2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学三》真题及详解

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学三》真题及详解
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。

A ．
()
0,1f
x ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在
B ．
()
0,1f
x ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在
C ．
()0,1f
x ∂∂，()
0,1f y ∂∂均存在 D ．
()0,1f
x ∂∂，()
0,1f y ∂∂均不存在 【参考答案】A
【参考解析】f （0，1）＝ln （1＋0）＝0，由偏导数的定义，可得：
()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim 0x x x x x f x f f
x x x
x →→→+-∂===∂-
因为00lim 1lim 1x x x x x x +-→→=≠=-，所以()
0,1f x ∂∂不存在。

因为()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 111y y y f y f f y y y y y →→→-∂====∂--，所以
()
0,1f
y ∂∂存在。

2．函数
(
)()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩
的原函数为（
）。

A ．(
))
()ln ,0
1cos sin ,0
x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪+->⎩
B ．(
))
()ln 1,01cos sin ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪+->⎩
C ．(
))
()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪++>⎩
D ．(
))
()ln 1,01sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧++≤⎪
=⎨⎪++>⎩
【参考答案】D
【参考解析】当x ≤0时，可得：
(
)(1d ln f x x x C ==++⎰
⎰
当x ＞0时，可得：
()()()()()2
d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x x
x x
x x x x
x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰
在x ＝0处，有：
(110
lim ln x x C C -
→+=，()220
lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故
(
))
()ln 1,0d 1sin cos ,0
x C x f x x x x x C x ⎧+++≤⎪
=⎨⎪+++>⎩⎰
令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为(
))
()ln 1,0
1sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪++>⎩。

3．已知微分方程式y′′＋ay′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

A ．a ＜0，b ＞0
B ．a ＞0，b ＞0
C ．a ＝0，b ＞0
D ．a ＝0，b ＜0 【参考答案】C
【参考解析】由题意，微分方程的特征方程为λ2＋aλ＋b ＝0。

当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零。

若C 1、C 2都不为零，则微分方程的解为1212
x x
y C e C e λλ=+。

因此，此时不能有解在（－∞，
＋∞）上有界。

当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2。

若C 2≠0，则微分方程的解为
2
2
12a
a x x y C e
C e
-
-
=+。

因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。

当Δ＝a 2－4b ＜0
时，特征方程的根为1,222
a i λ=-±。

则通解为2
12a
x y e
C x C x -
⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭。

要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，结合Δ＝a 2－4b ＜0，可得b ＞0。

4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，…），若级数1
n n a ∞=∑与1
n
n b
∞
=∑均收敛，则“级数
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛”是“
1
n
n b
∞
=∑绝对收敛”的（ ）。

A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【参考答案】A
【参考解析】由级数
1
n n a ∞=∑与1
n
n b
∞
=∑均收敛，可得
()1
n
n n b
a ∞
=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛。

若
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则由|b n |＝|b n －a n ＋a n |≤|b n －a n |＋|a n |与比较判别法，可得
1n
n b
∞
=∑绝对收敛。

若1
n
n b
∞=∑绝对收敛，则由|a n |＝|a n －b n ＋b n |≤|b n －a n |＋|b n |与比较判别法，可得
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛。

5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则*
A E O
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝（ ）。

A ．****A B B A O
B A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****B A A B O
A B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****B A B A O
A B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****A B A B O
B A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭
【参考答案】B
【参考解析】由伴随矩阵的计算公式，代入（B ）选项计算可知：
*
***
*****
**A E B A A B B AA AA B A B O B O
A B O A BB B A E A B A B O A B E B A E O O A B E A B E
⎛⎫⎛⎫
--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪
⎝⎭= 故B 项正确。

6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（ ）。

A ．y 12＋y 22 B ．y 12－y 22
C ．y 12＋y 22－4y 32
D ．y 12＋y 22－y 32 【参考答案】B
【参考解析】由题意可得f （x 1，x 2，x 3）＝2x 12－3x 22－3x 32＋2x 1x 2＋2x 1x 3＋8x 2x 3。

