高中数学人教a版选修1-1课时作业：2.1.4 椭圆的简单几何性质(2) 含解析
人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)
2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准 方程范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。
高中数学人教A版选修2-1课时作业2.2.4 椭圆的简单几何性质(2) Word版含解析
第二章课时作业一、选择题．直线：－－＝与椭圆＋＝的位置关系是( )．相交．相离．相切．不确定解析：∵－－＝，∴＝(－)，即直线过定点()，而()点在＋＝的内部，故与椭圆＋＝相交．答案：．[·清华附中月考]若直线＝＋与椭圆＋＝有两个公共点，则的取值范围是( ). (－∞，)∪(，＋∞) . ()∪(，＋∞). (－∞，－)∪(－) . ()解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．由(\\(＝＋，,()＋()＝))消去，整理得(＋)＋＋＝.若直线与椭圆有两个公共点，则(\\(＋≠，,Δ＝((－(＋(>，))解得(\\(≠－，<或>.))由＋＝表示椭圆知，>且≠.综上可知，的取值范围是>且≠，故选.答案：．已知椭圆＋＝(>>)，()为长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且·＝，－＝－，则其焦距为( )解析：如右图，＝，由·＝⇔∠＝°，＝，∴＝，∴(，－)代入椭圆方程得＋＝，∴＝，又＝，∴＝－＝，∴＝.∴＝.答案：．经过椭圆＋＝的一个焦点作倾斜角为°的直线，交椭圆于、两点．设为坐标原点，则·等于( ) ．－．－．－或－．±解析：不妨设直线过椭圆的右焦点()，则直线的方程为＝－，由(\\(＝－，,()＋＝，))消去，得－＝.设(，)，(，)，则＋＝，＝，∴·＝＋＝＋(－)(－)＝－(＋)＋＝－＋＝－.答案：二、填空题．已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若△是正三角形，则这个椭圆的离心率是．解析：设＝，由△是正三角形知，＝，＝，所以椭圆的离心率＝＝＝＝.答案：．若直线＝＋与椭圆＋＝无公共点，则的取值范围为．解析：由(\\(＝＋，,()＋＝，))得＋(＋)＝.整理得＋＋－＝.Δ＝()－×(－)<，解得>或<－.答案：(－∞，－)∪(，＋∞)．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝(>>)的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点(，)作圆的两切线互相垂直，则离心率＝.解析：如右图，切线、互相垂直，半径垂直于，所以△是等腰直角三角形，故＝，解得＝＝.答案：三、解答题．已知椭圆＋＝，求过点(，)且被平分的弦所在直线的方程．解：解法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为－＝(－)，即＝＋－.由(\\(()＋＝，＝＋()－()，))得(＋)＋(－)＋(－)－＝，设直线与椭圆交于(，)，(，)两点，。
人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(二)
2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。
高中数学选修1-1人教A版：.2椭圆的简单几何性质
一.复习 1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
Y
M
F1
0
F2
特别注意: 当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
X
当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
二.椭圆的简单几何性质
y
观图，你看 到了什么？
o
x
1.范围
x2 a2
by22
1(ab0)
A1(-a,0)
y
B1(0,b)
o
A2(a,0) x
B2(0,-b)
令 x=0，得 y=？椭圆与 y轴的交点（ 0 ， ±b） 令 y=0，得 x=？椭圆与 x轴的交点（±a ，0 ）
a xa b y b
从图：椭圆位于直线
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1k2· （ x1x2 ） 24x1x2
= 1k12· （y1y2） 4y1y2 （适用于任何曲线）
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
1直线与椭圆的位置关系
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x
x
2
2
4
5 1
5
5x24x10----- (1)
x2+4y2=2
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.4椭圆的几何性质(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.4 椭圆的几何性质（二）同步练习题【基础演练】题型一：由椭圆的方程研究椭圆的性质 椭圆的几何性质：请根据以上知识解决以下1~5题。
1. 方程1m16y m 25x 22=++-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A. 25m 16<<- B. 25m 29<< C. 29m 16<<- D. 29m >2. 椭圆13y 12x 22=+的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 中的中点在y 轴上，那么|PF |1是|PF |2的A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍3. 椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为A.22 B.23 C.35 D.36 4. 如果椭圆19y 8k x 22=++的离心率是21，那么实数k 的值为__________。
5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆长轴端点的最短距离是3，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y 轴上的椭圆的焦点坐标、离心率。
题型二：由椭圆的几何性质求椭圆的方程 （1）充分利用椭圆的几何性质，以及a 、b 、c 、e 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）利用椭圆的几何性质求标准方程的一般步骤是：①求基本参数a 、b ；②确定焦点所在坐标轴；③写出方程。
请根据以上知识解决以下6~8题。
6. 已知椭圆1b y a x 2222=+（0b a >>）的离心率为23，338ba a 222=-，则椭圆方程为A. 13y 4x 22=+ B.13y 16x 22=+ C.112y 16x 22=+ D.14y 16x 22=+7. 离心率为23，且过点（2，0）的椭圆的标准方程是A. 1y 4x 22=+B. 1y 4x 22=+或14y x 22=+ C. 1y 4x 22=+ D. 1y 4x 22=+或116y 4x 22=+ 8. 已知椭圆b y ax 222+1=（0b a >>），A （2，0）为长轴的一个端点，过椭圆的中心O 的直线交椭圆于B 、C 两点，且0=⋅，2||=-||-，求此椭圆的方程。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)
2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______ 焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是______ 离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.4双曲线的简单几何性质(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.4 双曲线的简单几何性质（二）同步练习题【基础演练】题型一：由双曲线的方程研究其几何性质请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 双曲线1b y a x 2222-=-的离心率为45，则其渐近线为A.016y9x =± B.09y16x =± C.04y3x =± D.03y4x =± 2. 双曲线的渐近线为43y ±=x ，则双曲线的离心率是A.45 B. 2 C.45或35 D.25或315 3. 双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是A. 45°B. 30°C. 60°D. 90°4. 求双曲线144y 9x 1622-=-的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标，渐近线方程。
题型二：由双曲线的几何性质求其方程 充分利用双曲线的几何性质，以及a 、b 、c 、e 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出双曲线的标准方程，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 中心在坐标原点，离心率为35的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为A. x 45y ±=B. x 54y ±=C. x 34y ±=D. x 43y ±=6. 双曲线以椭圆125y 9x 22=+的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为___________。
