第四讲-二次函数的图像与性质
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
第04讲 二次函数图像的图像与性质
一、二次函数的图像性质011. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax k =+的性质：上加下减。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0k ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值k ．0a <向下()0k ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值k ．题型一 考察函数的开口方向、对称轴及顶点坐标例1二次函数211y x =-的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______;抛物线2132y x =-+的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______；二次函数23(2)y x =+的开口______，对称轴是______，顶点坐标是_____．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．经典例题剖析知识重难点梳理第04讲 二次函数的图像与性质例2 关于抛物线22y x =与抛物线223y x =--，下列说法正确的是( ) ． ① 它们的对称轴都是y 轴 ② 它们的顶点坐标相同③ 它们的形状相同，开口方向不同 ④ 它们可通过平移得到函数解析式 A.①② B ．②③ C ．①③ D ．③④题型二 考察函数的简单平移例3 要将二次函数21(2)3y x =-的图像平移成213y x =的图像，只需将图像( ) ．A . 向上平移2个单位B . 向下平移2个单位C . 向右平移2个单位D . 向左平移2个单位题型三 考察函数的图像例4 函数y ax =和2(0)y ax b ab =+>在同一坐标系中的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．例5 如图所示，若0a <，则函数21(1)y a x =+与221y ax =-+在同一坐标平面中的大致图像是( )A B C D例6 已知二次函数268y x =-．求（1）这个二次函数的图像与x 轴的两个交点A 、B 之间的距离；（2）若图像上另有一点(,)3M m -，求△ABM 的面积．（★★）1．二次函数252y x =-+的开口_____，对称轴是______,顶点坐标是_______；当120x x <<时，则1y ____ 2y （填“>”、“=”或“<”）． ．2．已知二次函数2y ax c =-，下列结论中正确的个数有( ) ． ① 图象的顶点在原点 ② 图象的对称轴是y 轴 ③ 图象与x 轴必有交点 ④ y ＝－c 一定是它的最小值 A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．把函数22(1)y x =--的图像旋转180°后，再向_____平移_____个单位就能得到顶点为原点的抛物线__________． ． 4．反比例函数ky x=和二次函数2()y k x k =+在同一坐标系中的大致图像是( )5．抛物线21(1)2y x =-+经过点A (－3，a )．（1）求A 点关于抛物线对称轴的对称点B 的坐标； （2）若此抛物线的顶点为C .，求ΔABC 的面积．课堂练习二、二次函数y=a （x-h ）2的图象和性质1．考查抛物线y=a （x-h ）²开口方向、对称轴和顶点坐标【例1】抛物线y=﹣3（x ﹣1）2的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．总结：1. 函数y=ax 2与y=a （x-h ）²的图象开口方向相同，对称轴和顶点坐标不同.2. 函数y=a （x-h ）²的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标是(h ，0)．2．考查二次函数y=a （x-h ）²的增减性【例2】已知二次函数y=（x ﹣2）2，当x 时，y 随x 增大而减小．精讲精练知识梳理总结：1．当a>0时，在对称轴(x=h)的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴(x=h)右侧，y 随着x 的增大而增大；当x=h 时函数y 的值最小(是0)．2．当a<0时，在对称轴(x=h)的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴(x=h)的右侧，y 随着x 增大而减小；当x=h 时,函数y 的值最大(是0)．3．考查抛物线y=a （x-h ）²和y=ax ²之间的平移规律【例3】将抛物线y=x 2向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是 ． 总结：1．抛物线的平移不改变二次项的系数，主要是移动顶点位置.2．抛物线y=ax ²向右平移h （h>0）个单位得到抛物线y=a （x-h ）²， y=ax ²向左平移h （h>0）个单位得到抛物线y=a （x+h ）² ，简称“左加右减”．1．二次函数252y x =-+的开口_____，对称轴是______,顶点坐标是_______；当120x x <<时，则1y ____ 2y （填“>”、“=”或“<”）． ．2．已知二次函数2y ax c =-，下列结论中正确的个数有( ) ． ① 图象的顶点在原点 ② 图象的对称轴是y 轴 ③ 图象与x 轴必有交点 ④ y ＝－c 一定是它的最小值 A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．把函数22(1)y x =--的图像旋转180°后，再向_____平移_____个单位就能得到顶点为原点的抛物线__________． ．4．抛物线21(1)2y x =-+经过点A (－3，a )．（1）求A 点关于抛物线对称轴的对称点B 的坐标； （2）若此抛物线的顶点为C .，求ΔABC 的面积．