第一节 多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
第1节多元函数的基本概念
的示 . 意图
y
解 要使函数有意义须满足
1x2y20, 即 x2y21,
所以函数的定义域为
x
D {(x,y) x2y21}.有界闭区域
2.二元函数的定义域
例2 求 函 z数 lny(x) xy 的 定D 义 . 域 x2y21
解 要使函数有意义须满足
y
y x0
二. 多元函数的概念
注意 (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2y2z2a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy f(x,y)x2y2
0
x2y20 x2y20
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
(4) 函数有加减乘除数乘及复合运算(略)
确定空间一点 M(x,y,z),当(x, y) 取遍
D上的一切点时, 得到空间点集
z
M(x, y,z)
{x ,(y ,z)zf(x ,y )(x ,,y ) D }
这个点集称为二元函数的图形.
该几何图形通常是一张曲面.
而定义域 D 正是这曲面在Oxy 平面上的投影.
D (x, y) y
x
3.二元函数的几何图形
xy
0
x
2
y2
1
0
函数的定义域为
D {(x ,y )y x 0 ,x 0 y ,x 2 y 2 1 }
yx
x
无界开区域
2.二元函数的定义域 例3 求 zarcxs2 in y2 x2y21的 定. 义
4
解 要使函数有意义,必须
x2 4
10-1 多元函数的基本概念
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二元函数定义
平面上的一个点集,即 设D是xy平面上的一个点集 即 D R2, 是 平面上的一个点集 若对任意的点 X = (x, y)∈D R2, 按照某个 ∈ 对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对 上的二元实值函数, 应, 则称 f 是定义在 D 上的二元实值函数 记作 f : D → R, X = (x, y) → z
E-mail: xuxin@
长方体体积 V = xyz V 随 x, y, z 的变化而变化 或者说 任给 的变化而变化. 或者说, 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应 一组数 就有唯一的一个 与之对应. 与之对应 这些都是多元函数的例子. 有二个自变量 这些都是多元函数的例子 的称为二元函数. 的称为二元函数 有三个自变量的称为三元函 元函数. 数, …, 有 n 个自变量的称为 n 元函数 与一元函数类似, 与一元函数类似 我们有
E-mail: xuxin@
注4. 定义中,当x,y的值取定后,z的取值 定义中, 的值取定后, 的值取定后 的取值
就根据f的方程来定 . 通常情况下, 就根据 的方程来定. 通常情况下 , 这个值是 的方程来定 唯一的,这时我们称z=f(x,y)为单值函数; 唯一的,这时我们称 为单值函数; 但有时候取值是不唯一的, 但有时候取值是不唯一的,这时我们称之 为多值函数; 为多值函数; 例如 x 2 + y 2 + z 2 = 9 一般情况,我们讨论的函数都是单值函数, 一般情况,我们讨论的函数都是单值函数, 如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值 函数来处理. 函数来处理.
E-mail: xuxin@
称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像 记作 f (X) 下的像, 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值 所对应的函数值. 所对应的函数值 称 D 为函数 f 的定义域 D 在 f 下的像集 的定义域. f (D)={ f (X )| X∈D }称为 f 的值域 ∈ 称为 的值域. 习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 习惯上 为二元函数 另外, 为自变量, 为因变量. 另外 称 x, y 为自变量 z 为因变量 比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey .
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
29
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集，称为平面点集，记作
边界上的点都是聚点也都属于集合．
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
同济第三版-高数-(8.1) 第一节 多元函数的基本概念解析
• 作定义域的图形 定义域由三个不等式表出。其中， 不等式 0 < x 2a 表示介于 y 轴和直线 x = 2a 间的平
面区域，它不含 y 轴，但包含直线 x = 2a . 不等式 0 < y 2 2ax 表示抛物线 y 2 = 2ax 下方、x 轴
上方的区域，它包含该抛物线，但不含 x 轴。 结合前两组不等式，不等式 0 2ax x2 y 可改
1
2ax x 2 y
1,
可解得
2ax x 2 y ,
y 0.
x 2a x 0.
由
1
y2 2ax
1,
可解得
0
y2
2ax ,
x 0 .
0 x.
综合两不等式组求得函数定义域为
D f x, y 0 x 2a, 0 y2 2ax, 0 2ax x 2 y .
