2020年高考·哈尔滨市第九中学2020届高三三模理科数学试题(含答案和解析)
2020年高考模拟试卷黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．20B．﹣20C．﹣15D．155．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣1＜x＜2}＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：B．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等差数列的求和公式表示出S n，整理后，得到等差数列的S n为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S n的最大值，即为{S n}中的最大项；反之也然．解：由等差数列的求和公式得：S n＝na1+d，整理得：S n＝0.5dn2+（a1﹣d）n，当d＜0，∴等差数列的S n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，∴S n有最大值；反之，当数列{S n}有最大项时，则S n为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d ＜0．故选：A．3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．解：∵＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），∴＝cos A cos B﹣sin A sin B＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，∴，得cos C＝﹣．∵0＜C＜π．∴．故选：B．4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．20B．﹣20C．﹣15D．15【分析】利用定积分的定义求得a的值，求得展开式中的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：∵已知＝（lnx）＝1，∴＝，它的展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r••x6﹣2r．令6﹣2r＝0，可得r＝3，∴开式中的常数项为﹣＝﹣20，故选：B．5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．∵所有棱长都为2，∴A，B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，﹣1，2）．∴，∴＝＝＝．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：B．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）＝2sin（ωx﹣），由题意可得＝，解得ω的值，即可确定函数的解析式为f（x）＝2sin（2x﹣），由此求得周期，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间，从而得出结论．解：∵函数＝2[sin（ωx﹣cosωx]＝2sin（ωx ﹣），∴函数的周期为．再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，可得＝，解得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣）．故f（x）＝2sin（2x﹣）的周期为＝π．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在上为单调递增函数，故选：C．7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，∴这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．故选：C．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．【分析】设抛物线的准线与x轴的交点为D，F为线段AB的中点，进而可知|AF|和|AB|，推断出AF|＝|AB|，求得∠ABC，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，||＝2p，＝4p×2p cos30°＝36，解得p＝，∴抛物线的方程为y2＝2x．故选：D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得＝2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ＝1，①同理可得＝，由D、M、F三点共线，可得λ+μ＝1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故＝＝＝（λ﹣μ）+μ＝2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ＝1，即2λ﹣μ＝1，①同理可得＝＝＝，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）＝1，即λ+μ＝1，②综合①②可解得λ＝，，故实数λ与μ的乘积＝故选：B．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【分析】依题意，可得m，n满足的约束条件，进而作出图形，利用图象即可得解．解：y′＝x2+mx+m+n，依题意，y′＝0的两个根为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴，平面区域D表示的图形如下图所示，注意到直线m+n＝0与直线2m+n+1＝0的交点P（﹣1，1），当函数y＝log a（x+4）过点P时，即log a3＝1，解得a＝3，要使函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，由图可知，a＜3，又a ＞1，故实数a的取值范围为（1，3）．故选：B．12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y＝e x上的点关于y＝x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y ＝lnx上的点与上的点到直线y＝x的距离之和最小问题，而与y＝x平行的直线同时与曲线y＝lnx和切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍．解：如图，因为y＝e x的反函数是y＝lnx，两个函数的图象关于直线y＝x对称，所以曲线y＝e x上的点P到直线y＝x的距离等于在曲线y＝lnx上的对称点P′到直线y ＝x的距离．设函数f（x）＝lnx﹣1+，＝，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）＝0，则当x＞0时，除（1，0）点外函数y＝lnx的图象恒在y＝1﹣的上方，在（1，0）处两曲线相切．求曲线y＝e x上的点P与曲线y＝1﹣上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y＝lnx 上的点P′与Q点到直线y＝x的距离的最小值的和，而函数y＝lnx与y＝1﹣在x＝1时的导数都是1，说明与直线y＝x平行的直线与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍，所以|PQ|的最小值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝﹣1．【分析】利用共轭复数和复数的运算法则即可得出．解：∵复数z＝1+i，∴，∴＝＝﹣1．故答案为﹣1．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y＝x，则根据直线PF的斜率为﹣，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x＝，则P（，），则PF的中点（），把中点坐标代入双曲线方程＝1中，整理求得＝，即离心率为故答案为：．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3]．【分析】由余弦定理求得cos C，代入已知等式可得（b+c）2﹣1＝3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．解：△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝，∵a＝1，2cos C+c＝2b，∴+c＝2b，化简可得（b+c）2﹣1＝3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b＝c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a＝1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为：（2，3]．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1]．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）＝，当直线与x轴重合时，P（M）＝1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，转化求解数列的通项公式即可．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．解：（1）正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2…①4S n﹣1＝（a n﹣1+1）2…②两式相减①﹣②可得4a n＝a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，整理得a n﹣a n﹣1＝2…又a1＝1，得a n＝2n﹣1…（2）∵a n＝2n﹣1，∴b n＝＝＝（﹣）．…∴数列{b n}的前n项和T n＝（1﹣+…+﹣）＝…18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率＝频数÷数据总和，计算可得答案．（2）列出X的分布列，根据分布列利用随机变量的期望公式求出X的数学期望．解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.82，后三组频率为1﹣0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为1000×0.18＝180人由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m＝7﹣m，又m+2＝2（7﹣m），所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06．估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为180．（2）X可能的取值为0，1，2，3，P（x＝0）＝，P（x＝1）＝，P（x＝0）＝，P（x＝0）＝，所以X的分布列X0123P…EX＝…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE ⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．【解答】证明：如图，（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF．∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF＝F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）解：∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）平面BCD的法向量，设平面EBD的法向量为，由⇒，即，取y＝1，得x＝2，z＝则．所以．因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，所以cosθ∈，即．由得：由得：或．所以a的取值范围是．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知，求得f（x）＝x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x转化为≥b．构造函数g（x）＝，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函数f（x）在定义域上是单调函数，需f′（x）在定义域上恒非负或恒非正．考查f′（x）的取值情况，进行解答．解：（1）∵f（1）＝2，∴a＝1，f（x）＝x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x⇔≥b．令g（x）＝，可得g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝0，即b≤0．（2）f′（x）＝2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，令h（x）＝，当x＝e时，h（x）max＝∴当时，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此时．函数f（x）在定义域上单调递增．若，g（x）＝2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）＝2a﹣由g′（x）＝0，得出x＝，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x＝时，g（x）取得极小值也是最小值．而当时，g（）＝1﹣ln＜0，f′（x）＝0必有根．f（x）必有极值，在定义域上不单调．综上所述，．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C 的方程．（II）设直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．