6第3章概念3-位力定理、费曼-海_[1]...

例如， 例如，一维谐振子
h2 d 2 1 ˆ H =− + µω 2 x 2 2µ dx 2 2
1 E n = n + hω 2
（1）取 λ = ω
则
ˆ ∂H U 2 = µω x = 2 ∂ω ω
由FH定理可得 定理可得 因此 （2）取 λ = µ 则
∂En En 1 = n + h = ∂ω ω 2
1 ∂ −ipx x / h = ∫ ϕ ( px ) ∫ ih ∂px e ψ ( x)dx dpx 2π h
*
1 ∂ = ∫ ϕ ( px ) ih 2π h ∂px
*
(∫ e
− ipx x / h
ψ ( x)dx dpx
1 v v ˆ =− r⋅ f 2
n
n
1 v = r ⋅∇U 2
即位力定理。 位力定理。 一般而言， 一般而言，当 U ( x, y , z ) 是 x、y、z 的ν 次齐次函数即
时，有 则
U (cx, cy, cz ) = cν U ( x, y, z ) v r ⋅∇U = ν U
ˆ T
n
为常数） （c为常数） 为常数
1 = ν U 2
n
有 所以
1 U = µω 2 x 2 例如， 例如，一维谐振子 2 dU x = µω 2 x 2 = 2U dx
ˆ T
n
1 = 2U 2
n
再如， 再如，中心力场
1 1 1 = U n = En = n + hω 2 2 2 U = −k / r
1 ∂ v v v ∂ 1 v ∂ v 有 r ⋅∇U = r ⋅ er + eθ + eϕ U r sin θ ∂ϕ ∂r r ∂θ v v ∂ k k = r ⋅ er − = = −U ∂r r r ˆ =−1 U T 所以 n n 2 利用位力定理可以方便地讨论动能、 利用位力定理可以方便地讨论动能、势能的平均值与总能量之 间的关系。 间的关系。
n → ∞ 时，量子与经典结果一致。 量子与经典结果一致。
2.设粒子处于一维无限深势阱中 0 x < a / 2 U ( x) = ∞ x > a / 2 求粒子动量分布。 处于基态 n = 1 时，求粒子动量分布。 2 πx ψ ( x) = cos 解： 基态 a a
a/2 1 πx px 2 π x −ipx / h ∫−a / 2 a cos a e dx = aπ h ∫− a / 2 cos a cos h dx 2π pa pa pa cos 2 cos 2 cos 1 1 a 2h 2h + 2h = = π p 2 2 π p aπ h π p 2 aπ h + − − a h a h a h 2 pa cos 4π 2 2h 动量概率分布函数为 ϕ ( p ) = 3 a h π 2 p 2 2 − a h
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = [ x, H ] px + x[ px , H ] + [ y, H ] p y + y[ p y , H ] + [ z, H ] pz + z[ pz , H ] ˆ ] = ih p [ p , H ] = −ih ∂U ˆx ˆx ˆ Q [ x, H ↓ µ ∂x ih 2 ∂U ih 2 ∂U ih 2 ∂U ˆ ˆ ˆ = px − ihx + p y − ihy + pz − ihz µ ∂x µ ∂y µ ∂z ih ih v ˆ = p 2 − ih(r ⋅∇U )
µ
* ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ψ n H (r ⋅ p )ψ n dτ = ∫ ( Hψ n )* (r ⋅ p )ψ n dτ = En r ⋅ p ∫
v v
v v
v v
n
即左边为零，所以 即左边为零，
ih
µ
ˆ p2 2µ
v ˆ p 2 − ihr ⋅∇U
n
=0
n
1 v = r ⋅∇U 2
ˆ T
n
n
所以
1 ϕ ( px )eipx x / h dpx 2π h ∫
*
ϕ ( px ) =
1 ψ ( x)e −ipx x / h dx 2π h ∫
1 x = ∫ψ ( x) xψ ( x)dx = ∫ ϕ * ( px )e−ipx x / h dpx xψ ( x)dx ∫ 2π h 1 − ipx x / h * = ∫ ϕ ( px ) ∫ xe ψ ( x)dx dpx 2π h ∂ −ipx x / h − ipx x / h ↓ xe = ih e ∂px 1 ∂ − ipx x / h * = ∫ ϕ ( px ) ∫ ih ∂px e ψ ( x)dx dpx 2π h
