空间中的垂直关系习题课讲课稿

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第11讲空间中的垂直关系doc高中数学

第11讲空间中的垂直关系doc 高中数学高三新数学第一轮复习教案〔讲座11〕—空间中的垂直关系一．课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为动身点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和明白得空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，那么两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二．命题走向近年来，立体几何高考命题形式比较稳固，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依靠，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

推测2007年高考将以多面体为载体直截了当考察线面位置关系：〔1〕考题将会显现一个选择题、一个填空题和一个解答题；〔2〕在考题上的特点为：热点咨询题为平面的差不多性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

〔3〕解答题多采纳一题多咨询的方式，如此既降低了起点又分散了难点。

三．要点精讲1．线线垂直判定线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，假如它和那个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，假如和那个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

空间中的垂直关系(带答案)教学提纲

空间中的垂直关系(带答案)空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥ PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥ BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥ BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．DEG（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A 1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥ BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。

高二第4讲空间中的垂直关系(教师版)

第4讲空间中的垂直关系（教师版）一．学习目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．二．重点难点：重点：线面与面面垂直的判定．难点：线面与面面垂直的证明，特别是通过计算证明垂直关系．三．知识梳理：1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直垂直于同一个平面的两条[探究] 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？提示：垂直2.平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平[探究] 2..垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．3．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．四．典例剖析：题型一线面、面面垂直判断题例1（1）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直则直线l与平面α不垂直．[思路探索] 利用线面垂直的定义并结合反例法，反证法判断．解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确．答案③④（2）(2012·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)下列错误的是( )A．如果平面α⊥平面γ，如果平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线垂直于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直β解析：D中当过交线上任意一点作交线的垂线不在平面α内时，此垂线不垂直β，故选D.（3）(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有( )A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B 由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．课堂小结：(1)线面垂直的定义不易用来判定线面垂直，但能利用它判定线面不垂直．(2)要注意定义的等价性．课堂练习1：（1）下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3答：B（2）下列命题错误的是________(填序号)．①若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l与α的所有直线垂直；③过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个；④a、b为异面直线，a∥α，b∥α，若l⊥a，l⊥b，则l⊥α.解析②③④正确，①不正确．答案①（3）(2012·金丽衢十二校第二次联考)已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件时，m⊥β.(填符合条件的序号)解析：当m⊥α且α∥β时，m⊥β，即应当填②⑤.题型二线面垂直的证明——————常运用线面垂直的判定定理证例2（等腰三角形中线即高证垂直）（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA ⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明:BD ⊥面PAC ; （2）（3）（略）证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; 课堂练习2：（勾股定理证垂直）（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图 4【答案】(1)在等边三角形ABC中,AD AE=AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF-中也成立,//DE BC∴,DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,//DE∴平面BCF;(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF BC⊥①,12BF CF==.在三棱锥A BCF-中,2BC=,222BC BF CF CF BF∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF,结合(2)可得GE DFG⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF--⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⎝⎭题型三线线垂直的证明——————常转化为证线面垂直例3：（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C-中,CA CB=,1AB AA=, 160BAA∠= .(Ⅰ)证明:1AB AC⊥;(Ⅱ)若2AB CB==,16AC=,求三棱柱111ABC A B C-的体积.【答案】(I)取AB的中点O,连接OC O、1OA O、1A B,因为CA=CB,所以OC AB⊥,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故,AA B∆为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC⨅OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB⊥AC. (II)由题设知12ABC AA B∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B都是边长为的等边三角形，所以2211111.OC OA AC AC OA OA OC ==+⊥又，故111111111,--= 3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆⨯=因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC的体积课堂练习3：（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD-∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.(I)证明:;PB CD⊥(II)（略）【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.由PAB∆和PAD∆都是等边三角形知PA=PB=PD, [来源:学科网]所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, OE BD⊥,从而PB OE⊥.因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD⊥.题型四面面垂直的证明——————常转化为证线面垂直例4（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥中,,,分别为的中点(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:课堂练习4：（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD ，所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD[来源:学§科§网]所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.题型五线面、面面垂直探究问题例5（2012北京文）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点, 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A 1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.【考点定位】本题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决.第三问的创新式问法,难度比较大.解:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.课堂练习5：（2012北京理）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB 上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)（略）(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.、、【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1) CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD , 又 1AC ⊂平面1A CD , ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥, ∴1AC ⊥平面BCDE (3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，,()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z = ，，,则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =- ，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =-∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直五．品味高考（家庭作业）：1.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）yCA ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知为异面直线,平面,平面.直线满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（）A ．,且B ．,且C ．与相交,且交线垂直于 D ．与相交,且交线平行于【答案】D3.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A4.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II) （略）【答案】（略）5.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC ，同理:FG∥平面ABC 又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC(2)∵平面⊥SAB 平面SBC ，平面SAB 平面SBC =BCAF ⊆平面SABAF⊥SB ，∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC 又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA6.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ)（略）【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.COBDEC DO BE'A 图1 图2ABCSGFE连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==，由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE .7.（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ; (Ⅱ) （略）解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为, 在正方形ABCD中，BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)8.（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，1AC D OB E'A H,连接CE 并延长交AD 于F .(1) 求证:AD CFG ⊥平面;解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====, 故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .。