知，它们之间具有联系
R
R1R2 . R1 R2
R1
R
R2 在这一问题中，当 R1、R2 在集合
{( R1, R2 )R1> 0 , R2 > 0 }
内取定一组值( R1, R2 )时，R 的对应值就随之确定。
以上三个问题的具体意义虽各不相同，但都有共同 性质，即一个变量的变化受到两个变量的影响和制约， 抽像出这些共同性质就得出以下二元函数的定义。
写成 x > 0 ，y > 0 ,( x - a )2+ y 2 a 2，因此该表示圆周 ( x - a )2 + y 2 = a 2 的外部位于 x 轴上方的区域，且包含 圆周，但不含 x 轴。
y
y2 2ax
D
0 y2 2ax
x a2 y2 a2
Df
:
第一节 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用大纲要求1．理解多元函数的概念2．了解二元函数的极限和连续的概念3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用4．理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法5．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法；会求隐函数的偏导数6．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程7．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值并会解决一些简单的应用问题第一节 多元函数的基本概念㈠本课的基本要求理解多元函数的概念，了解二元函数的极限和连续的概念㈡本课的重点、难点多元函数的有关概念为重点、难点是二元函数的极限和连续性的概念㈢教学内容前面我们研究了一元函数（一个自变量的函数）及其微积分。
但在自然科学与工程技术的实际问题中，往往涉及到多个因素之间的关系，这在数学上就表示为一个变量依赖于多个变量的情形，这种关系就相应地导出多元函数的概念。
本章的目的是在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。
我们以二元函数为主，但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数。
同时，我们还须注意与一元函数微分学中有区别的地方，不要把概念、方法与记号弄混淆。
一．平面点集、n 维空间在讨论一元函数时，一些概念、理论和方法，都是基于1R 中的点集、两点间的距离、区间和邻域等概念。
为了将一元函数微积分推广到多元的情形，首先需要将上述一些概念加以推广，同时还需涉及一些其他概念。
为此我们先引入n 维空间，以便推广到一般的n R 中。
1．平面点集我们知道二元有序实数组),(y x 的全体，即},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=就表示坐标平面。
（请思考：n 维空间？）坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集，记作),(|),{(y x y x E =具有性质P}。
(整理)第一节多元函数的基本概念090304.
精品文档第八章 多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念教学目的：了解平面点集的相关概念；理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.了解二元函数连续的性质以及二元初等函数连续的性质.重点：理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题. 难点：二元函数的极限不存在问题的证明. 教学方法：启发式讲授 教学过程：一、多维空间的点集 (区域)1、n 维欧氏空间},,,|),,,{(2121R R ∈=n n nx x x x x x . 2、n R 中两点),,,(21n x x x P =与),,,(21n y y y Q =的距离∑=∆-=ni i ix yPQ 12)(||.3、邻域(1) 点P 的δ的邻域}|| | {),(δδ<=PQ Q P U . 简记为)(P U .(2) 点P 的δ的去心邻域}||0 | {),(δδ<<=PQ Q P U.简记为)(P U.4、集合n E R ⊂中的点P(1) P 为E 的内点：E P U ⊂∃)(. 的内点集}|{的内点为E P P E = . (2) P 为E 的边界点： PPP)(P U E)(P U P)(P U ∀, φ≠E P U )(且φ≠E P U )(. 的边界}|{的边界点为E P P E =∂.(3)P 为E 的聚点：0(),()U P U P E φ∀≠,但P 不一定在E 内.例如： 点集2222{(,)|04}x y x y or x y +=+≥，224x y +=和0为点集的边界，224x y +≥面上的每一个点都是聚点（极限点）. 结论：内点是聚点；边界点不一定是聚点；聚点也不一定是边界点.例如：集合E 的孤立点是边界点但不是聚点. 5、点集n E R ⊂(1) 开集E :2E R ⊂且P E ∀∈均有()U P E ∃⊂，则E 为开集.22{(,)|14}x y x y <+<，22{(,)|2}x y x y +<均为开集.(2) 闭集E :E E ⊂∂.（开集E 并上其边界构成闭集c E ，或开集的余集为闭集）22{(,)|14}x y x y ≤+≤，22{(,)|3}x y x y +≤ 22{(,)|3}x y x y +≥都是闭集.22{(,)|14}x y x y ≤+<既不是开集也不是闭集.(3) 有界集E :),( .. ,0K O U E t s K ⊂>∃. 22{(,)|14}x y x y ≤+≤，22{(,)|3}x y x y +≤都是有界集.(4) 无界集E :φ≠>∀),( ,0K O U E K . E EE ),(K O U22{(,)|3}x y x y +≥，{(,)|3}x y x ≤是无界集.(5) 连通集E :E 中任意两点均可用E 中折线连结起来.22{(,)|3}x y x y +≥，22{(,)|14}x y x y ≤+≤， 22{(,)|3}x y x y +≤，22{(,)|14}x y x y <+<{(,)|3}x y x ≤，{(,)|13}x y x <≤ {(,)|13,}x y x y R <≤∈都是连通集. {(,)|3}x y x >不具有连通性.6、区域n D R ⊂(1) 开区域D :连通开集,简称区域.例如 22{(,)|14}x y x y <+<为区域，它的边界{}2222(,)|1,4x y x y x y +=+=，边界上的点都是聚点，但边界 点都不是内点.(2) 闭区域∙D :D D D ∂=∙,其中 D 为开区域. 例如 22{(,)|14}x y x y ≤+≤ 为闭区域，边界为{}2222(,)|1,4x y x y x y +=+=，边界上的点都是聚点且又都是内点.例如：点集E ＝2222{(,)|01}x y x y or x y +=+≥为闭区域，(0,0)为E 的点，但(0,0)为边界点，且(0,0)不是聚点.