对应练习三、二次函数的图像性质031. 函数y=a(x －h)2+k 的图象与性质：（1）函数y=a(x －h)2+k 的图象是一条抛物线，它的顶点坐标是（h,k ），对称轴是直线x=h. （2）2. 抛物线y=a(x －h)2+k 与y=ax 2的关系，抛物线y=a(x －h)2+k 可由抛物线y=ax 2平行移动得到，它们形状相同，只有位置不同.把y=ax 2的图象先沿x 轴向左或向右平移|h|个单位后，得到y=a(x －h)2的图象，再沿y 轴向上或向下平移|k|个单位，便可得到y=a(x －h)2+k 的图象.题型一 考察函数的开口方向、对称轴及顶点坐标例1 分别指出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．．（1）1)2(312++-=x y （2）3)21(2-+-=x y例2 若二次函数2()(0)y a x m k a =++≠中，0,0m k <<．则它的图像顶点落在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限例3 若抛物线1)(2+++=m m x y 的对称轴是直线1x =，则它的顶点坐标是______ ．（★）题型二 考察函数图像的平移例4 （1）将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是_________；经典例题剖析知识重难点梳理（2）将抛物线22y x =-向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______________；（3）抛物线3)4(312-+=x y 可看作由抛物线231x y =向____平移____个单位，再向___平移___个单位得到；（4）抛物线3)4(212+--=x y 可看作由抛物线221x y -=向___平移__个单位，再向___平移___个单位得到。
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
《二次函数的图象和性质》
函数y=ax2+c（a＜0）的性质 平移： 由y=ax2向上或向下 平移︱c︱个单位得到 开口方向： 向下 对称轴： y轴 顶点坐标：（0，c）
增减性： x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小
最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=c
y=2x2-1的图象：
y=2x2
由y=2x2的图象向下平移 1个单位得到
y=2x2-1
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0,-1）
函数y=ax2+c（a＞0）的图象性质 平移： 由y=ax2向上或向下 平移︱c︱个单位得到 开口方向： 向上 对称轴： y轴 顶点坐标：（0，c）
增减性： x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而增大
=2(x- 5 )2- 9
4
8
对称轴：
直线x= 5 4
顶点坐标：
( 5 ,- 9) 48
y=2x2
y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象向左 平移1个单位得到.
随堂练习：
对于二次函数y=-3(x+2)2：
（1）它的图象与二次函数y=-3x2的 图象有什么关系？它是轴对称图形吗？ 它的开口方向、对称轴、顶点坐标分 别是什么？
（2）当x取哪些值时，y的随x值的增 大而增大？当x取哪些值时，y的值随 x值的增大而减小？
增减性： x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而增大
最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0
函数y=ax2（a＜0）的图象性质 图象：
开口方向：_向__下___， 对称轴：_y_轴___ 顶点坐标：_（__0,_0_）___.
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数 的图象和性质 (课件)
2.若点A(2,m)在抛物线y=x2上, 则点A关于y轴对称点的坐标是？
解： 因为A(2,m)在抛物线y=x2上 所以m=4，即A(2,4)
则点A(2,4)关于y轴对称点的坐标 是（-2,4）
3.已知y=mxm2+1 的图像是不在第一、
二象限的抛物线,则m=_______.
解：由题意的： m2+1=2 且 m<0 解得m=-1
4.二次函数y=mxm2-1 的图像有最低点
则m是多少？
小结：二次函数y=± x2的性质
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
在y=-x2的图象中正好相反．
3.y=x2有最低点，y=-x2有最高点
即 y=x2有最小值而y=-x2有最大值
y=x2
x
y=－x2
二次函数y=x2 与 y=-x2 的异同点：
相同点：
1. 形状：图像都是抛物线 2.图象都与y轴交于点( 0,0 ) 3.图象都关于y轴对称．
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是ww0w.
探究二次函数y=-x2的图象
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出
它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。
y
y=x2
y 它与抛物线y=x2
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求 出这个最低点，
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
《二次函数的图像与性质》数学教学PPT课件(4篇)
的联系；
3.掌握二次函数 y = ax2 + c 及 y a(x h)2 的性
质，并会应用.
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开 口方向、对称轴以及顶点坐标.
