(推荐)高三理科数学模拟试题
高考数学理科模拟试卷及答案
高考数学理科模拟试卷及答案迎战高考，十年寒窗，今日出招。
早睡早起休息好，餐餐养分搭配好，生冷零食远离好，考试用具预备好，有备而战发挥好。
祝高考顺当，金榜题名！下面就是我给大家带来的高考数学理科模拟试卷及答案，盼望大家喜爱！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设全集，集合,则()A.{2,4}B.{2,4，6}C.{0，2,4}D.{0，2,4，6}2.若复数是纯虚数，则实数()A.±1B.C.0D.13.已知为等比数列，若，则()A.10B.20C.60D.1004.设点是线段BC的中点，点A在直线BC外，,则()A.2B.4C.6D.85.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是()A.0B.2C.4D.66.给出命题p：直线相互平行的充要条件是;命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥。
对以上两个命题，下列结论中正确的是()A.命题“p且q”为真B.命题“p或q”为假C.命题“p且┓q”为假D.命题“p且┓q”为真7.若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是()A.(-∞，1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1，+∞)8.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的（方法）有()A.36种B.45种C.54种D.84种9.设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，∠=90°，||=1，则的值为()A.B.C.D.10.已知点,动圆C与直线切于点B，过与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A.B.C.D.11.函数有且只有两个不同的零点，则b的值为()A.B.C.D.不确定12.已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为()A.5B.10C.20D.30第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高三数学模拟试卷10套精编(理科)含答案及解析
A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】x1=x2=0，则 ， ，
令x1=x，x2=-x，
则 ，
所以 ，
即 ， 为奇函数，故选C.
6.在 中，“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【答案】C
【解析】
因为向量 ，且a∥b,
∴ .
本题选择C选项.
3.已知 ，且 ，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数基本关系求出结果．
【详解】因为 ， >0，故
即 ，
又 ，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
【详解】作函数 ， ， ， 的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为 、 、 ，所以 ．
故选A．
【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8.设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下述四个结论：
10.已知函数 ，若将其图象向右平移 个单位长度后所得 图象关于原点对称，则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数 的解析式化简为 ，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出 的表达式，即可得出正数 的最小值.
【详解】 ，
将其图象向右平移 个单位长度后所得的图象的函数解析式为 ，
高三数学(理科)模拟试题及答案
高三数学（理科）模拟试题及答案姓名： 班级： 座位号： 分数： 一、选择题：（每题 分，总计 分，把答案填在答题卡上。
）1、 10i2-i =A 、 -2+4iB 、 -2-4iC 、 2+4iD 、 2-4i 答案：解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i==-+、故选A 、2、 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A 、 ∅ B 、 ()3,4 C 、()2,1- D 、 ()4.+∞ 答案：解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭、(3,4)A B ∴=、故选B 、3、 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =A 、 1213B 、513C 、513-D 、 1213-答案：解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈、12cos 13A ===-故选D 、4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A 、 20x y --=B 、 20x y +-=C 、450x y +-=D 、 450x y --= 答案：解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B 、5、 已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A 、B 、 15C 、D 、 35答案：解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6、 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =A 、B 、C 、5D 、 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
高三模拟数学试卷理科答案
1. 答案：D解析：根据三角函数的性质，sin(π - α) = sin α，cos(π - α) = -cos α，tan(π - α) = -tan α。
因此，选项D正确。
2. 答案：A解析：函数f(x) = |x - 2|在x = 2处取得最小值0，故A正确。
3. 答案：B解析：根据指数函数的性质，若a > 1，则a^x在x递增；若0 < a < 1，则a^x在x递减。
故B正确。
4. 答案：C解析：根据数列的性质，数列{an}是等差数列，且an > 0。
则an + 1 = an +d > 0，故C正确。
5. 答案：A解析：根据立体几何的性质，若AB垂直于平面PQ，则AB垂直于PQ上的任意一条直线。
故A正确。
二、填空题6. 答案：π/2解析：由题意知，△ABC为直角三角形，∠BAC = π/2，故∠ABC = π/2 -∠ACB = π/2。
7. 答案：-1/2解析：根据等比数列的性质，an = a1 r^(n-1)，则a5 = a1 r^4，a6 = a1 r^5。
由题意知a5/a6 = -1/2，代入an的表达式得r = -1/2。
8. 答案：2解析：由题意知，直线l的方程为2x - 3y + 4 = 0。
设点P的坐标为(x, y)，则P到直线l的距离d = |2x - 3y + 4| / √(2^2 + 3^2) = |2x - 3y + 4| / 5。
由题意知d = 2，代入得|2x - 3y + 4| = 10。
解得x = 3，y = 2。
9. 答案：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2（2）f'(x) = 6x^2 - 6x（3）当x = 0时，f(x)取得极小值f(0) = 2；当x = 1时，f(x)取得极大值f(1) = 1。
10. 答案：（1）设圆心为O，则圆O的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，则选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，则将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{220,M xx x N x y =--<==∣∣，则M N ⋃=（ ） A.(],e ∞- B.()0,2 C.(]1,e - D.()1,2- 2.已知复数z 满足()12i 34i z -=-，则z 的共轭复数z =（ ）A.12i --B.12i -+C.12i -D.12i +3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0684.过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r ，点1O 到C 的准线l 的距离与r 的积为25，则()12r x x +=（ ）A.40B.30C.25D.205.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg /m为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，则竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg /m ,3周后室内甲醛浓度为31mg /m ，且室内甲醛浓度()t ρ（单位：3mg /m ）与竣工后保持良好通风的时间t （*t ∈N ）（单位：周）近似满足函数关系式()eat bt ρ+=，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（ ） A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14 B.4 C.12 D.27.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥，延长2MF 交双曲线C 于点P .若12MF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）8.在ABC 中90,4,,A AB AC P Q ===是平面ABC 上的动点，且2AP AQ PQ ===，M 是边BC 上一点，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A.若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+B.若随机变量()23,N ξσ~，且(6)0.84P ξ<=，则(36)0.34P ξ<<=C.若样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n .若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含,M N 点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,3F ，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A.椭圆的离心率为12B.AFG 的周长为6+C.ABF 面积的最大值是92D.线段AB长度的取值范围是6,3⎡+⎣11.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1AA ⊥底面ABCD ，三棱锥1A BCD -的体积是3，底面ABCD 和1111A B C D 的中心分别是O 和1,O E 是11O C 的中点，过点E 的平面α分别交11111,,BB B C C D 于点,,F N M ，且BD ∥平面,G α是线段MN 上任意一点（含端点），P 是线段1A C 上任意一点（含端点），则（ ）A.侧棱1AAB.四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积是40πC.当1125B F BB =时，则平面α截四棱柱所得的截面是六边形 D.PO PG +的最小值是512.已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A.0a b +>B.0c d +>C.0a d +>D.0b c +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点5t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.已知多项式5625601256(2)(1)x x a a x a x a x a x -+-=+++++，则1a =__________.15.已知函数()()2e 2ln x f x k x x x =+-和()2e xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则实数k 的最大值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1,0,1”，A 中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列:1,0A ，则数列():0,1,0,1,0,1f A .已知数列1:1,0,1,0,1A ，且数列()1,1,2,3,k k A f A k +==，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中3,,sin AC AB DAC BAC BAC ∠∠∠====.（1）求边BC ； （2）若23CDA π∠=，求四边形ABCD 的面积. 18.（本小题满分12分）在各项均为正数的数列{}n a 中()21112,2n n n n a a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证1n S <19.（本小题满分12分）2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），12PF F的内切圆半径的最大值是312.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.21.（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中1AA ⊥平面111111,2,1,ABC AB AC AA A B AB AC ====⊥,E F 分别是1,BC BB 的中点，D 是棱11A C 上的动点.（1）求证：1AB DE ⊥（2）若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点12,x x ，且122x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭参考答案1.【答案】C 解析：2201,2M xx x =--<=-∣，由1ln 0x -，得0e x <，则{0,e]N x y ===∣，所以(]1,e M N ⋃=-.故选C.2.【答案】C 解析：因为()12i 34i 5z -=-==，可得()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+，所以12i z =-.故选C. 3.【答案】D 解析：设随机抽取一人进行验血，其诊断结果为阳性为事件A ，设随机抽取一人为患者为事件B ，随机抽取一人为非患者为事件B ，则()()()()()0.980.050.020.95P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=∣∣0.068.故选D.4.【答案】A 解析：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为()121252x x r ++==，则有128x x +=，故()1240r x x +=.故选A.5.【答案】B 解析：由题意可知()()()()32341e6.25,3e 1,e 125a ba b a ρρρρ++======解得2e 5a=.设该文化娱乐场所竣工后放置0t 周后甲醛浓度达到安全开放标准，则()()0001102e e e6.255t a t at b a b t ρ--++⎛⎫==⋅=⨯ ⎪⎝⎭0.1，整理得01562.52t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.设1562.52m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为455562.522⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以415m <-<，即56m <<，则011t m --，即0t m 故竣工后至少需要放置的时间为6周.故选B.6.【答案】D 解析：设圆柱和圆锥底面半径分别为,r R ，因为圆锥轴截面的顶角为直，设圆柱高为h ，则,h R r h R r R R-==-，由题意得()222R r r R r πππ⨯=+⨯-，解得2r R=.故选D .7.【答案】D 解析：设1(2)MF t t a =>，由双曲线的定义可得22MF t a =-，又21PF MF t == 则12PF t a =+，由12MF MF ⊥，可得22211||MF MP PF +=，即222(22)(2)t t a t a +-=+，解得3t a =.又2221221MF MF F F +=，即222(3)4a a c +=即c =，所以c e a ==.故选D.8.【答案】B 解析：取PQ 的中点N ，则,MP MN NP MQ MN NQ MN NP =+=+=-，可得()()2221,MP MQ MN NP MN NP MN NP MN MN MA AN MA AN ⋅=+⋅-=-=-=+-当且仅当点N 在线段AM 上时，则等号成立，故|||||||||||3|MN MA AN MA -=-显然当AM BC ⊥时，则MA 取到最小值|||||3||233|MN MA ∴--=故21312MP MQ MN ⋅=--=.故选B.9.【答案】BC 解析：对于A ，由方差的性质可得()()()224D D D ηξξ==，故A 错误；对于B ，由正态密度曲线的对称性可得(36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=，故B 正确；对于C ，由样本相关系数知识可得，样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，故C 正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，则30,3777,22n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30,40,n m =⎧⎨=⎩故70m n +=，故D 错误.故选BC. 10.【答案】BD 解析：由题知，椭圆中的几何量3b c ==，所以a =则离心率2c e a ===故A 不正确；因为3AB OB OA OA =+=+由椭圆性质可知332OA ，所以6332AB +故D 正确；设,A B 到y 轴的距离分别为12,d d则()1212113222ABFAOFOBFSSSd OF d OF d d =+=⋅+⋅=+当点A在短轴的端点处时，则12,d d 同时取得最大值3，故ABF 面积的最大值是9，故C 不正确；由椭圆定义知2AF AG a +==AFG 的周长6AFGCFG =+=+B 正确.故选BD.11.【答案】BCD 解析：对于选项A ，因为三棱锥1A BCD -的体积111323V AA=⨯⨯=解得1AA=A错误；对于选项B，外接球的半径满足22221440R AB AD AA=++=故外接球的表面积2440S Rππ==，故选项B正确；对于选项D，因为BD∥平面1111,,BD B D B Dα⊄∥平面α，所以11B D∥平面α，又平面1111A B C D⋂平面11,MN B Dα=⊂平面1111A B C D，所以11B D MN∥，又因为四边形1111A B C D是正方形1111A CB D⊥，所以11AC MN⊥，因为侧棱1AA⊥底面1111,A B C D MN⊂底面1111A B C D 所以1AA MN⊥，又1111AC AA A⋂=，所以MN⊥平面11AAC C，垂足是E，故对任意的G，都有PG PE，又因为1111114OO O E AC===，故215PO PG PO PE OE OO++==，故选项D正确；对于选项C，如图，延长MN交11A B的延长线于点Q，连接AQ交1BB于点F，在平面11CC D D内作MH AF∥交1DD于点H，连接AH，则平面α截四棱柱所得的截面是五边形AFNMH，因为1112B Q B N AB==，所以此时1113B FBB=，故11113B FBB<<时截面是六边形，1113B FB<时截面是五边形，故选项C正确.故选BCD.12.【答案】AD 解析：对于A，e e1.010,1,111a ba ba b==>∴>->-++令()e(1)1xf x xx=>-+则()2e1)xxf xx=+'所以()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()01f=，又()1 1.01f>故01,10a b<<-<<令()()()()()()ln ln2ln1ln1,1,1h x f x f x x x x x=--=-++-+∈-，则()2112220111h xx x x-=-+=-<+-+-'，所以()h x在()1,1-上单调递减，且()()00,1,0h b=∈-()()()()()()ln ln0,,,f b f b f b f b f af b a b∴-->∴>-∴>-∴>-即0a b+>，故选项A 正确；对于B ，()()1e 1e 0.990,1,1c d c d c d -=-=>∴<< 令()()1e (1)x g x x x =-<，则()e x g x x '=-，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，又()10.99g -<，故01,10c d <<-<<.