原创1：1.2.3 空间中的垂直关系（一）（讲授式）

（2）与直线 AA 垂直的平面有平面AC 、平面AC ；
（3）与直线 AD 垂直的平面有平面DC 、平面AB ．
D
A
C
B
D
A
C
B
达标训练
2．下列命题是否正确，并说明理由：
①．如果直线a垂直于平面α内的两条直
线，则直线a就与平面α垂直；
×
②．过空间一点，可以作无数个平面与一
条直线垂直；
边形的一边垂直．
记法：直线 AB 与平面互相垂直，记作 AB ．
新课讲授
直线与平面垂直的条件探求
试一试将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上．
折
痕
桌
面
l

观察：直线 m 和 n 关系；
A
m
n
答：直线m和n相交.
直线 l 和 m 关系；直线 l 和 n 关系；答：直线l与m和n均垂直.
b
a
证明：在平面α内作两条相交直线m，n．
A
α
Hale Waihona Puke 因为直线a⊥α ,m
n
根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.
又因为b//a,
总结：直线与平面垂直的判定定理应用
所以b⊥m，b⊥n.
（1）定理的实质是：
又m⊂ ，n ⊂α，且m∩n=A，
所以b⊥α.
线线垂直线面垂直；
（2）关键是在面内找两条相交直线都
(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
(
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
(
×)
√)
(3)一条直线在平面内，另一条直线和这个平面垂直，则
这两条直线互相垂直.
(

空间中的垂直关系(优质课)教案

1.6空间中的垂直关系（优质课）教案教学目标：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．教学过程：一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.解析：由于D 是AC 中点，SA ＝SC ，∴SD 是△SAC 的高，连接BD ，可证△SDB ≌△SDA .由AB ＝BC ，则Rt △ABC 是等腰直角三角形，则BD ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可得证．答案：(1)∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点， ∴SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，连接BD ，则AD ＝DC ＝BD ，又∵SB ＝SA ，SD ＝SD ， ∴△ADS ≌△BDS .∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ， ∴SD ⊥面ABC .(2)∵BA ＝BC ，D 为AC 中点，∴BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD .于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面SAC . 练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， P A ＝AD .求证：EF ⊥平面PCD .答案：如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH12CD ， ∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF . ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD . 又∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心，求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,OP D 1C 1B 1A 1D CA由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥ 又∵AEEC E = ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC . 解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直．答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ， ∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D .①E ABCD∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D .②由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ．答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直．答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .练习2: 如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1. 解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ，又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心．又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥ 同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a === ∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BDCE E = ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC . 答案：如图所示：(1)取AC 的中点D ，连接PD 、BD ， ∵PA ＝PC ，∴PD ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴PD ⊥平面ABC ，D 为垂足． ∵PA ＝PB ＝PC ， ∴DA ＝DB ＝DC ，∴AC 为△ABC 的外接圆的直径，故AB ⊥BC . (2)∵PA ＝PC ，AB ＝BC ，PB ＝PB ， ∴△ABP ≌△CBP .ABCDE∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D6. Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P 到平面α的距离等于__________．答案： 12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交答案：A5．直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a 与α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．a 在平面α内D ．不确定答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11. (2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：D13. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案：215. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________________时，平面MBD ⊥平面PCD .(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM ⊥PC （其它合理答案亦可）16. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ；(3)求证：平面DEA ⊥平面ECA .答案：(1)取EC 的中点F ，连接DF .∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF .∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF .∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM .∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。

人教版高二数学必修第四册《空间中的垂直关系》说课稿

人教版高二数学必修第四册《空间中的垂直关系》说课稿一、引言《空间中的垂直关系》是人教版高二数学必修第四册的一章内容，本章主要介绍了三维空间中的垂直关系的概念、性质以及应用，并通过丰富的例题让学生深入理解垂直关系的几何特征和运用方法。

本说课稿将重点介绍该章节的教学目标、教学重点和难点、教学方法和教学过程的设计。

二、教学目标1.理解垂直关系的概念，掌握判断两条直线或两个平面是否垂直的方法；2.掌握垂直关系的性质和判定定理，并能运用定理解决问题；3.在三维空间中，能够熟练应用垂直关系的概念和性质，分析解决相关几何问题。