7. 已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的离心率332e =，过A （0，b -）和B （a ，0）的直线与原点间的距离是23。
（1）求此双曲线的方程；（2）直线5kx y +=（0k ≠）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求k 的值。
题型三：创新应用8. 1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠=21PF F 60°，312S 21F PF =△，又离心率2e =，求双曲线方程。
高中数学选修1-1课时作业10：2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)
2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)一、选择题1.椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A.8,2B.5,4C.5,1D.9,12.过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A.67B.167C.716D.763.已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( )A.b 2B.abC.acD.bc 4.若直线ax ＋by ＋4＝0和圆x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(a ，b )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的公共点个数为( )A.0B.1C.2D.需根据a ，b 的取值来确定5.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )A.x ＋2y －3＝0B.2x ＋y －3＝0C.x －2y ＋3＝0D.2x －y ＋3＝0 6.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22B.±22C.12D.±12二、填空题7.直线x ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________. 8.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________.9.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________.10.若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，若n m ＝2，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为________.三、解答题11.已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线x －3y ＋2＝0的交点，点M 是AB 的中点，且点M 的横坐标为－12，若椭圆C 的焦距为8，求椭圆C 的方程.12.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点). (1)求证：1a 2＋1b 2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈[33，22]，求椭圆长轴长的取值范围.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程.[[答案]]精析1.D2.B [椭圆的方程可化为x 24＋y 22＝1， ∴F (－2，0).又∵直线AB 的斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3x ＋ 6.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋6，x 2＋2y 2＝4，得7x 2＋122x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝167.] 3.D4.C [∵直线与圆没有交点，∴d ＝4a 2＋b 2>2，∴a 2＋b 2<4，即a 2＋b 24<1， ∴a 29＋b 24<1， ∴点(a ，b )在椭圆内部，故直线与椭圆有2个交点.]5.A [易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0.设交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32， 即x ＋2y －3＝0.]6.B7.(－3，3) 8.3－1[[解析]] 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0).∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3， 即F 1M ⊥F 2M .∴在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，F 2M ＝3c ， ∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 9.53[[解析]] 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，∴S △OAB ＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积).10.22[[解析]] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋ny 21＝1， ①mx 22＋ny 22＝1， ② ①－②得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即m n ＋y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝0.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－1，m n ＝22， ∴y 1＋y 2x 1＋x 2＝22， ∴k OM ＝22. 11.解 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，依题意得⎩⎨⎧ x 2A a 2＋y 2A b 2＝1，x 2Ba 2＋y 2Bb 2＝1，∴2x M a 2＋2y M b2k AB ＝0， ∵点M (－12，12)， ∴－1a 2＋1b 2×13＝0， ∴a 2＝3b 2.又∵c ＝4，∴a 2＝24，b 2＝8，经检验，a 2＝24，b 2＝8符合题意，∴椭圆C 的方程为x 224＋y 28＝1. 12.解 (1)椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0，消去y ， 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0，得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2.∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0， ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b 2等于定值. (2)∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2. 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6].13.解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)， 所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12， 所以b 2a 2＝34.② 解①②得，a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)， 2ABF S ∆＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k |(－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-2《椭圆的简单几何性质》
2 A. 2 C．2－ 2
2－1 B. 2 D. 2－1
()
[答案] D
[解析] 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)如图， ∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)代入椭圆方程得 ac22＋yb2P2＝1，∴y2P＝ba42， ∴|PF1|＝ba2＝|F1F2|，即ba2＝2c， 又∵b2＝a2－c2，∴a2－a c2＝2c， ∴e2＋2e－1＝0， 又 0<e<1，∴e＝ 2－1.
