期中复习 1 微分方程 解析几何
(完整版)解析几何考点和答题技巧归纳
解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。
这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。
② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。
高一数学期中复习题
高一数学期中复习题一、代数部分1. 代数基础- 理解实数的概念，包括有理数和无理数。
- 掌握数的四则运算，包括加、减、乘、除。
- 熟练掌握乘方和开方的运算。
2. 代数表达式- 理解代数表达式的概念，包括多项式和单项式。
- 掌握同类项和合并同类项的方法。
- 理解多项式的加减法则。
3. 代数方程- 理解一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1。
- 掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法。
4. 不等式- 理解不等式的概念，包括不等式的解集和解不等式的方法。
- 掌握一元一次不等式的解法。
5. 指数与对数- 理解指数的概念，包括幂的运算法则。
- 掌握对数的定义，包括对数的运算法则。
二、几何部分1. 平面几何- 理解平面图形的基本性质，包括点、线、面、角、圆等。
- 掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理。
- 理解相似三角形的性质和判定方法。
2. 空间几何- 理解空间图形的基本性质，包括立体图形和空间角。
- 掌握空间图形的表面积和体积的计算方法。
3. 坐标几何- 理解坐标系的概念，包括直角坐标系和极坐标系。
- 掌握点的坐标表示方法，以及点与点之间的距离公式。
三、函数部分1. 函数的基本概念- 理解函数的概念，包括函数的定义、定义域和值域。
- 掌握函数的表示方法，包括解析法、列表法和图像法。
2. 函数的性质- 理解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
- 掌握判断函数性质的方法。
3. 基本初等函数- 理解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质和图像。
4. 三角函数- 掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质。
- 理解三角函数的图像和周期性。
5. 函数的应用- 理解函数在实际问题中的应用，包括最值问题、优化问题等。
四、解析几何部分1. 直线与圆- 理解直线的方程，包括点斜式、斜截式和一般式。
- 掌握直线的斜率、截距的概念和计算方法。
- 理解圆的方程，包括标准式和一般式。
微分方程及其解的几何解释
§2 微分方程及其解的几何解释一．[内容简介]本节给出微分方程及其解的几何解释.二．[关键词] 积分曲线，线素场，等斜线三．[目的与要求]弄清方向场和微分方程的积分曲线的几何意义.四．[教学过程]由§1可以看到，给定平面上一个单参数曲线族0),,(=C y x f ，可以通过求微分得方程0=∂∂+∂∂dy yf dx x f 。
从这两个方程消去任意常数C ，即得此曲线族所满足的一阶微分方程。
反过来，当某些一阶微分方程的通解或通积分已经找到后，也可以用平面上的一个曲线族来表示它。
现对一阶微分方程),(y x f dxdy = )1.2( 来讨论求解此方程的几何意义。
设有一平面区域G （可能就是全平面），),(y x f 是G 内给定连续函数。
设)1.2(有一解:Γ )()(I x x y ∈=ϕ )2.2(其中I 是这个解的存在区间。
显然函数)(x y ϕ=在),(y x 平面上的图象是一条光滑曲线，它称为方程)1.2(的一条积分曲线，仍记为Γ。
任取一点Γ∈),(y x P ，即I x ∈，)(x y ϕ=。
由于)(x y ϕ=满足方程)1.2(，所以从导数的几何意义得出，曲线Γ在P 点的切线斜率为 ),())(,()('y x f x x f x ==ϕϕ。
上述等式说明：一阶微分方程)1.2(的积分曲线是这样一条曲线，在它上面的每一点),(y x 的切线斜率等于已知的),(y x f 。
这就是一阶微分方程)1.2(的解的几何意义。
下面介绍线素场的概念。
给了一阶微分方程)1.2(，对于区域G 内每一点),(y x P ，都可以作一斜率为)(P f 的小直线段)(P L ，来标明积分曲线在该点的切线方向，称)(P L 为微分方程)1.2(在P 点的线素。
对于区域G 内每一点都这样作，而称区域G 连同上述全体线素为微分方程)1.2(的线素场（或方向场）。
由此可见，在方程)1.2(的积分曲线上的每一点处，积分曲线与)1.2(的线素场的线素相切；反之，若一条曲线在它上面的每一点与)1.2(的线素场的线素相切，则该曲线就是微分方程)1.2(的积分曲线。
微分几何例题和知识点总结
微分几何例题和知识点总结微分几何是数学中一个重要的分支，它主要研究曲线和曲面的性质。
在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解微分几何的重要知识点。
一、曲线的基本概念曲线可以用参数方程来表示。
例如，平面上的一条曲线可以表示为＄r(t) ＝（x(t)， y(t)）＄，其中＄t$ 是参数。
曲线的切向量可以通过对参数方程求导得到，即＄r'（t) ＝（x'（t)， y'（t)）＄。
例题 1：给定曲线＄r(t) ＝（t^2, t^3)＄，求在＄t ＝ 1$ 处的切向量。
解：首先求导，＄r'（t) ＝（2t, 3t^2)＄。
当＄t ＝ 1$ 时，＄r'（1)＝（2, 3)＄，所以在＄t ＝ 1$ 处的切向量为＄（2, 3)＄。
二、曲面的基本概念曲面可以用参数方程表示为＄r(u, v) ＝（x(u, v)， y(u, v)， z(u, v)）＄。
曲面的法向量可以通过求偏导数并做叉积得到。
例题 2：考虑曲面＄r(u, v) ＝（u, v, u^2 ＋ v^2)＄，求在点＄（1, 1, 2)＄处的法向量。
解：首先求偏导数，＄r_u ＝（1, 0, 2u)＄，＄r_v ＝（0, 1, 2v)＄。
在点＄（1, 1, 2)＄处，＄r_u ＝（1, 0, 2)＄，＄r_v ＝（0, 1, 2)＄。
法向量为＄r_u ＼times r_v ＝（－2, －2, 1)＄。