（III）由△QF2M的面积＝△OF2M的面积，能求出S＝S1+S2的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R由于动圆P与圆相切，且与圆相内切，所以动圆P与圆只能内切∴，∴|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6…∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝6，∴a＝4，c＝3，b2＝a2﹣c2＝7故圆心P的轨迹C：．…（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3由，得：，∴，∴…由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49＝0，∴，∴＝＝＝…∴，∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积＝△OF2M的面积，∴S＝S1+S2＝S△OMN∵O到直线MN：x＝my+3的距离，∴…令，则m2＝t2﹣1（t≥1），∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，和圆的标准方程，即可求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）分别求出直线的标准方程，利用直线和圆的位置关系即可求直线l被圆C所截得的弦长．解：（Ⅰ）∵圆C的圆心是，∴x＝ρcosθ＝＝1，y＝ρsinθ＝＝1，即圆心坐标为（1，1），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，x2﹣2x+y2﹣2y＝0圆C的极坐标方程为：；（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为，∴ρsinθ+ρcosθ＝1+，即，圆心到直线距离为，圆半径为．故弦长为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）﹣3恒成立⇔a＜g（x）min，先求得f（x）min，再求g（x）min即可．解：（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，∵f（x）＞0，∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，∴x＜﹣4；②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，∴＜x≤3；③当x＞3时，x+4＞0，∴x＞3．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）…（2）由（1）知，f（x）＝，∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，令g（x）＝f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．∴g（x）min＝﹣．∴a＜g（x）min＝﹣。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试理科数学答案
所以椭圆 C 方程为： x 2 4
y2 1 ----------------------------------------------------------------- （ 4 分）
（2）设
M
(x1,
y1 ),
N(x2,
y2)
，则
G(
x1 3
,
y1 3
),
H
(
x2 3
,
y2 3
)
----------------------------------- （ 5 分）
a
a
所以
x0
1 (0, ln
1 a ], 使 g ' ( x0 ) 0 ，且当 x (0, x0 )时, g ' (x) 0
a
所以 g (x) 在 (0, x0 ) 递减，所以 x (0, x0 ) 时， g(x) g(0) 0 ，
所以 0 a 1不成立。 ------------------------------------------------------------------------------ （ 11 分）
分）
l : x 1代入 C 得： y
b2
1 ， 所以 | MN | 2 b2
1
，---------------------------（ 2 分）
4
4所以 S OMN源自1 | MN |3
2
2
b2 1
--------------------------------------------------------- （ 3 分）
令 g( x) (1 x2 ) x8 , x (0,1) , 则 g ( x) 2x7 (4 5x 2 )
2020年哈三中三模理科数学试卷
理科数学试卷 第1页 共 4 页2020年哈三中高三学年第三次模拟考试数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项:1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则AB = A ．[)1,3 B ．(]1,3C ．()1,+∞D ．[)3,+∞2． 在复平面内，复数12i i -对应点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3． 下列函数中是偶函数，且在(),0-∞上单调递增的是A ．()23f x x = B ．()2x f x = C ．()21log 1f x x =+ D ．()1f x x x =- 4． 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么2020a = A ．10091010 B ．10091010- C ．20192020D ．20192020- 5． 有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是 A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6． 函数()x f x xe =在1x =处的切线方程是A ．20ex y e --=B ．230ex y e --=C ． 20ex y e +-=D ．230ex y e +-= 7．“克拉茨猜想” 又称“ 31n +猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为A ．32或5B ．16或2C ．16D ． 32或5或4 • • • • • A (1,3) B (2,4) C (4,5) D (3,10)E (10,12) y x O。
2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(含解析)
2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下命题：①任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立；②存在复数z，有z2=|z|2成立；③若y=sin(x+π3)是奇函数且最小正周期为2π；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是真命题．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 2或−2D. ±2或03.若集合A={x|x2≤4}，B={x|x≥0}.则A∩B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|x≥−2}C. {0,1，2}D. {1,2}4.设随机变量X服从B(6,12)，则P(X=3)的值是()A. 316B. 516C. 38D. 585.有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. 34B. 23C. 12D. 136.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m的取值范围是()A. m>1B. 1<m<8C. m>8D. 0<m<1或m>87.若函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()A. 12B. 1C. 2D. 38.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a⃗=2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与b⃗ =−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值是()A. √32B. −12C. 12D. −√329.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则b所在区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q(其中O为坐标原点).若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.某四面体的三视图均为直角三角形，如图，则该四面体的表面积为()A. 72+24√2B. 96+24√2C. 126D. 6412.已知等差数列{a n}的前9项的和为27，则2a2+a8=()A. 16B. 2C. 64D. 128二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对任何有限集S，记p(S)为S的子集个数．设M={1,2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对(A,B)，p(A)p(B)的和为______．14.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤0y≥0则z=2x−y的最小值为______15.在平面直角坐标系中，动点P满足到x轴的距离与到原点O的距离之和等于2.记动点P的轨迹为曲线C，下面对于曲线C的描述正确的是______.(把所有正确的命题的序号填在横线上)①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则|y|≤1；④若点P(x,y)在曲线C上，则1≤|PO|≤2．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数 i x10152025303540件数 i y471215202327其中 i=1，2，3，4，5，6，7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程；(结果四舍五入后保留到小数点后两位)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(参考公式：)参考数据：18.设A，B，C为△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC．(1)求角A的大小；(2)求sinB+sinC的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)求证：BE//平面PAD(Ⅲ)假定PA=AD=CD，求二面角E−BD−C的正切值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到两个定点F1(−√2,0)，F2(√2,0)的距离的和为定值4．(1)求点P运动所成轨迹C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在轨迹C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3+2x −sinx(x ∈R)．(Ⅰ)证明：函数f(x)是R 上单调递增函数； (Ⅱ)解关于x 的不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0．22. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)={2−3x ,x ≥012x 2+x +1,x <0．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)若函数ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点，求实数a 的取值范围；(3)若2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]，b ∈[−2,2]恒成立，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，则任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立，故①正确；②当复数z为实数时，则必存在复数z，有z2=|z|2成立，故②正确；③由于sin(−x+π3)=−sin(x−π3)≠−sin(x+π3)，故y=sin(x+π3)不是奇函数，故③不正确；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是假命题，故④不正确，故选：B．①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，即可判断①正确；②当复数z为实数时，有z2=|z|2成立，即可判断②正确；③由于f(−x)=f(x)知③不正确；④由复合命题的真假判断④不正确．本题通过命题的判定考查了平面向量，复数，三角函数的性质，复合命题的真假判断等知识，是综合题．2.答案：C解析：解：z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+(−1)2=5，整理a2=4，所以a=2或−2故选C根据复数模的计算公式|z|=√a2+b2，得出关于a的方程并解出即可．本题考查复数模的计算公式及应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：集合A中的x2≤4解得：−2≤x≤2，则{x|−2≤x≤2}集合B={x|x≥0}，则A ∩B ={x|0≤x ≤2}， 故选：A ．先求出集合A 中的一元二次不等式的解集，然后求出公共解集即为两集合的交集． 本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4.