三、教学重点和难点3.1 教学重点1.垂直关系的定义和性质；2.垂直关系的判定定理。

3.2 教学难点1.理解垂直关系的几何特征，能准确判断两直线或两平面是否垂直；2.运用垂直关系的判定定理解决实际问题。

四、教学内容和安排4.1 教学内容1.垂直关系的概念和性质；2.垂直关系的判定定理；3.垂直关系在三维空间中的应用。

4.2 教学安排1.师生互动，通过引导问题引发学生对垂直关系的思考；2.展示垂直关系的定义和性质，以图例和实例帮助学生理解；3.通过演示和讨论，引入垂直关系的判定定理；4.练习和实践，通过例题和习题的讲解，巩固学生对垂直关系的理解和应用；5.总结与反思，让学生回顾本节课的重要内容和自己的学习体会。

五、教学方法本节课将采用多种教学方法来促进学生的主动参与和深入理解垂直关系的概念和运用方法。

具体教学方法包括：1.启发式教学法：通过提出问题、让学生自主发现、分析和总结，引导学生理解垂直关系的几何特征和性质；2.归纳法：通过示例与练习，让学生掌握垂直关系的判定定理，培养学生逻辑思维和推理能力；3.演示法：用图表和实例展示垂直关系的概念和运用方法，加深学生对知识点的理解；4.口头解答和板书：通过口头解答来激发学生思考和讨论，同时将关键内容通过板书方式呈现，方便学生复习和记忆。

六、教学过程设计6.1 Step 1 引入通过举例引发学生对垂直关系的思考，比如问“墙面上两个相交的直线之间是否存在垂直关系？”等问题。

第07讲、空间中的垂直关系(讲义)