三、曲线的弧长曲线的弧长可以通过积分来计算。
对于曲线＄r(t)＄，弧长公式为＄L ＝＼int_{a}＾｛b} ＼｜r'（t)＼｜ dt$。
例题 3：计算曲线＄r(t) ＝（e^t ＼cos t, e^t ＼sin t)＄从＄t ＝0$ 到＄t ＝＼pi$ 的弧长。
解：＄r'（t) ＝（e^t ＼cos t e^t ＼sin t, e^t ＼sin t ＋ e^t ＼cos t)＄，＄＼｜r'（t)＼｜＝＼sqrt{（e^t ＼cos t e^t ＼sin t)＾2 ＋（e^t ＼sin t ＋ e^t ＼cos t)＾2} ＝＼sqrt{2} e^t$。
《微分方程复习大纲》课件
欢迎来到我们的《微分方程复习大纲》PPT课件！在这个课件中，我们将一起 探索微分方程的定义、分类，以及解决这些方程的方法。
微分方程的定义和概念
1 微分方程的含义
解决自然现象中变化和关系的数学方程。包含未知函数及其导数的方程。
2 微分方程的分类
分为常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs），根据未知函数的变量类型进行分类。
常微分方程的基本解法
分离变量法
将未知函数分为多个表达式并 分别性代数问 题，利用特征根求解。
常系数线性微分方程 法
利用特征根解常系数线性微分 方程，得到通解。
常微分方程的数值解法
1
欧拉法
使用差分代替微分，逐步逼近微分方程的解。
2
龙格-库塔法
通过多次计算，提高数值解的精确度。
将解函数表示为傅立叶级数，逐步逼近方程的数 值解。
应用实例和习题练习
物理学
模拟物体的运动、热传导、波动等现象。
经济学
预测经济发展、市场价格波动等。
工程学
分析电路、热传导、结构稳定性等问题。
数学建模
挑战各种实际问题，加深对微分方程的理解。
3
改进的欧拉法
控制步长大小，并提供更精确的数值解。
偏微分方程的基本解法
热方程
描述物体温度分布随时间变化的 方程。
波动方程
描述波的传播和震荡的方程。
拉普拉斯方程
描述势场的分布和形状的方程。
偏微分方程的数值解法
有限差分法 有限元法 谱方法
将偏微分方程转化为差分表达式，并逐步计算数 值解。
将解域划分为有限个单元，利用逼近函数计算数 值解。
高数复习练习题及答案
一。
微分方程 1. 一阶微分方程(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。
(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解 (4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 (6) 求微分方程212y x y'=-的通解 (7)、 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解.(8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通(9)求微分方程 ()()2223360.64x xy dx x y y dy ++=+的通解2. 高阶微分方程 (10)* 21.2y y y'''+-求微分方程=0的通解 (11)* 求如下初值问题的解()()()2111,10yy y y y ⎧'''=+⎪⎨'==⎪⎩ 14). 微分方程430y y y '''-+=的通解为:312x x y C e C e =+(16). 求解初值问题()()2001y y xy y ''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩(17). 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y =（ ）A 、2axB 、2ax bx c ++C 、()2x ax bx c ++D 、()22x ax bx c ++二。
空间解析几何与向量代数(1)．设有向量{}1,2,2a =- ，{}2,1,2b =-，则数量积()()a b a b -⋅+= 0。
(2)．过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是: 。
(3)．已知三点()1,1,1,(2,2,1),(2,1,2)A B C ，则向量AB与AC 的夹角θ是A ．4πB ．3πC ．6πD ．2π(4)* 曲线cos :sin x a t y a t z ct =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为(5)*. 在曲面22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。
微分方程之考点分析 (1)
微分方程之考点分析文章来源：文都教育考研数学中考查的微分方程是常微分方程，常微分方程与微积分有着紧密联系的一门数学分支，在实际问题中有重要的应用，利用常微分方程建立实际问题的数学模型和方程的求解是这部分内容得两个核心问题。
这部分内容若单单考查方程的通解或特解等问题，往往是比较简单的题目，但是若是与实际问题或是最值问题或是级数相结合，题目往往是与解答题的形式出现的，相对来说难度稍微大一些。
数一、数二、数三公共部分的考试内容如下：常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程，微分方程的简单应用。
对于数一、数二、数三同学来说，都要求掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程的求解。
至于数一和数二同学还要求掌握可降阶的微分方程的求解。
此外，数一同学专享的内容还有伯努利方程、全微分方程和欧拉方程的求解，数三同学专享的内容有差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解，一阶常系数线性差分方程的求解。
文都教育老师在这里提醒大家，一定要清楚自己所要考查的范围，进行相应的复习，避免多余复习和遗漏复习。
本部分重点考查的内容如下：1.解方程问题，具体在以下几个方面和角度进行考查：（1）考试内容中要求的各种类型微分方程的求解和初值问题。
（2）线性微分方程解得结构。
（3）已知解，反过来求相应的方程的形式。
2. 关于微分方程的应用题，是历年考试中考查的重点内容之一，也是学生复习时的一个难点。
（1）能够根据题意和问题的性质，建立方程。
