§1.5 函数的图像(2)
1.5函数的图像
§1.5 函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象
教学目标：
知识与技能：能用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,并观察参数φ,ω,A 对函数图象的影响； 过程与方法：分别通过对三角函数的各种变换的演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律；
情感态度与价值观：结合具体函数图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.
教学重点：将考察参数φ,ω,A 对函数y=Asin(ωx+φ) 的影响的问题进行分解,学习化繁为简的数学方法.
教学难点：已知图形求参数，其中参数φ的求解.
学法提示：阅读课本108—112完成以下的学习内容。
思考：交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?
探究：参数 φ，ω, A 对 y=Asin(ω问题1：函数y=sin(x+φ)与函数y=sinx。
1.5函数 的图像
1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像※ 教学目标：1.会用 “五点法”作出函数)(ϕ+=wx Asm y 以及函数)cos(ϕ+=wx A y 的图象的图象；2.理解A W 、、ϕ对函数)sinϕ+=wx A y （的图象的影响；能够将x y sin =的图象变换到)sin(ϕ+=wx A y 的图象；会根据条件求解析式.※ 教学重点：理解振幅变换和周期变换的规律；熟练地对y ＝sin x 进行振幅和周期变换. ※ 教学难点：理解振幅变换和周期变换的规律.※ 教学过程：【知识点一】)(k x f +的图象与)(x f 的图象有什么样的关系： .【知识点二】用“五点法”作函数x y sin =的简图： .用“五点法”作函数）（4sin π+=x y 的简图： .【小结】函数)sinϕ+=x y （，x R ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_ （当ϕ>0时）或 _（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.【知识点三】用“五点法”作函数x y 2sin =的简图： .【小结】函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标 _（当ω>1时）或 _（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到. 【知识点四】用“五点法”作函数x y sin 2=的简图： .【小结】函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为_________.最大值为_________，最小值为______________.【总结】函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω其中的（A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点_________（当ϕ>0时）或_________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度，再把所得各点的横坐标_________（当ω>1时）或__________（当0<ω<1）到原来的ω1倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标_________（当A>1时）或_________（当0<A<1时到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.【知识点五】怎样由的图像其中的图像得到)0,0)(sin(sin y >>+==ωϕωA x A y x ：一般的，函数)sin(y ϕω+=x A (其中A>0，ω>0)的图像，可以看做用下面的方法得到：先画出函数x sin y =的图像，再把正弦曲线想左(右)平移|ϕ|个单位长度，得到________函数的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的ω1倍，得到函数________的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，这时的曲线就是函数_________的图像.【知识点六】振幅、周期、频率、相位、初相：[)+∞∈+=,0),sin(y x x A ϕω，其中A>0,ω>0.物理中，描述简谐运动的物理量(如振幅、周期和频率)都与这个解析式中的常数有关. A 就是这个间歇运动的______，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是______,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式______给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；______称为相位；当0=x 时的相位______称为初相. ※ 学习反馈：1.完成下列填空⑴函数y = sin2x 图像向右平移125π个单位所得图像的函数表达式为 . ⑵函数y = 3cos(x+4π)图像向左平移3π个单位所得图像的函数表达式为 . ⑶函数y = 2log a 2x 图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 .⑷函数y = 2tan(2x+3π)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为 . ※ 课后作业：1.函数)3x 2sin(3y π+=的图象可看作是函数x 2sin 3y =的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（ ）.A.向右平移3π个单位 B 向右平移6π C 向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位 2.作下列函数的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx 的图像而得到的.⑴y = 5sin(21x+6π)；⑵y =21sin(3x 4π-).。
高中数学 第一章 三角函数 1.5.1-2 从单位圆看正弦函数的性质 正弦函数的图像课件 北师大版
[变式训练]
3．(1)函数 y＝2sin x 与函数 y＝x 的图像的交点有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
(2)研究方程 10sin x＝x(x∈R)根的个数．
解析： (1)在同一直角坐标系中作出函数 y＝2sin x
பைடு நூலகம்
