【精品】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第17课函数模型及其应用
高考总复习课程--2020年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义： 答案 .doc
讲义参考答案第1讲 集合与简易逻辑金题精讲题一：1．题二： ①16；②29． 题三：B ． 题四：B ． 题五：C ． 题六：A ． 题七：A ．第2讲 函数及其性质经典精讲题一：[3,1];[0,2];[3,1]--- 题二：（3） 题三：2 题四：（3）（4） 题五：（3）（4） 题六：（1）(5,1) （2）2，左，1 （3）x = -1第3讲 函数及其性质2018新题赏析金题精讲 题一：C 题二：B题三：[1,3] 题四：(0,1][3,)+∞U 题五:9(,]2-∞题六：8第4讲 平面向量金题精讲题一：题二： 4， 题三：A ． 题四：6． 题五：B ． 题六：3．题七：① 1Q ；② 2p ．第5讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲金题精讲题一：75 题二：5665-题四：A 题五：A题六：(1)6x 5π=；(2)0x =时，()f x 取得最大值为3，56x π=时，()f x 取得最小值为- 题七：2第6讲 三角函数与三角恒等变换2018新题赏析金题精讲题一：79-题二：D 题三：D 题四：A题五：(1)2；(2) 最小正周期为π，单调递增区间为[,]()63k k k π2ππ+π+∈Z第7讲 解三角形金题精讲题一：3π题二：B 题三：A 题四：75°题六：(1) 23；(2)3+ 第8讲 不等式经典精讲题一：(1)[24,)+∞ (2)(0,81]题二：(1)(,2-∞- (2)7[,)2+∞ (3)4 题三：不对，正确解法如下： 因为3ab a b =++，所以31a b a +=-， 所以2233(1)5(1)4111a a a a a ab a a a a ++-+-+===--- 495=(1)5=(1)5111a a a a a -++-++----因为9(1)1a a -+≥-，当且仅当4a =时，“=”成立， 又因为51y a =--在(4,)+∞上单调递增， 所以53y ≥-，所以5286533ab ≥+-=， 故ab 的取值范围是28[,)3+∞. 题四：(0,1)第9讲 线性规划经典精讲题一：4题二：(1，3] 题三：7题四：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲 数列经典精讲金题精讲题一：－24． 题二：21nn +． 题三：(1)32n a n =-，2nn b =；(2)1328433n n +-⨯+．题四：(1)证明：因为{}n a 是等差数列，所以112n n n a a a -++=①；222n n n a a a -++=②；332n n n a a a -++=③，由①+②+③可得：3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=于是得到等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)证明：因为数列{}n a 是“(2)P 数列”，所以21124n n n n n a a a a a --+++++=①； 又因为数列{}n a 是“(3)P 数列”，所以3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=②， 由②-①得332n n n a a a -++=，于是得到33,,n n n a a a -+是等差数列，故147,,a a a 、258,,a a a 、369,,a a a …成等差数列，设147,,a a a 的公差为13d ，258,,a a a 的公差为23d ，369,,a a a 的公差为33d ，…，当3n =时，124534a a a a a +++=④， 当4n =时，235644a a a a a +++=⑤，当5n =时，346754a a a a a +++=⑥ …将首项和公差代入上述式子可得：1212322334a a d d a +++=⑦ 2323112233412a a d d a d +++=+⑧ 1331222239412a a d d a d +++=+⑨由⑦+⑧+⑨可得：23d d =，将23d d =代入分别代入⑦、⑧、⑨整理可得13d d =， 于是有123d d d ==，将123d d d ==代入1331222239412a a d d a d +++=+ 可得到2132a a a =+，故数列123,,a a a 是等差数列，设其公差为d '，于是有2131,2a a d a a d =+=+''，将其代入⑦可得1d d ='，于是有123d d d d ==='，故数列{}n a 是等差数列.第11讲 数列2018新题赏析金题精讲 题一： 4． 题二： 3． 题三： A ． 题四： (1)221n a n =-；(2)数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为 221n n T n =+．题五： (1)12n n x -=；(2)(21)212n n n T -⨯+=．第12讲 导数及其应用经典精讲题一：4题二：题三：(1)极大值为(1)4f -=-，极小值为1112()327f -=- (2)a ≤5 题四：(1)2()ln 1f x x x x =-- (2)1-(3)证明：要证函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方 只需证 2()e 210x f x x x x -+++<， 即要证e 20ln x x x x x +<-，所以只要证e 2ln 0x x +-<， 令e 2()ln x h x x +=-，则1e ()x xh x '=-， 根据函数1xy =和e x y =的图象，可知 0(0,1)x ∃∈，使得0001e 0()x x x h ='=-所以0()()x x h h ≤， 又因为001e x x =，所以00e x x -=，故 00000002000200e 21212(21)(1)0()ln ln x x x x x x x x x x x x h +=+=-+--+=--=<=---也就是()0x h <恒成立，此题得证.第13讲 导数及其应用2018新题赏析金题精讲 题一：①④ 题二：1[1,]2-题三：(1)()f x 在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，+∞)单调递增；(2) (0，1)第14讲 巧用导数解决实际应用问题 题一：(1)3312m ；(2)23；题二：(1)222()S r x r x =+-(0,)r ；233. 第15讲 空间立体几何经典精讲323,24π+163 3 题三：（Ⅰ）证法一：因为E ，F 分别是P A ，PD的中点，所以EF∥AD.又因为AD∥BC，所以EF∥BC.因为E，H分别为P A，AB的中点，所以EH∥PB，又因为PB∩BC=B，EF∩EH=E，所以平面EFH∥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC∥平面EFH.证法二：连接AC，BD，设交点为O，连接HO，FO，因为O，H分别是BD，AB的中点，E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，OH∥AD，OH=12AD，所以OH∥EF，OH=EF，所以点O在平面EFH上，所以证PC∥平面EFH，即证PC∥平面EFOH.因为O，E分别是AC，AP的中点，所以EO∥PC，又因为直线PC⊄平面EFOH，所以PC∥平面EFOH.(Ⅱ)证明：因为AP=AD，点F是PD的中点，所以AF⊥PD. 因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AB.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面APD，所以AB⊥PD，即AH⊥PD，又AF⊥PD，AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF，又PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AHF.题四：（Ⅰ）证明：因为DE⊥面ACD，AF⊂面ACD，所以DE⊥AF，又因为AF⊥CD，所以AF⊥面BCDE，所以AF BE⊥.（Ⅱ）线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取AC AB，的中点G Q，，则GQ//BC，且GQ=12 BC，又因为DE//BC，12DE BC=，所以GQ//DE且GQ=DE，因为AD=CD，所以DG⊥AC，因为DE⊥面ACD，所以DE⊥AC，所以AC⊥面EDGQ，即AC⊥平面DEQ．第16讲空间向量法解立体几何题经典精讲题一：④题二：23题三：(1)当P为AC中点时，PF与BC所成的角是60︒ (2) 60︒题四：(1)证明：∵ABC-A1B1C1为直棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥CB，即︒=∠=∠90DCBDCA，∵底面为等腰直角三角形，且90ACB∠=︒，∴CA = CB，在△DCA和△DCB中⎪⎩⎪⎨⎧︒==∠=∠=CBCADCBDCADCDC90∴△DCA≌△DCB（SAS），∴DA=DB，又∵G为ABD∆的重心，∴DG⊥AB，∵E在面ABD上的射影为G，∴EG⊥面ABD，∴EG⊥AB，∵DG⊥AB，EG⊥AB，∴AB⊥面DEG.7第17讲空间立体几何2018新题赏析金题精讲题一：A题二：C10题四：②③题五：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ， 又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 第18讲 直线与圆经典精讲题一：(,[1,)-∞⋃+∞，π2π[,]43题三：(1)24 (2)24题四：(1)320x y ++= (2)22(2)8x y -+= (3)221(22x y x -=≤第19讲 椭圆经典精讲金题精讲题一：D题二：2题三：1题四：题六：(±.第20讲 双曲线与抛物线经典精讲金题精讲题一：B题二：221312x y -=；2y x =±题三：C 题四：C题六：证明：如图，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，直线:AB l x my t =+， 由22x my t y px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴2221212122,22y y y y pt x x t p p=-==g ，又∵121k k =-，∴12120x x y y +=， ∴220t pt -=，∴2t p =，（0t =舍）， ∴:2AB l x my p =+，∴AB l 恒过点(2,0)p . 题七：(1) 证明：设直线:AB l x my t =+， 由22x my ty px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴122y y pt =-，又∵122y y p =-，∴1t =，∴:1AB l x my =+， ∴AB l 恒过点(1,0). (2)（0，4）.第21讲 解析几何2018新题赏析金题精讲题一：(0,1][9,)+∞U题二：22y x =±题三：233题四：(1) 抛物线C 的方程为y 2 = x ，焦点坐标为(14，0)，准线为x =－14； (2) 设过点(0，12)的直线方程为y = kx +12(k ≠ 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴直线OP 为y = x ，直线ON 为y =22y x x ，由题意知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )，由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得k 2x 2+(k －1)x +14= 0，∴x 1+x 2 =21k k -，x 1x 2 =214k ， 要证A 为线段BM 的中点，只需证211122y x y x x =+，即证2111211222kx x kx x x +=++， 即证1212212111222x x kx x x kx x x =+++， 即证12121(22)()2k x x x x -=+，而12122221111222(1)(22)()(22)02244k k k k x xx x k k k k ------+=-⋅-⋅==∴ A 为线段BM 的中点．第22讲 排列、组合及二项式定理 经典精讲金题精讲题一：14 题二：C 题三：D 题四：-2 题五：10题六：710. 题七：证明：设a n =2n ，b n =n +2，∴数列{a n }是以2首项，公比为2的等比数列， ∴a 1=2．a 2=4．a 3=8，知a 1、a 2显然不是数列{b n }中的项． ∵a 3=8=3×2+2，∴a 3是数列{b n }中的第2项，设a k =2k 是数列{b n }中的第m 项，则2k =3m +2（k 、m ∈N *）， ∵a k+1=2k+1=2×2k =2（3m +2）=3（2m +1）+1， ∴a k+1不是数列{b n }中的项，∵a k +2=2k +2=4×2k =4（3m +2）=3（4m +2）+2， ∴a k +2是数列{b n }中的项，∴c 1=a 3，c 2=a 5，c 3=a 7，…，c n =a 2n +1， ∴数列{c n }的通项公式是c n =22n +1（n ∈N *）， ∴{c n }是等比数列. 题八：(1)72；432.(2) 有五位数，无六位数. (3)4012第23讲 统计与两个概型经典精讲金题精讲 题一：B 题二：（I ）1315；（II ）78题三：B题四：（1）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如下：B 地区用户满意度评分的频率分布直方图通过直方图比较可以看出，B 地区满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散； （2）A 地区的满意度等级为不满意的概率大，理由略. 题五：23题六：(I) 1.2 3.6y t =+$；(II)10.8(千亿元).第24讲 离散型随机变量及 其分布列、期望经典精讲 金题精讲 题一：1.96． 题二：(1)0.3； (2)ξ的分布列如下：ξ 0 12P16 23 16E (ξ)=1；(3) 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大． X 0 123P14 1124 14 124E (X )=12； (2)1148． 题四：(1)518；(2)X X1234EX =2． 题五：(1)23； (2)X数学期望EX =236． 第25讲 概率统计2018新题赏析金题精讲题一：25 题二：59题三：π8题四：A 题五：B题六：(1)0.4；(2)20；(3)3:2．题七：(1)0.6；(2) Y 的所有可能值为900,300,－100；Y 大于零的概率为0.8．第26讲 几何证明选讲(选修4-1) 题一：点P 的轨迹是223(0)x y y +=≠所表示的两个半圆. 题二：题三：43题四：11第27讲 矩阵与变换(选修4-2)题一：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15 －1 题二：（Ⅰ）1a =，1b =-；（Ⅱ）(1,0)题三：1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦题四：（1）312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）32223⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎣⎦题五：矩阵A ＝1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其另一个特征值为1. 第28讲 坐标系与参数方程（选修4-4）金题精讲题二：1 题三：（1）1C ：cos 2ρθ=-， 2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12题四：78第29讲 不等式选讲(选修4-5)金题精讲题一：(,8]-∞ 题二：1a ≤时，x ∈∅；12a <≤时，533a a x +-<<； 2a >时，5533a a x -+<<题三：（Ⅰ）2|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(2,)+∞.第30讲 复数题二：(31)-， 题三：i 题四：i 题五：−3题六：1第31讲 定积分都考啥题一：2题三：3ln 22-题四：13第32讲 算法金题精讲 题一：8. 题二：②.题三：(1) {1,3,5,7,9,11,13}，a n =2n -1 （n ∈N +且n ≤7）；(2) a =2；(3) a =a +3. 题四：12na a a n+++…；样本平均数.题五：2.第33讲 高考数学一轮复习综合 验收题精讲(一)金题精讲题一：1 题二：12题三：7或8 题四：（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为2，最小值为－1. 题五：（Ⅰ）2y x =； （Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x ''=-+=-，因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增， 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈， 即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）2.第34讲 高考数学一轮复习综合 验收题精讲(二)金题精讲题一：3R π 题二：1a题三：2sin 4y x =+题四：7 题五：14 题六：（1）连接BD ，∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥面DBB 1，∴AC ⊥B 1D ； （2）60°.题七：（Ⅰ）37；（Ⅱ）1049；（Ⅲ）11a =或18a =. 第35讲 集合与常用逻辑用语经典回顾题一：(){2,4,8}U A B =U ð．第36讲 函数的概念及其性质经典回顾题一：-8．题二：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =； （Ⅱ）()f x 是奇函数, 证明：因为2(1)[(1)](1)(1)0f f f f =-=----= 所以(1)0f -=()(1)()(1)()f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=- 因此()f x 是奇函数 题三：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明：设1212,,x x x x <∈R ， 212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--∵210x x ->∴2121()1,()10f x x f x x ->--> 所以21()()f x f x > 因此()f x 在R 上是增函数.第37讲 数列经典回顾开心自测题一：24. 题二：!2n 金题精讲 题一： 60. 题二：（Ⅰ）13n na ∴=； （Ⅱ）1(21)3344n n n S +-∴=+．题三：（Ⅰ）*65()n a n n N =-∈；（Ⅱ）10．第38讲 导数及其应用经典回顾金题精讲 题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+； （Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞， 增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞， 所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，， 都有()()0g x g ＞，而()00g =， 从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞， 即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞.第39讲 复数与算法初步经典回顾金题精讲题一：30． 题二：3．第40讲 推理与证明问题经典回顾开心自测 题一：81248,T T T T ． 题二：证明：假设T 为奇数,则1271,2,,7a a a ---L 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数()()()()()1271271271027a a a a a a -+-++-+++-=+=+=+L L L ，但0≠奇数,这一矛盾说明T 为偶数.金题精讲题一：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=△△△△．题二：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L ． 题三：1()(())n n f x f f x -==(21)2n nxx -+.题四：（1）13{,}a a 是E 的第5个子集． （2）E 的第211个子集是12578{,,,,}a a a a a ． 题五：证明：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ， 则有0≤++c b a ， 而222222(2)(2)(2)236(1)(1)(1)()3236a b cx y y z z x x y z ππππππ++=-++-++-+=-+-+-+++- =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0.第41讲 选修4经典回顾开心自测题一：{11}x x -≤≤． 题二：98a ．金题精讲题一：CE题二：3)4π． 题三：（Ⅰ）2a =．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞．。
【精品】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练3含解析
随堂巩固训练(3)1. 命题“θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，使得sinθ＋cosθ≥1”的否定是__θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，使得sin__θ＋cos__θ<1__．2. 命题“若a>b, 则2a >2b ”的否命题为__若a ≤b ，则2a ≤2b __.3. 命题“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx<1”的否定是__假__命题．(填“真”或“假”) 解析：命题“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx<1”的否定是“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx ≥1”．因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sinx ∈(0，1)，所以原命题的否定是假命题．4. 命题p ：“若ac ＝b ，则a 、b 、c 成等比数列”，则命题p 的否命题是__假__命题. (填“真”或“假”)解析：命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”．举出反例，若a ＝－2，b ＝－4，c ＝－8，满足ac ≠b ，但a ，b ，c 是等比数列，故原命题的否命题是假命题．5. 设x ∈R ，函数y ＝lg(mx 2－4mx ＋m ＋3)有意义，则实数m 的取值范围是__[0，1)__．解析：由题意得x ∈R ，使得mx 2－4mx ＋m ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0恒成立；当m ≠0时，Δ＝(－4m)2－4m(m ＋3)<0，且m>0，解得0<m<1.综上，实数m 的取值范围是[0，1)．6. 若命题“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是__(2，＋∞)__． 解析：因为“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a>0”为真命题．当a ＝0时，4x>0，解得x>0，不符合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝42－4a 2<0，a>0，解得a>2，故实数a 的取值范围是(2，＋∞)．7. 已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集为R ；命题q ：f(x)＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数．若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数m 的取值范围是__[0，2)__．解析：因为不等式|x －1|>m 的解集为R ，所以m<0，即命题p ：m<0；若f(x)＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数，则2－m>0，解得m<2，即命题q ：m<2.因为命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 一真一假．若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，m ≥2，此时无解；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m<2，解得0≤m<2.综上，实数m 的取值范围是[0，2)． 8. 已知命题p ：c 2<c ；命题q ：对x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0.若p ，q 中有且仅有一个是真命题，则实数c 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1__． 解析：由c 2<c ，解得0<c<1，即命题p ：0<x<1；因为x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，所以Δ＝16c 2－4<0，解得－12<c<12，即命题q ：－12<c<12.因为命题p ，q 中有且仅有一个是真命题，所以若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c<1，c ≥12或c ≤－12，解得12≤c<1；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1或c ≤0，－12<c<12，解得－12<c ≤0.综上所述，实数c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 9. 已知命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若“p ∨q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__(－2，2]__．解析：因为函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增，所以0<a<1，即命题p ：0<a<1；因为不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[2（a －2）]2－4（a －2）×（－4）<0，解得－2<a ≤2，即命题q ：－2<a ≤2.