主要体现为积分方程向微分方程的转化；利用原函数与全微分的概念建立并求解方程；利用曲线积分与路径无关的充要条件建立方程；利用函数项级数的分析性质建立方程等。
（2）应用问题一般多是初值问题，要能够从题设条件中确定初始条件。
同学们复习过程中，一定要清楚自己考试的范围，对于历年真题中出现频率比较高的题目类型，复习时要着重突破一下此类型题目。
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
在初中数学中，我们主要学习常微分方程。
1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。
1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。
高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。
二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。
2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。
2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。
2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。
高中数学知识点总结微分方程的应用与求解技巧
高中数学知识点总结微分方程的应用与求解技巧高中数学知识点总结：微分方程的应用与求解技巧微分方程是数学中的重要分支，其在许多领域中都有广泛的应用。
本文将总结高中数学中微分方程的应用以及求解技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中包含了未知函数的导数。
通常表示为dy/dx=f(x)或者dy/dx=g(x,y)。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
二、微分方程的应用领域1.物理学中的应用微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。
例如，在运动学中，利用微分方程可以描述物体的运动状态以及其变化规律。
2.生物学中的应用微分方程在生物学领域中有着重要的应用，可以描述生物体的生长、衰变、传播等现象。
通过建立适当的微分方程模型，可以研究动态系统的行为。
3.经济学中的应用微分方程在经济学中的应用较为常见，可以描述经济变量之间的关系，研究经济系统的演化过程。
例如，通过建立供需关系方程组，可以分析市场上物品供求的平衡情况。
三、微分方程的求解技巧1.分离变量法分离变量法是常用的微分方程求解方法之一，适用于可以将微分方程化为两个变量的乘积形式。
具体步骤为将方程两边分别积分，将两个变量分离开来。
2.齐次微分方程的求解对于形式为dy/dx=f(x,y)的齐次微分方程，可以通过引入新的变量进行求解。
将y=xu代入方程，化简后可得到一个容易求解的变量分离的方程。
3.常微分方程的特殊解常微分方程中可能存在特殊解，如平凡解和周期解。
平凡解是指对于某些特定的初始条件，方程的解为常数。
周期解是指解具有周期性，对于给定的初始条件，解在不同的时间点重复出现。
四、实例分析以一个简单的物理学问题为例，探讨微分方程的应用与求解技巧：问题描述：假设一个物体在无空气阻力的情况下自由下落，考虑重力对其产生的加速度。
求物体的位移随时间的变化关系。
解法分析：根据牛顿第二定律可以得到物体的运动微分方程为d²y/dt²=-g，其中y为位移，t为时间，g为重力加速度。
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习〔一〕微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念.〔1〕一条曲线通过点〔1,2〕,且在该曲线上任一点M 〔x ,y 〕处的切线的斜率为2x ,求这条曲线的方程.解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy2=〔1〕 同时还满足以下条件：1=x 时,2=y 〔2〕把〔1〕式两端积分,得⎰=xdx y 2即C x y +=2〔3〕其中C 是任意常数. 把条件〔2〕代入〔3〕式,得1=C ,由此解出C 并代入〔3〕式,得到所求曲线方程：12+=x y 〔4〕〔2〕列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住,以与列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：4.022-=dt sd 〔5〕 此外,还满足条件：0=t 时,20,0===dtdsv s 〔6〕<5>式两端积分一次得：14.0C t dtds v +-== 〔7〕再积分一次得2122.0C t C t s ++-= 〔8〕其中21,C C 都是任意常数.把条件"0=t 时20=v "和"0=t 时0=s "分别代入〔７〕式和〔８〕式,得把21,C C 的值代入〔7〕与〔8〕式得,204.0+-=t v 〔9〕 t t s 202.02+-=〔10〕在〔9〕式中令0=v ,得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020s t ==. 再把5=t 代入〔10〕式,得到列车在制动阶段行驶的路程上述两个例子中的关系式〔1〕和〔5〕,〔6〕都含有未知函数的导数,它们都是微分方程.1．微分方程的概念一般地,凡含有未知函数、未知函数的导数与自变量的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程,叫做偏微分方程.我们只研究常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶.例如,方程〔1〕是一阶微分方程；方程〔5〕是二阶微分方程方程.又如,方程()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程.一般地,n 阶微分方程的形式是()(,,',...,)0,n F x y y y =〔11〕其中F 是个2+n 变量的函数.这里必须指出,在方程〔11〕中,)(n y 是必须出现的,而)1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现.