其对应的矩阵
211134143A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
根据
()()2
11
1
3
47301
4
3
E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+
可得A 的特征值为3，－7，0。

故选B 项。

7．已知向量1123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，2211⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，1259⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，2101⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
β，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，
β2线性表示，则γ＝（ ）。

A ．33,4k k R ⎛⎫
⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．35,10k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．11,2k k R -⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．15,8k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
【参考答案】D
【参考解析】设γ＝x 1α1＋x 2α2＝y 1β1＋y 2β2，则x 1α1＋x 2α2－y 1β1－y 2β2＝0。

又
()121212211003,,,2150010131910011--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
ααββ
故可得：
121231,11x x c c R y y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以可得：
12111555,888c c c c k k R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=-+=-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
γββ
8．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E （|X －EX|）＝（ ）。

A ．1/e
B ．1/2
C ．2/e
D ．1
【参考答案】C
【参考解析】方法1：由题意可知EX ＝1，所以
1, 0
1,1,2,...X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩。

故可得：
{}(){}
(){}(){}()()()1
01011101011101111012k k E X EX P X k P X k k P X k P X e E X e e EX e e e
∞
=∞
=-=⋅=+-==+-=--==+---=+---=∑∑ 因此选C 项。

方法2：随机变量X 服从参数为1泊松分布，即()()1
10,1,2,...!
P X k e k k -===，期望E （X ）＝1。

故可得：
()()
()()()()()()11111
1
21
11
2211
1
221111
1111
1101...1...0!1!2!!
11!1!!111!!
1112k k k k k E X E X E X e e e k e k e k e k k e e e
k k e e e k k e e e e e e ----∞
--=∞
∞---==∞∞
---==-----=-=⋅
+⋅+⋅++-⋅+=+-⋅=+-=+--=+----=∑∑∑∑∑
因此选C 项。

9．设X 1，X 2，…，X n 为来自总体N （μ1，σ2）的简单随机样本，Y 1，Y 2，…，Y n 为来自总体N （μ2，
2σ2）的简单随机样本，且两样本相互独立，记1
1
n
i
i X X n ==∑，1
1n
i i Y Y m ==∑，
()
2
21
1
11n
i i S X X n ==--∑，()
2
2
2
1
11n
i i S Y Y m ==--∑，则（ ）。

A ．()2
122
~,S F n m S
B ．()2
122
~1,1S F n m S --
C ．()2
122
2~,S F n m S
D ．()2
122
2~1,1S F n m S --
【参考答案】D
【参考解析】由题意，X 1，X 2，…，X n 的样本方差为()
2
21
1
11n
i i S X X n ==
--∑。

Y 1，Y 2，…，Y n 的样本方差为()
2
22
1
11n
i i S Y Y m ==
--∑。

则由抽样分布定理，可得()()21221~1n S n χσ
--，()()2222
1~1
2m S m χσ
--，且两个样本相互独立。

所以可得：
()()()()
()212222
11222
2222
2
1/1/2~1,11/2/
12n S n S S F n m m S S S m σσ
σσ
--==---- 故选择D 项。

10．设X 1，X 2为来自总体N （μ，σ2）的简单随机样本，其中σ（σ＞0）是未知参数，记σ＝a|X 1－
X 2|，若E （σ）＝σ，则a ＝（ ）。

A
B
C
D
【参考答案】A
【参考解析】由题意可知X 1－X 2～N （0，2σ2）。

令Y ＝X 1－X 2，则Y 的概率密度为：
(
)22
22y f y e
σ-
=
(
)2
22
2
2240
122d d y y E Y y
e
y ye
y σσσ
-
-
+∞
+∞
-∞
==
=
⎰
⎰
因此，()(
)1
22E
a X
X aE Y a
-==。