与 y＝x 的图像，由图像可以看出有 3 个交点．
(2)如图所示，当 x≥4π 时，1x0≥41π0＞1≥sin x；当 x＝52π 时，sin x＝sin 52π＝1， 1x0＝52π0，1＞52π0，从而 x＞0 时，有 3 个交点，由对称性知 x＜0 时，有 3 个交点， 加上 x＝0 时的交点为原点，共有 7 个交点．即方程有 7 个根．
[名师指津]
用“五点法”作正弦曲线应注意的问题
(1)弄清五个关键点的意义．
平衡点 最高点 平衡点 最低点
平衡点
0，0 ―→ π2，1 ―→ π，0 ―→ 32π，－1 ―→ 2π，0
其中，平衡点是正弦曲线凹凸方向改变的位置．
最高点和最低点是正弦曲线上升或下降变化趋势改变的位置．
(2)明确正弦曲线的结构特征．
【规律方法】 作形如函数 y＝asin x＋b，x∈[0,2π]的图像的步骤
[变式训练]
1．试用“五点法”画出 y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的简图．
解析： 按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sin x 0 1 0 －1 0
描点连线：
1＋2sin x 1 3 1 －1 1
题型二 利用正弦函数的图像求函数的定义域 求函数 f(x)＝lg(sin x)＋ 16－x2的定义域． 【思路探究】 画出函数 y＝sin x 的图像，由 sin x＞0 的 x 的范围与 16－x2≥0 的 x 的范围取 交集，即为定义域．
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
x-
4
3 4
5 4
4
0
0
2
0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4
1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4
9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4
y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+
3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
高中数学新课标人教A版必修四《1.5函数的图像》课件
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课堂讲练互动
活页规范训练
第十二页，编辑于星期一：点 十分。
“第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝2π. 在用以上方法确定 φ 的取值时，还要注意题目中给出的 φ 的范 围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
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第十三页，编辑于星期一：点 十分。
(3)从寻找“五点法”中的第一零点－ωφ ，0(也叫初始点)作为 突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定 φ. 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；
规律方法 由 y＝sin x 的图象通过变换可得到 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，其变化途径有两条；两种途径的变换顺序不同，其变 换的量也不同：①先平移后伸缩变换时，平移|φ|个单位；②先 伸缩后平移变换时，平移|ωφ|个单位，这是很容易出错的地方， 应特别注意．
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(2)由 y＝sin x 图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，还
可以采取如下变换：先伸缩再平移：
y＝sin
x― 横―坐到――标原―伸来―长―的―或ω1―倍缩――短→y＝sin
图象上的点向左或向右 ωx 平移|ωφ|个单位长度
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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件(人教A版必修4)
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第一章
三角函数
(2)对于函数 y＝sin(x＋φ)与 y＝sin(ωx＋φ)之间的图像变 换称为周期变换，它实质上是横向的伸缩，此时，y＝sin(ωx 2π ＋φ)的周期 T＝ ，其振幅不变． ω (3)对于函数 y＝sin(ωx＋φ)与 y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像 变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅不 改变周期和相位．
1 π y＝2sin2x＋6的图像．
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第一章
三角函数
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第一章
三角函数
变式训练 1
1 用“五点法”作出函数 y＝ cos2x 的简图． 2
解
列表 2x x 1 2cos2x 0 0 1 2 π 2 π 4 0 π π 2 1 －2 3 π 2 3 π 4 0 2π π 1 2
§1.5
函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图像
课前热身
名师讲解
典例剖析
考题精选
技能提升
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三角函数
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第一章
三角函数
1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种画法 π 3π (1)五点法：①列表(ωx＋φ 通常取 0， ，π， ，2π 这五 2 2 个值)；②描点；③________.
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第一章
三角函数
解法 1
y＝
y＝Байду номын сангаасin2x
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋3.
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第一章
三角函数
π π 分析 2 x→x＋3→2x＋3.