[点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求 的值，所以， 解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间 的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2 －b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是 平方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴 的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则 椭圆的离心率为
[点评] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步 骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式，(2) 确立关于a、b、c的关系方程(组)，求出参数a、b、c，(3)写 出标准方程．
求适合下面条件的椭圆的标准方程． (1)经过点P(－5,0)、Q(0，－3)． (2)长轴的长为10，离心率等于
已知 A(4,0)、B(2,2)是椭圆2x52 ＋y92＝1 内的两个点， M 是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．
[解析] 如下图所示，由2x52 ＋y92＝1，得 a＝5，b＝3， c＝4.
所以点 A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为 F(－ 4,0)．
又因为|MA|＋|MF|＝2a＝10， 所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|， 又|BF|＝2 10， 所以－2 10＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2 10.
高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.2《椭圆的简单几何性质》课时2
b2
a2
c2
20 9
所求椭圆的标准方程为
1 x2
y2
5
20
9
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
5
A. 1
B. 3 1
3
C. 2 2
D. 2 1
【解答】(1)选D.由题意，A(-a,0),F1(-c, 0),F2(c,0),不妨设 D(0,b),
因为
所以3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b),
b a2 c2 4.12 2.252 3.4.
所以, 所求的椭圆方程为4x.122
y2 3.4 2
1.
椭圆的第二定义
y
l
Md H
oF
x
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？ 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？
若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线
2、顶点: (-a,0)、(a,0)、(0,-b)、(0,b) . y
3、对称性：椭圆既是 轴 对称图形，
也是 中心 对称图形. c
4、离心率: e= a ( 0 <e< 1 )
A1
F1
B2 M
b
o
a
A2
c F2 x
5、a、b、c的关系 a2=b2+c2 .
B1
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
即
3c 3b
a 所 2以c, a=5c,
3b,
所以e c 1 .
a5
(2)选B.因为AF1⊥AF2，OB⊥AF1, 所以|OB|= 12|AF2|= 12|OF1| =1 c.
高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.2《椭圆的简单几何性质》
__ay_22_＋__xb_22_＝__1_ (_a_＞__b_＞__0_)_
【提升总结】
基本量：a，b，c，e（共四个量）. 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 2、确的问题就可以解决了！
x2 y2 1 25 16
y 4
3 2 O1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -11 2 3 4 -2 -3
e
c. a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
y
当e c 1, c a, a
b
b a2 c2 0, 椭圆 扁
●c
当e c 0, c 0,
O
a
b a2 c2 a, 椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
总之： 离心率 e
1(a
b
0)
|x| b |y| a
对称性 焦点 顶点 离心率
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b) e= c a
(b,0)、(0,a) (0<e<1)
典例展示
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦
2.1 椭圆
2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）
通过视频介绍国家大剧院。 为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢?