答案：B解析：解：∵随机变量X 服从(6,12)，∴P(X =3)=C 63(12)3(12)3=2026=516故选：B ．根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于3时的值． 本题考查二项分布，本题解题的关键是写出变量对应的概率的表示式，本题是一个基础题，若出现一定是一个送分题目．5.答案：D解析：解：总的可能性为3×3=9种， 两位同学参加同一个兴趣小组的情况为3种， ∴所求概率P =39=13， 故选：D ．由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得． 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a ，b ，a +b 成等差数列， ∴2b =2a +b ，即b =2a.① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴b 2=a 2b ，即b =a 2(a ≠0,b ≠0).② 由①②得a =2，b =4． ∵0<logm 8<1， ∴m >1．∵logm8<1，即logm8<logm m∴m>8故选C由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．7.答案：D解析：解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称则有sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得，ω=6k+3，k∈Z，故当k=0时ω的最小值为：3．故选D．先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移π3个单位所得的函数，然后由已知y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称可得sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得ω，进而求最小值三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积，向量的模以及向量的夹角，属于基础题．先求得a⃗⋅b⃗ 以及|a⃗|、|b⃗ |，再根据向量的夹角公式求得a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值，即可求得结果．解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12．∴a⃗⋅b⃗ =(2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )·(−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=−6e1⃗⃗⃗ 2+2e2⃗⃗⃗ 2+e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =−6+2+12=−72．|a⃗|=√4e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7，|b ⃗ |=√9e 1⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√9+4−6=√7， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=−72√7×√7=−12，∴sinθ=√1−cos 2θ=√32． 故选：A ．9.答案：D解析：解：画出函数f(x)=|lgx|的图象， ①设a+b 2≥1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =2lga+b 2，ab =1，可得a =1b ， 则b =(1b +b2)2，化为：f(b)=b 4−4b 3+2b 2+1=0，(b >1)． f′(b)=4b(b 2−3b +1)=4b(b −3+√52)(b −3−√52)，可知：当b ∈(1,3+√52)时，f′(b)<0，f(b)的单调递减；当b >3+√52时，f′(b)>0，f(b)的单调递增．由f(1)=0，可知：f(3+√52)<0，而f(3)=−8<0，f(4)=33>0，∴此时存在唯一零点b ∈(3,4)． ②设0<a+b 2<1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =−2lg a+b 2，∴ab =1，1b =(a+b 2)2， 化为：f(b)=b 4+2b 2−4b +1=0，(2>b >1)． f′(b)=2(2b 3+b −2)>0，可知：当b ∈(1,2)时，函数f(b)的单调递增． 由f(1)=0，f(b)>0，此时函数f(b)不存在零点． 综上可得：b 所在区间为(3,4)．画出函数f(x)=|lgx|的图象，①设a+b2≥1，由f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则−lga=lgb=2lg a+b2，可得b=(1b+b2)2，化为：f(b)=b4−4b3+2b2+1=0，(b>1).利用导数研究其单调性即可得出；②设0<a+b2<1，同理可得．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.答案：B解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax，右焦点F(c,0)，由题意可得直线PF的方程为y=−ab(x−c)，联立渐近线方程y=ba x，可得P(a2c,abc)，可得OP的垂直平分线方程为y−ab2c =−ab(x−a22c)，令x=0，可得y=ac2b ，即Q(0,ac2b)，又|PF|=√a2+b2=b，|OP|=√|OF|2−|PF|2=√c2−b2=a，由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，可得12c⋅abc=4⋅12⋅ac2b⋅a2c，即有b2=2a2，可得c2=a2+b2=3a2，e=ca=√3，故选：B．求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，运用中点坐标公式可得OP的垂直平分线方程，可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为8，底面为直角三角形，直角边长分别为6、8，如图：SB=8√2，BC⊥SB，AC=10，SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC∴几何体的表面积S=12×8×8+12×8×6+12×10×8+12×8√2×6=96+24√2．故选：B．几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图判断各面的形状，根据三视图的数据求相关几何量的数据，把数据代入三角形面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12.答案：C解析：由本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．等差数列的求和公式和性质可得结论．解：∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27，∴S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27，解得a2+a8=6，∴2a2+a8=26=64故选：C13.答案：2401解析：解：当B为n(0≤n≤4)元集时，则p(B)=2n，且B集合的个数为C4n，又A⊆B则①A为n元集时，则p(A)=2n且A的个数为C n n②A为n−1元集时，则p(A)=2n−1且A的个数为C n n−1以此类推③A 为⌀时，p (A)=20且A 的个数为C n0 则p (A)P (B)=C 4n 2n (C n 020+C n 121+⋯+C n n 2n ) =C 4n 2n (1+2)n=C 4n 6n当n 依次取0，1，2，3，4时p (A)p (B)的和为C 4060+C 4161+⋯+C 4464=2041，故答案为：2401．先由B 为n(0≤n ≤4)元集时，则p (B)=2n ，且B 集合的个数为C 4n ，然后在这种情况下分别讨论集合A 的个数与集合A 的子集个数，推导出通项公式，再将n =0，1，2，3，4代入计算即可． 本题考查了集合间的关系，同时考查了二项式定理，知识间交汇较好．14.答案：−2解析：解：作出x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤0y ≥0对应的平面区域(阴影部分)由z =2x −y ，得y =2x −z ，平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 最小．由{y =0x −y +1=0， 解得A(−1,0)，此时z 的最小值为z =2x −y =−2，故答案为：−2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.答案：①③④解析：解：设P(x,y)，由动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2，可得|y|+√x 2+y 2=2，可得x 2+y 2=(2−|y|)2，化为x2+4|y|=4，将上式中的x换为−x，y换为−y，方程不变，可得曲线C关于原点对称，故①正确；由于将x换为y，y换为x，方程变为y2+4|x|=4和原方程不同，故②错误；若点P(x,y)在曲线C上，可得|y|≤1，故③正确；若点P(x,y)在曲线C上，可得|PO|2=x2+y2=4−4|y|+y2=(|y|−2)2，由0≤|y|≤1可得−2≤|y|−2≤−1，则1≤|PO|≤2，故④正确．故答案为：①③④．设P(x,y)，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，列方程化简方程可得曲线C的方程，再将x换为−x，y换为−y，可判断①；将x换为y，y换为x，可判断②；由x2≥0，即可判断③；运用两点的距离公式和0≤|y|≤1，结合二次函数的值域求法，可判断④．本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查曲线的性质，注意运用对称结论和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．17.答案：，，．解析：(1)根据所给的这一组数据，得到7个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图，从散点图可以看出，这两个两之间是正相关．(2)根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(3)利用上一问做出的线性回归方程，把x的值代入方程，预报出对应的y的值．18.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC，∴(sinB+sinC)2−sin2A=sinBsinC，∴sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC由正弦定理可得b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3；(2)由(1)知，B+C=π3，∴sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，∵0<B<π3，∴π3<B+π3<2π3，∴√32<sin(B+π3)≤1，∴sinB+sinC的取值范围是(√32,1]．解析：(1)利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可(1)求角A的大小；(2)由(1)知，B+C=π3，故sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，即可求sinB+sinC的取值范围．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)证明：取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF=//12DC，∴EF=//AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE//AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE//平面PAD．(Ⅲ)解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO=//12PA，∴EO⊥面ABC，得EO⊥BD，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．EO∩OG=O，∴BD⊥面EGO，∴BD⊥EG，∵BD为平面EBD与平面CBD的交线，EG⊂平面EBD，OG⊂平面CBD，∴∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴OG=12B′G′=12BB′⋅sin∠B′BG′=12BB′⋅sin∠ABD=12a⋅ADBD=12a√(2a)2+a2=√5在△EOG中：tan∠EGO=EOOG=a1√5a=√5，故二面角E−BD−C的平面角的正切值为√5．解析：(Ⅰ)证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD；(Ⅱ)取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE//AF，然后证明BE//平面PAD；(Ⅲ)连接AC，取AC中点O，连接EO.过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.则∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E−BD−C的平面角的正切值．