2017-2018年江苏省扬州市邗江中学高一上学期数学期中试卷带答案
2017-2018年江苏省扬州市邗江中学创新班高一(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学创新班高一（上）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）用列举法表示集合=．2．（3分）已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm，则扇形的弧长为cm．3．（3分）已知角α终边经过点P（﹣2，3），则α的正弦值为．4．（3分）函数y=log（x2﹣3x）的单调递减区间是．5．（3分）函数f（x）=cosx，x∈[）的值域是．6．（3分）函数y=的定义域为，值域为．7．（3分）若f（x）是幂函数，且满足=3，则f（）=．8．（3分）若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．9．（3分）在，四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数个数是个．10．（3分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=．11．（3分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．12．（3分）已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为．13．（3分）设f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），则实数a的取值范围是．14．（3分）已知函数f（x）=（x∈（﹣1，1）），有下列结论：（1）∀x∈（﹣1，1），等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立；（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；（3）∀x1，x2∈（﹣1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）﹣kx在（﹣1，1）上有三个零点则其中正确结论的序号为．二、解答题：15．已知集合A={x|2（x﹣5）（x+1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}，（1）求集合A；（2）当m=3时，求A∪B；（3）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求m的值．16．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a≥0）（1）若a=1，作出函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为d，求d的表达式．17．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y=log a（t﹣5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．（1）试求p=f（t）的函数关系式；（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．18．已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=是偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]•|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最小值h（t）．19．已知集合P=[，2]，函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2（ax2﹣2x+2）=2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=2x（1）若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）（a∈R）在x∈R上具有奇偶性，求a的值；（2）当a＞0且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围；（3）试求函数G（x）=f（x）+af（2x）（a∈R）在x∈（﹣∞，0]的最大值H（a）．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学创新班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）用列举法表示集合={0，1，4，9} ．【解答】解：∵m∈N，且，∴m的可能取值为0，1，4，9，∴用列举法表示集合={0，1，4，9}．故答案为：{0，1，4，9}．2．（3分）已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm，则扇形的弧长为6πcm．【解答】解：一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm，则扇形的弧长为l=αr=π×20=6πcm．故答案为：6πcm．3．（3分）已知角α终边经过点P（﹣2，3），则α的正弦值为．【解答】解：∵角α终边经过点P（﹣2，3），∴=．∴．故α的正弦值为．故答案为．4．（3分）函数y=log（x2﹣3x）的单调递减区间是（3，+∞）．【解答】解：令x2﹣3x＞0 求得x＞3，或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t=x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间．根据二次函数的性质可得函数t=x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），故答案为（3，+∞）．5．（3分）函数f（x）=cosx，x∈[）的值域是．【解答】解：∵x∈[），∴﹣≤cosx≤1．故函数f（x）=cosx，x∈[）的值域是（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．6．（3分）函数y=的定义域为R，值域为[）．【解答】解：∵不论函数y=中的x取何值，函数总有意义，∴函数y=的定义域为R．令u=3+2x﹣x2，则y=．∵u=3+2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]∵函数y=为u的减函数，且u∈（﹣∞，4]∴∈[，+∞），即y∈[，+∞），∴函数的值域为[，+∞），故答案为[，+∞）7．（3分）若f（x）是幂函数，且满足=3，则f（）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，α为实数，则==2α=3，解得α=log23；∴f（x）=，∴f（）===．故答案为：．8．（3分）若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，] ．【解答】解：x≤2时，﹣x+6≥4；∴f（x）的值域为[4，+∞）；∴x＞2时，2+log a x≥4恒成立；∴log a x≥2，a＞1；∴log a2≥2；∴2≥a2；解得；∴实数a的取值范围为．故答案为：．9．（3分）在，四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数个数是2个．【解答】解：如图：∵当0＜x1＜x2＜1时，；∴L2，L4满足条件，∴当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的序号是②④．故答案为：2．10．（3分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=857．【解答】解：[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]=0×（31﹣30）+1×（32﹣31）+2×（33﹣32）+3×（34﹣33）+4×（35﹣34）+5 =1×6+2×18+3×54+4×162+5=857故答案为857．11．（3分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．12．（3分）已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥2．【解答】解：判别式△=m2﹣8m+12=（m﹣2）（m﹣6），①当△≤0时，即2≤m≤6时，函数f（x）≤0恒成立，∴|f（x）|=﹣f（x）=x2﹣（m﹣2）x+m﹣2，对称轴方程为：x=，∴当≥0即m≥2时符合题意（如图1），此时2≤m≤6；②当△＞0时，即m＜2或m＞6时，方程f（x）=0的两个实根为x=，不妨设x1＜x2，由题意及图象得x1≥0 或，即m﹣2≥（如图2）或（如图3）解得m≥2或m≤0，此时m≤0或m＞6，综上得m的取值范围是：m≤0或m≥2；故答案为：m≤0或m≥2．13．（3分）设f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），则实数a的取值范围是[1，2e）．【解答】解：∵f（x）=，故函数f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，在[2，+∞）上也是增函数．由于f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），故函数f（x）在（﹣∞，+∞）上不是增函数．当x＜2时，f（x）∈（0，2e ），当x≥2时，f（x）≥f（2）=1，即f（x）∈[1，+∞）．由题意可得直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，故有1≤a＜2e，故答案为[1，2e）．14．（3分）已知函数f（x）=（x∈（﹣1，1）），有下列结论：（1）∀x∈（﹣1，1），等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立；（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；（3）∀x1，x2∈（﹣1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）﹣kx在（﹣1，1）上有三个零点则其中正确结论的序号为（1）（3）（4）．【解答】解：（1）∵f（x）=，x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），x∈（﹣1，1），即函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0恒成立．∴（1）正确（2）∵f（x）=，x∈（﹣1，1）为奇函数，∴|f（x）|为偶函数，当x=0时，|f（0）|=0，∴当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，当m＞0时，方程有两个不等实根，∴（2）错误．（3）当x∈[0，1）时，f（x）==≥0，为增函数．当x∈（﹣1，0]时，f（x）==≤0，为增函数．综上函数f（x）在（﹣1，1）上为单调函数，且单调递增，∴∀x1，x2∈（﹣1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）成立，即（3）正确．（4）由g（x）=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，∴f（0）=0，即x=0是函数的一个零点，又∵函数f（x）为奇函数，且在（﹣1，1）上单调递减，∴可以存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）﹣kx在（﹣1，1）上有3个零点，如图：∴（4）正确．故（1），（3），（4）正确．故答案为：（1），（3），（4）二、解答题：15．已知集合A={x|2（x﹣5）（x+1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}，（1）求集合A；（2）当m=3时，求A∪B；（3）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求m的值．【解答】解：（1）A={x|2（x﹣5）（x+1）＜1}={x|（x﹣5）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜5}；（2）当m=3时，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，A∪B={x|﹣1＜x＜5}；（3）∵A={x|﹣1＜x＜5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，∴4为方程x2﹣2x﹣m=0的根，有42﹣2×4﹣m=0，解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意，故实数m的值为8．16．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a≥0）（1）若a=1，作出函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为d，求d的表达式．【解答】解：函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a≥0）可得：f（x）=（1）当a=1时，可得f（x）=（2）∵x∈[1，2]上，∴f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，a≥0其对称轴x=，开口向上．当＜1时，即a，d=f（1）=3a﹣2当＞2时，即0≤a，d=f（2）=6a﹣3．当时，即，d=f（）=∴最小值为d的表达式为：d=17．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y=log a（t﹣5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．（1）试求p=f（t）的函数关系式；（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．【解答】解：（1）当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，顶点坐标为（12，82），图象过（14，81），设f（t）=at2+bt+c，带入求解，可得f（t）=，当t∈[14，45]时，曲线是函数y=log a（t﹣5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分，图象过（14，81），代入求解可得：a=则f（t）=．则p=f（t）=（2）由题意，指数p大于80时听课效果最佳，当0＜t≤14时，f（t）=，解得．当t∈[14，45]时，f（t）=，解得14≤t＜32（3分）综上：可得．∴老师在这一时间段内安排核心内容，学生听课效果最佳．18．已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=是偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]•|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最小值h（t）．【解答】解（1）因为函数y=f（x﹣）是偶函数，所以二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为x=﹣，故b=1．又因为二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．因此，f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11．（2）g（x）=（x﹣2）|x|，当x≤0时，g（x）=﹣（x﹣1）2+1，当x＞0时，g（x）=（x﹣1）2﹣1，作出g（x）的图象，如下图所示：由图象知：当1≤t＜2时，g min（x）=t2﹣2t；当1﹣≤t＜1时，g min（x）=﹣1；当t＜1﹣时，g min（x）=﹣t2+2t；故h（t）=19．已知集合P=[，2]，函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2（ax2﹣2x+2）=2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若P∩Q≠Φ，则在[，2]内至少存在一个x使ax2﹣2x+2＞0成立，即a＞﹣+=﹣2（﹣）2+∈[﹣4，]，∴a＞﹣4（5分）（2）方程log2（ax2﹣2x+2）=2在内有解，则ax2﹣2x﹣2=0在内有解，即在内有值使成立，设，当时，，∴，∴a的取值范围是．（10分）20．已知函数f（x）=2x（1）若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）（a∈R）在x∈R上具有奇偶性，求a的值；（2）当a＞0且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围；（3）试求函数G（x）=f（x）+af（2x）（a∈R）在x∈（﹣∞，0]的最大值H（a）．【解答】解：（1）若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）为偶函数；则F（﹣x）=f（﹣x）+af（x）=F（x）=f（x）+af（﹣x）恒成立；解得：a=1若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）为奇函数；则F（﹣x）=f（﹣x）+af（x）=﹣F（x）=﹣f（x）﹣af（﹣x）恒成立；解得：a=﹣1综相可得：a=1时是偶函数，a=﹣1时是奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（2）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为≤2x+a恒成立，∴a≥（﹣2x+）max．设m（x）=﹣2x+令=t，则x=t2﹣1，t∈[1，4]，∴m（t）=﹣2（t2﹣1）+t=﹣2（t﹣）2+．所以，当t=1时，m（x）max=1，∴a≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10（3）G（x）=2x+a•22x，x∈（﹣∞，0]．令2x=t，因x∈（﹣∞，0]，故t∈（0，1]．2x+a•22x=at2+t（0＜t≤1）当a=0时，G（x）max=1当a≠0时，令g（t）=at2+t=a（t+）2﹣（0＜t≤1）．若a＞0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．若﹣＜a＜0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．若a≤﹣，t=﹣时g（t）取最大值，g（﹣）=﹣．综上，F（x）max=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16。
江苏省扬州市2017届高三上学期期中测试数学试题
江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试数 学 试 题 （Ⅰ）2016．11一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.0240sin = 。
)1(i i z -=的虚部为 。
)0(22>=p py x 的准线方程为21-=y ，则抛物线方程为 。
21<+xx 的解集为 。
0142:,022:21=+-=--y x l y x l ，则1l 与2l 之间的距离为 。
y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≥-02540232y x y x y ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 。
)2,(),1,1(m b m a =+=，则b a //的充要条件是m = 。
2tan ,3)4tan(==+βπα，则)tan(βα-= 。
x a x x f sin )(+=在),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 。
02024:22=---+y x y x C ，直线01534:=+-y x l 与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则ABD ∆面积的最大值为 。
2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
kx x x x f ---=1|1|)(2无零点，则实数k 的取值范围是 。
)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于A 、B 两点。
若BF AF ⊥，则双曲线的渐近线方程为 。
14. 已知函数)0(1|)|1()(>+-=a x a x x f ，若)()(x f a x f ≤+对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 。
二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。
【数学】江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期12月阶段测试数学试题+答案
江苏省扬州中学2017-2018学年度第一学期阶段性测试高一数学2017.12 第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．） 1．若{}224,x x x ∈++，则x = ．2．计算：2331log 98-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．3．sin1320︒的值为 ． 4．若一个幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为 ． 5．方程lg 2x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = ． 6．函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 ．7．函数()2log 23a y x =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点的坐标为 ． 8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．9．已知点P 在直线AB 上，且4AB AP =uu u r uu u r ，设AP PB λ=uu u r uu r，则实数λ= ．10．设函数()sin 0y x ωω=>在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围为 ．11．若关于x 的方程21220xx a +-+=在[]0,1内有解，则实数a 的取值范围是 ．12．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若2AE DB ⋅=-uu u r uu u r ，则AE BE ⋅=uu u r uur．13．已知函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值为32，则实数a = ． 14．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1528y f x f x =+--有 个零点．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．设全集U R =，集合{}121x A x -=≥，{}2450B x x x =--<. （1）求A B I ，()()U U C A C B U ；（2）设集合{}121C x m x m =+<<-，若B C C =I ，求实数m 的取值范围.16．设()2,1OA =-uu r ，()3,0OB =uu u r ，(),3OC m =uu u r.（1）当8m =时，将OC uuu r 用OA uu r 和OB uu u r表示；（2）若A B C 、、三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 17． 已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(),a b 上恰有10个零点，求b a -得最大值.18． 某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元.（1）当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价位102元？（2）当一次订购量为x 个，每件商品的实际批发价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （3）根据市场调查发现，经销商一次最大订购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润.19． 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增，且()20f -=. （1）若()12sin 21f f x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，求x 的取值范围；（2）若()5cos 216g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a R ∈.是否存在实数a ，使得()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立？若存在，求a 的范围；若不存在，说明理由.20． 