§5-7 一阶电路的全响应

一阶电路零状态响应公式

一阶电路零状态响应公式电路是电子工程中非常重要的基础概念之一，而一阶电路是最简单的电路之一。

在学习电路的过程中，我们经常会遇到一阶电路的零状态响应问题。

本文将通过介绍一阶电路的零状态响应公式，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一阶电路是指由一个电容或一个电感与电阻串联或并联而成的电路。

它的特点是电流或电压的变化是连续的，不存在跳变。

在进行一阶电路的分析时，我们常常需要考虑其零状态响应，即在初始时刻电路中没有输入信号的情况下，电路中的电压或电流如何变化。

在分析一阶电路的零状态响应时，我们可以使用以下公式：V(t) = V0 * (1 - e^(-t/τ))其中，V(t)表示时间t时刻电路中的电压，V0表示初始时刻电路中的电压，τ表示电路的时间常数。

这个公式是根据一阶电路的微分方程推导出来的。

微分方程描述了电路中电压或电流的变化规律。

通过求解微分方程，我们可以得到电路中电压或电流随时间的变化关系。

在上述公式中，指数函数e^(-t/τ)描述了电压的衰减过程。

随着时间的推移，电压逐渐趋向于稳定值V0，衰减的速率由时间常数τ决定。

时间常数τ越小，衰减越快；时间常数τ越大，衰减越慢。

通过这个公式，我们可以计算出一阶电路中电压随时间的变化情况。

根据实际问题的要求，我们可以选择合适的初始电压V0和时间常数τ，来分析电路的响应特性。

需要注意的是，这个公式适用于没有输入信号的情况下的零状态响应。

如果电路中存在输入信号，我们需要将输入信号和零状态响应进行叠加，得到完整的响应过程。

除了零状态响应公式，我们还可以使用其他方法来分析一阶电路的响应特性。

例如，可以使用拉普拉斯变换、复数分析等方法。

不同的方法可以适用于不同的情况，读者可以根据实际需要选择合适的方法。

一阶电路的零状态响应是电子工程中重要的基础概念之一。

通过零状态响应公式，我们可以计算出电路中电压或电流随时间的变化情况。

这对于分析和设计电路具有重要的意义。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用一阶电路的零状态响应公式。

分析一阶电路全响应的三要素法

Su s1RL i 图6.15 例6.3图R Ru s 2分析一阶电路全响应的三要素法由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。

所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即te f f f t f )]()0([)()(（6-36）式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。

初始值)0(f ，稳态值)(f 和时间常数称为一阶电路全响应的三要素。

1、求初始值)0(f 的要点：(1)求换路前的)0()0(L C i u 、；(2)根据换路定则得出)0()0()0()0(L L C C i i u u ；(3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(u 或)0(i 。

2、求稳态值)(f 的要点：(1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）；(2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。

3、求时间常数的要点：(1)求0t 时的；(2) eqeq R LC R ,；(3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求eq R 。

[例6.3]图 6.15所示电路原已处于稳态，0t 时开关闭合。

已知82s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2, 求电压源401s u V 激励时的电感电流L i 。

[解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以2)0(322R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为)0(L i 2)0(L i A 换路后电感两端的等效电阻为321213R R R R R R eq 所以时间常数为。

一阶电路的全响应

i(∞) 10 / 5A 2A
+ 10V
-
3
i(t) (2 2e5t ) A
S2(t=0.2s)
返回上页下页
t > 0.2s
i(0.2 ) (2 2e50.2 )A 1.26A
i(0.2 ) 1.26A
2 L / R 1/2s 0.5s
i(∞) 10/2A 5A
i(t) (5 3.74e2(t0.2) ) A
+ 10V
uC (∞) (10 1)V 11V –
+ uC
－
1A +
u
－
返回上页下页
RC (11) 1s 2s
全响应： uC (t) (11 Ae0.5t )V
1
1 1
uC (t) (11 10e0.5t )V
iC
(t
)
duC dt
5e0.5t A
+ 10V –
+ －uC
1A +
返回上页下页
或求出稳态分量全响应
代入初值有
iL (∞) 24 /12A 2A
iL (t) (2 Ae20t )A
6＝2＋A
A=4
例4-2 t=0时 ,开关S闭合，求t >0后的iC、uC及电流源两端的电压（uC(0－)=1V，C=1F）。
解这是RC电路全响
应问题，有
1
1 1
稳态分量：
iL (t) [6 (2 6)e5t ]A (6 4e5t )A t 0
i1(t) [2 (0 2)e5t ]A (2 2e5t )A
i2 (t) [4 (2 4)e5t ]A (4 2e5t )A
返回上页下页