因为“p ∨q ”是真命题，所以－2<a ≤2，故实数a 的取值范围是(－2，2]．10. 若x ∈[1，2]，使得不等式x 2－mx ＋4>0成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，5)__．解析：不等式x 2－mx ＋4>0可化为mx<x 2＋4，即x ∈[1，2]，使得m<x 2＋4x成立．记函数f(x)＝x 2＋4x ＝x ＋4x ，x ∈[1，2]，只需m 小于函数f(x)的最大值．由f′(x)＝1－4x 2＝0，得x ＝2，当x ∈[1，2]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故最大值为f(1)＝5，所以实数m 的取值范围是(－∞，5)．11. 设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数；命题q ：x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，求实数k 的取值范围．解析：因为函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，所以k>0. 因为x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，所以方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，所以Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52. 因为“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，所以命题p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧k>0，12<k<52，解得12<k<52； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0. 综上所述，实数k 的取值范围为(－∞，0]∪(12，52)． 12. 设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫12|x －1|≥a 的解集为；命题q ：函数f(x)＝lg ⎣⎡⎦⎤ax 2＋（a －2）x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解析：若p 为真命题，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，解得a>1，即命题p ：a>1.若q 为真命题，则关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x ＋98>0的解集为R . 当a ＝0时，－2x ＋98>0，即x<916，不符合题意，舍去； 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（a －2）2－4a ×98<0，解得12<a<8，所以命题q ：12<a<8. 因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以p 和q 中有且仅有一个是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，12<a<8， 解得a ≥8或12<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围为[8，＋∞)∪⎝⎛⎦⎤12，1. 13. 已知m 为实常数，命题p ：方程x 22m －y 2m －6＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程x 2m ＋1＋y 2m －1＝1表示双曲线． (1) 若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2) 若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(3) 若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －6<0，2m>0，－（m －6）>2m ，解得0<m<2，故当命题p 为真命题时，实数m的取值范围为(0，2)．(2) 若命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)<0，解得－1<m<1，故当命题q 为假命题时，实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(3) 由题意知命题p 与q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<m<2，m ≤－1或m ≥1，解得1≤m<2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥2，－1<m<1，解得－1<m ≤0. 故实数m 的取值范围是(－1，0]∪[1，2)．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第1课__集合及其基本运算(1)
____第1课__集合及其基本运算(1)____1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__．解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__．解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}，所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__．解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航 考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|132≤2－x ≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0.(1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．解析：由题意得，集合A ＝{x|－2≤x ≤5}， 因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}， 所以A ∩B ＝{x|－2≤x<2}．(2) A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}， 因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞．解析：由题意得，集合A ＝{x |y ＝2x －1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3＝0}，B ＝{x|mx －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__． 解析：由题意得，集合A ＝{－1，3}．因为B ⊆A ，所以当B 为∅时，m ＝0；当B 不为∅时，m ＝－1或m ＝13.综上，m 的值为0，－1，13.例3 若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，求实数a 的值．解析：当a ＝0时，不合题意，舍去；当a ≠0时，由题意得，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 综上所述，a ＝4.若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}只有一个子集，求实数a 的取值范围．解析：由题意得，集合A 为空集． ①若a ＝0，符合题意；②若a ≠0，则Δ＝a 2－4a<0，解得0<a<4. 综上，a 的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__1__． 解析：因为A ∩B ＝{3}，所以a ＋2＝3或a 2＋4＝3，解得a ＝1，此时B ＝{3，5}，符合题意，故实数a 的值为1.2. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M ∩N .由M ＝{x |－2≤x －1≤2}得M ＝{x |－1≤x ≤3}．集合N 表示的是正奇数集，所以M ∩N ＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__． ①某班个子较高的同学构成集合A ；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合． 解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第5课__函数的概念含解析
1. 体会函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念． 2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域． 3. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.
1. 阅读：必修 1 第 23～27 页及第 46 页．
所以 f(x)∈[ 2，2]．
a (2) f(x)＝ {[f(x)]2－2}＋f(x)＝a 1－x2＋ 1＋x＋ 1－x，
2
1 令 t＝f(x)＝ 1＋x＋ 1－x，则 1－x2＝ t2－1，
2
( ) 1
1
所以 f(x)＝m(t)＝a t2－1 ＋t＝ at2＋t－a，t∈[ 2，2]．
2
2
1
1
1
由题意知 g(a)即为函数 m(t)＝ at2＋t－a，t∈[ 2，2]的最大值，t＝－ 是抛物线 m(t)＝ at2
(1) 求函数 f(x)的定义域和值域；
a (2) 设 f(x)＝ {[f(x)]2－2}＋f(x)(a 为实数)，当 a<0 时，求 f(x)的最大值 g(a)．
2
{ ) 解析：(1)
由题意得
1＋x 1－x
≥ ≥
0， 0，
解得－1≤x≤1，
所以函数的定义域为[－1，1]．
又[f(x)]2＝2＋2 1－x2∈[2，4]，f(x)≥0，
1 单调递减，当 x∈(－∞，1)时，y<0；当 x∈[2，5)时， <y≤2，即函数的值域为(－∞，0)∪
2
( ]1 ，2 . 2
ax＋3 4. 若函数 y＝ 的值域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，则实数 a 的值为__4__．
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第20课__导数在研究函数中的应用(1) 含解析
____第20课__导数在研究函数中的应用(1)____1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题．2. 理解数形结合思想，转化思想在导数中的应用．3. 理解函数在某点取得极值的条件.1. 阅读：选修11第86～92页．2. 解悟：①教材第86页中间的关于函数的导数和单调性关系的结论怎么理解？它的逆命题是否成立，试举例说明．你会利用导数说明(或证明)函数在给定区间上的单调性吗？②函数的极值是怎么定义的？一个函数是否一定有极大值和极小值？有极大值或极小值的函数的极值是否唯一？函数的极值和导数具有怎样的关系？教材第88页的两张表格中的内容你理解吗？给你一个具体函数你会求它的极值点吗？③我们知道函数的最大值和最小值是函数定义域内的性质，函数的极值是对函数定义域内某一局部而言的，它们之间的关系为：最大值可能在极值点或函数的端点取到极值不一定是最值，最值也不一定是极值．④会做教材第87页的例2，例3，第89页的例2，第90页的例2，并能总结下列问题类型解题的一般步骤：一是利用导数判断或证明函数在给定区间上的单调性；二是利用导数求函数的单调区间；三是利用导数求函数的极值；四是利用导数求函数的最值．3. 践习：在教材的空白处完成第87页练习第1(2)、3(2)题，第89页练习第1(2)、4题，第91～92页练习第4、5题，习题第2(2)(4)、3(2)(3)、4(3)、8(4)题.基础诊断1. 函数f()＝32－6ln 的单调减区间是__(0，1)__．解析：由题意得，f ′()＝6－6x ，令f ′()<0，则6－6x <0.因为>0，解得0<<1，故函数f()的单调减区间是(0，1)．2. 函数f()＝2x x 2＋3(>0)有极__大__值．解析：由题意得，f ′()＝6－2x 2（x 2＋3）2.令f ′()＝0，即6－2x 2（x 2＋3）2＝0，解得＝3或＝－3(舍去)．当0<<3时，f ′()>0；当>3时，f ′()<0，所以函数f()在区间(0，3)上单调递增；在区间(3，＋∞)上单调递减，所以函数f()在＝3处取得极大值为33.3. 函数f()＝＋2cos ，∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是6．解析：由题意得，f ′()＝1－2sin .令f ′()＝0，即1－2sin ＝0，解得sin ＝12，即＝π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以当∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′()>0，函数f()在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增；当∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′()<0，函数f()在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，所以函数f()在＝π6处，取得极大值，且是最大值为π6＋ 3.4. 若函数f()＝23－62＋m(m 为常数)，在[]－2，2上有最大值3，则此函数在[]－2，2上的最小值为__－37__．解析：因为f ′()＝62－12＝6(－2)，由f ′()＝0得＝0或＝2.因为f(0)＝m ，f(2)＝－8＋m ，f(－2)＝－40＋m ，显然f(0)>f(2)>f(－2)，故m ＝3，最小值为f(－2)＝－37.范例导航考向❶ 利用导数研究函数的最值问题 例1 已知函数f()＝a 2＋1(a>0)，g()＝3＋b.(1) 若曲线y ＝f()与曲线y ＝g()在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求实数a ，b 的值． (2) 当a ＝3，b ＝－9时，若函数f()＋g()在区间[，2]上的最大值为28，求实数的取值范围． 解析：(1) 由题意得，f ′()＝2a ，g ′()＝32＋b.因为曲线y ＝f()与曲线y ＝g()在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1) 且f ′(1)＝g ′(1)，即a ＋1＝1＋b 且2a ＝3＋b ，解得a ＝3，b ＝3. (2) 记h()＝f()＋g()，当a ＝3，b ＝－9时，h()＝3＋32－9＋1， 所以h ′()＝32＋6－9. 令h ′()＝0得1＝－3，2＝1.h ′()，h()在∈(－∞，2]上的变化情况如下表所示：在区间[，2]上的最大值小于28.因此实数的取值范围是(－∞，－3]．已知y ＝f()是奇函数，当∈(0，2)时，f()＝ln －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a>12，当∈(－2，0)时，f()的最小值为1，则实数a 的值为__1__．解析：因为y ＝f()是奇函数，且当∈(－2，0)时，f()的最小值为1，所以当∈(0，2)时，最大值为－1.令f ′()＝1x －a ＝0，得＝1a .当0<<1a 时，f ′()>0；当>1a 时，f ′()<0，所以f()ma ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln1a －1＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.考向❷ 利用导数研究单调性、极值问题 例2 已知函数f()＝3－a 2＋3.(1) 若f()在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2) 若＝3是f()的极值点，求函数f()在区间[1，a]上的最小值和最大值． 解析：(1) f ′()＝32－2a ＋3.由题设知∈[1，＋∞)时f ′()≥0. 因为≥1，所以a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，所以a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝3(当且仅当＝1时取等号)，而当a ＝3，＝1时，f ′()＝0，所以a ≤3.故实数a 的取值范围为(－∞，3]．(2) 由题设知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f()＝3－52＋3. 令f ′()＝32－10＋3＝0， 解得＝3或＝13(舍去)．当1<<3时，f ′()<0，函数f()单调递减； 当3<<5时，f ′()>0，函数f()单调递增． 所以当＝3时，f()有极小值，f(3)＝－9. 又f(1)＝－1，f(5)＝15，所以函数f()在[1，5] 上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.设＝1与＝2是函数f()＝a ln ＋b 2＋的两个极值点． (1) 试确定常数a 和b 的值；(2) 试判断＝1，＝2是函数f()的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解析：(1) 由题意得，f ′()＝ax＋2b ＋1.因为＝1与＝2是函数f()＝a ln ＋b 2＋的两个极值点， 所以⎩⎨⎧f ′（1）＝0，f ′（2）＝0，即⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16，所以a 的值为－23，b 的值为－16.(2) 由(1)得f ′()＝－23x －13＋1＝－（x －1）（x －2）3x ，所以由f ′()>0得1<<2；由f ′()<0，得0<<1或>2，所以函数f()在区间(1，2)上单调递增，在区间(0，1)和(2，＋∞)上单调递减， 所以＝1是函数f()的极小值点，＝2是函数f()的极大值点. 考向❸ 利用导数求解不等式的恒成立问题例3 已知函数f()＝e ＋e －，其中e 是自然对数的底数． (1) 求证：函数f()是R 上的偶函数；(2) 若关于的不等式mf ()≤e －＋m －1在区间(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1) 函数f ()的定义域为R ，关于原点对称；又因为f (－)＝e －＋e ＝f ()， 所以函数f ()是R 上的偶函数．(2) 由mf ()≤e －＋m －1得m (e ＋e －)≤e －＋m －1，即m (e ＋e －－1)≤e －－1， 令t ＝e(t >0)，因为e ＋e －－1＝t ＋1t －1≥2－1＝1，当且仅当t ＝1时，等号成立，故m ≤1t －1t ＋1t－1＝1－t t 2－t ＋1，令h (t )＝1－tt 2－t ＋1.h ′(t )＝t （t －2）（t 2－t ＋1）2.则当t >2时，h ′(t )>0；当0<t <2时，h ′(t )<0，所以当t ＝2时，h (t )min ＝h (2)＝－13，则m ≤－13.综上可知，实数m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≤－13.注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理m 的范围． 【变式题】 设函数f ()＝12a 2－ln ，其中a 为大于零的常数．(1) 当a ＝1时，求函数f ()的单调区间和极值；(2) 当∈[1，2]时，不等式f ()>2恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝1时， f ′()＝－1x ＝x 2－1x(>0)，令f ′()>0得>1，令f ′()<0得0<<1.故函数f ()的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．从而函数f ()在区间(0，＋∞)上的极小值为f (1)＝12，函数f ()无极大值．(2) 由题意得，f ′()＝1a －1x ＝x 2－aax(>0)．不等式f ()>2在[1，2]上恒成立等价于函数f ()在区间[1，2]上的最小值f ()min >2. 因为a >0，所以令f ′()＝0得＝a .当0<a ≤1，即0<a ≤1时，函数f ()在区间[1，2]上递增， 所以f ()min ＝f (1)＝12a >2，解得0<a <14；当a ≥2，即a ≥4时，函数f ()在区间[1，2]上单调递减， 所以f ()min ＝f (2)＝2a－ln2>2，无解；当1<a <2，即1<a <4时，函数f ()在区间[1，a ]上单调递减，在区间[a ，2]上单调递增，所以f ()min ＝f (a )＝12－12ln a >2，无解．综上所述，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.自测反馈1. 若函数f()＝x 2＋ax ＋1在＝1处取极值，则实数a ＝__3__．解析：f ′()＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，因为函数f()＝x 2＋a x ＋1在＝1处取极值，所以f ′(1)＝0，即1＋2－a（1＋1）2＝0，解得a ＝3.2. 已知a>0，b>0，若函数f()＝43－a 2－2b ＋2在＝1处有极值，则ab 的最大值等于__9__． 解析：f ′()＝122－2a －2b ，因为函数f()在＝1处有极值，f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.又a>0，b>0，所以a ＋b ≥2ab ，所以2ab ≤6，所以ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值为9.3. 已知f()＝3－3－1，若对于在区间[－3，2]上的任意1，2，都有|f(1)－f(2)|≤t ，则实数t 的最小值是__20__．解析：对于在区间[－3，2]上的任意1，2，都有|f(1)－f(2)|≤t ，等价于对于在区间[－3，2]上的任意，都有f()ma －f()min ≤t.因为f()＝3－3－1，所以f ′()＝32－3＝3(＋1)(－1)，因为∈[－3，2]，所以函数f()在区间[－3，－1)和(1，2]上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以f()ma ＝f(2)＝f(－1)＝1，f()min ＝f(－3)＝－19，所以f()ma －f()min ＝20，所以t ≥20，故实数t 的最小值为20.4. 分别在曲线y ＝e 与直线y ＝e －1上各取一点M ，N ，则MN 的最小值为1＋e ．解析：要想求MN 的最小值，则需过曲线上一点的切线与直线y ＝e －1平行，设切点为(0，y 0)．曲线y ＝e 的导数y ′＝e ，所以在点(0，y 0)的切线的斜率＝e 0，所以e 0＝e ，即0＝1，所以切点为(1，e )，所以切线的方程为y －e ＝e (－1)，即e －y ＝0，所以切线e －y ＝0与直线y ＝e －1的距离＝1e 2＋1＝1＋e 21＋e2，故MN 的最小值为1＋e 21＋e 2.1. 导数的正负可以判断函数的单调性，但反过;未必．2. 极值与导数的关系，极值点附近左右两侧的导数是否异号可以判断函数是否有极值的．3. 求函数在给定区间上的最值时，需要注意区间端点的开闭对答案的影响．4. 你还有哪些体悟，写下;：。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第17课__函数模型及其应用
____第17课__函数模型及其应用____1. 能根据实际问题建立合理的函数模型．2. 初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简单问题.1. 阅读：必修1第98～100页．2. 解悟：①读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；②建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；③求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；④检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调整，最后将结果应用于现实，做出解释或验证．3. 践习：在教材空白处，完成第100页练习第3题.基础诊断1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是__y ＝2x (x ∈N *)__．2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元抛售，假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%，按月计算．为获取最大利润，此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”)解析：买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42，所以存入银行获取最大利润．3. 司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__5__h ，才能开车. (精确到1 h )解析：设x h 后，驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg /mL ，则0.3×(1－25%)x ≤0.09，即⎝⎛⎭⎫34x ≤0.3.令x ＝1，2，3，4，可得⎝⎛⎭⎫34x >0.3.当x ＝5时，⎝⎛⎭⎫345<0.3，故至少经过5 h ，才能开车．4. 在某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品__80__件．解析：由题意得，生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x·x 8＝800＋x 28，所以平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)＝800＋x 28x ＝800x ＋x 8(x 为正整数)．由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时，f(x)取得最小值，故每批应生产产品80件． 范例导航考向❶ 分段函数型应用问题例1 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资金额x 成正比，其关系如图1；B 产品的利润y 与投资金额x 的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资金额单位：万元).图1 图2(1) 分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2) 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部资金投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是企业老板，怎样分配这18万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解析：(1) 设A 产品的利润为f(x)＝k 1x ，B 产品的利润为g(x)＝k 2x.