{}(,)|1,x y x y R <∈是无界区域. {}(,)|1,x y x y R ≤∈是无界闭区域.E ),(K O U EPQxyOxyO22{(,)|14}x y x y <+<是有界区域.二、多元函数的概念1、【定义】：n n D x x x P R ⊂∈=∀),,,(21 ,|y ∃∈R （存在惟一y R ∈）按法则f 与P 对应,称y 为P 的函数（定义在D 上的一个n 元（实值）函数.其中集合D 为非空集合.记作:n f D R R ⊂→ 或 12()(,,),n y f x f x x x x D ==∈. (1)D 称为函数的定义域, 记作)(f D .(2)n x x x ,,,21 称为函数的自变量, 12(,,,)n y f x x x =称为函数的因变量.(3){|(),}y y f P P D =∈称为函数的值域, 记作)(D f . 说明：1.二元或二元以上的函数均称为多元函数.2.二元函数(,)z f x y =定义域为：曲面(,)z f x y =在xoy平面上的投影. 3.nR ---实n 维空间，2R ---实2维空间. 例1(1 )求2222(,)1ln(9)f x y x y x y =+-+--的定义域．解：2229010x y x y ⎧-->⎪⎨+-≥⎪⎩2219x y ⇒≤+< 所以2222(,)1ln(9)f x y x y x y =+-+--的定义域为{}22(,)|19x y xy ≤+<.（2）22222(,)arccos(3)3xf x y x y x y =++-+-的定义域为{}2222(,)|243D x y x y x y =≤+≤+≠且.（3）2221(,)114f x y x x y =-++-的定义域为22(,)|1D x y x y ⎧⎫=+>≤⎨⎬⎩⎭1且x 4.{}222()(,)|24D f x y x y x y =≤+≤>且．5）求函数1(,)ln()arcsin()2f x y x y x y =+-++的定域.提示：1()(,)|12D f x y x y ⎧⎫=<+≤⎨⎬⎩⎭. （6）2221(,)114f x y x x y =-++-的定义域为22(,)|1D x y x y ⎧⎫=+>≤⎨⎬⎩⎭1且x 4说明：１）．在未加说明情况下，函数的定义域均指自然定义域． 如ln()z x y =+定义域是{}(,)|0x y x y +>，22arcsin()z x y =+定义域是{}22(,)|1x y x y +≤．2）．一元函数的单调性、奇偶性、周期性定义在多元函数中不在适用．但有界性定义仍然成立．多元函数有界定义：设有n 元函数12(,,)n z f x x x =，其定义域为n D R ⊂，集合X D ⊂，若存在正数M ..(),s t f x M x X ≤∀∈，则称()f x 在X 上有界．M 称为()f x 在X 上的一个界．例2判断正误(1)在球02222=-++z z y x 内部的点有( ).(a ))2,0,0( (b ))2,0,0(- (c ))21,21,21( (d ))21,0,21(-答 (c ,d ).将球面方程写成标准形式 1)1(222=-++z y x ,(4)求222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义．解：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤22242y x y x ， 所求函数定义域为yOx球内部的点应满足不等式1)1(222<-++z y x . (2)点)1,1,1(-在曲面( )上.(a )0222=-+z y x （旋转抛物面）(b )z y x =-22（双曲抛物面马鞍面）(c )222=+y x （圆柱面） (d ))ln(22y x z += 答 (a ,c ).曲面上的点应满足曲面方程, (3)点( )在平面052=+y x 上.(a ))3,0,0( (b ))0,3,0( (c ))0,2,5(- (d ))1,2,5(- 答 (a ,c ,d ).平面上的点应满足平面方程,(4)函数)ln(1y x z +=的定义域是( ).(a )0≠+y x (b )0>+y x (c )1≠+y x (d )0>+y x 且1≠+y x答 (d ).⎩⎨⎧≠+>+0)ln(0y x y x ⇒0>+y x 且1≠+y x ⇒选(d ).例3 复合函数（1） 已知3(,)23,(,)2()x xf x y x y f x y x y y y =++=++则.（2） 已知2222(,),(,)()()y y f x y x y f x y x y x x=-+=+-则.（3） 已知2221(,),(,)1y y f x y x y f x y x x y-+=-=+则. 提示：22221(,)()()1y y x y x f x y x y x y x y y x x y x--+=-=+=+++. （4）已知22(,),(,)f x y x y x y f x y xy +-=-=则.2、多元函数(1) 二元函数：2=n 时,函数)(P f u =称为二元函数. 常写成),(y x f z =.(2) 三元函数：3=n 时,函数)(P f u =称为二元函数. 常写成),,(z y x f u =.(3)多元函数：2≥n 时,函数)(P f u =称为多元函数. 另外, 1=n 时,函数)(P f u =称为一元函数.3、二元函数图形——}),(),,(|),,{(D y x y x f z z y x ∈=. 表现为空间中的一个曲面.三、多元函数极限 1、多元函数极限(1)【定义】：设区域)(f D D ⊂,∙∈D P 0（0P 为区域D 的聚点， 可以不在区域D 内）,A 是一个常数.若0>∀ε,0δ∃> ..s t δ<<||00P P ,D P ∈时,恒有 ε<-|)(|A P f , 则称A 为)(P f 当0P P →时的极限.记作A P f P P =→)(lim 0, 或 A P f →)(, )0(→ρ. 其中||0P P =ρ.（2）特别情况：2=n 时,极限为二元函数极限,常称为二重极限, 记作Ay x f y y x x =→→),(lim 00（22000||()()P P x x y y ρ==-+-）. 例4 求证 01sin)(lim 2222=++→→yx y x y x . 证明:01sin)(2222-++y x y x 22221sin yx y x +⋅+=22y x +≤ ,0>∀ε取,0>=εδ当δ<-+-<22)0()0(0y x 时, 恒有O x y z D ),(y x f z =x yPMε<-++01sin)(2222y x y x .所以 01sin )(lim 222200=++→→y x y x y x . 另证：因为22221lim()0,sin1x y x y x y→→+=≤+又因为 所以 01sin)(lim 222200=++→→yx y x y x . (3)0P P →必需具有任意性.多元函数极限的存在，是指P 在D 内以任何方式趋近于0P 时，函数)(P f 都无限接近于A反过来，如果当P 以不同方式趋近于0P 时，函数)(P f 趋近于不同的值，那末就可以断定这函数的极限不存在. 还句话说：要说极限不存在，只需举一个反例就够了. 