第07讲、空间中的垂直关系（讲义）在这一讲中，我们讨论空间中的垂直关系. 主线依旧是从线线关系到线面、面面关系，并且将后者转化为前者来解决.一、线线垂直我们还是从平面几何谈起. 下面列出了平面几何中与垂线概念相关的一些重要信息： ① 定义：交角为直角（即平角的一半）的两条直线互相垂直；② 存在唯一性定理：过（直线上或者直线外）一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；如何将两直线的垂直关系推广到空间呢？一个预备性的定理，角的平移不变性，保证了这一推广的有效性. 事实上，角的平移不变性可以使我们谈论更为一般的空间中直线位置关系，即两条异面直线的夹角问题.定义：如果两条直线相交于一点，或者经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直先来看一种基于平面图形的直观构造，如下图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，并且它们在同一平面内；如何由此产生一个与线段AB 垂直的平面呢？一种自然的想法是令直线l 绕垂足旋转一周，从而产生出一个平面. 就直觉而言，直线l 转过的每个位置都是线段AB 的垂直平分线，反过来说，如果有一条直线稍稍偏离了垂直平分线的位置，那它也就不会被包含于这个平面之中.也许你会奇怪为什么要令AB 是线段，其实这只是为了便于讨论了引入的一种简化处理，我们知道直线上任意一点都是其对称点，相应地也可以在该点两侧截取等长线段，因此前述图景中并未包含任何可能丧失一般性的限制. 相反，它提示我们可以从直线上对称地截取等长线段，从而构造出有限图形而更便于深入讨论.定义：如果一条直线（AB ）与一个平面α相交于点O ，并且与这个平面内所有过交点O 的直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足. 垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段. 垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.从这个定义出发，我们很自然地会追问一些问题. 例如，平面α内的直线并不都是经过垂足O 的，那些不过O 点的直线也与垂线垂直吗？线面垂直性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内任意一条直线垂直.已知：如图①，αα⊂⊥m l ,；证明：m l ⊥.证：若直线m 经过垂足，则根据线面垂直定义有m l ⊥；若m 不过垂足，则可过垂足作m 的平行线a ，线面垂直定义保证a l ⊥，而根据线线垂直定义，此时仍有m l ⊥. 综合两种情况，原命题得证.接下来我们看看判定问题，线面垂直的定义其实不具有可用性，因为“与所有过交点的直线都垂直”是难以实现的，因此，我们要找到一种通过有限次操作就能确认的方法. 很显① 画图提示：画线面垂直时，通常把直线化成和表示平面的平行四边形的一边垂直.然，只与一条过交点的直线垂直是不能保证线面垂直的（你能举出反例吗？），而两条相交直线可以唯一确定一个平面，因此我们将希望寄托于此.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直.分析：我们的目标是由“与平面内的两条相交直线都垂直”推出“与平面内所有过交点的直线都垂直”，从而符合线面垂直定义. 为了进一步的讨论我们做两点处理，同时要注意不失一般性（请你自己确认一下理由）. 第一个处理是将平面内直线n m ,平移到使其交点与线面交点重合，第二个处理是在直线与平面的交点两侧截取等长的线段.已知：如上中图，线段F AB =α 且FB AF =，过F 点的直线n m ,均与AB 垂直，l 是经过F 点的任一直线；证明：l 是线段AB 的垂直平分线.证：任取点l E ∈，过E 作直线分别交n m ,于点D C ,，连接BE AE BD AD BC AC ,,,,,；为便于识别将ACD ∆和BCD ∆置于同一平面内，由SSS 全等判据得BCD ACD ∆∆≌，从而BCD ACD ∠=∠，接着BCE ACE ∆∆≌，所以BE AE =. 结合BE AE BF AF ==,可知l 是线段AB 的垂直平分线（理由是什么？）.现在我们证明了“过线面交点的任一直线都与该直线垂直”，根据定义可以知道，该直线与平面垂直. 这样，我们就将判定线面垂直的问题转化为判定线线垂直问题.接着我们来看该判据的两条推论.推论1、两条平行直线中，如果有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：α⊥l m l ,∥；求证：α⊥m证：根据线面垂直性质定理，α⊥l 意味着可以在α内找到两条相交直线，例如b a ,，使得b l a l ⊥⊥,. 空间中线线垂直的定义表明垂直关系在平移变换下保持不变，因此由m l ∥我们有b m a m ⊥⊥,，由线面垂直判定定理可知α⊥m . 推论2、如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行.已知：αα⊥⊥m l ,；求证：m l ∥.证：反证. 设l m ,不平行，则由平行公理，过m 与α的交点存在唯一直线l m ∥'，根据推论1可知α⊥'m . 接着，考由相交直线m m ',所决定的平面β，记βα =a ，α m m B '=，则a B =∈βα ，于是，在平面β内，过直线a 上一点B 存在两条垂线m 和m '，与平面内（这个限制条件很重要！）垂线的存在唯一性矛盾. 因此假设不成立，即必有m l ∥.点评：（1）上述两条推论可以看做是哪两条平面几何定理向空间的推广？请你对比一下.（2）在证明推论2时，我们实际上证明了“过平面内一点有且仅有一条垂线”，再补充上“过平面外一点有且仅有一条垂线”，就完成了将“过点作垂线的存在唯一性”的空间定理的证明. 现在我们来具体看看.如图，假设过平面外一点P 可以作两条平面的垂线，垂足分别为点B A ,；则在点B A P ,,所决定的平面内，由直线AB 外一点P 可以向它引两条垂线（线面垂直性质定理！），与平面内垂线存在唯一性矛盾.综合上述两种情况，我们有：空间中，过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条.例1、一根旗杆AB 高8米，它的顶端A 挂着两根长10米的绳子.拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的C B ,两点（和旗杆脚不在同一直线上），并且这两点都与旗杆脚的距离是6米.解答：依题意6,10,8=====BD BC AD AC AB ，由勾股定理逆定理AD AB AC AB ⊥⊥，，根据线面垂直的判定定理可知BCD AB ⊥.点评：（1）这是“由线段度量确定角度关系”的一个空间版的呈现，也许你还记得，古代埃及人用长绳构造直角的方法是在绳子上标记12个等长的段，接着拉出一个边长为()5,4,3的三角形从而得到直角. 这个问题提示我们：在确定足量的线段长度之后，就可以确定角度.（2）如果你听到诸如“求三棱锥BCD A -的体积”这样的问题时，会不会觉得奇怪？事实上你应该记得，在定义直棱柱和锥、台等立体的高时，我们都明确用到了线面垂直概念.例2、已知：如图，l AP l A l ⊥=⊥,,αα求证：α⊂AP .证：反证，设α⊄AP ，则设相交直线AP l ,所决定的平面为β，由βα ∈A ，设βα =AM . 根据线面垂直性质定理，αα⊂⊥AM l ,，得到AM l ⊥，但同时有AP l ⊥，于是在平面β内，过直线l 上点A 有两条垂线AP AM ,，导致矛盾. 因此必有α⊂AP .点评：线面垂直保证了“平面内过交点的每条直线都与该直线垂直”，现在我们证明了“过交点的每条垂线都在平面内”，这是对于前述直观感觉“垂面是由过交点的全体垂线构成的”的精确化表述. 公理化论证模式并不是要推翻直观，而是不断努力将直观精确化，提出其中的谬误，使剩余部分更准确也更有力.例3、正方体中的线面垂直（1）证明：11B BDD AC ⊥；（2）证明：BD A AC 11⊥；分析：证明线面垂直的关键就是在面内找到两条相交垂线，而寻找线线垂直的方法有两种，平面内的相关证明，或者是作为线面垂直的性质.解答：仅给出思路，请自己补充细节；（1）在平面ABCD 内证明BD AC ⊥，由线面垂直关系得到1BB AC ⊥；（2）由（1）中结论同理得11A ACC BD ⊥，从而有BD AC ⊥1；同理可得B A AC 11⊥.三、面面垂直从直观上看，我们之前建立的印象“包含平面的一条垂线的面与该平面垂直”（如下左图）是简明清晰而合乎直觉的，但是如果把它作为面面垂直的定义会有什么不足呢？关键在于可推广性. 在平面几何中，我们是把“垂直”作为相交的特例来处理的，也就是说，一般地，两条直线可以有一个交角，而垂直不过是交角恰为直角的情况. 这样，在定义面面垂直时，我们其实真正希望做的是先定义“面面交角”，然后把垂直作为特例.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直②.至于我们最初的那个简明清晰的直觉，它就成为判定定理；或者更一般地说，判定定理总要具有相对简单、好用的形式.面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.已知：βα⊂⊥l l ,；求证：αβ⊥.证明：如右图，记P a l a == ,βα，在平面α内过P 点作a 的垂线m ，记相交直线m l ,所决定的平面为γ；由线面垂直性质定理可知m l a l ⊥⊥,，结合a m ⊥可知γ⊥a （第三个面与两面交线垂直），注意到m l m l ⊥==,,γαγβ ，符合面面垂直定义，因此有αβ⊥.这次的性质定理指向性比较明确，它与判定定理在逻辑上很密切.② 从这个定义中，你是否看到了一般的“两平面交角”（即“二面角”）的推广定义？或者更具体地，如果我们要定义“两个相交平面的交角为α”，该如何修改上述定义？面面垂直性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一平面.已知：a l l a ⊥⊂=⊥,,,ββααβ ；求证：β⊥m .证：如右图，记P a l = ，在平面α内过P 点作a 的垂线m ，记相交直线m l ,所决定的平面为γ；由线面垂直判定定理可知γ⊥a ，且γαγβ ==m l ,，根据面面垂直的定义可知m l ⊥. 由l m a m a l P ⊥⊥=,, ，根据线面垂直判定定理得β⊥m .上述两个命题的证明过程具有高度的相关性（甚至连图都差不多！），这是因为证明的核心在于构造出定义所要求的“第三个平面与交线垂直且两条交线彼此垂直”，并且将面面关系转化为线面关系问题.例4、如图，平面βα⊥，在两面交线上取线段4=AB ，BD AC ,分别在平面α和β内，它们都垂直于交线AB ，且3=AC ，12=BD ，求CD 的长.解答：由于AB DB AB ⊥=⊥,,βαβα ，根据面面垂直性质定理可知α⊥DB ，而α⊂CB ，由线面垂直性质定理得BC DB ⊥；在ABC Rt ∆中，4,3==AB AC ，因此5=BC ；在BCD Rt ∆中，12,5==BD BC ，因此13=CD .点评：事实上，题中利用线面关系的语言描述了一个三棱锥的构造过程，例如，根据题中信息，你能画出三棱锥ABD C -的三视图吗？例5、已知ABC Rt ∆中，a AC AB ==，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使BDC ∠成直角.（1）证明：BDC ACD BDC ABD ⊥⊥,；（2）︒=∠60BAC ；解答：（1）根据线面垂直判定定理，CD AD BD AD ⊥⊥,，因此有BCD AD ⊥；再根据面面垂直判定定理，经过垂线AD 的平面ACD ABD ,都与底面BCD 垂直；（2）对BCD Rt ∆使用勾股定理得a BC =，从而有正ABC ∆.点评：实际上，对于三棱锥BCD A -，我们该问的是“还有什么是不能知道的”. 有兴趣的同学不妨在这里尝试一下你前面推广得到的“二面角”的概念，看能否计算出平面ABD 与ABC 的夹角？作为对本讲的总结，让我们回顾一下多面体：请你试着用空间中线面关系的语言，重新定义常见的多面体.。