已知函数()()()log 101a f x x a =+<<，()()2log 33a g x x x =-+. （1）解关于x 的不等式()()g x f x >； （2）若函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫> ⎪⎝⎭上的值域为()()log 3,log 3a a t n t m ++⎡⎤⎣⎦，求实数t 的取值范围； （3）设函数()()()f xg x F x a -=，求满足()F x Z ∈的x 的集合.高一数学参考答案及评分标准一、填空题1．1 2．6 3．2-4．()2f x x -= 5．1 6．3,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7．()3,3 8．6 9．13，15- 10．(]0,2 11．[]0,1 12． 3 13．18 14． 4 二、解答题15．解：（1）∵{}1A x x =≥，{}15B x x =-<<∴{}15A B x x =≤<I ，()(){}15U U C A C B x x x =<≥或U （2）当C =∅时，211m m -<+ 即2m <当C B ⊆时，12111215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解之得33m <≤综上所述：m 的取值范围是(],3-∞.16．解：（1）当8m =时，()8,3OC =uu u r，设OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，则()()()()8,32,13,023,x y x y x =-+=+-∴2383x y x +=⎧⎨-=⎩∴3143x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）∵A B C 、、三点能构成三角形∴,AB AC uu u r uuu r不共线又()1,1AB =uu u r ，()2,4AC m =-uu u r∴()14120m ⨯-⨯-≠，∴6m ≠. 17．解：（1）2A =，243124T πππω=-=，2ω= 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得51212k x k ππππ-+≤≤+ 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 注：区间端点可开可闭，都不扣分. （3）()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得512x k ππ=+或()34x k k Z ππ=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -最大值为217533T ππ+=. 18．解：（1）设一次订购量为()100n n N +∈， 则批发价为1200.04n -，令1200.04102n -=， ∴1201020.04n -=，∴450n =，所以当一次订购量为550个时，每件商品的实际批发价为102元.（2）由题意知()()1200100,1200.0410*******,x x N f x x x x N⎧≤≤∈⎪=⎨--<≤∈⎪⎩（3）当经销商一次批发个零件x 时，该批发公司可获得利润为y ，根据题意知：()()400100400.0410*******xx f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨--⋅<≤⎡⎤⎪⎣⎦⎩ 设()140f x x =，在100x =时，取得最大值为4000；设()220.0444f x x x =-+=()220.045500.04550x --+⨯，所以当500x =时，()2f x 取最大值.答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润. 19．解：（1）∵()f x 为偶函数， ∴()()220f f -==∵偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增 ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减 ∴12sin 21x >+∴12sin 21x >+或12sin 21x <-+ ∴31sin 2,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，又[]sin 21,1x ∈-，∴1sin 21,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭故x 的取值范围为73311,,124412k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，()k Z ∈（2）由题意知，当22t -<<时，()0f t > 又()sin 213g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,343x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 要使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立，则()22g x -<<恒成立 ①当0a >时，则()11g x a ≤≤-+12a -+<，01a <<②当0a =时，()1g x =显然成立 ③当0a <时，则()11a g x -+≤≤12a -+>-，∴30a -<<综上所述，使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立时，a的范围为31a -<<.20．解：（1）原不等式等价于20331x x x <-+<+，解得22x <故解集为(22.（2）∵23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在32x >上是单调递增的，又01a <<，（或设1232x x >>，则120x x ->，123x x +>， ∴()()2211223333x x x x -+--+=()()121230x x x x -+->⎡⎤⎣⎦ ∴()()2211223333x x x x -+>-+，∵01a <<，∴()()221122log 33log 33a a x x x x -+<-+）所以函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫>⎪⎝⎭上为减函数，因此 ()()()2log 33log 3a a g m m m t m =-+=+，()()()2log 33log 3a a g n n n t n =-+=+.即2333m m t m -+=+，2333n n t n -+=+,32m n ⎛⎫<<⎪⎝⎭. 所以m n 、是方程2333x x t x -+=+，3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭的两个相异的解. 设()263h x x x t =-+-，则()36430393630242332t h t ⎧⎪∆=-->⎪⎪⎛⎫=-⨯+->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩所以1564t -<<-为所求. （3）()()()()()()2log 1log 332133a a x x x f x g x x F x a ax x +--+-+===-+，()1x >-∵()71551x x ++-≥+，当且仅当1x =时等号成立，（可用对勾函数单调性说明，不证不扣分）∴()211733151x x x x x ⎛+=∈ -+⎝⎦++-+，∵5343<<，∴()F x 有可能取得整数有且只有1,2,3， 当21133x x x +=-+时，解得2x =，2x =当21233x x x +=-+时，解得5,12x x ==； 当21333x x x +=-+时，解得2x =，43x =.故集合451,2,,,2232M ⎧=-⎨⎩.。
2017-2018邗江区高一数学期中试卷答案
2017-2018学年度第二学期高一数学期中测试卷（2018.04）参考答案1．12 2．(]-2,1 3.2 4．36 .5．43 6 7． 8．(1)2n n + 9．13 10．2 11．(],10-∞ 12．226,13{ 618,4n n n n T n n n -≤≤=-+≥13．14. 23(1,)313.【解析】：∵a 1=1，2S n =（n +1）a n ，∴n ≥2时，2a n =2（S n ﹣S n ﹣1）=（n +1）a n ﹣na n ﹣1，化为：=，∴==…===1，∴a n =n ．不等式a n 2﹣ta n ≤2t 2，化为：（n ﹣2t ）（n +t ）≤0，t ＞0， ∴0＜n ≤2t ，关于正整数n 的不等式a n 2﹣ta n ≤2t 2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2． ∴ 223t ≤< ∴1≤t ＜，故答案为：．14．【解析】：由22b a ac -=得a B a c ac a B ac c a b +=⇒+=-+=cos 2cos 22222，因此,sin cos sin 2)sin(,sin cos sin 2sin A B A B A A B A C +=++=即)sin(sin A B A -=，因为ABC ∆为锐角三角形，所以.2,A B A B A =-=从而15.解析：（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，所tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+………………………2分tan tan 1tan tan B C B C +=--231123+=-=-⨯，………………………4分又(0,π)A ∈， 所以π4A =．……………………………………………6分 （2）因为sin tan 2cos BB B==，且22sin cos 1B B +=，又(0,π)B∈，所以sin B=，……………………………………8分同理可得，sin C=……………………………………10分由正弦定理，得3sinsinc BbC===14分16.解析：(1)5a=-；所以不等式2320ax x++>为25320x x-++>，再转化为()()1520x x-+<，…………………3分所以原不等式解集为2|15x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭…………………5分(2)不等式2321ax x ax++>--可化为()2330ax a x+++>，即()()310ax x++>；…………………7分当03a<<时，31a-<-，不等式的解集为{ 1x x-或3}xa<-；…………………9分当3a=时，31a-=-,不等式的解集为{}|1x x≠-；…………………11分当3a>时，31a->-,不等式的解集为{| 1x x<-或3}xa>-；…………………13分综上所述，原不等式解集为①当03a<<时，3{|x xa<-或1}x>-,②当3a=时，{}|1x x≠-，③当3a>时，{| 1x x<-或3}xa>-；…………………14分17．解析：（1）设等比数列{}n a的公比为q，由10193a a=，有281013a q=可得4513a q=，…………………1分由3124a a-=可得()21124a q-=，…………………2分两式相除可得：42881810q q-+=，…………………3分整理为： ()()228990q q--=，由0q >，且q 为整数，可解得3q =，故13a =…………………5分 数列{}n a 的通项公式为3n n a =．…………………7分 （2）由()13nn b n =+⨯，23233343n S =⨯+⨯+⨯+()1313n n n n -+⨯++⨯，有2343233343n S =⨯+⨯+⨯+ ()1313n n n n ++⨯++⨯，…………………9分两式作差有： 232633n S -=+++ ()1313nn n ++-+⨯，…………………11分14分15分 18．解析：（1）()(sin )cos f x x x x =x x x 2cos3cos sin +=1sin 222x x =sin(2)3x π=+ ………………2分 由02x π≤≤得，423x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤， …………………4分 ∴0sin(2)13x π++≤，即函数)(x f 的值域为[0,1+． ………6分 （2）由()sin(2)3f A A π=++=得sin(2)03A π+=，又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=．…………………8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ． ………………10分 由正弦定理sin a bA =，得sin sin b A B a ==12分 ∵b a <，∴B A <，∴cos B =，…………………13分（此处先由余弦定理求出cos B =，再求出sin B∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12=+=……………15分19.解析：设x 的单位为百海里（1）由,2cos ,2cos OAB AB OA A AD AB αα∠====………………2分在AOD ∆中，()d OD f α===3分02πα∈（，）………5分（无定义域或定义域不准确扣1分） 若小岛O 到AB 距离为x，AB =6分()d OD g x ===8分(0,1)x ∈……………10分 （无定义域或定义域不准确扣1分）（2）224cos 14cos sin ;(0,)2OD παααα=++∈1cos 2414sin 222(sin 2cos 2)3αααα+=⨯++⨯=++)34πα=++……………………13分5(0,)2+2444ππππαα∈∴∈，（，），则当2+=428πππαα=即时，OD 取得最大值. ……………………14分此时2cos28AB π===15分答：当AB 间距离为. ……………………16分 20.解析：（1）由()()111n n n a n a -+=-，即2)n ≥（．……………………2分 当1n =时，上式成立，故n a =()11n n +……………………3分因为112,2n n b b b +==，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 故2n n b =. ……………………5分(2) 由（1）知2n n b =，则……………………7分 假设存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有1m b ++<，解得16m ≥． ……………………9分 所以存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有1m b ++<此时， m 的最小值为16. ……………………………………10分（3）当n 为奇数时，()()241241222n n -⎡⎤=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+⎣⎦13分 当n 为偶数时，()()2424222nn =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+………………15分 因此()()21243421,432421,43n n n n n n n Tn n -⎧⎪⎪=⎨⎪+++⎪-⎩++-为奇数为偶数………………16分。
2017-2018学年江苏省扬州中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省扬州中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5,A B ==全集{}0,1,2,3,4,5,U =则()U C A B ⋂=__________．【答案】{}4,5【解析】由题意可得： {}4,5U C A =， 则： (){}4,5U C A B ⋂=.2．函数()f x =的定义域是__________． 【答案】{|10}.x x x ≤≠且【解析】函数有意义，则： 10{x x -≥≠，求解关于实数x 的不等式组可得函数的定义域为{|10}.x x x ≤≠且点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．3．已知幂函数()f x x α=的图像经过点)，则()2f =_________．【答案】4【解析】幂函数()f x x α=的图像经过点)，2α∴=，解得2α=则()2224f ==4．已知 3.52.53.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列________． 【答案】b a c <<【解析】由指数函数2xy =知， 2.5 3.5<所以 2.53.522<，即b a < 又 3.53.53?2c a =>=故b a c <<5．已知()1,xf x e -=则()1f -=__________．【答案】1【解析】整理函数的解析式： ()()111x f x e -+-=，则： ()1x f x e+=，故： ()11011f ee -+-===.6．已知扇形的中心角为3π，所在圆的半径为10cm ，则扇形的弧长等于__________ cm . 【答案】103π 【解析】扇形圆心角的度数16036036π=︒=⨯︒ 则弧长为圆周的11063π= 故扇形的弧长等于103cm π 7．函数()log 12(01)a y x a a =++>≠且恒过定点A ，则A 的坐标为_____． 【答案】(0，2) 【解析】log 1002a x y =∴==时 ,即A 的坐标为(0，2)8．已知函数()22,2{ 21,2x ax x f x x x +≥=+<，若()()10f f >，则实数a 的取值范围是______.【答案】【解析】()()()13960f f f a ==+>解得32a >-故实数a 的取值范围是32a >-9．设函数()24xf x x =+-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+则整数k = ___________.【答案】1【解析】()240xf x x =+-=24x x =-+当0x =时， 0214=<当1x =时， 122143=<-+=当2x =时， 224242=>-+= 则()012x ∈， 故1k =10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()2,xf x x =+则当()0x f x <=时，__________．【答案】2x x --【解析】设0x <，则0x ->，据此可得，当0x <时有： ()()2xf x f x x -=-=-.点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可求解函数的解析式．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21,f a f a f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭则实数a 的取值范围是____________.【答案】【解析】()122f log a f log a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f log a f log a ∴-=-则()()()()()2122222?21f log a f log a f log a f log a f log a f ⎛⎫-=+=≤ ⎪⎝⎭即()()21f log a f ≤ 在区间[)0,+∞上单调递增21log a ∴≤， 02a ∴<≤故实数a 的取值范围是](02 ，点睛：本题考查了函数性质的综合运用，抽象函数的奇偶性、单调性及不等式，运用奇函数性质进行化简，并判断其在定义域内的单调性，解答不等式问题12．设函数，若f （x ）的值域为R ，是实数的取值范围是 ． 【答案】【解析】试题分析：当时，的范围是；当时，的范围是，因为f（x）的值域为R，即，解得实数的取值范围是．【考点】1．分段函数的值域；13．已知函数，若的最大值是，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】试题分析：因为的最大值是，所以，因此当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；综上实数的取值范围是【考点】二次函数最值14．已知m R∈,函数()()221,1{log1,1x xf xx x+<=->，()2221g x x x m=-+-，若函数()y f g x m⎡⎤=-⎣⎦有6个零点，则实数m的取值范围是__________.【答案】35m<<【解析】函数()()2211{11x xf xlog x x+<=->，，，()2221g x x x m=-+-∴当()()21221g x x m=-+-<时，即()2132x m-<-时，则()()()2212143y f g x g x x m⎡⎤==+=-+-⎣⎦当()()21221g x x m=-+->时，即()2132x m->-时，则()()22log123y f g x x m⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦当320m-≤即32m≥时，y m=只与()()22log123y f g x x m⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去；当32m <时， y m =与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点需要直线y m =只与()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦的图象有四个交点时才满足题意，034m m ∴<<-又32m <，解得305m <<故实数m 的取值范围是305m <<点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，结合复合函数后难度较大，要先求出复合函数的解析式，然后根据交点个数情况进行分类讨论，理清函数图象的交点问题是本题的关键二、解答题 15．求值：（Ⅰ） ()122301329.6348-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）1lg25lg22+-【答案】（Ⅰ）118；（Ⅱ） 32．【解析】试题分析： ()1利用指数幂的运算性质即可得出；()2利用对数的运算性质即可得出。
-2018扬州市高三上期中试卷及答案
2017-2018扬州市高三上期中试卷及答案(共13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2017-2018学年度第一学期期中检测试题高三英语本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分120分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题，三部分，共85分）第一部分听力（共两节，每题1分，满分20分）第一节听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Why does the man need a map?A. To tour Manchester.B. To find a restaurant.C. To learn about China.2. What does the woman want to do for vacation?A. Go to the beach.B. Travel to Colorado.C. Learn to snowboard.3. What will the man probably do?A. Take the job.B. Refuse the offer.C. Change the working hours.4. What does the woman say about John?A. He won't wait for her. B, He won’t come home today. C. He won’t be on time for dinner.5. What will the speakers probably do next?A, Order some boxes. B. Go home and rest. C. Continue working.第二节听下面5段对话或独白。
高中江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题