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
【规律总结】
二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
x＞0时，y随x的增大而增大， x＜0时，y随x的增大而减小. 2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞0时，y随x的增大而减小， x＜0时，y随x的增大而增大.
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间 t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的二次 函数，它的图象的 顶点坐标是（0，0）. 2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式. y = -2x2 （2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上. 不在抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
m 1 x， 5
E F
4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y
＝ ax2，则下面图中，可以成立的是( C )
5．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有_②__③__⑥__(填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是__⑤__(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后
（0,0） （0,0）
最小 值0最值是大是
（0,c）
0最小 值是
（0,c）
最c 大 值是
y随x的
增大而减 小
y随x的
增大而增
大 y随x的
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
第四讲 二次函数的图像、性质与表达形式
1 2 x ，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图 2
象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x … 0 1 －3 －2 －1 x2 2x2 … … 9 18 4 8 1 2 0 0 1 2
2 4 8
3 9 18
（A）0个
(a≠0)
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)； （3）函数图象与x轴交于两点(1－ 2，0)和(1＋ 2，0)，并与y轴交于(0，－2)．
二、 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像、性质
问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝
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2014年陈经纶中学高一讲义
高中数学学习必备的初中知识技能 第四讲 二次函数的图像和性质
（B）1个 （C）2个 （D）无法确定 1 （2）函数y＝－2(x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空： （1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a ． （2）二次函数y＝－x2+2 3x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
O 图4-1
y
x
y＝2(x＋1)2 y＝2(x＋1)2 ＋1 y＝2x2
第四讲
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－1
O
x
2014年陈经纶中学高一讲义
高中数学学习必备的初中知识技能 第四讲 二次函数的图像和性质
二次函数图像与性质总结(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
()2=-的性质：y a x h左加右减。
()2y a x h k =-+1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．。
第四讲 二次函数的图象和性质
模块三 函数第四讲 二次函数的图象和性质知识梳理 夯实基础知识点1：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点2：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a 顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba 时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征a>0开口向上aa<0开口向下b=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧bab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧c=0经过原点c>0与y轴正半轴相交cc<0与y轴负半轴相交b2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4acb2–4ac<0与x轴没有交点知识点3：抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．:2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．知识点4：二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．知识点5：二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．直击中考 胜券在握1．（2021·甘肃兰州中考）二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．1x =D ．2x =【答案】A 【分析】将二次函数222=++y x x 写成顶点式，进而可得对称轴．【详解】解：Q 222=++y x x 2(1)1=++x ．\二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是1x =-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．2．（2021·西藏中考）将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣8x ＋22B ．y ＝x 2﹣8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋10D ．y ＝x 2＋4x ＋2【答案】D 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y ＝（x ﹣1＋3）2＋2，即y ＝（x ＋2）2＋2；再向下平移4个单位为：y ＝（x ＋2）2＋2﹣4，即y ＝（x ＋2）2﹣2＝x 2＋4x ＋2．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2021·广西河池中考）二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）A ．对称轴是直线12x =B ．