空间中的垂直关系(教学案)

高三数学一轮复习空间中的垂直关系【复习目标】1、能通过动手实践、简图或利用长方体等恰当的平台来判断关于空间线线、线面、面面关系命题的真假性；2、有明确的目标意识，根据目标分析论证思路，并熟练运用线线、线面、面面间垂直关系的判定定理及性质定理严谨证明目标，规范书写.【重点】性质定理及判定定理的应用【难点】性质定理及判定定理的应用【知识回顾】：1.直线与平面垂直（1）判定方法①判定定理：，，，，⇒；②性质定理：，⇒2..平面与平面垂直：（1）判定方法①定义法：即证是直二面角②判定定理：，⇒；（2）性质定理：，，，⇒【基础自测】1.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)．2.设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：(1)若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；(2)若m ⊥α，n∥m，则n⊥α；(3)若n∥α，m⊂α，则n∥m；(4)若m∥α，n∥α，则m∥n.其中真命题是________(填序号)．3.给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号为________．4.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：(1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是________(填序号)．5.如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．【例题分析】例1．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱C 1D 1的中点，F 为棱BC 的中点．(1)求证：AE ⊥DA 1；(2)在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG .例2. 如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .（1）请在木块的上底面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形11BB D D 是矩形，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .1例3. 在三棱锥P －ABC 中，D 为AB 的中点．（1）与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置，并说明理由；（2）若PA=PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ．例4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．ACB MNC 1B 1A 1PACD例5. 如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．ＡＢＣＥＦ图①ＢＣＥＦＭ1A图②。

《空间中的垂直关系》课件

《空间中的垂直关系》PPT课件
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设计等领域中起着重要作用，能够优化空间布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,