国家大剧院采用椭球设计
如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作 成一个最大的椭圆呢？
长方形
8cm
10cm
范围
以焦点在X轴上的为例：
高中数学选修1-1课时作业7：2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)
2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)一、选择题1.已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( )A.b 2B.abC.acD.bc2.已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( )A.k <－22或k >22B.－22<k <22C.k ≤－22或k ≥22 D.－22≤k ≤22 3.直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A.2x －3y －1＝0B.3x －2y －4＝0C.2x ＋3y －7＝0D.3x ＋2y －8＝0 4.若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A.2个B.至多一个C.1个D.0个 5.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 6.过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A.67B.167C.716D.76二、填空题7.已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.8.以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________.9.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________.三、解答题10.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程.11.已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围.12.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程.13.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程.[[答案]]精析1.D2.C3.D4.A [若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，即m 2＋n 24<1. ∴m 29＋n 24<1， ∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点.]5.C [∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2.由题意知椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P (x ，y )，则|OP |min ＝b ，∴c <b ，即c 2<a 2－c 2.解得e ＝c a <22. ∵0<e <1，∴0<e <22.] 6.B [椭圆的方程可化为x 24＋y 22＝1， ∴F (－2，0).又∵直线AB 的斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3x ＋ 6.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋6，x 2＋2y 2＝4，得7x 2＋122x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227， x 1x 2＝87， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝167.] 7.27 8.2－1或22[[解析]] 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m ，2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m (1＋2)m＝2－1. 9.53[[解析]] 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积).10.解 由题意得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12， ∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. 11.解 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0. 若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点， 则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)>0，即m 2<7，解得－7<m <7.即m 的取值范围是(－7，7).12.解 由⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.13.解 由题意知离心率e ＝c a ＝23，c ＝23a ，由b 2＝a 2－c 2，得b ＝53a .∴椭圆C 的方程为x 2a 2＋9y 25a 2＝1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3(x －c )，即y ＝3⎝⎛⎭⎫x －23a ，与①联立得 32x 2－36ax ＋7a 2＝0，(4x －a )·(8x －7a )＝0， 解得x 1＝a 4，x 2＝7a 8.由|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2|a 4－7a 8|＝54a ＝154，解得a ＝3，∴b ＝53a ＝ 5.∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
高中数学人教A版选修1-1练习课件：2.1.4 椭圆的简单几何性质
ay212＋bx212＝1， ① ay222＋bx222＝1， ②
第十一页，编辑于星期日：二十三点 二十四分。
①－②得 y21－a2 y22＋x21－b2 x22＝0， y1＋y2a2y1－y2＝－x1－x2b2x1＋x2， ∴－y1－a2 y2＝－x1－b2 x2， yx11－ －yx22＝ba22＝a2－a2 c2＝a2－a250＝3.
4．中心在原点，焦点坐标为(0，±5 2)的椭圆被直线 3x
－y－2＝0
截
得
弦
的
中
点
的
横
坐
标
为
1 2
，
则
椭
圆
方
程
为
________．
解析：椭圆焦点在
y
轴上，可设方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)，
设直线 3x－y－2＝0 交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
x1＋x2＝1，y1＋y2＝3(x1＋x2)－4＝－1，且
第三页，编辑于星期日：二十三点 二十四分。
课堂对点训练
第四页，编辑于星期日：二十三点 二十四分。
知识点一
直线与椭圆的交点问题
1.已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y ＋4＝0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 2
B．2 6
C．2 7
D．4 2
第五页，编辑于星期日：二十三点 二十四分。
即|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
＝ x1－x22＋x1＋1－x2－12
＝ 2 x1－x22＝ 2 x1＋x22－4x1x2
＝2
－852＝8
5
2 .