当12x -<<时，0y <C ．a c b +=D ．a b c+>-【答案】D 【分析】由与x 轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A ；结合函数图象判断选项B ；令x =-1,判断选项C ；令x =1,判断选项D ,即可解答．解：A 、对称轴为：直线12122x -+== ，故选项A 正确，不符合题意；B 、由函数图象知，当-1<x <2时，函数图象在x 轴的下方，∴当-1<x <2时，y <0，故选项B 正确，不符合题意；C 、由图可知：当x =-1时，y =a -b +c =0，∴a +c =b ，故选项C 正确，不符合题意；D 、由图可知：当x =1时，y =a +b +c <0∴a +b <-c ，故选项D 错误，不符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(),10B -两点，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确∵(),10B -∴A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当2x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 错误；故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．5．（2021·广东广州·中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，∴50930c a b c a b c =-ìï-+=íï++=î，解方程组得553103c a b ìï=-ïï=íïï=-ïî，∴抛物线解析式为2353051y x x -=-，当2x =时，103542553y =´´-=--．故选择A ．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．6．（2021·绍兴中考）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．7．（2021·贵州黔东南中考）如图，抛物线()210:+=+L y ax bx c a ¹与x 轴只有一个公共点A （1，0），与y轴交于点B （0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】连接AB ，OM ，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM 面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M ，连接AB ，OM ．由题意可知，AM =OB ，∵()(),1,0,20A B ∴OA =1，OB =AM =2，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM 的面积，∵//AM OB ，AM OB =，∴四边形ABOM 为平行四边形，∴212ABOM S OB OA =·=´=四边形．故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．8．（2021·江苏徐州中考）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =--【答案】B 【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵2y x =的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为()221y x =++，故选B 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．9．（2021·山东淄博中考）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，则m 的值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．4【答案】C 【分析】由题意易得点123,,P P P 的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．【详解】解：假设点A 在点B 的左侧，∵二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点，∴令0y =时，则有20286x x =-+，解得：121,3x x ==，∴()()1,0,3,0A B ，∴312AB =-=，∵图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，∴点123,,P P P 的纵坐标的绝对值相等，如图所示：∵()22286222y x x x =-+=--，∴点()12,2P -，∴112222ABP m S ==´´=V ；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：x …-10123…y…3-1m3…以下结论正确的是（）A ．抛物线2y ax bx c =++的开口向下B ．当3x <时，y 随x 增大而增大C ．方程20ax bx c ++=的根为0和2D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<【答案】C 【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．【详解】解：将(1,3),(0,0),(3,3)-代入抛物线的解析式得；309333a b c c a b -+=ìï=íï++=î，解得：1,2,0a b c ==-=，所以抛物线的解析式为：222(2)(1)1y x x x x x =-=-=--，A 、0a >Q ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B 、抛物线的对称轴为直线1x =，在13x <<时，y 随x 增大而增大，故选项错误，不符合题意；C 、方程20ax bx c ++=的根为0和2，故选项正确，符合题意；D 、当0y >时，x 的取值范围是0x <或2x >，故选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．11．（2021·四川雅安中考）定义：{}()min ,()a ab a b b a b £ì=í>î，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令(),y min a b =,当2123x x x +£-++时，即220x x --£时，1y x =+，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w £时，12x -££，∴1y x =+（12x -££），∵y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w >时，2x >或1x <-，∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-），∵2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1，∴当2x >时，y 随x 的增大而减小，∵当x =2时，2y x 2x 3=-++=3，∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大，∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0；∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3．