由图可知，f(1)＝0.25，即0.25＝k 1，即k 1＝14， 所以f(x)＝14x. g(4)＝4，即2k 2＝4，解得k 2＝2，所以g(x)＝2x.故A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式分别为f(x)＝14x ，g(x)＝2x. (2) ①由题意得，18÷2＝9(万元)，所以总利润为14×9＋29＝334(万元)． 故平均投入生产两种产品，可获得利润334万元． ②设对B 产品投资x 万元，则对A 产品投资(18－x)万元，记企业获得的利润为y 万元，所以y ＝14(18－x)＋2x(0≤x ≤18)． 设x ＝t ，则x ＝t 2(0≤t ≤32)，所以y ＝14(18－t 2)＋2t ＝－14(t －4)2＋172， 当t ＝4，即x ＝16时，y 取最大值172. 故当对A 产品投资2万元，B 产品投资16万元时，该企业可获得最大利润，最大利润为172万元．如图，△OAB 是边长为2的正三角形．记△OAB 位于直线x ＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，则函数f(t)的解析式为。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练17
随堂巩固训练(17) 1. 某商品的进货单价为40元/个，按单价每个50元售出，能卖出50个．若零售价在50元/个的基础上每上涨1元，其销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳零售价是__70__元/个．解析：设最佳零售价为(50＋x)元/个，利润为y 元，则y ＝(50＋x －40)(50－x)＝－x 2＋40x ＋500＝－(x －20)2＋900(0<x<50)，所以当x ＝20时，y 取得最大值，所以最佳零售价为70元/个．2. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年中的总仓储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总仓储费用之和最小，则每次需购买__30__吨．解析：根据题意知总费用y ＝600x ×3＋2x ≥2600x ×3×2x ＝120，当且仅当600x×3＝2x ，即x ＝30时等号成立，故每次需购买30吨．3. 某驾驶员喝了1 000mL 某种酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2， 0≤x ≤1，35×⎝⎛⎭⎫13x ， x ＞1.根据酒后驾驶与醉酒驾驶的标准及相应的处罚规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过__4__h 后才能开车．(精确到1h)解析：当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；所以35×⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，解得x ≥4.故此驾驶员至少要经过4 h 后才能开车．4. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在点B 测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__50__m.解析：如图，设水柱CD 的高为h.在Rt △ACD 中，因为∠DAC ＝45°，所以AC ＝h.因为∠BAE ＝30°，所以∠BAC ＝60°.在Rt △BCD 中，∠CBD＝30°，所以BC ＝3h.在△ABC 中，由余弦定理可得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·ABcos 60°，即(3h)2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50m.5. 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时的速度匀速直达B 市，已知两地的铁路线长400千米，为了安全，两列货车的最小间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批物资全部运到B市的最快需要__8__小时．(不计货车的身长)解析：设这批物资全部运到B 市需要y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间的距离的最小值为16×⎝⎛⎭⎫v 202 千米时，时间最快，所以y ＝⎝⎛⎭⎫v 202×16＋400v ＝v 25＋400v ≥2v 25×400v ＝8，当且仅当v 25＝400v，即v ＝100时等号成立，所以最快需要8小时．6. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD ＝2x ，梯形的面积为S ，则S 的最大值是__3227__． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则点B 的坐标为(1，－1)．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py(p>0)，则2p ＝1，解得p ＝12，所以抛物线方程为x 2＝－y.因为CD ＝2x ，所以点D 的坐标为(x ，－x 2)，等腰梯形的高为1－x 2，所以S ＝2x ＋22(1－x 2)＝(x ＋1)(1－x 2)，0＜x ＜1，求导可以得到当x ＝13时，S 取最大值3227. 7. 某工厂引入一条生产线，投入资金250万元，每生产x 千件，需另投入成本w(x)，当年产量不足80千件时，w(x)＝13x 2＋10x(万元)，当年产量不小于80千件时，w(x)＝51x ＋10 000x－1 450(万元)，当每件商品的售价为500元时，该厂产品全部售完． (1) 试写出年利润L(x)(万元)与年产量x(千件)的函数关系式；(2) 当年产量为多少千件时该厂的利润最大？解析：(1) 当每件商品售价为0.05万元时，x 千件销售额为0.05×1 000x ＝50x(万元)．当0＜x ＜80时，L(x)＝50x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80时，L(x)＝50x －(51x ＋10 000x－1 450)－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ， 故L(x)＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250， 0<x<80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ， x ≥80. (2) 当0＜x ＜80时，L(x)＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950， 故当x ＝60时，L(x)有最大值为950；当x ≥80时，L(x)＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x·10 000x＝1 000， 当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L(x)有最大值为1 000， 故当年产量为100千件时，该厂的利润最大．8. 如图，某市在海岛A 上建了一个水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70千米的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30千米，AC ＝80千米．已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每千米的运输费用之比为1∶2.(1) 求sin ∠ABC 的大小；(2) 设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总费用最少．解析：(1) 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC ＝900＋4 900－6 4002×30×70＝－17， 所以sin ∠ABC ＝437. (2) 由(1)知sin ∠DAB ＝sin(θ＋∠ABD)＝－17×sin θ＋437cos θ， 在△ABD 中，由正弦定理得30sinθ＝AD 437 ＝BD －17sinθ＋437cosθ， 解得AD ＝12037sinθ，BD ＝1203cosθ7sinθ－307.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第21课__导数在研究函数中的应用(2)含解析
____第21课__导数在研究函数中的应用(2)____1. 理解导数的意义，熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值．2. 应用导数解决一些综合问题，如恒成立及含参数问题等.1. 阅读：选修11第86～92页．2. 解悟：要清楚导数与函数的关系，利用导数研究函数性质的流程要熟练，主要步骤为求导，令导数等于0，求根，列表，下结论．3. 本章中对函数的重要思想方法，比如数形结合、函数与方程、分类讨论得到了又一次的加强，同学们在复习的过程中要注意加强体会. 基础诊断 1. 对任意x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值的充要条件是__0≤a ≤21__．解析：由题意得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a .因为对∀x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值，且f ′(x )的图象开口向上，所以f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立，所以Δ＝4a 2－84a ≤0，解得0≤a ≤21，故所求的充要条件是0≤a ≤21.2. 已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a －b ＝__－7__．解析：由题意得，f′(x)＝3x 2＋6ax ＋b.因为函数f(x)在x ＝－1处有极值0，所以即解得或当a ＝1，b ＝3时，f′(x)＝3x 2＋{f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，){3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，){a ＝1，b ＝3){a ＝2，b ＝9.)6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以函数f(x)不存在极值应舍去，所以a －b ＝－7.3. 若函数f(x)＝a ln x －x 在区间(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__[2，＋∞)__．解析：由题意得，f′(x)＝－1.因为函数f(x)＝a ln x －x 在区间(1，2)上单调递增，所以－a x a x1≥0在x ∈(1，2)上恒成立，所以a ≥x ，所以a ≥2，故实数a 的取值范围是[2，＋∞)．4. 已知函数f(x)＝x 2－cos x ，x ∈，则满足f(x 0)>f 的x 0取值范围为__[－π2，π2](π3)∪__．[－π2，－π3)(π3，π2]解析：因为函数f(x)＝x 2－cos x 是偶函数，所以只需考虑区间上的情形，当x ∈[0，π2][0，π2]时，f′(x)＝2x ＋sin x ≥0，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以f(x 0)>f 在上的[0，π2](π3)[0，π2]解集为.结合函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，所以当x ∈时，－≤x 0<－(π3，π2][－π2，0]π2，所以x 0的取值范围是∪.π3[－π2，－π3)(π3，π2] 范例导航 考向❶ 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题例1 已知函数f(x)＝2ln x －x 2＋ax ，若函数g(x)＝f(x)－ax ＋m 在区间上有两个零[1e ，e ]点，求实数m 的取值范围．解析：由题意得，g(x)＝2ln x －x 2＋m ，则g′(x)＝－2x ＝. 2x －2（x ＋1）（x －1）x因为x ∈，故当g′(x)＝0时，x ＝1，[1e ，e ]当<x<1时，g′(x)>0；1e当1<x<e 时，g′(x)<0，故g(x)在x ＝1处取得极大值g(1)＝m －1.又g ＝m －2－，g(e )＝m ＋2－e 2，(1e )1e 2g(e )－g ＝4－e 2＋<0，即g(e )<g ，所以函数g(x)在区间有两个零点的条件是(1e )1e 2(1e )[1e ，e ]解得1<m ≤2＋，{g （1）＝m －1>0，g (1e )＝m －2－1e 2≤0，)1e 2所以实数m 的取值范围为.(1，2＋1e 2]已知函数f(x)＝ln x ＋x 2－2x ，则函数y ＝f(x)的零点个数为__1__．12解析：由题意得f′(x)＝＋x －2＝≥0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递1x （x －1）2x增．因为f(1)＝－<0，所以函数y ＝f(x)的零点个数为1.32考向❷ 利用导数求解不等式的恒成立(存在性)问题例2 已知函数f(x)＝ln x ＋－1.1x(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 设m ∈R ，对任意的a ∈(－1，1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．解析：(1) f ′(x )＝－＝，x >0.1x 1x 2x －1x 2令f ′(x )>0，得x >1，所以函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以函数f (x )的单调递减区间是(0，1)．(2) 依题意得，ma <f (x 0)，由(1) 知，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝lne ＋－1＝，1e 1e所以ma <，即ma －<0对于任意的a ∈(－1，1)恒成立，所以1e 1e {m －1e ≤0，－m －1e ≤0，)解得－≤m ≤，1e 1e所以实数m 的取值范围是.[－1e ，1e]设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为__4__．解析：由题意得，f ′(x )＝3kx 2－3.当k ≤0时，3kx 2－3<0，所以函数f (x )是减函数，所以f (1)≥0，即k －3＋1≥0，解得k ≥2，故k 无解；当k >0时，令f ′(x )＝3kx 2－3＝0，解得x ＝±.当x <－时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间上单调递增；当－<x <时，f ′(x )<0，k k k k [－1，－k k]k k k k 故函数f (x )在区间上单调递减；当x >时，f ′(x )>0，故函数f (x )在区间上单(－k k ，k k )k k [k k ，1]调递增，所以即解得所以k ＝4.{f （－1）≥0，f (k k )≥0，f （1）≥0，){－k ＋3＋1≥0，k ×(k k )3 －3×k k ＋1≥0，k －3＋1≥0，){k ≤4，k ≥4，k ≥2，)考向❸ 利用导数求解不等式的有关问题 例3 设函数f(x)＝ax 2－a －ln x ，g(x)＝－，其中a ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的1x e ex 底数．(1) 讨论函数f (x )的单调性；(2) 证明：当x >1时，g (x )>0.解析：(1) 由题意得，f ′(x )＝2ax －＝(x >0)，1x 2ax 2－1x设h (x )＝2ax 2－1.当a ≤0时，h (x )<0，所以f ′(x )<0，即函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，令h (x )＝0，得x 1＝，x 2＝－(舍去)，2a2a 2a2a 所以函数f (x )的单调减区间为，单调增区间为.(0，2a2a )(2a2a ，＋∞)综上，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，函数f (x )在区间(0，2a 2a )上单调递减，在区间上单调递增．(2a2a ，＋∞)(2) 要证当x >1时，g (x )>0，即证当x >1时，>e.e xx设t (x )＝(x >1)，则t ′(x )＝.e x x e x （x －1）x 2令t ′(x )＝＝0，得x ＝1，e x （x －1）x 2所以t (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以t (x )min >t (1)＝e ，所以当x >1时，t (x )>e 成立，所以当x >1时，g (x )>0成立． 自测反馈 1. 若函数f(x)＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是__(－∞，2ln2－2)__．解析：由题意得，f ′(x )＝2x －e x －a .因为函数f (x )在R 上存在单调增区间，所以f ′(x )＝2x －e x －a >0，即a <2x －e x 有解．令g (x )＝2x －e x ，所以g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )>0，即2－e x >0，解得x <ln2；令g ′(x )<0，即2－e x <0，解得x >ln2，所以g (x )max ＝g (ln2)＝2ln2－2，所以a <2ln2－2.故实数a 的取值范围是(－∞，2ln2－2)．2. 若函数f(x)＝ax 3＋3x 2－x 恰有3个单调区间，则实数a 的取值范围是__(－3，0)∪(0，＋∞)__．解析：由题意知，f′(x)＝3ax 2＋6x －1，因为函数f(x)＝ax 3＋3x 2－x 恰有3个单调区间．所以f′(x)＝3ax 2＋6x －1＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝36－4×3a ×(－1)>0，且a ≠0，解得a>－3且a ≠0.故实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．3. 已知函数f(x)＝2f′(1)ln x －x ，则函数f(x)的极大值为__2ln 2－2__．解析：由题意得，f′(x)＝－1(x>0)，则f′(1)＝－1，解得f′(1)＝1，所以f′(x)＝2f ′（1）x 2f ′（1）1－1＝(x>0)．令f′(x)>0，解得0<x<2，令f′(x)<0，解得x>2，所以函数f(x)在区间(0，2)2x 2－x x上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值为f(2)＝2ln 2－2.4. 若函数f(x)＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__(－3，－1)∪(1，3)__．解析：由题意得，f′(x)＝3x 2－12.令f′(x)＝0，即3x 2－12＝0，解得x ＝±2.因为函数f(x)在区间(k －1，k ＋1)上不单调，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k<－1或1<k<3.故实数k 的取值范围是(－3，－1)∪(1，3)．1. 有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值．2. 利用函数的单调性证明不等式，求参数的取值范围，对这些问题，要有解题规律的总结和反思．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
(江苏专用)高考数学总复习 第四篇 三角函数、解三角形《第17讲 弧度制与任意角的三角函数》课件
kπ 集合可以表示为 ββ＝ 2 ，k∈Z
两个技巧 (1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能 则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个 小技巧． 三个注意 (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90° 的角是 概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间 角． (2)角度制与弧度制可利用180° ＝π rad进行互化，在同一个式子 中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (3)注意熟记0° ～360° 间特殊角的弧度表示，以方便解题．
象限角 和 轴线角
(3)弧度制 ①1 弧度的角： 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 弧度的角． ②规定： 正角的弧度数为 零角的弧度数为 零
正数
叫做 1
， 负角的弧度数为 负数 ，
l ，|α|＝ ，l 是以角 α 作为圆心角时所 r
对圆弧的长，r 为半径．
l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制， 比值r与所取 的 r 的大小 无关 ，仅与角的大小有关． 弧度；180° ＝π 弧度．
内 容
三角函数的概念
要 求 A B √ C
同角三角函数的基本关系式
正弦函数、余弦函数的诱导公 式
√
√ √
三角函数
正弦函数、余弦函数、正切函 数的图象与性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图象与性质
√
三角恒 等变换
两角和(差)的正弦、余弦及正
切
二倍角的正弦、余弦及正切 √ √
√
解三角
形
正弦定理、余弦定理及其应用
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第2课__集合及其基本运算(2)
____第2课__集合及其基本运算(2)______1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.1. 阅读：阅读必修1第11～14页．2. 解悟：①从A ∩B ＝A 能得到什么结论？②从A ∪B ＝A 能得到什么结论？3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.基础诊断1. 集合U ＝{1，2}的子集个数为__4__．解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.2. 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则集合∁U (A ∪B)＝__{3}__． 解析：由题意得，A ∪B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ∪B)＝{3}．3. (1) 已知集合A ＝{y|y ＝log 2(x －1)}，集合B ＝{y|y ＝2x }，则A ∩B ＝__(0，＋∞)__；(2) 已知集合A ＝{x|y ＝log 2(x －1)}，集合B ＝{y|y ＝2x }，则A ∩B ＝__(1，＋∞)__；(3) 已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝log 2x}，集合B ＝{(x ，y)|y ＝x －1}，则A ∩B ＝__{(1，0)，(2，1)}__．解析：(1) 由题意得，集合A ＝R ，集合B ＝{y |y >0}，所以A ∩B ＝(0，＋∞)．(2) 由题意得，集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{y |y >0}，所以A ∩B ＝(1，＋∞)．(3) 令log 2x ＝x －1，解得x ＝1或x ＝2，所以y ＝0或y ＝1，所以A ∩B ＝{(1，0)，(2，1)}．4. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{－1，0，2}，则集合A ∪B 中所有元素之和为__5__． 解析：因为A ∪B ＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A ∪B 中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.范例导航考向❶ 对子集的分类讨论例1 已知集合A ＝{2，5}，B ＝{x|x 2＋px ＋q ＝0，x ∈R}．(1) 若B ＝{5}，求p ，q 的值；(2) 若A ∩B ＝B ，求实数p ，q 满足的条件．解析：(1) 因为B ＝{5}，所以方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实根5，所以5＋5＝－p ，5×5＝q ，所以p ＝－10，q ＝25.(2) 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，Δ＝p 2－4q <0，即p 2<4q ；当B ＝{2}时，可求得p ＝－4，q ＝4；当B ＝{5}时，可求得p ＝－10，q ＝25；当B ＝{2，5}时，可求得p ＝－7，q ＝10.综上所述，实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝10.已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解析：(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又因为A ＝(－1，5]，所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根， 所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A ∩B ；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3.①当a ＝－a －3，即a ＝－32时， B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时， B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32； ③当a>－a －3，即a>－32时， B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1. 综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8>0}，B ＝{y|y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R}，C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}.(1) 求A ∩B ；(2) 若∁R A ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 因为x 2＋2x －8>0，解得x >2或x <－4，所以A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，所以B ＝[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，＋∞)．综上所述，A ∩B ＝(2，＋∞)．(2) 因为A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，所以∁R A ＝[－4，2]．