江苏省扬州市邗江中学【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设集合{}{}0,1,2,3,1,3,5A B ==，则AB = ( )A ．{}0,5B ．{}1,3C ．{}1,3,5D ．{}0,1,2,3,52．函数1()22x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点( )A ．（0，4）B ．（1，2）C ．（-1，4）D ．（-1，2）3．若函数1,[1,0),()44,[0,1],xx x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈⎩则f (log 43)等于( ) A ．13B ．3C ．13-D ．-34．函数 f （x ）=lnx+2x-6的零点x 0所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,45．设0.9999,0.9,log 0.9x y z ===，则( )A ．z y x <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．y x z <<6．函数2()45f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值是5，最小值是1，则m 的取值范围是( ) A ．[2,)+∞B ．[2,4]C ．(,2]-∞D ．[0,2]7．()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x m m =++为常数），则()2f -=（ ）A ．9B ．7C ．9-D ．7-8．已知函数()213log (23)f x x x =-++，则()f x 的递减区间是（ ） A ．,1-∞（） B ．3,1--（） C ．1,1-（） D ．1（，）+∞ 9．若24παπ<<，且角α的终边与角76π-的终边垂直，则=α（ ） A ．73π B ．103πC ．4733ππ或D ．71033ππ或10．某厂原来月产量为b ，一月份增产0030，二月份比一月份减产0030，设二月份产量为a ，则（ ） A ．0.99a b = B ．a b = C ．0.91a b = D ．a b >11．已知幂函数21()(1)m f x m m x -=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，有1212()()0f x f x x x ->-，若函数()()()()21,1log ,1a a f x x F x f x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩（其中0a >且1a ≠）在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,3]B ．(1,3]C ．(4,)+∞D ．(2,4]12．已知定义在[]22-,上的函数 ()y f x =和()y g x =的图象如图给出下列四个命题：①方程(())0f g x =有且仅有6个根；②方程(())0g f x =有且仅有3个根； ③方程(())0f f x =有且仅有5个根；④方程(())0g g x =有且仅有4个根； 其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①③④二、填空题13．已知扇形的圆心角为4π，半径为4，则扇形的面积为______． 14．已知11,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则幂函数a y x =的图象不可能经过第__________象限． 15100y =，则lg lg x y ⋅的最大值是__________．16．已知a ∈R ，函数3()2x f x a a -=-+在区间[1,5)上的最大值是4，则a的取值范围是__________．三、解答题17．计算下列各式的值： （1）()122301322017348-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2lg 6lg 0.02-. 18．设全集U =R ，集合302x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x =≥，{}23C x a x a =≤≤+.（1）求U C A 和AB ；（2）若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围.19．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 20．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升,其中k 为常数,且60120x ≤≤．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时,每小时的油耗为11.5升,欲使每小时的油耗不超过9升,求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．21．已知函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且()()()4log 41x f x g x +=+.（1）求()f x 的解析式； （2）若函数()()()()21log 202x h x f x a a =-⋅+>在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围.22．定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．（1）若()2xf x x =-，x ∈(0，+∞)，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围；（3）若()22x k xf x +=，x ∈(﹣1，+∞)，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可 【详解】由题,则{}0,1,2,3,5A B ⋃=, 故选：D 【点睛】本题考查并集的定义,考查列举法表示集合,属于基础题 2．C 【分析】令10x +=,可得1x =-,代入()f x 中,可得()1f -,即可求得定点 【详解】由题,令10x +=,可得1x =-, 则()11122224f a -+-=+=+=,所以定点为()1,4-故选：C 【点睛】本题考查指数型函数图象恒过定点问题,属于基础题 3．B 【分析】可判断[]4log 30,1∈,代入()4xf x =即可【详解】由题,因为4440log 1log 3log 41=<<=,所以()4log 34log 343f ==故选：B 【点睛】本题考查对数运算性质的应用,考查分段函数求值 4．C【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间． 【详解】∵连续函数f （x ）=lnx+2x-6是增函数，∴f （2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f （3）=ln3＞0， ∴f （2）•f（3）＜0，故函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5．A 【分析】借助特殊值0,1,利用指数函数,对数函数的单调性判断即可 【详解】由题,0.90991x =>=,9000.90.91y <=<=,99log 0.9log 10z =<=,则01z y x <<<<, 故选：A 【点睛】本题考查指数,对数比较大小问题,考查借助中间值比较大小,考查指数函数,对数函数的单调性的应用 6．B 【分析】利用配方法可得()()221f x x =-+,则()05f =,()21f =,根据二次函数的对称性即可判断m 的范围 【详解】由题,()()221f x x =-+,因为()05f =,()21f =,且对称轴为2x =, 所以()45f =,因为()f x 在区间[0,]m 上的最大值是5,最小值是1, 所以24m ≤≤ 故选：B 【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题 7．D 【解析】试题分析：因为()f x 是定义域为R 且()f x 是奇函数，所以()()()0000f f f =-⇒=，所以()0022010f m m =+⨯+=+=，1m =-，()()22222217f f ⎡⎤-=-=-+⨯-=-⎣⎦，故选D.考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式. 8．C 【解析】令223(0)t x x t =-++>，则13log y t =是(0,)+∞上的减函数，而223(0)t x x t =-++>的递增区间是(1,1)-，根据复合函数的同增异减原则知，()()213log 23f x x x =-++的递减区间是(1,1)-，故选C. 9．D 【分析】 先得到角76π-的终边相同的角的集合为5|2,6B k k Z ββππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,因为角α的终边与角76π-的终边垂直,所以角α的终边相同的角的集合为4|2,3A k k Z ααππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭或|2,3A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,再根据24παπ<<确定角α的值 【详解】 由题,设角76π-的终边相同的角的集合为75|2,|2,66B k k Z k k Z ββππββππ⎧⎫⎧⎫==-+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,因为角α的终边与角76π-的终边垂直,则2παβ=+或2παβ=- 所以角α的终边相同的角的集合为4|2,3A k k Z ααππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭或|2,3A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,因为24παπ<<,所以当1k =时,103πα=或73π, 故选：D 【点睛】本题考查终边相同的角的应用,考查角的终边的位置关系 10．C 【解析】试题分析：因为一月份增产0030，所以一月份的产量为1.3b ，又因为二月份比一月份减产0030，所以二月份产量为01.3700b ⨯=0.91b ，故选C. 考点： 阅读能力及数学建模思想的应用. 11．A 【分析】先由幂函数定义及函数单调性可解得2m =,即()f x x =,则()()21,1log ,1aa x x F x x x ⎧--≤=⎨>⎩,又由于()F x 在R 上单调递增,可得()201211log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩,解出不等式即可【详解】因为幂函数,所以211m m --=,解得2m =或1m =-, 因为对任意12,(0,)x x ∈+∞,且12x x ≠,有1212()()0f x f x x x ->-,所以()f x 在()0,∞+单调递增,则10m ->,即1m , 所以2m =,则()f x x =,所以()()21,1log ,1aa x x F x x x ⎧--≤=⎨>⎩,又因为()F x 在R 上单调递增,所以()201211log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩,解得23a <≤故选：A 【点睛】本题考查幂函数的定义及幂函数的单调性的应用,考查分段函数已知单调性求参问题 12．D 【解析】根据图象可得2222g x f x -≤≤-≤≤（），（） ， ①由于满足方程[]0f g x =（）的g x （）有三个不同值，由于每个值g x （）对应了2个x 值， 故满足[]0f g x =（）的x 值有6个，即方程[]0f g x =（）有且仅有6个根，故①正确． ②由于满足方程[]0g f x =（）的f x （）有2个不同的值，从图中可知， 一个f x （）的值在21--（，）上，令一个f x （）的值在01（，）上． 当f x （）的值在21--（，）上时，原方程有一个解；当f x （）的值在01（，）上时，原方程有3个解．故满足方程[]0g f x =（）的x 值有4个，故②不正确． ③由于满足方程[]0f f x =（） 的f x （）有3个不同的值，从图中可知，一个f x （）等于0， 一个21f x ∈--（）（，），一个12f x ∈（）（，）． 而当0f x =（） 时对应3个不同的x 值；当21f x ∈--（）（，）时，只对应一个x 值； 当12f x ∈（）（，）时，也只对应一个x 值．故满足方程[]0f f x =（）的x 值共有5个，故③正确． ④由于满足方程[]0g g x =（）的g x （）值有2个，而结合图象可得，每个g x （）值对应2个不同的x 值，故满足方程[]0g gx =（） 的x 值有4个，即方程[]0g g x =（）有且仅有4个根，故④正确．故选 D ． 13．2π 【解析】∵扇形的圆心角为4π，半径为4， ∴扇形的面积211S 162224R παπ==⨯⨯=故答案为2π 14．二、四 【解析】当1a =-或3a =时，图象经过一、三象限，当12a =时，图象经过第一象限，幂函数ay x =的图象不可能经过第二、四象限，故答案为二、四． 15．4 【解析】 【详解】100y =，等号两边同时取对数，得)lglg1002y ==，即1lg lg 24x y +=，利用换元法，令lg ()t y t =∈R ，则lg 84x t =-，代入lg lg x y ⋅，由二次函数的配方，22lg lg (84)484(1)4x y t t t t t ⋅=-=-+=--+，即lg lg x y ⋅的最大值是4，故答案为4．16．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题意知，[1,5)x ∈，32[1,4]x -∈，故32[1,4]x a a a --∈--，①1a ≤时，33()|22[1,4]x x f x a a --=-+=∈，故符合题意；②512a <≤时 ，10a -<，40a ->且14a a -≤-，∴32[0,4]x a a --∈-， 故3()2[,4]x f x a a a -=-+∈，故符合题意；③542a <≤时 ，10a -<，40a ->，且14a a ->-，∴32[0,1]x a a --∈-，故3()2[,1]x f x a a a -=-+∈，故不符合题意；④4a >时，3()2x f x a a -=-+=322[24,21]x a a a --∈--，故不符合题意．综上所述：a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【方法点睛】本题主要考查函数的解析式和函数的最值、以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 17．（1）5318（2）4 【分析】（1）利用指数幂的性质运算即可； （2）利用对数的性质运算即可 【详解】解：（1）()122301322017348-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1223927148-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34129=++ 5318= （2lg 6lg 0.02-6lg0.02=lg 300=2lg3lg300=-+ 100lg 3003⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭lg10000= 4=【点睛】本题考查利用指数幂,对数性质的运算问题,考查运算能力18．(1) {}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< (2) >3a 或10a -<< 【分析】（1）先解出A ，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据题意可得C ⊆A 可讨论C 是否为空集，从而可求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）{}23A x x =-<<，{}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< （2）由A C A ⋃=知C A ⊆当23a a >+时，即>3a 时，=C ∅，满足条件；当23a a ≤+时，即3a ≤时，22a >-且33a +<，10a ∴-<< 综上，>3a 或10a -<< 【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义． 考查了分类讨论的数学思想，属于中档题. 19．或0 【分析】利用三角函数的定义可得1tan x xθ-==-,则1x =±,分别讨论当1x =和1x =-两种情况,再利用三角函数定义求解即可 【详解】 由题,因为1tan x xθ-==-,所以1x =±, 当1x =时,P 为()1,1-,则sin cos 0θθ+==； 当1x =-时,P 为()1,1--,则sin cos θθ+=+=,综上,sin cos θθ+=0 【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查已知终边上一点求三角函数值,考查运算能力 20．（1）[]60,100；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将x=120代入每小时的油耗，解方程可得k=100，由题意可得1450010095x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解不等式可得x 的范围；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得100145005y x k x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭换元令1t x=化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值． 【详解】（1）由题意可得当120x =时,14500=11.55x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 解得100k =,由1450010095x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭, 即214545000x x +≤﹣,解得45100x ≤≤, 又60120x ≤≤,可得60100x ≤≤,每小时的油耗不超过9升,x 的取值范围为[]60,100； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升,则()210014500209000020601205k y x k x x x x x⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭ 令1t x =,则11t ,12060⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 即有22290000202090000+209000900k k y t kt t ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭，对称轴为9000k t =,由60100k ≤≤,可得11,900015090k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ①若19000120k 即75100k ＜≤,则当9000k t =,即9000x k =时,2min 20900k y =-；②若19000120k <即6075k ≤＜, 则当1120t =,即120x =时,min 10546ky =-． 答：当75100k ＜≤,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k ≤＜,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k-升． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 21．（1）()()4log 412xx f x =+-；（2）[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之即可；（2）将函数()f x 的解析式代入化简，把函数()h x 在R 上只有一个零点的问题转化成方程()0h x =的根的问题，然后利用指数、对数的运算性质进一步转化为方程()212210xx a -+-=，再通过换元法可变为方程()2110a t -+-=只有一个正根的问题，最后分成方程有两相等正根、一正跟一负根和方程为一次方程三种情况讨论即可.【详解】（1） 因为()()()4log 41xf xg x +=+，所以()()()4log 41xf xg x --+-=+，即()()()4log 41x f x g x --=+，由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之得：()()4log 412xx f x =+-.（2）()()()()()224log 11log 2log 422122x x x h x f x a a x =-⋅+=⋅++--进一步化简得()()2221211log log 2222x x xh x a +=-⋅+， 令()0h x =得：()22221log log 22x xxa +=⋅+， 化简得：()212210xx a -+-=，令2x t =，则0t >，即方程()2110a t -+-=只有一个正根，当1a =时，4t =一正一负两根时，满足条件，则101a -<-，所以1a >；当方程有两个相等的正根时，则()28410a a ∆=+-=，所以12a =或1a =-（舍），12a =时，t =满足条件.综上，实数a 的取值范围为：[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式及指数、对数方程根的问题通过换元法转化为整式方程根的问题，试题综合性较强，对运算能力要求较高，难度中等偏上.22．（1）见解析； （2）1a >； （3）()24min2,201,0kk f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩. 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明()()10f x f x +->即可；（2）由“a 距”增函数的定义得到()()2213304f x a f x x xa a +-=++->在x ∈R 上恒成立，求出a 的取值范围即可；（3）由()f x 为“2距”增函数可得到()()2f x f x +>在()1x ∈+∞﹣，恒成立，从而得到()2222x k x x k x +++>+恒成立，分类讨论可得到k 的取值范围，再由()2222422k k x x k xf x ⎛⎫+-⎪+⎝⎭==，可讨论出()f x 的最小值．【详解】（1）任意0x >,()()()()1121221x x xf x f x x x +⎡⎤+-=-+--=-⎣⎦, 因为0x >,21>, 所以21x >，所以()()10f x f x +->，即()f x 是“1距”增函数． （2）()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x x a xa a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304x a xa a a ++->恒成立， 因为0a >,所以2213304x xa a ++->在x ∈R 上恒成立， 所以221=91204a a ⎛⎫∆--< ⎪⎝⎭，解得21a >，因为0a >,所以1a >. （3）因为()22x k xf x +=，()1,x ∈-+∞，且为“2距”增函数，所以1x >-时，()()2f x f x +>恒成立， 即1x >-时，()222222x k x x k x++++>恒成立，所以()2222x k x x k x +++>+，当0x ≥时，()()2222x k x x kx +++>+，即4420x k ++>恒成立， 所以420k +>, 得2k >-;当10x -<<时，()()2222-x k x x kx +++>， 得44220x kx k +++>恒成立， 所以()()120x k ++>,得2k >-, 综上所述，得2k >-. 又()2222422k k x xk xf x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，因为1x >-,所以0x ≥，当0k ≥时，若0x =，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值为0； 当20k -<<时，若2k x =-，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值.因为2xy =在R 上是单调递增函数，所以当0k ≥，()f x 的最小值为1；当20k -<<时()f x 的最小值为242k -，即()242,201,0k mink f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩. 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．。