例5 讨论 2200limy x xyy x +→→ 的收敛性.解:令,kx y = 则2200limy x xyy x +→→22220lim 1x y kx x kx k x k x k →=⋅=++＝，极限值随k 的变化而变化所以极限2200limy x xyy x +→→是发散的．例6证明下列极限不存在（１）23300lim x y x y x y →→-：2233333000lim lim 1x x y y kxx y x y kx y x y k →→→===--- 结果随k 变化． （２）00limx y xy x y →→+：00limx y xyx y →→+20011lim lim x x y kx xxy xk x y k k →→=--===-+ 结果随k 变化．其极限值随k 的不同而变化，故极限不存在． 2、二重极限计算多元函数极限同样具有一元函数极限类似的运算法则和性质（四则运算、复合函数的极限、两个重要极限、等价无穷小、夹逼原理仍成立）,但罗必达法则不再成立. 例7计算下列极限 解：（１）221lim )sin(lim )sin(lim )sin(lim20202020=⋅=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→→→→→→y xy xy y xy xy x xy y x y x y x y x . （２）22(,)(0,1)1lim sinx y xy x y→+ 因为22(,)(0,1)1sin1lim 0x y xy x y →≤=+且所以22(,)(0,1)1lim sin x y xy x y→+＝０ （３）20lim 11x y xyxy →→+-＝20lim(11)2x y xy →→++=（４）2001limlim111011lim(1)[lim(1)]x x y y xx x y y x x yxx x y ee e x x→∞→∞→→++⋅+→∞→∞→+=+===（５）2222222222222200020002(sin )1cos()112lim lim lim 2()4()2x y x y x x x y y y x y x y x y x y e e →→→→→→+-+=⋅=++ （６）sin 1sin lim110sin 0011lim(1sin )lim(1sin )1x y xyxy y y xyxy xyxx x y y xy xy ee →∞→⋅⋅⋅⋅→→→→+=+===（7）3322220000lim lim()(1)x x y y x y xyx y x y x y →→→→+=+-++ 又22223112xy xy x y x y -≤+≤++且0lim()0x y x y →→+=， 故 332200lim 0x y x y x y →→+=+.（根据：有界变量与无穷小量的积还是无穷小量）.3333333222222200000(1)(1)lim lim lim lim 0(1)(1)x x x x y y kxx y x y x k x k x y x y x k k →→→→→=++++====++++ 计算为什么不正确？（因为只考虑了一种方式向原点趋进.）（8）求 4422lim y x y x y x ++∞→∞→.解：因 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+≤++≤2222224422112120y x y x y x y x y x , 由于 01121lim 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→y x y x , 于是 0lim 4422=++∞→∞→y x y x y x ．例8(06.7) 设xyxy xy y y x f arctan sin11),(π--+=,0>x ,0>y , 求 (Ⅰ)),(lim )(y x f x g y +∞→=; (Ⅱ) )(lim 0x g x +→.解 (Ⅰ))arctan sin11(lim ),(lim )(xyxy xy y y x f x g y y π--+==+∞→+∞→x x x yx yx x xx y y arctan 11)]sin1(arctan 111[lim ππππ--=--+=+∞→. (Ⅱ)0011lim ()lim()arctan x x xg x x xπ++→→-=- 0arctan (1)0lim (arctan 0x x x x x x π+→--=型）20arctan (1)0lim (0arctan 0x x x x x x x x π+→--=→型,时，～） 22200212(12)(1)1lim lim 22x x x x x x x πππ++→→-+--++===. 例9 用极限定义证明 12lim(4)6x y x y →→+=． 证明：(,)6464125f x y x y x y ρ-=+-≤-+-≤ 221)(2)x y ρ=-+-其中（，对于0ε∀>,05εδρδ=<<取则当时 恒有(,)65f x y ρε-≤= 故12lim(4)6x y x y →→+=． 四、多元函数的连续性１．【定义】：１）设()(,)f P f x y =则)(P f 在点0P 处连续：)()(lim 00P f P f P P =→． 其中, 区域)(f D D ⊂,D P ∈0且0P 为D 的聚点.2）)(P f 在点0P 间断：)(P f 在点0P 处不连续．3）)(P f 在D 内连续：)(P f 在区域D 内每一点连续．例10 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 ,0 ,0 ,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f 在)0,0(点连续．例11 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.0 ,0 ,0 ,),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点间断．（函数在原点处的极限不存在）例12 函数11sin ),(22-+=y x y x f 在圆周122=+y x 上没有定义,因此),(y x f 在此圆周上的每一点都间断．（注意：多元函数的间断点可以是一条曲线）显然, 例10中的函数),(y x f 在整个2R 内连续．而函数221),(y x y x f --=在闭区域}1|),{(22≤+y x y x 上连续． ２．结论：多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数． 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．从而在定义区域内有)()(lim 00P f P f P P =→， 如：(,)(1,2)22lim 2x y xy xy →++= ，22(,)(1,0)ln()lim ln 2y x y x e x y→+=+ 221(,)(0,)23lim arcsin 1arcsin 23x y x y π→--==． 五、有界闭区域上连续函数的性质【性质1】（有界性）：设)(P f u =在有界闭区域D 上连续，则u在D 上必有界．