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(1)∵动点P 到两点F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)的距离之和为4，∴由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)为焦点，以4为长轴的椭圆， ∵c =√2，a =2，∴b =√2，∴C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0．∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0=t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程得t =±√2，故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即(y 0−2)x −(x 0−t)y +2x 0−ty 0=0．圆心O 到直线AB 的距离d =000202． 又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0． 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．综上所述，直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．解析：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，属于中档题．(1)由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a 2与b 2的值，即可确定出椭圆C 的方程；(2)设出点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2=2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．21.答案：证明：(I)∵f(x)=x 3+2x −sinx ，∴f′(x)=3x 2+2−cosx =3x 2+(2−cosx)．∵3x 2≥0，2−cosx >0恒成立，故f′(x)>0，故函数f(x)是R 上单调递增函数；(Ⅱ)∵f(−x)=(−x)3+2(−x)−sin(−x)=−(x 3+2x −sinx)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．原不等式可化为f(x 2−a)<−f(x −ax)=f(ax −x)，由(1)可得x 2−a <ax −x ，即x 2+(1−a)x −a <0，即(x +1)(x −a)<0，当a <−1时，原不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，原不等式的解集为⌀；当a >−1时，原不等式的解集为(−1,a)．解析：(I)根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，根据二次函数和余弦函数的性质，分析导函数的符号，即可判断出函数的单调性；(II)根据函数奇偶性的定义及函数解析式，可判断出函数为奇函数，结合(I)中函数的单调性和定义域，可将不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0化为(x +1)(x −a)<0，分别讨论对应方程两根a 与−1的大小，即可得到不同情况下原不等式的解集．本题考查的知识点是函数的单调性与奇偶性的证明及应用，熟练掌握导数法证明单调性及定义法证明奇偶性是解答的关键．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2． (Ⅱ)线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．所以圆心(0,0)到直线x −y +1=0的距离d =√2=√22，所以|AB|=2√(√2)2−(√22)2=√6．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)作出函数f(x)的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)的单调递增区间(−1,0)，单调递减区间(−∞,−1)，[0,+∞)，(2)由ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点可得f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象可知，当12<12a <1即1<a <2时，满足题意，(3)由(1)的图象可知，当x ∈[−2,2]时，2f(x)∈[−14,2]，因为2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]恒成立，所以2≤2t 2−bt +2对任意b ∈[−2,2]恒成立，即2t 2−bt ≥0对任意b ∈[−2,2]恒成立，令F(b)=2t 2−bt ，b ∈[−2,2]，则{F(−2)=2t +2t 2≥0F(2)=2t 2−2t ≥0， 解可得，t ≥1或t ≤−1或t =0，故实数t 的取值范围{t|t ≥1或t ≤−1或t =0}．解析：(1)先作出函数的图象，然后结合函数的图象即可求解函数单调区间，(2)由题意可转化为f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象即可求解，(3)结合函数的图象可Ian 求出2f(x)的最大值，然后变换主元，结合一次函数的性质可求．本题主要考查了利用函数的图象求解函数的单调区间，及函数的零点个数的求解，及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了数形结合及转化思想的应用．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020接高三第二次模拟考试理科数学试题 含答案
中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等
边体的棱长为 2 ,则其体积为________;若其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面
积为________.
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第 22 ,23 题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：（共 60 分）
B． 2
C． 3 3
D． 3
11．在数列 an 中，a1 1, a2 2, a3 3, an3 (1)n an1 1(n N ) ，数列 an 的前 n 项和为 S n ，则
下列结论正确的是( )
A．数列 an 为等差数列
B． a18 11
C． a17 3
D． S31 146
12．已知函数
13．已知向量 a (1,1),b (2,1) ，若 (a b) (a b) ，则 _________. 14．记 n b(mod a) 表示正整数 n 除以正整数 a 后所得的余数为 b ，例如
8 2(mod 6) 表示 8 除以 6 后所得的余数为 2 ．执行右图的程序框图， 若输入的 n 值为 5 ，则输出的 n 值为__________.
17. （12 分）已知多面体 P ABCD 中， AB // CD ， BAD PAB 900 ， AB PA DA PD 1 CD ， M 是 PB 的中点．
2 （1）求证： PA CM ； （2）求直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
18. （12 分）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 2sin(B ) cos A cos C . 6
黑龙江省哈九中2020届高三数学第三次月考理科卷
黑龙江省哈九中2020届高三第三次月考试题数学试题(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a（ ）A ．33B ．72C ．84D ．189 2．若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A ．2-B ．21-C ．21D ．23．函数()011<-+=x e e y xx 的反函数是 （ ）A ．)1(11ln>-+=x x x y B ． )1(11ln -<-+=x x x yC ．)1(11ln >+-=x x x yD ． )1(11ln -<+-=x x x y4．)12112131211(lim +-+-+-+++-+∞→n nn n n n n n Λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．21D ．15．下列各式中，值为23的是（ ）A ．015cos 15sin 2 B ．02215sin 15cos -C ．115sin 202-D ．02215cos 15sin +6．等差数列{}n a 的公差0<d ，且21121a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ）A ．5B ．6C ．5或6D ．6或77．给出如下三个命题： ① 四个非零实数d c b a ,,,依次成等比数列的充要条件是bc ad =； ② 函数)(x f y =和函数2)1(+-=x f y 的图像一定不能重合；③ 若x x f 2log )(=，则)(x f 是偶函数。
其中不正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．①③ 8．已知1cos sin >-θθ，则角θ所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设)1(11216121+++++=n n S n Λ，且431=⋅+n n S S ，则n 的值为 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．610．现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④xx y 2⋅=的图像（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①11．数列{}n a 的前n 项和是n S ，如果*)(23N n a S n n ∈+=，则这个数列一定是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列C ．除去第一项后是等比数列D ．除去第一项后是等差数列12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）=()1.已知i为虚数单位，则9+8i1+2iA. 5−2iB. 5+2iC. 6iD. 82.已知集合A={x|(x+1)(x−3)<0}，B={1,2，3}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|1≤x≤2}C. {1,2，3}D. {1,2}3.甲、乙两人数学成绩的茎叶图，如图所示，则两人的成绩中位数为()A. 87，98B. 98，87C. 88，88D. 81，834.已知向量β⃗=(−2,1)，向量α⃗与β⃗的夹角为180°，且|α⃗|=2√5，则α⃗=()A. (−4,2)B. (4,−2)C. (−4,−2)D. (4,2)5.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。
若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑6.函数的图象大致为()A. B.C. D.7.如图所示的程序框图是为了求出满足21+22+⋯+2n>2018的最小整数n，则和两个空白框中，可以分别填入()A. S>2018?，输出n−1B. S>2018?，输出nC. S≤2018?，输出n−1D. S≤2018?，输出n8.数列{a n}的前n项和S n=3n2−5n，则a6的值为()A. 78B. 58C. 50D. 289.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有()A. 60种B. 48种C. 36种D. 24种10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，MN的中点为P，若|MN|=5，则点P到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 1 D. 1211.函数f(x)=−x2+5x−6的零点是()A. −2，3B. 2，3C. 2，−3D. −1，−312.已知数列{a n}中，a n=nn2+156(n∈N∗)，则数列{a n}的最大项是()A. a12B. a13C. a12或a13D. 不存在二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x−1≤02x−y−1≥0x−2y−2≤0，则z=x+3y的最大值为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为1的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AF1|=|AB|，则双曲线的离心率为______．15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为√3，其相邻两个零点之间的距离为π2，且f(x)的图象关于直线x=−π3对称，则当x∈[−π6,π6]时，函数f(x)的最小值为______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是棱BB1上的动点，则AP+MP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7√3，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．(1)求AD边的长；(2)求△ABC的面积．18.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥CD，AD=AB=2，作BE⊥CD，E为垂足，将△CBE沿BE折到△PBE位置，如图2所示．(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PDE；(Ⅱ)当PE⊥DE时，平面PBE与平面PAD所成角的余弦值为2√5时，求直线PB与平面PAD所5成角的正弦值．