由E （σ）＝σ
，可得：2
a σ=⇒=。

故选择A 项。

二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。

请将答案写在答题纸指定位置上。

11．2
11lim 2sin cos x x x x x →∞⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭＝______。

【参考答案】2/3 【参考解析】
()220303233
0333011111lim 2sin cos lim 2sin cos 2sin cos lim 112162lim
112
62lim 3
x t t t t x x t t t x x x t t t t t t t
t t t t t o t t t t
t →∞→→→→⎛⎫⎛⎫
--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
--=⎛⎫⎛⎫
----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+==
12．已知函数f （x ，y ）满足()22
d d d ,x y y x
f x y x y -=+，()1,14
f π=
，则)
f ＝______。

【参考答案】π/3
【参考解析】由题意可得：
22
f y
x x y ∂-=∂+，则 ()()()1,arctan arctan x x
f x y y c y c y y y y
=-⋅⋅+=-+
又由()2
2
22
1x f
x
y c y y
x y x y -
∂'=-+=
∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，可得c′（y ）＝0，c （y ）＝c ，再由f （1，1）＝π/4可
得c ＝π/2。

即(),arctan 2
x f x y y π
=-+
，故)
3
f π
=。

13．()20
2!n
n x n ∞
=∑＝______。

【参考答案】1122
x x
e e -+
【参考解析】记()()20
2!n
n x s x n ∞
==∑，则()()21121!n n x s x n -∞
='=-∑，
()()()()2221022!2!
n n
n n x x s x s x n n -∞
∞
==''===-∑∑。

即有s′′（x ）－s （x ）＝0，解得s （x ）＝C 1e x ＋C 2e －
x 。

又由s （0）＝1，s′（0）＝0，可得C 1＋C 2＝1，C 1－C 2＝0，解得C 1＝C 2＝1/2。

故()1122
x x
s x e e -=+。

14．设某公司在t 时刻的资产为f （t ），从0时刻到t 时刻的平均资产等于f （t ）/t －t 。

假设f （t ）连
续且f （0）＝0，则f （t ）＝______。

【参考答案】2e t －2t －2
【参考解析】由题意可得方程()()0d t
f x x f t t t t
=-⎰，即()()20d t f x x f t t =-⎰。

两边同时
对t 求导可得f （t ）＝f′（t ）－2t ，即f′（t ）－f （t ）＝2t 。

由一阶线性微分方程通解公式有：
()(
)
()1d d 2d 2d 2222
t t t t t
t
t
t
f t e te t C e te t C
e t e C Ce t ---⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪
⎝⎭
⎡⎤=-++=--⎣⎦⎰⎰
又由f （0）＝0，C －2＝0，即C ＝2。

故f （t ）＝2e t －2t －2。

15．已知线性方程组13123
1
23121
202
ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中a ，b 为常数，若0111412a a a =，则11120
a a a
b ＝
______。

【参考答案】8
【参考解析】由已知可得r （A ）＝r （A ，b ）方程组有唯一解，故|A ，b|＝0。

即
()()1444
011
1101
110,11122111120
0120
211
12240
a a a a A
b a a a a b a
a b a a a b ++=
=-+-=-+=
故11
1
280
a a a
b =。

16．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～B （1，p ），Y ～B （2，p ），p ∈（0，1），则X ＋Y 与X －Y 的相关系数为______。

【参考答案】－1/3
【参考解析】由X ～B （1，p ），Y ～B （2，p ）可得DX ＝p （1－p ），DY ＝2p （1－p ）。

因此，由协方差的性质可得
Cov （X ＋Y ，X －Y ）＝Cov （X ＋Y ，X ）－Cov （X ＋Y ，Y ） ＝Cov （X ，X ）＋Cov （Y ，X ）－Cov （X ，Y ）－Cov （Y ，Y ） ＝DX －DY ＝p （1
－p ）－2p （1－p ）＝－p （1－p ） 因为随机变量X 与Y 相互独立，所以 D （X ＋Y ）＝DX ＋DY ＝3p （1－p ），D （X －Y ）＝DX ＋DY ＝3p （1－p ）
故,1
3Cov X Y X Y ρ+-==-。

