四川省广安市邻水二中2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷(文科)

四川省广安市邻水二中2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos15°的值为（）A．B．C．D．2．在△ABC中，∠B为钝角，则有（）A．s inA＞cosB B．s inA＜cosBC．s inA=cosB D．s inA，cosB大小不确定3．函数y=cos2πx的最小正周期是（）A．πB．2πC．1D．24．以下函数在区间（0，）上是减函数的是（）A．y=﹣cosx B．y=﹣sinx C．y=tanx D．5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各式错误的是（）A．若sinA+cosA＜1，则△ABC为钝角三角形B．若a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形C．若•＜0，则△ABC为钝角三角形D．若A、B为锐角且cosA＞sinB，则△ABC为钝角三角形6．在锐角△ABC中，设x=sinA•sinB，y=cosA•cosB．则x，y的大小关系为（）A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y7．已知tanα、tanβ是方程x2+x﹣2=0的两个根，且﹣＜α＜，﹣＜β＜，则α+β的值是（）A．﹣B．﹣C．或﹣D．﹣或8．已知﹣＜α＜﹣π，则的值为（）A．﹣sin B．c os C．s in D．﹣cos9．△ABC中，若A=60°，a=，则等于（）A．2B．C．D．10．在△ABC中，若==，则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡上的相应横线上）．11．在数列{a n}中，若a1=1，a n+1=a n+2（n≥1），则该数列的通项a n=．12．化简（tan10°﹣）•=．13．已知α，β均为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ=．14．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=．15．设f（n）=+++…+（n∈N），那么f（n+1）﹣f（n）等于．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．设数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）（n∈N*）均在函数y=3x﹣2的图象上，求数列{a n}的通项公式．17．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．18．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式．19．设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．20．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若﹣＜β＜0＜α＜，且sinβ=﹣，求sinα的值．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边三边分别为a，b，c，已知f（A）=4sinAsin2（+）+cos2A，若满足|f（A）﹣m|＜2对任意三角形都成立，求实数m的取值范围．四川省广安市邻水二中2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos15°的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用两角差的余弦公式求得cos15°的值．解答：解：cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=﹣=，故选：A．点评：本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．2．在△ABC中，∠B为钝角，则有（）A．s inA＞cosB B．s inA＜cosBC．s inA=cosB D．s inA，cosB大小不确定考点：三角函数值的符号；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数值的符号值进行判断即可．解答：解：在△ABC中，∠B为钝角，则cosB＜0，sinA＞0，则恒有sinA＞cosB，故选：A点评：本题主要考查三角函数取值符号和角的关系，比较基础．3．函数y=cos2πx的最小正周期是（）A．πB．2πC．1D．2考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式可得y=，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．解答：解：∵y=cos2πx=，∴最小正周期T==1．故选：C．点评：本题主要考查了倍角公式，三角函数的周期性及其求法的应用，属于基础题．4．以下函数在区间（0，）上是减函数的是（）A．y=﹣cosx B．y=﹣sinx C．y=tanx D．考点：正切函数的单调性；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数、正弦函数，及正切函数的单调性及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而得出正确选项．解答：解：A．y=cosx在（0，）上是减函数，∴y=﹣cosx在[0，]上是增函数；B．y=sinx在（0，）上是增函数，∴y=﹣sinx在（0，）上是减函数，即该选项正确；C．正切函数y=tanx在上是增函数；D.，∴；而函数y=sinx在上是增函数；∴函数在（0，）上是增函数．故选B．点评：考查正弦函数，余弦函数，及正切函数的单调性，以及根据单调性的定义判断函数的单调性的方法．5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各式错误的是（）A．若sinA+cosA＜1，则△ABC为钝角三角形B．若a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形C．若•＜0，则△ABC为钝角三角形D．