26.1.2 二次函数图像与性质(4)
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：2.抛物线的平移法则：（1）抛物线k ax +=2y 的图像是由抛物线2y ax =的图像平移k 个单位而得到的。
当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移。
（2）抛物线2()y a x h =-的图像是由抛物线2y ax =的图像平移h 个单位而得到的。
当0>h 时向右平移；当0<h 时向左平移。
（3）抛物线的2()y a x h k =-+图像是由抛物线2y ax =的图像上下平移k 个单位，左右平移h 个单位而得到的。
当0>k 时向上平移；当0k <时向下平移；当0>h 时向右平移；当0<h 时向左平移。
3.二次函数的最值公式：形如c bx ax y ++=2的二次函数。
时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值a b ac y 442-=最小值；时当0<a，图像有最高点，函数有最大值，a b ac y 442-=最大值；4.抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标是（0，c ）5.抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大开口越小。
6.二次函数c bx ax y ++=2的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴2bx a=-,把它与取值范围相比较，再进行求最值。
6.二次函数与一元二次方程的关系：(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。
(2)抛物线与x 轴的交点个数是由ac b 42-=∆决定的：当0>∆时抛物线与x 轴有两个交点；当0=∆抛物线与x 轴有一个交点；当0<∆时抛物线与x 轴没有点。
0≥∆时抛物线与x 轴有交点。
（此定理的逆定理也成立。
）7.二次函数的三种常用形式：（1）一般式：c bx ax y ++=2 （2）顶点式：2()y a x h k =-+（3）两根式：))((21x x x x a y --=8.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。
本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
我们先来讨论二次函数的图像。
1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。
对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。
例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。
代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。
3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负决定了二次函数的根的性质。
当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。
由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。
二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。
1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、经济等领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的图像和性质，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义与图像二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
这里的x和y分别代表自变量和因变量，a、b、c则决定了二次函数的图像特征。
根据a的正负性可以判断二次函数的开口方向。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二次函数的图像一般呈现为一个平滑的曲线，被称为抛物线。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ=b²-4ac，代表二次函数的判别式。
二、二次函数的性质1. 零点和因子定理：二次函数的零点即方程y=ax²+bx+c=0的解。
根据因子定理，零点等于函数的因子。
2. 对称轴和对称性：二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3. 最值和极值点：当a>0时，二次函数的最值为最小值；当a<0时，二次函数的最值为最大值。
最值点即为抛物线的顶点。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。
5. 范围与值域：当a>0时，二次函数的值域为[0, +∞)，即非负实数集；当a<0时，二次函数的值域为(-∞, 0]，即非正实数集。
三、二次函数的应用实例在物理学中，二次函数常用于描述抛体运动的轨迹。
例如，抛体的运动轨迹满足二次方程，通过对抛体运动关键点的分析，可以确定抛体的初速度、最高点高度、时间等。
在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。
例如，某企业的生产成本与产量之间满足二次函数关系，通过分析二次函数的图像和性质，可以确定产量对应的成本最小值。
此外，二次函数还在建筑设计、生态学等领域发挥着重要作用。
26.1.2二次函数yax2的图像和性质
用一根长为30厘米的绳子围成一个长方形， 如果设矩形的一边AB长为x厘米，那么矩形的 哪些量随x的值的变化而变化？
二次函数的定义:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变
量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一 次项系数和常数项.