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是．2．（5分）过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程．3．（5分）以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为．4．（5分）空间两点P（2，﹣2，0）和Q（4，0，1）之间的距离为．5．（5分）直线2x+y+1=0不通过第象限．6．（5分）若直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，则m=．7．（5分）过点A（0，3）做圆x2+y2﹣4x+2y+1=0的切线，则切线长为．8．（5分）如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，高为8，则它的体积为．9．（5分）已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE 位置关系是．10．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线y=x+1平行，则直线l的方程为．11．（5分）如果用半径为R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是．12．（5分）已知直线y=与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，则弦长AB=．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a与l2：2x+（a+5）y=8，则当a为何值时，直线l1与l2：（1）平行？（2）重合？（3）垂直？16．（14分）已知三条直线l1：x﹣2y=0，l2：y+1=0，l3：2x+y﹣1=0两两相交，（1）画出图形，并求出它们交点的坐标；（2）求过这三个交点的圆的方程．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．18．（15分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC的中点，AF⊥BC，AS=AB．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）平面SAB⊥平面SBC．19．（16分）已知圆O的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（1，2）且与圆O相切的直线L的方程；（2）直线L过点P（1，2），且与圆O交于A、B两点，若|AB|=2，求直线L 的方程．20．（16分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．2．（5分）过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程x=2．【分析】根据与x轴垂直的直线方程斜率不存在，写出直线方程即可．【解答】解：过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程斜率不存在，直线方程是x=2．故答案为：x=2．【点评】本题考查了斜率不存在时的直线方程应用问题，是基础题．3．（5分）以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【分析】因为要求的圆的圆心知道，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵P（1，1）为圆心，且经过原点，∴半径r=，∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【点评】本题考查了圆的标准方程，解答此题的关键是求出圆的半径，是基础题．4．（5分）空间两点P（2，﹣2，0）和Q（4，0，1）之间的距离为3．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点的距离即可．【解答】解：空间两点P（2，﹣2，0），Q（4，0，1）间的距离为：|PQ|==3，故答案为：3．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．5．（5分）直线2x+y+1=0不通过第一象限．【分析】由已知中的直线方程求出直线与坐标轴的交点，进而可得答案．【解答】解：当x=0时，y=﹣1，当y=0时，x=﹣，故直线2x+y+1=0过第二、三，四象限，即直线2x+y+1=0不通过第一象限，故答案为：一．【点评】本题考查的知识点是直线的一般方程，难度不大，属于基础题．6．（5分）若直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，则m=7或﹣13．【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，求得m的值．【解答】解：直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，故有=，求得m=7，或m=﹣13，故答案为：7或﹣13．【点评】本题主要考查两条平行线间的距离公式的应用，属于基础题．7．（5分）过点A（0，3）做圆x2+y2﹣4x+2y+1=0的切线，则切线长为4．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心和半径，画出图形，根据切线的性质得到直角△ACM，利用勾股定理求出切线|AM|的长．【解答】解：如图所示，圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4，∴圆心C的坐标为（2，﹣1），半径为r=2；又|CA|==2，∴切线长为|CM|===4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了两点间的距离公式，切线性质以及勾股定理应用问题．8．（5分）如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，高为8，则它的体积为32．【分析】求出S ABCD=2×=12，代入体积公式V=得出体积．【解答】解：∵正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，∴S ABCD=2×=12，正四棱锥PABCD的体积为V==．故答案为：32．【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．9．（5分）已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE 位置关系是BD1∥平面ACE．【分析】连接AC，BD，交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BD1，由线面平行的判定定理，可得BD1∥平面ACE．【解答】解：连接AC，BD，交点为F，连接EF∵在△BDD1中，E，F为DD1，BD的中点故EF∥BD1，∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE，故答案为：BD1∥平面ACE【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理是解答的关键．10．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线y=x+1平行，则直线l的方程为x﹣y+3=0．【分析】由圆的方程求得圆心坐标，再由所求直线与直线y=x+1平行求得斜率，代入直线方程斜截式得答案．【解答】解：由圆x2+（y﹣3）2=4，得圆心坐标为（0，3），又直线l与直线y=x+1平行，则直线l的斜率为1，则所求直线方程为y=x+3，即x﹣y+3=0．故答案为：x﹣y+3=0．【点评】本题考查由圆的标准方程求圆心坐标，考查直线方程的求法，是基础题．11．（5分）如果用半径为R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是3．【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．【解答】解：半径为R=2的半圆弧长为2π，圆锥的底面圆的周长为2π，圆锥的底面半径为：所以圆锥的高：=3故答案为：3．【点评】本题考查圆锥以及侧面展开图的知识，考查计算能力，是基础题．12．（5分）已知直线y=与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，则弦长AB=．【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求得|AB|的值．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=1，∴圆心坐标为（2，0），半径为，1，∴圆心到直线l：y=x的距离为d==，故弦长|AB|=2=故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是④．（写出所有正确命题的序号）【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，求解本题关键是有较好的空间想像能力，对空间中点线面的位置关系可以准确判断，再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理与条件．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a与l2：2x+（a+5）y=8，则当a为何值时，直线l1与l2：（1）平行？（2）重合？（3）垂直？【分析】由（a+3）（a+5）﹣8=a2+8a+7=0得：a=﹣1，或a=﹣7，（1）当a=﹣7时，两直线平行．（2）当a=﹣1时，两直线重合；（3）当由2（a+3）+4（a+5）=0得：a=﹣，此时两条直线垂直；【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a，直线l2：2x+（a+5）y=8，由（a+3）（a+5）﹣8=a2+8a+7=0得：a=﹣1，或a=﹣7，（1）当a=﹣7时，直线l1：﹣4x+4y=26，直线l2：2x﹣2y=8，两直线平行；（2）当a=﹣1时，直线l1：﹣2x+4y=8，直线l2：2x﹣4y=8，两直线重合；（2）由2（a+3）+4（a+5）=0得：a=﹣此时两条直线垂直．【点评】此题为中档题，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，难度中档．16．（14分）已知三条直线l1：x﹣2y=0，l2：y+1=0，l3：2x+y﹣1=0两两相交，（1）画出图形，并求出它们交点的坐标；（2）求过这三个交点的圆的方程．【分析】（1）先根据题意画出三条直线，再求出交点的坐标；（2）判断由三个交点构成的三角形的形状为直角三角形，求出圆心坐标和半径，即可求出圆的标准方程．【解答】解：（1）如图：通过计算斜率可得L1⊥L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆，解方程组，得，∴点A的坐标为（﹣2，﹣1），解方程组，得．∴点B的坐标为（1，﹣1），解方程组，得．∴点C的坐标为（1，﹣1）；（2）线段AB的中点坐标是（﹣，﹣1），又|AB|=，∴圆的方程是（x+）2+（y+1）2=．【点评】本题考查了直线方程及画法，求直线交点的方法，求圆的标准方程的方法，准确的判断三角形的形状是解决本题的关键，是中档题．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直，属于中档题．18．（15分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC的中点，AF⊥BC，AS=AB．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）平面SAB⊥平面SBC．【分析】（1）推导出EF∥AB，GF∥AC，由此能证明平面EFG∥平面ABC．（2）推导出AF⊥BC，AF⊥SB，从而AF⊥平面SBC，由此能证明平面SAB⊥平面SBC．【解答】证明：（1）∵在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC 的中点，∵EF∥AB，GF∥AC，∵EF∩EG=E，AB∩AC=A，EF、EG⊂平面EFG，AB、AC⊂平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵AF⊥BC，AS=AB，F是SB中点，∴AF⊥SB，∵BC∩SB=B，∴AF⊥平面SBC，∵AF⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SBC．【点评】本题考查面面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．（16分）已知圆O的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（1，2）且与圆O相切的直线L的方程；（2）直线L过点P（1，2），且与圆O交于A、B两点，若|AB|=2，求直线L 的方程．【分析】（1）由题意可知，直线斜率存在，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得k，则直线方程可求；（2）当直线L垂直x轴时，直线方程为x=1，求出A，B的坐标，得|AB|=，满足题意；当直线L的斜率存在时，设L的方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0．利用垂径定理列式求得k，则直线方程可求．【解答】解（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y﹣2=k（x﹣1），则由=2，得k1=0，k2=﹣，从而所求的切线方程为y=2和4x+3y﹣10=0；（2）当直线L垂直x轴时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4，解得A（1，），B（1，﹣），|AB|=，满足题意；当直线L的斜率存在时，设L的方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0．设圆心到此直线的距离为d，则，解得d=1．从而1=，解得k=．此时直线方程为3x﹣4y+5=0，综上，所求直线方程为3x﹣4y+5=0或x=1．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．20．（16分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．【分析】本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（1）要求过点M 的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．（2）由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．【解答】解：（1）由条件知点M在圆O上，∴1+a2=4∴a=±当a=时，点M为（1，），k OM=，此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）即：x+y﹣4=0当a=﹣时，点M为（1，﹣），k OM=﹣，此时切线方程为：y+=（x﹣1）即：x﹣y﹣4=0∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或即：x﹣y﹣4=0（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）当AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y﹣=k（x﹣1），直线BD的方程为y﹣=（x﹣1），由弦长公式l=2可得：AC=2BD=2∵AC2+BD2=4（+）=20∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40故AC+BD≤2即AC+BD的最大值为2【点评】求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．。
2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．M={1,2,m 2-3m-1},N={-1,3},M∩N={3},则m 的值为( ) A ．4 B ．-1C ．4或-1D ．-4或1【答案】C【解析】由{}3M N ⋂=，可得3M ∈，则2313m m --=，即可求解答案. 【详解】由题意知,3M ∈，∴2313m m --=,解得1m =-或4m =.经检验1m =-或4m =均满足{}3M N ⋂=,所以m 的值为4或1-，故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念和集合与运算的关系的应用，其中熟记集合交集的概念和集合中运算的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．下面各组函数中是同一函数的是（ ）A ．()()2f xg x ==B ．()()2111x f x g x x x -==+-，C ．()()f x x g x ==，D ．()()f xg x ==【答案】C【解析】先判断每组函数的定义域是否相同，然后再判断每组函数的对应关系是否相同，由此判断是否为同一函数. 【详解】A ．()f x =R ，()2g x =的定义域为[)0,+∞，故不是同一函数；B ．()211x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；C ．()()f x x g x ==，R ，且()g x x ==，故是同一函数；D ．()f x =[)1,+∞，()g x(][),11,-∞-+∞U ，故不是同一函数.故选：C. 【点睛】本题考查同一函数的判断，难度一般.判断两个函数是否为同一函数，先要从定义域的角度判断，若定义域不同，则一定不是同一函数，若定义域相同，则需要再判断对应关系是否相同，若对应关系不同，则不是同一函数，若对应关系相同，则为同一函数. 3．α是一个任意角，则α的终边与3απ+的终边一定( ) A ．关于坐标原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称【答案】A【解析】将2απ+终边逆时针旋转π，可得3απ+，然后根据终边相同的角，可得结果. 【详解】因为α终边与2απ+的终边相同， 将2απ+终边逆时针旋转π得3απ+，2απ+终边与3απ+终边关于坐标原点对称则α的终边与3απ+的终边关于坐标原定对称 故选：A 【点睛】本题考查两角终边的位置关系，属基础题4．若函数243y x x =-+-的定义域为[]0,t ，值域为[]3,1-，则t 的取值范围是( )A ．(]0,4 B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．[]2,4【答案】D【解析】利用数形结合，结合值域，可得结果. 【详解】 如图令()243y f x x x ==-+-则()()()03,43,21f f f =-=-= 又定义域为[]0,t ，值域为[]3,1- 所以[]2,4t ∈ 故选：D 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，属基础题. 5．设0.64a =，0.348b =，0.912c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】将,,a b c 均化简为以2为底的指数幂，然后根据2xy =的单调性，可得结果.【详解】由0.6 1.242a ==，0.34 1.0282b ==，0.90.9122c -⎛⎫== ⎪⎝⎭由2xy =为R 上的单调递增函数 所以a b c >> 故选：A 【点睛】本题考查利用函数单调性比较式子大小，属基础题.6．要得到函数y ＝23－x 的图象，只需将函数1()2xy =的图象( )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位【答案】A 【解析】33112,22x x xy y --⎛⎫⎛⎫==∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 的图象向右平移3个单位得到312x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭即是32xy -=的图象，故选A.二、填空题 7．4sin3π=______. 【答案】3-【解析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果. 【详解】43sinsin sin 333ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭故答案为：3- 【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题. 8．计算：2lg5lg 4+=______. 【答案】2【解析】根据对数的运算性质，可得结果. 【详解】222lg5lg 4lg5lg 4lg100lg102+=+===故答案为：2 【点睛】本题考查对数的运算性质，属基础题.9．已知函数2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a ＝_____． 【答案】【解析】试题分析：当0a >时，21()log 2f a a ==，解得2a =0a ≤时，1()22a f a ==，解得1a =-. 【考点】分段函数的求法.10．已知函数()28xf x x =+-的零点为0x ，且()0,1x k k ∈+，则整数k =______.【答案】2【解析】计算()()2,3f f ，根据零点存在性定理，可得结果. 【详解】由()()220,330f f =-<=> 所以()()230f f ⋅<故函数()f x 在()2,3存在零点，所以2k = 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理，属基础题. 11．已和幂函数()f x k x α=⋅的图象过点12⎛⎝⎭，则k α+=__________． 【答案】32【解析】由幂函数的定义和解析式求出k 的值，把已知点代入求出α的值，可得答案． 【详解】解：∵()f x k x α=⋅是幂函数，∴1k =，所以幂函数()f x x α=的图象过点12⎛ ⎝⎭，∴122α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12α=，则13122k α+=+=， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题． 12．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C分别在函数y x=，12y x =，2xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.【答案】11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x 在函数2logy x=的图像上，所以22logAx =，即22122A x ⎛== ⎝⎭. 因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y 在函数22x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以42124C y ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．已知11221a a --=，则22a a -+的值为______. 【答案】7【解析】根据11221a a -⋅=，两边平方可得1a a -+，然后计算()21a a -+，可得结果.【详解】由11221a a--=，则211221a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1112221a a a a --+-=，则13a a -+= 所以()21239a a -+==，则227a a -+=故答案为：7 【点睛】本题主要考查指数幂的运算，难点在于112222,a a a a --⋅⋅是个定值，属基础题.14．已知不等式22log (22)2ax x -+>在[]1,2x ∈上恒成立,则实数a 的取值范围是_______【答案】(4,)+∞【解析】将对数不等式化简得二次不等式,根据在[]1,2上恒成立即可求得a 的取值范围. 【详解】不等式22log (22)2ax x -+>化简得222log (22)log 4ax x -+>根据对数的单调性可得2224ax x -+>,即2220ax x -->，即有12a ＞（211x x +）max ， 由211x x +=（112x +）214-，x ∈[1，2]，即有1x ∈[12，1]， 可得x ＝1，即1x=1，取得最大值2．则12a ＞2，解得a ＞4． 故答案为：（4，+∞）． 【点睛】本题考查了对数不等式的解法,二次不等式在指定区间内的恒成立问题， 注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题． 15．已知函数()3123f x x x =+，对任意的[]3,3t ∈-，()()20f tx f x -+<恒成立，则x 的取值范围是______. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据函数奇偶性以及单调性，可得2tx x -<-，然后构造新函数()2g t tx x =+-，最后根据一次函数的图像与性质可得结果.【详解】 由()3123f x x x =+，可知定义域为R 则()()f x f x -=-，可知函数()f x 为奇函数 又31,23y x y x ==均为单调递增的函数， 所以()f x 为单调递增的函数，由()()20f tx f x -+<，则()()2f tx f x -<- 即()()2f tx f x -<-，则2tx x -<-， 所以20tx x +-<. 据题意可知：对任意的[]3,3t ∈-，()()20f tx f x -+<恒成立 即任意的[]3,3t ∈-，20tx x +-<恒成立 令()2g t tx x =+-所以()()33201133202g x x x g x x ⎧-=-+-<⎪⇒-<<⎨=+-<⎪⎩ 所以11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭故答案为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，掌握等价转换的方法，同时当含多个未知量的时候，一般给出谁的范围，谁就是主元，属中档题.16．设函数()f x 满足()22221x f x ax a =-+-，且()f x 在21222,2a a a --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.【答案】332,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】利用换元法，可得()2221g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】 由()22221xf xax a =-+-令22,log xt x t ==，所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a a a --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+可得3512a -≤≤或352a +≤≤ 所以3535,12,22a ⎡⎤⎡⎤-+∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为：3535,12,⎡⎤⎡⎤-+⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.三、解答题17．已知集合{}2514A x y x x ==--，集合(){}2|lg 712B x y x x ==---，集合{}|121C x m x m =+≤≤-.（1）求A B I ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(4,3)--；（2）或．【解析】试题分析：（1）根据定义域求得集合A ，根据值域求得集合B ，再根据数轴求交集（2）先将条件转化为集合包含关系：A C ⊃ ，再根据空集讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.