三、解答题：17～22小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）已知可导函数y ＝y （x ）满足ae x ＋y 2＋y －ln （1＋x ）cosy ＋b ＝0，且y （0）＝0，y′（0）＝0。

（1）求a ，b 的值。

（2）判断x ＝0是否为y （x ）的极值点。

解：（1）在题设方程两边同时对x 求导可得：
()cos 2ln 1sin 01x y
ae y y y x y y x
'''++-
++=+　① 将x ＝0，y ＝0代入原方程可得a ＋b ＝0。

将x ＝0，y ＝0，y′（0）＝0代入①式可得a ＋0－1＝a －1＝0。

联立两式可得a ＝1，b ＝－1。

（2）在等式①两边再对x 求导可得：
()()()
()()2
2
sin 1cos 22ln 1sin 01x
y y x y
ae y y y y x y y x '-+-'''''''+++-
++=+　②
将x ＝0，y ＝0，y′（0）＝0代入②式可得y′′（0）＝－a －1＝－2＜0。

由于y′（0）＝0，y′′（0）＝－2，故x ＝0是y （x ）的极大值点。

18．（本题满分12分）已知平面区域(
),|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭。

（1）求D 的面积。

（2）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积。

解：（1）D 的面积为：
(22
1
4
224
4
1sec tan d tan sec csc d ln csc cot ln 1t
S x x t
t
t t t t t t
π
π
ππππ+∞
==⋅==-=+⎰
⎰⎰
（2）D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积为：
()
2
22
1
1
221
11
d d 1111d arctan 114x V y x x x x x x x x x ππππππ+∞
+∞
+∞
+∞
==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
⎰
19．（本题满分12分）已知平面区域D ＝{（x ，y ）|（x －1）2＋y 2≤1}，
计算二重积分
1d d x y 。

解：本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进行计
算。

题19解图
123
1
2
3
1d 2
1d 212121d D
D D D D D D σσ
σσσ
++-==++⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
分别采用极坐标进行计算：
()1
1
30
1
1d 1d 3618
D r r r π
ππ
σθ=-=
⋅=⎰⎰⎰⎰
(
)2
2cos 23220
3
3
8161d 1d 2cos cos d 369D r r r π
π
θ
πππσθθθθ=-=-=-⎰⎰⎰⎰
⎰
(
)3
2cos 32330
1
0811d d 1d cos 2cos d 36318
D r r r π
π
θ
ππ
σθθθθ=-=-+=+⎰⎰
⎰
所以：
1
2
3
1d 212121d 162221869318329
D
D D D σσσσ
π
ππππ=+-+⎛⎫=⨯
+⨯-++⨯+ ⎪⎝⎭+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
20．（本题满分12分）设函数f （x ）在[－a ，a]上具有2阶连续导数，证明： （1）若f （x ）＝0，则存在ξ∈（－a ，a ），使得()()()21
f f a f a a
ξ''=
+-⎡⎤⎣⎦； （2）若f （x ）在（－a ，a ）内取得极值，则存在η∈（－a ，a ），使得()()()2
1
2f f a f a a η''≥
--。

解：（1）()()()()()()22
0002!2!
f f f x f f x x f x x ηη''''''=++
=+，η介于0与x 之间。

则可得：
()()()()1210,02!
f f a f a a a ηη'''=+
<<　①
()()()()2220,02!
f f a f a a a ηη'''-=-+
-<<　②
由①＋②得：
()()()()2
122
a f a f a f f ηη''''+-=+⎡⎤⎣⎦　③ 又f′′（x ）在[η2，η1]上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即m ≤f′′（η1）≤M ；m ≤f′′（η2）≤M 。