9
连接各点，就得到y = x2 的图
象．
6
y=x2
3
－3
3
例解1：在分同别一填直表角，坐再标画系出中它，们画的出图函象数，如y 图12 x2, y 2x2 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
45 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2 x 2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ·
·· ·
8
4y.5 x2 2
8
0.5y 20x2
0.5
2
4.5
8
···
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
26.1二次函数y=a(x-h)2图像与性质学案4
实验中学九年级数学学案
顶点
对称轴
最值
增减性
也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x
．它们之间如何平移得到？
练习平台一、循序渐进：
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．3．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．4．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．
5．将抛物线y＝－1
3(x－1)x
2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
6．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式__________________．
7．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；
当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
8．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
9．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．
10．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
26.1.2二次函数图像与性质
的图象，并考虑这些抛物
x
· －4 · ·
－3
－4.5 －1.5
－2
－2 －1 －2
－1 －0.5
－0.5 －0.5
0 0
1
－0.5 0 0
2
3
4
－8 2
· · · · · ·
· · 1 2· －8 y x 2
x · －2 · ·
－2 －4.5 1 1.5
0.5
· · ·
· · ·
· · ·
－8 －4.5 －0.5 －2 －4.5 －8
(2 2 , 6)
3 y x 4
练一练:
1.若抛物线 y
(2m 1) x
）
2
的开口向下，则
m的取值范围为（B
( A)m 0
1 (C )m 2
1 ( B )m 2 1 ( D )m 2
练习三、已知抛物线y ax 2 a 0 与双曲线 2 y 交点的横坐标大于零。问a是大于零 x 还是小于零？
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a＞0 a＜0
O O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
|a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
y = x2
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
华东师大版九年级数学下册学案：26.2二次函数的图象和性质
§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容：1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．2．理解了二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案Ⅴ．课后作业P 231.3.526．1 二次函数的图象与性质（1）[本课知识重点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 1． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识重点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy=与222+=xy的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …22xy=…18 8 2 0 2 8 18 …222+=xy…20 10 4 2 4 10 20 …x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …12+-=xy…-8 -3 0 1 0 -3 -8 …12--=xy…-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识重点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)2(21+=xy，2)2(21-=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …221xy= (2)92 210 212 29…2)2(21+=xy (2)10 212 2258 225…2)2(21-=xy (2)258 292 210 21…回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识重点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．x… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值． 解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b 解得 ⎩⎨⎧=-=148c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识重点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM 及创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．x … -2 -1 01 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 06 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识重点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM 及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y x （元）130 150 165 y （件） 70 50 35若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有 1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为Sm 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识重点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM 及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得 28.04.2⨯=-a所以 415-=a ． 因此，函数关系式是2415x y -=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 ⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ， 又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(12--=a解得 4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ．解得 51=a ． 所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是中学数学中的重要内容之一，它在数学中有着广泛的应用。