因为∁R A ⊆C ，且C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}，所以a ≥2，所以a 的取值范围为[2，＋∞).考向❸ 对自变量系数的分类讨论例3 已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x ≤2. (1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．解析：对于不等式0<ax ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ；当a >0时，－1a <x ≤4a ，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a}； 当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a ≤x <－1a}． (1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ≤2，解得a ≥2； 当a <0时，需要满足⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a ≥2，解得0<a ≤2； 当a <0时，需要满足⎩⎨⎧－1a >2，4a ≤－12，解得－12<a <0. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，2.(3) 当A＝B时，需满足A⊆B且B⊆A，即同时满足(1)和(2)，所以a＝2.自测反馈1. 设U为全集，集合A为U的子集，则A∩A＝__A__；A∪A＝__A__；A∩∅＝__∅__；A∪∅＝__A__；A∪∁U A＝__U__；A∩∁U A＝__∅__．2. 满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的个数是__4__．解析：因为{1，3}∪A＝{1，3，5}，所以A＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．3. 对于集合A，B，我们将集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.(1) 若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝__{1，2，3}__；B－A ＝__{6，7，8}__；(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．4. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，则与G＝{x|x≥1}为同一集合的是__Q__．解析：集合P中y＝x2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{x|y＝x2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.1. 区分点集和数集在书写上的不同．2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练7
随堂巩固训练(7)1. 函数f(x)＝x 2－2x(x ∈[－2，4])的单调增区间为__[1，4]__；f(x)max ＝__8__． 解析：函数f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x ＝1，所以单调增区间为[1，4]，根据二次函数的对称性可知f(x)max ＝f(－2)＝f(4)＝8.2. 若函数y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是单调__减__函数．(填“增”或“减”)解析：因为y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.又函数y ＝－2x 2＋ax 图象的对称轴为直线x ＝a 4<0，所以y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上为减函数． 3. 设x 1，x 2为函数y ＝f(x)的定义域上任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0; ②(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0；③f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0; ④f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0. 其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①③__．(填序号)解析：根据函数y ＝f(x)为增函数，有若x 1<x 2，则f(x 1)<f(x 2)，即x 1－x 2与f(x 1)－f(x 2)同号，所以①③正确，②④错误．4. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为__[3，＋∞)__．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．f(x)＝x 2－2x －3可看作由y ＝t ，t ＝x 2－2x －3复合成的，而y ＝t 在定义域上单调递增，要求函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间，只需求t ＝x 2－2x －3的增区间，易知t ＝x 2－2x －3的单调增区间为[3，＋∞)，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．5. 设f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，则下列函数中是减函数的有__①②④⑤__．①y ＝3－f(x) ②y ＝1＋2f （x ）； ③y ＝[f(x)]2； ④y ＝1－f （x ）； ⑤y ＝f(－x); ⑥y ＝f(x)－f(－x)．解析：因为f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，所以①是减函数，②是减函数；③是增函数；④⑤是减函数；⑥是增函数．6. 函数f(x)＝log 2(x 2－2|x|)的单调增区间为__(2，＋∞)__．解析：由题意得x 2－2|x|>0，解得x>2或x<－2.因为a ＝2>1，所以由函数图象得单调增区间为(2，＋∞)．7. 若函数f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是__(0，1]__．解析：因为函数f(x)＝－x 2＋2ax 在区间[1，2]上是减函数，所以a ≤1.又因为函数g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上是减函数，所以a>0，故实数a 的取值范围是(0，1]． 8. 已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足不等式f ⎝⎛⎭⎫|1x |<f(1)的实数x 的取值范围是__(－1，0)∪(0，1)__．解析：因为函数f(x)为R 上的减函数，且满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f(1)，所以⎪⎪⎪⎪1x >1，解得－1<x<1.又|x|≠0，所以x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log ax ， x>1，2ax ＋3x ＋2－43， 0<x ≤1在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，34__．解析：由题意，得2ax ＋3x ＋2－43＝2a ＋3－4a x ＋2－43.因为函数f(x)在定义域上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3－4a>0，2a ＋31＋2－43≥0，解得12≤a<34，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，34.10. 若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋是区间(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12≤0的解集是__⎭⎪⎫4，0∪⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛12，4__． 解析：令x ＝y ＝1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(1)＝0；令x ＝y ＝－1，得f(1)＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.又令y ＝－1，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当f(x)≤0＝f(1)时，－1≤x ≤1且x ≠0.因为f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎣⎡⎦⎤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤0，所以－1≤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤1且x ⎝⎛⎭⎫x －12≠0，解得1－174≤x<0或0<x<12或12<x ≤1＋174. 11. 已知函数f(x)＝a －1|x|. (1) 求证：函数y ＝f(x)在区间(－∞，0)上是减函数；(2) 若f(x)<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1) 当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝a ＋1x. 设x 1<x 2<0，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫a ＋1x 1－⎝⎛⎭⎫a ＋1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f(x 1)>f(x 2)，即f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．(2) 由题意得a －1x<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立， 即a<1x＋2x 在区间(1，＋∞)上恒成立． 设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故a ≤h(1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围为(－∞，3]．12. 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1) 写出总造价y(元)与污水处理池的长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2) 利用函数单调性求当污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？最低总造价是多少？解析：(1) 因为污水处理池的长为xm ，则宽为200xm ，总造价y ＝400⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋248×200x×2＋80×200＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000.由题设条件得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，x ≥200x ，解得102≤x ≤16，即函数的定义域为[102，16]．(2) 由(1)知y ＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000，所以y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2. 令y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2＝0，解得x ＝18. 当x ∈(0，18)时，函数y 为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数，故函数y ＝f(x)在区间[102，16]上是减函数，所以当x ＝16时，y 取得最小值，此时y min ＝800×⎝⎛⎭⎫16＋32416＋16 000＝45 000(元)， 200x ＝20016＝12.5(m)， 故当污水处理池的长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，最低为45 000元．13. 已知函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：函数f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式：f(a 2＋a －5)<2.解析：(1) 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0.因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x 2－x 1)>1.因为f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在R 上为增函数．(2) 因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，即f(2)＝2f(1)－1.由f(3)＝4得f(2＋1)＝4，即f(2)＋f(1)－1＝4，所以3f(1)－2＝4，即f(1)＝2，所以f(a 2＋a －5)<2＝f(1)．因为f(x)在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：基础夯滚天天练(共60练含答案)
目录高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1) 集合的基本运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2) 命题和逻辑联结词高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3) 充分条件和必要条件高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4) 函数及其表示方法高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5) 函数的解析式和定义域高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6) 函数的值域和最值高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7) 函数的单调性和奇偶性高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8) 函数的图象高考数学一轮复习基础夯滚天天练(9) 二次函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(10) 函数的应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11) 指数与对数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12) 幂函数、指数函数与对数函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13) 函数与方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(14) 导数的概念及运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(15) 导数在研究函数中的简单应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(16) 同角三角函数的关系及诱导公式高考数学一轮复习基础夯滚天天练(17) 三角函数的图象高考数学一轮复习基础夯滚天天练(18) 三角函数的性质(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(19) 三角函数的性质(2)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(20) 和差倍角的三角函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(21) 正弦定理和余弦定理高考数学一轮复习基础夯滚天天练(22) 三角函数及解三角形高考数学一轮复习基础夯滚天天练(23) 一元二次不等式高考数学一轮复习基础夯滚天天练(24) 简单的线性规划高考数学一轮复习基础夯滚天天练(25) 基本不等式及其应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(26) 直线的斜率和直线的方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(27) 两条直线的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(28) 圆的方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(29) 直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(30) 直线与圆的综合运用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(31) 椭圆(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(32) 椭圆(2)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(33) 双曲线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(34) 抛物线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(35) 圆锥曲线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(36) 向量的概念与线性运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(37) 平面向量的基本定理与坐标运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(38) 平面向量的数量积高考数学一轮复习基础夯滚天天练(39) 平面向量的应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(40) 复数的概念、几何意义及运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(41) 数列的概念高考数学一轮复习基础夯滚天天练(42) 等差数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(43) 等比数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(44) 等差数列与等比数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(45) 数列的通项与求和高考数学一轮复习基础夯滚天天练(46) 数列综合题高考数学一轮复习基础夯滚天天练(47) 平面的基本性质、空间两直线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(48) 直线与平面的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(49) 平面与平面的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(50) 柱、锥、台、球的表面积与体积高考数学一轮复习基础夯滚天天练(51) 空间线面关系的判断、推证与计算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(52) 抽样方法与总体估计高考数学一轮复习基础夯滚天天练(53) 算法的含义与流程图高考数学一轮复习基础夯滚天天练(54) 基本算法语句高考数学一轮复习基础夯滚天天练(55) 随机事件的概率、古典概型高考数学一轮复习基础夯滚天天练(56) 几何概型高考数学一轮复习基础夯滚天天练(57) 合情推理与演绎推理高考数学一轮复习基础夯滚天天练(58) 直接证明与间接证明高考数学一轮复习基础夯滚天天练(59) 热点知识练(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(60) 热点知识练(2)参考答案121滴水穿石·数学一轮基础夯滚天天练>>>高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1)集合的基本运算班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为________．2. 设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________________________________________________________________________.3. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩∁U B ＝________．4. 已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则∁U A∩∁U B＝________．5. 设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则实数a的取值范围是________．6. 已知集合A＝{－1，2，2a＋1}，B＝{－4，3}，且A∩B＝{3}，则a＝________．7. 已知集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3，2x－1，x2＋1}，若A∩B＝{－3}，则A∪B ＝________________．8. 已知集合P＝{－1，2}与M＝{x|kx＋1＝0}满足P∪M＝P，则实数k的值所组成的集合是______________．9. 已知集合A ＝{x|y ＝log 2(x 2－1)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则A ∩B ＝______________．10.集合B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B＝________．11. 定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝x·y ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为________．12. A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x }，则A ×B ＝________．13. 若x ∈A ，且11－x∈A ，则称集合A 为“和谐集”．已知集合M ＝{－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3}，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为________．14. 若集合{a ，b ，c ，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d)的个数是________．二、 解答题15. 已知集合M ＝{x|2x －4＝0}，N ＝{x|x 2＋3x ＋m ＝0}．(1) 当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ；(2) 若M ∩N ＝M ，求集合N.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2)命题和逻辑联结词班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 命题的否定是____________________________．2. 已知命题“x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．3. 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则“p ∧q ”为________命题．(填“真”或“假”)4. 给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为________．5. 已知命题p ：x ≤0，x 2＋2x －3≥0，则命题p 的否定是__________________________．6. 已知命题p ：x 2－2x －3<0；命题q ：1x －2<0.则x 的取值范围是________．7. 已知命题p ：“a ＝1”是“x>0，x ＋a x ≥2”的充要条件；则下列命题正确的是________．(填序号)8. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________________________________________________________________．9. 下列四个命题：①若一个命题的逆命题为真，则这个命题的逆否命题一定为真；②“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价；③“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”；④若一个命题的否命题为真，则这个命题的逆命题一定为真．其中不正确的是________．(填序号)10. 则a的取值范围是________．11. 则实数a的最小值为________．12. 如果不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于恒成立，那么a的取值范围为________．13. 若命题“,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．二、解答题14. 给定两个命题，p：对任意实数x，ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数解．如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3)充分条件和必要条件班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)2. “ac 2>bc 2”是“a>b”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)3. “x<－1”是“x 2－1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)4. 已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是________________．