自动控制原理 第5章-电子素材

第五章 线性系统的校正方法5.1 控制系统综合与校正的概念自动控制系统的工程研究，主要包含控制系统的分析和设计两大内容。

分析是指建立起系统的数学模型，利用对系统进行动、静态性能指标的计算，研究性能指标与参数的关系。

设计是根据控制系统的运行需要，提出性能指标，根据控制对象，合理地选择控制方案，计算参数和选择元器件，通过仿真和实验研究，建立起能满足稳态和暂态过程性能指标的实用系统。

在系统原有结构的基础上引入新的附加环节，作为同时改善系统稳态性能和动态性能的手段。

这种用添加新的环节去改善系统性能的过程称为对控制系统的校正，附加的环节称为校正装置。

5.2 线性系统时域校正常用的校正方式有串联校正，反馈校正和顺馈（复合）校正，相应在系统中的连接方式如图5-1 所示。

图中)(s G c 为待求的校正装置。

5.2.1 反馈校正1. 负反馈可以降低参数变化及非线性特性对系统的影响图5-1 不同形式的校正方式(a)串联校正 (b)反馈校正 (c)按输入补偿的复合控制 (d)按扰动补偿的复合控制R (s )R (s )R (s )R (s )C (s )C (s )C (s )C (s )N (s )对如图5-2（a ）所示的开环系统，由于参数变化或其他因素引起传递函数)(s G 改变，产生增量)(s G ∆，导致输出为[])()()()()(s R s G s G s C s C ⋅∆+=∆+(5-1)产生的输出增量 )()()(s R s G s C ⋅∆=∆。

对如图5-2（b ）所示的闭环系统则对应有[])()()()(1)()()()()()(s R s H s G s G s G s G s R s s C s C ⋅⋅∆++∆+=⋅Φ=∆+ (5-2))()()(1)()(s R s H s G s G s C ⋅+∆≈∆ (5-3)2. 比例负反馈可以减小被包围环节的时间常数，提高其响应的快速性如图5-3所示，环节 1)(+=Ts Ks G 被比例负反馈包 围后系统的传递函数为11)(+''=++='s T K KK Ts K s G h (5-4) 式中 hKK TT +='1， h KK K K +='1反馈后系统的时间常数T T <'，动态特性得以改善。

但其增益K '同时降低，需要进行补偿。

3. 抑制系统噪声5.2.2 复合校正复合校正分为按扰动补偿和按输入补偿两种方式。

1． 按输入补偿复合校正由图5-4可知，系统的输出量为1212[()()]()()()1()()c G s G s G s C s R s G s G s +=+图5-3 系统结构图图5-4 按输入补偿的复合控制(5-5)取 21()()c G s G s =(5-6) 则 C (s ) =R (s ) (5-7) 由于 2121()()()()()1()()c e G s G s E s s R s G s G s -Φ==+ (5-8) 只要取21()()c G s G s =，恒有E (s )=0 。

前馈装置G c (s ) 的存在，实现了系统误差全补偿。

2． 按扰动补偿复合校正如图5-5所示。

扰动作用下的输出为2112()[1()()]()()1()()c G s G s G s C s N s G s G s +=+(5-9)扰动作用下的误差为 2112()[1()()]()()()1()()c G s G s G s E s C s N s G s G s +=-=-+ (5-10)若选择前馈补偿装置的传递函数 11()()c G s G s =-(5-11) 则必有C (s )=0，E (s )=0，即输出不受干扰影响，式(5-11)称为扰动的误差全补偿条件。

5.3线性系统的频域分析与校正5.3.1 频率特性的基本概念一、频率特性的定义线性定常系统(或元件)的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号的复数比。

用)(ωj G 表示)()()()()(ωϕωωωωϕ∠==A e A j G j （5-12）二、频率特性和传递函数的关系图5-5 按干扰补偿的复合控制系统的传递函数 )())(()()()()(21n p s p s p s s M s X s Y s G +++==（5-18） 在正弦信号t X t x ωsin )(=作用下，由式（5-18）可得输出信号的拉氏变换为 12()()()()()()()n M X Y s s p s p s p s j s j ωωωω=⋅++++- ωωj s C j s C p s C p s C p s C a a n n -++++++++=- 2211 （5-19） 根据频率特性的定义，线性系统的幅频特性和相频特性为)()(ωωj G A XY== （5-28） )(ωj G ∠ （5-29） 频率特性和传递函数的关系为ωωj s s G j G ==)()( （5-30） 即传递函数的复变量s 用ωj 代替后，即为频率特性。

三、频率特性的几种图示方法常见的四种频率特性图示法如表5-1所示。

表5-1 常用频率特性曲线及其坐标5.3.2幅相频率特性（Nyquist 图）一、典型环节的幅相频率特性曲线（1）比例环节比例环节的传递函数为K s G =)( （5-14）其频率特性K j G =)(ω00j Ke j =+⎩⎨⎧︒=∠===0)()()()(ωωϕωωj G Kj G A （5-15） 比例环节的幅相特性是G 平面实轴上的一个点，如图5-6所示。