1.5--正弦函数的图像与性质(北师大)
x∈[0,2π]
2
1
． ． ． ． ． 3
π
2
2π
0
x
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
y=3sin x x∈[0,2π]
5.3、正弦函数的性质
探究点2 正弦函数y=sinx的性质
观察正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图像.
y
1
y=1
4
3
2
O
7 2
5
3
2
2
2
2
-1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
y=-1
想一想： 1.我们经常研究的函数性质有哪些？ 2.正弦函数的图像有什么特点？ 3.你能从中得到正弦函数的哪些性质？
1.定义域
正弦函数 y=sinx的定义域为R
2.值域
从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两 条平行线y=1和y=-1之间，所以值域为[-1,1]
设A=
x
x
π 2
5.正弦函数的性质与图像
5.1 从单位圆看正弦函数的性质
y1
函数y=sinx
正弦函数y=sinx有以下 性质：
sin α= v （1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
α
（3）是正周期是 2
（4）在[ 0，2]上
的单调性是：
-1
0，2
2
，3
2
3
1
描点得y=1+sin x的图象 y=1+sin x x∈[0,2π] y
1
．．
0
2
-1
． ． ． π
3 2
【数学】1.5《正弦、余弦函数的图像和性质(二)》课件(北师大版必修4)
利用定义确定周期时，
f ( x T ) f ( x)
是对 x 而言，即是 x 的改变量
函数 y A sin(x ), x R 及 函数 y A cos(x ), x R (其中A, , 为常数，且A 0, 0) 2 的周期为T
3、一般地,如果 是函数
T (T 0)
y f ( x) 的周期,那么
kT (k N )
也是函数的周期.
例2
画出函数
y sin x
与 y cos x 的图象，说出它们的周期
y
1
y=|sinx|
2
2
3 2
2
O -1
3 2
2
x
y=sinx
P 63--- 5,6
3 4 5 6
o
-1
2
x
y=sinx 最值：
当且仅当
时取最大值1
x 2k , k Z 2
当且仅当
x 2k , k Z 2
时取最小值-1
y=cosx 最值：
当且仅当
x 2k , k Z
x 2k , k Z
时取最大值1
当且仅当
都是正弦(余弦)函数的的周期
对于周期函数f(x)，如果在它 所有周期中存在一个最小的正 数，则这个最小正数就叫做函 数f(x)的最小正周期。
2π是正弦(余弦)函数的 最小正周期
例1 求下列函数的周期
(1) ( 2) ( 3)
y 3 cos x ,
xR
y sin 2 x , xR 1 y 2 sin( x ), x R 2 6
正弦型函数的图像
函数sin()y A x ωϕ=+的图象一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A 版）必修4 《§1.5函数sin()y A x ωϕ=+的图象》。
它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，由此进一步理解sin()y A x ωϕ=+与sin y x =的图象间的变换关系，通过学习sin()y A x ωϕ=+的图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识，同时也为相关学科的学习打下扎实的基础。
同时本节的课标要求是结合具体实例，了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能借助计算机画出函数sin()y A x ωϕ=+的图象，并观察参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响，同时结合具体函数图象的变化，使学生领会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想。
本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。
因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。
二、学生学习情况分析学生在已经学习了作正弦曲线sin y x =的图象和五点画简图法,以及函数sin y x =的性质和函数sin()y A x ωϕ=+的周期等性质的求法，并且有了一定的读图能力，能根据图象抽象概括出一些简单的性质。
但对于给出的两个同类函数的变换关系要多次的变换让他们晕头转向，例如必修4的几个函数间的关系，他们的判断方向颠倒，长度混乱。
为了帮助学生很好的理解其中的内在联系，我在这块内容中加进了我的探索，我发现学生对初一学习代数式的意义认识比较深刻，我就把代数式的另一面：几何形式展现出来，以形代数，以数现形。
使sin()y A x ωϕ=+的图象变换的更加直观，容易理解，函数的形式可以多种多样，可以先伸缩再平移，也可以先平移再伸缩，任意的变换，畅通无阻。
三、设计理念根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。
15正弦型函数的图像和性质(二)讲解
栏 点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以
目
开 直接解出 ω 和 φ，或由方程(组)求出．
关
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合
图象确定 ω 和 φ.
(3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解 A 的
方程求出．
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§1.5（二）
例如，已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|
本 讲
C．2kπ＋π2，k∈Z
D．kπ＋π2，k∈Z
栏 目
(2)若函数 f(x)＝cos(3x＋φ)是奇函数，则 φ 等于 ( B )
关
四个步骤．请完成下面的填空．
ωx
π
＋φ 0
2
3
π
2π
2π
x －___ωφ_ －__ωφ__＋__2_πω_ _－__ωφ__＋__ωπ_ －_ω_φ_＋__23_ωπ_ －_ωφ__＋__2ω_π
y0
A
0
－A
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§1.5（二）
本
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是__－__ωφ__，__0__，
x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第 二、三、四、五点分别有 ωx2＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4 ＋φ＝32π，ωx5＋φ＝2π.