例如n 阶微分方程中,除)(n y 外,其他变量都没有出现.由前面的例子我们看到,在研究某些实际问题时,首先要建立微分方程,然后找出满足微分方程的函数,就是说,找出这样的函数,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式.这个函数就叫做该微分方程的解.例如,函数〔3〕和〔4〕都是微分方程〔1〕的解；函数〔8〕和〔10〕都是微分方程〔5〕的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.例如,函数〔3〕是方程〔1〕的解,它含有一个任意常数,而方程〔1〕是一阶的,所以函数〔3〕是方程〔1〕的通解.又如,函数〔8〕是方程的解,它含有两个任意常数,而方程〔5〕是二阶的,所以函数〔8〕是方程〔5〕的通解.由于通解中含有任意常数,所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性,必须确定这些常数的值.为此,要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件.例如,例1中的条件〔2〕,例2中的条件〔6〕,便是这样的条件.设微分方程中的未知函数为)(x y y =,如果微分方程是一阶的,通常用来确定任意常数的条件是0x x =时,0y y =,或写成00|y y x x ==其中0x ,0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是：0x x =时,0y y =,'1y y =或写成00|y y x x ==,0'|1x x y y ==其中0x ,0y 和1y 都是给定的值.上述条件叫做初始条件.确定了通解中的任意常数以后,就得到了微分方程的特解.例如〔4〕式是方程〔1〕满足条件〔2〕的特解；〔10〕式是方程〔5〕满足条件〔6〕的特解.求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题,叫做一阶微分方程的初值问题,记作⎩⎨⎧===.|),,('00y y y x f y x x 〔13〕 二阶微分方程的初值问题是3、例题例1验证：函数kt C kt C x sin cos 21+=〔14〕是微分方程0222=+x k dtx d 〔15〕 的解.解求出所给函数〔14〕的导数把22dtxd 与x 的表达式代入方程〔15〕得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡函数〔14〕与其导数代入方程〔15〕后成为一个恒等式,因此函数〔14〕是微分方程〔15〕的解. 用程序来实现： >> syms k t C1 C2;>> x=C1*cos<k*t>+C2*sin<k*t>; >> diff<x,t,2>+k^2*x ans =k^2*<C1*cos<k*t> + C2*sin<k*t>> - C1*k^2*cos<k*t> - C2*k^2*sin<k*t> >> simple<ans> 〔二〕微分方程的解一、几个会用到的函数： 1、solve 函数：Matlab 中solve 函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解. solve 函数的语法定义主要有以下四种： solve<‘eq ’>solve<‘eq ’, ‘var ’>solve<‘eq1’,’eq2’, …,’ eqn ’>g = solve<‘eq1’, ‘eq2’, …,’ eqn ’, ‘var1’, ‘var2’, …, ‘varn ’> eq 代表字符串形式的方程,var 代表的是变量.例1：解方程02=++c bx ax程序是：syms a b c x;solve<'a*x^2+b*x+c'> 〔也可写成solve<'a*x^2+b*x+c=0'>〕当没有指定变量的时候,matlab 默认求解的是关于x 的解,求解的结果为： ans =-<b + <b^2 - 4*a*c>^<1/2>>/<2*a> -<b - <b^2 - 4*a*c>^<1/2>>/<2*a>d 当指定变量为b 的时候： solve<'a*x^2+b*x+c','b'> 求解的结果为： ans =-<a*x^2 + c>/xs = -<a*x^2 + c>/x例2：对于方程组⎩⎨⎧=-=+5111y x y x 的情况S=solve<'x+y=1','x-11*y=5'>; S.x S.y>> S=[S.x,S.y]<这里或者写成x=S.xy=S.y>如果解得是一个方程组,而且采用了形如[a,b]=solve<a+b=1, 2a -b=4ab> 的格式,那么,在MATLAB R2014a 中没问题,可以保证输出的a,b 就等于相应的解,但是在R2012b 等早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序.所以最好采用g=solve<a+b=1, 2a -b=4ab>这种单输出格式,这样输出的是一个结构体,g.a 和g.b 就是对应的解. S =[ 4/3, -1/3]一、 微分方程的解析解格式：dsolve<‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’>记号: 在表达微分方程时,用字母D 表示求微分,D2y 、D3y 等表示求高阶微分. 任何D 后所跟的字母为因变量,自变量可以指定或由系统规则选定为确省,默认自变量是t 例如,微分方程022=dx y d 应表达为：D2y=0.例1：求解微分方程22x xe xy dxdy-=+,并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1y=dsolve<'Dy+2*x*y=x*exp<-x^2>','x'> %line2 diff<y,x>+2*x*y -x*exp<-x^2> %line3simplify<diff<y,x>+2*x*y -x*exp<-x^2>> %line4 说明：<1> 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写,但为确保正确性,建议写上；<2> 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp<-x^2>*x^2+exp<-x^2>*C1<3> 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程,结果应该为0,但这里给出：-x^3*exp<-x^2>-2*x*exp<-x^2>*C1+2*x*<1/2*exp<-x^2>*x^2+exp<-x^2>*C1><4> 行line4 用 simplify<> 〔simple<>〕函数对上式进行化简,结果为 0,表明)(x y y =的确是微分方程的解．