若A、B为锐角且cosA＞sinB，则△ABC为钝角三角形考点：余弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：对A，利用两角和正弦公式及正弦函数的单调性，判断角A是否大于直角即可；对B，利用余弦定理判断角C是否为钝角；对C，利用向量数量积公式，判断角B是否为钝角；对D，先化同名三角函数，再利用单调性分析判断即可．解答：解：A选项∵sinA+cosA=sin（A+）＜1，∴sin（A+）＜，∵＜A+＜π+，∴A+＞，∴A＞，故A正确；B选项，cosC=＜0，∴C＞，故B正确；C选项，∵•=﹣•，∴•=||||cosB＞0，∴B＜，故不能确定三角形为钝角三角形，故C错误；D选项，∵cosA=sin（﹣A）＞sinB，又∵若A、B为锐角，∴＞B⇒A+B＜，∴C＞，故D正确．故选：C．点评：本题借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，以及向量的数量积的定义，属于基础题和易错题．6．在锐角△ABC中，设x=sinA•sinB，y=cosA•cosB．则x，y的大小关系为（）A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：运用特殊值法，令A=60°，B=45°代入x和y的表达式，可分别求得x和y的值，则二者的大小可知．解答：解：令A=60°，B=45°x=sinA•sinB=×=，y=cosA•cosB=×=，∴x＞y．故选：B．点评：考查了两角和与差的余弦函数．对于选择题和填空题来说，用特殊值法有时更便捷．7．已知tanα、tanβ是方程x2+x﹣2=0的两个根，且﹣＜α＜，﹣＜β＜，则α+β的值是（）A．﹣B．﹣C．或﹣D．﹣或考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用韦达定理求得tanα+tanβ和tanαtanβ的值，可得tan（α+β）的值，从而结合α+β的范围求得α+β的值．解答：解：∵tanα、tanβ是方程x2+x﹣2=0的两个根，∴tanα+tanβ=﹣，tanα•tanβ=﹣2，∴tan（α+β）==．再根据﹣＜α＜，﹣＜β＜，可得α+β∈（﹣π，π），∴α+β=或﹣，故选：C．点评：本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．8．已知﹣＜α＜﹣π，则的值为（）A．﹣sin B．c os C．s in D．﹣cos考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角公式和根式的性质逐步化简可得．解答：解：∵﹣＜α＜﹣π，∴cosα＜0，∴==﹣cosα，∴原式===|sin|，∵﹣＜α＜﹣π，∴＜＜，∴sin＜0，∴原式=﹣sin故选：A．点评：本题考查三角函数的化简求值，涉及二倍角公式和根式的化简，属基础题．9．△ABC中，若A=60°，a=，则等于（）A．2B．C．D．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：由正弦定理可得2r==2，故==2r=2．解答：解：由正弦定理可得2r===2，（r为外接圆半径）；==2r=2，故选A．点评：本题考查正弦定理的应用，求出2r的值，是解题的关键．10．在△ABC中，若==，则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理将边的关系变为角的关系，进而再由两角和与差的正弦公式确定B=C得到三角形是等腰三角形．解答：解：由=，得=．又=，∴=．∴=．∴sinAcosB=cosAsinB，sin（A﹣B）=0，A=B．同理B=C．∴△ABC是等边三角形．故选B．点评：本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式的应用．三角函数公式比较多，要对公式强化记忆．二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡上的相应横线上）．11．在数列{a n}中，若a1=1，a n+1=a n+2（n≥1），则该数列的通项a n=2n﹣1．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．解答：解：由a n+1=a n+2（n≥1）可得数列{a n}为公差为2的等差数列，又a1=1，所以a n=2n﹣1故答案为2n﹣1点评：本题考查等差数列的定义、等差数列的通项公式．12．化简（tan10°﹣）•=﹣2．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：将tan10°﹣切化弦，通分后用辅助角公式合并，化简得tan10°﹣=，代入原式即可得到所求．解答：解：∵tan10°﹣====∴（tan10°﹣）•=•=﹣2故答案为：﹣2点评：本题将一个三角函数式化简后，求式子的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式、辅助公式等三角恒等变换公式的知识，属于中档题．13．已知α，β均为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：先利用同角三角函数的基本关系求得sinα和sin（α+β）的值，然后利用cosβ=cos[（α+β）﹣α]，根据两角和公式求得答案．解答：解：∵α，β均为锐角，∴sinα==，sin（α+β）==∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．故答案为：点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．熟练记忆三角函数的基本公式是解题的基础．14．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=105．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a1+a2+a3=15，利用等差中项的性质，可求得a2，然后利用a1a2a3=80通过解方程得到公差d，即可求出a11+a12+a13的值．解答：解：设数列的公差为d（d＞0），∵a1+a2+a3=3a2=15∴a2=5．∵a1a2a3=80∴（5﹣d）•5•（5+d）=5（25﹣d2）=80∴d2=25﹣16=9∴d=3∴a11+a12+a13=（a1+a2+a3）+30d=15+90=105故答案为105．点评：本题考查等差数列的性质，通过对等差数列的研究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．