《方程的根与函数的零点》的教学设计.doc

《方程的根与函数的零点》的教学设计湖北省黄冈市团风中学胡建平教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点。

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数学的连接纽带。

在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一。

因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。

本节要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。

它既揭示了初中两大知识方程与函数的内在联系，也是对本章函数知识的加深与总结。

也是对函数知识的总深拓展，把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。

为学好中学数学打下一个良好基础。

因此教好本节是至关重要的。

学生分析程度差异性：中等程度的学生占大多数，程度教高的学生与程度差的学生占少数。

知识、心理、能力储备：学生在次之前已经学习了函数的图象和性质，特别对二次函数有较深的认识，基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。

一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。

这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。

但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。

加之函数零点的存在性的判定方法的表数抽象难懂。

因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系。

并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。

教学中还应创设问题情景，激发学生探究兴趣，并引导学生观察、计算、思考从而达到教学目标。

教学目标知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。

重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

教学程序与环节设计：设计流程一、 创设情景、引出问题问题1：我国自行研制的某种弹道导弹以每小时5000米/每秒的速度发射，那么它几秒后可以击中地面目标。

（不记空气阻力，重力加速度g=10 2s m ）让学生各自独立思考，并请两名不同解法的同学陈述自己的解法。

不出意外应该有两种思路：思路一 先列出方程0550002=-t t ，由方程的解得到。

思路二 写出函数式255000t t s -=，再令0=s 得到。

[师生互动]师：思路一用一元二次方程的知识得到结果，而思路二用二次函数的知识得到了相同的结果，那么二者有没有关系？如果有，那又是什么关系？生：一元二次方程的根等于对应二次函数图象与轴的焦点的横坐标。

师：再看下面的题目，从图象的角度直观的体验上述结论。

问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ○3方程0322=+-x x 与函数122+-=x x y[师生互动]师：引导学生画图、观察图象与x 轴交点的个数与方程的根的个数的关系；观察图象与x轴交点的横坐标与方程根的大小关系。

并引出函数零点概念。

生：画图、思考、并归纳出结论：函数图象与x 轴交点的个数等于对应方程根的个数；函数图象与轴的焦点的横坐标的大小与对应方程的根的大小相等。

设计意图-------问题1以实际应用问题引入，以学生熟悉的感兴趣背景入题，不仅能激发学生的兴趣，又能激活学生的已学知识，为下一步的深入研究做好铺垫。

问题2是几种不同的函数与方程，它既是几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，也为学生归纳方程与函数的关系铺好了台阶。

二、 层层推进，组织探究老师给出函数零点的定义：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．设计意图-------此问的设置一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x 轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。

通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。

师生共同观察、分析得出对函数零点的几点认识：（1） 函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现。

例如函数322--=x x y 的零点为x=-1,3（2） 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．(3) 方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．(4) 函数零点的求法：可以解方程0)(=x f 而得到（代数法）；可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法）补充练习：求函数x x y 43-=的零点（建议学生用两种方法做）设计意图------巩固函数零点的求法，渗透二次以外的函数的零点情况。

总结讨论二次函数的零点的存在情况问题4：是不是所有的二次函数都有零点？[师生互动]师：仅提出问题，不须做任何提示。

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y ．１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．设计意图------本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。

进而培养学生总结归纳能力。

零点存在性的探索：问题5：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间()1,2-上有零点吗？______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ∙)1(f _____0（＜或＞）．思考：若)2(-f ∙)1(f <0，那么函数32)(2--=x x x f 在()1,2-上一定有零点吗?○2 在区间()4,2上有零点______； )2(f ∙)4(f ____0（＜或＞）．思考：若()()0<∙b a f ，那么函数32)(2--=x x x f 在[b a ,]上一定有零点吗?（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f ∙)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f ∙)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f ∙)(d f _____0（＜或＞）．○4()a f ∙()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？○5()()d f a f ∙ 0（＜或＞）。

区间思考：若函数)(x f y =满足()()0<∙n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？若函数)(x f y =满足()()0>∙n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？<师生共同总结>如果)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0>∙b f a f ,那么函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点,即存在∈c ()b a ,,使得()0=c f ,这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

理解：○1此性质成立的前提是图象是连续不断的一条曲线。

○2零点c 并不一定是唯一的，但一定存在。

○3()()0>∙b f a f 是函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点的充分条件。

但是若函数)(x f y =是一次、二次时，则()()0>∙b f a f 是函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点的充要条件。

[师生互动]师：怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析． 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．设计意图------如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点，用数形结合的方法是最直观的，学生也是最易接受的。

问题5的问题设计层层递进、层层加深。

有助于学生理解概念，自己总结出函数零点的判定方法。

这样设计不仅符合学生的认知特点，也无形中给学生灌输概念发生的从特殊到一般过程。

三、 例范研究例1．求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数2223+--=x x x y ，并画出它的大致图象．[师生互动]师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．四、练习尝试1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）022=--x x ；（3）x x 692-=-（4）033=-x x2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）33)(3+--=x x x f ；（2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）x e x f x 4)(-=；（4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．[师生互动]师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。