令()()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1,1,1m x g x g x x x x h x x =--=-++-+=∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()()()()()()00,0,1,ln ln 0,m c g c g c g c g c =∈∴--<∴<- ()(),g d g c d c ∴<-∴<-，即0c d +<，故选项B 错误；对于C ，()()()()()()()11100,0.99,1,0,101f xg a a g a g d g x f a =∴-==>-∈-∴->- 又()g x 在(),0∞-上单调递增 ,0a d a d ∴->∴+< 故选项C 错误；对于D ，由C 可知 ()()(),0,1g b g c b ->-∈ 又()g x 在()0,1上单调递减，b c ∴-< 即0b c +>，故选项D 正确.故选AD.13.【答案】35- 解析：因为角α的终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，所以cos 3α=÷=223sin 2cos22cos 12125πααα⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【答案】74 解析：对于5(2)x -，其二项展开式的通项为515C (2)r r r r T x -+=-，令51r -=，得4r =，故4455C (2)80T x x =-=，对于6(1)x -，其二项展开式的通项为616C (1)k k k k T x -+=- 令61k -=，得5k =，故5566C (1)6T x x =-=-，所以180674a =-=.15.【答案】2e 4 解析：由()2e x g x x =可得()()22442e e e 2x x x x x x x g x x x'-⋅-⋅==，当0x <或2x >时，则()0g x '>，当02x <<时，则()0g x '<，所以()g x 的极小值点是2.由()()2e 2ln xf x k x x x=+-可得()()()()432e 2e 12,0,xx x x k f x k x x x x x x ∞-⎛⎫⎛⎫=+-='--∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的唯一极值点为2，所以3e 0x k x x -或3e 0x k x x -恒成立，所以2e x k x 或2e xk x在()0,∞+上恒成立，因为()2e xg x x=在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，当x ∞→+时，则()g x ∞→+，所以2e x k x 在()0,∞+上恒成立，则()2min e ()24k g x g ==.16.【答案】1103k -⨯ 解析：设数列k A 中0的个数为,1k a 的个数为k b ，则112,2k k k k k k a a b b a b ++=+=+，两式相加，得()113k k k k a b a b +++=+，又115,a b +=∴数列{}k k a b +是以5为首项，3为公比的等比数列153k k k a b -∴+=⨯两式相减，得17.【答案】解：（1）因为sin 14BAC BAC ∠∠=为锐角，所以cos 14BAC ∠==.因为3AC AB ==，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅即279231BC =+-=，得1BC =. （2）在ADC 中由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC∠∠==，所以1CD =.在ADC 中由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD ∠+-=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =.因为121331273,12sin 214423ABCACDSS π=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=所以34ABCACDABCD S SS=+==四边形. 18.【答案】解：（1）()()()211112,20n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴-+=，则120n n a a +-=或10n n a a ++= 10,2n n n a a a +>∴=∴数列{}n a 为等比数列，公比为12,2,a =∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）证明：由（1）得112,2n n n n a a ++==则n b ======∴数列{}n b 的前n项和为11n S n =+-=-1n S ∴<当2n时，则10,n n n S S b --===>∴当*n ∈N 时，则{}n S 为递增数列1n S S ∴n S1n S <19.【答案】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件A ；当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件B . 由题知，3天的训练过程中总共的可能情况为32212⨯⨯=种 所以，()()12112111,126126P A P B ⨯⨯⨯⨯==== 所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()13P P A P B =+=.（2）由题知，X 的可能取值为0,1,2,3考前最后6天训练中所有可能的结果有53296⨯=种当0X =时，则第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，()5521210329648P X ⨯====⨯； 当1X=时，则共有24444220+++++=种选择，所以()20519624P X ===； 当3X =时，则共有844824+++=种选择，所以()2413964P X ===； 所以()()()()5025210139648P X P X P X P X ==-=-=-=== 所以，X 的分布列为所以()1012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【答案】解：（1）由题意知1,22c a c a =∴=，又222b a c =-，则,b =设12PF F 的内切圆半径为r ，则()()()121212112222PFF SPF PF F F r a c r a cr =++⋅=+⋅=+⋅. 故当12PF F 面积最大时，则r 最大，即点P 位于椭圆短轴顶点时r = )a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得2,1a b c === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为4x ty =+代入椭圆方程得()()()222223424360,Δ(24)1443414440t y ty t t t +++==-+=-> 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222436,3434t y y y y t t -+==++ 因此可得1223234x x t +=+ 所以AB 中点的坐标为221612,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为G 是ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知,B Q 关于x 轴对称，故()22,Q x y -AB 的垂直平分线方程为2216123434tt x y t t ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭ 令0y =，得2434x t =+，即24,034G t ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以2222431,3434t GF t t =-=++ 又AQ ==221234t t ==+ 故24AQ GF =，所以2AQGF 为定值，定值为4. 21.【答案】解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1,A G EG ，如图所示 因为,E G 分别为,BC AB 的中点，所以EG AC ∥在三棱台111A B C ABC -中11AC AC ∥ 所以，11EG AC ∥，且11D A C ∈ 故1,,,E G A D 四点共面.因为1AA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以1AA AG ⊥ 因为1111111,,AA A B AG AG A B AA AG ===⊥∥ 所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥. 又1111111111,,,AB AC AC AG A AC AG ⊥⋂=⊂平面1A DEG 所以1AB ⊥平面1A DEG .因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M ⋂=. 因为,F E 分别为1BB 和BC 的中点1B Q BE ∥，所以111B Q B FBE BF== 则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点. 又因为D 为11A C 的中点，且11A B DQ M ⋂=，则M 为11A C Q 的重心 所以1112233A M AB == 因为1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为11111,AB AC AC AC ⊥∥，所以1AB AC ⊥. 又因为1111,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B 所以AC ⊥平面11AA B B ，所以1,,AC AB AA 两两垂直以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()()()()20,0,0,0,2,0,2,0,0,1,1,0,0,,13A B C E M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()22,0,0,0,,1,1,1,03AC AM AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 设平面AMC 的法向量为()1,,n a b c =则1120,20,3n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-. 设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =则220,20,3n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3y =-，可得()23,3,2n =-. 所以，12121213cos ,2213n n n n n n ⋅===⨯ 故平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值为22. 22.【答案】解：（1）()ln 1f x x ax =-+的定义域为()()110,,ax f x a x x∞-+=='- 当0a 时，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 不可能有两个零点，故舍去；当0a >时，则令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a> 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减 所以max 11()ln f x f a a ⎛⎫==⎪⎝⎭. 要使()f x 有两个零点，则max 1()ln 0f x a=>，解得01a <<. 又22111444242ln 10,ln 1110e e e e a f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-<=-+<-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当01a <<时，则()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点21,,x x 且122x x >，所以1122ln 10,ln 10,x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩由fx 的单调性知，当()21,x x x ∈时，则()0f x > 当()1,x x ∞∈+时，则()0f x <.因为2212x x x <<，所以()220f x >，即()2222ln 221ln 1x ax x ax -+>-+ 所以2ln2ax <，而22ln 1x ax +=，即2ln 1ln2x +<，所以220ex <<，而22ln 1x a x +=.令()ln 12,0,e x h x x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln x x h x x x -'--== 因为20,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ln ln 0ex ->->，所以()0h x '> 所以()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增所以()2ln2eln22e 2eh x h ⎫<==⎪⎭，所以eln20,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）因为1220x x >>，所以22211212e e 2x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号 而1220x x >>，故222112e e x xx x ⎛⎫⋅+>⋅⎪⎝⎭要证222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭2e 42⋅，即证1228e x x ，即证1228ln ln e x x 即证12ln ln 3ln22x x +-.设12x t x =，因为1220x x >>，所以2t > 由（1）得1122ln 1,ln 1,x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，两式作差，化简得21ln ln ln 1,ln 1ln 11t tx x t t t =-=-+-- 所以122ln ln ln ln 21tx x t t +=+--. 令()2ln ln 2,21tg t t t t =+->-，则()2212ln (1)t t t g t t t '--=-. 令()212ln t t t t ϕ=--，则()()2222ln ,20t t t t tϕϕ'=---''=>，易知()t ϕ'在()2,∞+上单调递增故()()222ln20t ϕϕ'>'=->，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()234ln20t ϕϕ>=->所以()g t 在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln22g t g >=-，即12ln ln 3ln22x x +>-得证.所以不等式222112e x x x x ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭.。
四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学(理科)试题
四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学
（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
．设zÎC，则在复平面内35
££所表示的区域的面积是（）
z
．B．C．D．
．
13
B ．
23
C ．
43
二、填空题
13．“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道E 处，小明14．已知点C 的坐标为()2,0，点,A B 是圆0AC BC ×=uuu r uuu r
，设P 为线段AB 的中点，则15．已知函数()()2e R x f x ax a =-Î有两个极值点围为___________．
三、双空题
信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
四川省成都2024届高三高考模拟(六)理科数学试题含答案
2024年四川省成都高考数学模拟试卷（理科）（六）（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}||1|2,N A x x x =-<∈，1|1B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.[]1,3 B.[]0,2 C.{}0,2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据幂函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由|1|2x -<，即212x -<-<，解得13x -<<，所以{}{}{}||1|2,N |13,N 0,1,2A x x x x x x =-<∈=-<<∈=，又{}1|1|1B y y y y x ⎧⎫==+=≠⎨⎬⎩⎭，所以{}0,2A B =I .故选：C2.若复数z满足(1i)|i |z +=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.i B.1- C.1D.i-【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求出z 即可.【详解】依题意，(1i)z +=22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-，所以z 的虚部是1-.故选：B3.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（）A.1- B.2- C.5- D.1【分析】根据线性约束条件得可行域，确定目标函数取最值的情况从而可得取值范围.【详解】根据约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩确定的可行域，如下图：则目标函数2z x y=-+的最值即直线2y x z=+纵截距的最值，可知在图中(1,1)A处，2z x y=-+取到最大值1-.故选：A．4.若曲线2lny x a x=-在点()1,1P处的切线与直线2y x=-垂直，则实数a的值为（）A.1B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】求导2ay xx'=-，12xy a='=-与直线2y x=-垂直，求出a的值.【详解】由2lny x a x=-，求导2ay xx'=-，则2lny x a x=-在点()1,1P处的切线的斜率为12xy a='=-，而2lny x a x=-在点()1,1P处的切线与直线2y x=-垂直,则21a-=-，故3a=.故选：D5.已知角α的终边经过点(1,3)P-，则()cosππcos cos2ααα+=⎛⎫+-⎪⎝⎭（）A.12B.12- C.14 D.14-【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有tan α的代数式，代入计算可知结果为选项B.【详解】利用诱导公式化简：()cos πcos cos πsin cos sin cos cos cos 2ααααααααα+-==--+⎛⎫+- ⎪⎝⎭已知角α的终边经过点(1,3)-，可得cos 0α≠，且tan 3α=-.分子分母同时除以cos α：cos 11sin cos tan 12αααα==-++.故选：B6.已知向量(2,2),(,3)a b x ==- ，则“a 与b的夹角为钝角”是“3x <”的（）A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件【答案】A 【解析】【分析】由已知结合向量夹角公式及向量平行的坐标表示即可求解．【详解】由已知可得，26a b x ⋅=-，由a b∥可得，26x =-，解得3x =-，由“a 与b 的夹角为钝角”可得，260a b x ⋅=-<即3x <且3x ≠-，所以“a 与b的夹角为钝角”是“3x <”的充分不必要条件．故选：A ．7.如图，圆O 内接一个圆心角为60°的扇形ABC ，在圆O 内任取一点，则该点落在扇形ABC 内的概率为（）A.14B.4C.12D.2【答案】C 【解析】【分析】连接OA ，OC ，设圆的半径为r ，求出AC ，利用扇形面积公式求出扇形ABC 的面积，再结合几何概型求概率公式求解．【详解】连接OA ，OC，则30OAC ∠=︒，OA OC r ==，取AC 中点D ，连接OD ，则OD ⊥AC ，其中cos302AD CD r r ==︒=，所以2AC AD ==，所以扇形ABC 的面积为221π1π232AC r ⨯⨯=，又因为圆的面积为2πr ，所以在圆O 内任取一点，该点落在扇形ABC 内的概率为221ππ212rr =．故选：C8.地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y （单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数lg y 与时间x （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：lg 0.898.64y x =+，相关指数20.97R =）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）A.