(电路分析)一阶电路的全响应

一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。

图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。

时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。

时，响应的初始值为时，响应的稳态值为用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。

图5.5-1（b）中，零输入响应为图5.5-1（c）中，零状态响应为根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。

全响应的变化规律1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。

2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。

3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。

电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。

二、全响应的三要素计算方法全响应的三要素初始值稳态值时间常数例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态，t=0时开关S闭合，求时的电容电流。

解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。

1、确定初始状态。

作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。

由换路定则得初始状态2、确定电容电压的稳态值。

作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压则电容电压的稳态值为3、求时间常数τ。

求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ所以，时间常数为4、求全响应。

一阶电路的全响应——三要素公式【PPT课件】

6A
2
Is
US 3H
(a)
u
大学电路与系统
(2)求解零状态响应iLf(t)和uf(t) 。
零状态响应是初始状态为零,仅由独立源所引起的 R2
响应;故 iLf(0+)=0,电感相当于开路。画出其0+等效 12V
电路,如图 (b)所示,所以
R3 US
iLf(0+) uf(0+) R4
RLiL
L1uS
(a)
(b)
制作
若用y(t)表示响应,用f (t)表示外加激励,上述方程统一表示为
ddy(tt)1y(t)bf(t)
τ为时常数,对RC电路, τ= RC; 对RL电路, τ= L/R。
第 5-2 页
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y(t) = yh(t) + yp(t)
特征根 s = - 1/τ, yh(t) = Ke- t/τ ,
学电路与
1316uL(0)13863
系统
得uL(0+) = 6V, i(0+) = uL(0+) /6=1A
(a) 3Ω
i(0+) 3A
18V uL(0+)
6Ω
6A
(b) 0+图
3Ω
多媒
(3)画∞等效电路,如图(c)。
i(∞) 3A
体室
显然有 uL(∞) = 0, i(∞) = 0,
18V uL(∞) iL(∞) 6Ω
路与
iL(0+) =iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)
系统
uC (0+)= uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)

(电路分析)一阶电路的全响应

一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。

图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。

时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。

时，响应的初始值为时，响应的稳态值为用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。

图5.5-1（b）中，零输入响应为图5.5-1（c）中，零状态响应为根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。

全响应的变化规律1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。

2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。

3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。

电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。

二、全响应的三要素计算方法全响应的三要素初始值稳态值时间常数例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态， t=0时开关S闭合，求时的电容电流。

解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。

1、确定初始状态。

作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。

由换路定则得初始状态2、确定电容电压的稳态值。

作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压则电容电压的稳态值为3、求时间常数τ。

求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ所以，时间常数为4、求全响应。

一阶电路的全响应

vCh
图11.24 RC串联零输入电路图图11.25 t > 0时的等效电路图图11.26 电容电压vC波形图0
t(s)
2006-1-1
！
2
1.1 全响应的解(1)
当t = 0时，开关S由1掷向2处。此时直流电压源VS2作用于电路，其等效电路如图11.25所示。根据换路定理可知：vC(0+) = vC(0−) = VS1。又根据基尔霍夫电压定律列写电压方程有vC + Ri = VS2 (t > 0)。由于电流i与电容电压 vC关联，因此存在以下关系
+ + +
RS S t = 0
+
vC − C
R1 i1 iC
i2
+
vC − C
RS
R1 i1 iC
Req
i2
VS
R2
VS
R2
VOC
−
−
−
图11.28 例11.3图图11.29 t > 0时的等效电路图11.30 化简为戴维南等效电路
+
iC vC C −
2006-1-1
！
7
1.3 三要素法
解当t < 0时，由于电路已经处于稳定状态，因此可知电容电压vC(0−) = 0。当t = 0时，开关S闭合。根据换路定理可知，vC(0+) = vC(0−) = 0。为方
当t = 0时，开关S由1掷向2处。根据换路定理可知，iL(0+) = iL(0−) = −0.5(A)。为方便，画出其等效电路图如图11.33所示。将电感以外的电路化简为戴维南等效电路，如图11.34所示，那么其开路电压VOC = −2.5(V)，等效电阻Req = 1.5(Ω)。则电感电流终了值iL(∞) = VOC/Req = −1.667(V)，时间常数