5. “M>N”是“log 2M>log 2N”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)6. 若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)7. 方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是____________． 8. 设p ，q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)9. “a ＝1”是“函数f(x)＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)10. “x<2”是“x 2－x －2<0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)11. 不等式1x －1<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a>0的解集记为q ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．12. 已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是______________．13. 已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a)(x －a －1)>0，若p 是的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．14. 下列四个命题： ①“，x 2－x ＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中,“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； ④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________．二、 解答题15. 若f(x)是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}．若“x ∈Q ”是“x ∈P ”的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4)函数及其表示方法班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 有以下判断：其中判断正确的序号是________．①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一函数； ②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x 2－2x ＋1与g(t)＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.2. 下列四组中的f(x)，g(x)表示同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝1，g(x)＝x 0； ②f(x)＝x －1，g(x)＝x 2x －1； ③f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4; ④f(x)＝x 3，g(x)＝3. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________．4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ， x>1，则f(f(3))＝________．5. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________．6. 函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a(a 为常数)交点的个数为________．7. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时f (x )＝log 2(2－x )，则f (0)＋f (2)的值为________．8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为____________．9. 已知函数f(x)的图象如图所示，则它的一个解析式是________________．10. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－2x ， x<0，若f(m)＝10，则m ＝________． 11. 已知f(2x ＋1)＝x 2－2x ，则f(3)＝________．12. 已知下列四组函数：①f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg x ；②f(x)＝x －2，g(x)＝x 2－4x ＋4；③f(x)＝1x －1，g(x)＝x ＋1x 2－1； ④f(x)＝x ，g(x)＝log a a x (a>0且a ≠1)．其中表示同一个函数的为________．(填序号)13. 已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．二、 解答题14. 在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向点A 运动，设点M 运动的距离为x ，△ABM 的面积为S.(1) 求函数S ＝f(x)的解析式、定义域和值域；(2) 求f(f(3))的值．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5)函数的解析式和定义域班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 函数y ＝2x －x 2的定义域是________________．2. 函数y ＝16－x －x 2的定义域是________________．3. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ， x ≤2，－x －2m ， x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则实数m 的值为________________．4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有________种．5. 已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x －1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________________________________________________________________________.6. 已知二次函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)－f(x)＝2x ，f(0)＝1，则f(x)的表达式为f(x)＝____________．7. 函数的定义域是________________．8. 函数y ＝x （x －1）＋x 的定义域是________________．9. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝________．10. 已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f(2x －1)的定义域为________．11. 函数f(x)＝lg (2x －3x )的定义域是________．12. 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，8]，则函数g(x)＝f （2x ）ln x的定义域是________________________________________________________________________．13. 若函数f(x)＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．14. 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)，则f (x )的解析式为f (x )＝________________．二、 解答题15. 如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6)函数的值域和最值班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 函数y ＝x －x ＋1的值域为__________．2. 函数y ＝4－x 2的值域是________．3. 函数y ＝x 2＋3x ＋1的值域是____________________．4. 函数y ＝x －x 的值域为________．5. 函数f(x)＝2x －12x ＋1的值域为________．6. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3⎝⎛⎭⎫0≤x ≤32，则函数的最大值和最小值的积是________．7. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤0，－x 2＋1， x>0的值域为________．8. 函数f(x)＝log 2(4－x 2)的值域为________．9. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧2x＋a ，x>2，x ＋a 2，x ≤2，若函数f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________________．10. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥0，－2－x ， x<0的值域是________________．11. 已知函数y ＝ax 2＋2x ＋1的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12. 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝－x ，令φ(x)＝max [f(x)，g(x)](即f(x)和g(x)中的较大者)，则φ(x)的最小值为________．13. 已知函数f(x)＝x ＋p x ＋1(x>－1，p 为正常数)，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2(x ∈R )有相同值域，则p ＝________．14. 下列几个命题：①函数f(x)＝(x)2与g(x)＝x 表示的是同一个函数；②若函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x ＋1)的定义域为[2，3]；③若函数f(x)的值域是[1，2]，则函数f(x ＋1)的值域为[2，3]；④若函数f(x)＝x 2＋mx ＋1是偶函数，则函数f(x)的单调减区间为(－∞，0]； ⑤函数f(x)＝lg (x 2＋1＋x)既不是奇函数，也不是偶函数．其中正确的命题有________个．二、 解答题15. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的值域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7)函数的单调性和奇偶性班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 在函数：①y ＝cos x ；②y ＝sin x ；③y ＝ln x ；④y ＝x 2＋1中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号)2. 已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________________．3. 函数y ＝1－x 1＋x的单调减区间为________________．4. 已知函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈(－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．5. 已知函数f(x)是减函数，且f(x)>0，则在函数：①y ＝1f （x ）；②y ＝2f(x)；③y ＝[f(x)]2；中为增函数的是________．(填序号)6. 设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．7. 若f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x 2＋x ＋1)和f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系为______________．8. 已知函数f(x)是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝lg (x ＋1)，则x ∈(－∞，0)时，f(x)＝________________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －k ， x ≤0，（1－k ）x ＋k ， x>0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．10. 已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．11. 函数f(x)＝x 5＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )＝________．12. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．13. 已知y ＝log a (2－ax)在区间[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________．14. 若f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．二、 解答题15. 已知函数f(x)＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )． (1) 判断函数f (x )的奇偶性；(2) 若函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8)函数的图象班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 函数y＝x 43的图象大致是________．(填序号)①②③④2. 某班四个同学在同一坐标系中，作了两个函数的图象，其中能够作为函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图象的是________．(填序号)①②③④3. 函数y＝a x－a(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)①②③④4. 函数y＝1－|1－x|的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．5. 已知a>0且a≠1，函数y＝|a x－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是____________．6. 若函数y＝4x＋a2x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．7. 已知函数y ＝log a (x ＋b)的图象如图所示，则a b ＝________．8. 函数y ＝log 2|x ＋1|的图象关于直线________对称．9. 函数f(x)＝x|x ＋a|＋b 是奇函数的充要条件是________．10. 已知0<a<1，则函数f(x)＝a x －|log a x|的零点个数为________．11. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4， x>0，－x －3， x<0.若f(a)>f(1)，则实数a 的取值范围是____________．12. 将函数y ＝2x 的图象向左平移一个单位长度，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位长度得到图象C 2，则C 2的解析式为____________．13. 已知函数f(x)＝32x －(k ＋1)·3x ＋2，当x ∈R 时，函数f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________________．二、 解答题14. 分别作出函数f(x)，g(x)的图象，并利用图象回答问题．(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x>1，g(x)＝log 2x ，求方程f(x)＝g(x)的解的个数； (2) f(x)＝x ＋1，g(x)＝log 2(－x)，求不等式f(x)>g(x)的解集．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(9)二次函数班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．2. 已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．3. 若函数y＝x2－2x＋a在区间[0，3]上的最小值是4，则a＝________；若最大值是4，则a＝________．4. 若函数y＝|x－a－3|＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝3对称，则b＝________．5. 已知函数f(x)＝3(x－2)2＋5，且|x1－2|>|x2－2|，则f(x1)________f(x2)．(填“>”“<”或“＝”)6. 若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．7. 设x，y是关于m的方程m2－2am＋a＋6＝0的两个实根，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值是________．8. 已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1，5]，则函数f(x)的值域是________．9. 已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1，3]，则b－a的取值范围是________．10. 若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是________．11. 已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]上有一个最大值－5，则a＝________．12. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)，又f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则f(x)＝________________．13. 已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．若命题“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．二、解答题14. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(10)函数的应用班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元每千米收费计价，若某乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4千米，则乘客应付的车费是________元．2. 已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中，定义域为________．3. 某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元，据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济利益每件单价应降低________元．4. 某厂生产中所需的一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，那么每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，那么决定此配件外购还是自产的转折点是________件．(即生产多少件以上自产合算)5. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．6. 购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则他购买________卡才合算．7. 如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积S(m2)与水深h(m)的函数关系式为____________．8. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查的结果显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1 000元，那么该企业应该投入________元广告费，才能获得最大的广告效应．9. 某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进________份，才能使每月所获的利润最大．10. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为__________________________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)二、解答题11. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网．这种供电设备的安装费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k20x＋100(x≥0，k为常数)．记F为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1) 解释C(0)的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；(2) 当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？12. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要裁员增效．有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11)指数与对数一、 填空题1.2. 计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________．3的值为________．4. 计算：lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________．5. 设则a ，b ，c 的大小关系是________．6. 方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．7. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x<2，lg （x 2－1）， x ≥2，则f(f(2))＝________．8. 计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷＝________．9. 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________________．10. 关于x 的不等式的解集为________．11. 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，则c ＝________．12. 不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集为________．13. 给出下列结论，其中正确的是________．(填序号)①当a<0时，(a 2)32＝a 3； ②n a n ＝|a|(n>1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若2x ＝16，3y ＝127，则x ＋y ＝7.14. 已知函数f(x)＝2|x|－2，不等式x[f(x)＋f(－x)]>0的解集是________________________________________________________________________．二、 解答题15. 求值或化简：(1) lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5lg 10·lg 0.1；(2)，求的值．16. 已知函数f(x)＝log a(a x－1)，a>0，a≠1.求证：(1) 函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2) 函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12)幂函数、指数函数与对数函数班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 如果幂函数f(x)＝x a 的图象经过点(2，4)，那么函数f(x)的单调增区间为________．2. 函数f(x)＝ln x ＋1－x 的定义域为________．3. 若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________．4. 要使函数f(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围为________．5. 若函数f(x)＝a x －1(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．6. 已知函数f(x)＝x 12，且f(2x －1)<f(3x)，则x 的取值范围是________．7. 若函数y ＝(log 0.5a)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是________．8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x<1，2x ， x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．9. 函数f(x)＝的值域为________．10. 若log a 12a －1<1，则a 的取值范围是________．11. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x 与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一个平面直角坐标系的图象的可能是________．(填序号)①②③④12. 