【性质2】（最大值和最小值定理）：设)(P f u =在有界闭区域D上连续，则u 在D 上必有最大值和最小值．【性质3】（介值定理）：设)(P f u =在有界闭区域D 上连续，ba ,是u 取得的两个不同的函数值,则u 在D 上取得介于b a ,之间的任何值．证明： 设)()(b a P f b P f a =≤=,连续折线βα≤≤=t t P P L ),(:连接b a P P ,．由于对于任一],[b a c ∈,因],[)]([βαC t P f u ∈=,故存在],[*βαC t ∈,使得c t P f P f ==)]([)(**，而D L P ⊂∈*．六、初等函数1、多元初等函数(1) 多元多项式: ∑nn n i i i i ni i i i i x x x a ,,,21,,,212121 例如: xz z y yz x 8532342-+．(2) 多元初等函数：多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数称为多元初等函数．例如：y z x y x xy y x 4)(cos )ln()3sin(322++++2、性质(1) 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.(2) 设)(P f u =在区域D 内为初等函数, D P ∈0,则)()(lim 00P f P f P P =→.注: 0P 为)(f D 的内点时,也有)()(lim 00P f P f P P =→.例13 求 .lim 21xy y x y x +→→ 解: 因xyy x y x f +=),(为初等函数,}0,0|),{()(≠≠=y x y x f D , 而)2,1(是)(f D 的内点,所以有.232121)2,1(),(lim lim 2121=⋅+===+→→→→f y x f xy y x y x y x例14 )11(11lim 11lim 11lim 000000++-+=-+=-+→→→→→→xy xy xy xy xy xy xy y x y x y x .2111001111lim 00=++⋅=++=→→xy y x小结：１．多元函数：2≥n 时,函数)(P f u =称为多元函数.另外,1=n 时,函数)(P f u =称为一元函数．一元函数图象为平面图形.二元函数图形——}),(),,(|),,{(D y x y x f z z y x ∈=.表现为空间中的一个曲面．２．一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．３．多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数．多元连续函数在闭区域上仍具有有界性、最大值和最小值定理、介值定理仍成立．4．一元函数的无穷小性质、重要极限、极限的四则运算在多元函数求极限时仍成立，但罗必达法则不再成立．课后记：存在的问题：（1）多元函数极限不存在证明不知从何下手．（2）计算多元函数极限时乱用罗必达法则，另外用证明极限不存在的方法沿一条曲线极限存在就说函数极限存D f的集合表示写不好，在，运算错误较多．（3）定义域()D f的图形画不出来．二元函数的定义域()。
多元函数的基本概念
| f ( x, y) A |
成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0 (或xx0, yy0)时的极限，记作
P P0
lim f ( P) A或 lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
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注1：二元函数的极限称为二重极限；
二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于
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3. 多元初等函数 (1) 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成 二元函数. 如：C, x , y , sinx, siny，…… 称为二元基本初等函数.
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(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合 所组成的函数，称为二元初等函数.
U(P) E
则称点P为点集E的内点.
o
P
E
x y o
1 x
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注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集.
例如: 点集 E1= {(x,y)| x2 + y2 < 1}是开集.
点集 E2= {(x,y)| x2 + y2 1}不是开集.
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(2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点 是否属于 E, 如果 P1 的任何邻域内 , 既 有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称 点P1为点集E的边界点.y P1 注: 点集E的全体边界点
所成的点集, 称为点 集E的边界. 例如: 点集 E= {(x, y)| 1 x2 + y2 < 4} 的边界点是圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .
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第一节_多元函数的基本概念
想想:二维、三维空间中点的邻域是什么样子 ?
10
在 R 2 中：
U( X 0 , ) {( x, y ) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 }
y
.
O
X 0 ( x0 , y0 )
开圆盘
x
11
在 R3 中：
U( X 0 , ) {( x, y, z ) |
在 R3 中：
U( X 0 , ) {( x, y, z ) | 0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 }
14
2. 开集、闭集、有界集、无界集
15
集合的内点、外点、边界点。
边界点
U( X 0 )
其内既有 E 的点也有不 属于E 的点
lim
xy kx 2 k 0， 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x k x x y 1 k
xy 因此,当 ( x , y ) ( 0,0 ) 时, 2 无极限. 2 x y
32
“无穷多个方向”不等于“任意方 向”. 可利用方向性来判别 多元函数的极限不存在.