根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型10ax y bk =⨯ 来拟合B.根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍C.虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程D.根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球【答案】B 【解析】【分析】利用指数式与对数式互化判断A ；利用回归方程的意义判断B ；利用相关指数的意义判断C ；求出地球在诞生之初时生物的复杂度，结合描述判断D.【详解】对于A ，由lg 0.898.64y x =+，得00.898.68.64.489101010x x y +==⨯，令8.64ˆˆ10,0.89,0b a k ===，满足10ax y bk =⨯+ ，A 正确；对于B ，观察散点图，所给5个点不全在回归直线lg 0.898.64y x =+上，回归拟合是近似的，不能说每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍，B 错误；对于C ，数据越多，拟合的准确性越高，因此增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程，C 正确；对于D ，当1y =时，8.649.71 4.50.89x =-≈-<-，根据回归方程可知，当0x =时，8.6410y =，即地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球，D 正确.故选：B9.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222024b c a +=，则()tan tan tan tan tan A B C B C+的值为（）A.12023B.22023C.11012 D.22025【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值.【详解】由同角三角函数的关系，结合正弦定理与余弦定理可得：()()sin sin tan tan tan sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan cos sin sin cos cos A C A B C A B C B C A B C B C B C A B C B C ⎫⎪++⎝⎭==⨯()222222sin sin sin 2cos sin sin cos sin sin cos A B C A a a A B C A B C bc A b c a+====+-，又2222024b c a +=，代入可得()222tan tan tan 22tan tan 20242023A B C a B Ca a +==-.故选：B10.若函数222e ()2e e x xf x x x =-++，且,,222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.b c a >>B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合对称性及单调性即可比较函数值的大小．【详解】因为2222e 1()2(2)e e e ex x x xf x x x x x -=-+=--++，所以()()()()222211(2)2(22)2e ee e x xx xf x x x x x f x -----=----=--=++所以()f x 关于1x =对称，当1x >时，令2e e x x y -=+，则20e e x x y -'=->，所以2e e x x y -=+在()1,∞+上单调递增，且20e e x x y -=+>恒成立，所以21e e xx y -=+在()1,∞+上单调递减，又()()2211y x x x =--=--+在()1,∞+上单调递减，所以()f x 在()1,∞+上单调递减，又()f x 关于1x =对称，故()f x 在(),1∞-上单调递增，且222f f ⎛⎫⎛=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为()1sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 3022224+=+=+=⨯+⨯=，又626222222sin 750224⎛⎫--=-⨯=-> ⎪ ⎪⎝⎭，且)()1 1.71.41 4.08222220222222+⎛⎫+--=-=-<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，21222<-<<，所以22222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故a c b <<.故选：A.11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AC BC AA ⊥==，E 、F 、G 、H 分别为11AB BB CC AC 、、、的中点，则下列说法中错误的是（）A.E 、F 、G 、H 四点共面B.1EF GH AA 、、三线共点C.设2BC =，则平面1EFC 截该三棱柱所得截面的周长为1+D.AC 与平面EFGH 所成角为45︒【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行确定平面判断A ；利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断B ；作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C ；作CM HG ⊥于M ，利用线面垂直的判定定理证明CM ⊥平面EFGH ，进而得到∠CHM 为AC 与平面EFGH 所成的角可得D 正确.【详解】如图，A ：连接,HE GF ，因为E 、F 、G 、H 分别为AB 、1BB 、1CC 、AC 的中点，所以//HE BC ，//GF BC ，所以//GF HE ，所以E 、F 、G 、H 四点共面，故A 正确；B ：由A 知，//GF HE 且HE GF ≠，所以梯形的两腰EF 、HG 所在直线必相交于一点P '，因为P '∈平面11A ABB ，P '∈平面11A ACC ，又平面11A ABB ⋂平面111A ACC AA =，所以1P A A '∈，所以P '与P 重合，即EF 、GH 、1AA 三线共点于P ，故B 正确.C ：延长FE 交1A A 的延长线于P 点，连接1PC ，交AC 于Q 点，连接QE ，1C F ，设1,FE FC 确定平面为α，则1,P C α∈，所以1PC α⊂，所以1,C Q QE α⊂，则易知三棱柱的截面四边形为1FEQC ，在11Rt C B F 中，1C F ==，在Rt BEF △中，EF ==Rt AEH △中，1QE EH >=，而11C Q C H >==1+C 错误；D ：作CM HG ⊥于M ，因为CH CG =，所以M 为HG 中点，因为11,,,BC AC BC CC AC CC C ⊥⊥= AC ⊂平面11A ACC ，1CC ⊂平面11A ACC ，所以BC ⊥平面11A ACC ，因为CM ⊂平面11A ACC ，所以BC CM ⊥，又//HE BC ，所以CM HE ⊥，又,HG HE H HG =⊂ 平面EFGH ，HE ⊂平面EFGH ，所以CM ⊥平面EFGH ，所以∠CHM 为AC 与平面EFGH 所成的角，等于45︒，故D 正确；故选：C.C 选项的关键所在12.“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若()1,1A 成中心对称，则称(),A B ，同时把(),A B 和(),B A 视为同一对“然诺点”．已知()()2e ,12,1x x x a x ax x -⎧-<∈=⎨->⎩Z 的图象上有两对“然诺点”，则a 等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】当1x >时，()2f x ax =-，其关于点(1,1)P 对称的函数为24(1)y ax a x =-+<，问题转化为24y ax a =-+与()2e x y x -=-在(),1x ∞∈-上有两个交点，联立方程得到4e 2x a x -+=-，构造函数4(),()e 2x h x a g x x -=+=-，利用函数图象即可求出结果.【详解】当x ＞1时，()2f x ax =-关于点(1,1)P 对称的函数为24(1)y ax a x =-+<，由题知24y ax a =-+与(2)e x y x -=-在(,1)x ∞∈-上有两个交点，由24(2)e x y ax a y x -=-+⎧⎨=-⎩，消y 得到24(2)e x ax a x --+=-，又1x <，得到4e 2x a x -+=-，令4(),()e 2x h x a g x x -=+=-，则4()2h x a x =+-和()e x g x -=在(,1)-∞上有两个交点，在同一坐标系中，作出()e x g x -=和42y x =-的图象，如图所示，因为4()2h x a x =+-的图象可由42y x =-上下平移得到，由图知14e 12412a a -⎧+<⎪⎪-⎨⎪+>⎪-⎩，得到134e 5a -<<+<，又Z a ∈，所以4a =．故选：C．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题（1）先求函数()2f x ax =-关于点()1,1P 对称的函数24(1)y ax a x =-+<；（2）将问题转化为函数24(1)y ax a x =-+<与()2e xy x -=-在(),1x ∞∈-上有两个交点；（3）最后利用构造函数()()4,e 2x h x a g x x -=+=-，通过图象即可求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.抛物线C ：()220y px p =->经过点()1,2P -，则点P 到C 的焦点的距离为________．【答案】2【解析】【分析】将点P 坐标代入抛物线方程求出p ，求出F ，结合两点间距离公式计算即可求解.【详解】把()1,2P -代入22y px =-得2p =，所以C 的焦点为()1,0F -，所以2PF ==．故答案为：214.611(1)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中x 2的系数为___________．【答案】5-【解析】【分析】直接由二项展开式的通项公式即可求得答案．【详解】由题意得()()()()()()()()6123456012345666666661C +C +C +C +C C +C x x x x x x x x -=-----+--，所以()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中含2x 项为：()()()2323226611C +×C =1520=5x x x x x ⨯----,故答案为：5-．15.已知椭圆C ：22221x y a b+=（()0a b >>），1F 、2F 为椭圆的左右焦点，A 为椭圆上一点，连接1AF 并延长交椭圆于另一点B ，若212AF AF =，213BF BF =，则椭圆C 的离心率为______.【答案】217【解析】【分析】由题意212AF AF =，213BF BF =，结合椭圆定义可将这些长度以及11AB AF BF =+用同一个参数a 表示，然后分别在在2ABF △、12AF F △中，对A ∠利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解.【详解】如图所示：由题意212AF AF =，213BF BF =，122F F c =，所以不妨设21212,,3,AF t AF t BF u BF u ====，而由椭圆定义有212132,42AF AF t a BF BF u a +==+==，所以2,32a a t u ==，所以21211142327,,,,3322326a a a a a a a AF AF BF BF AB AF BF =====+=+=，在2ABF △中，由余弦定理有22224916923694cos 747263a a a BAF a a +-∠==⨯⨯，在12AF F △中，由余弦定理有222124164299cos 247233a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，交叉相乘得222140322899a c a -=，即221228a c =，所以217c e a ====.故答案为：217.【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出21211142327,,,,3322326a a a a a a a AF AF BF BF AB AF BF =====+=+=以及122F F c =，然后利用余弦定理即可顺利得解.16.已知直线:10l x ay --=与⊙22:2440C x y x y +-+-=交于,A B 两点，设弦AB 的中点为M ，则OM 取值范围为___________．【答案】1⎤-+⎦【解析】【分析】易知直线l 过定点()1,0P ，且点P 在圆C 内，结合MP 垂直于MC ，可得动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=，由此容易得出OM 的范围．【详解】将圆C 的方程为化为标准方程为()()22129x y -++=，则圆心为()1,2C -，直线:10l x ay --=，易知直线恒过定点()1,0P 又()()2211029-++<,所以点()1,0P 在圆内，如下图所示：由于MP 垂直于MC ，则点M 的轨迹为以CP 为直径的圆，所以动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=，圆()()22111x y -++=的圆心为()1,1N -，又||ON ==，11ON OM ON -≤≤+，11||OM ≤≤，即OM 的取值范围为1⎤-+⎦．故答案为：1⎤⎦．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n S a n =+-．（1）求证：数列{}2n a -为等比数列；（2）已知()23n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【小问1详解】当1n =时，1121a a =+，解得11a =-，当2n ≥时，由221n n S a n =+-，可得11223n n S a n --=+-,两式相减得1222n n n a a a -=-+，所以()1222n n a a --=-，即1222n n a a --=-，又因为123a -=-，所以{}2n a -是首项为3-，公比为2的等比数列，所以1232n n a --=-⋅，所以数列{}n a 的通项公式为1232n n a -=-⋅+；【小问2详解】由（1）知，()1223n n n n a b n --==⋅，所以数列{}n b 的前n 项和为()01211222122n n n T n n --=⨯+⨯++-+⋅ ，可得12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，两式相减得211212222221212nn nn n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅- ，所以()121nn T n =-⋅+．18.“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，SA AB ⊥，SA SC ==．（1）证明：四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；（2）已知点E 在线段AC 上，且AE EC λ= ，若二面角A SE D --的余弦值为15-，求λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）通过证明AB ⊥平面SAD ，得到SD AB ⊥，再由BC ⊥平面SCD 得到SD BC ⊥，即可证明SD ⊥平面ABCD ，从而得解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面SAE 与平面SDE 的法向量，利用二面角为3015-计算出λ.【小问1详解】四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥，SA AB ⊥，SA AD A = ，,SA AD ⊂平面SAD ，AB ∴⊥平面SAD ，SD ⊂ 平面SAD ，SD AB ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，∴BCCD ⊥，SC BC ⊥ ，⋂=CD SC C ，,CD SC ⊂平面SCD .BC ∴⊥平面SCD ，SD ⊂ 平面SCD ，SD BC ∴⊥，BC AB B ⋂= ，,BC AB ⊂平面ABCD ，SD ∴⊥平面ABCD ，∴四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；【小问2详解】由（1）得SD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，SD AD ∴⊥，SA =，3AB =，3SD ∴=，以点D 为原点，DA ，DC ，DS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(0,0,0)D ，(3,0,0)A ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，(0,0,3)S ，所以(3,3,0),(3,0,3),(0,0,3)AC SA SD =-=-=-，设(),,E x y z ，()()3,,,,3,AE E x y z x y z C ∴=-=---，AE EC λ=，[]0,1λ∈，()()3,,,3,x y z x y z λ∴-=---，即()33x x y y z z λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以31310x y z λλλ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎪⎩，33,,011E λλλ⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，33,,011DE λλλ⎛⎫⎪=++⎝⎭ ，设()111,,m x y z =r 是平面SAE 的一个法向量，则0m AC m SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴1111330330x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令11z =，则1111x y =⎧⎨=⎩，(1,1,1)m ∴=，设()222,,n x y z =r 是平面SDE 的一个法向量，则00n SD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2223033011z x y λλλ-=⎧⎪⎨+=⎪++⎩，令21y =-，则220x z λ=⎧⎨=⎩，(,1,0)n λ∴=- ，∴cos ,||||15m n m n m n ⋅〈〉==-，13λ∴=或3λ=（舍去）.19.甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）59（2）分布列见解析，()7427E x =【分析】（1）设第i 局甲胜为事件i A ，则第3局甲开球为事件1212A A A +，结合条件概率公式计算即可.（2）由X 的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望.【小问1详解】设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i = 则“第3局甲开球”为事件2A ，()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⋅+⋅=.【小问2详解】依题意1,2,3,4X =，()()1231224133327P X P A A A ===⋅⋅=，()()()()1231231232121111217233333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()()()()1231231232212111128333333333327P X P A A A P A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()()1232228433327P X P A A A ===⋅⋅=，X ∴的分布列为则()47887412342727272827E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为D 在C 上．（1）求C 的方程；（2）直线:1l x my +＝与C 的右支交于,A B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，D 点在x 轴上的投影为G .①求m 的取值范围；②求证：直线BE 过点G ．【答案】（1）2214x y -=（2）①2m <<；②证明见解析【分析】（1）由题可得2222216312a b c a b c ⎧+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎩，解方程即可得到答案；（2）①设()()1122,,,A x y B x y ，联立22144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 得()224230m y my -+-=，由于l 与C 的右支交于A ，B 两点，双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，可得()()222Δ41241630m m m =+-=->，以及11||2m >，解不等式可得m 的取值范围；②由①得12224my y m +=--，12234y y m -=-，由题可得(4,0)G ，利用向量关系可得//GB GE ，从而可得B ，G ，E 三点共线，即可证明.