试题解析：（1）25140x x --≥Q ，27x x ∴≤-≥或即(][),27,A =-∞-⋃+∞27120x x ---> 43x ∴-<<-即 ()4,3B =--()4,3A B ∴⋂=--（2）C A ∴⊆当2112m m m -<+<时即时 C 为空集满足条件2m ∴<; 当211m m -≥+即2m ≥时21217m m -≤-+≥或,162m m ∴≤-≥或;又2m ≥ 6m ∴≥综上或．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.18．（1）已知角α的终边经过点()()12,50P a a a <，求sin α，cos α，tan α的三角函数值. （2）求函数cos sin 2tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域. 【答案】（1）5sin 13α=-，12cos 13α=-，5tan 12α=； （2）{}4,2,0-. 【解析】（1）根据三角函数的概念2222sin tan yxx y x y ααα===++，可得结果.（2）根据分类讨论的方法，讨论x 的终边在哪个象限，判断sin ,cos ,tan x x x 的符号，可得结果. 【详解】（1）由0a <，则()()2212513OP a a a =+=-5sin 13α=-，12cos 13α=-，5tan 12α=；（2）当x 为第一象限角时sin 0,cos 0,tan 0x x x >>>所以1124y =++=当x 为第二象限角时，sin 0,cos 0,tan 0x x x ><<所以()1122y =+--=-，当x 为第三象限角时，sin 0,cos 0,tan 0x x x <<>所以()1120y =-+-+=，当x 为第四象限角时，sin 0,cos 0,tan 0x x x <><所以1122y =-+-=-，函数的值域是{}4,2,0-.【点睛】本题考查三角函数的概念，属基础题.19．函数()f x 是实数集R 上的奇函数, 当0x >时， 2()log 3f x x x =+-. （1）求(1)f -的值；（2）求函数()f x 的表达式；（3）求证：方程()0f x =在区间(0，＋∞)上有唯一解．【答案】（1）2（2）f (x )＝()22log 3?,?0,{0,0,log 3,0x x x x x x x --++<=++>（3）见解析【解析】试题分析：（1）由题函数()f x 是实数集R 上的奇函数．所以()(1)1f f －＝－ ．则(1)f －易求（2）由题函数()f x 是R 当上的奇函数()00f ∴＝ ；又当0x ＜ 时，0x －＞ ，所以22()()()3()3f x log x x log x x －＝－＋－－＝－－－．所以－f (x )＝log 2(－x )－x －3，从而f (x )＝－log 2(－x )＋x ＋3．所以()f x ＝ ()22log 3,0,0,0,log 3,0x x x x x x x -⎧-++<⎪=⎨⎪++>⎩（3）因为()222230f log ＝＋－＝ ，所以方程()0f x ＝ 在区间(0)∞，＋ 上有解2x ＝．又方程()0f x ＝ 可化为23log x x ＝－．设函数()()23g x log x h x x ＝，＝－． 以下证明方程()()g x h x ＝ 在区间(0)∞，＋上只有一个解即可．试题解析（1）函数f (x )是实数集R 上的奇函数．所以f (－1)＝－f (1)．因为当x ＞0时，f (x )＝log 2x ＋x －3，所以f (1)＝log 21＋1－3＝－2．所以f (－1)＝－f (1)＝2．（2）当x ＝0时，f (0)＝f (－0)＝－f (0)，解得f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＋(－x )－3＝log 2(－x )－x －3．所以－f (x )＝log 2(－x )－x －3，从而f (x )＝－log 2(－x )＋x ＋3．所以f (x )＝()22log 3,0,0,0,log 3,0x x x x x x x -⎧-++<⎪=⎨⎪++>⎩（3）因为f (2)＝log 22＋2－3＝0，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有解x ＝2．又方程f (x )＝0可化为log 2x ＝3－x ．设函数g (x )＝log 2x ，h (x )＝3－x ．由于g (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数h (x )在区间(0，＋∞)上是单调减函数，所以，方程g (x )＝h (x ) 在区间(0，＋∞)上只有一个解．所以，方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．20．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，1BC =米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点.EMN ∆是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆.（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将EMN∆的面积S（平方米）表示成关于x 的函数；（2）求EMN∆的面积S（平方米）的最大值.【答案】（1）()() 2,01331,113x xSx x x⎧<≤⎪=⎛⎫⎨-++<<+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）132+平方米. 【解析】（1）采用分类讨论的方法，当01x<≤时，利用面积公式即可；当113x<<+时，连接EG交CD于点F，交MN于点H，计算GF，GH利用相似，可得MN，可得结果.（2）根据（1）的结论，研究函数的单调性，可得结果.【详解】（1）①当MN在矩形区域滑动，即01x<≤时，所以EMN∆的面积122S x x=⨯⨯=；②当MN在三角形区域滑动，即113x<<+时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵E为AB中点，∴F为CD中点，GF CD⊥，且3FG=又∵MN//CD，∴MNG DCG∆∆:.∴MN GH DC GF =，即21x MN ⎤-=. 故EMN ∆的面积2112x S x ⎤-=即21S x x ⎛=+ ⎝⎭； 综合可得：()(2,011,11x x S x x x ⎧<≤⎪=⎛⎨+<<+ ⎪ ⎝⎭⎩. （2）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤；②当MN 在三角形区域滑动时，2133S x x ⎛=-++ ⎝⎭，当12x =（米）时， S得到最大值，最大值123+（平方米）.∵112+>， ∴S有最大值，最大值为12+. 【点睛】 本题考查实际问题中的数学建模以及函数值域的求法，属中档题.21．已知函数()2f x x bx c =++. （1）若()()g x xf x =是奇函数，求b 的值；（2）若2b a =-，58a c -=，且()20f x >对任意的实数x 都成立，求a 的取值范围； （3）对于任意的[]12,1,1x x ∈-，总有()()124f x f x -≤，求b 的取值范围. 【答案】（1）0；（2）1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）[]22-,.【解析】（1）根据奇函数的判断方法，可得结果（2）利用换元法，结合构造函数可得()()28825,0h t t a t a t =+-+-≥，然后根据讨论对称轴与[)0,+∞的位置，可得结果.（3）根据题意等价转换为()()max min 4f x f x -≤，结合分类讨论的方法，讨论2b x =-与区间[]1,1-的位置关系，判断函数的单调性并求出最值，可得结果.【详解】（1）()()0g x g x -+=，220bx =由对任意x 恒成立，所以0b =.（2）依题意： ()()2425208a f x x a x -=+-+>， 令20x t =≥， 则()()288250h t t a t a =+-+->， 当对称轴202a --≤时， ()050h a =->，[)2,5a ∈， 当对称轴202a -->时， ∆<0，1,32a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 综上：1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）法1：取11x =，21x =-，可得()()114f f --≤，24b ≤，所以[]2,2b ∈-，[]1,12b -∈-. 函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值2b f ⎛⎫- ⎪⎝⎭最大值为在()1f 或()1f -，所以()()142142b f f b f f ⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪---≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：[]2,2b ∈-.法2：分四种情况进行讨论， 当12b -≤-时，即2b ≥时， ()f x 在[]1,1-上单调增，()()1124f f b --=≤，2b ≤，2b =， 当12b -≥时，即2b ≤-时， ()f x 在[]1,1-上单调减，()()1124f f b --=-≤，2b ≥-，2b =-， 当()1,02b -∈-，即()0,2b ∈时 ()()max 1f x f =，()min 2b f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()211422b b f f ⎛⎫⎛⎫--=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得[]6,2b ∈-，∴()0,2b ∈. 当()0,12b -∈，即()2,0b ∈-时 ()()max 1f x f =-，()min 2b f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()211422b b f f ⎛⎫⎛⎫---=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得[]2,6b ∈-，∴()2,0b ∈-.综上，[]2,2b ∈-.【点睛】本题主要考查二次函数动轴定区间的问题，难点在于分类讨论对称轴与定区间的位置关系，属难题.22．已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若,a b ∈R 且0a ≠，证明：函数()2f x ax bx a =+-必有局部对称点；（2）若函数()2xf x c =+在定义域[]1,2-内有局部对称点，求实数c 的取值范围； （3）若函数()124231x x m m f x +-⋅+-=在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1718c --≤≤；（3）1m ≤【解析】（1）根据新定义的“局部对称点”的概念，计算()()0f x f x -+=，可得结果. （2）根据“局部对称点”的概念，利用分离参数的方法，可得222x x c --=+，然后构造新函数，研究新函数的值域与c 的关系，可得结果.（3）根据“局部对称点”的概念，以及换元法，可得222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解然后构造函数()22228f t t mt m =-+-，利用函数性质，可得结果. 【详解】（1）由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--，代入()()0f x f x -+=得，()()220ax bx a ax bx a +-+--=，得到关于x 的方程()200ax a a -=≠，1x =±， 则函数()f x 必有局部对称点.（2）方程2220x x c -++=在区间[]1,2-上有解则222x x c --=+，设()212x t x =-≤≤，12t ≤≤4，12c t t -=+，其中11724t t +≤≤， 所以1718c --≤≤.（3）()12423x x f x m m --+-=-⋅+-，由于()()0f x f x -+=，所以()1212423423x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-， 则()()()()244222230*x x x x m m --+-++-= 所以可知方程()*在R 上有解，令()222x x t t -+=≥，则2442x x t -+=-，解法1：当()12423x x f x m m +=-+-时，由()()0f x f x +-=，可得()244222260x x x x m m --+-++-=.[)222,x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-， 从而222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”.令()22228F t t mt m =-+-， 1︒ 当()20F ≤，222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解，由()20F ≤，即22440m m --≤，解得11m ≤；2︒ 当()20F >时，222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解等价于()()2244280220m m m F ⎧∆=--≥⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，解得1m +≤综上，所求实数m的取值范围为1m ≤解法2：方程()*变为222280t mt m -+-= 在区间[)2,+∞需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥，即1m m ⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩化简得1m ≤【点睛】本题考查新定义的理解以及二次函数的综合应用，属难题.。
【精品】2017年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试卷
2016-2017学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（5*14=70）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B=．2．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为．3．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=．4．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为．5．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=．6．（5分）计算﹣lg2﹣lg5=．7．（5分）集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是．8．（5分）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是．9．（5分）函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为．10．（5分）已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）=．11．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围．12．（5分）f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c大小关系是．13．（5分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是．14．（5分）已知函数，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是．二、解答题：（14+14+14+16+16+16）15．（14分）已知全集为R，集合A={x|y=lgx+}，B={x|＜2x﹣a≤8}．（I）当a=0时，求（?R A）∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．17．（14分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．（1）当a=时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．18．（16分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）求﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式；（3）当﹣4≤x≤4时，求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．19．（16分）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．20．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．2016-2017学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（5*14=70）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x ＜1} ．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，故答案为：{x|﹣1≤x＜1}2．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为（2，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴该函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．3．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．4．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为[1，10] ．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，x∈[1，5]，则当x=2时，函数取得最小值为1，当x=5时，函数取得最大值为10，故该函数值域为[1，10]，故答案为[1，10]．5．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=﹣1．【解答】解：函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=8a+2b+1=﹣（﹣8a﹣2b+1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．6．（5分）计算﹣lg2﹣lg5=3．【解答】解：=4﹣2=3．故答案为：3．7．（5分）集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是0或1．【解答】解：根据集合A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2+2x﹣1=0只有一个根，①a=0，x=，满足题意；②a≠0时，则应满足△=0，即（﹣2）2﹣4a×1=4﹣4a=0解得a=1．所以a=0或a=1．故答案为：0或1．8．（5分）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：因为函数f（x）=﹣x2+2ax在[1，2]上是减函数，所以﹣=a≤1①，又函数g（x）=在区间[1，2]上是减函数，所以a＞0②，综①②，得0＜a≤1，即实数a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．9．（5分）函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为（3，3）．【解答】解：令x﹣2=1，则x=3，f（3）=2log a（3﹣2）+3=3，故函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为（3，3），故答案为：（3，3）．10．（5分）已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）=x2﹣1．【解答】解：函数f（x﹣1）=x2﹣2x，令x﹣1=t，则x=t+1那么f（x﹣1）=x2﹣2x转化为f（t）=（t+1）2﹣2（t+1）=t2﹣1．所以得f（x）=x2﹣1故答案为：x2﹣1．11．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围．【解答】解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，所以f（x﹣1）＞f（3﹣2x）?f（|x﹣1|）＞f（|3﹣2x|）?|x﹣1|＞|3﹣2x|，两边平方并化简得3x2﹣10x+8＜0，解得，所以x的取值范围为（）．故答案为：（）．12．（5分）f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c大小关系是c＞a＞b．【解答】解：f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，故f（x）在[0，+∞）上是减函数，∵a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），∵log47=log2＞1，∵=﹣log23=﹣log49＜﹣1，0＜0.20.6＜1，∴|log23|＞|log47|＞|0.20.6|＞0，∴f（0.20.6）＞f（log47）＞f（），即c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．13．（5分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是（0，）．【解答】解：由函数y=lg（﹣1）可得，﹣1＞0，解得0＜x＜1，即有A=（0，1），对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，即有﹣m2﹣2m＞﹣，整理可得m2+2m＜+在（0，1）恒成立，由+=（+）（1﹣x+x）=+2++≥+2=．即有m2+2m＜，由于m＞0，解得0＜m＜，故答案为：（0，）．14．（5分）已知函数，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是（﹣4，﹣2）．【解答】解：先根据题意作出f（x）的简图：得f（x）＞0．∵题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，即方程f2（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，∴故由图可知，只有当f（x）=2时，它有二个根．故关于x的方程f2（x）+af （x）+b=0中，有：4+2a+b=0，b=﹣4﹣2a，且当f（x）=k，0＜k＜2时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有4个不同实数解，∴k2+ak﹣4﹣2a=0，a=﹣2﹣k，∵0＜k＜2，∴a∈（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．二、解答题：（14+14+14+16+16+16）15．（14分）已知全集为R，集合A={x|y=lgx+}，B={x|＜2x﹣a≤8}．（I）当a=0时，求（?R A）∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=lgx+}=（0，2]，∴?R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞）当a=0时，＜2x≤8，∴﹣2＜x≤3，∴B=（﹣2，3]，则（?R A）∩B=（﹣2，0]∪（2，3]；（2）B={x|＜2x﹣a≤8}=（a﹣2，a+3]．∵A∪B=B，∴A?B，∴，∴﹣1≤a≤2．16．（14分）已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．【解答】解：（1）∵已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2，故函数的图象的对称轴为x=1，可设函数f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．根据f（﹣2）=9a+2=﹣16，求得a=﹣2，故f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x．（2）当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，故最大值为f（t）=﹣2t2+4t，当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上是增函数，在[1，t+1]上是减函数，故函数的最大值为f（1）=2．综上，f max（x）=．17．（14分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．（1）当a=时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，恒成立，故定义域为R，又∵，且函数在（0，+∞）单调递减，∴，即函数f（x）的值域为（﹣∞，1]；（2）依题意可知，i）当a＞1时，由复合函数的单调性可知，必须ax2﹣x+1在上递增，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：a≥2；ii）当0＜a＜1时，同理必须ax2﹣x+1在上递减，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：．综上，实数a的取值范围为．18．（16分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）求﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式；（3）当﹣4≤x≤4时，求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．【解答】解：（1）∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（π）=f（π﹣4）=﹣f（4﹣π）=﹣（4﹣π）=π﹣4；（2）若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，则f（﹣x）=﹣x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），即f（x）=x，﹣1≤x≤0，即当﹣1≤x≤1时，f（x）=x，若1≤x≤3，则﹣1≤x﹣2≤1，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x﹣2）=﹣（x﹣2）=﹣x+2，即当﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式为f（x）=；（3）作出函数f（x）在﹣4≤x≤4时的图象如图，则函数的最小值为﹣1，若m＜﹣1，则方程f（x）=m（m＜0）无解，若m=﹣1，则函数在﹣4≤x≤4上的零点为x=﹣1，x=3，则﹣1+3=2，若﹣1＜m＜0，则函数在﹣4≤x≤4上共有4个零点，则它们分别关于x=﹣1和x=3对称，设分别为a，b，c，d，则a+b=﹣2，b+d=6，即a+b+c+d=﹣2+6=4．19．（16分）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，若a＞0，由题意可得f（x）=，由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，由，当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，∴f（x）的最大值为f（）=；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．20．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g （x ）=32x +3﹣2x ﹣2m （3x ﹣3﹣x ）=（3x ﹣3﹣x ）2﹣2m （3x ﹣3﹣x）+2，令t=3x ﹣3﹣x ，∵x ≥1，∴t ≥f （1）=，∴（3x ﹣3﹣x ）2﹣2m （3x ﹣3﹣x ）+2=（t ﹣m ）2+2﹣m 2，当m时，2﹣m 2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m ×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l PA'A Bl C PA B D 运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为M FEACB P 2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