本文将围绕二次函数的图像与性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x = -b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。
2. 二次函数的图像特点（1）开口方向：根据a的正负值可以判断二次函数的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
（2）对称轴：对称轴是二次函数图像的一条特殊直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分。
（3）顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过代入计算得到。
（4）零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即函数值为0的点。
零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
3. 二次函数的平移通过对二次函数进行平移，可以改变其图像的位置。
平移的方式有两种：平移横坐标和平移纵坐标。
（1）平移横坐标：将二次函数的横坐标都加上一个常数h，可以使得图像向左平移h个单位；将横坐标都减去一个常数h，可以使得图像向右平移h个单位。
（2）平移纵坐标：将二次函数的纵坐标都加上一个常数k，可以使得图像向上平移k个单位；将纵坐标都减去一个常数k，可以使得图像向下平移k个单位。
4. 二次函数的最值二次函数的最值即为顶点的纵坐标，最大值对应开口向下的二次函数，最小值对应开口向上的二次函数。
最值可以通过求解二次函数的顶点坐标得到。
5. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，因此可以应用于物体的抛射运动问题；二次函数也可以用于建模和预测，如根据历史数据拟合二次函数，预测未来的趋势。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。
本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。
对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。
顶点坐标为(h, k)。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。
若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。
5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点个数最多为2个。
三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。
对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。
2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。
4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。
若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。
26.1.2_二次函数图像与性质(4)(1)
想一想：下列函数是由y=2x2或y=-2x2 经过怎样的平移得到的？指出它们的开 口方向、对称轴、顶点坐标，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？ 抛物线 y=−2(x+3)2-2 y=2(x-1)2+3 x=-3
对称轴
顶点坐标
X=1 (1,3)
X=1时， y最小=3
(-3,-2)
X=-3时， y最大=-2
开口向上 对称轴：x=1
顶点坐标（1,2）
10 9 8 x=1 y=2(x-1)² +2 7 6 5 4 3 2 1 （1,2） -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y
猜想：
二次函数y=2x² y=2(x-1)² , , y=2(x-1)² +2的图象的位置关系？
y
y=2(x-1)2+2
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 最值情况:
1)y=ax2Biblioteka 2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
2 二次函数y=ax² +c与y=ax² 有何平移关系？ 规律：上加下减 y=a(x-h)2与y=ax² 呢？
规律：左加右减
3请说出二次函数y=2x2-5与抛物线y=2x2+2如何由 y=2x2平移而来? 4抛物线y=2(x-5)2与抛物线y=2(x+2)2呢？
( 2 , －6 )
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
练习:对称轴是直线x=-2的抛物线是( C )
A y=-2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2 B y=2x2-2 D y=-5(x-2)2-6
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种常见的函数形式，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特征和性质，以及如何通过函数表达式来确定图像的具体特点。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数，且a不等于0。
a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
二、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向二次函数的开口方向由系数a的值决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的x坐标可以通过公式x = -b/2a求得，而顶点的y坐标则是将x代入函数表达式求得。
3. 对称轴二次函数的对称轴是抛物线的轴线，对称轴的方程式为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
二次函数的零点是函数与x轴相交的点，也就是函数值等于0的点。
零点可能有两个、一个或零个，取决于函数的判别式b^2 - 4ac的值。
如果判别式大于0，则有两个不同的实数解；如果判别式等于0，则有一个实数解；如果判别式小于0，则没有实数解。
5. 函数的增减性二次函数的增减性由系数a的正负决定。
当a大于0时，函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增；当a小于0时，函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减。
三、通过函数表达式确定图像特点通过二次函数的函数表达式，我们可以确定其图像的具体特点。
以y = 2x^2 - 3x + 1为例，来说明如何通过函数表达式来确定图像的特点。
1. 开口方向由于a的值为2，是正数，所以抛物线开口向上。
2. 顶点通过公式x = -b/2a，我们可以计算出顶点的x坐标为x = -(-3)/(2*2) = 3/4。
将x = 3/4代入函数表达式，可以求得顶点的y坐标为y = 2*(3/4)^2 - 3*(3/4) + 1 = -1/8。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数是高中数学中的重要内容之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。
在学习二次函数时，了解其图像和性质是十分重要的，本文将对二次函数图像和性质进行完整归纳。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