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§1.5（二）
(2)由图象确定系数 ω，φ 通常采用两种方法：
本 讲
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 x1(第一个零
目 开 关
②函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象关于 y 轴对称⇔f(0)＝A 或 f(0)＝－A⇔φ＝kπ＋π2
1.5正弦函数y=sinx的图像与性质
y=sinx，x[0, 2]
课内练习
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y=
sin(x+ 2
)，x[
2
,
3 2
] ；y=sinx，x[0, 2]
x x
y 2 1
02
0
2
2 0 -1
3 2
3 22
sinx 1 0 sin( x+ 2 )
0 1
2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准，并想一想 找 “五点”有什么规律？
1.5.3 正弦函数的 性质
正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
x
（1）定义域
实数集R
2k 1 当x=________________时， ymax _____ 2
2
x
y=sinx xR y=sinx x[0,2] f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y y=sinx xR
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
o
-1
2
3
4
5
6
x
想一想
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高 时）？
1.5函数y=Asin(ωx φ)的图像13
课堂练习：教材P55练习
已知函数y 3sin(x )的图象为C
（2）为了得到函数y
5 3sin(2
x
)的图象，只要把C上
5
所有的点（ B ）
(A)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(B)横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变 2
(C)纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的 1 倍，横坐标不变 2
5
探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3)
x
2 7 5
36 3
6
3
X x
3
0
2
3
2
2
y sin(x )
3
0
1
0 -1 0
x
7 5
6 12 3 12 6
X 2x 3
0
2
3
2
2
y sin(2x )
探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)
x
7 5
6 12 3 12 6
X 2x
3
02
3
2
2
y sin(2x )
3
0
1
0 -1 0
x
7 5
6 12 3
12
6
X 2x
3
0
2
3
2
2
y 3sin(2x ) 3
3
0
1.5 几种常用的函数作图法
5分钟
2分钟
55分钟
图像具有直观性，有利于学生的接受和理解。
复习：正弦型曲线
的特性及图像间的转化
注意：乘积型的函数的画法，要找出边界线。
14分钟
3分钟
1分钟
一、复习：
1、函数的几种性质
2、函数的性质的运用
二、新授：
1、函数常用的作图法
2、通过图像能找出函数之间的联系
3、图像之间的相互转换
三、练习:
P16、31、32、33ห้องสมุดไป่ตู้34、35、36、37
四、小结：
如何通过图像能找出函数之间的联系，作出图像之间的相互转换
五、作业：P16-40、41
P17-44、45、46、47
备注：当 时（n=0，1，2…）， ；当 时（n=0，1，2…）， ，此时函数 的对应值与 或 相同。由此可见函数 的图形总在 与 之间来回摆动。且摆动的幅度越往右越接近于0（见图1.27）
图1.27
四、练习：P16-31、32、33、34、35、36、37
五、小结：
1、函数图像的几种做法
2、特殊函数图像的做法
三、新授：
（1）叠加法：
作 的图形时，只要将 与 的图形中，相应的纵坐标作出代数和。
例1：作 的图形
将直线y=x的纵坐标加上（代数和）y=sinx的图形中相应点的纵坐标(图1.23)
例2：作 的图形
在 图形上加（代数和） 的图形中相应点的纵坐标（图1.24）
图1.23 图1.24
（2）由 的图形作 的图形：
例3：作 的图形
在 处的纵坐标，相当于 在 处的纵坐标，由此可知将 的图形向左移动 ，即得 （图1.25）
1.5 正弦型函数的图像-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
1．利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，32π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值． 2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值． 4．函数()sin y A x ωϕ=+的性质⑴ 周期性：函数()sin y A x ωϕ=+（其中A ωϕ，，为常数，且00A ω≠>，）的周期仅与自变量的系数有关．最小正周期为2πT ω=．⑵ 值域：[]A A -，教材要点学科素养 学考 高考 考法指津高考考向1.用五点法画出函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像直观想象 水平1 水平11.继续加深理解“五点法”的应用，特别是一些特殊点：端点和对应五点。
2.掌握正余型弦函数以及正切型函数性质的处理方法。
【考查内容】正弦型函数的伸缩变换和平移变换； 利用三角函数的图像变换求解析式。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5--12分2.正弦型函数与正弦函数的图像直接的关系直观想象 水平2 水平 23.正弦型函数的振幅、周期 数学抽象 水平1 水平14.正弦型函数的频率、相位、和初相数学抽象 水平1 水平1 第五讲 函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像 知识通关⑶ 奇偶性：当()π k k ϕ=∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；当()ππ 2k k ϕ=+∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数． ⑷ 单调区间：求形如()sin y A ωx φ=+或()cos y A ωx φ=+（其中0A ≠，0ω>）的函数的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()0ωx φω+>”视为一个“整体”．②0A >()0A <时，所列不等式的方向与()sin y x x =∈R 、()cos y x x =∈R 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．⑸ 对称轴方程：0x x =，其中()0ππ 2x k k ωϕ+=+∈Z ． ⑹ 对称中心：()00x ，，其中()0π x k k ωϕ+=∈Z ． 5、A ωϕ、、对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 ⑵ ϕ对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数()sin y x ϕ=+(0)ϕ≠的图象，可以看做是把sin y x =图像上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕ个单位而得到的．（可简记为左""+右""-） 即sin y x=00ϕϕ>−−−−−−→<时向左时向右平移ϕ个单位得()sin y x ϕ=+⑵ω对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数sin y x ω=(01)ωω>≠，的图象，可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标都缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的．