从而()()
122
f f m M ηη''''+≤
≤。

由介值定理得，存在ξ∈[η2，η1]⊂（－a ，a ），有
()()
()122
f f f ηηξ''''+''=，代入③得： f （a ）＋f （－a ）＝a 2f′′（ξ），即()()()
2
f a f a f a
ξ+-''=。

（2）设f （x ）在x ＝x 0∈（－a ，a ）处取得极值，且f （x ）在x ＝x 0可导，则f′（x 0）＝0。

所以()()()()()()()()()22
0000002!2!f f f x f x f x x x x x f x x x γγ'''''=+-+-=+-，
γ介于0与x 之间，代入x ＝a ，x ＝－a ，可得：
()()()()2
1001,02!
f f a f x a x a γγ''-=+
---<< ()()()()2
2002,02!
f f a f x a x a γγ''=+-<<
从而可得：
()()()()()()()()()()22
020122
02011122
1122
f a f a a x f a x f a x f a x f γγγγ''''--=
--+''''≤-++
又|f′′（x ）|连续，则：
()()()()()22220001122
f a f a M a x M a x M a x --≤
++-=+ 其中M ＝max{|f′′（γ1）|，|f′′（γ2）|}。

又x 0∈（－a ，a ），故|f （a ）－f （－a ）|≤M （a 2＋x 02）≤2Ma 2，则()()2
1
2M f a f a a
≥
--，即存在η＝γ1或η＝γ2∈（－a ，a ），使得()()()2
1
2f f a f a a η''≥--。

21．（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意x 1，x 2，x 3均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭。

（1）求A 。

（2）求可逆转矩阵P 与对角矩阵Λ使得P －
1AP ＝Λ。

解：（1）因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪
=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
对任意x 1，x 2，x 3均成立，所以
111211011A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（2）
()()()()()()()21
11
1111
2
1112
1111011
12222210
E A λλλλλλλλλλλλλλλ---+----=-+-=-+-+-+-+=-+-+=+-+=
所以A 的特征值为λ1＝－2，λ2＝2，λ3＝－1。

λ1＝－2时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得对应的特征向量为α1＝（0，－1，1）T 。

λ2＝2时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得对应的特征向量为α2＝（4，3，1）T 。

λ3＝－1时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得对应的特征向量为α3＝（1，0，－2）T 。

所以()123041,,130112P ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭ααα，()1123200,,020001P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭
ααα。

22．（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度为
()()
2
,1x
x e f x x e =
-∞<<+∞+，令Y ＝e x 。

（1）求X 的分布函数。

（2）求Y 的概率密度。

（3）Y 的期望是否存在？ 解：（1）X 的分布函数为：
()()
21
d =,111x
x
x
x
x x x e e F x x x R e e
e -∞-∞
=-=∈+++⎰ （2）方法1：分布函数法
由分布函数定义可得F Y （y ）＝P{Y ≤y}＝P{e X ≤y}。

当y ＜0时，有F Y （y ）＝0。

当y ≥0时，有F Y （y ）＝P{X ≤lny}＝F （lny ）＝y/（1＋y ）。

所以Y 的概率密度为：()()21
,010,Y y y f y ⎧>⎪
+=⎨⎪⎩
其他。

方法2：公式法
因为y ＝e x 在（－∞，＋∞）上单调且处处可导，当x ∈（－∞，＋∞），y ＞0，此时x ＝lny ，所以当y ＞0时，有：
()()()()
()ln 2
2
ln 11ln ln 11y
Y y e f y f y y y y e '==
=
++
所以Y 的概率密度为：()()21
,010,Y y y f y ⎧>⎪
+=⎨⎪⎩
其他。

（3）由于()()2
01d ln 111y
EY
y y y y +∞
+∞
⎛⎫==++=∞ ⎪++⎝⎭⎰
，所以Y 的期望不存在。