扬州中学高一上学期数学期中考试
扬州中学高一上学期期中考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．集合{1,1},{0,1,2}P Q =-=，则P Q = ▲2．若函数23y x ax =++为偶函数，则a = ▲3．函数lg y x =的定义域为 ▲4．=+5lg 38lg ▲5．若,210,410==y x 则=-y x 10 ▲6．已知12a =，函数()x f x a =，若实数m ，n 满足()()f m f n <，则m 、n 的大小关系是 ▲7．幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式为 ▲8．已知集合2{|log 2},(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲9．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x = ▲10．函数212log (25)y x x =-+的值域是 ▲11．已知3(9)()(4)(9)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f 的值为 ▲ 12．三个数0.70.7333,log ,0.7a b c ===按从大到小的顺序排列为 ▲13．函数22()log (2)f x x x =+的单调递减区间为 ▲14．定义：区间1212[,]()x x x x <的长度为21x x -，已知函数0.5|log (2)|y x =+定义域为[,]a b ，值域为[0，2]，则区间[,]a b 的长度的最大值为 ▲二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题14分）已知集合23{|log (33)0},{|20}A x x x B x mx =-+==-=，且AB B =，求实数m 的值．16．（本小题14分）已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++⑴求函数()f x 的定义域；⑵若函数()f x 的最小值为－2，求a 的值．17．（本小题14分）函数()(,x f x k a k a -=⋅为常数，0a >且1)a ≠的图象过点A （0，1），B （3，8）．⑴求函数()f x 的解析式； ⑵若函数()1()()1f xg x f x -=+，试判断函数()g x 的奇偶性．18．（本小题16分）已知偶函数223()()mm f x x m Z --=∈在（0，+∞）上单调递减．⑴求函数()f x 的解析式； ⑵若(21)()f a f a +=，求实数a 的值．19．（本小题16分）已知函数2211()a f x a a x+=-，],[n m x ∈)(n m <． ⑴用函数单调性的定义证明：函数()f x 在[,m n ]上单调递增；⑵()f x 的定义域和值域都是[,m n ]，求常数a 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数22()(2)(2)x x f x a a -=-++，x ∈[－1，1]．⑴求()f x 的最小值；⑵关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一数学10月月考试题
江苏省扬州中学2017-2018学年第一学期10月月考高一数学试卷2017.10.7一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上．．．．．．．．) 1．集合{}03x x x Z <<∈且的非空子集个数为 ▲ ． 2.函数12y x -的定义域是 ▲ .3. 定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，11)(+=x x f ，则)21(f = ▲ ．4．若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则p= ▲ ． 5．函数1)(+++-=a x ax x f 图象的对称中心横坐标为3，则a = ▲ .6．已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =∅则实数a 的取值范围为 ▲ . 7．已知集合{1,1}A =-，{1}B x mx ==，且AB B =，则实数m 的值为 ▲ .8.函数)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数且)1(11)()(±≠+=+x x x g x f ，则=-)3(f ▲ .9.已知函数2460()60x x x f x x x ⎧-+≤=⎨-+>⎩，，，，若()(1)f x f <-，则实数x 的取值范围是 ▲ .10.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则实数x 的取值范围是 ▲ ．11. 已知定义在R 上的函数()x f 在[)+∞-,4上为增函数，且()4-=x f y 是偶函数，则()()()0,4,6f f f --的大小关为 ▲ .12. 已知函数2()2f x x x a =++和函数()2g x x =,对任意1x ,总存在2x 使12()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.设函数()(1)1||mxf x m x =>+其中常数，区间[,]()M a b a b =<，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有 ▲ 对．14.已知函数()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，().113--=x x f 若对任意实数x ，都有()()x f a x f <+成立，则实数a 的取值范围 ▲ .二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答．案写在答题卡上．．．．．．．) 15. （本小题满分14分）已知集合A ={x |||4x a -<}，2{|450}B x x x =-->． （1）若1=a ，求B A ；（2）若=B A R ，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分14分）已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x x f 2)(2+-=. （1）求)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在区间]2,1[--a 上单调递增，求实数a 的取值范围.17. （本小题满分15分） 已知函数f (x )=|x 2-1|+x 2+kx . (1) 当k =2时,求方程f (x )=0的解;(2) 若关于x 的方程f (x )=0在(0,2)上有两个实数解x 1,x 2,求实数k 的取值范围.18（本小题满分15分）学校欲在甲、乙两点采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元。
2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷-教师用卷
实用文档2017-2018学年省市高三（上）期中数学试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={2,3}，B={3,4}，则A∪B=______．【答案】{2,3，4}【解析】解：集合A={2,3}，B={3,4}，则A∪B={2,3，4}，故答案为：{2,3，4}由条件和并集的运算直接求出，重复的元素写一次．本题考查了集合的并集运算，注意要满足元素的互异性．2.命题“∀x∈R，x2+2x+5>0”的否定是______．【答案】∃x0∈R，x02+2x0+5≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∀x∈R，x2+2x+5>0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知复数z=1−ii(其中i为虚数单位)，则|z|=______．【答案】√2【解析】解：z=1−ii =−i(1−i)−i2=−1−i，则|z|=√2．故答案为：√2．直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4.函数y=√3x−1的定义域是______．【答案】[0,+∞)【解析】解：函数y=√3x−1的定义域满足不等式3x−1≥0，解出即可得到：x≥0，故答案为：[0,+∞)列出不等式3x−1≥0，解出解集，即可得出答案．本题综合考查了不等式，指数函数的性质的运用，容易题，难度不大．5.若双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的方程为______．【答案】x24−y21=1第2页，共11页【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y =±ba x ， 双曲线的虚轴长为2，则2b =2，即b =1，又由该双曲线的一条渐近线方程为y =12x ，则有b a =12， 解可得a =2， 则双曲线的方程为：x 24−y 21=1；故答案为：x 24−y 21=1．根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析可得a 、b 的值，将其值代入双曲线的方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点位置以及虚轴长为2b ．6. 若实数x ，y 满足{x −2y +2≥0x +y −2≥0x ≤3，则z =4x −y 的最大值为______．【答案】13【解析】解：实数x ，y 满足{x −2y +2≥0x +y −2≥0x ≤3，表示的平面区域如图所示，当直线z =4x −y 过点A 时，目标函数取得最大值，由{x +y −2=0x=3解得A(3,−1)，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值：13． 故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =4x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．7. 若一个扇形的圆心角为34π，面积为32π，则此扇形的半径为______． 【答案】2【解析】解：∵扇形的圆心角为34π，面积为32π， ∴32π=12r 2×34π，解得：r =2． 故答案为：2．根据扇形的面积公式S =12r 2α即可求得半径．本题考查了扇形面积的计算，正确理解公式是关键，属于基础题．实用文档8. 若sinα=35，且α∈(0,π2)，则tan2α的值是______． 【答案】247【解析】解：sinα=35，且α∈(0,π2)， 则cosα=√1−(35)2=45，tanα=sinαcosα=34， 即有tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−916=247．故答案为：247．运用同角的平方关系，求得cosα，再由商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式，即可得到所求值．本题考查二倍角的正切公式，考查同角基本关系式：平方关系和商数关系，考查运算能力，属于基础题．9. 已知函数f(x)是R 上的周期为4的偶函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=(12)x ，则f(2017)=______． 【答案】2【解析】解：∵f(x)是定义在R 上周期为4的偶函数， ∴f(2017)=f(1)=f(−1)， 由当x ∈[−2,0)时，f(x)=(12)x ，∴f(−1)=2， 故f(2017)=2， 故答案为：2．由已知中f(x)是定义在R 上周期为4的偶函数，可得f(2017)=f(1)=f(−1)，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题．10. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60∘，点D ，E 分别在边BC 和AC 上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 【答案】−196【解析】解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BE⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．第4页，共11页又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos60∘=3， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+43−32=−196． 故答案为：−196．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．11. 若函数f(x)=|3x −1|+ax +2(x ∈R)有最小值，则实数a 的取值围是______． 【答案】[−3,3]【解析】解：f(x)=|3x −1|+ax +2={(3+a)x +1,x ≥13(a −3)x +3,x <13，函数f(x)有最小值的充要条件为{a −3≤03+a≥0，即−3≤a ≤3，故实数a 的取值围是[−3,3]． 故答案为：[−3,3]．化简函数f(x)的解析式f(x)=|3x −1|+ax +3，得到f(x)有最小值的充要条件，由此求得实数a 的取值围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，是一道中档题．12. 已知A(−1,4)，B(2,1)，圆C ：(x −a)2+(y −2)2=16，若圆C 上存在唯一的点P ，使得PA 2+2PB 2=24成立，则实数a 的取值集合为______． 【答案】{−1,3}【解析】解：设P(x,y)，则PA 2=(x +1)2+(y −4)2=x 2+y 2+2x −8y +17， PB 2=(x −2)2+(y −1)2=x 2+y 2−4x −2y +5， ∵PA 2+2PB 2=24，∴x 2+y 2−2x −4y +1=0，即(x −1)2+(y −2)2=4． ∴P 点轨迹方程为(x −1)2+(y −2)2=4． ∵圆C 上存在唯一的点P 符合题意， ∴两圆相切，∴|a −1|=2，解得a =−1或a =3． 故答案为：{−1,3}．求出P 点的轨迹方程，令P 的轨迹与圆C 只有一个公共点列出方程得出a 的值． 本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．13. 已知四边形MNPQ 的四个顶点都在函数f(x)=log 12ax+1x+b的图象上，且满足MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中M(3,−1)，N(53,−2)，则四边形MNPQ 的面积为______． 【答案】263实用文档【解析】解：∵M(3,−1)，N(53,−2)都在函数f(x)=log 12ax+1x+b 的图象上，∴{log 123a+13+b=−1log1253a+153+b=−2，解得a =1，b =−1，∴f(x)=log 12x+1x−1=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，∴f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)， ∵f(−x)=log 2−x−1−x+1=log 2x+1x−1=−f(x)， ∴f(x)是奇函数，且在(1,+∞)上单调递增， ∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴四边形MNPQ 是平行四边形， ∴原点O 为平行四边形MNPQ 的对角线交点．∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(53,−2)，∴cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√610， ∴S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin <OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√10×√613×√610=136．∴四边形MNPQ 的面积为4S △OMN =263．故答案为：263．求出f(x)的解析式，根据f(x)的奇偶性与单调性可得O 为平行四边形MNPQ 的对角线交点，求出三角形OMN 的面积即可得出平行四边形的面积．本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，平面向量的应用，属于中档题．14. 若实数x ，y ，z 满足{x 2+y 2+z 2=10xy+2z=1，则xyz 的最小值为______． 【答案】−28【解析】解：由xy +2z =1，可得xy =1−2z ． ∴10=x 2+y 2+z 2≥2xy +z 2=z 2−4z +2， 化为：z 2−4z −8≤0，解得2−2√3≤z ≤2+2√3．∴xyz =z(1−2z)z =−2z 2+z =−2(z −14)2+18≥4(1−2×4)=−28，故答案为：−28． 由xy +2z =1，可得xy =1−2z.由5=x 2+y 2+z 2≥2xy +z 2=z 2−4z +2，解得z 的围，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了方程与不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 记函数f(x)=√−x 2+2x +3的定义域为集合A ，函数g(x)=x 2−x +1，x ∈R 的值域为集合B ． (1)求A ∩B ；(2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式g(x)≥kx 恒成立，数k 的取值围．第6页，共11页【答案】解：(1)f(x)=√−x 2+2x +3的定义域为集合A ， 由−x 2+2x +3≥0得：−1≤x ≤3，即A ={x|−1≤x ≤3}；又函数g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34(x ∈R)的值域为集合B ，则B ={x|x ≥34}. 所以A ∩B ={x|34≤x ≤3}；(2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式g(x)≥kx 恒成立， 即∀x ∈(0,+∞)，x 2−x +1≥kx 恒成立， 等价于k ≤x +1x −1(x >0)恒成立，因为当x >0时，x +1x−1≥2√x ⋅1x−1=1(当且仅当x =1x ，即x =1时取“=“)，所以实数k 的取值围为：k ≤1．【解析】(1)由−x 2+2x +3≥0可得：−1≤x ≤3，即A ={x|−1≤x ≤3}；由g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34≥34可得B ={x|x ≥34}，从而可得A ∩B ={x|34≤x ≤3}；(2)∀x ∈(0,+∞)，不等式g(x)≥kx 恒成立⇔∀x ∈(0,+∞)，x 2−x +1≥kx 恒成立，等价于k ≤x +1x −1(x >0)恒成立，利用基本不等式可得：当x >0时，x +1x −1≥2√x ⋅1x−1=1(当且仅当x =1x ，即x =1时取“=“)，于是可得实数k 的取值围为k ≤1． 本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．16. 已知向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)(x ∈R)．(1)若a ⃗ //b⃗ ，且x ∈[0,π]，求x 的值； (2)记函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，将函数f(x)图象上的所有点向左平移π3个单位后得到函数g(x)的图象，当x ∈[0,π]时，求函数g(x)的值域．【答案】解：向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)(x ∈R)． (1)∵a ⃗ //b ⃗ ，∴−√3cosx =sinx ， 即tanx =−√3， ∵x ∈[0,π]，∴x =2π3(2)由函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，即f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，将f(x)图象上的所有点向左平移π3个单位，可得y =2sin(x −π3−π6)=−2cosx ． ∴函数g(x)=−2cosx ， ∵x ∈[0,π]时， ∴−1≤cosx ≤1，故函数g(x)的值域为[−2,2]．【解析】(1)根据向量平行，坐标的运算关系即可求解x 的值； (2)函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，求解f(x)的解析式，化简，根据三角函数的平移变换规律，求解g(x)即可求解x ∈[0,π]时，求函数g(x)的值域．实用文档本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质，平移，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．17. 已知抛物线y =−14x 2+32x +4与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，△ABC 的外接圆为⊙M ． (1)求⊙M 的方程；(2)若直线l 与⊙M 相交于P ，Q 两点，PQ =4√5，且直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．【答案】解：(1)令y =−14x 2+32x +4=0，解得x =−2，或x =8， 即A(−2,0)，B(8,0)，令x =0，则y =4，即C(0,4)设△ABC 的外接圆⊙M 的方程为：(x −a)2+(y −b)2=r 2， 则{(−2−a)2+(−b)2=r 2(8−a)2+(−b)2=r 2(−a)2+(4−b)2=r 2，解得：{a =3b =0r =5故⊙M 的方程为(x −3)2+y 2=25(2)直线l 与⊙M 相交于P ，Q 两点，PQ =4√5， 则圆心(3,0)到直线l 的距离d =√25−(4√52)2=√5∵直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等， 则直线l 斜率为−1，或经过原点；当直线l 斜率为−1时，设直线的方程为：x +y +M =0， 由d =√2=√5，解得：M =−3+√10，或M =−3−√10，当直线l 经过原点时，设直线的方程为：Ax +y =0， 由d =|3A|√A 2+1=√5，解得：A =±√52，故直线l 的方程为：x +y −3+√10=0，或x +y −3−√10=0，或√5x +2y =0，或√5x −2y =0．