即sin y x =的横坐标101ωω>−−−−−−−→<<时缩短时伸长到原来的1ω倍得sin y x ω=． ⑵A (0)A >对()sin y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin y A x =（0A >且1A ≠）的图象，可以看做是sin y x =的图象上各点的纵坐标都伸长(1)A > 或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．即sin y x =的纵坐标101A A >−−−−−−−→<<时伸长时缩短到原来的A 倍得sin y A x =．题型一 平移变换例1 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8题型五 图象变换的综合应用例5 下图是函数()sin y A x xωϕ=+∈R ，在区间π5π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将()sin y x x =∈R 的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：由图象知，1A =，2ππω=，解得2ω=； 故sin(2)y x ϕ=+π5π736π212+=，7sin 2π112ϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，从73π2ππ()62k k ϕ+=+∈Z ． 故π2π3k ϕ=+()k ∈Z ．此函数的解析式为πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．答案 A变式训练5 将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析： 因为函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z .又m >0，所以m 的最小值为π6，答案 B题型六 函数y ＝A sin ()ωx ＋φ，|φ|<π2性质的应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)， 函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1) 求φ的值；(2) 求函数y ＝f (x )的单调区间及最值． 解析： (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，(1)求函数y＝f(x)的解析式；一、选择题1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析： 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4个单位长度后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案 D2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象， y ＝－cos 2x 是偶函数． 答案 D4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( ) A ．x ＝k π＋π3(k ∈Z )B ．x ＝k π－π3(k ∈Z )C ．x ＝k π3＋π9(k ∈Z )D ．x ＝k π3－π9(k ∈Z )解析： 由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π3，又ω>0，所以ω＝3， 则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z .答案 C5．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )解析： 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所有点向右平移π6个单位长度即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 答案 A6．把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )，则ω和φ的值分别为( )A ．1，π3B ．2，π3 C.12，π6 D.12，π3解析： 依题意得f (x )第一次变换得到的函数解析式为m (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ω2x ＋φ， 则函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ12＋φ. 因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2， 则g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ. 又因为函数为奇函数，所以φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝π3.答案 B8．要得到y ＝tan 2x 的图象，只需把y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位得到B ．向左平移π12个单位得到C ．向右平移π12个单位得到D ．向右平移π6个单位得到解析： 设向左平移φ个单位得到y ＝tan 2x 的图象，y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π6，∴2φ－π6＝0，∴φ＝π12， ∴向左平移π12个单位得到．答案 B9．已知将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ）A ．6π B ．3π C ．8π D ．4π 解析：将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后，得到()cos 44y x ϕ=-的图象，由题意，得()4k k ϕπ=∈Z ，则()4k k πϕ=∈Z ，取1k =，得4πϕ=. 答案 D10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度解析：根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-，解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=， 可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ． 答案 B二、填空题11．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为________．解析： y ＝sin(－2x )――――――――――→左移π4个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －114．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 解析： 函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，所以()00f =，代入可得0ϕ=，()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x 的最小正周期为2π，则2212ππω= ，解得2ω=，所以()sin g x A x =，因为4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 4A π=，解得2A =，所以()2sin 2f x x =，则2sin 33882f ππ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案三、解答题15．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解析：方法一 (正向变换)y ＝f (x )―――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度 y ＝f ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 (逆向变换)根据题意，y ＝sin 2x ―――――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.16．