第十五章碰撞_理论力学

应选
，即小锤大砧。
打桩也属于这种情况。不过我们希望碰撞结束后，桩应获得最大的动能，以使桩克服土
壤的阻力前进，即碰撞过程中系统的动能损失应尽可能地小。为此，应选 大锤小桩。
，即
4. 两球的斜碰撞
当球心速度不在连心线上时，两球发生斜碰撞，这
时两球球心均作二维平面运动（球是光滑的，因而碰撞后不发生转动）。建立坐标系 Oxy 将
在理想情况下，可以有 ，即材料变形完全不能恢复，称为塑性碰撞（例如粘土）。 这时，两球相撞后粘在一起运动。
在理想情况下，也可以有 ，即材料变形可以完全恢复，称为完全弹性碰撞。这时， 可由式（15-7）求得两球碰撞后的速度。
将式（15-7）的最后两式相减，可得
或
（15-8）
此式常称为碰撞的牛顿公式，它有明确的物理意义，恢复系数等于碰撞后两球相分离的速度
与碰撞前两球相接近的速度之比。可以证明，在物体间是单点碰撞的情况下，式（15-6）与 （15-8）是等价的。因此，也可以用式（15-8）作为恢复系数的定义。
对球与固定面相碰撞的情况，可令式（15-7）中
，
的速度为
，求得球在碰后
或 由此可导出一种恢复系数的实验测定法。小球由 h1 的高度处由静止开始自由下落，碰到固 定面后弹回，弹回的高度是 h2，则
为作用于质点 i 上的质系的
外力。文字表述是：质系在 t2 及 t1 时刻的动量的变化，等于在同一时间间隔内作用于质系 的外碰撞冲量的主矢，可写成质心运动定理形式
★ 质系动量矩定理的积分形式（冲量矩定理）
（15-2）
（15-3）
或
式中 与 分别为 t2 及 t1 时刻质系对 O 点的动量矩， 为质点 i 的矢径，根据前面 的假设，在碰撞过程中它是不变的。文字表述是：质系在 t2 及 t1 时刻对 O 点动量矩的变化， 等于在同一时间间隔内作用于质系的外碰撞冲量对同一点的主矩。矩心可以取在固定点 O ， 也可以取在质系的质心 C 。即：
,
,
此外，还要补充反映物体变形恢复能力的物理条件，即恢复系数的定义。 4. 恢复系数是反映碰撞时物体变形恢复能力的参数，它只与碰撞物体的材料有关。其定义 为
或
式中 与 分别是碰撞前后两物体接触点的法向相对分离速度与法向相对接近速度。两种 定义在物体的单点碰撞时是等价的。
对实际情况，；理想情况源自， 称为塑性碰撞， 称为完全弹性碰撞。
∴ 应用质心运动定理
∴
当作用冲量垂直于轴 O 与质心 C 连线 OC 时，
，如其作用点 K 的位置还满足
（15-14）
则
，即外碰撞冲量并不引起支座的反碰撞冲量。K 点即称为撞击中心（图 15-9
（b））。显然，此位置也是刚体绕 轴作复摆摆动时的摆心。 图 15-10 所示为一长 的均质杆，由水平位置绕转轴 下落并撞在固定支座上弹回。
个未知数，
（15-7）
2. 关于恢复系数的讨论 恢复系数 表示了材料变形的恢复性能，
，各种常见
材料的恢复系数如表 15-1 所示。 表 15-1 各种材料的恢复系数
碰撞物体的材料 铁对铅 木对胶木 木对木 钢对钢 象牙对象牙 玻璃对玻璃
恢复系数
0．14 0．26 0．50 0．56 0．89
0．94
1. 两球的正碰撞 两球的速度在两球连心线上的碰撞称为正碰撞。图 15-1（a）为两球 的碰撞过程，图 15-1（b）为在变形阶段及恢复阶段两球的受力图（在碰撞问题中用冲量代 替力）。列写两球的动力学方程
变形段：
,
（15-4）
恢复段：
,
（15-5）
式中 为变形段终结时两球的共同速度； ， 分别是变形段与恢复段中两球间的碰撞
研究刚体碰撞问题时，除使用刚体的动力学方程积分形式外，还应补充物理条件（15-13），
不过，此处 速度。
应理解为碰撞刚体上两接触点在公法线方向的相对接近速度与相对分离
例 15-2 均质细杆
与光滑地面成 角，并以速度 v 平行于杆自身而撞击地面；
设碰撞是完全弹性的
，求碰撞后杆的运动。
解：杆作平面运动，参照图 15-8，杆的动力学方程为：
为使轴承 处不发生碰撞冲量，支座应装在杆的撞击中心的位置上，即
注意，在前面的所有分析中，重力是非碰撞力，可以忽略不计。 例 15-4 两均质杆的质量均为 ，长度均为 ，用光滑铰链连接，求在冲量 作用下两 杆
获得的角速度及各铰处的碰撞冲量。（图 15-11（a）） 解：★ 将两杆拆开，画受力图（冲量图） ★ 杆作定轴转动 杆作平面运动
零。撞击中心到轴心的距离是
撞击中心与刚体作复摆摆动时的摆心位置重合。 8.对刚体系的碰撞问题，通常将系统拆成单个刚体处理，这样作将不得不处理系统中许多未 知的内碰撞冲量。在后面的分析力学方法中，将系统作为整体看待，可不涉及系统的内碰撞 冲量而直接求得碰撞后系统的运动。 碰撞是工程上常见的一种现象，它的特点是在极短的时间间隔内，物体的运动有急剧的变化， 同时产生极大的碰撞力。在处理碰撞这类工程问题时，应当抓住主要矛盾，对实际问题进行 简化与抽象，建立理想化的物理模型。
值由实验测定。
5.