19.已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，经过点B(0,1).设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M．(Ⅰ)求椭圆G的标准方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．20.某学校高三年级有1000名学生，按分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生分析期末某学科的考试成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图．(Ⅰ)试计算男生、女生考试成绩的平均分；(Ⅱ)若由直方图可以认为，男生考试成绩服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ为10，利用该正态分布，求：(ⅰ)P(62<Z<82)；(ⅰ)若全校所有男生考试成绩在区间(62,82)人数记为X，利用(ⅰ)的结果，求E(X)．(Ⅲ)若从50名学生中任意抽取两名考试优秀的(90分以上为优秀包括90分)学生参加该学科的竞赛，若两名男生参加可以获A奖励；若两名女生参加可以获B奖励；若一名男生和一名女生参加可以获C奖励，试判断三种奖励的哪种奖励的可能性大？参考数据：若Z～(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826．21.已知函数f(x)=xe x−a(ln x+x)，a∈R。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是A. 1B. iC.D.3.的展开式中的常数项为A. B. C. D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为A. B. 1 C. D.5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为A. B. C. D.6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为A. B. C. D. 或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在之外的人数估计有附：若X服从，则，A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为A. B. C. D.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则A. B. C. D.10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为A. B. C. D.11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是A. B. C. D.12.已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若，求C的大小；若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M是AC与BD的交点．求二面角的余弦值；若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20.已知函数．讨论在定义域内的极值点的个数；若对，恒成立，求实数m的取值范围；证明：若，不等式成立．21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．求正实数m的取值范围；连接C，D两点，设直线CD的斜率为；当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．23.设函数．求的解集；若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为集合或，，则，那么集合，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数z的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到，，圆锥的高，圆锥的体积．解得，则圆锥的母线长为．故选：D．推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.答案：A解析：解：是与的等差中项，即为，若公比，则，即有，即，显然不成立，故，则，化为，即，解得或舍去，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．则．则成绩在之内的人数估计有8183，成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得，，则，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：C解析：解：以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由得，由题意，a有解，，，或舍，，此时椭圆方程是：．故选：C．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.答案：C解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则，解得．故选：C．利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：由已知可设，，则P点横坐标为，又因为点P在函数的图象上，所以，因为为正三角形，则，故直线PM的斜率等于，，即，，即，，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：C解析：解：当时，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，作出函数的图象如下图所示，令，则有两个不同的实数根，，要使方程有7个不同的实数解，则，，，即，作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；当取点时，最大，且最大值为12．故的取值范围为．故选：C．利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.答案：解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，，又，，，函数的图象如下，由图可知，．故答案为：．依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.答案：解析：解：如图，椭圆的焦点，，设，则，，则，的取值范围是．故答案为：．由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或解析：解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，曲线在处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，，解得，或．当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，或．故答案为：1或．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，可得直线在x，y轴的交点分别为：，，则O到直线的距离小于半径，且，即，，整理可得：，即，解得，故答案为：由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，由，可得，由，可得，由题意，，，，，，，由可得，由向量的中点表示可得，两边平方可得：，可得：，可得：，，解得，当且仅当时取等号，的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：在中，，，则．在中，，则，在中，，则，，，平面ABCD，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，设平面ACP的法向量y，，则，取，则，设平面BCP的法向量b，，则，取，得，则，二面角的余弦值为．设平面PCD的法向量n，，，1，，则，取，得，设y，，且，，满足，则0，，，点N在线段PB上且平面PDC，，解得．，平面ACP的法向量，．直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由已知，，．的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列为：X 0 1 2P．由知，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：，，该方案无效．解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：，对于方程，，当时，，，此时没有极值点；当时，方程的两根为，，不妨设，则，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；当时，方程的两根为，，且，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；，即，则，设，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故；证明：由知当时，恒成立，即，欲证，只需证，设，当时，，单调递减，当，，单调递增，，故，对，不等式成立．解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即可；由知，恒成立，则问题转化为证明，设，利用导数证明恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，则且，又，，解得，正实数m的取值范围为；设，设过点的直线为，过点的直线为，由，联立解得，由，联立解得，，，直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，，，即；，由和可知，，．解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到，所以，，所以，即，，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；若，使恒成立，即为，由，当时，取得等号，则的最小值为4，可得，则，即，由，，可得，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为1．解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 A ={x|x 2−3x +2≥0}，B ={x|2x <4}，则 A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x ∈R}C. {x|x ≤1}D. {x|x >2}2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =2−xB. y =lnxC. y =x −2D. y =|x|−14. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=07. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 328. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π9. 阅读如图所示的程序框图，若输入a =0.45，则输出的k 值是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 数列{a n }的通项公式为a n =1(n+1)(n+2)，则{a n }的前10项之和为( )A. 14B. 512C. 34D. 71212. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫(1−1√1−x 2−1)dx = ______ ．14. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为____.15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg2=0.3010，次可使杂质含量减少13lg3=0.4771)16.在三棱锥S−ABC中，ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π，则2(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
2020年哈九中三模理科数学试卷
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在 2020 年端午节当日投入至少
1 艘至多 3 艘 A 型游船供游客乘坐观光. 由 2010 到 2019 这 10 年间的数据资料显示每年端午节当日
客流量 X （单位：万人）都大于 1，将每年端午节当日客流量数据分成 3 个区间整理得下表：
27
(x) max { f (x), g(x)}，若(x) x 在 (0,) 上恒成立，则实数 a 的取值范围是
.
3
哈尔滨市第九中学 2020 届高三第三次模拟考试 理科数学 第 1页（共 2 页）
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
哈尔滨市第九中学 2020 届高三第三次模拟考试
数学(理)试题
A.20
B. 20 3
C.4
D. 4
3
9.《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之
源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），共 23 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
（）
A.52
B.56
C.45
D.42
3.下列选项中，满足 z 1 为实数的复数 z 是（ ） z
A.z 1 i
B.z 1 i
C.z 1 3 i
D.z 1 3 i
4.若非零向量 a, b 满足 b
4
a
,
2a
b
a
，则
a
与
b
22
的夹角为（
）
2
A.
