2.2.2椭圆的简单几何性质(最全).pdf
椭圆的简单几何性质(最全)
42 52
41
25 9
尝试遇到困难怎么办? 作出直线 l 及椭圆,
几何画板显示图形
观察图形,数形结合思考.
36
直线与椭圆的位置关系 ：
直线和椭圆方程分别为
y
: Ax By C
y
0
，x a
2 2
y2 b2
1
y
F1 o
F2 x F1 o
F2 x F1 o
F2 x
Ax By C 0
则由 x2 y2
x2 y2 1
4 16
x2 y2 综上所述，椭圆的标准方程是 1
或
x2 y2 1
41
4 16
15:01:32
26
练习2：
已知椭圆 x2 y2 1 的离心率 e 1
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在 轴上时，
k ，求 的值
a2 k 8 b2 9
y 由
e
1 2
，得：
k
4
当椭圆的焦点在 轴上时，
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率
为
1。
3
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=______5____
回顾
[1]椭圆标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
2.2.2椭圆的简单几何性质2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 、 1 形，则其离心率为 2 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 、 的两个焦点把长轴分成三等分， 1 离心率为 3 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 则其离心率 5
如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地 例1 如图 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 是以地 地球的中心)F 已知它的近地点A(离 心(地球的中心 2为一个焦点的椭圆 已知它的近地点 离 地球的中心 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点 地面最近的点)距地面 距地面439km,远地点 距地面 远地点B距地面 地面最近的点 距地面 远地点 距地面2384km.并且 并且 F2、A、B在同一直线上，地球半径约为 在同一直线上， 、 在同一直线上 地球半径约为6371km,求卫星运 求卫星运 行的轨道方程（精确到1km). 行的轨道方程（精确到
( x − c)2 + y2 a2 −x c
c = . a
将上式两边平方，并化 ，得 将上式两边平方， 简
a （ 2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2(a2 − c2 ). a 设 2 − c2 = b2 ,则方程可化成 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0). 2 a b
这是椭圆的标准方程， 所以点 的轨迹是长轴、短轴长 M 的轨迹是长轴、 这是椭圆的标准方程，
x y + 2 =1 2 a b
(a > b > 0),
F1 B D
Y
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2椭圆的角的几何性质及应用
§2.2.2椭圆的简单几何性质及应用学习目标：1、理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题. 2、培养学生数形结合的意识和独立分析、解决问题的能力. 重、难点：椭圆的几何性质和简单应用（重点）；几何性质的灵活应用（难点）. 学习过程：一、课前准备 （预习课本P 43----P 48找出疑惑之处），并填写下列知识要点 （1）椭圆的简单几何性质（2）椭圆的离心率对椭圆扁圆程度的影响因为0>>c a ，所以10<<e . e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越 ；反之，e 越接近0，c 越接近0，从而b 越接近a ，这时椭圆就越接近 . 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点 ，图形变为 ，它的方程为 .（3）若点)(y x M ，与定点)0(，c F 的距离和它到定直线l ：c a x 2=的距离的比是常数ac（0>>c a ），则点M 的轨迹是 ，定点)0(，c F 是椭圆的一个焦点，直线l ：c a x 2=称为相应于焦点F 的准线. 由椭圆的对称性，相应于焦点)0(，c F -'，椭圆的准线是l '：ca x 2-=.焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 上图形标 准 方 程范 围 顶 点轴 长 长轴长 短轴长长轴长 短轴长 焦 点 焦 距对称性 对称轴 ，对称中心离心率1F ∙xy O∙ 2F 1A 2A 1B2B 2F 1F∙x ∙ 1A2A 1B 2B Oy（4）椭圆中一些重要量及重要结论① “四线”是指 ；“六点”是指 . ② 焦半径：焦点在x 轴上时，=||1MF , =||2MF . 焦点在y 轴上时，=||1MF , =||2MF . ③ 焦准距： . ④ 通径： . ⑤ 焦点三角形面积公式： .⑥ 焦点到椭圆上的最短距离为 ，最大距离为 .二、新课导学学习探究一、 椭圆的范围观察右图，容易看出椭圆上点的横坐标的范围是a -≤x ≤a ，纵坐标的范围 是b -≤y ≤b . 下面，我们利用方程（代数方法）研究上述取值范围. 由方程)0(12222>>=+b a by a x 可知 012222>-=ax b y ，所以椭圆上点的横坐标都适合不等式22a x ≤1，即a -≤x ≤a ，同理有22b y ≤1，即b -≤y ≤b . 这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形框里. 【例1】、已知中心在原点的椭圆经过（2， 1）点，求该椭圆的半长轴长a 的取值范围.跟踪训练：已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值 范围是 （ ） A. [6， 10] B. [6， 8] C. [8， 10] D. [16， 20]学习探究二、 椭圆的对称性（1）判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的方法：① 若把方程中的x 换成x -，方程不变 则曲线关于y 轴对称；② 若把方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于y 轴对 称；③ 若把方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称.（2）由（1）可知，椭圆关于x 轴、y 轴、原点都是对称的. 