2019学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(6) 曲线与方程 求曲线的方程

课时跟踪检测（六）曲线与方程求曲线的方程
层级一学业水平达标
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．
2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称
解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，所以选B．
4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP ＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，则MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，
∴|MN|＝4，|MP|＝(x＋2)2＋y2，MN·NP＝4(x－2)．
根据已知条件得4 (x＋2)2＋y2＝4(2－x)．
整理得y 2＝－8x ．∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x ．
5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )
A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0
B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0
C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0
D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0
解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是
y －04－0＝x ＋12＋1
，即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5．
设C 的坐标为(x ，y )，
则12×5×|4x －3y ＋4|5
＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．
6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．
解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0．
∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝0，2(y ＋2)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－2. 从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．
答案：一个点(2，－2)
7．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM ·PN ＝12，则点P 的轨迹方程为________________．
解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－2－x ，－y )，PN ＝(2－x ，－y )．
于是PM ·PN ＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12，
化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程．
答案：x 2＋y 2＝16
8．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________．
解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1．
又M 为AB 的中点，所以⎩⎨⎧
x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，
将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1，即y ＝4x 2．
答案：y ＝4x 2
9．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP ·MN ＝4，求动点P 的轨迹方程．
解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN ＝(x ，－2y )，
故OP ·MN ＝(x ，y )·
(x ，－2y )＝x 2－2y 2， 依题意知，x 2－2y 2＝4，
所以动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4．
10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹．
解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ＝OM ＋ON ，
即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，
则x 0＝x ，y 0＝y 2
． 又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，
即x 2
＋y 24＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216
＝1(y ≠0)． 层级二 应试水平达标
1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( )
A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0
B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0
C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0
D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0
解析：选A 设动点P (x ，y )，
则由|PA |＝3|PO |，得
(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2．
化简，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0．故选A ．
2．下列四组方程表示同一条曲线的是( )
A ．y 2＝x 与y ＝x
B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x
C ．y ＋1x －2
＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2
解析：选D 根据每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A 、B 、C 中各组曲线对应的x 或y 的取值范围不一致；而D 中两曲线的x 与y 的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D 准确．故选D ．
3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )
解析：选A 将y ＝－4－x 2平方得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A ．
4．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )
A ．π3
B ．5π3
C ．π3或5π3
D ．π3或π6
解析：选C 将点P 的坐标代入曲线(x －2)2＋y 2＝3中，得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，解得cos α＝12．又0≤α<2π，所以α＝π3或5π3
．故选C ． 5．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．
解析：方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，y ≥1，
x ＋y ＝3
或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，y <1，
x ＋y ＝1，其图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2．
答案：2
6．给出下列结论：
①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；
③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．
其中准确结论的序号是________．
解析：对于①，方程y x －2
＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，所以②错误；对于③，方程(x 2－4)2＋(y －4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③准
确．故填③．
答案：③
7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．
解：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图
所示)，则A (0,3)．
设△ABC 的外心为P (x ，y )，
因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，
所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．又点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|PA |＝|PB |， 即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0．
于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0．
8．已知两点P (－2,2)，Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．
解：设A (m ，m )，B (m ＋1，m ＋1)，
当m ≠－2且m ≠－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝
m －2m ＋2(x ＋2)＋2和y ＝m －1m ＋1x ＋2．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2，
y ＝m －1m ＋1x ＋2消去m ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．
当m ＝－2时，直线PA 和QB 的方程分别为x ＝－2和y ＝3x ＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．
当m ＝－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝－3x －4和x ＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．
综上，可知所求交点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．。