阶电路的零状态和全响应

应用场景比较
阶电路的零状态响应
适用于需要快速响应且初始状态能量较小或可以忽略不计的场景，如某些控制系统的快速调节。
VS
阶电路的全响应
适用于需要综合考虑初始状态能量和外部激励的场景，如某些电力系统的暂态分析。
05
阶电路的零状态和全
响应的实际应用
在电子线路设计中的应用
零状态响应在电子线路设计中用于描述电路在输入信号激励下，仅由动态元件的初始储能所产生的响应。全响应则描述了电路中所有动态元件的初始储能和输入信号共同作用所产生的响应。
在电子线路设计中，零状态响应和全响应的分析对于理解电路的工作原理、预测性能以及优化设计至关重要。例如，在设计振荡器、滤波器等电子系统时，需要精确地分析零状态响应和全响应以实现所需的功能。
在控制系统中的应用
在控制系统中，阶电路的零状态和全响应用于描述系统对输入信号的动态响应。零状态响应描述了系统在没有初始储能的情况下对输入信号的响应，而全响应则包含了系统所有的动态特性。
全响应的特点
全响应具有确定性
对于同一阶电路，相同的输入信号必然会得到相同的输出信号。
全响应具有唯一性
对于同一阶电路，不同的输入信号必然会得到不同的输出信号。
全响应具有可逆性
对于同一阶电路，输出信号可以通过反变换得到输入信号。
全响应的求解方法
解析法
通过建立电路的微分方程，利用数学方法求解全响应。
阶电路的零状态响应是指在电路中不存在激励信号时，由电路的初值条件引起的电路响应。
零状态响应仅与电路的初始状态和电路的动态元件有关，与外部激励无关。
零状态响应的特点
零状态响应是暂态的，随着时间的推移，它会逐渐消失或达到稳态值。

一阶电路的全响应和零响应区别

一阶电路的全响应和零响应区别
引起电路响应的因素有两个方面,一是电路的激励,而是动态元件储存的初始能量.当激励为零,仅由动态元件储存的初始能量引起的响应叫零输入响应；当动态元件储存的初始能量为零,仅由激励引起的响应叫零状态响应；两个同时引起的响应叫全响应. 零状态响应是指在t=0-时，电容器的电压为0，电感器的电流为0；
零输入响应是指在t=0-时，电源的输入为0；下面早点介绍一阶电路的全响应。

全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。

1.RC电路的全响应的分析
（非齐次微分方程）
解答为：uC = uC' + uC''
得RC电路的全响应的通式：
2.RC电路的全响应通式的两种分解方式
（1）全响应(complete response)
= 强制响应(forced response)+自由响应(natural response)
= 稳态响应(steady-state response) +暂态响应(transient response)（2）全响应= 零状态响应+ 零输入响应
全响应小结:
（1）全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质；
（2）零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；
（3）零输入响应与零状态响应均满意齐性原理，但全响应不满意。

一阶电路零状态响应公式

一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。

在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。

当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。

我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。

在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。

根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。

假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。

根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。

从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。

当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。

通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。

这对于设计和分析电路的性能非常重要。

例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。

需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。

实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。

因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。

总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。

通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。

但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。

一阶电路的全响应

t
0)
5 55
55
iL (t )=
6 5
(
6 5
6
)e
t 3
5
6 5
12
e
t 3
(
A)(
t
5
0)
【例2】如图(a)电路，uc(0-)=2V，t=0时K闭合，试用三要素法求t≧0时uc(t)及i1(t)。
K i1(t) 2
K i1(0+) 26Biblioteka -+6
-
+
+
+
Us 12V
2i1 1F +
uc(t) -
令t=0+，则：
-0
y(0+ )=Ae y() A y(0+ )-y()
故：
-t
y(t)=y() [ y(0 ) y()]e
-t
y(t)=y() [ y(0 ) y()]e
三要素：
① 初始值y(0+)
② 终值y()
③ 时间常数=RC或
L R
2、三要素法的应用
i(t) 1
1
K
iL(t)
—— 电路的时间常数。
(c) t= 等效图
1
1
（3）时间常数
L
R
（图d）
0
R0 2
5
R0 =1
(2//1)
3
等效内阻，从动态元件两端看出去
(d) 求时等效图
L = 5 3(s)
R0 5 / 3
-t
（4）由 y(t)=y() [ y(0 ) y()]e
i(t )=
9
(1
9
)e