33
3
1、多元函数的定义
定义 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x, y) D ， 变量 z 按照一定的法则总有确定的值
和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为
z f ( x, y ) ,
( x, y) D
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2 时，n元函数统称为多元函数.
有理化 (平方差公式)
34
例8
求 lim
sin x y . x 0 x y 2
多元函数单调性知识点总结
多元函数单调性知识点总结一、多元函数的定义及基本概念1. 多元函数的定义多元函数是指在n维欧式空间中的定义域为n维的实数向量空间，值域为实数的函数。
多元函数的自变量和因变量都是n维向量。
一般地，设D⊂R^n, f: D→R为n个实变量的函数，那么称f为n元函数，记作f(x_1,x_2, …, x_n)，其中x_i(i=1,2,…,n)称为自变量，函数值y=f(x_1, x_2, …, x_n)称为因变量。
2. 多元函数的单调性多元函数的单调性是指当自变量变化时，函数值的变化趋势。
当函数值随着自变量的增加而增加，称函数在该区间上是单调递增的；当函数值随着自变量的增加而减小，称函数在该区间上是单调递减的。
二、多元函数的偏导数及一阶导数1. 多元函数的偏导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，如果在(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数，那么对于每一个自变量x_i，在其它自变量不变的情况下，可以对f关于x_i求导，得到f关于x_i的偏导数，记作∂f/∂x_i。
偏导数的定义如下：●当f在点(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数∂f/∂x_i时，即该函数在该点沿着第i个自变量的方向有导数。
这个导数叫做偏导数，记作∂f/∂x_i，也可简称为偏导。
其计算公式为：∂f/∂x_i = lim(h→0) (f(x_1, x_2, …, x_i+h, …, x_n) - f(x_1, x_2, …, x_i, …, x_n)) / h●如果在点(x_1, x_2, …, x_n)的邻域内,各个偏导数∂f/∂x_i都存在,则称多元函数f(x_1,x_2, …, x_n)在该点可偏导。
2. 多元函数的一阶导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，当其在点(x_1, x_2, …, x_n)处的各个偏导数∂f/∂x_i都存在时，称f在该点可偏导。
此时，函数f的一阶导数是一个n维向量，称为梯度，记作∇f(x_1, x_2, …, x_n) = (∂f/∂x_1, ∂f/∂x_2, …, ∂f/∂x_n)。
数学考研计划(必备14篇)
数学考研计划（必备14篇）数学考研计划第1篇第一节多元函数的基本概念一、平面点集 *n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数第三节全微分一、全微分的定义*二、全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形(全体了解)第六节多元函数微分学的几何应用(仅数一)一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度(仅数一)一、方向导数二、梯度第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值与最小值二、条件极值拉格朗日乘数法*第九节二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式二、极值充分条件的证明*第十节最小二乘法数学考研计划第2篇第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算四、定积分的性质第二节微分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系(仅数一、二)二、积分上限的函数及其导数三、牛顿-莱布尼茨公式第三节定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第四节反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分*第五节反常积分的审敛法(数一、二要求、数三了解)Γ函数(全体选学)一、无穷限反常积分的审敛法二、无界函数的反常积分的审敛法三、Γ函数数学考研计划第3篇一、学习阶梯划分：一阶基础全面复习(3月～6月)二阶强化熟悉题型(7月～10月)三阶模考查缺补漏(11月～12月15日)四阶点睛保持状态(12月16日～考试前)二、参考书目：必备参考资料：数学考试大纲《高等数学》同济版：讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。
《线性代数》同济版：轻薄短小，简明易懂，适合基础不好的学生。
《线性代数》清华版：适合基础比较的学生《概率论与数理统计初步》浙大版：基本的题型课后习题都有覆盖。
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
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第八章 多元函数微分法及其应用本章导航第七章中我们知道了多元函数的解析式对应什么图形，从这一章开始，我们进入讨论多元函数的微积分问题，首先讨论多元函数的导数与微分，即多元函数微分法及其应用。