【解析】(1)求出A ，B ，C 三点坐标，设△ABC 的外接圆⊙M 的方程为：(x −a)2+(y −b)2=r 2，将三点代入可得⊙M 的方程；(2)由已知可得圆心(3,0)到直线l 的距离d =√5，若直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 斜率为−1，或经过原点；进而得到答案．本题考查的知识点是圆方程的求法，直线与圆的位置关系，分类讨论思想，难度中档．18. 如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间B 点处，丙船在最后面C 点处，且BC ：AB =5：1，此时一架无人机在空气的P 点处对它们进行数据测量，测得∠APB =30∘，∠BPC =90∘.(船只大小、无人机大小忽略不计)(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；(2)若无人机到乙船的距离为10(单位：百米)，求此时甲、乙两船的距离．【答案】解：(1)在△BPC中，由正弦定理得PCsin∠PBC=BCsin∠BPC=BC，在△PAB中，由正弦定理得PAsin∠PBA =ABsin∠APB=2AB，又∠PBC+∠PBA=180∘，∴sin∠PBC=sin∠PBA，∴PAPC =2ABBC=25．(2)∵PAPC =sinCsinA=25，∴2sin(60∘−C)=5sinC，即√3cosC−sinC=5sinC，又sin2C+cos2C=1，0<C<60∘，∴sinC=√1313，∴BC=PBsinC =10√13，AB=15BC=2√13，∴甲、乙两船的距离为2√13百米．【解析】(1)分别在△PAB和△PBC中利用正弦定理得出PA，PC，再根据sin∠PBC= sin∠PBA，BC：AB=5：1得出PAPC的值；(2)利用正弦定理及差角公式计算sinC，得出BC，从而得出AB的值．本题考查了正弦定理解三角形，属于中档题．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．(1)给定椭圆的离心率为√22．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求AFBF；(2)若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值围．【答案】解：(1)①由题意可得{ca =√22a2c=2a2=b2+c2，解得a=√2，b=1，∴椭圆方程为x22+y2=1．②F(c,0)，A(0,−b)，∴直线AB的方程为y=bcx−b，∵e=ca =√22，∴b=c，a=√2b，∴即直线AB方程为y=x−b，第8页，共11页实用文档联立方程组{x 2a 2+y 2b 2=1y =x −b ，消元得x 2−2bx =0， ∴x =0或x =2b ，∴B 点横坐标为2b ，∴AFBF =c2b−c =1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0).，依题意直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为：x =my +c ， 由{b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2x=my+c，得(b 2m 2+a 2)y 2+2mcb 2y −b 4=0． y 1+y 2=−2mcb 2b 2m 2+a 2，x 1+x 2=my 1+c +my 2+c =2a 2cb 2m 2+a 2要使△ABP 的重心是坐标原点O ，则有{x 1+x 2+x 03=0y 1+y2+y 03=0∴{x 0=−2a 2cb 2m 2+a 2y 0=2mcb 2b 2m 2+a 2P(x 0,y 0)在b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2上，得b 2⋅4a 4c 2(b 2m 2+a 2)2+a 2⋅4m 2c 2b 4(b 2m 2+a 2)2=a 2b 2，⇒b 4m 4+(2b 2a 2−4c 2b 2)m 2+a 4−4a 2c 2=0， ⇒(b 2m 2+a 2)(b 2m 2+a 2−4c 2)=0， ∵⇒b 2m 2+a 2>0， ∴椭圆上存在点P ，使得△ABP 的重心是坐标原点O ，则方程b 2m 2+a 2−4c 2=0必成立． ∴a 2−4c 2≤0，⇒c 2a ≥14⇒e =c a ≥12，椭圆离心率e 的取值围为[12,1)．【解析】(1)①由题意可得{ ca =√22a 2c=2a 2=b 2+c 2，解得a ，b 即可，②直线AB 的方程为y =bc x −b ，联立方程组{x 2a 2+y 2b 2=1y =x −b，消元得x 2−2bx =0，可得B点横坐标为2b ，即可得AFBF =c2b−c =1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0).，依题意直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为：x =my +c ，由{b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2x=my+c，得(b 2m 2+a 2)y 2+2mcb 2y −b 4=0． y 1+y 2=−2mcb 2b 2m 2+a 2，x 1+x 2=my 1+c +my 2+c =2a 2cb 2m 2+a 2要使△ABP 的重心是坐标原点O ，则有{x 1+x 2+x 03=0y 1+y2+y 03=0得b 2⋅4a 4c 2(b 2m 2+a 2)2+a 2⋅4m 2c 2b 4(b 2m 2+a 2)2=a 2b 2，⇒(b 2m 2+a 2)(b 2m 2+a 2−4c 2)=0，则方程b 2m 2+a 2−4c 2=0必成立，⇒c 2a 2≥14⇒e=ca ≥12即可得椭圆离心率e的取值围本题考查了椭圆的方程、离心率的围，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于难题．20.已知函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)．(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=−3x平行，数a的值；(2)若存在x∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，数a的取值围；(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1−f(x)，q(x)=x3−mx+e(其中e为自然对数底数，m为参数).记函数ℎ(x)=p(x)+q(x)+|p(x)−q(x)|2，试确定函数ℎ(x)的零点个数．【答案】解：(1)函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)的导数为f′(x)=2+1x−a(2x+1)，可得函数f(x)在x=1处的切线斜率为3−3a，由切线与直线y=−3x平行，可得3−3a=−3，解得a=2；(2)存在x∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，即为a≤2x+lnxx2+x的最大值，令m(x)=2x+lnxx2+x ，(x>0)，m′(x)=(2x+1)(1−x−lnx)(x2+x)2，由1−x−lnx=0，即x+lnx=1，由于x+lnx−1的导数为1+1x>0，即x+ln−1在x>0递增，且x=1时，x+lnx−1=0，则x=1为m(x)的极值点，当x>1时，m(x)递减，当0<x<1时，m(x)递增，则x=1时，m(x)取得极大值，且为最大值1，则a≤1；(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1−f(x)=1−lnx，q(x)=x3−mx+e，则当1−lnx≥x3−mx+e，ℎ(x)=1−lnx；当1−lnx<x3−mx+e，ℎ(x)=x3−mx+e．①当x∈(0,e)时，p(x)>0，依题意，ℎ(x)≥p(x)>0，ℎ(x)无零点；②当x=e时，p(e)=0，q(e)=e3−me+e，若q(e)=e3−me+e≤0，即m≥e2+1，则e是ℎ(x)的一个零点；若q(e)=e3−me+e>0，即m<e2+1，则e不是ℎ(x)的零点；③当x∈(e,+∞)时，p(x)<0，所以此时只需考虑函数q(x)在(e,+∞)上零点的情况．因为 3e^{2}-m'/>，所以当m≤3e2时， 0'/>，q(x)在(e,+∞)上单调递增．又q(e)=e3−me+e，所以(i)当m≤e2+1时，q(e)≥0，q(x)在(e,+∞)上无零点；(ii)3e2≥m>e2+1时，q(e)<0，又q(2e)=8e3−2me+e≥6e3−e>0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；第10页，共11页实用文档当m>3e2时，令，得x=±√m3．由，得e<x<√m3；由 0'/>，得x>√m3．所以q(x)在(e,√m3)上单调递减，在(√m3,+∞)上单调递增．因为q(e)=e3−me+e<e3−3e3+e<0，q(m)=m3−m2+e>m2−m2+e=e>0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；综上，m<e2+1时，ℎ(x)没有零点；m=e2+1时，ℎ(x)有一个零点；m>e2+1时，ℎ(x)有两个零点．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得a；(2)由题意可得a≤2x+lnxx2+x 的最大值，令m(x)=2x+lnxx2+x，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到所求围；(3)讨论当1−lnx≥x3−mx+e，ℎ(x)=1−lnx；当1−lnx<x3−mx+e，ℎ(x)= x3−mx+e.考虑当x∈(0,e)时，当x=e时，当x>e时，运用零点存在定理和函数的单调性，讨论m的围，即可判断零点的个数．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式存在性问题的解法，注意运用转化思想，考查函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，是一道综合题．。
2017-2018年江苏省扬州中学高一上学期数学期中试卷带答案
2017-2018学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，全集U={0，1，2，3，4，5}，则（∁U A）∩B=．2．（5分）函数f（x）=的定义域是．3．（5分）已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（2）=．4．（5分）已知a=23.5，b=22.5，c=33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列．5．（5分）已知f（x﹣1）=e x，则f（﹣1）=．6．（5分）已知扇形的中心角是60°，所在圆的半径是10cm，则扇形的弧长为．7．（5分）函数y=log a（x+1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点A，则A的坐标为．8．（5分）已知函数，若f（f（1））＞0，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=2x+x﹣4的零点为x0，若x0∈（k，k+1）则整数k=．10．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=2x+x，则当x＜0时，f（x）=．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是．12．（5分）设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）求值：（Ⅰ）．（Ⅱ）．16．（14分）设集合A=（m＞0）（1）若m=2，求A∩B；（2）若A⊇B，求实数m的取值范围．17．（14分）某厂生产某种产品的月固定成本为10（万元），每生产x件，需另投入成本为C（x）（万元）．当月产量不足30件时，（万元）；当月产量不低于30件时，（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完．（1）写出月利润L（万元）关于月产量x（件）的函数解析式；（2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？18．（16分）已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．19．（16分）已知函数f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，函数F（x）=min{f（x），g（x）}，其中．（1）若函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知a≥3，①求F（x）的最小值m（a）；②求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）．20．（16分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”，并说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域为R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．2017-2018学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，全集U={0，1，2，3，4，5}，则（∁U A）∩B={4，5} ．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，全集U={0，1，2，3，4，5}，∴∁U A={4，5}，（∁U A）∩B={4，5}．故答案为：{4，5}．2．（5分）函数f（x）=的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1] ．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x≤1且x≠0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]，故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]3．（5分）已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（2）=4．【解答】解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，则=2，解得α=2，∴f（x）=x2；∴f（2）=22=4．故答案为：4．4．（5分）已知a=23.5，b=22.5，c=33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列b ＜a＜c．【解答】解：a=23.5＞b=22.5，a=23.5＜c=33.5，故b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c5．（5分）已知f（x﹣1）=e x，则f（﹣1）=1．【解答】解：f（x﹣1）=e x，f（﹣1）=f（0﹣1）=e0=1．故答案为：1．6．（5分）已知扇形的中心角是60°，所在圆的半径是10cm，则扇形的弧长为cm．【解答】解：∵扇形的中心角是60°=，所在圆的半径是10cm，∴扇形的弧长l==cm．故答案为：cm．7．（5分）函数y=log a（x+1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点A，则A的坐标为（0，2）．【解答】解：由对数的性质可得log a1=0，故当x+1=1即x=0时，y=2，∴已知函数的图象恒过定点A（0，2）故答案为：（0，2）．8．（5分）已知函数，若f（f（1））＞0，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【解答】解：f（1）=2+1=3，∴f（3）=9+6a＞0，解得a＞﹣，故答案为：（﹣，+∞）9．（5分）设函数f（x）=2x+x﹣4的零点为x0，若x0∈（k，k+1）则整数k=1．【解答】解：函数f（x）=2x+x﹣4的零点为x0，且x0∈（k，k+1），函数是连续函数，f（2）=4+2﹣4=2＞0，f（1）=2+1﹣4=﹣1＜0，∴f（2）•f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x﹣4的零点在区间（1，2）内，故k=1，故答案为：1．10．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=2x+x，则当x＜0时，f（x）=2﹣x﹣x．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，则：f（﹣x）=2﹣x﹣x=f（x）；即x＜0时，f（x）=2﹣x﹣x，故答案为：2﹣x﹣x．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是[，2] ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴，等价为f（log2a）+f（﹣log2a）=2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1）．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（log2a）≤f（1）等价为f（|log2a|）≤f（1）．即|log2a|≤1，∴﹣1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故答案为：[，2]12．（5分）设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．13．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，当x=2时，f（x）=0恒成立，当x≠2时，∴|x+2|+a≤0，∴a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：由图象可知y min=﹣5，a≤﹣5，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，故答案为：（﹣∞，﹣5]14．（5分）已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（0，）．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m﹣1对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m﹣1=2m﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足①，又0＜m＜3②，联立①②得0．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）求值：（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）．=﹣1﹣=﹣1﹣=；（Ⅱ）=lg5+lg2﹣（﹣）=lg10+=．16．（14分）设集合A=（m＞0）（1）若m=2，求A∩B；（2）若A⊇B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|2﹣5≤2﹣x≤22}={x|﹣2≤x≤5}，当m=2时，可得B={x|x2+4x﹣12≤0}={x|﹣6≤x≤2}，∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}；（2）由A⊇B，当B=∅时，满足题意，此时不等式x2+2mx﹣3m2≤0无解，可得△＜0．即4m2﹣12m2＜0，解得m≠0，∴m＞0．当B≠∅时，满足题意，此时不等式x2+2mx﹣3m2≤0由解，要使A⊇B，即f（x）=x2+2mx﹣3m2≤0的解集在为：﹣2≤x≤5，∴此时无解．综上可得m的范围是（0，+∞）．17．（14分）某厂生产某种产品的月固定成本为10（万元），每生产x件，需另投入成本为C（x）（万元）．当月产量不足30件时，（万元）；当月产量不低于30件时，（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完．（1）写出月利润L（万元）关于月产量x（件）的函数解析式；（2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为5万元，∴x件商品销售额为5x万元，①当0＜x＜30时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=5x﹣﹣10=﹣x2+4x﹣10；②当30≤x≤50时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=5x﹣﹣10=．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜30时，L（x）=﹣，∴当x=12时，L（x）取得最大值L（12）=14万元；②当30≤x≤50时，L（x）=万元，综合①②，∴月产量为12件时，厂所获月利润最大．18．（16分）已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．【解答】解：（1）由f（x）=ln，得＞0，∴（x﹣a）（x+1）＜0；∵f（x）为奇函数，定义域关于原点对称，∴a=1，此时x∈（﹣1，1），f（﹣x）=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f（x），故a=1符合题意．（2）f（x）在（﹣1，1）上单调递减．证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）=ln﹣ln=ln，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴（1﹣x1）（1+x2）＞0，（1+x1）（1﹣x2）＞0，x1﹣x2＜0∴＞1，故ln＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（﹣1，1）上单调递减．19．（16分）已知函数f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，函数F（x）=min{f（x），g（x）}，其中．（1）若函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知a≥3，①求F（x）的最小值m（a）；②求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）．【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2的对称轴为x=a，∵函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴a≤1，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]（2）①f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；②当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．20．（16分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”，并说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域为R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：f（﹣x）+f（x）=2ax2﹣8a=2a（x﹣2）（x+2）当x=2或x=﹣2时，f（﹣x）+f（x）=0成立，∴f（x）是“局部奇函数，（2）由题意得：f（﹣x）+f（x）=2x+2﹣x+2m=0，∵x∈[﹣1，1]，∴2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]有解．∴m=﹣（2x+2﹣x），x∈[﹣1，1]），令，则设，g（t）在单调递减，在[1，2]单调递增，∴，∴﹣（3）．由定义得：∵f（﹣x）+f（x）=0，∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解．设p=2x+2﹣x∈[2，+∞），所以方程等价于p2﹣2mp+2m2﹣8=0在p≥2时有解．设h（t）=p2﹣2mp+2m2﹣8，对称轴p=m，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴，此时；②若m＜2时，则，即，此时，综上得：．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
扬州市2018届高三上学期期中调研考试数学试题(含答案)
答：略
……16 分
c 2
19.
解：（1）①由题意得
aa2
2 b2
a2
2
c2
，解得
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b 1
2
，所以椭圆方程为
x2 2
y2
1
c
……2 分
②因为 e c a
2 2
，所以设椭圆方程为
x2 2c2
y2 c2
1 ，直线 l :
征向量．
22、（本小题满分10分） 某校校庆期间，高三艺术班的同学们准备了 7 个节目，其中歌舞类节目 3 个、小品类节
目 2 个、魔术类节目 2 个，现从中随机选取 3 个节目参加校庆文艺演出，记 X 为选出的 3 个节目中魔术类节目的个数，求X的分布列和数学期望E(X).