一阶电路的零输入响应零状态响应全响应

e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue

t RC
第四章动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e

t

t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0

第四章动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC

)V
t 0
第四章动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue

t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到稳定状态时的电压

一阶电路的全响应

使用稳定的电源电压，避免电压波动对实验结果的影响。
注意安全事项
在实验过程中，要注意安全事项，如避免触电、短路等危险情况。
仿真模拟软件应用举例
Multisim软件
Multisim是一款常用的电路仿真软件，可以用于模拟一阶电路的全响应过程，通过虚拟实验来验证理论分析结果。
PSpice软件
PSpice是另一款专业的电路仿真软件，具有强大的电路分析和模拟功能，可以用于一阶电路的暂态响应和稳态响应分析。
电感L的影响
在RL电路中，电感L的大小直接影响时间常数τ。电感L越大，时间常数τ越大，电路变化越慢；反之，电感L越小，时间常数τ越小，电路变化越快。同时，电阻R的大小也会影响时间常数τ 的大小。
05 全响应过程分析与描述
零输入响应、零状态响应概念区分
零输入响应
指电路在没有外部激励的情况下，仅由初始储能（如电容电压、电感电流）引起的响应。
一阶电路简介
一阶电路定义
仅含有一个动态元件（电容或电感）的线性电路。
一阶电路特点
电路结构简单，动态过程易于分析。
常见的一阶电路
RC电路、RL电路等。
全响应概念及重要性
全响应定义
一阶电路在激励和初始状态共同作用下的响应。
全响应的组成
全响应的重要性
全响应反映了电路在实际工作条件下的动态特性，是电路分析和设计的重要依据。同时，全响应也是理解更复杂电路响应的基础。
时间常数是描述一阶电路暂态过程变化快慢的重要参数，用希腊字母τ（tau）表示。它反映了电路从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态所需的时间。
计算公式
对于一阶RC电路，时间常数τ等于电阻R与电容C的乘积，即τ=RC；对于一阶RL电路，时间常数τ等于电感L与电阻R的比值，即τ=L/R。

一阶电路的响应

t

10e t
式中 U 10V 、 R 10kΩ 、 1s 。
六、实验数据记录： 1．熟悉电子仪器的使用及接线方法
时间常数的计算
电阻值电容值
20kΩ
10kΩ
1s 0.1s 0.01s
5.1kΩ
100μF
1. 动态电路至少包含一个储能元件（电感或电容）
的集中参数电路。当动态电路的结构或元件的参数等
发生变化时，会产生过渡过程，使电路改变原来的工作状态，转变到另一工作状态。动态电路在任意时刻的响应与激励的全部过去历史有关，即使激励不再作用，仍可能有响应。描述动态电路的方程是常系数线性微分方程，微分方程的阶数与动态电路中独立储能
常数τ。
3. 微分电路和积分电路是电容器充放电现象的一
种应用，其电路图如图5.5.4所示。
(a)微分电路
(b)积分电路图5.5.4 微分电路和积分电路
微分电路中当时间常数很小时，输出电压uR正
比于输入电压 u 的微分，即积分电路中当时间常数很大时，输出电压uc正
比于输入电压u的积分，即
1 1 uc ic dt udt c RC
2.
在一阶RC电路中，由于电容器是一种储能元
件，它在电路的通断、换接时，其贮能不可能突
变，电路中的电压和电流随时间变化，这个过程通
常称之为瞬态过程，工程上亦称为过渡过程。在动态电路中，如果贮能元件的初始状态为零，仅有输入引起的响应，称为零状态响应。如果电路的输入为零，仅由电路贮能元件的初始能量激发的响应，称为零输入响应；全响应则为输入和电路贮能元件的初始能量共同作用引起的响应。
从曲线上可看出，RC电路的充、放电过程在各
时段的变化逐渐趋缓，第一个τ时，完成充、放电

一阶电路全响应的三要素公式

一阶电路全响应的三要素公式好的，以下是为您生成的关于“一阶电路全响应的三要素公式”的文章：在学习电路知识的过程中，一阶电路全响应的三要素公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开电路世界的神秘大门。

咱们先来说说这一阶电路全响应到底是啥。

简单来讲，它就是在电源激励和初始储能共同作用下，电路中产生的响应。

这就好比你有一笔存款（初始储能），然后每个月还有固定的工资收入（电源激励），加起来就是你的总财富变化情况（全响应）。

那这三要素公式到底是哪三个要素呢？它们分别是初始值、稳态值和时间常数。

初始值就是电路在初始时刻的状态，就像你刚出发时站的那个起点；稳态值呢，是经过足够长时间后电路稳定下来的状态，就好比你经过长途跋涉最终到达的那个目的地；时间常数则反映了电路从初始状态过渡到稳态的快慢，就像是你到达目的地所花的时间。