人教A版数学高二选修1-1课时2.1.2椭圆的简单几何性质
课时达标训练（七） [即时达标对点练]题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.62．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9题组2 由椭圆的几何性质求标准方程4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．86．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为_______________________．题组3 椭圆的离心率7．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.238．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( )A.513B.35C.45D.12139．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．[能力提升综合练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52 B.33 C.12 D.133．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13 D.124．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为4 5 的椭圆方程是________． 5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5，4)，则椭圆的方程为________．6．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝⎛⎭⎫1，432，N ⎝⎛⎭⎫－322，2两点，求椭圆的标准方程．8．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．答 案即时达标对点练1. 解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2. 解析：选D 由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69.3. 解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.4. 解析：选A 因为2a ＝18，2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.5. 解析：选D 由题意得m －2>10－m 且10－m >0，于是6<m <10，再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.6. 解析：依题意可设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，半焦距为c ，∵椭圆G 的离心为率为32， ∴c a ＝32⇒c ＝32a . ∵椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12， ∴2a ＝12⇒a ＝6.∴c ＝33，b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝17. 解析：选A 化为标准方程为x 24＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴e ＝c a ＝32.8. 解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a －c ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋c ＝9. 当a －c ＝9时，由b 2＝9得a 2－c 2＝9＝(a －c )(a ＋c )， a ＋c ＝1，则a ＝5，c ＝－4(不合题意)．当a ＋c ＝9时，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，故e ＝45.9. 解：如图，连接BF 2.∵△AF 1F 2为正三角形， 且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥AF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 根据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， ∴ca＝3－1. ∴椭圆的离心率e 为3－1.能力提升综合练1. 解析：选A 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 2. 解析：选B 记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33.3. 解析：选D又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.4. 解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝15. 解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5，4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝16. 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，c 为半径的圆． 因为点M 总在椭圆内部，所以c <b ， 所以c 2<b 2＝a 2－c 2，所以2c 2<a 2，所以e 2<12，所以0<e <22.答案：⎝⎛⎭⎫0，22 7. 解：当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).将点M ⎝⎛⎭⎫1，432，N ⎝⎛⎭⎫－322，2代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12a 2＋⎝⎛⎭⎫4322b2＝1，⎝⎛⎭⎫－3222a 2＋（2）2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．将点M ⎝⎛⎭⎫1，432，N ⎝⎛⎭⎫－322，2代入上式得 ⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫4322a 2＋12b2＝1，（2）2a 2＋⎝⎛⎭⎫－3222b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝9.因为a >b >0，所以舍去， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.8. 解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >m m ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝ m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1，0)，A 2(1，0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12.。
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课时作业13
一、选择题
1．直线l ：kx －y －k ＝0与椭圆x 24＋y 2
2＝1的位置关系是( )
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不确定
解析：∵kx －y －k ＝0，∴y ＝k(x －1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在
x 2
4＋y 22＝1的内部，故l 与椭圆x 24＋y 2
2
＝1相交． 答案：A
2．[2014·清华附中月考]若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2
3＝1有两个公共点，则
m 的取值范围是( )
A. (－∞，0)∪(1，＋∞)
B. (1,3)∪(3，＋∞)
C. (－∞，－3)∪(－3,0)
D. (1,3)
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．由⎩⎨⎧
y ＝x ＋2，
x 2
m ＋y
2
3＝1
消去y ，整理
得(3＋m)x 2＋4mx ＋m ＝0.
若直线与椭圆有两个公共点， 则⎩⎨⎧
3＋m ≠0，Δ＝(4m )2
－4m (3＋m )>0，解得
⎩⎨
⎧
m ≠－3，m<0或m>1.
由x 2m ＋y 2
3
＝1表示椭圆知，m>0且m ≠3.综上可知，m 的取值范围是m>1且m ≠3，故选B.
答案：B
3．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点， 弦BC 过椭圆的
中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →
|，则其焦距为( )
A.26
3
B.433
C.46
3
D. 23
3
解析：如下图，a ＝2，由AC →·BC →
＝0⇔∠C ＝90°， |BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|，
∴C(1，－1)代入椭圆方程得14＋1
b 2＝1，
∴b 2＝43，又a 2＝4，∴c 2＝4－43＝83，∴c ＝263.
∴2c ＝463.
答案：C
4．经过椭圆x 2
2＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B
两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )
A ．－3
B ．－13
C ．－1
3
或－3
D ．±13
解析：不妨设直线l 过椭圆的右焦点F(1,0)，
则直线l 的方程为y ＝x －1，由⎩⎨⎧
y ＝x －1，
x
2
2＋y 2
＝1，
消去y ，得3x 2－4x ＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4
3
，x 1x 2＝0，
∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－43＋1＝
－13
. 答案：B 二、填空题
5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________．
解析：设AF 1＝1，由△ABF 2是正三角形知，|AF 2|＝2，|F 1F 2|＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||AF 1|＋|AF 2|＝3
3
.
答案：3
3
6．若直线y ＝2x ＋b 与椭圆x 2
4
＋y 2＝1无公共点，则b 的取值范围为________．
解析：由⎩⎨⎧
y ＝2x ＋b ，
x
2
4＋y 2
＝1，
得x 2
4
＋(2x ＋b)2＝1. 整理得17x 2＋16bx ＋4b 2－4＝0. Δ＝(16b)2－4×17(4b 2－4)<0， 解得b>17或b<－17.
答案：(－∞，－17)∪(17，＋∞)。