例2：先求微分方程0'=-+x e y xy 的通解,再求在初始条件e y 2)1(=下的特解,并画出特解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x yy=dsolve<'x*Dy+y -exp<x>=0', 'x'> 结果y =<exp<x>+C1>/x 求特解两个方法1.y=dsolve<'x*Dy+y -exp<x>=0','y<1>=2*exp<1>', 'x'>结果y =<exp<x>+exp<1>>/x2.C1= solve<'2*exp<1>=exp<1>+C1','C1'> 结果C1 =exp<1>y =<exp<x>+exp<-x^2> 结果<exp<x>+exp<1>>/x ezplot<y>例3：求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++035y x dtdy e y x dtdx t在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解,并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y ta=dsolve<'Dx+5*x+y=exp<t>','Dy -x -3*y=0','x<0>=1','y<0>=0','t'>;x=a.x y=a.y simple<x>; simple<y>;ezplot<x,y,[0,1.3]>;axis auto %坐标刻度选默认值 例4先求微分方程的通解,再求微分方程的特解.程序是：dsolve<'D2y+4*Dy+29*y=0','y<0>=0,Dy<0>=15','x'> ans =<3*sin<5*x>>/exp<2*x> 例5求微分方程组的通解. 程序是：A=dsolve<'Dx=2*x -3*y+3*z,Dy=4*x -5*y+3*z,Dz=4*x -4*y+2*z','t'>; >> x=A.x y=A.y z=A.z。
微分方程复习要点
微分方程复习要点微分方程是数学中重要的分支之一，它是研究描述变量之间关系的方程。
微分方程在自然科学、工程技术、经济学等领域中有广泛的应用。
下面是微分方程的复习要点：1.微分方程的基本概念-求解微分方程即找到满足方程的函数表达式。
-通解是包含未知常数的解，可以通过给定的初始条件确定常数值得到特解。
-初值问题是给定初始条件的微分方程求解问题。
2.微分方程的分类-一阶微分方程：方程中最高阶导数为一阶。
-二阶微分方程：方程中最高阶导数为二阶。
-高阶微分方程：方程中最高阶导数为大于二阶的正整数。
3.常见类型的微分方程-分离变量型微分方程：方程中将变量分离后，两边可以分别积分得到解。
-齐次型微分方程：方程中将变量替换后，可以化为分离变量型微分方程。
-线性微分方程：方程中改写成导数形式后，可以通过积分因子或公式求得通解。
- Bernoulli微分方程：方程中通过变形后可以化为线性微分方程。
-恰当微分方程：方程中通过判断系数矩阵的偏导数可以判断是否为恰当微分方程。
4.高阶线性微分方程- 高阶线性微分方程的标准形式为$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$。
-特征方程的解给出了对应齐次线性微分方程的解的形式。
-利用特解的方法可以得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常用的求解微分方程的方法-变量分离法：通过对方程中的变量进行分离积分得到解。
-齐次型微分方程的解法：通过变量变换将方程化为分离变量型微分方程。
-线性微分方程的解法：通过积分因子或公式求解。
-分步求解法：将高阶微分方程转化为一系列的一阶微分方程求解。
-变参数法：通过适当的参数选择将微分方程化为可解的形式。
6.常见的微分方程应用-弹簧振动方程：通过微分方程描述弹簧振动的行为。
-温度分布方程：通过微分方程描述材料的温度传导和热流。
-人口增长方程：通过微分方程描述人口数量的变化。
期中复习 1 微分方程 解析几何
y ′ = A(1 + x )e x
代入原方程得： 代入原方程得：
y ′′ = A( 2 + x )e x
分 A = −3 ……….3分
所以原方程的通解为： 所以原方程的通解为： .2分 .2 Y = C 1 e x + C 2 e 2 x − 3 xe x ……….2分
1 y′ 2 ′′ = 10. 方程 y 的通解为 y = C1 x + C2 x 2
3 代入原方程得 : A = , B = −3 2 ………………………….9分 .9分 .9 通解为： ∴通解为： 3 −x −2 x y = C 1e + C 2 e + x ( x − 3)e − x ……….10分 .10分 .10 2
11、 11、求方程 y′′ − 4 y′ + 4 y = 2e 2 x 的通解. 的通解.
x
1 2 x ∴ Y = (C 1 + C 2 x )e + x e 2
11.（10分 11.（10分）求微分方程 y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 3 xe − x 的通解。 的通解。
解：
r + 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = −1, r2 = −2
2
∴对应齐次方程的通解为： = C 1e − x + C 2 e − 2 x ……….4分 对应齐次方程的通解为： Y 分 .6分 .6 又 λ = −1为特征单实根 , y* = x ( Ax + B )e − x……….6分 为特征单实根
y = C1e + C 2 e
x 3x
1 x − xe 2
13、 连续， 13、设函数ϕ ( x )连续，且满足
高一数学期中考试知识点
高一数学期中考试知识点高一数学期中考试的知识点主要包括数与式、方程与不等式、函数与图像、三角函数、解析几何和概率统计等内容。