若函数f(x)＝log a (2x 2＋x)(a>0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12内恒有f(x)>0，则函数f(x)的单调增区间是________．13. 函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)恒过定点________．14. 若函数f(x)＝在[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题15. 已知函数f(x)＝log a (3－ax)．(1) 当x ∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．16. 已知函数f(x)＝x ⎝⎛⎭⎫13x －1＋12.(1) 判断该函数的奇偶性；(2) 求证：该函数在定义域上恒大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13)函数与方程班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日 一、 填空题1. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，x ，f(x)的对应关系如下表：则函数f(x)一定存在零点的区间有________．(填序号)①区间[1，2]；②区间[2，3]；③区间[3，4]；④区间[4，5]；⑤区间[5，6]．2. 已知函数f(x)＝ax ＋b 的零点是3，那么函数g(x)＝bx 2＋ax 的零点是________．3. 已知函数f(x)＝2mx ＋4，若存在x 0∈[－2，1]，使f(x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________________．4. 已知函数f(x)＝ln x ＋x －2的零点所在的区间为(k ，k ＋1)(其中k 为整数)，则k 的值为________．5. 已知函数f(x)＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．6. 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中y ＝g (x )是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在区间________范围内必有实数根．(填序号)①(0，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4)．7. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x<2，则函数g(x)＝f(x)－x 的零点为________．8. 函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)上的零点的个数为________．9. 若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为________．10. 已知函数f(x)＝log 2x ＋a 在区间(2，4)上有零点，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数y ＝x ＋5x －a在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．12. 若关于x 的方程lg (mx)·lg (mx 2)＝4的所有解都大于1，则实数m 的取值范围是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，（x －1）2， x<2， 若关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围为________．14. 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x|＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________．二、 解答题15. 已知关于x 的二次函数f(x)＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t. (1) 求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2) 若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实数根．16. 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．(1) 求k的值；(2) 若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(14)导数的概念及运算班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎡⎦⎤12，1上的平均变化率分别为________．2. 若f′(x)是函数f(x)＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f′(1)＝________．3. 函数f(x)＝x 2sin x 的导数为f′(x)＝________________．4. 函数f(x)＝cos x 在点⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线方程为____________________．5. 已知曲线y ＝4x －x 2上两点A(4，0)，B(3，3)，若曲线上一点P 处的切线恰好与弦AB 平行，则点P 的坐标为________．6. 若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b 的值为________．7. 函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________________．8. 过点(0，2)且与曲线y ＝－x 3相切的直线方程是________________．9. 若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则b 的值为________．10. 设P 是曲线f(x)＝13x 3－x 2－3x －3上的一个动点，则过点P 的切线中斜率最小的切线的方程为________________．11. 曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线方程为________________．12. 若曲线C 1：y 1＝ax 3－6x 2＋12x 在x ＝1处的切线与曲线C 2：y 2＝e x 在x ＝1处的切线垂直，则实数a 的值为________．二、 解答题13. 设函数f(x)＝ax －bx ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求证：曲线y ＝f(x)上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．14. 设直线是曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线． (1) 求切线的方程；(2) 求证：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线的下方．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：基础夯滚天天练（共60练）答案
2020版江苏⾼考数学名师⼤讲坛⼀轮复习教程：基础夯滚天天练（共60练）答案⾼考数学⼀轮复习基础夯滚天天练(1)集合的基本运算1. 6 解析：由题意得A ∪B ＝{0，1，2，3，4，5}，故A ∪B 中元素的个数为6.2. {－1，0，1} 解析：由题意得M ＝{－2，－1，0，1}，N ＝{－1，0，1，2，3}，所以M ∩N ＝{－1，0，1}．3. {x|－1≤x ≤3} 解析：因为B ＝{x|x<－1或x>4}，所以?U B ＝{x|－1≤x ≤4}，所以A ∩?U B ＝{x|－1≤x ≤3}．4. {7，9} 解析：由题意得，?U A ＝{2，4，6，7，9}，?U B ＝{0，1，3，7，9}，所以?U A ∩?U B ＝{7，9}．5. (－3，－1) 解析：由题意得S ＝{x|x<－1或x>5}．因为S ∪T ＝R ，所以a <－1，a ＋8>5，解得－36. 1 解析：由题意得2a ＋1＝3，解得a ＝1.7. {－4，－3，0，1，2} 解析：由题意得x －3＝－3或2x －1＝－3，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，A ＝{－3，0，1}，B ＝{－3，－1，1}，A ∩B ＝{－3，1}不符合题意；当x ＝－1时，A ＝{－3，1，0}，B ＝{－4，－3，2}，符合题意，故A ∪B ＝{－4，－3，0，1，2}．8.0，1，－12 解析：因为P ∪M ＝P ，所以当k ＝0，M ＝{x|1＝0}＝，符合题意；当k ≠0时，M ＝－1k .因为P ＝{－1，2}，，所以－1k ＝－1或－1k＝2，解得k ＝1或k ＝－12，故实数k 的值所组成的集合为0，1，－12. 9. (1，＋∞) 解析：由题意得，A ＝{x|x>1或x<－1}，B ＝{y|y>0}，故A ∩B ＝(1，＋∞)．10. {1，2} 解析：由题意得，B ＝1，13，18，2，4，故A ∩B ＝{1，2}． 11. 6 解析：由题意得A*B ＝{0，2，4}，0＋2＋4＝6，故集合A*B 的所有元素之和为6.12. {x|x<3} 解析：由题意得A ＝{x|x ≥3或x ≤0}，B ＝{y|y>0}，所以A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，故A ×B ＝{x |x <3}．13. 3 解析：当x ＝－2时，11－x ＝13M ，所以－2不是和谐集中的元素；当x ＝－1时，11－x ＝12∈M ，当x ＝12时，11－x ＝2∈M ，当x ＝2时，11－x＝－1∈M ，所以－1，12，2可以作为和谐集中的元素；当x ＝－12时，11－x ＝23∈M ，当x ＝23时，11－x ＝3，当x ＝3时，11－x＝－12∈M ，所以－12，23，3可以作为和谐集中的元素；当x ＝0时，11－x＝1∈M ，但当x ＝1时，11－x⽆意义，所以0，1不是和谐集中的元素，故和谐集有－1，12，2，{－12，23，3}，－1，12，2，－12，23，3三个． 14. 6 解析：当a ＝1时，没有符合条件的有序数组；当a ＝2时，b ＝1，c ＝4，d ＝3或b ＝3，c ＝1，d ＝4；当a ＝3时，b ＝1，c ＝4，d ＝2或b ＝1，c ＝2，d ＝4或b ＝2，c ＝1，d ＝4；当a ＝4时，b ＝1，c ＝3，d ＝2，故符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d)的个数是6.15. 解析：(1) 由题意得M ＝{2}，当m ＝2时，N ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，即N ＝{－1，－2}，所以M ∩N ＝，M ∪N ＝{－1，－2，2}．(2) 因为M ∩N ＝M ，所以. 因为M ＝{2}，所以2∈N ，所以10＋m ＝0，m ＝－10，所以N ＝{2，－5}．⾼考数学⼀轮复习基础夯滚天天练(2)命题和逻辑联结词1.2. [－1，3] 解析：由题意得，原命题的否定为x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3，故实数a 的取值范围是[－1，3]．3. 假解析：命题p ：函数y ＝sin 2x 的最⼩正周期是T ＝2π2＝π，是假命题；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2不对称，是假命题，故“p ∧q ”为假命题． 4. ①③解析：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；②“全等三⾓形的⾯积相等”的否命题为“不全等的三⾓形的⾯积不相等”是假命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实数根”的逆否命题为“若x 2＋x ＋q ＝0没有实根，则q>－1”，所以Δ＝1－4q<0，即q>14，所以为真命题；④“不等边三⾓形的三个内⾓相等”是假命题，故它的逆否命题也是假命题，故①③正确．5.6. [2，3) 解析：因为p ：x 2－2x －3<0，所以－11x －2<0，所以,为真，所以2≤x<3，故x 的取值范围是[2，3)．7. ②解析：命题p ：“a ＝1”是“x>0，x ＋a x ≥2”的充要条件，若x>0，x ＋a x≥2，则a ≥1，所以必要性不成⽴，故命题p 是假命题；命题q ：因为Δ＝1－4×(－2)＝9>0，所以x 0∈R ，x 20＋x 0－2＝0是真命题．根据真值表可知，②正确．8. 任意⼀个⽆理数，它的平⽅不是有理数9. ①②③解析：⼀个命题的逆命题为真，则它的否命题⼀定为真；⼀个命题为真，则它的逆否命题⼀定为真，但⼀个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不⼀定为真，故①错误，④正确；“a>b”与“a ＋c>b ＋c ”等价，故②错误；“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则a 2＋b 2≠0”，故③错误，故答案为①②③.10. (－∞，2) 解析：因为x>0，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成⽴，所以x ＋1x min＝2.因为x>0，a≥0”是真命题，即x ∈[－1，1]，得a ≥－1－2x 4x ＝－122x －12x 成⽴，令t ＝12x ，12≤t ≤2，g(t)＝－t 2－t ＝－t ＋122＋14，则a ≥g(t)min ＝－2＋122＋14＝－6，故实数a 的最⼩值为－6.12. (－2，2] 解析：当a ＝2时，－4<0恒成⽴；当a ≠2时，a －2<0，Δ＝[2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－213. [－22，22] 解析：因为“，2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，所以它的否定“，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，所以9a 2－72≤0，解得－22≤a ≤22，综上实数a 的取值范围是[－22，22]．14. 解析：命题p ：因为对任意x ，ax 2＋ax ＋1>0恒成⽴，所以a ＝0或a>0，Δ＝a 2－4a<0，解得0≤a<4.命题q ：因为关于x 的⽅程x 2－x ＋a ＝0有实数解，所以1－4a ≥0，解得a ≤14. 若p 真q 假，则14充分条件和必要条件1. 充分不必要解析：由2x 2＋x －1>0得x>12或x<－1，所以“x>12”是“2x 2＋x －1>0”的充分不必要条件．2. 充分不必要解析：由不等式性质可知ac 2>bc 2可以推出a>b ，当c ＝0时，a>b 推不出ac 2>bc 2，所以“ac 2>bc2”是“a>b”成⽴的充分不必要条件．3. 充分不必要解析：由x 2－1>0得x>1或x<－1，所以“x<－1”是“x 2－1>0”的充分不必要条件．4. x ＝0 解析：因为a ⊥b ，所以2(x －1)＋2＝0，解得x ＝0，所以a ⊥b 的充要条件是x ＝0.5. 必要不充分解析：由log 2M>log 2N 得M>N>0，所以“M>N”是“log 2M>log 2N”成⽴的必要不充分条件．6. 既不充分⼜不必要解析：若01a，所以充分性不成⽴；若“b<1a ”，当a<0时，ab>1，所以必要性也不成⽴，故“0”的既不充分⼜不必要条件．7. k ∈(－1，5) 解析：若⽅程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表⽰双曲线，则(k ＋1)(k －5)<0，解得－18. 必要不充分解析：9. 充分不必要解析：若a ＝1，可得f(x)＝2x－12x ＋1，则f(－x)＝ 12x －112x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －11＋2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，即充分性成⽴；若f(x)＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数可得，f(－x)＝ 12x －a 12x＋a ＝1－a·2x 1＋a·2x ＝－f(x)＝a －2x2x ＋a ，解得a 2＝1，即a±1.当a ＝－1时，函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，所以“a ＝1”是“函数f(x)＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件．10. 必要不充分解析：由x 2－x －2<0得－111. (－2，－1] 解析：由题意得p ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，q ：(x －1)(x ＋a)>0.因为p 是q 的充分不必要条件，所以p 是q 的真⼦集，所以1≤－a<2，解得－212. a ＝－1 解析：由题意得，若l 1∥l 2，则1×3＝a·(a －2)，解得a ＝－1或a ＝3.当a ＝－1时，直线l 1为x －y ＋6＝0，直线l 2为－3x ＋3y －2＝0，此时l 1∥l 2；当a ＝3时，直线l 1为x ＋3y ＋6＝0，直线l 2为x ＋3y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不平⾏，故l 1∥l 2的充要条件是a ＝－1.13. 0，12 解析：由题意得：(x －a)(x －a －1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1.因为p 是的充分不必要条件，所以a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围为0，12. 14. ①②解析：①原命题的否定是：“，x 2－x ＋1>0”，Δ＝1－4＝－3<0，所以①为真命题；②原命题的否命题为“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”由x 2＋x －6<0解得－3，故③为假命题；④若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即tan(－x ＋φ)＝－tan(x ＋φ)＝tan(－x －φ)，所以－x ＋φ＝－x －φ＋k π，k ∈Z ，所以φ＝k π2，k ∈Z ，④为假命题，故选①②. 15. 解析：由|f(x ＋t)－1|<2，得－2因为f(x)是R 上的减函数且f (0)＝3，f (3)＝－1，所以0由f (x )<－1＝f (3)得x >3，所以Q ＝{x |x >3}．由题意得P 是Q 的真⼦集，所以－t ≥3，解得t ≤－3，故实数t 的取值范围是(－∞，－3]．⾼考数学⼀轮复习基础夯滚天天练(4)函数及其表⽰⽅法1. ②③解析：①因为函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，函数g(x)的定义域为R ，定义域不同，故①错误；②根据函数的定义，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点是1个或0个，即交点最多有1个，故②正确；③因为函数f (x )与g (t )的定义域相同，对应关系也相同，所以是同⼀函数，故③正确；④因为，所以ff 12＝f (0)＝1，故④错误，所以答案选②③.2. ④解析：①f(x)的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，定义域不同，故不是同⼀函数；②f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，定义域不同，故不是同⼀函数；③f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，故不是同⼀函数；④f (x )与g (x )的定义域都为R ，且g (x )＝3x 9＝x 3，对应关系也⼀致，所以是同⼀函数．3. 8 解析：由题意得1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以 f(－1)＝1＋4＋3＝8.4. 139 解析：由题意得f(3)＝23，所以f(f(3))＝f 23＝232＋1＝139. 5. 4 解析：由题意得，M ＝N ，所以a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，所以a ，b 是⽅程x 2－4x ＋2＝0的两个根，所以a ＋b ＝4.6. 1或07. －2 解析：因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (2)＝－f (－2)＝－log 2(2＋2)＝－2，所以f (0)＋f (2)＝－2.8. (－∞，3] 解析：令f(x)＝t ，则f(f(x))≤3，即为f(t)≤3，即?t<0，t 2＋2t ≤3或t ≥0，－t 2≤3，则－3≤t ≤0或t ≥0，所以t ≥－3，即f(x)≥－3，所以x<0，x 2＋2x ≥－3或x ≥0，－x 2≥－3，解得x<0或0≤x ≤3，所以x ≤3，故不等式f(f(x))≤3的解集为(－∞，3]．9. f(x)＝?x ＋1，－1≤x ≤0，－x ， 0将点(1，－1)代⼊f(x)＝cx 可得，c ＝－1，故f(x)＝?x ＋1，－1≤x ≤0，－x ， 0－2m ＝10，解得m ＝－5，故m 的值为3或－5.11. －1 解析：由题意得2x ＋1＝3，解得x ＝1，所以f(3)＝1－2×1＝－1.12. ④解析：①因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，定义域不同，故不是同⼀个函数；②因为g(x)＝x 2－4x ＋4＝|x －2|，与f(x)的对应关系不同，值域不相同，故不是同⼀个函数；③f(x)的定义域为{x|x ≠1}，g(x)的定义域为{x|x ≠±1}，定义域不同，故不是同⼀个函数；④f(x)的定义域为R ，g (x )的定义域也为R ，且g (x )＝log a a x ＝x ，与f (x )的对应关系也⼀样，故这两个函数表⽰同⼀个函数．13. (1，＋∞) 解析：由题意得，－x 2＋2x ＝k ⽆解，所以4－4k<0，解得k>1，故k 的取值范围是(1，＋∞)．14. 解析：(1) 由题意得，当0≤x ≤2时，S ＝12×2x ＝x ；当2×2×2＝2；当4×2(6－x)＝6－x ，所以S ＝f(x)＝x ， 0≤x ≤2，2， 2所以函数f(x)的定义域为[0，6]，值域为[0，2]．(2) 因为f(3)＝2，所以f(f(3))＝f(2)＝2.⾼考数学⼀轮复习基础夯滚天天练(5)函数的解析式和定义域1. [0，2] 解析：由题意得2x －x 2≥0，解得0≤x ≤2.2. {x|－30，解得－33. 8或－83解析：因为m ≠0.当m>0时，2－m<2，2＋m>2，所以3(2－m)－m ＝－(2＋m)－2m ，解得m ＝8；当m<0时，2－m>2，2＋m<2，所以－(2－m)－2m ＝3(2＋m)－m ，解得m ＝－83，综上所述实数m 的值为8或－83. 4. 9 解析：令y ＝2x 2＋1＝3，解得x ＝±1；令y ＝2x 2＋1＝19，解得x ＝±3，所以函数的定义域可能是{1，－3}，{1，3}，{－1；－3}，{－1，3}，{－1，1，－3}，{－1，1，3}，{－1，－3，3}，{1，－3，3}，{－1，1，－3，3}共9种，所以“孪⽣函数”共有9种．5. 2x －13或－2x ＋1 解析：设f(x)＝kx ＋b(k ≠0)．因为f(f(x))＝4x －1，所以k(kx ＋b)＋b ＝4x －1，即k 2x ＋(k ＋1)b ＝4x －1，所以k 2＝4，（k ＋1）b ＝－1，解得k ＝2，b ＝－13或k ＝－2，b ＝1，故f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1. 6. x 2－x ＋1 解析：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．因为f(x ＋1)－f(x)＝2x ，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c)＝2x ，化简得2ax ＋a ＋b ＝2x ，即2a ＝2，a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1.⼜因为f(0)＝1，所以c ＝1，故f(x)＝x 2－x ＋1.7. (－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：由题意得8≥0，即≥23，即x 2－2x ≥3，解得x ≤－1或x ≥3，故定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．8. {x|x ≥1}∪{0} 解析：由题意得x （x －1）≥0，x ≥0，解得x ≥1或x ＝0，故定义域为[1，＋∞)∪{0}．9. e x －e －x 2 解析：由题意得，f(－x)＋g(－x)＝e －x .因为f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)－g(x)＝e －x .⼜因为f(x)＋g(x)＝e x ，两式相减可得－2g(x)＝e －x －e x ，所以g(x)＝e x －e －x 2. 10.0，52 解析：由题意得－2≤x ≤3，所以－1≤x ＋1≤4，所以函数f(x)的定义域是 [－1，4]．由－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52. 11. (－∞，0) 解析：由题意得2x －3x >0，即2x >3x ，即23x>1，解得x<0. 12. (0，1)∪(1，4] 解析：由题意得0≤2x ≤8，x>0，x ≠1，解得013. 0，34 解析：当m ＝0时，f(x)＝x －43，定义域为R ；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0，综上所述，m 的取值范围是0，34. 14. －x 2＋4x －3 解析：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．因为⼆次函数f(x)的图象过点(0，－3)，所以c ＝－3.⼜因为f(x)>0的解集为(1，3)，所以a<0，－b a ＝4，c a ＝3，c ＝－3，解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，故f(x)＝－x 2＋4x －3. 15. 解析：由题意得AB ＝2R ，C ，D 在⊙O 的半圆周上，作DE ⊥AB ，垂⾜为E ，连结BD.因为AB 是直径，所以∠ADB 是直⾓，所以Rt △ADE ∽Rt △ABD ，所以AD 2＝AE·AB ，即AE ＝x 22R ，所以CD ＝AB －2AE ＝2R －x 2R，所以y ＝2R ＋2x ＋2R －x 2R ，即y ＝－x 2R ＋2x ＋4R. x>0，x 22R>0，2R －x 2R >0，解得0所以y ＝－x 2R＋2x ＋4R ，定义域为(0，2R)．⾼考数学⼀轮复习基础夯滚天天练(6)函数的值域和最值1.－54，＋∞ 解析：设t ＝x ＋1，t ≥0，则x ＝t 2－1.因为函数y ＝x －x ＋1，所以g(t)＝t 2－t －1＝t －122－54，t ≥0，当t ＝12时，g(t)min ＝－54，g(t)≥－54，故函数y ＝x －x ＋1的值域为－54，＋∞. 2. [0，2] 解析：由题意得4－x 2≥0，解得－2≤x ≤2，所以当x ＝0时，4－x 2取得最⼤值4，当x ＝±2时，4－x 2取得最⼩值0，所以0≤4－x 2≤2，故函数y ＝4－x 2的值域为[0，2]．