【小问1详解】由已知得2222216312a b c a b c ⎧+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y -=.【小问2详解】①设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y -，联立22144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 得()224230m y my -+-=，则240m -≠，()()222Δ41241630m m m =+-=->，解得||m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<，所以m 的取值范围为2).②由①得12224my y m +=--，12234y y m -=-，又点D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =- ，()114,GE x y =--，所以()()122144x y x y -+-()()122133my y my y =-+-()121223my y y y =-+，223223044m m m m --=⋅-⋅=--，所以//GB GE ，又GB ，GE有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【点睛】关键点睛：（1）直线与双曲线一支相交于两点，可利用韦达定理、根的判别式以及直线斜率与渐近线斜率的关系进行求解；（221.已知函数()()()1xxf x e aea x a R -=--+∈（其中常数 2.71828e =⋅⋅⋅，是自然对数的底数）.（1）求函数()f x 极值点；（2）若对于任意01a <<，关于x 的不等式()()21a f x e a λ-<-⎡⎤⎣⎦在区间()1,a -+∞上存在实数解，求实数λ的取值范围.【答案】（1）见解析（2）[),e +∞【解析】【分析】（1）求导得到()()()1'xx xe e af x e --=，对a 分类讨论，求出单调区间，进而求出极值点；（2）所求问题转化为()()21min a f x e a λ-⎡⎤<-⎣⎦，由（1）得当01,()a f x <<在(ln ,0)a 单调递减，(0,)+∞单调递增，构造函数()ln 1g a a a =-+，可证的ln 10a a <-<，可求出得min 10()x a f =->，转化为任意01a <<，()21(1)a a ea λ--<-，通过证明10a ea -->，只需01a <<时，不等式()211a a eaλ-->-恒成立，构造函数()()211x x F x ex--=-，01x <<，求出()F x 的取值范围，即可得出结论.【详解】（1）易知()()()()1'1xx x x xe e af x e ae a e ---=+-+=，①当0a ≤时，x(),0-∞0()0,+∞()'f x -+()f x极小值∴函数()f x 的极小值点为0x =，无极大值点；②当01a <<时，∴函数()f x 的极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；③当1a =时，()()21'0xxef x e-=≥，∴函数()f x 单调递增，即()f x 无极值点；④当1a >时，x(),0-∞0()0,ln a ln a()ln ,a +∞()'f x +-+()f x 极大值 极小值∴函数()f x 的极大值点为0x =，极小值点为ln x a =；综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极小值点为0x =，无极大值点；当01a <<时，函数()f x 的极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；当1a =时，函数()f x 无极值点；当1a >时，函数()f x 的极大值点为0x =，极小值点为ln x a =.（2）以下需多次引用到如下不等式：1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，证明略.注意到当01a <<时，有ln 10a a <-<.（法一）∵当01a <<时，111a e a a ->+-=，∴ln 10a a <-<，（法二）令()ln 1g a a a =-+，则()1'1g a a =-，当01a <<时，()'0g a >，∴()()10g a g <=，即1ln a a ->，显然10a -<，∴ln 10a a <-<，∴由（1）可知当01a <<时，()f x 在区间()1,0a -上递减，在区间()0,+∞上递增，∴()f x 在区间()1,a -+∞上的最小值为()01f a =-，∵关于x 的不等式()()21a f x e a λ-⎡⎤<-⎣⎦在区间()1,a -+∞上存在实数解，∴只需当01a <<时，关于a 的不等式()()211a a ea λ--<-恒成立，由上易知当01a <<时，10a e a -->，∴只需当01a <<时，不等式()211a a e a λ-->-恒成立即可，令函数()()211x x F x e x --=-，01x <<，即()()()()1121131'x x x x e xe x F x e x -------=-，（法一）令函数()1131x x G x e xe x --=---，01x ≤<，则()()1'21x G x x e -=--，当01x <<时，∵12x e x ->-，∴()121x x e --<，∴()'0G x <，∴()()10G x G >=，即()0G x >，（法二）令函数()()13x u x x e-=-，01x <<，则()()1'20x u x x e -=->，∴()'11u =，又()12u =，∴函数()()13x u x x e -=-在点()1,2T 处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，如图所示，易知()131x x ex --≥+，当且仅当1x =时取等号，∴当01x <<时，()0G x >，∴当01x <<时，()'0F x <，∴()()0F x F e <=，即()F x e <，∴当01a <<时，不等式()21a a e ea λ->-恒成立，只需e λ≥，综上，实数λ的取值范围为[),e +∞.【点睛】本题以基本初等函数、不等式问题为载体，考查利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有一定综合性，属于难题.四、请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为21(151txt tyt⎧=-⎪⎪+⎨⎪=+⎪+⎩为参数)，曲线221x y+=经过伸缩变换x xy'='=⎧⎪⎨⎪⎩后得到曲线C.以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设射线()0,02θαραπ=>≤<与直线l和曲线C分别交于点,A B，求2241OA OB+的最大值.【答案】（1）()cos sin40cos1ρθρθρθ+-=≠-，2212yx+=；（2）214+.【解析】【分析】（1）通过加法消元求得直线l的普通方程，再利用cos,sinx yρθρθ==求得其极坐标方程；对曲线C通过变换，即可容易求得其直角坐标方程；（2）求得曲线C的极坐标方程，联立θα=与直线和曲线C的极坐标方程，求得22,OA OB，将目标式转化为关于α的三角函数，求其最值即可.【小问1详解】对直线l的参数方程21151txtyt⎧=-⎪⎪+⎨⎪=+⎪+⎩，两式相加可得40x y+-=，且1x≠-，由cos,sinx yρθρθ==，得()cos sin40cos1ρθρθρθ+-=≠-，又对曲线221x y+=，经过变换x xy'='=⎧⎪⎨⎪⎩，则221x'+=，即2212yx''+=，所以直线l的极坐标方程为()cos sin40cos1ρθρθρθ+-=≠-，曲线C的普通方程为2212yx+=.【小问2详解】直线极坐标方程整理得4sin cos ρθθ=+，即2161sin 2ρθ=+，曲线22:12y C x +=变形得22220x y +-=，即22222cos sin 20ρθρθ+-=，2222sin 2cos ρθθ=+，由题可知2161sin 2OA α=+，2222sin 2cos OB αα=+，则2222411sin 2sin 2cos 42OA OB ααα+++=+4sin 2cos 212444ααπα++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭当且仅当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8k παπ=+，Z k ∈，当8πα=时，2241OA OB +的最大值为14+.23.已知()|||3|()f x x a x a =--∈+R ．（1）若1a =-，解不等式()2f x x ≥；（2）当a t =（0t >）时，()f x 的最小值为3，若正数m 、n 满足m n t +=，证明：6≤．【答案】（1）不等式()2f x x ≥的解集为(,2]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分段讨论求解含绝对值符号的不等式即得；（2）利用绝对值三角不等式结合最小值求出t ，再利用柯西不等式证明不等式即可.【小问1详解】若1a =-时，不等式为|1||3|2x x x ++-≥，当1x ≤-时，原不等式化为132x x x --+-≥，解得12x ≤，因此1x ≤-，当13x -<<时，原不等式化为132x x x ++-≥，解得2x ≤，所以12x -<≤，当3x ≥时，原不等式化为132x x x ++-≥，即20-≥，显然不成立，因此不等式无解，所以不等式()2f x x ≥的解集为(,2]-∞；【小问2详解】当(0)a t t =>时，()|||3||()(3)||3|f x x t x x t x t =-+-≥---=-，当()(3)0x t x --≤时等号成立，由|3|3t -=得6t =，即6m n +=，由柯西不等式得22236()[2]m n =++≥，即得6+≤=，即4,2m n ==时取等号，所以原不等式成立.。
高三模拟考数学试卷理科
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数 $y = \frac{1}{x}$ （x≠0）的图象是：A. 双曲线在第一、三象限B. 双曲线在第二、四象限C. 直线D. 抛物线2. 已知向量 $\vec{a} = (2, -3)$，向量 $\vec{b} = (3, 4)$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值为：A. 1B. -1C. 5D. -53. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $a^2 + b^2 = 5c^2$，则角A、B、C的大小分别为：A. $A = 60^\circ, B = 60^\circ, C = 60^\circ$B. $A = 90^\circ, B = 45^\circ, C = 45^\circ$C. $A = 30^\circ, B = 60^\circ, C = 90^\circ$D. $A = 45^\circ, B = 45^\circ, C = 90^\circ$4. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项与第15项之和为：A. 32B. 45C. 54D. 635. 若 $log_2(3x-1) = log_2(4-x)$，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数 $y = x^3 - 3x^2 + 4x$ 的单调递增区间是：A. $(-\infty, 1)$B. $(1, +\infty)$C. $(-\infty, 2)$D. $(2, +\infty)$7. 在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（-3，1），C（4，-1），则△ABC的面积是：A. 4B. 6C. 8D. 108. 已知函数 $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$，则函数的值域是：A. $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$D. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$9. 若等比数列{an}的首项为2，公比为$\frac{1}{2}$，则第5项与第8项之比为：A. $\frac{1}{16}$B. $\frac{1}{8}$C. $\frac{1}{4}$D. 210. 已知函数 $y = ax^2 + bx + c$（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则函数的解析式为：A. $y = x^2 - 2x - 1$B. $y = x^2 + 2x - 1$C. $y = -x^2 + 2x + 1$D. $y = -x^2 - 2x + 1$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
北京市高三下学期高考模拟理科数学试题(解析版)
2023年高三数学考试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号规范填涂在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 若为虚数单位，则复数的虚部为 （ ） i 2i1i z +=+A. B. C.D.12-1i 2-1i 212【答案】A 【解析】【分析】先利用复数除法求出的代数形式，进而可得虚部. z 【详解】， ()()()()2i 1i 2i 3i 31i 1i 1i 1i 222z +-+-====-++-其虚部为. 12-故选：A.2. 已知全集， 集合，，则{}1,2,3,4,5U =2{|320}M x x x =-+=2{Z |650}N x x x =∈-+<（ ）()U M N ⋃=ðA. {1} B. {5}C. {1，2，3，4}D.∅【答案】B 【解析】【分析】解方程和不等式，得到，求出并集和补集. ,M N 【详解】解可得，故，2650x x -+<15x <<{}2,3,4N =的解为或2，故，则．2320x x -+=1x ={}1,2M ={}()5U M N ⋃=ð故选：B3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的a b n 值是（ ）A. 3．B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】按流程图顺序运算可得结果. 【详解】 a =8，b =3，n =1n =2 n =3 n =4a =8+4=12 a =12+6=18 a =18+9=27 27812722a =+=b =2×3=6 b =2×6=12 b =2×12=24 b =2×24=4812≤6？否18≤12？否27≤24？否？是 81482≤所以输出n 为4. 故选：B.4. 已知数列1，3，……，则7是这个数列的（ ） A. 第21项 B. 第23项C. 第25项D. 第27项【答案】C 【解析】【分析】根据题设给定的数列通项公式即可判断7的位置.【详解】因为数列的第，n 7==所以7是题中数列的第25项． 故选：C5. 作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%．则下列说法中，正确的是（ ） A.0.0018a =B. 若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C. 根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为 320D. 这100份花费费用的中位数是4205元 【答案】C 【解析】【分析】根据直方图的面积等于1求出a ，再根据给定的条件逐项分析. 【详解】直方图的面积等于1，所以，(0.000050.000100.000120.000250.000150.000100.00005)10001a +++++++⨯=，A 错误；0.00018a =根据报销的规则，花费了4300元，报销的费用为，实际花费()430040065%2535-⨯=，B 错误；430025351765-=根据报销的规则，当花费在6000以上时报销80%，所以概率()30.00010.0000510000.1520=+⨯== ， C 正确；设中位数为，其面积为，4000x +12()10.000050.00010.000120.0001810000.000252x ∴+++⨯+=，，200x =即中位数为4200，D 错误； 故选：C.6. 在正项等比数列中，公比为，且，，14成等差数列，则（ ）{}n a q 6-2q 34212log a a a a +=+A. 2 B.C. 4D.2-4-【答案】A 【解析】【分析】根据等差中项求出，再由等比数列通项公式化简即可得解. q 【详解】，，14成等差数列，6- 2q ，解得或（舍去）， 22614q ∴=-+2q =2q =-，22341222221212()log log log 2log 22a a a a q q a a a a ++⋅∴====++故选：A7. 若非负数x ，y 满足，则事件“”发生的概率为（ ）13x y x y ⎧-≤⎨+≤⎩24x y +≥A.B.C.D.21525【答案】A 【解析】【分析】先画出可行域，再根据几何概型的概率公式可求.【详解】由题意，知x ，y 满足约束条件作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所0,01,13x y x y x y x y ≥≥⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线，易得， ，，，，连接DE ， 24x y +=52,33A ⎛⎫⎪⎝⎭()2,1B ()1,2C ()0,1D ()1,0E 则非负数x ，y 对应的可行域的面积为，151122ODE BCDE S S +=⨯⨯+=△正方形事件“”对应的可行域的面积为， 24x y +≥111223ABC S AB BC =⋅==△所以所求概率为.1235152P ==故选：A.8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A ，B 两点，若，则24y x =F (2,0)||AF +||10BF =（ ）||||AF BF ⋅=A. 12 B. 13C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，易知不成立，故直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为，将其与抛物线方程联立，根据抛物线的定义以及韦达定理，可求出，即可求出(2)(0)y k x k =-≠2k 结果.【详解】抛物线的焦点为，设，.24y x =()1,0F ()11,A x y ()22,B x y 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，AB AB 2x =24y x =28y=y =±，，，，与矛盾.(2,A (2,B -3AF BF ===6AF BF +=10AF BF +=当直线的斜率存在时，设直线的方程为，AB AB ()2y k x =-代入，得，则，， 24y x =()22224440k x k x k -++=12244x x k +=+124x x ⋅=由抛物线的定义知，，， 11AF x =+21BF x =+于是， 1224114210AF BF x x k+=+++=++=所以，21k =. ()()1212122411144113AF BF x x x x x x k ⋅=++=+++=+++=故选:.B 9. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A.B.C.D. 552【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，将几何体放入长方体中，进而得出该几何体的外接球与长方体的外接球相同，再利用长方体的体对角线等于外接球的直径即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4长方体中，如图P ABCD -432、、所示,所以该几何体的外接球与长方体的外接球相同，即长方体的体对角线等于外接球的直径， 设该几何体的外接球半径为，则R，解得. ()22222432R =++R =. 故选：A.10. 在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-tan C A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c cos C 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求C tan C cos C sin C 出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，， AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅== 所以， 2222222223()()22b c aa b c a c b +-+-++-=即，22223a b c += 22222221(2)3cos 2236a ba b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥=当且仅当即时取等号，36a b b a=b =显然为锐角，要使取最大值，则，此时，C tan C cosCsin C ==所以，即． sin tan cos C C C ===tan C故选：D ．11. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：的左、右焦点，点P 在双曲线上，22221(00)y x a b a b-=>>，，圆O ：，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于12PF PF ⊥22229()4x y a b +=+M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为，则C 的离心率为（ ） 29b A.B.C.D.5485【答案】D 【解析】【分析】设，，有，，，由弦长公式可得1PF n =2PF m =2n m a -=2224n m c +=22mn b =，，四边形AMBN的面积为，解得MN=AB =12AB MN ⋅，可求双曲线的离心率.2283c b =【详解】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O ：，圆心为，半径为，22229()4x y a b +=+()0,0O 32c 设，，点P 在双曲线上，，则有，，可得1PF n =2PFm =12PF PF ⊥2n m a -=2224n m c +=，22mn b =过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O 为的中点，则， 12F F 11=22n OD PF =MN =同理，，AB =AB MN ⊥四边形AMBN 的面积为， 211229AB MN b ⋅=⨯=，化简得，则有422222444481981944811644161644c m n c m n c c b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=-+=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2283c b =，则C 的离心率 222253a c b b =-=c e a ===故选：D12. 已知，，，其中为自然对数的底数，则，，0.03e 1a =-ln1.03b =tan 0.03c =e 2.71828= a b c 的大小关系是（ ） A. B. c a b >>a c b >>C. D.b c a >>a b c >>【答案】B 【解析】【分析】构造的结构特征，构造，，求导后得到其单调性，得到,a c ()e 1tan xf x x =--π04x <<，再构造，和，，求导得到其单调性，a c >()()ln 1h x x x =+-π02x <<()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到，即，从而得到. ln1.030.03tan 0.03<<b c <a c b >>【详解】，0.03e 1tan 0.03a c --=-令，，()e cos cos sin e 1tan cos x xx x xf x x x--=--=π04x <<令，则，()e cos cos sin xg x x x x =--()()()e 1cos sin xg x x x '=--当时，，所以在上单调递增， π04x <<()0g x '>()g x π0,4⎛⎫⎪⎝⎭又，所以， ()00e cos 0cos 0sin 0110g =--=-=()0g x >又，所以在上恒成立， cos 0x >()0f x >π0,4⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，即，()0.03e1tan 0.0300.03f -=->0.03e 1tan 0.03->a c >令，， ()()ln 1h x x x =+-π02x <<所以， ()1111x h x x x-'=-=++因为，所以，所以在上单调递减， π02x <<()01x h x x -'=<+()h x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立，()()00h x h <=()ln 1x x +<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以， ()ln 10.03ln1.030.03+=<令，， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()211cos m x x=-'因为，所以， π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2110cos m x x'=-<故在上单调递减， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立， ()()00m x m <=tan x x <π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，， 0.03x =0.03tan 0.03<故，即， ln1.030.03tan 0.03<<b c <综上， a c b >>故选：B【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 展开式中的常数项为______．62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】160 【解析】【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式的展开式的通项公式， 62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6662162C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，可得，620r -=3r =所以展开式中的常数项为. 336C 2160⨯=故答案为：160.14. 已知向量，，与共线，则___________.(1,)a x =- (,3)b x =- a b + a b -||a = 【答案】2 【解析】【分析】由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】由，，得，， ()1,a x =- (),3b x =- ()1,3a b x x +=+-- ()1,3a b x x -=--+因为与共线，所以.a b + a b - ()()()()213313x x x x x +-+=---⇒=则.2a === 故答案为：215. 已知数列的前n 项和，设为数列的前n 项和，若对任意的{}n a 23122n S n n =-11,nn n n b T a a +={}n b ，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．N n *∈93n T n λ<+λ【答案】 (),48-∞【解析】【分析】利用的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立,n n a S {}n a n T 问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. λ【详解】当时，， 2n ≥()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦当时，满足上式，1n =111a S ==所以.32,N n a n n *=-∈所以， 111111((32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+所以， 1111111111(1)(((1343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ 由，可得，即， 93n T n λ<+9331n n n λ<++23(31)13(96)n n n nλ+<=++因为函数在单调递增， 19y x x =+1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭所以当时，有最小值为10， 1n =19n n+所以，所以， 13(96)48n n++≥48λ<所以实数的取值范围为. λ(),48∞-故答案为：.(),48-∞16. 已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R (220)f x + (221)f x +10x -≤<．若有5个零点，则实数的取值范围为________.()f x =()(6)(0)y f x a x a =-+>a【答案】 【解析】【分析】由为奇函数可得的图像关于点对称，由为偶函数可得的(220)f x +()f x (20,0)(221)f x +()f x 图像关于直线对称，从而可得4为的周期.再结合图象即可求解. 21x =()f x 【详解】由为奇函数，得， (220)f x +(220)(220)f x f x -+=-+则，所以的图像关于点对称， (202)(202)0f x f x -++=()f x (20,0)则.(40)()f x f x -=-由为偶函数，得， (221)f x +(221)(221)f x f x -+=+则的图像关于直线对称，则.()f x 21x =(42)f x -=()f x 因为，所以， ()(40)(42(2))(2)f x f x f x f x -=-=-+=+(2)()f x f x +=-所以，则4为的周期.(4)(2)()f x f x f x +=-+=()f x 由函数的周期性可知，的图像关于点对称，关于直线对称. ()f x (0,0)1x =因为当时，，所以当时，10x -≤<()f x =01x <≤()f x =对两边平方，整理可得，故该函数的图象为圆心，半径为1y =()2211,0x y y -+=≥()1,0的圆，若有5个零点，只需曲线与直线有5个交点， ()(6)(0)y f x a x a =-+>()y f x =(6)(0)y a x a =+>在同一坐标系中作出函数的图像与直线，如图. ()y f x =(6)y a x =+当直线与圆 ，解得 (6)y a x =+22(3)1(0)x y y ++=≥1=a =当直线与圆 ，解得.(6)y a x =+22(1)1(0)x y y -+=≥1=a =. a <<故答案为：【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围; （2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：第17至21题，每小题12分，共60分.17. 在△ABC 中，D 是边BC 上的点，，，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是120BAC ∠= 1AD =△ACD 的面积的两倍．（1）求△ACD 的面积；（2）求△ABC 的边BC 上的中线AE 的长．【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）运用正弦定理的面积公式及面积关系计算即可； （2）运用向量的数量积与模长关系计算即可．【小问1详解】由已知及正弦定理可得：， ΔΔ11sin 6022sin 6022ABD ACD S AD AB S AD AC =⋅⋅︒==⨯⋅⋅︒化简得：． 2AB AC =又因为：，所以2ΔΔ1133sin 60sin120||22ABC ACD S S AD AC AB AC AC ==⋅⋅⋅︒=⋅⋅︒=， 所以， 32AC =Δ13sin 6022ACD S AC AD =⋅⋅︒==所以△ACD 【小问2详解】由（1）可知，因为AE 是△ABC 的边BC 上的中线，23AB AC ==所以， ()12AE AB AC =+所以， AE ====所以△ABC 的边BC 上的中线AE 18. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直11AA B B 11∥A B AB 1AA AB ⊥11126AB AA A B ===11AA B B 角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的1AA 1A A ,P Q 1,CC BC 111B AA C --大小为．θ（1）若，，，证明：平面；120θ=123CP CC =⊥AQ AB PQ ∥11AA B B （2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切90θ= P 1CC Q BC PQ 11AAC C值，并求此时二面角的余弦值． Q AP C --【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE 即证面PEQ ∥面AB 1即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出与平面所成最大角时的P 点位置，求PQ 11AAC C 其正切，再求二面角即可. 【小问1详解】如图所示，过Q 作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE ，过C 1作C 1F ∥A 1A ，交AC 于F ， ∵，结合圆台的特征知， 120θ= 30BAC ∠= 又∵，解三角形得，⊥AQ AB 12AQ QC BQ ====故，即， 12CQ CE BQ AE ==2CE =∵， 由题意易知四边形为直角梯形，123CP CC =11AC CA ∴，，故， 113AF AC FC ===123EC PC FC CC ==11PE C F A A ∥∥ ∵面，面，∴QE ∥面， QE ⊄11A B BA AB ⊂11A B BA 11A B BA 同理PE ∥面，11A B BA又面PQE ，∴面∥面，QE PE E QE PE =⊂ ，、PEQ 11A B BA 面，∴平面，得证；PQ ⊂PEQ PQ ∥11AA B B 【小问2详解】如图，结合圆台的特征，当时，此时两两垂直，90θ= 1A A AB AC 、、故以A 为中心，以AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为轴、轴、轴， x y z 则，()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q 设，则，[]1,0,1CP CC λλ=∈ ()()00,36,600,3,6CP λλλ=---=-，()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=--易知轴⊥面，不妨取作为面的一个法向量，x 11A ACC ()1,0,0m =11A ACC 设与平面所成角为，PQ 11AAC C π,0,2αα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，sin cos ,PQ α=≤即当时，取得最大值，此时为最大角，15λ=sin ααtan α==设此时面APQ 的一个法向量为，(),,n x y z =易得，则， ()2763,3,0,0,,55AQ AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 330276055n AP x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，则，即，9z =2,2y x =-=()2,2,9n =-由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为，故，φcos cos ,m φ= 故与平面，此时二面角PQ 11AAC C Q AP C --19. 甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求： （1）在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列； （2）在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差. η【答案】（1）分布列见解析（2），. ()0.2E η=()0.9D η=【解析】【分析】（1）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概ξ1,0,1-率，即可求得分布列.（2）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概η2,1,0,1,2--率，即可求得分布列及数学期望和方差. 【小问1详解】由题意可知，的可能取值为，ξ1,0,1-，()10.30.60.18P ξ=-=⨯=， ()00.70.60.30.40.54P ξ==⨯+⨯=，()10.70.40.28P ξ==⨯=所以分的分布列为：ξξ-1 0 1P 0.18 0.54 0.28【小问2详解】由题意可知，的可能取值为，η2,1,0,1,2--， ()20.180.180.0324P η=-=⨯=，()120.180.540.1944P η=-=⨯⨯=， ()020.180.280.540.540.3924P η==⨯⨯+⨯=， ()120.540.280.3024P η==⨯⨯=，()20.280.280.0784P η==⨯=所以的分布列为ηη-2 -1 0 1 2P 0.03240.19440.39240.30240.0784所以，()()()20.032410.194410.302420.07840.2E η=-⨯+-⨯+⨯+⨯=222()(20.2)0.0324(10.2)0.1944(00.2)0.3924D η=--⨯+--⨯+-⨯.22(10.2)0.3024(20.2)0.07840.9+-⨯+-⨯=20. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外xOy P ()22149:14C x y ++=()2221:14C x y -+=切，记动圆圆心的轨迹为曲线. P C （1）求曲线的方程；C （2）设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线C 1A 2A T :4l x =T x 与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：1TA C M 2TA C N F C FMN的周长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨P R 121242PC PC C C +=>=迹的方程；E（2）设点，设，，写出直线、的方程，将这两条直线分别()()4,0T t t ≠()11,M x y ()22,N x y 1TA 2TA 与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可得出直线的方程，化简直线的方程，可知直E M N MN MN 线过椭圆的右焦点，再利用椭圆的定义可证得结论成立. MN E 【小问1详解】解：设动圆的半径为，P R 由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 1C ()11,0C -722C ()21,0C 12因为，则，所以，圆内含于圆， 122C C =127122C C <-2C 1C 因为动圆与圆内切，且与圆外切，P 1C 2C 则， 112122724212PC R PC PC C C PC R⎧=-⎪⎪⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩所以，动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，P E 1C 2C 设其方程为，其中，，()222210x y a b a b +=>>24a =22c =所以，，，从而轨迹的方程为.2a =2223b a c =-=E 22143x y +=【小问2详解】证明：由题意可知、、， ()12,0A -()22,0A ()()4,0T t t≠设，，如下图所示：()11,M x y ()22,N x y直线的方程为，直线的方程为， 1AT ()26t y x =+2A T ()22ty x =-联立方程可得 ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去得， ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y ()222227441080t x t x t +++-=由韦达定理可得，即， 2124108227t x t--⋅=+21254227t x t -=+则，故点， ()211225421822662727t t t ty x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭22254218,2727t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭联立方程可得， ()222143t y x t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2222344120t x t x t +-+-=由韦达定理可得，即， 22214322t x t -=+222623t x t -=+则，故点， ()22222266222233tt t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭222266,33t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭所以，，22222221866273542269273MNt t t t t k t t t t t +++==-----++所以，直线的方程为， MN 22226626393t t t y x t t t ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭即，且， ()2226661999t t ty x x t t t =-+=-----3t ≠±故直线过定点，所以的周长为定值，MN ()1,0FMN 8当时，、或、，3t =±31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，过椭圆的焦点，此时的周长为定值， MN E ()1,0FMN 48a =综上所述，的周长为定值.FMN 8【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数，.()sin f x x ax =-()e cos 2x g x x π=+（1）若，恒成立，求实数a 的取值范围；[)0,x ∈+∞()0f x ≤（2）判断方程在上实根个数，并说明理由.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【答案】（1）．[1,)+∞（2）1.