下面将对每个知识点进行详细介绍。
1. 数与式数与式是数学算的基础，也是解决实际问题的基本方法。
数包括自然数、整数、有理数和无理数等；式则由运算符号和运算数组成。
在这一章节中，学生需要掌握数的分类和性质，以及常见的数与数之间的运算法则，如四则运算、乘方和开方等。
2. 方程与不等式方程和不等式是数学中常见的表示关系的形式。
方程是指含有未知数的相等关系，而不等式则描述了不等的关系。
学生需要熟悉线性方程和一元二次方程的解法，以及二次不等式的解集求解方法。
3. 函数与图像函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素。
学生需要了解函数的定义、性质和分类，包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
此外，学生还需要学会绘制函数的图像，并能根据图像解决实际问题。
4. 三角函数三角函数是数学中重要的函数之一，它描述了角度与边长之间的关系。
学生需要掌握正弦、余弦、正切等常见三角函数的定义与性质，能够计算三角函数的值，并运用三角函数解决实际问题。
5. 解析几何解析几何是研究几何图形的位置关系和变化规律的数学分支。
学生需要熟悉平面直角坐标系和向量的表示方法，能够利用解析几何的方法解决直线、圆和曲线的性质和运动问题。
6. 概率统计概率统计是概率论和数理统计的基础，用于描述随机事件的发生概率和数据的收集与分析。
学生需要了解概率的概念和计算方法，能够计算事件的概率和对应的期望值。
同时，他们还需要学会统计数据，并能够根据统计结果进行推断和预测。
7. 数列数列是数学中一种重要的数学结构，它是由无穷多个数按照一定的顺序排列而成的。
学生需要掌握数列的通项公式，了解数列的分类，如等差数列、等比数列等，并掌握数列的求和公式。
8. 空间几何空间几何是研究三维空间中几何图形的位置关系和变化规律的数学分支。
微分几何例题和知识点总结
微分几何例题和知识点总结微分几何是数学中一个重要的分支，它主要研究曲线和曲面的性质。
在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解微分几何的知识点，并对重要概念进行总结。
一、曲线的微分几何（一）弧长参数曲线的弧长参数是一个重要的概念。
假设我们有曲线的参数方程＄r(t) ＝（x(t)， y(t)， z(t)）＄，弧长＄s$ 可以通过积分来计算：＄s＝＼int_{t_0}＾t ＼sqrt{（x'（t)）＾2 ＋（y'（t)）＾2 ＋（z'（t)）＾2} dt$ 。
例 1：考虑参数曲线＄r(t) ＝（t, t^2, t^3)＄，＄t$ 从 0 到 1 。
计算其弧长。
解：首先计算导数＄r'（t) ＝（1, 2t, 3t^2)＄，其模长为＄＼sqrt{1 ＋ 4t^2 ＋ 9t^4}＄。
则弧长为＄s ＝＼int_0^1 ＼sqrt{1 ＋ 4t^2 ＋ 9t^4} dt$ 。
（二）曲率和挠率曲率描述了曲线弯曲的程度，挠率则描述了曲线偏离平面曲线的程度。
对于曲线＄r(t)＄，曲率＄k(t)＄为：＄k(t) ＝＼frac{＼vert r'（t)＼times r'＇（t) ＼vert}｛＼vert r'（t) ＼vert^3}＄，挠率＄＼tau(t)＄为：＄＼tau(t) ＝＼frac{（r'（t)， r'＇（t)， r'＇＇（t)）｝｛＼vertr'（t) ＼times r'＇（t) ＼vert^2}＄。
例 2：求曲线＄r(t) ＝（e^t ＼cos t, e^t ＼sin t, e^t)＄的曲率和挠率。
解：计算导数＄r'（t) ＝（e^t （＼cos t ＼sin t)， e^t （＼sin t ＋＼cos t)， e^t)＄，＄r'＇（t) ＝（－2e^t ＼sin t, 2e^t ＼cos t, e^t)＄，＄r'＇＇（t) ＝（－2e^t （＼cos t ＋＼sin t)， 2e^t （＼cos t ＼sin t)，e^t)＄。
微分方程期末总结
微分方程期末总结第一章微分方程的基本概念与理论基础微分方程作为数学的一个分支，在不同领域应用广泛。
它是描述自然界或社会现象中变量之间关系的数学工具。
微分方程的研究过程需要涉及到微积分、代数、几何等数学知识，并且需要运用数学分析、几何分析等方法。
1.1 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数未知函数及其各导数之间关系的方程。
常见的微分方程类型包括常微分方程、偏微分方程和积分方程。
常微分方程是自变量只有一个的微分方程，通过对未知函数及其导数的各阶求导得到。
偏微分方程是自变量有多个的微分方程，对未知函数及其各偏导数求导得到。
积分方程是通过对微分方程整体进行积分得到。
1.2 微分方程的解与解的存在唯一性微分方程的解是满足方程的函数，可以包含一个或多个参数。
微分方程的解可以是显式解或隐式解。
解的存在唯一性是指在一定条件下，对于给定的初值问题，当解存在时，解是唯一的。
1.3 微分方程的初值问题与边值问题初值问题是指给定了微分方程在某点的解值和导数值，要求求解整个方程解的问题。
边值问题是指在某一区间的两个端点处给定了微分方程的解值，要求求解在整个区间上的解的问题。
第二章一阶微分方程的解法一阶微分方程是指包含未知函数的一阶导数的方程，可以通过变量分离、齐次方程、线性方程等方法求解。
2.1 可分离变量方程可分离变量方程是指可以使方程的两边关于未知函数和自变量分离的方程。
通过对方程两边分离变量，再分别积分可以得到方程的解。
2.2 齐次方程齐次方程是指当方程右侧为零时，可以通过替换未知函数的形式，将方程转化为可分离变量方程。
通过变量替换和分离变量的方法可以求得齐次方程的解。
2.3 线性方程线性方程是指当方程右侧为一次函数时，可以通过积分因子法将方程转化为可分离变量方程。
通过确定积分因子和乘法积分可以求得线性方程的解。
2.4 恰当微分方程恰当微分方程是指可以通过判断方程的某种性质，从而直接找到方程的解。
判断恰当微分方程的方法包括齐次性条件和恰当条件。
解析几何中的微分方程与曲线
解析几何中的微分方程与曲线在解析几何学中，微分方程是一种强大的工具，用于研究曲线的性质和变化。
微分方程描述了曲线上点的变化率，通过求解微分方程，我们可以得到曲线的方程，研究其几何性质。
本文将介绍解析几何中的微分方程与曲线的关系，并探讨一些与微分方程相关的重要概念。
一、微分方程的定义和基本性质微分方程是描述函数或者曲线变化率的方程。