3. (－∞，－6]∪[2，＋∞) 解析：因为y ＝x 2＋3x ＋1＝（x ＋1）2－2（x ＋1）＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1－2.⼜因为当x>－1时，x ＋1>0，4x ＋1>0，所以(x ＋1)＋4x ＋1－2≥2（x ＋1）×4x ＋1－2＝2，当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，等号成⽴；当x<－1时，x ＋1<0，4x ＋1<0，所以(x ＋1)＋4x ＋1－2≤－2（x ＋1）×4x ＋1－2＝－6，当且仅当－(x ＋1)＝－4x ＋1，即x ＝－3时，等号成⽴，综上所述，y ＝x 2＋3x ＋1的值域为(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 4. ?－∞，14 解析：设t ＝x ，t ≥0，则x ＝t 2.因为函数y ＝x －x ，所以g(t)＝－t 2＋t ＝－t －122＋14，t ≥0，当t ＝12时，g(t)max ＝14，g(t)≤14，故函数y ＝x －x 的值域为－∞，14. 5. (－1，1) 解析：因为f(x)＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.⼜因为2x >0，所以2x ＋1>1，所以0<22x ＋1<2，所以－2<－22x ＋1<0，所以－1<1－22x ＋1<1，即－10≤x ≤32，当x ＝1时，y 取得最⼩值2；当x ＝0时，y 取得最⼤值3，故最⼤值与最⼩值的积为6.7. (－∞，1] 解析：因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，所以当x ≤0时，函数y ＝2x 的值域为(0，1]．因为函数y ＝－x 2＋1在(－∞，0)上单调递增，(0，＋∞)上单调递减，所以当x >0时，函数y ＝－x 2＋1的值域为(－∞，1)．综上所述，此函数的值域为(－∞，1]．8. (－∞，2] 解析：由题意得4－x 2>0，解得－29. (－∞，－1]∪[2，＋∞) 解析：由题意可得，当x>2时，f(x)>4＋a ；当x ≤2时，f(x)≤2＋a 2.因为f(x)的值域为R ，所以2＋a2≥4＋a ，解得a ≥2或a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．10. (－∞，－1)∪[1，＋∞) 解析：由题意可得，当x ≥0时，f(x)≥1；当x<0时，f(x)＝－2－x ＝－12x <－1，故此函数的值域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 11. [0，1] 解析：当a ＝0时，y ＝2x ＋1.因为2x ＋1≥0，所以y ＝2x ＋1≥0，符合题意；当a ≠0时，?a>0，Δ＝4－4a ≥0，解得0解析：作出函数f(x)和函数g(x)的图象，由图象可知，在点B 处，函数φ(x)取得最⼩值．由f(x)＝g(x)，即x 2－1＝－x ，解得x ＝－1＋52或x ＝－5－12，所以函数φ(x)的最⼩值为－－1＋52，即1－52.13. 2564 解析：因为－x 2＋2≤2，所以g(x)＝12－x 2＋2≥14.因为x>－1，p 是正常数，所以x ＋1>0，p x ＋1>0，所以f(x)＝x ＋p x ＋1＝(x ＋1)＋p x ＋1－1≥2p －1，当且仅当p x ＋1＝x ＋1，即x ＝p －1时等号成⽴．因为函数f(x)与g(x)的值域相同，所以2p －1＝14，解得p ＝2564. 14. 1 解析：①函数f(x)的定义域为{x|x ≥0}，函数g(x)的定义域为R ，定义域不同，故表⽰的不是同⼀个函数，故①不正确；②若函数f (x )的定义域为[1，2]，则1≤x ＋1≤2，解得0≤x ≤1，所以函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，故②不正确；③把函数f (x )的图象向左平移⼀个单位长度可得函数f (x ＋1)的图象，因此函数f (x ＋1)的值域没有改变，故③不正确；④若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1是偶函数，则f (－x )＝f (x )，即x 2－mx ＋1＝x 2＋mx ＋1，化简得mx ＝0，对任意实数x 都成⽴，所以m ＝0，所以函数f (x )＝x 2＋1，所以函数f (x )的减区间为(－∞，0]，故④正确；⑤函数的定义域为x 2＋1＋x >0，解集为R ，定义域关于原点对称，f (－x )＝lg(x 2＋1－x )＝lg ? ??1x 2＋1＋x ＝－lg(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，故⑤不正确．15. 解析：因为f(x)＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则1≤x ≤9且1≤x 2≤9，所以1≤x ≤3，所以y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的定义域为[1，3]．⼜y ＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.因为x ∈[1，3]，所以log 3x ∈[0，1]，所以y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6，所以函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的值域为[6，13]．⾼考数学⼀轮复习基础夯滚天天练(7)函数的单调性和奇偶性1. ①解析：①函数y ＝cos x 的定义域为R ，且cos(－x )＝cos x ，是偶函数且有⽆数个零点，故①正确；②函数y ＝sin x 的定义域为R ，sin(－x )＝－sin x ，是奇函数，不符合题意，故②不正确；③函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以函数y ＝ln x ⾮奇⾮偶，不符合题意，故③不正确；④函数y ＝x 2＋1的定义域为R ，x 2＋1＝(－x )2＋1，但没有零点，不符合题意，故④不正确．2. (－∞，1]∪[3，＋∞) 解析：因为函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，所以f(x －2)≥0等价于f(|x －2|)≥f(1)，即|x －2|≥1，解得x ≥3或x ≤1，故f(x －2)≥0的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．3. (－∞，－1)，(－1，＋∞) 解析：由题意得，函数y ＝1－x 1＋x 的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，y ＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1，画图可知，该函数的单调减区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)．4. 13 解析：由题意得，函数f(x)＝2x 2－mx ＋3的对称轴是直线x ＝－2，所以－－m 4＝－2，解得m ＝－8，所以函数f(x)＝2x 2＋8x ＋3，所以f(1)＝2＋8＋3＝13.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第6课__函数的表示方法
____第6课__函数的表示方法____1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.1. 阅读：阅读必修1第33～34页．2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.基础诊断1. 已知函数f(x)＝11＋x，g(x)＝x 2＋2，则f(2)＝__13__；g(2)＝__6__；f(g(2))＝__17__；f(g(x))＝__1x 2＋3__． 解析：f(2)＝11＋2＝13； g(2)＝22＋2＝6；f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17； f(g(x))＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3. 2. 已知函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝__14__． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14. 3. 若f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，则f(x)＝x 2＋2x －2．解析：因为f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝(t －1)2＋4(t －1)＋1＝t 2＋2t －2，故f(x)＝x 2＋2x －2.4. 若等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y ＝__20－2x ，x ∈(5，10)__．解析：因为△ABC 是等腰三角形且周长为20，△ABC 的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x ＋y ，即y ＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y ＝20－20x ，x ∈(5，10)．5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x 2＋4x ＋11__．解析：由题意可设f(x)＝a(x －1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a ×(－1－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，所以f(x)＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.范例导航考向❶ 求函数的解析式 例1 (1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求函数f(x)的解析式．解析：(1) 设f(x)＝kx ＋b ，则由题意得3[k(x ＋1)＋b]－2[k(x －1)＋b]＝2x ＋17，即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7， 所以f(x)＝2x ＋7.(2) 因为2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①用1x 代替x ，则2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝3x，② 由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x －3x， 即3f(x)＝6x －3x ，所以f(x)＝2x －1x.(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，求函数f(x)的解析式；(2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax 2＋bx.因为f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)－(ax 2＋bx)＝x ＋1，整理得2ax ＋a ＋b ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以f(x)＝12x 2＋12x. (2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．因为f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，①所以f(－x)＋g(－x)＝x 2－x ＋2，即f(x)－g(x)＝x 2－x ＋2.②由①＋②得，2f(x)＝2x 2＋4，即f(x)＝x 2＋2，由①－②得，2g(x)＝2x ，即g(x)＝x ，所以f(x)＝x 2＋2，g(x)＝x.考向❷ 分段函数的解析式例2 如图是函数f(x)的图象，OC 段是射线，曲线OBA 是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．解析：当x ≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC 的斜率为1，所以射线OC 的函数表达式为y ＝x(x ≤0)；当x>0时，f(x)是二次函数，所以设f(x)＝a(x －1)2＋b.由图可知，则⎩⎪⎨⎪⎧a ×（1－1）2＋b ＝－1，a ×（2－1）2＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f(x)＝(x －1)2－1＝x 2－2x.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<0，x 2－2x ， x ≥0.设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|.(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y ＝f(x)的图象；(2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值．解析：(1) 当x ＋1<0，即x<－1时，x －2<0，所以f(x)＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1；当x ＋1≥0且x －2≤0，即－1≤x ≤2时，f(x)＝x ＋1－x ＋2＝3；当x －2>0，即x>2时，f(x)＝x ＋1＋x －2＝2x －1，所以y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x<－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x>2.函数图象为(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x －1>5，解得x>3， 所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．由图可知，f(x)的最小值为3.考向❸ 由不等式恒成立求函数解析式例3 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－2，0)且不等式2x ≤f(x)≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立．(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，求实数t 的取值范围．解析：(1) 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)，所以4a －2b ＋c ＝0.①因为不等式2x ≤f (x )≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立， 所以当x ＝2时也成立，即4≤4a ＋2b ＋c ≤4，即4a ＋2b ＋c ＝4.②由①②求得b ＝1，4a ＋c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋x ＋2－4a ，所以2x ≤ax 2＋x ＋2－4a ≤12x 2＋2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x ＋2－4a ≥0，⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋x －4a ≤0恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，a －12<0，Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫a －12·（－4a ）≤0，解得a ＝14，故c ＝1， 即函数f (x )的解析式为f (x )＝14x 2＋x ＋1. (2) 因为对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，即14(x ＋t ＋2)2<136(x ＋6)2恒成立，亦可化得⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22－x ＋66⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22＋x ＋66<0，解得－4x ＋123<t <－2x 3. 又因为x ∈[－1，1]，所以－83<t <－23， 故实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－83，－23.自测反馈1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f(x)＝33． 解析：因为f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1①，用1x代替x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f(x)·1x －1②， 将②代入①得f(x)＝2⎝⎛⎭⎫2f （x ）·1x －1·x －1，化简得f(x)＝4f(x)－2x －1，即f(x)＝23x ＋13. 2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x ，则f(x)＝__±2x__．解析：根据题意可设f(x)＝kx ，因为f(f(x))＝4x ，所以k(kx)＝4x ，即k 2x ＝4x ，所以k 2＝4，解得k ＝±2，所以f(x)＝±2x.3. 已知f(x 2－1)＝x 4＋x 2－2，则f(x)＝__x 2＋3x(x ≥－1)__．解析：令x 2－1＝t(t ≥－1)，则x 2＝t ＋1，所以f(t)＝(t ＋1)2＋t ＋1－2＝t 2＋3t ，所以f(x)＝x 2＋3x(x ≥－1)．4. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a 的值为__－34__． 解析：因为a ≠0，f(1－a)＝f(1＋a)．当a>0时，1－a<1<1＋a ，则f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a ，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a ，所以2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去)； 当a<0时，1＋a<1<1－a ，则f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－a －1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2，所以－a －1＝3a ＋2，解得a ＝－34. 综上所述，a 的值为－34. 5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x<0，－x ＋1，0<x ≤1，则f(x)－f(－x)>－1的解集为__⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]__．解析：当－1≤x<0时，0<－x ≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x －1－(x ＋1)>－1，即－2x －2>－1，解得x<－12. 又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－12； 当0<x ≤1时，－1≤－x<0， 所以f(x)－f(－x)＝－x ＋1－(x －1)>－1，即－2x ＋2>－1，解得x<32. 又因为0<x ≤1，所以0<x ≤1.综上所述，原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]．1. 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x 的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．2. 准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第15课__函数的图象与简单变换
____第15课__函数的图象与简单变换____1. 掌握基本初等函数的图象特征，学会运用函数的图象理解和研究函数的性质．2. 掌握画函数图象的两种基本方法：描点法和图象变换法．3. 掌握图象的四种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.1. 用描点法画图的基本步骤是什么？所描点的横坐标、纵坐标的含义分别是什么？怎样从函数图象上观察得到函数的一些性质，如：定义域、值域、最值、单调性、对称性等？2. 完成必修1第111页复习题第11、12题．3. 若函数y＝f(x)的图象如左图所示，请说明①②③④四个图与原图的关系，并用数学符号表示.①②③④基础诊断1. 为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向__左__(填“左”或“右”)平移__3__个单位长度，再向__下__(填“上”或“下”)平移__1__个单位长度．解析：因为y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－lg10＝lg(x＋3)－1，所以只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．2. 已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数f(x)＝f(x)g(x)的图象可以是__①__．(填序号)①②③④解析：根据f(x)和g(x)的图象，可得g(x)在x ＝0处无意义，所以函数f(x)＝f(x)g(x)在x ＝0处无意义；因为f(x)与g(x)都为奇函数，所以函数f(x)＝f(x)g(x)是偶函数，故排除④；当x 取很小的正数时，f(x)<0，g(x)>0，所以f(x)g(x)<0，故①符合要求．3. 已知偶函数f(x)(x ∈R)满足f (－4)＝f (1)＝0，且在区间[0，3]和(3，＋∞)上分别单调递减和单调递增，则不等式xf (x )<0的解集为__(1，4)∪(－1，0)∪(－∞，－4)__．解析：因为定义在R 上的偶函数f (x )满足f (－4)＝f (1)＝0，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (4)＝f (1)＝f (－1)＝f (－4)＝0，则由函数在区间[0，3]和(3，＋∞)上分别单调递减和单调递增，不等式xf (x )<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f （x ）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f （x ）>0，解得1<x <4或－1<x <0或x <－4，故所求不等式的解集为(1，4)∪(－1，0)∪(－∞，－4)．4. 已知图1是函数y ＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是__③__．(填序号)图1 图2①y ＝f(|x|)； ②y ＝|f(x)|；③y ＝f(－|x|)； ④y ＝－f(－|x|)．解析：由图2可知，对应的函数为偶函数，所以②错误，且当x>0时，对应的是f(－x)，显然①④不正确，故填③.范例导航考向❶ 根据变换写出函数解析式例1 将下列变换的结果填在横线上：(1) 将函数y ＝3－x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数__y ＝3－x ＋2__的图象；(2) 将函数y ＝tan |x|的图象向右平移3个单位长度，得到函数__y ＝tan |x －3|__的图象．(1) 将函数y ＝log 2(3x －1)的图象向左平移2个单位长度，得到函数__y ＝log 2(3x ＋5)__的图象；(2) 将函数y ＝(x －2)3的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数__y ＝⎝⎛⎭⎫13x －23__的图象. 考向❷ 利用图象变换作函数图象例2 作出下列函数的图象：(1) y ＝x ＋2x ＋1； (2) y ＝|log 2x|； (3) y ＝⎝⎛⎭⎫12|x|； (4) y ＝log 2|x －2|.解析：(1) (2)(3) (4)已知函数f(x)＝x 1＋x . (1) 画出f(x)的大致图象；(2) 指出f(x)的单调区间，并结合图象，指出不等式f(x)<2的解集．解析：(1) f(x)的图象如图所示：(2) 由图可知单调增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)；不等式f(x)<2的解集为(－∞，－2)∪(－1，＋∞).考向❸ 函数图象变换的应用例3 已知函数y ＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f(x)＝3|x|－2，则函数f(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是__10__．解析：f(x)＝f(x)－|lg x|的零点，即为y 1＝|lg x|，y 2＝f(x)的图象的交点．因为函数y ＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f(x)＝3|x|－2，在同一坐标系中画出y 1＝|lg x|，y 2＝f(x)的图象，当x ＝11时，f(11)＝1，g(11)＝lg 11>1，由图可知，函数y 1＝|lg x|，y 2＝f(x)的图象共有10个交点，故函数F(x)＝f(x)－|lg x|有10个零点．自测反馈1. 将函数y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变)，再将此图象沿x 轴方向向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数为__y ＝f(3x ＋6)__．解析：函数y ＝f(x)的图象所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变)，得到的函数为y ＝f(3x)，再将此图象沿x 轴方向向左平移2个单位长度得到函数为y ＝f[3(x ＋2)]＝f(3x ＋6)，故所得图象对应的函数为y ＝f(3x ＋6)．2. 若0<a<1，则函数y ＝log a (x ＋5)不经过第__一__象限．解析：函数log a (x ＋5)的图象可以看作函数y ＝log a x 的图象向左平移5个单位长度得到的，由0<a<1，知函数y ＝log a x 的图象过第一、四象限且单调递减，与x 轴交于点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋5)的图象也单调递减，且过点(－4，0)，由此图象特征知，函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第一象限．3. 若函数y ＝log 2(x ＋1)的图象与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的表达式是__y ＝log 2(3－x)__．解析：因为与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称的函数为y ＝f(2－x)．又因为函数y ＝log 2(x ＋1)的图象与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(2－x)＝log 2(x ＋1)，设t ＝2－x ，则x ＝2－t ，所以f(t)＝log 2(2－t ＋1)＝log 2(3－t)，故函数f(x)的表达式是f(x)＝log 2(3－x)．4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x<0，－x 2， x ≥0，若f(f(a))≤2，则实数a 的取值范围是． 解析：当a ≥0时，f(a)＝－a 2≤0，故f(f(a))＝f(－a 2)＝a 4－a 2≤2，解得0≤a ≤2；当－1<a<0时，f(a)＝a 2＋a ＝a(a ＋1)<0，则f(f(a))＝f(a 2＋a)＝(a 2＋a)2＋(a 2＋a)≤2，即(a 2＋a)2＋(a 2＋a)－2≤0，所以－2≤a 2＋a ≤1，解得－1＋52≤a ≤－1＋52，所以－1<a<0；当a ≤－1时，f(a)＝a 2＋a ＝a(a ＋1)≥0，则f(f(a))＝f(a 2＋a)＝－(a 2＋a)2≤2，得a ∈R ，所以a ≤－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．1. 熟悉奇(偶)函数的图象特点，灵活运用奇(偶)函数的性质解题．2. 必须对基本初等函数的图象了然于胸，达到“自动化”的程度，这是画函数图象的基础，复杂函数的图象都要由这些函数的图象通过变换得到.3. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 17
随堂巩固训练(17)1. 直线θ＝α与直线ρcos (θ－α)＝a(a ≠0)之间的位置关系为__________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．3. 已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，则AB 的长为________．4. 在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．5. 在极坐标系中，已知两点A ⎝⎛⎭⎫3，5π3，B ⎝⎛⎭⎫1，2π3，则A ，B 两点间的距离等于________．6. 圆C ：ρ＝－4sin θ上的动点P 到直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2的最短距离为________．7. 在极坐标系中，射线θ＝π4被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为________．8. 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．9. 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则AB ＝________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为________．11. 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长．12. 已知在平面直角坐标系xOy 内，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1) 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2) 判断直线l 和圆C 的位置关系．13. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ. (1) 以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；(2) 若P(x ，y)是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第17课 极坐标与参数方程的应用