想一想上册讨论一元函数微分时设计了哪些内容呢？是不是第一章是一元函数的概念与极限（包括连续），第二章是导数与微分，第三章是导数的应用呢？那么和一元函数的内容相对应的，第八章讨论的内容包括了多元函数的概念、极限与连续，导数（偏导数）与微分（全微分），导数的应用等内容。
第一节 多元函数的基本概念本节导航本节内容对应于上册的第一章，内容涉及了多元函数的概念，多元函数的极限，多元函数的连续性，请先复习上册的第一章，再与之对照学习此节。
内容精讲本节主要讨论多元函数的概念、极限与连续。
但教材因为多元函数概念中用到“点集”这一名词，所以教材中的第一个大问题是平面点集。
我们为了符合大家的思维习惯，我们先从这节的重点——多元函数的概念开始。
教材中有与多元函数的精确定义，我们不再重复，下面我们只是从与一元函数的比较中引入多元函数概念。
其实，在实际应用中，大家没必要去死记多元函数的概念，我们则只需要理解概念并会应用，这点是最重要的：能用你自己的语言说出什么时多元函数，并能之处看到的一个表达式是不是多元函数。
所有我们学习的知识都是如此，并不是看你死记住了就行了，而是看你能不能理解你所学的知识，你能不能用所学的知识。
一、 多元函数的基本概念1. 举例引入多元函数首先，我们知道14+=x y 、22x y =中的变量y 都随着变量x 变化而变化，我们说它们是函数，x 是自变量，y 是因变量。
因为这两个函数中的自变量都只有一个x ，所以从现在开始，我们称这两个函数为“一元函数”。
下面，我们会想一下上一章学的平面与曲面方程，比如：平面0943=-+-z y x ，也可变为943++-=y x z ；曲面2223y x z +=。
现在我们用函数的观点看一下，这两个表达式中变量z 都随着变量x 和y 变化而变化，x 和y 是自变量，z 是因变量，因为这两个函数中的自变量都有两个x 和y ，所以我们称这两个函数为“二元函数”。
类似地，有三个自变量的函数称为三元函数，等等，有n 个自变量的函数称为n 元函数。
由一元函数推广到二元函数时，函数的性质会有本质的变化，而由二元函数推广到三元与三元以上的函数时，函数性质不会发生本质变化。
所以，以后我们讨论多元函数时以二元函数为主即可。
2. 函数的两个基本与要素与一元函数相类似，多元函数的两个基本要素也为定义域与对应法则。
我们遇到的的多元函数大都由一个数学解析式给出，所以对应法则即由解析式确定，我们重点讨论定义域。
在教材p6第二段有如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以是这个算是有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。
这里需要说明，因为我们讨论多元函数以二元函数为主要对象，所以我们举几个二元函数的例子，求其定义域：函数)ln(y x z +=的定义域为}0),({>+y x y x ；函数)arcsin(22y x z +=的定义域为}1),{(22≤+y x y x这两个二元函数的定义域都是平面上的点集，所以我们有必要研究平面点集，这就是教材中的第一个大问题“平面点集”并由此推广到“n 维空间”的由来，这些我们留待第二个大问题在讨论。
下面我们先讨论二元函数的另一个性质，即它们的图形。
3. 二元函数的图形回想上一章空间解析几何中我们已经讨论了，比如二元函数943++-=y x z 的图形是一个平面曲面，二元函数2223y x z +=的图形是椭圆抛物面。
这些曲面在xoy 坐标面上的投影即为二元函数的定义域。
二、平面点集 n 维空间上面再讨论二元函数的定义域是我们说道二元函数的定义域是平面点集，所以我们有必要讨论平面点集。
在平面点集中，为例讨论二元函数的极限与连续，其中你非常常用就是一种特殊的平面点集“区域”，其实我们这个问题最重要的名词就是“区域”，而要说清楚什么是“区域”，教材中进行了很长的铺垫，包括“邻域”“内点”“外点”“聚点”“开集”“闭集”“连通集”等很多名词。
大家记住，其实这里最重要的就是知道什么是区域。
1. 平面点集坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集，就像我们上面的例子中二元函数的定义域就是一些平面点集。
特别地，二元有序实数组),(y x 的全体，即},),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=就表示坐标平面。
下面为了将平面点集进行分类我们先讨论邻域的概念。
①邻域上册中我们已经讨论了邻域概念，那时是针对一元函数讨论的。
回想一下，一元函数中什么叫邻域),(δa U ？即点a 附近的那些点，这些点与0P 点近到什么程度呢？近到与a 点的距离比δ要小的程度，用式子表达就是：}{),(δδ<-=a x x a U ，在几何上表示数轴上以a 为中心，以0>δ为半径的左右对称的开区间内部的点。
下面我们将一元函数的邻域概念推广到二元函数的邻域概念。
点),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，则邻域),(0δP U 表示点0P 附近的那些点，这些点与0P 点近到什么程度呢？近到与0P 点的距离比δ要小的程度，用式子表达就是：})()(),{(}{),(202000δδδ<-+-=<=y y x x y x PP P P U 。
在几何上，),(0δPU 就是xoy 平面上以点0P 为中心，0>δ为半径的圆内部的点P 的全体。
与上册中邻域的几何表示比较一下，发现现在的邻域中的点在“面”上，而原来的点在“线”上。
有了邻域概念，下面根据点与点集的关系，可以将点分为三种内点、外点、边界点。
②内点、外点与边界点阅读教材p2图8-1左边关于内点、外点与边界点的定义，这里不再赘述。
根据点集所属点的特征，可以定义一些平面点集，其中最重要的就是区域。
③开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集与无界集阅读教材p3关于开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集与无界集的定义，这里不再赘述。