一般而言，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程涉及一个或多个未知函数的导数，而偏微分方程涉及一个或多个未知函数的偏导数。
解析几何中常见的微分方程有曲线的参数方程和曲线的一般方程。
1. 曲线的参数方程曲线的参数方程是通过参数变量来描述曲线上的点。
常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)其中x和y是实函数，t是参数。
通过不同的参数变化，可以得到曲线上不同点的坐标。
对参数t求导，可以得到曲线上点的切线斜率。
这样，我们可以通过求解微分方程来研究曲线的性质和变化。
2. 曲线的一般方程曲线的一般方程是通过x和y的自变量关系来描述曲线。
一般方程可以是显式方程或隐式方程。
对于二次曲线，如圆、椭圆和双曲线，其一般方程可以表示为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0的形式。
通过微分方程的方法，可以推导出曲线的切线斜率和法线方程。
二、微分方程与曲线的应用微分方程与曲线的研究在解析几何中具有重要的应用价值。
通过微分方程的求解，可以得到曲线的参数方程或一般方程，从而研究曲线的性质和变化。
以下是一些与微分方程相关的典型应用：1. 曲线的切线与法线对曲线的参数方程求导，可以得到曲线上任意一点的切线斜率。
通过求解微分方程，可以得到曲线上每个点的切线方程。
切线是与曲线仅有一个公共点的直线，切线方程可以用于研究曲线的切点和切线与其他图形的相交关系。
同样地，通过求解微分方程，可以得到曲线上每个点的法线方程。
法线是与曲线垂直的直线，法线方程可以用于研究曲线的几何性质，如曲率和曲面的法线。
2-1微分方程的几何解释
§2.1 常微分方程的几何解释
一、线素场
定
义
：
方
程
dy dx
=
f (x, y)， 若f (x, y)在G内 有 定 义 ， 对∀(x, y)
∈
G，
以(x, y) 为中点，以f (x, y)为斜率，作单位线段，称为点(x, y)的线素.G内
所有的线素构成线素场.
例：确定方程的线素场
dy y =
h
=
b
− x0 n
,
xn
=
b
通讯作者：席伟
1
email:teacherxi@
沈阳化工学院
过(x0, y0)点，斜率为f (x0, y0)的直线段L1：
y = y0 + f (x0, y0)(x − x0)
则，直线段L1在x1对应的y1为y1 = y0+f (x0, y0)h，过(x1, y1)点，以f (x1, y1)为 斜率的直线段L2为
dx x
例：确定方程的线素场
dy x =−
dx y
注 ： 当 dy
dx
=
f (x, y)的 右 端 函 数f (x, y)在 某 些 点 为 无 限 时 ， 同 时 考 虑 方
程 dx
dy
=
1 f (x,y)
，则该点的线素平行y轴.
定理：曲线L为方程
dy dx
=
f (x, y)的积分曲线的充要条件是L在每点均与
y = y1 + f (x1, y1)(x − x1) 以此类推，过(xk, yk)点，以f (xk, yk)为斜率的直线段Lk为
y = yk−1 + f (xk−1, yk−1)(x − xk−1) 这样得到的直线段所构成的折线即为积分曲线的近似，称为欧拉折线.
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高等数学之一阶微分方程和可降阶微分方程问题的解法总结
常微分方程这部分内容，每年试题一般是一个小题，也会和其它知识点结合在一起出一个大题，分数一般在4分左右，难度不是很大。
除了各种微分方程的求解，对常系数线性微分方程解的结构和性质的考查也是考试的一个重要方面。
一阶微分方程的重点知识点如下：
（1）变量可分离的微分方程
（2）齐次方程
（3）一阶线性微分方程
（4）伯努利方程
（5）全微分方程：若存在二元函数u(x,y)，使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，则称微分方程
P（x,y)dx+Q（x,y)dy=0为全微分方程，它的通解为u(x,y)=C.
从上述总结的一阶微分方程的种类及解法可以看出，这类题目的题型多变，同学们需要强化记忆理解相关概念，注意区分，对不同类型的题目采取相对应的解法。
（6）可降阶的高阶微分方程
题型一：可降阶且不显y的微分方程
例1：（2007年考研真题)
分析：本题是可降阶且不显y的微分方程，可以通过令p=y'，把原方程化解程一阶线性微分方程。
解：
题型二：积分方程化为微分方程求解
例2：（2008年考研真题）
分析：本题是求旋转体的侧面积和体积以及微分方程的综合题，考察学生是否熟练掌握了旋转体的侧面积和体积的求法，其次考察了把积分方程转化为微分方程来求解的技巧。
解：
总结：
（1）一阶线性微分方程是考试的重点；
（2）可降阶的高阶微分方程经常考，07，08，09三年都有考。
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x x y* ae axe ,
代入原方程化简得
:
x
a 3
y * 3 xe
,
x
原方程的通解为
:
y C 1e
C 2e
2x
3 xe
x
8、求微分方程 y 6 y 9 y x 1 e 3 x 的通解（10分） 解：特征方程为：2 r
y 5 y 4 y xe
的通解。
x 1 9 )e
x
y C 1e
x
C 2e
4x
x(
1 6
12、(本小题10分) 求微分方程 y 4 y
y C 1e
x
3y e
x
C 2e
3x
1 2
xe
x
13、设函数 ( x ) 连续，且满足
和平面
x y z 1 0
间的夹角是 (A) 60 0 (C)
30
0
__B__
(B) (D)
0
90
0
0
6.平面平分两点 A ( 1 , 2 , 3 ) 和 B ( 3 , 1 , 4 ) 间的直线段且和它垂直，求此平面方程。
n AB 2 , 3 ,1
为所求平面的法向量……2分
* *
y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 2 ( x )
的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
* *
3、方程 (A)
3e
y y 2 e x 2y
?
x
m
9. 求方程
y 3 y 2 y 3 e
x
的通解.（10分） 则
r 1, r 2
解：特征方程为： 2 r
3r 2 0.