高三数学试题 II 第l页（共2页）
氐
c长
贮尼
B
i卧庄
A
高三数学试题 I 第3页（共4页）
19、（本小题满分 16 分）
,7 已知椭圆- aX产 2 y2 =l(a > b > 0)的右焦点为F, 直线l经过F且与椭圆交于A,B两点
(1)给定椭圆的离心率为义：
.r
2
＠若椭圆的右准线方程为x=2, 求椭圆方程； ＠若A点为椭圆的下顶点，求 AF
=
，则xyz的最小值为 10
�
．
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14 分）
✓ 记函数 f(x)= -x2+2x+3 的定义域为集合 A, 函数 g(x)=x2 - x+1,xeR 的值域
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=．2．（5分）sin960°的值为．3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=．4．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=．5．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点．6．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a为．7．（5分）函数y=ln（x﹣1）的定义域为．8．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有，则f（﹣1）=．10．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则实数a的值是．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是．12．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为．14．（5分）已知a＞0，函数在区间[1，4]上的最大值等于，则a 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）计算；（2）已知，求的值．16．（14分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值．（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．17．（14分）已知函数，（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在（﹣1，5]内有意义，求a的取值范围．18．（16分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，（1）设投入乙种商品的资金为x万元，总利润y；（2）为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a ﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f2（x）=4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）；（Ⅲ）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B={2} ．【分析】直接利用交集的运算求解．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）sin960°的值为．【分析】利用诱导公式，先化为0°～360°的正弦，再转化为锐角的正弦，即可求得【解答】解：由题意，sin960°=sin（720°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣故答案为：【点评】本题的考点是诱导公式的应用，解题的关键是正确选用诱导公式转化．3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=27．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（2，8）确定出解析式，然后令x=3即可得到f（3）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，8），则有8=2a，∴a=3，即f（x）=x3，∴f（3）=（3）3=27故答案为：27【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．4．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=16．【分析】令t=2x+1，则x=，故有f（t）=4 ．再把t=5代入求得f（5）的值．【解答】解：已知函数f（2x+1）=4x2，令t=2x+1，则x=，故有f（t）=4 ．故f（5）=4=16，故答案为16．【点评】本题主要考查利用换元法求函数的解析式、求函数的值，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2）．【分析】令x﹣1=0，求得x和y的值，从而求得函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a ≠1）恒过定点的坐标．【解答】解：令x﹣1=0，求得x=1，且y=2，故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2），故答案为（1，2）．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．6．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a为﹣4或2．【分析】当a≤0时，f（a）=﹣a，当a＞0时f（a）=a2，结合已知即可求解a 【解答】解：当a≤0时，f（a）=﹣a=4∴a=﹣4当a＞0时，f（a）=a2=4∴a=2或a=﹣2（舍）综上可得，a=2或a=﹣4故答案为：﹣4或2【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是确定f（a）的表达式，体现了分类讨论思想的应用7．（5分）函数y=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据对数函数的性质求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，解得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础，要求熟练掌握对数函数的性质．8．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有，则f（﹣1）=．【分析】根据函数的解析式求出f（1）的值，再根据函数的奇偶性求出f（﹣1）的值即可．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），故f（﹣1）=﹣f（1），而f（1）=，故f（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值，是一道基础题．10．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则实数a的值是2．【分析】运用指数函数的单调性，可得f（x）的最值，求和解方程即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，若a＞1时，f（x）在[1，2]递增，可得最小值为f（1），最大值为f（2）；若0＜a＜1时，f（x）在[1，2]递减，可得最小值为f（2），最大值为f（1）；则和为f（1）+f（2）=a+a2=3a，解得a=2（0舍去），故答案为：2．【点评】本题考查指数函数的单调性的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是6．【分析】求出函数的对称轴，判断开口方向，然后求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+3，开口向上，对称轴为：x=1，所以函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是：f（3）=9﹣6+3=6．故答案为：6．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，闭区间上的最值，考查计算能力．12．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=1．【分析】设f（x）=lgx+x﹣2，求出函数f（x）的定义域，并判断出函数的单调性，验证f（1）＜0和f（2）＞0，可确定函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，再转化为方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），即可求出k的值．【解答】解：由题意设f（x）=lgx+x﹣2，则函数f（x）的定义域是（0，+∞），所以函数f（x）在（0，+∞）是单调增函数，因为f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=lg2+2﹣2=lg2＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，即方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），因为x0∈（k，k+1），k∈Z，所以k=1，故答案为：1．【点评】本题考查方程的根与函数的零点之间的转化，以及对数函数的性质，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【分析】画出函数f（x）的单调性示意图，不等式＜0，即x与f（x）的符号相反，数形结合可得不等式的解集．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（3）=0．画出函数f（x）的单调性示意图，不等式＜0，即x与f（x）的符号相反，数形结合可得不等式的解集为{x|x＞3，或﹣3＜x＜0}，故答案为：{x|x＞3，或﹣3＜x＜0}．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．14．（5分）已知a＞0，函数在区间[1，4]上的最大值等于，则a的值为或．【分析】讨论x﹣2a在区间[1，4]上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？对应的f（x）的最大值是什么，求出a的值．【解答】解：（1）当x﹣2a在区间[1，4]上恒大于零时，∵x﹣2a＞0，∴a＜；当x=1时，满足x﹣2a在[1，4]上恒大于零，即a＜；此时函数f（x）==1﹣，该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=，∴a=，不满足a＜的假设，舍去．（2）当x﹣2a在区间[1，4]上恒小于零时，∵x﹣2a＜0，∴a＞；当x=4时，满足x﹣2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；此时函数f（x）==﹣1，该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=，∴a=，不满足a＞2的假设，舍去．（3）由前面讨论知，当＜a＜2时，x﹣2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，①当x＜2a时，x﹣2a＜0，此时函数f（x）=﹣1在[1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=；②当x＞2a时，x﹣2a＞0．此时函数f（x）=1﹣在（2a，4]时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=；总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；当函数在x=1处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=4代入得：f（4）=，∵f（1）＞f（4），∴满足条件；当函数在x=4处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=1代入得：f（1）=，∵f（1）＜f（4），∴满足条件；∴a=或a=；故答案为：或．【点评】本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题，是易错题．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）计算；（2）已知，求的值．【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）采用平方法即可求解的值．【解答】解：（1）计算；原式==0﹣2=﹣2（2）已知，则（）2=x+=9那么=9﹣2=7．【点评】本题考查了指数幂和对数的计算．属于基础题．16．（14分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值．（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出集合A，由B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}，A∩B=[0，3]，得到m﹣2=0，由此能求出m．（2）求出C R B=（﹣∞，m+2）∪（m+2，+∞），A=[﹣1，3]，由A⊆∁R B，能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，…（3分）B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}A∩B=[0，3]，∴m﹣2=0，解得m=2．…（7分）（2）∵B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}，∴C R B=（﹣∞，m+2）∪（m+2，+∞）…（10分）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，A⊆∁R B，∴m﹣2＞3或m+2＜﹣1，…（12分）解得m＞5或m＜﹣3，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…（14分）【点评】本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（14分）已知函数，（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在（﹣1，5]内有意义，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=2时，，由真数为正，可得f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在（﹣1，5]内有意义，则在（﹣1，5]上，进而得到a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，由得：，解得：x∈（﹣1，2）．即f（x）的定义域为（﹣1，2）…（6分）（Ⅱ）∵若f（x）在（﹣1，5]内恒有意义，则在（﹣1，5]上∵x+1＞0∴a﹣x＞0∴a＞x在（﹣1，5]上恒成立∴a＞5…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，对数函数的图象和性质，难度中档．18．（16分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，（1）设投入乙种商品的资金为x万元，总利润y；（2）为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？【分析】（1）根据利润公式即可得出解析式；（2）利用换元法和二次函数的性质求出利润的最大值．【解答】解：（1）设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（8﹣x）万元，共获利润．（2）令（0≤t≤），则x=t2+1，∴，故当t=时，可获最大利润万元．此时，投入乙种商品的资金为（）2+1=万元，投入甲种商品的资金为万元．∴对甲、乙两商品的资金投入分别为万元，万元时，利润最大，最大利润为万元．【点评】本题考查了函数模型的应用，二次函数的性质，属于中档题．19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【分析】（1）设x1＜x2且x1，x2∈R，利用作差证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）由奇函数的定义可得f（x）+f（﹣x）=0恒成立，由此可求得m值；（3）先根据反比例函数的单调性求出值域D，然后由D⊆[﹣3，1]可得关于m 的不等式组，解出即可；【解答】（1）解：设x1＜x2且x1，x2∈R，则，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴，即，解得m=1；（3）由，∴D=（m﹣2，m），∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用及单调性的证明，属基础题，定义是解决相关问题的基本方法，要熟练掌握．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a ﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f2（x）=4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）；（Ⅲ）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）是“（a，b）型函数”的定义，判断f1（x）=x中是否存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，即可得到答案；（2）根据函数是“（a，b）型函数”，即可得到f（a+x）•f（a﹣x）=b 对定义域中的每一个x都成立，即得16a=b，从而可以确定一组实数对，即可得到答案；（3）根据函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），可以得到∴g（1+x）g（1﹣x）=4，再根据当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），确定g（x）的对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求出g（x）在[0，1]和[0，2]上的值域，列出不等式组，求解即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）f1（x）=x不是“（a，b）型函数”，∵f1（x）=x，∴f1（a+x）=a+x，f1（a﹣x）=a﹣x，∴f1（a+x）•f1（a﹣x）=（a+x）（a﹣x）=b，即a2﹣x2=b，∴不存在实数对（a，b）使得a2﹣x2=b对定义域中的每一个x都成立，∴f1（x）=x不是“（a，b）型函数”；（2）∵函数是“（a，b）型函数”，∴4a+x•4a﹣x=b，∴16a=b，∴存在实数对，如a=1，b=16，使得f1（a+x）•f1（a﹣x）=b对任意的x∈R都成立；∴满足条件的一组实数对（a，b）为（1，16）；（3）∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），∴g（1+x）g（1﹣x）=4，∴当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，又∵x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1，其对称轴方程为，①当，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，∴g（x）在[0，2]上的值域为，由题意，得，∴2＜m≤3；②当，即1≤m≤2时，g（x）的值域为，即，∴g（x）在[0，2]上的值域为，由题意，得，且，解得1≤m≤2；③当，即0＜m≤1时，g（x）的值域为，即，∴g（x）在[0，2]上的值域为，即，由题意，得，解得0＜m≤1．综合①②③，所求m的取值范围是0＜m≤3．【点评】本题考查了函数与方程的综合应用．函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．解题的关键是将方程问题转化成函数的问题进行求解．属于中档题．。
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2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=．2．（5分）sin960°的值为．3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=．4．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=．5．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点．6．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a为．7．（5分）函数y=ln（x﹣1）的定义域为．8．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有，则f（﹣1）=．10．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则实数a的值是．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是．12．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为．14．（5分）已知a＞0，函数在区间[1，4]上的最大值等于，则a 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）计算；（2）已知，求的值．16．（14分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值．（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．17．（14分）已知函数，（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在（﹣1，5]内有意义，求a的取值范围．18．（16分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，（1）设投入乙种商品的资金为x万元，总利润y；（2）为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a ﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f2（x）=4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）；（Ⅲ）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B={2} ．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2．（5分）sin960°的值为．【解答】解：由题意，sin960°=sin（720°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣故答案为：3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=27．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，8），则有8=2a，∴a=3，即f（x）=x3，∴f（3）=（3）3=27故答案为：274．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=16．【解答】解：已知函数f（2x+1）=4x2，令t=2x+1，则x=，故有f（t）=4 ．故f（5）=4=16，故答案为16．5．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2）．【解答】解：令x﹣1=0，求得x=1，且y=2，故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2），故答案为（1，2）．6．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a为﹣4或2．【解答】解：当a≤0时，f（a）=﹣a=4∴a=﹣4当a＞0时，f（a）=a2=4∴a=2或a=﹣2（舍）综上可得，a=2或a=﹣4故答案为：﹣4或27．（5分）函数y=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，解得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．8．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有，则f（﹣1）=．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），故f（﹣1）=﹣f（1），而f（1）=，故f（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．10．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则实数a的值是2．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，若a＞1时，f（x）在[1，2]递增，可得最小值为f（1），最大值为f（2）；若0＜a＜1时，f（x）在[1，2]递减，可得最小值为f（2），最大值为f（1）；则和为f（1）+f（2）=a+a2=3a，解得a=2（0舍去），故答案为：2．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是6．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+3，开口向上，对称轴为：x=1，所以函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是：f（3）=9﹣6+3=6．故答案为：6．12．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=1．【解答】解：由题意设f（x）=lgx+x﹣2，则函数f（x）的定义域是（0，+∞），所以函数f（x）在（0，+∞）是单调增函数，因为f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=lg2+2﹣2=lg2＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，即方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），因为x0∈（k，k+1），k∈Z，所以k=1，故答案为：1．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（3）=0．画出函数f（x）的单调性示意图，不等式＜0，即x与f（x）的符号相反，数形结合可得不等式的解集为{x|x＞3，或﹣3＜x＜0}，故答案为：{x|x＞3，或﹣3＜x＜0}．14．（5分）已知a＞0，函数在区间[1，4]上的最大值等于，则a的值为或．【解答】解：（1）当x﹣2a在区间[1，4]上恒大于零时，∵x﹣2a＞0，∴a＜；当x=1时，满足x﹣2a在[1，4]上恒大于零，即a＜；此时函数f（x）==1﹣，该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=，∴a=，不满足a＜的假设，舍去．（2）当x﹣2a在区间[1，4]上恒小于零时，∵x﹣2a＜0，∴a＞；当x=4时，满足x﹣2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；此时函数f（x）==﹣1，该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=，∴a=，不满足a＞2的假设，舍去．（3）由前面讨论知，当＜a＜2时，x﹣2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，①当x＜2a时，x﹣2a＜0，此时函数f（x）=﹣1在[1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=；②当x＞2a时，x﹣2a＞0．此时函数f（x）=1﹣在（2a，4]时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=；总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；当函数在x=1处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=4代入得：f（4）=，∵f（1）＞f（4），∴满足条件；当函数在x=4处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=1代入得：f（1）=，∵f（1）＜f（4），∴满足条件；∴a=或a=；故答案为：或．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）计算；（2）已知，求的值．【解答】解：（1）计算；原式==0﹣2=﹣2（2）已知，则（）2=x+=9那么=9﹣2=7．16．（14分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值．（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，…（3分）B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}A∩B=[0，3]，∴m﹣2=0，解得m=2．…（7分）（2）∵B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}，∴C R B=（﹣∞，m+2）∪（m+2，+∞）…（10分）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，A⊆∁R B，∴m﹣2＞3或m+2＜﹣1，…（12分）解得m＞5或m＜﹣3，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…（14分）17．（14分）已知函数，（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在（﹣1，5]内有意义，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，由得：，解得：x∈（﹣1，2）．即f（x）的定义域为（﹣1，2）…（6分）（Ⅱ）∵若f（x）在（﹣1，5]内恒有意义，则在（﹣1，5]上∵x+1＞0∴a﹣x＞0∴a＞x在（﹣1，5]上恒成立∴a＞5…（14分）18．（16分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，（1）设投入乙种商品的资金为x万元，总利润y；（2）为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？【解答】解：（1）设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（8﹣x）万元，共获利润．（2）令（0≤t≤），则x=t2+1，∴，故当t=时，可获最大利润万元．此时，投入乙种商品的资金为（）2+1=万元，投入甲种商品的资金为万元．∴对甲、乙两商品的资金投入分别为万元，万元时，利润最大，最大利润为万元．19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【解答】（1）解：设x1＜x2且x1，x2∈R，则，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴，即，解得m=1；（3）由，∴D=（m﹣2，m），∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣1，1]．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a ﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f2（x）=4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）；（Ⅲ）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．【解答】解：（1）f1（x）=x不是“（a，b）型函数”，∵f1（x）=x，∴f1（a+x）=a+x，f1（a﹣x）=a﹣x，∴f1（a+x）•f1（a﹣x）=（a+x）（a﹣x）=b，即a2﹣x2=b，∴不存在实数对（a，b）使得a2﹣x2=b对定义域中的每一个x都成立，∴f1（x）=x不是“（a，b）型函数”；（2）∵函数是“（a，b）型函数”，∴4a+x•4a﹣x=b，∴16a=b，∴存在实数对，如a=1，b=16，使得f1（a+x）•f1（a﹣x）=b对任意的x∈R都成立；∴满足条件的一组实数对（a，b）为（1，16）；（3）∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），∴g（1+x）g（1﹣x）=4，∴当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，又∵x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1，其对称轴方程为，①当，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，∴g（x）在[0，2]上的值域为，由题意，得，∴2＜m≤3；②当，即1≤m≤2时，g（x）的值域为，即，∴g（x）在[0，2]上的值域为，由题意，得，且，解得1≤m≤2；③当，即0＜m≤1时，g（x）的值域为，即，∴g（x）在[0，2]上的值域为，即，由题意，得，解得0＜m≤1．综合①②③，所求m的取值范围是0＜m≤3．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。