这时坐标轴是它的对称轴， 原点是它的对称中心，椭圆的对称中心又叫椭圆的中心. 因此，椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形.（3）椭圆对称性的应用：① 在利用描点法画椭圆时，只要作出第一象限的图象，其它象∙ x y O ∙ax -= a x =b y -=b y =限的图象可以利用对称性画出；② 在研究满足一定条件的点的性质时，只要研究点位于第一象限的情形，其它象限的情形可利用对称性得到.【例2】、已知点（3， 2）在椭圆12222=+by a x 上，下列给出的三个点（2,3--），（23-，）， （2,3-）中在该椭圆上的是 .跟踪训练：已知21F F ，是椭圆1204522=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的任一点，若21PF F ∠为 锐角，求P 点的横坐标的取值范围.学习探究三、 椭圆的顶点、长轴和短轴（1）顶点：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与对称轴的四个交点：)0,()0,(21a A a A 、-，),0(),0(21b B b B 、-叫椭圆的顶点；椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的四个顶点是)0()0(21a A a A ，、，-，)0()0(21，、，b B b B -.（2）长轴、短轴：线段21A A 叫做椭圆的长轴，且a A A 2||21=，a 是长半轴长；线段21B B 叫做椭圆的短轴，且b B B 2||21=，b 是短半轴的长.（3）椭圆的焦点永远在长轴上.【例3】、若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦 点到椭圆上的最短距离为3，求该椭圆的方程.跟踪训练：)0,(c F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，F 与椭圆上的点的距离最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的是 .学习探究四、 椭圆的离心率（1）椭圆离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作ac a c e ==22.（2）离心率的范围：因为0>>c a ，所以10<<e .（3）离心率e 与b a 、的关系：因为222b ac -=，所以22221ab a b a ace -=-==. （4）当1→e 时，椭圆越扁，当0→e 椭圆越圆. 特别地，当1=e 时，图形变为圆.【例4】、已知1F 为椭圆的左焦点，B A 、分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当A F PF 11⊥，AB PO //（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.跟踪训练：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过椭圆的右焦点作x 轴垂线交椭圆与B A 、两点，若0=⋅OB OA ，求椭圆的离心率.三、当堂检测1、已知)0,0(121>>=+n m nm ，则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的离心率是.2、椭圆1422=+y x 的两个焦点为21F F ，，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF 等于 （ ） 23.A 3.B 27.C 4.D 3、已知椭圆的一个焦点将长轴分成2 : 1两部分，且经过点（4,23-），求椭圆的标准方 程.4、已知椭圆191622=+y x ，求其内接三角形面积的最大值. 5、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点D C B A 、、、构成的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求该椭圆的离心率.。
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.2
问题 5 比较下列椭圆的形状， 哪一个更圆， 哪一个更扁？ 为什么？
2 2 x y 4x2＋9y2＝36 与 ＋ ＝1 25 20 2 2 x y 答案 将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1，
则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心 5 x 2 y2 率 e＝ 3 ；椭圆25＋20＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5， 5 2 2 c＝ a －b ＝ 5，故离心率 e＝ 5 .
解
x y 把椭圆的方程化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1.
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3， 短半轴长 b＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分 5 c 别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率 e＝a＝ 3 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
b c 问题 4(1)a或b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ c (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝a越大，椭 c 圆越扁？e＝a越小，椭圆越圆吗？ a2－c2 b 2 答案 (1)都能．由a＝ 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知， a
b 当 e 越趋近于 1 时，a越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋 b 近于 0 时，a越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a ＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆。 c (2)如图，在 Rt△ BF2O 中，cos∠ BF2O＝ ， a c c 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小， a a
由于前一个椭圆的离心率较大， 因此前一个椭圆更扁， 后 一个椭圆更圆．
2.2.2椭圆的简单几何性质
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b