给大家讲讲我曾经碰到的一个小例子吧。

有一次，我在实验室里调试一个一阶电路，怎么都弄不对。

我盯着那些电阻、电容和电感，脑袋都大了。

后来我静下心来，仔细分析了初始值、稳态值和时间常数，发现原来是我把一个电阻的阻值算错了，导致整个计算都出了偏差。

经过这次教训，我更加深刻地理解了三要素公式的重要性。

那这三要素公式具体怎么用呢？比如说，我们已知一个一阶 RC 电路，电容的初始电压为 U0，电源电压为 US，电阻为 R，电容为 C。

那么，电路中的电压响应 u(t) 就可以用三要素公式表示为：u(t) = U∞ + [U0 - U∞] e^(-t/τ) ，其中U∞ 就是稳态值，等于 US；τ 就是时间常数，等于 RC 。

再比如说一阶 RL 电路，电感的初始电流为 I0，电源电流为 IS，电阻为 R，电感为 L。

那么，电路中的电流响应 i(t) 就可以表示为：i(t) = I∞ + [I0 - I∞] e^(-t/τ) ，这里的I∞ 等于 IS ，时间常数τ 等于 L/R 。

总之，一阶电路全响应的三要素公式是我们解决一阶电路问题的得力工具。

一阶电路响应电路

8.1.1动态电路微分方程
仅含一个动态元件电容或电感的一阶RC电路和一阶RL电路，都可以用一阶微分方程来描述。分析时，通常将含源的电阻部分、动态元件分别看成一个单口网络，利用戴维宁定理或诺顿定理可以将含源的电阻网络简化，把电路等效为基本的一阶电路形式。
图8-1 一阶RL电路的等效 2 第3页/共55页
8.3.1 RC电路的零状态响应
图8-7（a)电路，
t=0时换路，开关S断开。
图8-7（a) RC零状态响应电路
电路的过渡过程就是电流源对电容元件的充电过程，电容电压从零逐步上升到稳态值。
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21 图8-7（b）所示为t≥0时的等效电路。
图8-7（b）t≥0的等效电路
非齐次方程的解特解
图8-2（a）例8.1电路
图8-2（b）
等效电路
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由换路定律可得
图8-2（c）
（2）求时的非独立初始条件画等效电路如图8-2（c）所示。由电
阻电路的分析方法知
等效电路
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8.2 零输入响应
若动态电路换路后无外加电源激励，在动态元件的初始值作用下，电路中会产生响应，使支路变量不为零。这种在外加输入为零，仅由电路的非零初始条件所引起的响应称为零输入响应，其实质就是储能元件释放能量的过程。
32
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例8.5 图8-13（a）电路，开关S1在t=0时换路，换路前电路已达稳态。已知求t≥0时的。
解: 根据t=0－时的等效电路图813（b）得
图8-13（a）例8.5电路
图8-13（b） t=0－等效电路
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75一阶电路全响应的两种分解

uO
uC

1 C
idt 1 C
uR dt 1 RC
ui dt R
（6-27）
•
上式说明输出电压uO与输入电压ui的积分成正比，实
现了对输入的积分运算，故该电路称为积分电路。
• （2）积分电路将输入的矩形脉冲波转换成三角波输出，实现了波形变换。
• （3）时间常数越大，RC充放电速度越慢，uR越接近输入 ui ，积分关系越正确。所以输出电压取自电容的RC串联电路构成积分电路的条件是τ>> tP。
•
代入式（6-23），整理计算得
• •
Ucm
U sm
1 (CR)2
ψu=ψS-θ=ψS - arctgωRC （6-24）
•
• 所以uC(t)的最终解为
• 25）
（6-
• 由式（6-25）可看出：
• （1）经过后，暂态过程结束，电路进入稳态，稳态响应是与激励频率相同的正弦函数。
• （2）当，暂态分量为零，电路直接进入稳态。
•
图中 uOC=R1R2R2 uS=12sin10t
•
R= R3+ R1// R2=4 kΩ
• 这样可用式（6-25）来计算uC。
Ucm
Uocm

1 (CR)2
12
2.9V
1 (10 100106 4 103)2
• ψu=ψS - arctgωRC= -arctg（10×4×103×100×10-6）
，说明
• 这一项是在储能元件初始储能为零时，由外加激励产生的响
应，这种响应我们称为零状态响应。
• 而当y(∞)=0时，
，这也说明了
这