是个基础题．15．设f（n）=+++…+（n∈N），那么f（n+1）﹣f（n）等于．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据题中所给式子，求出f（n+1）和f（n），再两者相减，即得到f（n+1）﹣f（n）的结果．解答：解：∵f（n）=+++…+，∴f（n+1）=++…+++，∴f（n+1）﹣f（n）=+﹣=﹣=，故答案为：点评：此题主要考查函数的值，根据已知中的函数解析式，直接代入即可．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．设数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）（n∈N*）均在函数y=3x﹣2的图象上，求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过将点（n，）代入函数y=3x﹣2、整理可知S n=3n2﹣2n，利用a n+1=S n+1﹣S n 可知当n≥2时a n=6n﹣5，验证当n=1时是否成立即得结论．解答：解：∵点（n，）（n∈N*）均在函数y=3x﹣2的图象上，∴=3n﹣2，即S n=3n2﹣2n，∴a n+1=S n+1﹣S n=3（n+1）2﹣2（n+1）﹣（3n2﹣2n）=6（n+1）﹣5，∵a1=S1=3﹣2=1满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=6n﹣5．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．17．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示出BC与AC，由∠ABC=120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．解答：解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC=10t，AC=14t，在△ABC中，∠ABC=120°，根据余弦定理知：（14t）2=（10t）2+122﹣2•12•10tcos 120°，∴t=2或t=﹣（舍去），故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．18．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由题意列方程组求得首项和公差，则答案可求．解答：解：根据题意，得S4=24，S5﹣S2=27．设等差数列首项为a1，公差为d，即，解得：．∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．19．设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据正弦函数图象的对称轴方程，得函数f（x）图象的对称轴方程为2x+ϕ=（k∈Z）．再将代入得到关于ϕ的等式，结合﹣π＜ϕ＜0可得ϕ的值；（II）由（I）得f（x）=sin（2x﹣），由正弦函数的单调区间公式，建立关于x的不等式，解之即可得到y=f（x）的单调增区间．解答：解：（I）函数f（x）=sin（2x+ϕ）图象的对称轴方程为2x+ϕ=（k∈Z）．∵直线是函数图象的一条对称轴，∴2•+ϕ=（k∈Z），结合﹣π＜ϕ＜0，取k=﹣1得ϕ=﹣；（II）由（I）得函数解析式为f（x）=sin（2x﹣），令﹣+2mπ≤2x﹣≤+2mπ（m∈Z），得+mπ≤x≤+mπ（m∈Z），∴函数y=f（x）的单调增区间是[+mπ，+mπ]，（m∈Z）．点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴，求函数的解析式并求单调增区间．着重考查了三角函数的图象与性质和函数的单调性以图象的对称性等知识，属于中档题．20．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若﹣＜β＜0＜α＜，且sinβ=﹣，求sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；向量的模．专题：三角函数的求值．分析：（1）由模长公式和三角函数公式可得|﹣|2=2﹣2co（α﹣β）=，变形可得；（2）结合角的范围分别可得sin（α﹣β）=和cosβ=，而sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos （α﹣β）sinβ，代入化简可得．解答：解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴||=||=1，∴|﹣|2==1+1﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2﹣2cos（α﹣β），又∵|﹣|=，∴|﹣|2=2﹣2cos（α﹣β）=，∴cos（α﹣β）=；（2）∵﹣＜β＜0＜α＜，∴0＜α﹣β＜π，由cos（α﹣β）=可得sin（α﹣β）=，由sinβ=﹣可得cosβ=，∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==点评：本题考查两角和与差的正余弦函数，涉及向量的模长公式，属基础题．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边三边分别为a，b，c，已知f（A）=4sinAsin2（+）+cos2A，若满足|f（A）﹣m|＜2对任意三角形都成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：化简f（A），由A的范围可得f（A）的范围，由恒成立可得m＜[f（x）+2]min且m ＞[f（x）﹣2]max，可得答案．解答：解：（1）化简可得f（A）=4sinA•+cos2A=2sinA（1+sinA）+1﹣2sin2A=2sinA+1，∵x∈R，∴sinx∈[﹣1，1]，∴f（x）的值域是[﹣1，3]；（2）当A∈（0，π）时，sinA∈（0，1]，∴f（x）∈（1，3]，由|f（x）﹣m|＜2可得﹣2＜f（x）﹣m＜2，∴f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立．∴m＜[f（x）+2]min=3，且m＞[f（x）﹣2]max=1．故m的取值范围是（1，3）．点评：本题考查三角函数的恒等变形，涉及恒成立问题，属中档题．。