故选C ．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．12．（2021·湖北天门中考）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-【答案】A【分析】设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为2x =”建立方程可求出12,x x 的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点P 的坐标，然后根据关于x 轴的对称点的坐标变换规律即可得．【详解】解：设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，由题意得：2112422x x x x -=ìïí+=ïî，解得1204x x =ìí=î，则抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0)，将点(0,0),(4,0)代入2y x bx c =++得：01640c b c =ìí++=î，解得40b c =-ìí=î，则抛物线的解析式为224(2)4y x x x =-=--，顶点P 的坐标为(2,4)-，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是(2,4)，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于x 轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13．（2021·贵州铜仁中考）已知直线2y kx =+过一、二、三象限，则直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】C【分析】先由直线2y kx =+过一、二、三象限，求出0k ＞，通过判断方程2232x x kx -+=+实数解的个数可判断直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+交点的个数．【详解】解：∵直线2y kx =+过一、二、三象限，∴0k ＞．由题意得：2232x x kx -+=+，即()2210x k x -++=，∵△()222440k k k éù=-+-=+ëû＞，∴此方程有两个不相等的实数解．∴直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为2个．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．14．（2021·四川广元中考）将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3-B ．134-或3-C ．214或3-D ．134或3-【答案】A【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B \-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b=+3b \=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -££时，只有一个交点当13x -££的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到\当13x -££时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b \D =--´´--=+=214b \=-综上所述3b =-或214-故答案是：A ．15．（2021·四川眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．16．（2021·广西贺州中考）如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +³-+的解集是（ ）A ．3x £-或1³x B ．1x £-或3x ³C ．31x -££D ．13x -££【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．y kx m =+Q 与y kx m =-+关于y 轴对称抛物线2y ax c =+的对称轴为y 轴，因此抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+的交点和与直线y kx m =-+的交点也关于y 轴对称设y kx m =-+与2y ax c =+交点为A B ¢¢、，则A ¢2(1,)y -，B ¢1(3,)y Q 2ax c kx m+³-+即在点A B ¢¢、之间的函数图像满足题意2ax c kx m \+³-+的解集为：13x -££故选D ．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y kx m =+与y kx m =-+关于y 轴对称是解题的关键．17．（2021·内蒙古中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得0b <；根据二次函数的性质，得0a c +=，从而得2y bx ac bx a =-=+，通过计算即可得到答案．【详解】∵点(1,)b -在第一象限∴0b ->∴0b <∵二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -∴b a b c-=-+∴0a c +=∴2y bx ac bx a =-=+当0x =时，2y a =，即y bx ac =-和y 轴交点为：()20,a当0y =时，2a x b =-，即y bx ac =-和x 轴交点为：2,0a b æö-ç÷èø∵20a >，20a b -> ∴一次函数y bx ac =-的图象不经过第三象限故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．18．（2021·安徽·中考真题）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m =______；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．【答案】02【分析】（1）直接将点(1,)m -代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将(1,)m -代入2(1)y x a x a =+++得：110m a a =--+=故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：2(1)+2y x a x a =+++由抛物线顶点坐标24-,24b ac b aa æö-ç÷èø得新抛物线顶点的纵坐标为：24(2)(1)4a a +-+2274a a -++=2(21)84a a --++=2(1)84a --+=∵2(1)0a -³∴当a =1时，()218a --+有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是8=24故答案为：2【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法19．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx +23（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值4m 3，求m 的值．【答案】（1）y =―13(x ―2)2+3；（2）k 1=2,k 2=23,；（3）m =―或94.