ˆ ∂H ∂En ˆ ) ∂ψ n − ψ n = ( En − H ∂λ ∂λ ∂λ
两边做运算 ∫ψ n L dτ
*
得
−
n
ˆ ∂H ∂λ
* = En ∫ψ n
∂En * ˆ ∂ψ n dτ = ∫ψ n ( En − H ) ∂λ ∂λ
所以
∂ψ n * ˆ ∂ψ n dτ − ∫ψ n H dτ ∂λ ∂λ * ∂ψ n ˆ ψ )* ∂ψ n dτ = En ∫ψ n dτ − ∫ ( H n ∂λ ∂λ * ∂ψ n * ∂ψ n = En ∫ψ n dτ − En ∫ψ n dτ ∂λ ∂λ =0 ˆ ∂E ∂H = n ∂λ n ∂λ
十三、费曼-海尔曼定理（ 定理 定理） 十三、费曼-海尔曼定理（FH定理） ˆ 设体系的哈密顿算符 H 中含有某参量 λ （可以是质量 µ 、普朗 ˆ 的本征值， 克常数 h 、角频率 ω 等）， E n为 H 的本征值，相应的归一化本征函 数（束缚态）为ψ n（n为一组量子数），则 束缚态） 为一组量子数） 为一组量子数
)
∂ = ∫ ϕ ( p x ) i h ∂px
*
ϕ ( px ) dpx
由此还可以得出，动量表象中 由此还可以得出，
∂ ˆ x = ih ∂px
三维时
∂ v v v * v r = ∫ ϕ ( p) ih v ϕ ( p) dp ∂p
1 ϕ ( p) = 2π h
a/2
3.在坐标表象中，粒子坐标平均值 在坐标表象中，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v *v r = ∫ψ rψ dτ v v ϕ ( p )计算 r 平均值的公式。 平均值的公式。 试推出动量表象中用波函数 ψ 一维时， 解： 一维时， ( x ) 与 ϕ ( px ) 的变换关系为
ψ ( x) =
所以
∂En 1 v = r ⋅∇U ∂h ∂h h
n
∂En 2 ˆ = T 利用 ∂h h
即为位力定理。 即为位力定理。
n
得
ˆ T 1 v = r ⋅∇U 2
n
n
原则上，凡位力定理可以求解的问题用费曼原则上 ， 凡位力定理可以求解的问题用费曼 - 海尔曼定理都可 以求解。 以求解。
第三章
例
题
1.设粒子处于一维无限深势阱中
2 U
ω
n
=
n
En
ω
U
1 = En 2
ˆ ˆ ∂H T U h2 d 2 1 2 2 = + ω x =− + 2 2 ∂µ 2µ dx 2 µ µ
所以
− ˆ T
∂En =0 ∂µ
µ
+
U
µ
=0
n
ˆ T
n
= U
n
（3）取 λ = h
则
ˆ ∂H 2h d 2 2 ˆ =− = T 2 ∂h 2µ dx h
2 nπ x sin ψ n ( x) = a a
x = ∫ xψn
0
2
2 a a 2 nπ x dx = ∫ x sin dx = 0 a a 2
( x − x )2 = x 2 − x 2 = ∫ x 2 ψ n
0
a
2
a2 2 a 2 2 nπ x a2 dx − = ∫ x sin dx − 0 4 a a 4
v ˆ = ih ∂ = ih∇ v r v p ∂p
0 0 < x < a U ( x) = ∞ x < 0, x > a
证明： 证明：处于能量本征态 ψ n ( x) 的粒子
a x= 2
讨论 n → ∞ 时的情况，并与经典结果比较。 时的情况，并与经典结果比较。 解：
a
a2 6 2 ( x − x ) = 1 − 2 2 12 n π
十二、位力定理 十二、 经典力学： 经典力学：
v v d v v dr v v dp p 2 v v (r ⋅ p) = ⋅ p+r ⋅ = +r⋅ f dt dt dt µ
d v v 长时间内， 长时间内， (r ⋅ p) 的平均值为零 dt
d v v (r ⋅ p) = 0 即 dt
所以
p2 1 v v =− r⋅ f >0 2µ 2
ˆ ˆ ∂En ∂H ∂H = ψn ψn ≡ ∂λ ∂λ ∂λ
n
即为费曼-海尔曼定理。 即为费曼-海尔曼定理。 费曼 证明： 证明： 对参量 λ 求导数
ˆ ∂H ∂λ
ˆ Hψ n = Enψ n
得
ˆ ∂ψ n = ∂En ψ + E ∂ψ n ψ n + H n n ∂λ ∂λ ∂λ