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2−3x−4>0},B={x|xx−5<0}，那么集合(∁U A)∩B=()A. {x|−1≤x≤4}B. {x|0<x≤4}C. {x|0<x<5}D. {x|−1≤x<5}2.i为虚数单位，满足i⋅z=2+i的复数z的虚部是()A. 1B. iC. −2D. −2i3.(√3x2−x4)3的展开式中的常数项为()A. −3√3B. 3√3C. −9D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为()A. √33B. 1C. √3D. 2√35.某商场每天的食品销售额x(万元)与该商场的总销售额y(万元)具有相关关系，且回归方程为ŷ=9.7x+2.4.已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为()A. 110B. 19C. 18D. 176.已知S n为等比数列{a n}的前n项和，且S3是S4与S5的等差中项，则数列{a n}的公比为()A. −2B. −12C. 12D. −2或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布N(120,9)，成绩在(117,126]之外的人数估计有()(附：若X服从N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<X≤μ+ 2σ)=0.9545)A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以F1(−√2,0),F2(√2,0)为焦点的椭圆与直线x−y+2√2=0有公共点，则满足条件A.x 26+y 24=1B.x 23+y 2=1C.x 25+y 23=1D.x 24+y 22=19. 已知某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则p =( )A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.810. 已知函数y =log 2x 和函数y =log 2(x −2)的图象分别为曲线C 1，C 2，直线y =k 与C 1，C 2分别交于M ，N 两点，P 为曲线C 1上的点．如果△PMN 为正三角形，则实数k 的值为( )A. log 2(2√3−1)B. −log 2(2√3−1)C. (2√3−1)12D. −(2√3−1)1211. 将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是( )A. 13B. 14C. 15D. 1612. 已知函数f(x)={|−|x +1|+1|,x ≤0ln(ex)x+1,x >0，若方程[f(x)]2−mf(x)+n =0(n ≠0)有7个不同的实数解，则2m +3n 的取值范围( )A. (2,6)B. (6,9)C. (2,12)D. (4,13)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=4cos(x −5π6)cosx −m 在[0,π2]上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．14. 已知点P 为圆(x −6)2+(y −8)2=1上任一点，F 1，F 2分别为椭圆x 24+y 23=1的两个焦点，求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围______．15. 若直线y =kx +b 是曲线y =lnx 的切线，也是曲线y =e x−2的切线，则k =______． 16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2c ，A 1，A 2是实轴顶点，以A 1A 2为直径的圆与直线bx +cy −bc =0在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA +√32a =c ．(1)若sinBsinC =cos 2A2，求C 的大小；(2)若AC 边上的中线BM 的长为1+√3，求△ABC 面积的最大值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=CD=1，∠ADC=120°，PA=AB=BC=√3，点M是AC与BD的交点．(1)求二面角A−PC−B的余弦值；(2)若点N在线段PB上且MN//平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件B i(i=0,1,2)．(1)求P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2)；(2)随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；(3)若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20. 已知函数f(x)=x 2+mx +2lnx ．(1)讨论f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若对∀x >0，f(x)−2e x −3x 2≤0恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：若x ∈(0,+∞)，不等式e x +x 2−(e +1)x +1x −1≥0成立．21. 过x 轴正半轴上一点M(m,0)做直线与抛物线E ：y 2=x 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，(y 1>0>y 2)两点，且满足0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2，过定点N(4,0)与点A 做直线AC 与抛物线交于另一点C ，过点N(4,0)与点B 做直线BD 与抛物线交于另一点D.设三角形AMN 的面积为S 1，三角形DMN 的面积为S 2． (1)求正实数m 的取值范围；(2)连接C ，D 两点，设直线CD 的斜率为k 0；(i)当m =43时，直线AB 在y 轴的纵截距范围为[−83,−43]，则求k 0的取值范围； (ii)当实数m 在(1)取到的范围内取值时，求S 2S 1的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =√6sinα(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√3+√22t，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的极坐标方程以及直线l 的普通方程；f(2)若点A(1,√3)，直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，弦P ，Q 的中点为M ，求|AP|⋅|AQ||AM|的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|3−x|．(1)求f(x)≥5的解集；(2)若∀x ∈R ，使f(x)≥m 恒成立的m 的最大值为n.正数a ，b 满足12a+b +1a+3b =n ，求3a +4b 的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2−3x−4>0}={x|x<−1或x>4}，B={x|0<x<5}，则∁U A={x|−1≤x≤4}，那么集合(∁U A)∩B={x|0<x≤4}，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出∁U A，再由交集的运算求出(∁U A)∩B．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由i⋅z=2+i，得z=2+ii =(2+i)(−i)−i2=1−2i，∴复数z的虚部是−2．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵(√3x2−x4)3的展开式中的通项公式为T r+1=C3r⋅(−1)r⋅(√3)3−r⋅x6r−6，令6r−6=0，求得r=1，可得常数项为−C31⋅3=−9，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，棱锥的体积为3π，∴圆锥的体积为3π，∵圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=πR，∴R=2r，∴圆锥的高ℎ=√(2r)2−r2=√3r，∴圆锥的体积V=13×πr2×√3r=3π．解得r=√3，则圆锥的母线长为R=2r=2√3．故选：D．推导出圆锥的体积为3π，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则R=2r，圆锥的高ℎ=√(2r)2−r2=√3r，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵商场每天的食品销售额x(万元)与该商场的总销售额y(万元)的线性回归方程为ŷ=9.7x+2.4，∴当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为y=9.7×8+ 2.4=80，∴该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：880=110，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：S3是S4与S5的等差中项，即为2S3=S4+S5，若公比q=1，则S n=na1，即有6a1=4a1+5a1，即a1=0，显然不成立，故q≠1，则2⋅a1(1−q 3)1−q =a1(1−q4)1−q+a1(1−q5)1−q，化为2q3=q4+q5，即q2+q−2=0，解得q=−2或1(舍去)，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由数学分数服从正态分布N(120,9)，得μ=120，σ=3．则P(117<x≤126)=P(117<X≤123)+P(123<X≤126)=P(μ−σ<X≤μ+σ)+12[P(μ−2σ<X≤μ+2σ)−P(μ−σ<X≤μ+σ)]=0.682+12(0.9545−0.682)=0.81825．则成绩在(117,126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117,126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得μ=120，σ=3，则P(117<x≤126)=P(μ−σ<X≤μ+σ)+12[P(μ−2σ<X≤μ+2σ)−P(μ−σ<X≤μ+σ)]，求出概率，乘以10000可得成绩在(117,126]之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：以F1(−√2,0),F2(√2,0)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2+y2a2−2=1(a2>2)，由{x 2a 2+y 2a 2−2=1x −y +2√2=0得(2a 2−2)x 2+4√2a 2x +10a 2−a 4=0， 由题意，a 有解，∴△=(4√2a 2)2−4(2a 2−2)(10a 2−a 4)≥0， ∴a 4−7a 2+10≥0，∴a 2≥5或a 2≤2(舍)，∴a min 2=5，此时椭圆方程是：x 25+y 23=1．故选：C ．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a 的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.