【解析】【分析】（1）把A 0, （2）联立两个函数的解析式，消去y, 得：―13(x ―2)2+3=kx +23,再利用根与系数的关系与x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,可得关于k 的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当m ≤2, 2＜m ＜8, m ≥8, 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把Ay =a (x ―2)2+3中，∴4a +3=53,∴a =―13,∴ 抛物线的解析式为：y =―13(x ―2)2+3. （2）联立一次函数与抛物线的解析式得：y =kx +23y =―13(x ―2)2+3 ∴―13(x ―2)2+3=kx +23,整理得：x 2―(4―3k )x ―3=0, ∴x 1+x 2=4―3k,x 1x 2=―3,∵x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,∴(4―3k )2―2×(―3)=(4―3k )2+12>0, ∵x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3，∴x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10，解得：k 1=2,k 2=23,∴k 1=2,k 2=23,（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，4m 3=-13（m-2）2+3，解得∴当m≥2时，当x=2时，y 有最大值，∴4m 3=3，∴m=94，综上所述，m 的值为或94．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.20．（2021·青海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x 轴上，点B在y轴上，C点的坐标为1，0，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+(b―1)x+c>2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点,当PQ=P点的坐标．【答案】（1）y=―x2―x+2；（2）―2<x<0；（3）P坐标有P1(―1,2)或P2(―1+或P3(―1――【解析】【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；(2)将不等式ax2+(b―1)x+c>2变形为ax2+bx+c>x+2,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出PD==1，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．【详解】解：(1)当y=0时，x+2=0，解得x=―2，当x=0时，y=0+2=2，则点A(―2,0)，点B(0,2)，把A(―2,0)，B(0,2)，C(1,0)，分别代入y=ax2+bx+c得4a ―2b +c =0a +b +c =0c =2解得：a =―1，b =―1，c =2，∴该抛物线的解析式为y =―x 2―x +2．(2)由不等式ax 2+(b ―1)x +c >2，得ax 2+bx +c >x +2，由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，则不等式ax 2+(b ―1)x +c >2的解集为―2<x <0；(3)如图，作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，在Rt △AOB 中，∵OA =OB =2，∴∠OAB =45°，∴∠PDQ =∠ADE =45°，在Rt △PDQ 中，∠DPQ =∠PDQ =45°，∴PQ =DQ =∴PD ==1，设点P (m,―m 2―m +2)，则点D (m,m +2)，当点P 在直线AB 上方时，PD =―m 2―m +2―(m +2)=―m 2―2m ，即―m 2―2m =1，解得m =―1，则―m 2―m +2=2，∴P 点的坐标为：P 1(―1,2)．当点P 在直线AB 下方时，PD =m +2―(―m 2―m +2)=m 2+2m ，即m2+2m=1解得m=―1±∴―m2―m+2=±∴P2(―1或P3(―1――，综上所述，符合条件的点P坐标有P1(―1,2)或P2(―1或P3(―1――．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．。
二次函数的图象和性质(共33张PPT)
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第四讲二次函数的图像与性质(一)学习目标：1会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h) 2的图象.2•使学生了解并会求抛物线y=ax2+k与y=a(x-h)2的对称轴与顶点。
学习难点：二次函数y=ax2+k,y=a(x-h) 2与y=ax2的联系及如何平移以及对于抛物线y=ax2+k, y=a(x-h) 2的对称轴方程的理解.一、学前准备：1 一次函数y 2x与y 2x 1的图象关系是 ___________________________________________________2、二次函数卩匕的开口方向_____________ ，对称轴_____________ ，顶点坐标 _________ 。
y=-2x 的开口方向___________ ，对称轴________________ ，顶点坐标______________ 。
3、抛物线y=-2x 上有两点(x i,y 1) ,(x 2,y 2),且x i<X2<0,那么y i ( )y 2二、探究归纳21、抛物线y=2(x+5)的顶点坐标是 ____________ ，对称轴是__________2、抛物线y=-4x 2-4的开口方向向____________ ，当x=时，y有最__________ 值，此时y= _____3、抛物线y=-3(4x 2-2)的开口方向向___________ ，顶点坐标是 ________ ，对称轴是__________ ，当x ______ 时，y随x的增大而增大。
4、写出符合条件的二次函数表达式：1(1) y=a(x-2) 2的图象与y= x2-2的开口方向相反，形状相同。
21 2 2(2) y=a(x-2) 的图象与y= x-2的图象交点是(1, m ).2(二)学习目标：1、使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h) 2+k 的图象.2、使学生了解并会求抛物线y=a(x-h) 2+k 的对称轴与顶点.学习重点：用描点法画出二次函数y=a(x-h) 2+k 型的图象学习难点：二次函数y=a(x-h) 2+k 与y=a(x-h) 2的联系及如何平移.. 一、学前准备：1、 二次函数y=ax 2+k 的图象和性质，二次函数 y=a(x-h) 2的图象和性质。
2、 二次函数y=ax 2+k , y=a(x-h) 2与y=ax 2的联系及如何平移.3、 猜想抛物线y=a(x-h) 2+k 与y=ax 2的形状 ____________ ，只是 _____ 不同，当a>0时，开口当a<0时，开口 ____ ，对称轴是直线 ________ ，顶点坐标 _________ 。