____第17课__极坐标与参数方程的应用____1. 理解并掌握一些简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆等)的极坐标方1. 阅读：选修44第18～24页，第47～49页．基础诊断1. 将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)化为普通方程为________________．2. 圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长为________．3. 圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．4. 在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________．范例导航考向直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的例1在平面直角坐标系Oy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝42cos (θ－π4)，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度．考向⎩y ＝sin α标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1) 写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2) 设点P 在曲线C 1上，点Q 在直线C 2上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 是参数)．(1) 若a ＝－1，求曲线C 与直线l 的交点坐标；(2) 若曲线C 上的点到直线l 距离的最大值为17，求a 的值．考向例3 在平面直角坐标系Oy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α，θ＝2α(0<α<2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．自测反馈1. 在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．2. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，则它的直角坐标方程为______________．3. 在平面直角坐标系Oy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t(t为参数)垂直的直线方程为________．4. 设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系得到另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2之间的距离为10，则实数a 的值为________．1. 求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时可与数形结合的思想一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解．使用后一种方法时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．2. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．3. 总结参数方程求解的思路：第17课 极坐标与参数方程的应用基础诊断1. 2＋(y －1)2＝1(－1≤≤1) 解析：由题意得⎩⎨⎧sin α＝x ，cos α＝y －1(α为参数)，所以2＋(y －1)2＝1，即该参数方程化为普通方程为2＋(y －1)2＝1且－1≤≤1.2. 3 解析：圆ρ＝3cos θ化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.将直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94得20t 2＋10t －1＝0，则t 1＋t 2＝－12，t 1t 2＝－120，所以(t 1－t 2)2＝920，故直线截得的弦长为20（t 1－t 2）2＝3.3. (1，0) 解析：由题意得曲线参数方程⎩⎨⎧x ＝t 2①，y ＝2t ②(t 为参数)，将②两边平方得y 2＝4t 2.又因为＝t 2，所以该曲线的普通方程为y 2＝4，故焦点为(1，0)．4 1＋ 2 解析：圆ρ＝2cos θ，转化成ρ2＝2ρcos θ，进一步转化成直角坐标方程为(－1)2＋y 2＝1，把直线ρ cos θ＋ρ sin θ＝a 的方程转化成直角坐标方程为＋y －a ＝0.由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以 |1－a|2＝1，且a>0，故a ＝1＋ 2.范例导航例1 解析：直线l 的普通方程为＋y ＝3， 代入抛物线y 2＝4并整理得2－10＋9＝0，解得＝1或＝9，所以交点A(1，2)，B(9，－6)，故AB ＝8 2.解析：圆C 的直角坐标方程为2＋y 2－4－4y ＝0，即(－2)2＋(y －2)2＝8，圆心C(2，2)，半径r ＝22，直线l 的普通方程为－y －2＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝22＝2， 所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝2 6.例2 解析：(1) 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α是参数)，化为普通方程，即有椭圆C 1：x 23＋y 2＝1.曲线C 2的极坐标方程为ρ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得22ρ sin θ＋22ρ cos θ＝22， 即直线C 2的直角坐标方程为＋y －4＝0.(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值． 设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，x ＋y ＋t ＝0，可得42＋6t ＋3t 2－3＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝36t 2－16(3t 2－3)＝0， 解得t ＝±2，显然当t ＝－2时，PQ 取得最小值，即有PQ min ＝2， 此时42－12＋9＝0，解得＝32，故此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.【注】 (1) 运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程．(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值．设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t ，再由平行线的距离公式，可得PQ 的最小值，解方程可得点P 的直角坐标．解析：(1) 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，化为普通方程是x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的参数方程化为普通方程是＋4y －3＝0.联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425，所以椭圆C 和直线l 的交点为(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2) 直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)化为普通方程是＋4y －a －4＝0，椭圆C 上的任意一点P 可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17，其中，φ满足tan φ＝34，且d 的最大值为17.①当－a －4≤0，即a ≥－4时，|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|－5－a －4|＝5＋a ＋4＝17，解得a ＝8≥－4，符合题意； ②当－a －4>0，即a<－4时，|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|5－a －4|＝5－a －4＝1－a ＝17，解得a ＝－16<－4，符合题意． 综上所述，a 的值为8或－16.【注】 (1) 将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的参数方程化为普通方程，联立两方程可以求得交点坐标．(2) 曲线C 上的点可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，运用点到直线距离公式可以表示出点P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为17进行分析，可以求出a 的值．本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线l 距离的最大值求出a.例3 解析：由题设知点P(1＋2cos α，2sin α)，Q(1＋2cos 2α，2sin 2α)， 于是PQ 中点M(1＋cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 从而d 2＝MA 2＝(cos α＋cos 2α)2＋(sin α＋sin 2α)2＝2＋2cos α. 因为0<α<2π，所以－1≤cos α<1， 于是0≤d 2<4，故d 的取值范围是[0，2)． 备用题已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t>0)，求曲线C 的普通方程．解析：因为2＝t ＋1t －2，所以2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为32－y ＋6＝0.自测反馈1. 2 解析：直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0化为直角坐标方程为23＋2y ＋1＝0.圆ρ＝2sin θ化为直角坐标方程2＋y 2＝2y ，即2＋(y －1)2＝1.所以圆心C(0，1)到直线的距离d ＝34<1＝R ，所以直线4ρcos (θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为2.2. (＋1)2＋(y －3)2＝4 解析：曲线C ：ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6化为ρ2＝23ρsin θ－2ρcos θ，化为直角坐标方程为(＋1)2＋(y －3)2＝4.3. ＋2y ＋4＝0 解析：椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)化为x 225＋y 29＝1，直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t (t 为参数)化为2－y －6＝0.由此可得椭圆左焦点为(－4，0)，令过点(－4，0)且与该直线垂直的直线为＋2y ＋c ＝0，将点(－4，0)代入得c ＝4，故过点(－4，0)与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)垂直的直线方程为＋2y ＋4＝0.4. 9或－11 解析：直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)化为普通方程为3－y ＋a －3＝0，直线l 2：ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，化为直角坐标方程为－3＋y ＋4＝0，即这两条直线平行，故l 1与l 2间的距离为d ＝|a ＋1|10＝10，解得a ＝9或a ＝－11.。
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____第17课__函数模型及其应用____1. 能根据实际问题建立合理的函数模型．2. 初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简单问题.1. 阅读：必修1第98～100页．2. 解悟：①读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；②建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；③求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；④检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调整，最后将结果应用于现实，做出解释或验证．3. 践习：在教材空白处，完成第100页练习第3题.基础诊断1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是__y ＝2x (x ∈N *)__．2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元抛售，假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%，按月计算．为获取最大利润，此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”)解析：买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42，所以存入银行获取最大利润．3. 司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__5__h ，才能开车. (精确到1 h )解析：设x h 后，驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg /mL ，则0.3×(1－25%)x ≤0.09，即⎝⎛⎭⎫34x≤0.3.令x ＝1，2，3，4，可得⎝⎛⎭⎫34x>0.3.当x ＝5时，⎝⎛⎭⎫345<0.3，故至少经过5 h ，才能开车．4. 在某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间x8 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品__80__件．解析：由题意得，生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x·x 8＝800＋x 28，所以平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)＝800＋x 28x ＝800x ＋x8(x 为正整数)．由基本不等式得800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时，f(x)取得最小值，故每批应生产产品80件．范例导航考向❶ 分段函数型应用问题例1 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资金额x 成正比，其关系如图1；B 产品的利润y 与投资金额x 的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资金额单位：万元).图1 图2(1) 分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2) 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部资金投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是企业老板，怎样分配这18万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解析：(1) 设A 产品的利润为f(x)＝k 1x ，B 产品的利润为g(x)＝k 2x. 由图可知，f(1)＝0.25，即0.25＝k 1，即k 1＝14，所以f(x)＝14x.g(4)＝4，即2k 2＝4，解得k 2＝2， 所以g(x)＝2x.故A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式分别为f(x)＝14x ，g(x)＝2x.(2) ①由题意得，18÷2＝9(万元)，所以总利润为14×9＋29＝334(万元)．故平均投入生产两种产品，可获得利润334万元．②设对B 产品投资x 万元，则对A 产品投资(18－x)万元，记企业获得的利润为y 万元， 所以y ＝14(18－x)＋2x(0≤x ≤18)．设x ＝t ，则x ＝t 2(0≤t ≤32)， 所以y ＝14(18－t 2)＋2t ＝－14(t －4)2＋172，当t ＝4，即x ＝16时，y 取最大值172.故当对A 产品投资2万元，B 产品投资16万元时，该企业可获得最大利润，最大利润为172万元．如图，△OAB 是边长为2的正三角形．记△OAB 位于直线x ＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，则函数f(t)的解析式为__f(t)＝⎨2t 2， 0<t ≤1，2解析：由题意可知△OAB 为正三角形，则∠BOA ＝∠OAB ＝60°.当0<t ≤1时，f(t)＝12×3t ×t ＝32t 2；当1<t ≤2时，f(x)＝3－12×(2－t)×3(2－t)＝－32t 2＋23t －3；当t>2时，f(t)＝12×2×2×32＝ 3. 综上所述，函数f(t)的解析式为f(t)＝⎩⎨⎧32t 2， 0<t ≤1，－32t 2＋23t －3， 1<t ≤2，3， t>2.考向❷ 导数型应用问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式：y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可销售该商品11千克．(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，从而使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：(1) 由题意得，当x ＝5时，y ＝11，所以a 5－3＋10×(5－6)2＝11，解得a ＝2.故a 的值为2.(2) 设商场每日销售该商品所获得的利润为W(x)，则W(x)＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，所以W′(x)＝10×[(x －6)2＋2(x －6)(x －3)] ＝30(x －6)(x －4)．于是，当x 变化时，W(x)，W′(x)的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝4时，函数W(x)在区间(3，6)上取得极大值也是最大值，所以当x ＝4时，W(x)max ＝42，故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大为42元．古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比，现将一圆柱形木头锯成一横梁(长度不变)，当高与宽的比值为时，横梁的强度最大．解析：设直径为d ，矩形横断面的宽为x ，高为y ，由题意知，当xy 2取最大值时，横梁的强度最大．因为y 2＝d 2－x 2，所以xy 2＝x(d 2－x 2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d 2－x 2)(0<x<d)，则f′(x)＝d 2－x 2＋(－2x 2)＝d 2－3x 2，令f′(x)＝0，解得x ＝33d 或x ＝－33d(舍去)．当0<x<33d ，f′(x)>0；当33d<x<d 时，f′(x)<0.故当x ＝33d 时，f(x)取极大值，也是最大值，此时y ＝63d 时，所以yx＝ 2.考向❸ 三角型应用问题例3 现有一个以OA ，OB 为半径的扇形池塘，在OA ，OB 上分别取点C ，D 作DE ∥OA ，CF ∥OB 交弧AB 于点E ，F ，且BD ＝AC.现用渔网沿着DE ，EO ，OF ，FC 将池塘分成如图所示的三种养殖区域．若OA ＝1km ，∠AOB ＝π2，∠EOF ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. (1) 求区域Ⅱ的总面积；(2) 若养殖区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的每平方千米的年收入分别为15万元、20万元、10万元．记年总收入为y 万元，试问当θ为多少时，年总收入最大？解析：(1) 因为∠AOB ＝π2，∠EOF ＝θ，OA ＝OB ，BD ＝AC ，所以OD ＝OC ，所以Rt △ODE ≌Rt △OCF ，所以∠EOD ＝∠FOC ＝π4－θ2，所以S △EOD ＝S △FOC ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ2cos (π4－θ2)＝14sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ，则S Ⅱ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝12cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(2) S Ⅰ＝12θ，S Ⅲ＝π4－12θ－12cos θ，则年总收入＝152θ＋10cos θ＋5π2－5θ－5cos θ＝52θ＋5cos θ＋5π2⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 所以y′＝52－5sin θ，令y′＝0，得θ＝π6，所以当0<θ<π6时，y′>0；当π6<θ<π2时，y′<0， 故当θ＝π6时，年总收入最大．自测反馈1. 某卡车在一时间段里的速度v(km /h )与耗油量θ(kg /h )之间有近似的函数关系式：θ＝0.002 5v 2－0.175v ＋4.27，则当车速为__35__km /h 时卡车的耗油量最少．解析：由题意得，θ＝0.002 5v 2－0.175v ＋4.27＝0.002 5(v －35)2＋1.207 5，所以当v ＝35km /h 时，卡车的耗油量最少．2. 若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x 与y 的函数关系是__y ＝0.957__6x 100__．解析：设经过一年剩下原来质量的a%，则y ＝⎝⎛⎭⎫a 100x，由题意可知⎝⎛⎭⎫a 100100＝0.957 6，所以a 100＝0.957 61100，所以y ＝(0.95761100)x ＝0.957 6x 100.3. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 应为__15，12__.解析：由直角三角形相似得24－y 24－8＝x 20，则x ＝54(24－y)，所以矩形的面积＝[54(24－y)]×y＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，矩形的面积最大，此时x ＝15.1. 分段函数主要是每一段自变量所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．2. 利用函数模型解决实际问题的方法步骤(四步法)：审题、建模、求模、还原.3. 你还有哪些体悟，写下来：。