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论说明的正负，得的单调性，确定题设不等式是否恒()f x '()f x '()f x 成立，得参数范围；（2）在时，由（1）得，利用导数证明，然后求得导函数，由不等式0x >sin x x <e e (0)xx x ≥>()g x '性质得时，，得单调递增，方程变形为，0x >()0g x '>()g x ()(12)g x g x =-然后由的范围分类讨论可得．,12x x -【小问1详解】 ，()cos f x x a '=-时，，在上递减，恒成立；1a ≥()0f x '≤()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=时，恒成立，在上递增，不合题意；1a ≤-()0f x '≥()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=时，存在使得，时，，在上递增，11a -<<1(0,)2x π∈1cos x a =1(0,)x x ∈()0f x '>()f x 1(0,)x 不合题意，()(0)0f x f >=综上，的取值范围是．a [1,)+∞【小问2详解】由（1）得时，，0x >sin x x <设（），则， ()e e x h x x =-0x >()e e xh x '=-时，单调递减，时，，单调递增，01x <<()0h x '<()h x 1x >()0h x '>()h x ，所以，()(1)0h x h ≥=e e x x ≥， ()2e sin e e 022224x g x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=->-⋅=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'所以在上是增函数，()g x (0,)+∞方程， ()12e sin xg x x π-=+1212e cos()e cos[(12)]22x x x x πππ--=+-=+-(12)g x =-由得，此时，因此是方程在上的一12x x =-13x =()(12)g x g x =-13()(12)g x g x =-()0,x ∈+∞根，时，，，方程在上无解， 103x <<11213x <-<(12)()g x g x ->()(12)g x g x =-1(0,)3时，，，方程在上无解， 1132x <<10123x <-<(12)()g x g x -<()(12)g x g x =-11(,)32时，，，方程12x ≥120x -≤121()(2e sin (12)2x g x g x g x π-≥=>≥+=-在上也无解， ()(12)g x g x =-1[,)2+∞综上，方程在上只有一个解，根的个数为1.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【点睛】关键点点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，研究方程根的个数问题，解题关键是方程进行同构变形为，因此我们只要确定的单调性，然后分数讨论()(12)g x g x =-()g x 得出结论．（二）选做题：请考生在22，23题中任选一题作答，如果多答，则按所答的第一题计分．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半xOy l 4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t O x 轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． C 22312sinρθ=+（1）求的直角坐标方程；C （2）若点的极坐标为，是上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离M 3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭N C P MN P l 的最大值． 【答案】（1） 2213x y +=（2【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标互化原则可直接化简整理得到直角坐标方程；（2）将点极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程；利用相关点法可求得点轨迹方程，则可M l P 设，利用点到直线距离公式，结合三角恒等变换知识可得到sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭. d 【小问1详解】由得：，，即， 22312sin ρθ=+2222sin 3ρρθ+=2233x y ∴+=2213x y +=的直角坐标方程为：. C ∴2213x y +=【小问2详解】由可得点的直角坐标为即； 3π4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M 3π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,2-由消去参数可得直线的普通方程为：；:4x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t l 40x y --=设，，()00,N x y (),P x y 为中点，，则，， P MN 002222x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩002222x x y y =+⎧⎨=-⎩()()22222213x y +∴+-=即点轨迹为，则可设； P ()()22222213x y ++-=sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭点到直线的距离∴Pl d则当时，. πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭max d ==23. 已知函数．()f x x a x b x c =-+-+-（1）若，且，求m 的值； a b c ==(){}{}66x f x x m x <=<<（2）若，，证明：．12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+()522f x x d x b ≤+-+-【答案】（1）2m =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意直接法解不等式，与已知解集相等，可求m 的值；2x a -<（2）已知可得，，利用绝对值三角不等式证明结论.2a b -≤3c d -≤【小问1详解】因为，所以，由，得，则，解得a b c ==()3f x x a =-()6f x <2x a -<22x a -<-<，因为，所以，即，故．22a x a -<<+(){}{}66x f x x m x <=<<26a +=4a =22m a =-=【小问2详解】证明：由，，得，，则，12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+12a b -≤-≤32c d -≤-≤2a b -≤，3c d -≤所以()2f x x d x b x a x b x c x d ----=---+---≤，()()235x a x b x c x d a b c d ---+---=-+-≤+=故．()522f x x d x b ≤+-+-。
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
模拟高考理科数学真题
模拟高考理科数学真题高考理科数学真题模拟一、选择题1. 已知函数$f(x)=\frac{3x+2}{x-4}$，则$f(2)=$A. 1B. 2C. 3D. 42. 方程$x^2-4x+3=0$的根为A. $x=1$和$x=3$B. $x=1$和$x=2$C. $x=1$和$x=4$D. $x=2$和$x=3$3. 等比数列$\{a_n\}$的首项为2，公比为$\frac{1}{3}$，如果$a_1+a_2+...+a_6=37\frac{1}{9}$，则$a_6=$A. $\frac{61}{27}$B. $\frac{69}{27}$C. $\frac{73}{27}$D. $\frac{81}{27}$4. 函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于两点$A(1,0)$和$B(3,0)$，则$f(x)$的值域为A. $[0, +\infty)$B. $[c, +\infty)$C. $(-\infty, c]$D. $(-\infty, 0]$5. 设$x=y^2$，$y\neq 0$，则$\frac{dy}{dx}=$A. $\frac{1}{2y}$B. $\frac{1}{2x}$C. $\frac{2}{y}$D. $\frac{y}{2}$二、填空题1. 设$AB=3$，$BC=4$，$CD=2$，$\angle{ABC}=60^\circ$，$\angle{BCD}=45^\circ$，则$AD=$_____2. 如果$\log_2{x}+\log_2{(1-x)}=0$，则$x=$_____3. 函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{4})$的表达式化简为_____4. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(1,2)$和$(-1,-2)$，则$a+b+c=$_____5. 圆心在直线$2x-y=3$上，并且与直线$x-y-2=0$相切的圆的方程为_____三、解答题1. 某校学生中，男生和女生的比例为$3:2$，如果男生少20人，则男生和女生人数的比例为$1:2$，请问这个学校共有多少名学生？2. 已知矩形的长为$x-1$，宽为$x+2$，且矩形的面积等于其周长，求矩形的长和宽。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一时间：120分钟 分值：150分―、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A.3655i + B. 3655i - C. 1255i - D. 1255i +2．（错题再现）下列命题正确的是( )A ．123x x +--≥B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．2213x x ++-≤3.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 3B.2C. 4D. 54.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ） A.25B.15C. 103D. 355.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 36.若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则232z x y =-+的最小值为（ ）A. -5B. -4C. -3D. -27.已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <≤B. 2a ≥C. 23a ≤≤D. 02a <≤或3a ≥8.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A. 52B. 246+C. 27+D. 269.已知() f x 为定义在R 上的奇函数, ()()g x f x x =-,且当(],0x ∈-∞时, ()g x 单调递增,则不等式()()2123f x f x x --+≥-的解集为( )A. ()3,+∞B. [)3,+∞C. (,3]-∞D. (,3)-∞ 10.已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，则此矩形的最大面积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 11.已知正数,a b 满足221a b ab +=+，则()312a b -+的最大值为（）A. 22B. 2C. 2D. 112.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使22110n nnS S +取得最大值时n 的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
高三数学理科高考模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax² + bx + c（a≠0）的图像与x轴有两个不同的交点，则下列结论正确的是（）A. a > 0，b² - 4ac > 0B. a < 0，b² - 4ac > 0C. a > 0，b² - 4ac < 0D. a < 0，b² - 4ac < 02. 已知复数z = 1 + bi（b∈R），且|z - 3i| = 5，则b的取值范围是（）A. (-4, 4)B. (-5, 5)C. (-∞, -5) ∪ (5, +∞)D. (-∞, -4] ∪ [4, +∞)3. 在△ABC中，已知a=3，b=4，cosA=1/2，则sinB的值为（）A. 3√3/8B. 3√3/4C. √3/2D. √3/84. 已知数列{an}满足a₁ = 1，an = an-1 + 2n（n≥2），则数列{an}的通项公式为（）A. an = n² - n + 1B. an = n² - nC. an = n² + nD. an = n²5. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 2，则f(x)的对称中心为（）B. (0, 0)C. (1, -1)D. (0, -1)6. 已知向量a = (2, -1)，b = (-1, 2)，则向量a与b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/√2B. -1/√2C. 1D. -17. 若等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，则第10项a₁₀的表达式为（）A. a₁₀ = a₁ + 9dB. a₁₀ = a₁ + 10dC. a₁₀ = a₁ + 11dD. a₁₀ = a₁ + 12d8. 已知函数f(x) = log₂(x - 1)，则f(x)的定义域为（）A. (1, +∞)B. (2, +∞)C. (1, 2)D. (2, 3)9. 若不等式2x - 3 > x + 1的解集为A，则不等式x - 2 > -3的解集为（）A. AB. A的补集C. A的子集10. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知复数z = 3 + 4i，则|z - 2i|的值为______。
四川省绵阳市绵阳中学2024届高三高考模拟理科数学试题(四)(含答案与解析)_7803
绵阳中学2024届高三高考适应性考试（四）数学（理科）时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}244,RA y y x x x ==-+∈，(){}2ln 4B x y x ==-，则A B = （）A [)0,2B. []22-,C. ()2,0-D. ()2,2-2. 已知i 是虚数单位，若复数z 的实部为1，4z z ⋅=，则复数z 的虚部为（ ）A.B.C. 1-或1D.3. 已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A. 0x y ±=B. 0x ±=C.0y ±=D. 20x y ±=4. 18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（ ）A. ()4ln 210⨯B. 4ln 2+C. 4ln 2-D. ln 25. 若实数x ,y 满足约束条件21050x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩,则z x y =+的（ ）A. 最大值为4B. 最小值为4C. 最大值为5D. 最小值为56. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =，879S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是（ ）.的A 24,715⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 21,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 41,154⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 2,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 记函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若π2πT <<，且()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，关于该函数有下列四个说法： ①23ω<<； ②π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ③()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④为了得到()sin g x x ω=的图象，只需将()f x 的图象向右平移π4个单位长度． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知递增数列{}n a 满足()121*n n n n a a a a n +++-=-∈N ．若41014a a +=，21224a a ⋅=，则数列{}n a 的前2023项和为（ ） A. 2044242 B. 2045253C. 2046264D. 20472769.记ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角π4C =，ππsin sin 44b A a B c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角B =（ ）A.π8B.π6C.5π8D.π310. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<．则下列结论错误的是（ ）.的A. B. 当12a =时，MN 的长度最小 C. 异面直线AC 与BF 所成的角为60°D. //MN 平面BCE11. 已知直线l 与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，OH AB ⊥交AB于点H ，点H 的坐标为()2,2，则p 的值为（ ） A.32B. 2C.52D. 312. 已知当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，则实数a 的值不可能是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量(),2a m =- ，()1,1b =，若a b a b -=+ ，则m =______．14. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是______. 15. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，2AB CD =，点M 在侧棱PC 上，点Q 在侧棱AP 上运动，若三棱锥-M BDQ 的体积为定值，则PMMC=_____ 16. 潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻t （单位：小时）与对应水深y （单位：米）的函数关系式为()π3sin 100246y t t =+≤≤.某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC 中，边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，3a =，2239c b b =-+． （1）求角C 的大小；（2）若cos c A=，求ABC 的面积． 18. 如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．（1）在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =；②cos SBM ∠=；③sin SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）（2）在（1）的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．19. 世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2:0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为12，乙队每名球员射进的概率为23．每轮点球结果互不影响．（1）设甲队踢了5球，X 为射进点球的个数，求X 的分布列与期望；（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．20. 已知函数3()1(0)ex ax f x a =-≠．（1）讨论()f x 在()0,∞+上单调性；（2）若不等式322e ()ln 3x f x x x x x ≥++恒成立，求a 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为()1F，点12P ⎫⎪⎭在E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的上顶点为A ，圆222:(1)(0)M x y r r -+=>，椭圆E 上是否存在两点,B C 使得圆M 内切于ABC ？