二、探究活动 探索二次函数y=a(x-h) 2+k 的图象和性质1 2 5例、求二次函数y 2x x2的顶点坐标和对称轴，并作出函数图象 (三) 探究应用1、指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标2 2 2(1) y=2(x-3) -5 (2)y=-0.5(x+1) (3)y=2(x-2) +53 2 12⑷ y-x 2 1(5)y2(x 1) 52、下列函数，x 取何值时y 随x 的增大而增大？ x 取何值时y 随x 的增大而减小？(注意21数形结合)(1) y=-2(x-8) 2+5 (2) y 4 x -3四.自我测试1.将抛物线y 2(x 4)2 1如何平移可得到抛物线y 2x 2 ( )A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B .向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D .向右平移4个单位，再向下平移1个单位3 22.把抛物线y -x 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 _________________________ .3、 二次函数y=-(x-1) 2+3图象的顶点坐标是 __________________ 。
1 2 1 24、 抛物线y 1 2xx 2可由抛物线y x 2向 ______________ 平移 _____ 个单位，再向 _______ 平 2 232(6) y ~(x 3)移_____ 个单位而得到.3、学习目标： 1、 体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2、 能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.学习重点： 运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题. 学习难点： 把数学问题与实际问题相联系的过程. 、学前准备1 2 一1、 抛物线 戸丄(x +3)的顶点坐标是 __________ .22、 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 _______________ .1 2 1 2 1 23、 抛物线y =— — x +1， y =— — (x +1)与抛物线y =— — (x +1)的 _____ 相冋， 不冋.4 4 4 — —二、探究活动__ 2(一)探索二次函数y=ax +bx+c 的对称轴和顶点坐标 例：求二次函数 y = ax +bx+c 的对称轴和顶点坐标.2 2(点拨：用 配方法将ax +bx+c 转化成a(x-h) +k 的形式即可。
) 解：把y = ax 2+bx+c 的右边配方，得y = ax 2+bx+c z 2b c=a(x + x )a a2 b b 2 c=a[x +2 •x+( ) +2a 2a a四. 1、 2、=a(x+ A )2+2a 4a.对称轴为x=-—,顶点燃坐标为2a/ b 4ac b 2、(- ,■2a 4a自我测试 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2 (1) y=2x -4x-1 (2)y=-3(x+3)(x+9) 对于二次函数y=ax 2+bx+a,如果2a+b=0,那么此函数的顶点坐标是当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间2_____对称轴方程是—t(s)之间可以用公式h=-5t +150t+10表示。
经过多长时间，火箭到达最高点？最高点的高度是多少?(四)22系数的符号 图像特征a 的符号 a>0. 抛物线开口向 a<0 抛物线开口向b 的符号b>0. 抛物线对称轴在y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是轴b<0抛物线对称轴在y 轴的—侧 c 的符号c>0. 抛物线与y 轴交于 C=0 抛物线与y 轴交于 c<0抛物线与y 轴交于 2b 2 4ac 的符号b 24ac >0. 抛物线与x 轴有 个交点 b 4ac =0 抛物线与x 轴有个交点b 24ac <0抛物线与x 轴有 个交点数二次噸散，十虹+厂为常散・吃工£|）1图' J_X ____ __ 工/ r 1练习O 骂e AO 旳，拋韧続幵口口〉当PVQ 时播物裁开口-*£3对称铀是 、加点足 倨）刘称轴是 .侦点悬*n 在对称轴左侧.即为心）在对称嚇左侧・即为昜时 皿 殖工 的增大而一昙时+潭幽立 的1営大而»山对称抽£側•呵当 ，任蹲称做曲侧当时F 随工的増人而— g 时…随比肿墉大而■*麵物馋布最低点，半 拋物钱有最斉应*鬥 Jt = 时・有駁小ffl * J := 酎祁走值" y h ■一. **龙逐一 -1. 二次函数y =ax 2+bx +c ( 0)的图象如图，a , b , c 的取值范围( A. a <0, b <0, c <0 B. a <0, b >0, c <0 C. a >0, b >0, c <0D. a >0, b <0, c <02. 与抛物线y x 2 2x 4关于y 轴对称的图象表示的函数关系式是2 2A. y x 2x 4B. y x 2x 4A.m 1 或m 2 B .1 m 2C. 1 m 0D. m 14. 二次函数y x 2 4x 3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点。
,则厶ABC 勺面积为（）A. 6B . 4 C. 3 D. 15. 抛物线y x 2 4与x 轴交于B C 两点，顶点为人则厶ABC 勺面积为（）A 16B 8C 4D 2226.若抛物线ya 1x , y a ?x 的形状相同，那么（）B. a-i a 2为（ ）C. y x 2 2x 4D. y x 2 2x 43.若抛物线y x 2 2mx m 2m 1的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（C. |a 1|=| a 2|D. a 1与a 2的关系无法确定7.与抛物线4x 2关于x 轴对称的图象表示为（A - yx 24x 2B . y x 2 4x 2 C. yx 2 4x 2D. yax 2 4x 28.二次函数ax 2 bx c的图象如图，则点M( c , &)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.若二次函数ax2C ,当X 取X 1, X 2（X 严X 2）时，函数值相等，则当X 取X 1+X 2时，函数值 A. a cB . a cC. cD. c）10.二次函数y a(x m)2 2m(a 0)的顶点在( )A. y 2xB. y 2xC. x 轴上D. y 轴上11. 函数y ax b与y ax2 bx c如图所示，则下列选项中正确的是( )A. ab>0, c>0B. ab<0, c>0C. ab>0, c<0D. ab<0, c<0 ■■:12. 抛物线y ax2 bx c(a 0)，关于x轴对称的图象的关系式是_________________________________ .13. 抛物线y x k的顶点为P,与x轴交于A、B两点，如果△ ABP是正三角形，那么，k= ________ .214. 判断函数y x 4x 2的图象是否经过第三象限？说明理由.第33题.是否存在以y轴为对称轴的抛物线，经过(3,-4 )和(-3 , 4)两点，若存在,请写出抛物线的解析式；若不存在请说明理由.15. 设二次函数y ax2 bx c的图象开口向下，顶点在第二象限内.①确定a, b, b2 4ac的符号；②若此二次函数的图象经过原点，且顶点的横坐标与纵坐标互为相反数，顶点与原点的距离为3、2，求此二次函数的关系式16. 抛物线y 2x2 6x m与x轴交于A、B两点，如果要求点A在(0 , 0)与(1 , 0)之间，点B在(2 , 0)与(3 , 0)之间，请确定m的取值范围17. 已知抛物线y = ,2和直线y = ax+ 1(1)求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点。