【答案】C【解析】解：某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立， 该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则1−[C 31p(1−p)2+C 30p 0(1−p)3]=0.784，解得p =0.7． 故选：C ．利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由已知可设M(2k .k)，N(2k +2,k)，则P 点横坐标为2k +1， 又因为点P 在函数y =log 2x 的图象C 1上，所以P(2k +1,log(2k +1))，因为△PMN 为正三角形，则∠PMN =60°，故直线PM 的∴log2(2k+1)−k2k+1−2k=√3，即log2(2k+1)=k+√3，∴2k+√3=2k+1，即2k=2√3−1，∴k=−log2(2√3−1)，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是60°，即斜率为√3，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数n=6×6×6=216，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：①取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为C32C41=12，②取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为C32C41=12，③取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为C32C41=12，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：P=12+12+12216=16．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数n=6×6×6=216，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：①取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为C32C41=12，②取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为C32C41=12，③取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为C32C41=12，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：当x >0时，f′(x)=1−ln(ex)x 2，令f′(x)=0，解得x =1，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且f(1)=2，x →+∞时，f(x)→1， 作出函数f(x)的图象如下图所示，令t =f(x)，则t 2−mt +n =0有两个不同的实数根t 1，t 2，要使方程[f(x)]2−mf(x)+n =0(n ≠0)有7个不同的实数解，则t 1∈(0,1)，t 2∈[1,2)， ∴{n(1−m +n)<0(1−m +n)(4−2m +n)≤0，即{n(m −n −1)>0(m −n −1)(2m −n −4)≤0， 作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当(m,n)取点(1,0)时，2m +3n 最小，且最小值为2； 当(m,n)取点(3,2)时，2m +3n 最大，且最大值为12． 故2m +3n 的取值范围为(2,12)． 故选：C ．利用导数研究函数f(x)的性质，可作出f(x)的草图，观察图象，结合题设条件可得方程t 2−mt +n =0有两个不同的实数根t 1，t 2，且t 1∈(0,1)，t 2∈[1,2)，利用二次函数根的分布，可以得到m ，n 满足的约束条件，由此作出可行域，再根据2m +3n 的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.【答案】[0,2−√3)【解析】解：依题意，函数g(x)=4cos(x−5π6)cosx，x∈[0,π2]上的图象与直线y=m有两个不同的交点，g(x)=4(cosxcos5π6+sinxsin5π6)cosx=4(−√32cosx+12sinx)cosx=2sinxcosx−2√3cos2x=sin2x−√3cos2x−√3=2sin(2x−π3)−√3，又x∈[0,π2]，∴2x−π3∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x−π3)−√3∈[−2√3,2−√3]，函数g(x)的图象如下，由图可知，m∈[0,2−√3)．故答案为：[0,2−√3)．依题意，函数g(x)=4cos(x−5π6)cosx，x∈[0,π2]上的图象与直线y=m有两个不同的交点，化简g(x)=2sin(2x−π3)−√3，作出函数g(x)在x∈[0,π2]上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.【答案】[80,120]【解析】解：如图，椭圆x 24+y 23=1的焦点F 1(−1,0)，F 2(1,0)，设P(6+cosθ,8+sinθ)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−7−cosθ,−8−sinθ)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5−cosθ,−8−sinθ)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =100+4(4sinθ+3cosθ)=100+20sin(θ+φ)(tanφ=34).∵−20≤20sin(θ+φ)≤20， ∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[80,120]． 故答案为：[80,120]．由椭圆方程求出焦点坐标，设P(6+cosθ,8+sinθ)，得到PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.【答案】1或1e【解析】解：设y =kx +b 与y =e x−2和y =lnx 的切点分别为(x 1,e x 1−2)、(x 2,lnx 2)； 由导数的几何意义可得k =e x 1−2=1x 2，曲线y =e x−2在(x 1,e x 1−2)处的切线方程为y −e x 1−2=e x 1−2(x −x 1)， 即y =e x 1−2⋅x +(1−x 1)e x 1−2，曲线y =lnx 在点(x 2,lnx 2)处的切线方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)，即y =1x 2x +lnx 2−1，则{e x 1−2=1x2(1−x 1)e x 1−2=lnx 2−1， ∴(1x 2−1)(lnx 2−1)=0，解得x 2=1，或x 2=e ．当x 2=1时，切线方程为y =x −1，即k =1， 当x 2=e 时，切线方程为y =xe ，即k =1e ， ∴k =1或1e ． 故答案为：1或1e ．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.【答案】(√2,√5+12)【解析】解：由题意如图，要使以A 1A 2为直径的圆与直线bx +cy −bc =0在第一象限有两个不同公共点， 可得直线在x ，y 轴的交点分别为：(c,0)，(0,b)， 则O 到直线的距离小于半径，且b >a ，即bc√b 2+c 2<a ，b >a ，整理可得：{b 2>a 2c 4−3a 2c 2+a 4<0，即{2a 2<c 2e 4−3e 2+1<0，解得√2<e <√5+12， 故答案为：(√2,√5+12).由题意可得O 到直线的距离小于半径，且b >a ，可得a ，c 的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵bcosA +√32a =c ．∴由正弦定理可得sinBcosA +√32sinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，∴√32sinA =sinAcosB ，∴由sinA ≠0，可得cosB =√32，由B ∈(0,π)，可得B =π3，∵由题意sinBsinC =cos 2A2=1+cosA 2，∴sinBsinC =1−cosCcosB ， ∴cos(C −B)=1， ∵C ，B ∈(0,π)， ∴C =B ， ∴C =B =π3，(2)∵由(1)可得B =π3，∴由向量的中点表示可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴两边平方可得：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，可得：c 2+a 2+2⋅c ⋅a ⋅cosB =4(1+√3)2，可得：c 2+a 2+ac =16+8√3， ∴16+8√3≥2ac +ac =3ac ，解得ac ≤16+8√33，当且仅当a =c 时取等号，∴△ABC 的面积S =12acsinB =√34ac ≤4√3+63，当且仅当a =c 时取等号，即△ABC 面积的最大值是4√3+63．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得√32sinA =sinAcosB ，结合sinA ≠0，可得cosB =√32，结合范围B ∈(0,π)，可得B =π3，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得cos(C −B)=1，结合范围C ，B ∈(0,π)，可得C =B =π3，即可得解．(2)由已知运用向量的中点表示可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)在△ACD 中，AC =√AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos120°=√3，cos∠DAC =AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC=√32，则∠DAC =π6． 