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．解析： (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，所以T ＝10π，所以ω＝2πT ＝15，则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋φ.因为点(π，3)在此函数图象上， 则3sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝3. 又因为0≤φ≤π2，有φ＝π2－π5＝3π10，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π，k ∈Z 时， 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10单调递增．所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．18．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，23π上的函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )的图象如图1-5-5所示．图1-5-5(1)求f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，23π上的解析式； (2)求方程f (x )＝22的解. 解析： (1)由题图知：A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝2π，则ω＝2πT ＝1， 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，将⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )得， f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，因为0<φ≤π，所以φ＝π3， 所以在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 同理在x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x －23π，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6.(2)由f (x )＝22在区间⎣⎡⎦⎤－π6，2π3内可得x 1＝5π12，x 2＝－π12. 因为y ＝f (x )关于x ＝－π6对称，有x 3＝－π4，x 4＝－3π4.则f (x )＝22的解为－π4，－3π4，5π12，－π12.一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度答案 C2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析： 对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 答案 B图1-5-3 A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析： 由图象知，14T ＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，把y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位即得所给图象，∴所求函数为y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 答案 D5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析： 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.答案 B6.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析： 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 故选D. 答案 D8．已知函数()sin(),(0)6f x x ωω=+> 图象上相邻两条对称轴的距离为2，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移53π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()cos 4g x x =-B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =解析：依题意，22T π=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()sin(2)6f x x π=+．把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线sin()6y x π=+，再把曲线sin()6y x π=+向右平移53π个单位长度，得到曲线5sin()36y x ππ=-+，即cos y x =，故()cos g x x =。
高中数学 1.5.2 正弦函数的图像课件2(新版)北师大版必修4
C
A．在x∈[2 kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象(tú xiànɡ)形状相 同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：由正 弦函数y＝sin x的图象(tú xiànɡ)可知，它不关于x轴对称．
第十三页，共16页。
典型 (diǎnxíng)例 题
求下列函数的定义域： （1） y 2sin x 1; （2） y 2cos x 1
第十四页，共16页。
典型 (diǎnxíng) (1)例要题使y 2sin x 1有意义，则必须满足2sin x 1 0,即
sinx - 1 2
结合正弦函数或三角函数，如图
函数y 2sin x 1的定义域为
sin (cos ) y sin ( y cos )
R
第二页，共16页。
引入课题(kètí)
比如正弦函数
当自变量
到坐标系中的点
时，函数值为 怎么取呢？
，那么(nà me)对应
y sin
sin 3
32
3
( ,sin )
33
第三页，共16页。
想一想
回顾(huígù)三角函数的s定in义：y, cos x, tan y (x 0)
第一章 三角函数 (sānjiǎhánshù)
§5.1 从单位(dānwèi)圆看正弦函 数的性质
第一页，共16页。
引入课题(kètí)
课前思考1：既然一个确定的角对应着唯一确定的正（余）弦值，那么(nà me)，任意给定一个实数 x
,有唯一确定的值
与之对应，由这个对应法则所确定函数
叫做正弦函数
（余弦函数），其定义域为 则函数图象怎么画呢？
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课
关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象 间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移 后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
������
+
π 5
C.y=sin
π 5
-������
B.y=sin
������-
π 5
D.y=sin
5������-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
������-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)
数学：1.5《函数的图像》课件(2)(新人教A版必修4)
2.函数 y sin( x ) 的图象是由函数
y sin( x ) 的图象经过怎样的变换而 得到的？
函数 y sin( x )的图象，可以看作是 把函数 y sin( x ) 的图象上所有点的 横坐标缩短（当 ＞1时）或伸长（当0 1 ＜＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变） 而得到的.