该函数的自变量 x 是实数，因变量 y 也是实数。
通过定义可以看出，二次函数的最高次数是 2，由此得名二次函数。
二、二次函数图像的一般特征1. 开口方向：二次函数图像的开口方向取决于二次项系数 a 的正负性。
若 a > 0，则图像开口向上；若 a < 0，则图像开口向下。
2. 对称轴：二次函数图像关于自变量 x 的轴对称，称为对称轴。
对称轴的方程为 x = -b/(2a)。
3. 顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标为对称轴上的点，可通过对称轴的方程计算得到。
4. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
5. 零点：二次函数图像与 x 轴的交点称为零点，也叫根。
通过解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 可计算得到。
三、二次函数图像的具体情况1. a > 0 的情况：- 当 a > 0, b = 0, c > 0 时，图像开口向上，顶点在原点上方，图像在y 轴上方，无零点；- 当 a > 0, b > 0, c = 0 时，图像开口向上，顶点在原点左侧，图像在x 轴上方，有一个零点；- 当 a > 0, b < 0, c > 0 时，图像开口向上，顶点在原点右侧，图像在x 轴上方，有两个零点；- 当 a > 0, b = 0, c < 0 时，图像开口向上，顶点在原点下方，图像在y 轴下方，无零点。
2. a < 0 的情况：- 当 a < 0, b = 0, c > 0 时，图像开口向下，顶点在原点下方，图像在y 轴下方，无零点；- 当 a < 0, b > 0, c = 0 时，图像开口向下，顶点在原点左侧，图像在x 轴下方，有一个零点；- 当 a < 0, b < 0, c > 0 时，图像开口向下，顶点在原点右侧，图像在x 轴下方，有两个零点；- 当 a < 0, b = 0, c < 0 时，图像开口向下，顶点在原点上方，图像在y 轴上方，无零点。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。
下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是一种重要的函数形式，在数学中被广泛应用。
它的一般形式可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在平面直角坐标系中的图像常常是一个开口向上或向下的拱形，它的图像特征和性质对于学习数学有着非常重要的作用。
本文将介绍二次函数的图像及其性质。
一、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形，它的开口方向由二次项系数a的符号决定。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
同时，二次函数的图像在坐标系中的位置取决于它的顶点坐标。
顶点坐标可以通过求解函数y=ax²+bx+c的导数y'=2ax+b=0得出，即x=-b/2a，从而得出y的值。
因此二次函数的图像可以确定它的开口方向和顶点位置。
二、二次函数的极值二次函数的和常常需要寻找它的极值，即函数的最大值或最小值。
对于一个开口向上的二次函数，它的最小值为它的顶点值，即当x=-b/2a时，y的值最小。
而对于一个开口向下的二次函数，它的最大值同样也在顶点处，即当x=-b/2a时，y的值最大。
因此，确定二次函数的顶点坐标对于求解函数的极值非常重要。
三、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是一个非常重要的性质。
它是指二次函数图像上的一条线，使得函数图像关于这条线对称。
对称轴垂直于函数图像的开口，过函数图像的顶点，即它的方程为x=-b/2a。
对称轴将函数图像分成两个对称的部分，使得函数图像的左右部分完全一致。
四、二次函数的零点二次函数的零点是指函数图像和x轴相交的点，即函数值y=0时的x值。
求解二次函数的零点可以使用因式分解方法，也可以使用求根公式根据b²-4ac的值求出。
如果b²-4ac≥0，则存在两个实数解，如果b²-4ac<0，则没有实数解。
二次函数的零点在函数图像上是它与x轴的交点，它们之间也可以确定二次函数的性质。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。
一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。
参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。
2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分成两个完全对称的部分。
3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。
零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。
二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。
对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。
对于开口向下的二次函数，情况相反。
2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。
3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。
4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。
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1探讨 二次函数y=2x² y=2(x-1)² y=2(x-1)²+1的 二次函数y=2x², y=2(x-1)², y=2(x-1)²+1的 图象的关系？ 图象的关系？
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y
y=2(x-1)2+1
y=2x2
5 4. 3. 2. 1.
y=2(x-1)2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y
|a|越大开口越小 越大开口越小. 越大开口越小
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练习1 指出下面函数的开口方向， 练习 :指出下面函数的开口方向，对称 顶点坐标，最值。 轴，顶点坐标，最值。
1) y=2(x+3)2+5 3) y=-3(x-1)2-2 2) y=4(x-3)2+7 4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线 的抛物线是( 练习 对称轴是直线x=-2的抛物线是 C) 对称轴是直线 的抛物线是
y=a(x 开口 对 顶 最值 -h)²+k 方向 称 点 轴 a>0 时 向上 x=h (h,k) x=h时, 有最小 值y=k a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, 时 有最大 值y=k
增减情况
x<h时, y随x的增大而减 时 随 的增大而减 小; x>h时,y随x的增大而 时 随 的增大而 增大. 增大. x<h时, y随x的增大而增 时 随 的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 时 随 的增大而 减小. 减小
4). 若抛物线 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后 经过 轴方向平移后,经过 沿 轴方向平移后 经过(3,5), 求平移后的抛物线的解析式_______ 求平移后的抛物线的解析式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结
y=a(x-h)²+k • 对称轴 • 顶点 直线 x=h （h，k） ， ）
有最小值k 时 有最小值 • 最值 当a>0时 x=h时，y有最小值 时 当a<0时 x=h时，y有最大值 时 有最大值k 时 有最大值
你答对了 吗?