（2）微分环节微分环节的传递函数为s s G =)( （5-16） 其频率特性︒=+=900)(j e j j G ωωω ⎩⎨⎧︒==90)()(ωϕωωA （5-17） 微分环节的幅值与ω成正比，相角恒为︒90。

当∞→=0ω时，幅相特性从G 平面的原点起始，一直沿虚轴趋于∞+j 处，如图5-7曲线①所示。

（3）积分环节积分环节的传递函数为 ss G 1)(= （5-18） 其频率特性︒-=+=90110)(j e j j G ωωω图5-7 微、积分环节幅相特性曲线⎪⎩⎪⎨⎧︒-==90)(1)(ωϕωωA （5-19） 积分环节的幅值与ω成反比，相角恒为-︒90。

当∞→=0ω时，幅相特性从虚轴∞-j 处出发，沿负虚轴逐渐趋于坐标原点，如图5-7曲线②所示。

（4）惯性环节惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G （5-20） 其频率特性ωωωωT j e T jT j G arctan 221111)(-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ωωϕωωT T A arctan )(11)(22 （5-21）惯性环节幅相特性曲线如图5-8中①所示。

对于不稳定的惯性环节，其传递函数为11)(-=Ts s G (5-22) 其频率特性为ωωjT j G +-=11)(⎪⎩⎪⎨⎧+︒-=+=ωωϕωωTT A a r c t a n 180)(11)(22 （5-23） 其幅相特性曲线如图5-8中②所示。

（5）一阶复合微分环节一阶复合微分环节的传递函数为1)(+=Ts s G （5-24） 其频率特性图5-8 惯性环节幅相特性曲线（6）二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数为102121)(22222<<++=++=ξωξωωξnn n s s T s T s G （5-27）式中，T n 1=ω为环节的无阻尼自然频率；ξ为阻尼比，10<<ξ。

相应的频率特性为n nj j G ωωξωωω2)1(1)(22+-=（5-28）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+-=2222222212arctan )(4)1(1)(n n n n A ωωωωξωϕωωξωωω （5-29） 二阶振荡环节幅相特性的形状与ξ值有关，当ξ值分别取0.4、0.6和0.8时，幅相曲线如图5-10所示。

不稳定二阶振荡环节的幅相特性不稳定二阶振荡环节的传递函数为2222)(nn n s s s G ωζωω+-= （5-30） 不稳定二阶振荡环节的幅相曲线如图5-11所示。

（7）二阶复合微分环节图5-10振荡环节幅相频率特性图5-11 不稳定振荡环节幅相曲线图二阶复合微分环节的传递函数为 1212)(222++=++=nnss Ts Ts s G ωξωξ （5-31）频率特性为n n j j G ωωξωωω21)(22+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-= （5-32） ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2222222212arctan )(41)(n n n n A ωωωωξωϕωωξωωω 二阶复合微分环节幅相特性曲线如图5-12中①所示。

不稳定二阶复合微分环节的频率特性为nnj j G ωωξωωω21)(22--= （5-33） 其幅相特性曲线如图5-18中②所示。

（8）延迟环节延迟环节的传递函数为 se s G τ-=)( （5-34）频率特性为τωωj e j G -=)( （5-35）⎩⎨⎧-==τωωϕω)(1)(A 其幅相特性曲线是圆心在原点的单位圆（如图5-13所示）。

二、开环系统的幅相频率特性曲线如果已知开环频率特性)(ωj G ，可令ω由小到大取值，算出)(ωA 和)(ωϕ相应值，在G 平面描点绘图可以得到准确的开环系统幅相特性。

当系统在右半s 平面不存在开环零点、极点时，系统开环传递函数一般可写为图5-12 二阶复合微分环节幅相特性)()1()1)(1()1()1)(1()(2121m n s T s T s T s s s s K s G n m >++++++=-υυτττ (5-36)开环幅相曲线的起点)0(+j G 完全由K ，υ确定，而终点)(∞j G 则由m n -来确定。

⎩⎨⎧>-∞∠=∠=+时时09000)0(υυυK j G)(900)(m n j G --∠=∞ (5-37)而∞→=+0ω过程中)(ωj G 的变化趋势，可以根据各开环零点、极点指向ωj s =的矢量之模、相角的变化规律概略绘出。

5.3.3 对数频率特性（Bode 图）在对数频率特性（伯德图）中，对数幅频特性是)(ωj G 的对数值)(lg 20ωj G 和频率ω的关系曲线；对数相频特性则是)(ωj G 的相角)(ωϕ一、 典型环节的Bode 图1. 比例环节 频率特性为K j G =)(ω (5-38)显然，它与频率无关，其对数幅频特性和对数相频特性分别为)(lg 20)(==ωϕωKL (5-39)其Bode 图如图5-14所示。

2. 微分环节ωj对数幅频与对数相频特性为90)(lg 20)(==ωϕωωL (5-40)对数幅频曲线在1=ω处通过dB 0线，斜率为dec dB /20；对数相频特性为 90+直线。