若存在，求出直线BC 的方程；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12x m y m=+⎧⎨=-⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0A ，曲线1C 与曲线2C 交于E ，F 两点，求11AE AF+的值． [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()2123f x x x =-++． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若存在x 使得不等式()()22231f x x a -+≥-恒成立，求实数a 的取值范围．的参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}244,RA y y x x x ==-+∈，(){}2ln 4B x y x ==-，则A B = （ ）A. [)0,2B. []22-,C. ()2,0-D. ()2,2-【答案】A 【解析】【分析】利用对数式有意义及交集的定义即可求解. 【详解】由244y x x =-+，得()220y x =-≥， 所以{}0A y y =≥.由240x ->，得240x -<，即()()220x x -+<，解得22x -<<， 所以{}22B x x =-<<，所以{}{}[)0220,2A B y y x x ⋂=≥⋂-<<=. 故选：A.2. 已知i 是虚数单位，若复数z 的实部为1，4z z ⋅=，则复数z 的虚部为（ ）A. B. C. 1-或1D.【答案】A 【解析】【分析】设1i z b =+，则1i z b =-，由4z z ⋅=，列出方程求解即可. 【详解】由题意，设1i z b =+，则1i z b =-， 所以()()1i 1i 4z z b b ⋅=+-=，即214b +=，所以b =即1z =-或1=+z ，所以复数z 的虚部为故选：A.3. 已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A. 0x y ±=B. 0x ±=C.0y ±=D. 20x y ±=【答案】C 【解析】【详解】b a ==== ，渐近线方程是0y y =⇔±=，故选C, 4. 18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（ ）A. ()4ln 210⨯B. 4ln 2+C. 4ln 2-D. ln 2【答案】D 【解析】【分析】所求式子为1111111123200002310000⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据已知中的公式直接计算即可. 【详解】1111111111110001100022000023200002310000⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20000ln 20000ln10000ln 20000ln10000lnln 210000γγ=+-+=-==.故选：D.5. 若实数x ,y 满足约束条件21050x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩,则z x y =+的（ ）A. 最大值为4B. 最小值为4C. 最大值为5D. 最小值为5【答案】D 【解析】【分析】画出可行域,由z x y =+,可知z 可看作直线y x z =-+在y 轴上的截距,平移直线即可得出结果.【详解】解:由题知约束条件21050x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩, 画出约束条件如下:联立21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩可得: 32x y =⎧⎨=⎩, z x y =+可写为:y x z =-+,z 可看作直线y x z =-+在y 轴上的截距,由可行域可知, 当y x z =-+与5y x =-+重合时,z 有最小值,最小值为5. 故选:D6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，879S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是（ ） A. 24,715⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 21,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 41,154⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 2,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】方法1：等差数列通项公式的基本量代入不等式组求解即可. 方法2：等差数列前n 项和公式的基本量代入不等式组求解即可. 【详解】方法1：∵{}n a 为等差数列，12a =， ∴1(1)2(1)n a a n d n d =+-=+-，878787997892002702470027280471515d S S S S a d d S S S S a a d d d ⎧≥-⎪≥-≥≥+≥⎧⎧⎧⎧⎪⇒⇒⇒⇒⇒-≤≤-⎨⎨⎨⎨⎨≥-≤+≤+++≤⎩⎩⎩⎩⎪≤-⎪⎩； 方法2：∵{}n a 为等差数列，12a =， ∴1(1)(1)222n n n n n S na d n d --=+=+，∴87792877616142702472276984150471514182215d d d S S d d S S d d dd ⨯⨯⎧⎧≥-+≥+⎪⎪≥+≥⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⇒-≤≤-⎨⎨⎨⎨≥⨯⨯+≤⎩⎩⎪⎪+≥+≤-⎪⎪⎩⎩. 故选：A.7. 记函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若π2πT <<，且()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，关于该函数有下列四个说法： ①23ω<<； ②π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ③()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④为了得到()sin g x x ω=的图象，只需将()f x 的图象向右平移π4个单位长度． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用周期公式求出ω的范围可判断①；由π6x =为一条对称轴得π(Z)642πππk k ω+=+∈，结合ω的范围可求得ω，从而得出()f x 的解析式，求值π2f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用三角函数图象平移的规律可判断④. 【详解】由2πT ω=且π2πT <<，故12ω<<，故①错误；因为π6x =为一条对称轴，故π(Z)642πππk k ω+=+∈，164k ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由于12ω<<，故32ω=，则π3()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3sin sin π0222πππ4f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确； 当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，30,2π4π2x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确；将()f x 的图象向右平移π4个单位长度得33sin sin 2π4π4π28y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，而()3sin2g x x =，故④错误． 所以，正确的有②③，共2个． 故选：B ．8. 已知递增数列{}n a 满足()121*n n n n a a a a n +++-=-∈N ．若41014a a +=，21224a a ⋅=，则数列{}n a 前2023项和为（ ）A. 2044242B. 2045253C. 2046264D. 2047276【答案】D 【解析】【分析】根据121n n n n a a a a +++-=-，推出122n n n a a a ++=+，推出数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，根据等差数列的通项公式以及0d >求出11,1a d ==，再根据等差数列求和公式可求出结果. 【详解】因为121n n n n a a a a +++-=-，所以122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 是等差数列， 设公差为d ，因为数列{}n a 为递增数列，所以0d >， 由41014a a +=，得113914a d a d +++=，即176a d =-，由21224a a ⋅=，得11()(11)24a d a d ++=，将176a d =-代入，得21d =， 又0d >，所以1d =，11a =，所以数列{}n a 的前2023项和为202312023202220232S a d ⨯=+⨯=2023202310112047276+⨯=.故选：D9. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角π4C =，ππsin sin 44b A a B c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角B =（ ）A.π8B.π6C.5π8D.π3【答案】C 【解析】的【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得B 与A 的关系，进一步计算得出结果. 【详解】已知角π4C =，ππsin sin 44b A a B c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由正弦定理可得ππsin sin sin sin sin 44B A A B C ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)sin cos sin cos B A A B -=()sin 1B A -=， 因为3π,0,4A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以B A -3π3π,44⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以π2B A -=. 又3π4B A +=，所以5π8B =. 故选：C . 10. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<．则下列结论错误的是（ ）A. B. 当12a =时，MN 的长度最小 C. 异面直线AC 与BF 所成的角为60°D. //MN 平面BCE【答案】B【解析】 【分析】把图形补形成一个正方体，根据正方体的性质求解判断各选项：正方体的对角线是其外接球直径，从而易得外接球半径，判断A ；过M 作//MP AB 交BC 于P ,过N 作//NQ AB 交BE 于Q ,证明MPQN 是平行四边形，用a 表示出MN 的长，求得最小值，判断B ；求出异面直线所成的角判断C ；由线面平行的判定定理证明线面平行判断D ．【详解】如图，把该模型补成一个以ABCD 和ABEF 为相邻面的正方体，A 正确； 过M 作//MP AB 交BC 于P ,过N 作//NQ AB 交BE 于Q ,连接PQ ，则//MP NQ ， 又NQ BN CM MP EF BF CA AB===，AB EF =，所以MP NQ =，则MPQN 是平行四边形，MN PQ =， //MN PQ ，另一方面CP CM BN BQ CB CA BF BE ====，CP BQ ==11BP CP =-=-，PQ ====，所以a =时，PQ 取得最小值，B 错误；正方体中易得//BF CH ，ACH ∠或其补角是异面直线AC 与BF 所成的角，ACH 是等边三角形，60ACH ∠=︒，因此异面直线AC 与BF 所成的角是60︒，C 正确；由//MN PQ ，MN ⊄平面BCE ，PQ ⊂平面BCE ，∴//MN 平面BCE ，D 正确．故选：B ．11. 已知直线l 与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，OH AB ⊥交AB于点H ，点H 的坐标为()2,2，则p 的值为（ ） A. 32 B. 2 C. 52 D. 3【答案】B【解析】【分析】写出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程与抛物线方程可得12x x 与12y y ，代入0OA OB ⋅= 可得P的值.【详解】∵(2,2)H ，OH AB ⊥，∴ 20120OH k -==-，1AB OH k k ⨯=-， ∴1AB k =-∴直线AB 的方程为：2(2)y x -=--，即：4y x =-+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22414022y x y y y pxp =-+⎧⇒+-=⎨=⎩， 1681102p p∆=+=+>，128y y p =-， ∴2222121212221111()(8)162244x x y y y y p p p p p =⋅=⋅=⋅-=， 又∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅= ，∴12121680x x y y p +=-=，∴2p =.故选：B.12. 已知当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x ++>恒成立，则实数a 的值不可能是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】【分析】化为ln 10x x ax a -++>恒成立，构造函数()ln 1f x x x ax a =-++(1)x >，求导后讨论a ，当1a ≤时，()(1)0f x f >=，符合题意；当1a >时，求出()f x 的最小值1min ()(e )a f x f -=1e 1a a -=-++，化为1e 10a a --++>，再构造函数1()e 1(1)a g a a a -=-++>，利用导数可得结果.【详解】当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，即ln 10x x ax a -++>恒成立， 令()ln 1f x x x ax a =-++(1)x >，则()ln 1f x x a '=+-，当10a -≥，即1a ≤时，由1x >，得ln 0x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，所以()(1)0f x f >=，符合题意；当10a -<，即1a >时，由()0f x '<，得10e a x -<<，由()0f x '>，得1e a x ->，所以()f x 在1(0,e )a -上为减函数，在1(e ,)a -+∞上为增函数，所以1min ()(e )a f x f -=111e ln e e 1a a a a a ---=-⋅++1e 1a a -=-++，所以只需1e 10a a --++>即可，设1()e 1(1)a g a a a -=-++>，则1()e 1a g a -'=-+，当1a >时，1e 1a ->，所以()0g a '<，所以()g a 在(1,)+∞上为减函数，因为(2)e 30g =-+>，2(3)e 40g =-+<，所以存在0(2,3)a ∈，使得0()0g a =，当01a a <<时，()0g a >，当0a a >时，()0g a <，要使1(e )()0a f g a -=>，只需0a a <，结合选项可知，实数a 的值不可能是3.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，则()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，则()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，则()min f x k <；（4）若[],x a b ∀∈，使得()f x k >成立，则()max f x k >．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量(),2a m =- ，()1,1b = ，若a b a b -=+ ，则m =______．【答案】2【解析】【分析】求出向量a b - 、a b + 的坐标，利用平面向量的模长公式可得出关于m 的等式，解之即可.【详解】因为(),2a m =- ，()1,1b = ，则()1,1a b m +=+- ，()1,3a b m -=-- ，因为a b a b -=+ ，则=2m =.故答案为：2. 14. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是______. 【答案】80-【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项10315(2)C r r r r T x-+=-⋅，确定r 的值，代入即可求解. 【详解】由二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为251031552C ()()(2)C r r r r r r r T x x x --+=⋅-=-⋅， 令1031r -=，可得3r =，所以展开式中x 的系数为335(2)C 80-⋅=-.故答案为：80-.15. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，2AB CD =，点M 在侧棱PC 上，点Q 在侧棱AP 上运动，若三棱锥-M BDQ 的体积为定值，则PM MC=_____ 【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，由MBD 面积为定值，借助等体积法确定//PA 平面MBD 即可计算作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，点M 是侧棱PC 上的定点，则MBD 面积为定值，三棱锥-M BDQ 的体积M BDQ Q MBD V V --=为定值，因此点Q 到平面MBD 的距离为定值，又点Q 是侧棱AP 上的动点，于是侧棱AP 上的所有点到平面MBD 的距离都相等，则//PA 平面MBD ，如图，连接AC BD N ⋂=，连接MN ，平面PAC 平面MBD MN =，而PA ⊂平面PAC ， 因此//MN PA ，有PM AN MC NC =，梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB CD =，则2AN AB NC CD ==， 所以2PM MC=. 故答案：216. 潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻t （单位：小时）与对应水深y （单位：米）的函数关系式为()π3sin 100246y t t =+≤≤.某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为______.【答案】6时【解析】【分析】令船底与海底距离为()f t ，则()()π3sin 1070.37526f t t t =+---⎡⎤⎣⎦，化简后求导判断单调性，从而确定当26t ≤≤时，() 4.5f t ≥，即可求解.【详解】令船底与海底距离为()f t ，则()()π3sin1070.37526f t t t =+---⎡⎤⎣⎦，[]2,10t ∈ 所以()π393sin 684t f t t =++，所以()ππ3cos 268f t t '=+， 又()3308f '=>，()3π6082f '=-<，()3908f '=> 所以()()()()12122,6,6,10,0t t f t f t ''∃∈∈==，所以当12t t ≤<或210t t <≤时，()0,f t '>当12t t t <<时，()0,f t '<所以()f t 在[)(]122,,,10t t 上单调递增；()f t 在()12,t t 上单调递减.为又因为()()23 4.5,6 4.5,(10)6 4.5f f f =>==<， 所以当26t ≤≤时，() 4.5f t ≥；当610t <≤时，() 4.5f t <所以该船第一次停止卸货的时刻为6时.故答案为：6时三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在ABC 中，边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，3a =，2239c b b =-+．（1）求角C 的大小；（2）若cos c A=，求ABC 的面积． 【答案】（1）π3C =（2 【解析】【分析】（1）将3a =代入2239c b b =-+中，然后再利用余弦定理求角C ；（2）利用正弦定理及cos c A=可求出角A ，进而可求出c ，再利用sin sin()B A C =+求出sin B ，最后利用面积求解即可.【小问1详解】 3a = ，由2239c b b =-+得222c b ab a =-+，即222ab b a c =+-，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，又()0,πC ∈， π3C ∴=； 【小问2详解】由正弦定理得sin sin cos a C c c A A⋅===，=，sin 21A ∴=， 又2π4ππ0,02,2332A A A <<∴<<∴= ， 即π4A =，c A ∴===，1sin sin()sin()432ππB A C =+=+=+=，11sin 322ABC S ac B ∴===⨯ 18. 如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．