9-1微分方程的基本概念11.2.22

用来确定任意常数的条件. 用来确定任意常数的条件
6. 初值问题: 求微分方程满足初始条件 初值问题 的解的问题. 的解的问题
y′ = f ( x, y) 一阶: 一阶 y( x0 ) = y0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
过定点且在定点 y′′ = f ( x, y, y′) 二阶: 二阶 的切线的斜率为 ′ y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0 定值的积分曲线 定值的积分曲线.
F( x,ϕ( x),ϕ′( x),L,ϕ(n)( x)) ≡ 0, (∀x ∈ I )
则称y = ϕ( x) ( x ∈ I )为方程
dy dn y F( x, y, ,L, n ) = 0 dx dx (5)
的解； 的解；
5. 微分方程的解的分类： 微分方程的解的分类： (1) 通解: 1 通解:
例4 验证 函数x = C1 cos kt + C2 sin kt 是微分 验证:函数
d2 x 的解. 方程 2 + k2 x = 0的解 并求满足初始条件 dt dx x t =0 = A, = 0的特解 的特解. dt t =0
解 Q d x = −kC sin kt + kC cos kt, 1 2 dt
3. 线性与非线性微分方程 线性与非线性微分方程:
( F 若 5)式的左端 为y及其各阶导数的 一次有理整式， ( 为线性方程； 一次有理整式，则称5)为线性方程；否 . 则，称它为非线性方程
如： ′ + P( x) y = Q( x); y
(关于 y 线性 关于 线性)
′)2 − 2 yy′ + x = 0; (非线性 x( y 非线性) 非线性
二、基本概念
1.微分方程: 凡含有一个或几个自变量、未知函 1.微分方程: 凡含有一个或几个自变量、 微分方程 数以及未知函数的导数或微分的方 程叫微分方程 若自变量只有一个， 微分方程. 程叫微分方程 若自变量只有一个， 则称为常微分方程 常微分方程； 则称为常微分方程；若自变量的个 数不止一个，则称为偏微分方程 偏微分方程. 数不止一个，则称为偏微分方程 常微分方程的一般形式： 常微分方程的一般形式：
关于 非线性) 2 ydx − (4x + y2 )dy = 0, (关于 y 非线性
dy d x 2x y (关于 线性 关于x 关于 线性) 变形 (4x + y ) − 2y = 0, = + dx dy y 2
2
4. 微分方程的解 微分方程的解:
, 设y = ϕ( x)在区间I 上有n阶导数 若
dy dn y F( x, y, ,L, n ) = 0 dx dx
(5)
如： y′ = xy,
′′ + 2 y′ − 3 y = ex , y (t + x)dt + xdx = 0,
2
常现的未知函数 微分方程的阶: 的最高阶导数的阶数称之. 的最高阶导数的阶数称之
一条平面曲线通过坐标原点， 例2 一条平面曲线通过坐标原点，且该曲线上 任意一点M(x,y)处切线的斜率等于该点横 任意一点 处切线的斜率等于该点横 坐标的平方，求该曲线的方程 坐标的平方，求该曲线的方程.
根据导数的几何意义， 所求曲线 y = y(x) 解 根据导数的几何意义， 应满足方程
dy = x2 dx
(2) 特解: 不含有任意常数的解 特解: 不含有任意常数的解. 思考. 通解是否一定包含了此方程的所有解？ 不一定. 思考 通解是否一定包含了此方程的所有解？ 不一定. dy 如： 对于 = y2, dx 1 可以验证： y 是其通解， 可以验证： = − 是其通解， x+c 但不包含特解： y 但不包含特解：≡ 0. 解的图象: 解的图象: 通解的图象: 通解的图象: 初始条件: 初始条件: 微分方程的积分曲线. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族. 积分曲线族.
n ( , 若 阶微分方程 5)的解 y = ϕ( x;c1, c2,L cn ) n c , 中含 个相互独立的任意常数1, c2, c3,L cn,
( . 则称此解为5)的通解
如： y′ = y,
通解 y = ce x;
y′′ + y = 0, 通解 y = c1 sin x + c2 cos x;
x3 y= 3
质量为 的物体 只受重量作用,从静止开始 只受重量作用 例3 质量为m 的物体,只受重量作用 从静止开始 做自由落体运动,求物体的运动规律 求物体的运动规律. 做自由落体运动 求物体的运动规律 首先建立坐标系， 首先建立坐标系， 设物体在t 时刻的位置为s(t ). 则当t = 0时 s = 0, d s = 0. 时, o dt 由二阶导数的物理意义 知， 解
解
f ( x) = k(n +1)[ f ( x)]n f ′( x)
y
∫0
x
f (t )dt = k[ f ( x)]
n+1
k ( n + 1)[ f ( x )]
n −1
f ′( x ) = 1,
f (x)
y = f (t)
f (0) = 0, f (1) = 1. f ( x) = ?
o x t
微分方程
第九章 九
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出 二 、基本概念
一、问题的提出
例1
y 为曲边， [ 若以曲线 = f (t )( f (t ) ≥ 0)为曲边，以0, x]
与纵坐标 的n + 1次幂成正 y 为底的曲边梯形的面积 . 比，且已知f (0) = 0, f (1) = 1,求此曲线方程
思考题
函数y = 3e 是微分方程y′′ − 4 y = 0的
2x
什么解? 什么解
思考题解答
Q y′ = 6e2x , y′′ = 12e2x ,
y′′ − 4 y =12e2 x − 4⋅ 3e2 x = 0,
中不含任意常数, Q y = 3e2 x 中不含任意常数 故为微分方程的特解 故为微分方程的特解. 特解
dx Q x t =0 = A, = 0, dt t =0
∴ C1 = A, C2 = 0.
所求特解为 x = Acoskt.
内容小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线; 通解 初始条件 特解 初值问题 积分曲线
(1)
此外， 此外，未知函数 y = y(x) 还应满足条件
x = 0时， y = 0
(2)
将方程( 1 ) 两端积分得
y = ∫ x dx
2
即
x3 y = +C 3
(3)
其中C 为任意常数. 其中 为任意常数 把条件( 2）代入 3 )式得 C = 0. 把条件 ）代入( 式得 将C = 0 代入 (3）式，即得所求曲线方程 ）
d2s 的加速度， 是物体在时刻 t 的加速度， 2 dx d2 s 根据牛顿第二定律得 m 2 = mg, dt
s(t )
s
d s (4) =g 即 dt 2 ds = gt + C1, 两端积分得 dt gt 2 + C1t + C2 , 再积分一次得 s = 2
2
其中 1,C2都是任意常数， C 都是任意常数， ds = 0代入上面两式 t , 将条件 = 0时 s = 0, 时 dt 得C1 = C2 = 0. gt 2 . 故物体的运动规律为 s = 2
d2 x = −k2C1 cos kt − k2C2 sin kt, dt 2
d2 x , 将 2 和x的表达式代入原方程 dt
− k2(C1 cos kt + C2 sinkt) + k2(C1 cos kt + C2 sinkt) ≡ 0.
故x = C1 cos kt + C2 sin kt 是原方程的解 .