设 (,,)x y z a a a a =，(,,)x y z b b b b =， 即 x yz a a i a j a k =++，x y z b b i b j b k =++ ()()()(,,)x y z x y z x x y y z z x x y y z z x x y y z z a b a i a j a k b i b j b ka ib i a j b j a k b ka b i a b j a b k a b a b a b +=+++++=+++++=+++++=+++加法的交换律数乘的分配律减法与数乘运算有类似结果。
请仔细阅读教材p295-297页上内容与例2，例3，学习例3后面的注意。
三、向量的两种表示方法之间的相互转化 向量的模、方向角向量有两种表示方法，第一种是向量由它的大小与方向确定；第二种是向量由它的坐标确定。
既然用这两种表示方法都可以确定一个向量，那么这两种表示方法之间应该可以相互转化。
1． 已知向量的坐标求向量的大小与方向 向量的模 方向角设向量(,,)r x y z =① 求向量r 的大小 向量的模与两点间的距离请阅读教材p297-298内容并自己做例4、5、6② 求向量r 的方向 方向角与方向余弦怎样才能说清楚空间中的一个向量的方向呢？我们是通过说明这个向量与三条坐标轴的夹角来说明它的方向的。
要说明向量与三台条坐标轴的夹角，首先要说明什么是两个向量的夹角。
请阅读教材p298倒数三段。
教材中定义了向量r 与三条坐标轴的夹角记为α、β、γ称为向量r 的方向角，知道了向量的方向角就知道了向量的方向。
那么知道向量r 的坐标(,,)r x y z =，怎样求向量的方向角呢？再观察图7-2，在直角三角形OPM 中，OPM ∠为直角，POM ∠为向量r 与x 轴的夹角α，OP 为角α的邻边，OM 为角α的斜边，x 是有向线段OP的值，故 rx OM x ==αcos 在直角三角形OQM 中可知r y =βcos ，直角三角形ORM 中r z =γcos ， 从而向量r 所对应的单位向量为)cos ,cos ,(cos ),,(γβα===r z r y r x r r e r上式说明（1）一个向量所对应的单位向量的三个坐标分别为这个向量的三个方向余弦，所以知道一个向量的坐标，只需求出其单位向量确定方向余弦，进而求出方向角，这样就确定了该向量的方向。
（2）因为单位向量的三个坐标是向量的方向余弦，所以1cos cos cos 222=++γβα2． 已知向量的大小与方向求向量的坐标已知向量的大小与方向，就是知道向量的模与方向余弦，于是),,()cos ,cos ,cos (z y x r r r e r r r ===γβα四、 一个新角度去看向量的坐标------向量在轴上的投影在日光灯的正下方有一条木棍OM ，木棍与日光灯所在平面与地面相交得到一直线L,木棍在日光灯的照射下会在L 上有一个影子ON.但是因为要画图才能说明一条线段在一条直线上的影子，所以在运算中很难应用。
我们知道，如果将影子和一个数建立起联系，那么数可以不用画图就能表示与计算。
怎样用数说明有向线段在一个轴上的影子呢？并且既能说明影子的大小也能说明影子的方向呢？如图7-2所示，向量=是一条有向线段，考虑它在x 轴上的影子。
用垂直于x 轴的光线去照射向量，则点M 在x 轴上的影子就是点P ，即点P 是过点M 与x 轴垂直的平面与x 轴的交点，数学上我们将点P 称为点M 在x 轴上的投影，于是向量OM 在x 轴上的影子即为OP ，即向量OM 在x 轴上的影子是它在x 轴上的分向量。
下面的问题就是如何将这个分向量用一个数说明？ 因为xi OP =，于是向量OM 在x 轴上的影子OP 与唯一的一个数x 一一对应，这样向量OM 在x 轴上的影子就可以用一个数x 表示，数学上我们将这个数x 称为向量在x 轴上的投影，数x 的绝对值表示影子的长短，数x 的正负号表示影子的方向是与x 轴正向同向还是反向。
上面我们已经知道数x 是向量的横坐标，现在知道数x 又是向量r 在x 轴上的投影，所以一个向量的横坐标就是这个向量在x 轴上的投影。
请阅读教材p300内容并自己做例9.要点回顾重新阅读本节教材内容，运算律的推导可以不用看。
先自己总结要点之后再与本书对照。
1.空间点的坐标，各卦限、坐标面、坐标轴点的坐标特点2. ⎪⎩⎪⎨⎧),,z y x 、、向量两种表示方法γβα 3.已知两点),,(111z y x A 和),,(222z y x B ，则),,(121212z z y y x x ---=-=4.知大小与方向，求坐标()),,,γβαz y x =5.知坐标，求大小与方向大小两点距离公式⇒++=222z y x方向)cos ,cos ,cos =γβα（ 6.知向量坐标，就可求出任意两向量的和、差及数与向量的乘积 见教材p296上公式 由数与向量的乘积可得判断两向量平行的方法：两向量平行⇔它们的坐标对应成比例7.一个新角度看向量的坐标：横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该向量在对应坐标轴上的投影必做习题1.例题自己做一遍教材中本节的例题，不一定全仔细做，但要保证每道题能快速正确做出来2. 基本题（必须会的题）★类型一： 向量运算律、利用图形进行向量的运算 1,2,3；类型二：空间直角坐标系中各种点的坐标的特点6，7，8，9，10，11；类型三：利用坐标进行向量的运算4，5，12，13，14，15， 17，18，193.中等难度题▲ 164.必做题上面的基本题包括了本节习题的所有题目共19道题，将它们都做完需要花一定的时间，当然大家都做了更好，但如果时间紧张的话只需在上面三种类型的题目中选出几道题做会，那么同类型的也就会正确做出了.下面就是大家必须要自己动手做的并且要达到能迅速准确做出的题目,如果这几道必做题都不做,那我不敢保证你后面能否学好了.1,2,4,5,6,7,8,9,13,15,17,18,19。