（1）在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =；②cos SBM ∠=；③sin SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）（2）在（1）的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）25【解析】【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件①③，利用正弦定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可得SM ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．【小问1详解】证明：（1）方案一：选条件①②．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM 中，cos SBM ∠=，所以1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1BM AB ==，AM =，由2SA AM SM ===可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案二：选条件①③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在SAM △中，2SA SAM SM =∠==，所以由正弦定理得：sin sin SA SM SMA SAM =∠∠=sin 1SMA ∠=， 即π2SMA ∠=，所以SM MA ⊥， 则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案三：选条件②③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM 中，cos SBM ∠=，所以1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1,BM AB AM ===，又因为在SAM △中，sin SAM ∠=，则cos SAM ∠=， 设SA x =，2222cos SM SA AM SA AM SAM =+-⋅∠，所以有2360x --=，解得1x =或2x =)，所以SA =，由2SA AM SM ===可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥， 则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；【小问2详解】在（1）条件下知SM ⊥平面ABCD ，且MD AM ⊥，故如图所示：以M 为坐标原点，以MA 所在直线为x 轴，以MD 所在直线为y 轴，以MS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,2S，)A，()D，0C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()2SD =-，)2SA =- ， 设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则2020n SD z n SA z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则)n =，2SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设直线SC 与平面SAD 所成角为θ，则2sin 5n SC n SC θ⋅==⋅ ，直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值为25. 19. 世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2:0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为12，乙队每名球员射进的概率为23．每轮点球结果互不影响．（1）设甲队踢了5球，X 为射进点球的个数，求X 的分布列与期望；（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率． 【答案】（1）分布列见解析，5()2E X = （2）19【解析】【分析】（1）由题意知1(5,)2X B ，由二项分布求出X 的分布列与期望； （2）由题意知甲乙两队比分为1：4或2：4，求出相应的概率再相加即可. 【小问1详解】由题意知，1(5,)2X B ，X 可能的取值为0，1，2，3，4，5.511(0)()232P X ===，15515(1)C (232P X ===，2551105(2)C (23216P X ====，3551105(3)C (23216P X ====，45515(4)C ()232P X ===，511(5)().232P X ===所以X 的分布列为 X 012345P132 532 516 516 532 13215()522E X =⨯=． 【小问2详解】设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件A ，由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4，设“甲乙两队比分为1：4”为事件1A ，“甲乙两队比分为2：4”为事件2A ，若甲乙两队比分为1：4，则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，134131121()C ()()22327P A =⋅=， 若甲乙两队比分为2：4，则乙射进4次，甲前四次射进两次，24424122()C ((),2327P A =⋅= 所以12121()()()27279P A P A P A =+=+=． 即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为19． 20. 已知函数3()1(0)ex ax f x a =-≠．（1）讨论()f x 在()0,∞+上的单调性；（2）若不等式322e ()ln 3x f x x x x x ≥++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）3e 11,ln 32723⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据函数求解导数()f x '，故按照0a >，a<0确定导函数正负区间，得函数到单调性；（2）根据不等式322e ()ln 3xf x x x x x ≥++，参变分离得32e 113ln 222x x x x a x---≤恒成立，故可构造函数32e 113()ln 222x g x x x x x=---确定函数的单调性求最小值min ()g x ，则min ()a g x ≤求得a 的取值范围．【小问1详解】解：因为3()1e x ax f x =-，()0,x ∈+∞，所以3223(3)()e e x xax ax ax x f x --'==．当0a >时，由()0f x ¢>，得3x >；由()0f x '<，得03x <<． 则()f x 在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增．当0a <时，由()0f x '<，得3x >；由()0f x ¢>，得03x <<． 则()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减．综上，当0a >时，()f x 在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． 【小问2详解】解：不等式322e ()ln 3x f x x x x x ≥++恒成立，即不等式3322e 2ln 3x ax x x x x -++≥恒成立，即等价于32e 113ln 222x x x x a x---≤恒成立．设32e 113()ln 222x g x x x x x=---，()0,x ∈+∞则242341(3)e (3)e 1132()22x x x x x x g x x x x x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭'=-++=．设21()e 2xh x x x =--，则()e 1x h x x '=--． 设()e 1x x x ϕ=--，则()e 1xx ϕ'=-．由()0x ϕ'>，得0x >，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增， 则()()00ϕϕ>=x ，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增． 因为()010h =>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增， 则()0g x '=，得3x =，所以当03x <<时，()0g x '<，当3x >时，()0g x '>，所以()g x ()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，则3mine 11()(3)ln 32723g x g ==--．在故3e 11ln 32723a ≤--，即a 的取值范围是3e 11,ln 32723⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．21. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为()1F，点12P ⎫⎪⎭在E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的上顶点为A ，圆222:(1)(0)M x y r r -+=>，椭圆E 上是否存在两点,B C 使得圆M 内切于ABC ？若存在，求出直线BC 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）直线BC 存在，且直线BC的方程为0x y ++=. 【解析】【分析】（1）根据圆椭上的点和焦点坐标求出a ,b ,c ，即可求出椭圆方程；（2）设点,B C 的坐标，利用直线AB 、AC 与圆M 相切，求出直线BC 方程，再利用直线BC 与圆M 相切建立r 的方程，求解即可. 【小问1详解】由题意可知椭圆的右焦点为)2F，因为点12P ⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以121224,22PF PF a a a +====c =1b =，椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由（1）可知椭圆的上顶点为()0,1A ，假设这样的,B C 存在，且设()()1122,,,B x y C x y ， 则直线AB 的斜率为111y k x -=，直线AB 的方程为()11110y x x y x --+=， 因为直线AB 与圆M 相切，则d r =r =两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210rx r yx y -+--+-=，因为()221141x y =-，消去21x 得()()()()()2222111114111210r y ry x y -⋅-+--+-=，因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111411120r y r y x-⋅++---=，整理得()()2211231510x ryr -+-+-=，即点B 直线()()22231510x r y r -+-+-=上，同理点C 也在直线()()22231510x ry r -+-+-=上，因此直线BC 的方程为()()22231510x ry r -+-+-=，若直线BC 与圆Mr =，解得r=r =因此直线BC 存在，且直线BC的方程为20x y -+=，即0x y +=. 【点睛】关键点点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12x m y m=+⎧⎨=-⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0A ，曲线1C 与曲线2C 交于E ，F 两点，求11AE AF+的值． 在【答案】（1）曲线1C 的普通方程为220x y +-=；曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）1 【解析】【分析】（1）消去参数m 可得曲线1C 的普通方程；根据sin y ρθ=，cos x ρθ=，可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的参数方程化为标准形式，将1C 的参数方程的标准形式代入2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可求出结果.小问1详解】由12x m y m=+⎧⎨=-⎩，消去m 得220x y +-=， 则曲线1C 的普通方程为220x y +-=. 由24cos sin θρθ=，得22sin 4cos ρθρθ=， 根据sin y ρθ=，cos x ρθ=，得24y x =. 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. 【小问2详解】将曲线1C化为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），易知()1,0A 在曲线1C 上，联立214x y y x ⎧=+⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，得250t -=， 设点,E F 对应的参数分别为12,t t ，则12t t +=，125t t =-，【所以11AE AF +12121211t t t t t t +=+=12||5t t -==1==.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()2123f x x x =-++． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若存在x 使得不等式()()22231f x x a -+≥-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）73,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）[]1,3- 【解析】【分析】（1）去绝对值将()f x 转化为分段函数分别求解，再取并集即可；（2）先利用绝对值的三角不等式求函数()223y f x x =-+的最大值，再转化为关于参数a 的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】由题意，函数()342,23121234,22142,2x x f x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，则不等式()5f x <等价于32425x x ⎧≤-⎪⎨⎪--<⎩或13245x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩或12425x x ⎧≥⎪⎨⎪+<⎩， 解得7342x -<≤-或3122x -<<或1324x ≤< 所以不等式()5f x <的解集为73(,)44-.【小问2详解】因为()223212321(23)4f x x x x x x -+=--+≤--+=， 所以存在关于x 使得不等式()()22231f x x a -+≥-恒成立，等价于2(1)4a -≤恒成立，解得13a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]1,3-.。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷3套模拟试卷一第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（ ）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件 D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ．C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递增D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象 8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________. 14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE折起到1∆A BE 的位置，如图2． （1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为 为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y t x (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。
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（II）曲线 在 处切线斜率为 ，若存在不同的正实数 满足 ，证明： .
选做题
选修4-4：坐标系与参数方程
22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 。直线 的方程为 ，以 为极点，以 非负半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
A. B. C. D.
2.设全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B.
C. D.
3.设 ，向量 ， ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
4.已知变量 与变量 正相关，算得样本平均数为 ， ，则其线性回归方程可能为（）
A. B.
C. D.
5.中国古代伟大的数学家秦九韶提出了一种将一元 次多项式的求值问题转化为 个一次式的算法，数学上称之为秦九韶算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入 的值分别为4，3.则输出 的值为（）
（2）设直线 的极坐标方程为: ,若直线 、 分别交曲线 于 两点（其中 两点不是极点），求 的面积。
选修4-5：不等式选讲
23.（本小题满分10分）设函数 .
（I）当 时，求不等式 的解集；
（II）求证： 中至少有一个不小于
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A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题本大题共4小题，每小题5分
13.实数 满足 ，则 的最小值为.
14. 的展开式的常数项为.
15.已知 ,抛物线 的焦点为 ，对抛物线上的任意一点 , 的最小值为41，则实数
16.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ， ，当 的面积最大时， .
三、解答题本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列 满足 ,数列 满足： 前 项和为 .
（I）求数列 的通项公式；
（II）求 的最小值及此时 的值．
A.
B.
C.
D.
9.已知命题 使得 ；命题 ： ， ，则下列命题是假命题的是（）
A. B. C. D.
10.三棱锥 ， ,当三棱锥 的体积最大时，其外接球的半径为（）
A. B. C. D.
11.函数 ，在 有零点，则整数 的最大值为（）
A. B. C. D.
12.已知椭圆 左右焦点分别为 ，双曲线 的一条渐近线交椭圆于点 ，且满足 ，已知椭圆的离心率为 ，则双曲线的离心率 （）
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的.
1.复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（）
A.121 B. 40 C. 364 D. 120
6.已知角 终边上一点 的坐标为 ，则下列各点在角 终边上的是（）
A. B. C. D.
7.已知函数 ，其中 ，下列结论一定正确的是（）
A. 一定存在最大值B. 一定存在最小值
C. 一定不存在最大值D. 一定不存在最小值
8.如图黑色粗线条是某几何体的三视图，已知小正方形的边长为1，则该几何体的最长棱的长为（）
18.如图，直三棱柱 ，与四棱锥 ,又 , பைடு நூலகம்确定的平面交 于点 .
(I)求证： ;
(II)若 求面 与面 所成角的正切值.
19.某种彩票投注区由编号为1—10的10个红色球号码组成的红色球号码区和编号为1—5的5个蓝色球号码组成的蓝色球号码区，每注投注号码由3个红色球号码（号码不重复）和1个蓝色球号码组成。彩民每购买一注需要5元。该种彩票以投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级（红色球号码顺序不限）：
中奖等级
等级要求
奖金（元）
一等奖
3个红色球号码和1个蓝色球号码相符
1000
二等奖
3个红色球号码相符，或2个红色球号码和1个蓝色球号码相符
50
三等奖
1个红色球号码和1个蓝色球号码相符
10
四等奖
1个蓝色球号码相符
5
（1）求彩民投注一注可得奖金的分布列和期望；
（2）彩民甲喜欢在同一期随机买两张彩票，每张彩票一注，花费10元；彩民乙喜欢在连续的两期中购买同一组号码，每期一注，两期共花费10元；请比较甲乙在都花费10元的条件下中奖概率的大小。
2018年皖北协作区高三年级联考试卷
理科数学
时间：120分钟满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
20.已知动⊙O′与 轴切于点 ，又点 ，过B，C分别作⊙O′异于 轴的两切线，两切线交于点 .
(1)求点 的轨迹 的方程;
(2) 轴上是否存在定点 使过点 的直线 与轨迹 交于 时，恒有 为定值？若存在，求出定点与定值;若不存在，请说明理由.
21.已知函数 ， 为常数，其图像 与 轴有且只有一个交点 .