1.B 2.y=-2(x-1)2-3
2.抛物线 1的解析式为 抛物线c 的解析式为y=2(x抛物线 1)2+3抛物线 2与抛物线 1关于 抛物线c 抛物线 与抛物线c 关于x 轴对称,请直接写出抛物线 请直接写出抛物线c 轴对称 请直接写出抛物线 2的 解析式_____ 解析式
3.二次函数 二次函数y=a(x-m)2+2m,无 二次函数 无 为何实数,图象的顶点必在 论m为何实数 图象的顶点必在 为何实数 ( )上 上 你答对了 A)直线 直线y=-2x上 直线 上 C)y轴上 轴上 y=2x上 上 B)x轴上 轴上 D)直线 直线
A y=-2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2 B y=2x2-2 D y=-5(x-2)2-6
1. 抛物线的顶点为 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物 线的解析式可设为( 线的解析式可设为 ) Ay=a(x+3)2+5 Cy=a(x-3)2-5 By=a(x-3)2+5 Dy=a(x+3)2-5
二次函数y=a(x-h)2+k的图 二次函数 的图 象及其性质
1 说出下列函数图象的开口方向 对称轴 顶点 说出下列函数图象的开口方向,对称轴 顶点, 对称轴,顶点 最值和增减变化情况: 最值和增减变化情况
1)y=ax2
2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
2 请说出二次函数y=ax²+c与y=ax²的平移关系。 请说出二次函数 与 的平移关系。 的平移关系 y=a(x-h)2与y=ax²的平移关系 的平移关系 将抛物线y=ax²沿y轴方向平移 个单位 得抛物线 沿 轴方向平移 个单位,得抛物线 轴方向平移c个单位 将抛物线 y =ax²+c 将抛物线y=ax²沿x轴方向平移 个单位,得抛物线 轴方向平移h个单位 将抛物线y=ax²沿x轴方向平移h个单位,得抛物线 y=a(x-h)2 3 请说出二次函数 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线 与抛物线y=2(x+3)2如何 由y=2x2 平移而来
y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2
y=2(x-1)2+1
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
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联系: 联系 的图象向右平移1个 单位, 将函数 y=2x²的图象向右平移 个 单位 就得到 的图象向右平移 y=2(x-1)²的图象 的图象; 的图象 在向上平移2个单位 个单位, 的图象. 在向上平移 个单位 得到函数 y=2(x-1)²+1的图象 的图象 相同点: 图像都是抛物线 形状相同, 开口方向相同. 图像都是抛物线, 相同点 (1)图像都是抛物线 形状相同 开口方向相同 (2)都是轴对称图形 都是轴对称图形. 都是轴对称图形 (3)顶点都是最低点 顶点都是最低点. 顶点都是最低点 (4) 在对称轴左侧 都随 x 的增大而减小 在对称 在对称轴左侧,都随 的增大而减小,在对称 轴右侧,都随 的增大而增大. 轴右侧 都随 x 的增大而增大 (5)它们的增长速度相同 它们的增长速度相同. 它们的增长速度相同 不同点: 对称轴不同 对称轴不同. 顶点不同. 最小值不相同. 不同点 (1)对称轴不同 (2)顶点不同 (3)最小值不相同 顶点不同 最小值不相同
吗?
3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线 对于抛物线y=a(x-3)2+b其中 对于抛物线 其中 a>0,b 为常数 点( 3 ,y1) 点 为常数,点 ( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上 在该抛物线上, 点 在该抛物线上 试比较y 试比较 1,y2,y3的大小 的大小
1)若抛物线 若抛物线y=-x2向左平移 个单位 再向 向左平移2个单位 个单位,再向 若抛物线 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 下平移 个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 如何将抛物线 经过平移 得到抛物线y=2x2 得到抛物线 3) 将抛 物线 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1 移得到抛物线