对应齐次方程的通解为：
Y
*
………….3分
C 1e
x
C 2e
2x
………….2分
Axe
x
y 非齐次方程的特解可设为： y A (1 x ) e
13、下列表示双叶双曲面的是( B 2 2 (A) x 2 y z
a
2
2 2
)。
b
2 2
2
2 2
c
2 2
2
1
(B)
x a
y b
z c
2 2
1
(C)
x a
y b
z
(D)
x a
2 2
y b
2 2
z
a 14、已知二向量a { 0 , 3 , 4 }, b { 2 ,1 , 2 }, 则 Pr j b
y p y q y e x P (1) ( x ) cos x P ( 2 ) ( x ) sin x l n
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* x e
k
x
R
(1) m
cos x Rm sin x
（ B
）
(A) a // b
a b
(C)
a b ( 0)
(D) a
b 0
2.设
a 5, b 8, a b 5
，则 ( a , b )
=
arccos( ) 5
4
或
arccos
4 5
或 arcsin
:A
3 2
, B 3
通解为：
y C 1e
x
………………………….9分
C 2e
2x
x(
3 2
x 3 )e
x
……….10分
11、求方程 y 4 y 4 y 2 e 2 x 的通解.
y (C1 C 2 x )e
2x
x e
2
x
2x
1、（10分）求微分方程
C 2e
3x
(
1 12
x
7 144
)e
x
7、求方程 y
x 3 y 2 y 3 e 的通解。 （8
2
分）
解
特征方程 r 3 r 2 0 ,
特征根
r1 1， r 2 2，
Y C 1e
x
x
对应齐次方程通解
1 是单根，
C 2e
2x
,
设 y* axe ,
( 2)
其中
5 .求微分方程
3x y 4 y 3 y e 的通解 .
特征方程
Y C 1e
x
r
2
4r 3 0,
3x
r 1, r 3
C 2e
,
3x
3 是单根 ,
Q ( x ) Ax ,
设 y Axe
Q A,
2
Q 0 ,
代入下式
将
且 ( 0 ) 1 , ( 0 ) 1 .
x
ae 代 入 方 程 得
x
1 2 e
x
1 2
e
( x ) c 1 cos x c 2 sin x
( 0 ) c1
1 2
1 2
1 c1
1 2
x
( 0 ) c 2
1 2
3 5
或
arctan
3 4
3．设
AB
与u轴的夹角为 3 ,则 AB 在u轴上的投影是 __C___
(A) AB cos
(B) AB sin
3
3
3
(C) | AB | cos
(D)| AB | sin
3
4. 过点
M 1 ( 3 , 2 ,1 ), M 2 ( 1 , 0 , 2 )
z x y
2 2
a 11、同时垂直于向量 3 , 6 , 8
和
y
轴的单位向量是：
1 73
8,0,3
12、平面 x z 0的位置是( A )。
(A) 过 y轴且与 zox 面垂直；
(B) 垂直于 y 轴； (C) 平行于 y 轴且与 zox 面相交；
(D) 平行于 zox
AB
直线段的中点M的坐标为
x 0 2, y
0
1 2
, z0
7 2
……4分
7 2
故所求平面方程
2( x 2 ) 3( y 1 ) z 0 2 或 2x 3y z 6 0
……6分
解法二：
AB
2 (3) 1
2 2
14
……1分
设所求平面为
……3分 则点A到所求平面的距离为
Q ( 2 p ) Q ( p q ) Q 1
2 A 1, y C 1e
x
A
1 2
,
3x
y 1 2
1 2
xe
3x
,
C 2e
xe
3x
.
6.求
d y dx
2
2
5
dy dx
6 y xe 的通解 .
x
y C 1e
2x
1， 3
2
3， 5
，则该球面的方程为_____
2 2
( x 3) ( x 1) ( x 1) 21
9、过点(1,-1, 1)且与直线
x 1 2
y 4
z 3 3
垂直的平面方程为_ 2 x 4 y 3 z 5 0 10
z y
2
绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程为：
6r 9 0
r1 ，特征根为： r2 3 .
……………2分
所以对应的齐次方程的通解为： Y
e
3x
C 1 C 2 x ……3分
又因为 f x e 2 x x 1 是 P x e 型， 2 不是特征方程的根，故令 y e 2 x A x B 为非齐次方程的一个特解，……………7分 2x 2x y e 2 Ax 2 B A y e 4 Ax 4B 4 A 则 代入原方程得：A x B 2 A x 1 。比较系数得： 2x A 1, B 3 ，故 y e x 3 3x 2x y 因此原方程的通解为： c1 c 2 x e x 3 e ……10分
的直线方程是 __D_
(A) 4 ( x 3 ) 2 ( y 2 ) ( z 1 ) 0
(B) (C)
x 3 4
y 2 2 y 2
z1 1
x 1 4 x 3 4
z 2 1 z1 1
(D)
y 2 2
5. 直线
x y 3z 0 x y z 0
{ 2 ,1 , 0 }
x 5 2t y 1 t z 7
……..2分
2 ( x 2 ) ( y 5 ) 0 ( x 3 ) 0 ..………2分 2x y 1 0