高中数学《空间的垂直关系》复习和习题课件PPT

过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
高中
立体几何
数学
§第三节空间的垂直关系（复习+习题练习）
真题在线
真题在线
真题在线
知识清单
1.直线与直线垂直（1）直线与直线垂直的定义：若两条直线所成的角是直角，则称这两条直线垂直.两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直两种. （2）直线与直线垂直的判定方法：直线与直线垂直的定义；直线与平面垂直的定义. 2. （1）直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么称这条直线与这个平面垂直. （2）直线与平面垂直的判定定理1：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相
这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直）.
（3）平面与平面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直线面垂直）
ห้องสมุดไป่ตู้
知识清单
4.异面直线所成的角
知识清单
5.直线与平面所成的角
知识清单
6.平面与平面所成的角（二面角）
知识清单
典例精析
例
变式训练
交直线，那么这条直线与这个平面垂直.（线线垂直
（3）直线与平面垂直的判定定理2：如果两条平行直线中有一条直线与一个平面垂直，那么另一条直线也与这个平面垂直.
（4）直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
知识清单
3.平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的定义：若两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直. （2）平面与平面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则

空间中的垂直关系人教课标版精品公开PPT课件

（1）找交线
（2）在其中一个平面内找与交线垂直的直线
符号语
I l
m
l
言
l m
4、常用结论
文 1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
字语言
平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内
图形
Pl
语
言
提供了一种点向面作垂线的方法，有利于求点面距
符号语言
P Pl
a
图形语言
α
2、判定定理：
文如果一条直线 a 与一个平面内两条相交直
字线都垂直，我们就说直线 a 与平面互相
语垂直，记作： a
言
a
线
图
不
形
语言
b
Oc
在多，
ab
符号语言
a b
c c
O
a
b
相交就灵
c
3、性质定理：
文字
如果两条直线垂直于同一个平面，那么
C
P
根据平面几何知识得到：BDC90o，
DCBD
D Q平面PBD平面BDC且平面PBDI 平面BDCBD
B
CD平面PBD，
C
PB平面 PBD CDPB 又 QPBPD ， CDI PDD ， CD平面 PCD ， PD平面 PCD PB平面 PCD,
QPB平面PBC 平面PBC平面PCD
A1
D
O
A
B1 A C 平面 B D D （ 1平面 B D D 1 B 1 )
C B
线面垂直
ACBD1 线线垂直
AC B1D
面面垂直
经过 A C 的平面平面 B D D 1 B 1

空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系教案一、教学目标1. 让学生理解垂直关系的概念，能够识别和描述物体之间的垂直关系。

2. 培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、动手能力和合作意识。

二、教学内容1. 垂直关系的定义及识别2. 垂直关系的应用3. 实际问题解决三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生能够识别和描述物体之间的垂直关系，运用垂直关系解决实际问题。

2. 教学难点：培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。

四、教学方法1. 采用观察、讨论、实践、解决问题的教学方法。

2. 利用教具、模型等辅助教学。

五、教学准备1. 教具：垂直关系模型、实物图片等。

2. 学具：学生用书、练习本、画笔等。

六、教学过程1. 导入新课：通过展示实际生活中的垂直关系实例，引导学生发现和关注垂直关系。

2. 教学新课：讲解垂直关系的定义，让学生观察和描述实例中的垂直关系。

3. 实践操作：学生分组讨论，运用教具模型演示垂直关系，并互相评价。

4. 解决问题：引导学生运用垂直关系解决实际问题，如计算物体的高度、距离等。

5. 巩固拓展：出示不同类型的题目，让学生独立完成，提高运用垂直关系解决问题的能力。

七、课堂小结八、课后作业1. 完成学生用书上的练习题。

2. 观察生活中的垂直关系，拍照或绘图，下节课分享。

九、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况调整教学策略。

十、章节测试设计一份章节测试题，检测学生对空间中垂直关系的掌握程度。

六、教学内容与活动1. 活动一：探索垂直关系的性质目的：让学生通过实践探索垂直关系的性质。

过程：学生分组，每组使用不同的材料（如直尺、三角板、绳子等）来构建垂直关系，并记录观察到的性质。

反馈：小组之间分享观察结果，讨论垂直关系的共同特点。

2. 活动二：垂直关系的应用游戏目的：培养学生将垂直关系应用于实际情境中。

过程：设计一个游戏，要求学生在游戏中识别和利用垂直关系，如在建筑游戏中使用垂直关系来构建稳定的结构。

原创1：1.2.3 空间中的垂直关系（二）（讲授式）

又 BD⊥AB ，
所以 BD⊥，BD⊥BC．所以 △BAC 和△CBD 都是直角三角形．
因为在 Rt△BAC 中，BC ＝5 ；所以在 Rt△CBD 中，CD ＝13 ．
总结：平面与平面垂直的判定定理应用（1）定理的实质是：线面垂直面面垂直；（2）关键是在一个平面内找到另一个平面的一条垂线．
新的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α， BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，
如图：
线线垂直线面垂直
新课讲授
平面与平面垂直的性质定理
推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂
求证：BC⊥平面PAB.
A
C B
课堂小结
总结本节课的学习内容.
课时小结：（师生互动，共同归纳）（1）本节课我们学习了哪些知识内容？
①平面与平面垂直的判定定理，并会简单应用．
②平面与平面垂直的性质定理，并会简单应用．
（2）重点培养线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的相互转化的数学思想的应用意识.
第
一
章
立
体
几