作业：
P56 练习：3，4. P58习题1.5A组：4，5.
y/cm 2
2p
A
E
5p y = 2 sin x , x ? [0, 2
)
0.4 O -2 C B
0.8 D
1.2 F
x/s
小结作业
图象，可以由函数 y sin x 的图象通过 三次变换而得到，共有6种不同的变换 次序.在实际应用中，一般按“左右平 移→横向伸缩→纵向伸缩”的次序进行. y 2.用“变换法”作函数 A sin( x ) 的图象，其作图过程较复杂，不便于 操作，在一般情况下，常用“五点法” 作图.
1 f T 2
wx + j 称为相位; 称为初相,即x=0时的相位.
理论迁移
例1 的图象是 由函数 y sin x的图象经过怎样的变换 而得到的？
p y = sin(x - ) 6 横坐标伸长到原来的3倍 y = sin( 1 x 3
1 说明函数 y 2 sin( 3 x 6 )
1.5
函数 y A sin( x )的图象
第二课时
问题提出
1.函数 y sin( x ) 图象是由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？
弦曲线 y sin x 上所有的点向左（当
y sin( x )的图象，可以看作是把正
《函数的图像》第二课时
练习2．已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
自变量的取值范围是 -4≤x≤4；
（1）确定自变量的取值范围； 解:由图象可知
（2）求当x=-4，-2，4时y的值是多少？
解:由图象可知 当x=-4，-2，4时,y的值分别是2, -2,0 （3）求当y=0，4时x的值是多少？ 解:由图象可知 当y=0时，x的值是-3,-1或4 当y=4时,x=1.5 （4）当x取何值时y的值最大？当x取 何值时y的值最小？ 解:由图象可知
观察1
函数是描述运动和变化过程的重要数学模型，试观 察下图： 1.图象上的点从左向右运动时，这 个点是越来越高还是越来越低？能 y 否用坐标解释这一图形特点？ 2.5 2.当自变量的值增大时， 函数值如何变化？
从函数图象可以看出， 直线从左向右上升， 随着横坐标的增大，纵坐标也逐渐增大 即当x由小变大时，y=x+0.5随之增大．
6、如何求两个函数图象的交点坐标？
求两个函数图象的交点就是求这两个函 数解析式所组成的方程组的解.
作业布置
教材P 83：习题19.1
第10 、11、12题。
当x=1.5时,y的值最大,最大值为4,
当x=-2时,y的值最小,最大值为-2。 (5)当x的值在什么范围内时y随x的增大而增大？ 当x的值在什么范围内时y•随x的增大而减小？
解：由图象可知
当-2 ≤x≤1.5时,y•随x的增大而增大
当-4≤x≤-2或1.5≤x≤4时,y随x的增大而减小？
Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
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1、函数图象的画法：列表、描点、连线 2、函数图象上点的横、纵坐标分别
正弦型函数的图像_教学设计
§1.5《函数()sin y A x ωϕ=+的图像（第1课时）》教学设计一、基本说明1. 课题：函数()sin y A x ωϕ=+的图像2. 课时：1课时3. 年级：高一年级4. 模块：高中数学必修45. 所用教材版本：人民教育A 版6. 所属章节：第一章第五节7. 课型：新授课二、教材分析本节课是新课标高中数学A 版必修4中第一章第5节第一课时容。
此容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。
学生已初步了解函数()sin y A x ωϕ=+的图象，并会运用五点法作图，本节容是对该部分知识的深化，为后续参数的物理意义教学做准备，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。
所以，该容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。
三、学情分析本节课在高一第二学段，学生进入高中学习已经三个月，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考。
关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但学生第一次接触图象伸缩变化，容易造成认知的难点，此外，对于本节容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。
在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。
四、教学目标1、理解ϕ对()sin y x ϕ=+图象的影响，ω对sin y x ω=图象的影响，A 对sin y A x =图象的影响.2、通过探究图象变换，会用图象变换法由sin y x =画出()sin y A x ωϕ=+图象的简图.五、教学重难点教学重点：讨论字母ϕ、ω、A 变化时对函数图像的形状和位置的影响，理解由sin y x =的图象到()sin y A x ωϕ=+的图象变化过程．掌握函数()sin y A x ωϕ=+图像的简图做法；教学难点：由正弦函数sin y x =得到()sin y A x ωϕ=+的图像变化过程． 六、教学方法和手段引导学生结合作图过程理解三个参数对图象变化的影响规律。
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§1.5 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像（2）
【学习目标】
1.理解振幅、周期、频率、相位和初相与A, ω,φ的关系。
2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.
