的；若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）不是；（2）0t <≤.试题解析：（1）当1t 2=时，()()()21122311log log 1224f x g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=--=-- ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令()()2121log 14h x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，当57,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()12log 6,1h x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ()()1f x g x ∴-≥，即()f x 与()g x 在给定区间上是非接近的.………………（4分）（2）()f x 与()g x 在给定区间[]2,3t t ++上有意义，由题意知，0t >且1t ≠，230,0120,t t t t t +-<⎧∴<<⎨+->⎩.………………（5分） ()()()22log 43t f x g x x tx t -=-+ .若()f x 与()g x 在给定区间[]2,3t t ++上是接近的，则有()22log 431t x tx t -+≤，()221log 431t x tx t ∴-≤-+≤ (*)令()()()2222log 43log 2t t x x tx t x t t ϕ⎡⎤=-+=--⎣⎦∴当01t <<时，[]2,3t t ++在对称轴2x t =的右侧，即()()22log 43t x x tx t ϕ=-+在[]2,3t t ++上为减函数， ()()max log 44t x t ϕ∴=-，()()min log 96t x t ϕ∴=-………………（10分）所以由（*）式可得()()01,log 441,log 961,t t t t t ⎧<<⎪-≤⎨⎪-≥-⎩解得0t <≤. 综上，两函数在给定区间是接近的，则的取值范围为：0t <≤.………………（12分） 考点：函数的单调性，最值，解不等式，二次函数，对数函数的性质.。