何
初
步
×
②两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂直的两直线一
×
定分别与另一个平面垂直.
③两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，
√
则此直线必垂直与另一个平面.
④垂直于交线的直线必垂直于平面β.
×
⑤过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β.
√
达标训练
3.已知 Rt△ABC 中，AB＝AC＝a，AD 是斜边上的高，以 AD 为折痕使 BDC 成直角，如图．求证：(1) 平面 ABD⊥平面 BDC ，平面ACD⊥平面BDC；

8.6空间中的垂直关系课件-高一下学期数学人教A版

解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直. 充分挖掘线⊥面关系
通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发证出其他线线垂直、线面垂直、面面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的重要枢纽作用．
课堂小结：
回顾一下这节课学习了什么？从以下两个方面进行总结：数学知识及数学思想方法。
【问题1】如何证明线面垂直？
一、典例分析梳理解题思路
【问题2】如何证明线线垂直？
若需证明同一平面内的两条直线垂直，则可以借助平面
图形中的垂直关系证明.
若需证明异面垂直，则可以借助空间中线⊥面的性质定
理证明线⊥线.
线⊥线
线⊥面
面⊥面
l1 l2
l1 （l2所在的）平面 l2 （l1所在的）平面
知识方面：学习了三种垂直关系的判定定理和性质定理，进行合理
的转化以及掌握证明的方法：由已知想性质，由条件想判定；
数学思想方法：转化与化归思想。
空间直线、平面垂直关系
如图，正方体 ABCD A1B1C1D1
D A
C B
D1 A1
C1 B1
一、典例分析梳理解题思路
线⊥面
线⊥线
线⊥面
面⊥面
线面垂直线线垂直
线⊥线
线⊥面
一、典例分析梳理解题思路
线⊥线 ① 线⊥面 ② 面⊥面
线线垂直转化为证线面垂直
【问题3】如何证明面面垂直？线面垂直线线垂直
二、变式分析探究解题方法
变式1：如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC, PA⊥面ABC, 若面AEF⊥面PAC, EF⊥AE, 求证：EF⊥AC.
线⊥线
判定
线⊥面
直线与平面垂直的判定定理

高中数学必修二空间中的垂直关系(1)公开课教案课件课时训练练习教案课件

空间中的垂直关系（1）教学目标：1、直线与平面垂直的概念 2、直线与平面垂直的判定与性质教学重点：直线与平面垂直的判定与性质教学过程：（一）两条直线成的角为直角——两条直线垂直（二）一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直（三）一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面（四）直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直（五）推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（六）直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线（2）垂直于同一平面的两条直线平行（七）（1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个（八）例子与练习例1 已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,求证：AB ⊥CD证明：如图9-15，设CD 中点为E ，连接AE 、BE ，因为ΔACD 为等腰三角形, 所以AE ⊥CD ; 同理BE ⊥CD . 所以CD ⊥平面ABE , 所以CD ⊥AB .例2 已知VC 是ΔABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N 在ΔABC 的高CD 上，M 是VC上的一点，∠MDC =∠CVN ,求证：VC ⊥平面AMB证明:如图9-16，因为∠MDC =∠CVN ,且∠VNC =︒90, 所以∠DMC =︒90, 即VC ⊥MD . 又VN ⊥AB ,CD ⊥AB 所以AB ⊥平面VCN 所以VC ⊥AB ，所以VC ⊥平面AMB .例3 如图9-18,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O . (1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线. (2)若∠PAB =∠PAC ,求证：AO 是∠BAC 的平分线. 证明：（1）连OE 、OF ，因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，由三垂线定理的逆定理知：OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，由已知：PE ＝PF ，故ΔPEO ≌ΔPFO ，所以EO ＝FO 所以AO 是∠BAC 的平分线. （2）过P 作PE ⊥AB ，PF ⊥AC , 垂足为E 、F ，ABCDEAB CDVNMABCEFOP因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，则PE＝PF.（以下同（1））课堂练习：教材第55页练习A、B小结：本节课学习了直线与平面垂直的判定与性质课后作业：教材第60页习题1-2A：13、14、15活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