一、【知识整理】
画)sin(ϕω+=x A y 的常用的两种方法
（1）用“五点法”作图：通过变量代换，设ϕω+=x z ，由z 取 ， ， ， ， 来求出相应的x ,通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图像。
（2）用“变换法”作图
方法一（先平移后伸缩）：函数y = Asin(wx+ϕ)，(A>0，w>0)的图象可以看作是先把y = sinx 的图象上所有的点向 平移 个单位长度（平移变换），得到函数 的图象；然后图象上所有点的纵坐标 横坐标变为原来的 倍（周期变换），得到函数 的图象，最后把图象上所有点的横坐标 纵坐标变为原来的 倍（振幅变换）， 这时就得到函数y = Asin(wx+ϕ)，(A>0，w>0)的图象。
方法二（先伸缩后平移）：函数y = Asin(wx+ϕ)，(A>0，w>0)的图象可以看作是先把y = sinx
的图象上所有点的纵坐标 横坐标变为原来的 倍（周期变换），得到函数 的图象；然后再将图象上所有点向 平移 个单位长度（平移变换），得到函数 的图象；然后将图象上所有点的横坐标 纵坐标变为原来的 倍（振幅变换）， 这时就得到函数y = Asin(wx+ϕ)，(A>0，w>0)的图象。
二、【新课导学】
情境设置：简谐运动中单摆对平衡位置的位移y 随时间x 的变化关系为函数Asin()[0,)(0,0)y x x A ωϕω=+∈+∞>>，其中，物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率、相位、初相，你知道它们与A, ω,φ的关系吗？
新知：A 就是这个简谐运动的 ，它是做简谐运动物体离开 的 ；
这个简谐运动的 是T= ,这是做简谐运动物体往返运动一次所需的时间；这个简 谐运动的 由公式f = = 给出，它是做简谐运动物体在单位时间内往返运动的 次数；:ϕω+x 称为 .0x =时的相位ϕ称为
三、【典型例题】
例1：图示是某简谐运动的图象，
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2) 从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？
(3) 求这个简谐运动的函数表达式.
例2：右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2
)的图象，确定A 、ω、φ的值，并写出函数解析式．
例3、若函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A π
ωϕ>><<）的图象与
x 轴的交点中相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭
（1）求这个函数的解析式 （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣
⎦时求()f x 的值域。
x/s y/cm
O A B
C D E F 2-
0.4 0.8 1.2
四、当堂检测：
1、函数)3
3sin(51π-=x y 的定义域是 ； 最小值是 ，相应x 集合为 ； 单调递减区间是 ；图象对称轴方程： k ∈Z ； 对称中心： k ∈Z ；周期 ；振幅 ；频率 ；相位 ；初相 .
2.已知函数）
＋ϕωx sin(y A =，在一个周期内，当x 12π=时，取得最大值2，当7x 12
π=时 取得最小值-2，那么（ ）. A. 1y sin(x )23π=
+ B. y 2sin(2x )3
π=+ C. y 2sin(2x )6π=+ D. x y 2sin()26π=+ 3、.已知函数)x Asin(y ϕω+=（A>0，ω>0，0<πϕ<）的两个邻近的最值点为（26
，π）和（23
2-，π），则这个函数的解析式为____________________.
4：已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(｜ϕ｜＜
2π)的图象，那么( )
A.ω＝1110，ϕ＝6π
B.ω＝1110，ϕ＝－6
π C.ω＝2，ϕ＝
6π D.ω＝2，ϕ＝－6
π 5、已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π)图象的一个最高点(2，3)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x 轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.。