碰撞过程中，系统的总动能会损失。
6.
联合应用动力学方程及补充物理条件（ 的定义）可以求解动力学两大基本问题。
即碰撞后系统的运动及碰撞过程中约束处的反碰撞冲量。
7.
作用于绕定轴转动刚体的外碰撞冲量，将引起轴承支座的反碰撞冲量。如果外碰撞
冲量作用在刚体对称面内的撞击中心处，且垂直于质心与轴心的连线，则轴承反碰撞冲量为
求碰撞结束时小球的速度 及其反射角 。
解：将小球的运动分解为接触点法线方向与切线方向，沿切线方向动量守恒，故有
或 在法线方向速度分量可用正碰撞方法求出
或 ∴
对实际
材料有 ，因而有
，即小球的反射角总大于入射角。工程上常常从大量的钢球（如
滚珠）中筛选出弹性相同的钢球，即可用使钢球垂直落到斜面上的方法，合格的钢球均反弹 至容器中。 §15-4 刚体的碰撞·撞击中心
补充方程（约束条件）
以上 4 个方程有 4 个未知数，方程组封闭，可解得 ,
, 碰撞后，各点速度分布为如图（c）所示。
★ 求铰链处的碰撞冲量。由于运动已知，可用质心运动定理的积分形式求得 ,
讨论：在牛顿-欧拉方法中，可将刚体系统拆成单个刚体处理。如果只需求碰撞后系统 的运动，这种方法就比较繁琐，因为还要涉及系统内部的碰撞冲量。用后面的分析力学方法， 将系统作为整体看待，可避免内部碰撞冲量的出现，直接求得碰撞后的运动。
对刚体作平面运动，有
（15-4）
★ 碰撞使物体变形、发声、发热、甚至发光，因此碰撞过程中都有机械能损失，且难 以用力的功进行计算。因而，碰撞过程中一般不便于应用动能定理；但在某些特殊情况下， 也能导出动能损失的公式。
★ 碰撞过程除受动力学规律支配外，还与材料的变形恢复性能密切相关，因此解决碰 撞问题，除动力学方程外，还必须补充有关材料变形恢复性能的物理条件。 §15-3 两球的碰撞·恢复系数
第十五章 碰撞
1.
碰撞现象的特点：碰撞过程时间极短，速度发生有限量的变化，碰撞力非常大。
2. 研究碰撞过程的基本假设：
★ 采用准刚体模型，碰撞过程分为两个阶段：变形阶段与恢复阶段。 ★ 在碰撞过程中，常规力忽略不计。 ★ 碰撞过程前后，质系中各质点位置不变。 3.研究碰撞问题应该用动量定理及动量矩定理的积分形式
球心运动分解（图 15-5）。沿 x 轴，两球碰撞前后动量守恒；沿 y 轴，两球速度可用两球
正碰撞方法求出。这时，恢复系数公式（15-8）应修正为：
（15-13）
式中 ， 分别为碰撞前后两球在沿接触点公法线方向相对接近速度与相对分离速度。 例 15-1 小球与固定面光滑斜碰。碰撞开始时速度为 ，入射角为 ，恢复系数为 ；
冲量，动力学方程（15-4）、（15-5）中共有 5 个未知量： ， ， ， ， ；但只
有 4 个方程；必须补充物理条件。实验表明，变形阶段与恢复阶段碰撞冲量之比只与两球的 材料有关，用下式定义恢复系数 e 。
（15-6） e 值由实验方法测定。方程组（15-4），（15-5），（15-6）共有 5 个方程、5 方程组封闭，可解得
§15-1 碰撞问题的基本假设 ★ 采用准刚体模型，即物体仍看成刚体，但在碰撞处的极小范围内可以变形。碰撞过
程分为两个阶段：变形阶段与恢复阶段。 ★ 碰撞力很大，作用时间很短，是瞬时力。在碰撞过程中，重力等常规力可以忽略不
计。 ★ 碰撞过程非常短促，因此物体的位移可以忽略不计；即碰撞前后物体的位置不变。
,
补充方程 解之，得：
,
当
，或 54.7°时，有
。碰撞后杆心的垂直速度分量仍然向下。
例 15-3 刚体绕 O 轴作定轴转动，刚体质量为 ，
对
O 轴的转动惯量为 ，角速度为 。在某瞬时受已知冲量 作用，求碰撞后的角速度 及碰撞过程中轴承 O 的反碰撞冲量 ,各部尺寸如图 15-9（a）。
解：应用定轴转动动力学方程有
此外，将只研究碰撞前后物体运动的变化（速度、能量等），而不研究碰撞过程中力的 变化细节。因此，将使用各种普遍定理的积分形式（有限形式），对碰撞力也只考虑它在碰 撞时间内的积累效应--碰撞冲量。 §15-2 碰撞过程的基本定理
★ 质系动量定理的积分形式（又称冲量定理）
（15-1）
式中 ， 分别为质点 i 在时刻 t2 与 t1 时刻的速度，
，
故有
（15-9）
3. 两球正碰时的能量损失 能，则有
以 和 分别表示质点系在碰撞过程开始和结束时的动
当 时，
；即完全弹性碰撞时系统的动能没有损失。
当
时，即塑性碰撞时，系统的动能损失为
（15-10）
（15-11)
如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即