第3讲空间中的垂直关系简单难度-讲义

空间中的垂直关系知识讲解1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：①定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．直线l 与平面互相垂直，记作l ．②判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．③性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．3．面面垂直定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．αl典例精讲一．选择题（共7小题）1．（2017秋?黄山期末）下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ2．（2018?北京模拟）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥PA证明：因为平面PAC⊥平面ABC平面PAC∩平面ABC=ACBC⊥AC，BC?平面ABC所以______．因为PA?平面PAC．所以BC⊥PAA．AB⊥底面PAC B．AC⊥底面PBC C．BC⊥底面PAC D．AB⊥底面PBC3．（2018秋?眉山期中）已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥αD．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l4．（2018春?宜昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．15．（2017秋?嘉峪关校级期末）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④6．（2018春?贵阳期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则（）A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD7．（2018?泉州模拟）如图，在下列四个正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共1小题）8．（2017秋?海淀区校级期末）在三棱锥P ﹣ABC 中，点O 是点P 在底面ABC 内的射影．①若PA=PB=PC ，则O 是△ABC 心；②若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则O 是△ABC 的心；③若侧面PAB ，PBC ，PAC 与底面ABC 所成的二面角相等，则O 是△ABC 的心．三．解答题（共6小题）9．（2017秋?临夏市校级期末）如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC=CD ，∠ACB=∠ACD=??3．求证：BD ⊥平面PAC ；10．（2018春?武清区期中）如图，在四面体ABCD中，AD=AB，CB=CD，E，F，G分别为BD，BC，AB的中点．（1）求证：平面EFG∥平面ADC；（2）求证：直线BD⊥平面AEC．11．（2018春?哈尔滨期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB ∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC．12．（2018春?苏州期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，D，E 分别为AB，AC的中点，∠ABC=90°．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）AB⊥PE．13．（2018春?宜昌期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，PA=AD．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：平面AEF⊥平面PCD．14．（2018春?通州区期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1=B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．。

高三一轮：空间中的垂直关系(公开课课件)

面与面垂直
2011 年 19．（本题满分 12 分）如图 3，在圆锥 PO 中，已知 PO
2, O
的直径 AB 2,点C在AB上,且CAB=30 , D为AC 的中点．（I）证明： AC 平面POD ；（II）求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值．
线与面垂直
2012 年 19.（本小题满分 12 分）如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD. （Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若 AD=4， BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°，求四棱锥 P-ABCD 的体积.
2 2 2
从而 BM B1M ② 又 A1 B1 B1 M B1 , 再由① ②得 BM 平面 A1B1M，
（3）垂直中的“探索性问题
例 3：如图所示，在长方体 ABCD- A 1 B 1 C1 D1 中，AB=AD＝１, AA1=２, M 是棱 C C1 上的一动点。（Ⅰ）试在棱 C C1 上确定点 M，使 BM 平面 A1B1M （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：平面 ABM 平面 A1B1M.
平面 BCC 1 B1 ，证明：（ 1）由 A 1 B 1 BM . ① BM 平面 BCC 1 B1 ，得 A 1 B 1
取 C C1 的中点 M, 易知， B1 M
2，
BM BC 2 CM 2 2 ， B1 B 2 ，
所以 B1 M BM B1 B ，
主讲人李立
2010 年 AB=AD＝１, AA1=２, M 是棱 C C1 的中点. （Ⅰ）求异面直线 A 1 Ｍ和 C1 D1 所成的角的正切值; （Ⅱ）证明：平面 ABM 平面 A1B1M.

空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系教案空间中的垂直关系一. 教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。

三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理： .② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（a⊥α，b⊥α⇒a∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。

5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。

记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

（简称：面面垂直，线面垂直。

）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。

《第11讲：空间中的垂直关系》优秀教案

2021年高考数学一轮复习精品教案第11讲空间中的垂直关系一．课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二．命题走向近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。

预测2021年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。

三．要点精讲1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指⇒⇒1C 1C12EF BC ∥FO ∥;CDE 3,BC CD =EO ⊥⊂1A 1,2OM BC ∥1,2EF BC ∥.EF OM ∥FO ∴∥EM.FO ⊂EM ⊂FO ∴∥CDE ∆,CM DM =EM CD ⊥31.22EM CD BC EF ===EO FM⊥,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥.CD EO ⊥,FMCD M =EO ⊥.CDF 1C 21C ⊂⊂21212121⊂⊂1C221741442211=+=GB B B .171716174=G B B D B B H D 11111=171716121=G B B B 2121171716311111===--EF B D EFD B V V V 316172211716311=⋅⋅⋅=∆EF B S ⊥SA ABCD A SC SB SC SD E H E H A SB SD ⊥SA ABCD CD SA ⊥ABCD AD CD ⊥SA AD ⊥CD SAD ⊂AH SAD AH CD ⊥⊥SC AEKH ⊂AH AEKH AH SC ⊥C CD SC = ⊥AH SCD ⊂SD SCD SD AH ⊥H A SD E A SB1111ABCD A BC D -P 1CC CP m =m AP 11BDD B 3211AC m 1APD AP 11BDD B 11BDD B 11BDD B 212m11BDD B 11BDD B 23222==m GOOA＝31。

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