在△ABC 中，cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =12，则∠DAC =π6， 在△ABC 中，cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=12，则∠BAC =π3， ∴∠BAD =π2，∴AB ⊥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴分别以直线AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， B(√3,0,0)，C(√32,32,0)，A(0,0,0)，P(0,0,√3)，N(√34,0,3√34)，M(√34,34,0)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)， 设平面ACP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3z =0，取x =√3，则m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)， 设平面BCP 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a +32b =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a +√3c =0，取a =√3，得n ⃗ =(√3,1,√3)，则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4×√7=√77， ∴二面角A −PC −B 的余弦值为√77． (2)设平面PCD 的法向量a ⃗ =(m,n,t)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， 则{a ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32m +32n −√3t =0a ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n −√3t =0，取n =√3，得a ⃗ =(−1,√3,1)，设N(x,y,z)，且BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，满足(x −√3,y,z)=λ(−√3,0,√3)， 则N(√3−√3λ,0,√3λ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√34−√3λ,−34,√3λ)，∵点N 在线段PB 上且MN//平面PDC ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a ⃗ =√3λ−3√34−3√34+√3λ=0，解得λ=34．MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−34,3√34)， ∵平面ACP 的法向量m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，cos <m ⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=342×32=14．∴直线MN与平面PAC所成角的正弦值为14．【解析】(1)分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A−PC−D的正切值．(2)先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知P(A|B0)=1，P(A|B1)=C194C204=45，P(A|B2)=C184C204=1219．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=0.7+0.2×C194C204+0.1×C184C204=877950，P(X=1)=0.2×C193C204+0.1×C21C138C204=70950，P(X=2)=0.1×C22C182C204=3950，∴随机变量X的分布列为：E(X)=1×70950+2×3950=38475．(3)由(1)知P(A)=P(X=0)=877950，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：P(B0|A)=P(AB0)P(A)=P(A|B0)P(B0)P(A)=666877，∵100×665877−100×0.7<10，∴该方案无效．【解析】(1)利用古典概型概率计算公式能求出P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2).(2)X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．(3)由P(A)=P(X=0)=877950，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=P(AB0)P(A)=P(A|B0)P(B0)P(A)=666877，由100×665877−100×0.7<10，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=2x+m+2x =2x2+mx+2x(x>0)，对于方程2x2+mx+2=0，Δ=m2−16，①当−4≤m≤4时，Δ=m2−16≤0，f′(x)≥0，此时f(x)没有极值点；②当m<−4时，方程2x2+mx+2=0的两根为x1，x2，不妨设x1<x2，则x1+x2=−m2>0,x1x2=1,0<x1<x2，当0<x<x1或x>x2时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，此时x1，x2是函数f(x)的两个极值点；③当m>4时，方程2x2+mx+2=0的两根为x3，x4，且x3+x4=−m2<0,x3x4=1，故x3<0，x4<0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)没有极值点；综上，当m<−4时，函数f(x)有两个极值点；当m≥−4时，函数f(x)没有极值点；(2)f(x)−2e x−3x2=x2+mx+2lnx−2e x−3x2≤0，即mx+2lnx−2e x−2x2≤0，则m≤2x2+2e x−2lnxx，设g(x)=x2+e x−lnxx,g′(x)=x2−1+(x−1)e x+lnxx2，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)≥g(1)=e+1，故m≤2(e+1)；(3)证明：由(2)知当m=2(e+1)时，(e+1)x+lnx−e x−x2≤0恒成立，即e x+x2−(e+1)x≥lnx，欲证e x+x2−(e+1)x≥1−1x ，只需证lnx≥1−1x，设ℎ(x)=lnx−1+1x ,ℎ′(x)=x−1x2，∴当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0，故lnx ≥1−1x ，∴对x ∈(0,+∞)，不等式e x +x 2−(e +1)x +1x −1≥0成立．【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．(1)函数的定义域为(0,+∞)，求导后研究方程2x 2+mx +2=0，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况； (2)问题等价于m ≤2x 2+2e x −2lnxx，设g(x)=x 2+e x −lnxx，利用导数求函数g(x)的最小值即可；(3)由(2)知，(e +1)x +lnx −e x −x 2≤0恒成立，则问题转化为证明lnx ≥1−1x ，设ℎ(x)=lnx −1+1x ，利用导数证明ℎ(x)≥0恒成立即可．21.【答案】解：(1)设直线AB 方程为x =ty +m ，联立直线AB 与抛物线方程得{x =ty +my 2=x ，解得y 2−ty −m =0，则△=t 2+4m >0且{x 1x 2=m 2y 1y 2=−m，又∵0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=m 2−m ∈(0,2)，解得1<m <2， ∴正实数m 的取值范围为(1,2)；(2)设A(y 12,y 1),B(y 22,y 2),C(y 32,y 3),D(y 42,y 4)，设过点N(4,0)的直线为x =t 1y +4，过点M(43,0)的直线为x =t 2y +43，由{x =t 1y +4y 2=x ，联立解得y 2−t 1y −4=0， 由{x =t 2y +43y 2=x ，联立解得y 2−t 2y −43=0， ∴{y 1y 3=−4y 2y 4=−4y 1y 2=−43， ∴k ABkCD=y 1−y 2y 12−y 22y 3−y 4y 32−y 42=y 3+y 4y1+y 2=−4(1y 1+1y 2)y 1+y 2=−4y1y 2=3，(i)∵直线AB 在y 轴上的纵截距取值范围为[−83,−43]， ∴k AB ∈[1,2]，∴k CD =13k AB ∈[13,23]，即k 0∈[13,23]；(ii)S △AMN =12⋅MN ⋅y 1,S △DMN =12⋅MN ⋅y 4， 由(1)和(i)可知，{y 1y 2=−my 2y 4=−4，∴S 2S 1=y 4y 1=−4−m =4m ∈[2,4]．【解析】(1)设直线AB 方程为x =ty +m ，与抛物线方程联立，由韦达定理可得{x 1x 2=m 2y 1y 2=−m，再结合已知条件0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2，即可求得正实数m 的取值范围； (2)设A(y 12,y 1),B(y 22,y 2),C(y 32,y 3),D(y 42,y 4)，设过点N(4,0)的直线为x =t 1y +4，过点M(43,0)的直线为x =t 2y +43，与抛物线方程联立后，可得{y 1y 3=−4y 2y 4=−4y 1y 2=−43，进而求得k AB =3k CD ，(i)由题意可知，k AB ∈[1,2]，进而得到k 0∈[13,23]；(ii)易知S 2S 1=y 4y 1=4m ，结合(1)中m 的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =√6sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 212+y 26=1．直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√3+√22t ，(t 为参数).转换为直角坐标方程为x −y −1+√3=0．(2)把直线的参数方程{x =1+√22t y =√3+√22t ，(t 为参数)，代入x 212+y 26=1，得到32t 2+(2√6+√2)t −5=0， 所以t 1+t 2=−4√6+2√23，t 1t 2=−103， 所以t 1+t 22=−2√6+√23，即|AM|=|t 2+t 22|=2√6+√23，|AP|⋅|AQ|=|t 1t 2|=103，所以|AP|⋅|AQ||AM|=1032√6+√23=10√6−5√211．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)|x +1|+|3−x|≥5等价为{x ≥3x +1+x −3≥5或{−1<x <3x +1+3−x ≥5或{x ≤−1−x −1+3−x ≥5， 解得x ≥72或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为(−∞,−32]∪[72,+∞)；(2)若∀x ∈R ，使f(x)≥m 恒成立，即为m ≤f(x)min ，由|x +1|+|3−x|≥|x +1+3−x|=4，当−1≤x ≤3时，取得等号，则f(x)的最小值为4，可得m ≤4，则n =4，即12a+b +1a+3b =n =4，由a >0，b >0，可得3a +4b =14[(2a +b)+(a +3b)](12a+b +1a+3b )=14(2+a+3b 2a+b +2a+b a+3b )≥14(2+2√a+3b 2a+b ⋅2a+ba+3b )=1， 当且仅当2a +b =a +3b ，即a =2b =15时取得等号，则3a +4b 的最小值为1．【解析】(1)由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得m ≤f(x)min ，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m 的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用3a +4b =(2a +b)+(a +3b)的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。