第二章 矩阵基础
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章行列式行列式是线性代数中的重要概念之一。
行列式的定义包括二三阶行列式和N阶行列式。
其中，N阶行列式是由行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和构成的。
行列式的计算需要用到奇偶排列、逆序数和对换等概念。
行列式还具有多种性质，如行列式行列互换其值不变，行列式中某两行（列）互换，行列式变号等。
通过这些性质，我们可以推论出行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零等结论。
行列式还有一些特殊的形式，如转置行列式、对称行列式、反对称行列式、三线性行列式和上（下）三角形行列式等。
行列式在解线性方程组中应用广泛，如克莱姆法则。
非齐次线性方程组的系数行列式不为零时，有唯一解；而齐次线性方程组的系数行列式为1时，只有零解。
第二章矩阵矩阵是线性代数中另一个重要概念。
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，其中包括零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵和相等矩阵等。
矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。
其中，加法和数乘都满足交换律和结合律。
而矩阵的乘法需要满足行数等于列数的规则。
矩阵的乘法运算需要用到矩阵的元素之间的乘积和求和。
在矩阵的运算中，我们需要注意矩阵的类型和是否有意义。
一般情况下，矩阵乘法不满足消去律。
即使已知AB=0，也不能得到A=0或B=0.对于矩阵A，它的转置等于A乘以A加B。
即transpose(A)=A(A+B)。
对于标量k和矩阵A，有(kA)=kA和(AB)=BA（反序定理）。
对于方幂A^k，有(A^k)=(A^1+k/2)+(A^2+k/2)。
有几种特殊的矩阵，如对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵、上下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、阶梯型矩阵和分块矩阵。
对于分块矩阵，加法、数乘和乘法的规则类似，而转置需要对每个子块进行转置。
矩阵的逆矩阵指的是存在一个N阶矩阵B，使得AB=BA=I。
如果矩阵A是可逆的，则称它是非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵，其行列式为0.初等变换不会改变矩阵的可逆性，而初等矩阵都是可逆的。
大学数学基础(2)mooc-转置矩阵、伴随矩阵
B
数学基础 (2)
第二章 矩阵
第三讲 转置矩阵、伴随矩阵
END
n
n
n
例 2 设 矩 阵 A与 B为 同 阶 对 称 阵 ， 证 明 A B是 对 称 阵 的 充 要 条 件 为 A B B A.
证 必要性
( AB )T AB
( AB )T B T AT BA
AB BA
充分性
AB BA
( AB )T B T AT BA AB A B为 对 称 阵 .
| A |
同 理 A A | A | E.
a A a A a A | A | ， i 1, 2, , n
i1 i1
i2 i2
in in
a i1 As1 a i 2 As 2 a in Asn 0， i s
例 设 A 为 3 阶 矩 阵 ，| A | 3， A 为 A 的 伴 随 矩 阵 ， 若 交 换 A 的 第 1 行 与
反 对 称 矩 阵 设 A 为 n阶 方 阵 ， 如 果 满 足 A T A， 即 a ij a ji ( i j ) ， a ii 0， (i , j 1, 2 , , n )， 则 A 为 反 对 称 矩 阵 .
特点 对称阵：元素以主对角线为对称轴对应相等；
反 对 称 阵 ： 主 对 角 线 元 素 为 0， 其 他 元 素 以 主 对 角 线 为对称轴互为相反数；
结 论 2 | A || A |n1 .
A A | A | E | A | | A | | A | E | A | | A || A |n 当 | A | 0时 ，| A | | A |n 1
第3课 行列式
-21-
例3
× × 0 × × 0 × × 0 × × ×
× × 0 0= ⋅× × × =0 × × × × × × × × × × × ×
0 0 0 0
0 0 0
性质8 性质8
都是n阶方阵 设A，B都是 阶方阵，则 ， 都是 阶方阵，
AB = A ⋅ B
-22-
例4
是奇数阶方阵， 设A是奇数阶方阵，且 AT A = E , A = 1, 是奇数阶方阵 证明 E − A = 0
按第1列展开 按第 列展开
a11
a 23 L a 2 n a 33 a3n O M a nn ( n−1)
按第1列展开 按第 列展开
a 33 a11a 22
a 34 L a 3 n a44 a4n O M
=L
a nn ( n − 2)
= a11a 22 L a nn
-8-
由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算 由定义，
互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 行列式变号。
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
再如，证明 再如，
1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
a b c × × × =0 a b c
a b c × × × a b c
a11 L a1k M M D= a k 1 L a kk c11 L c1k M M c n1 L cnk
p11 M p = k1 c11 M cn1
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
O L pkk L c1k M L cnk
0 q11 M O qn1 L qnn
第一节 矩阵的运算
作业: 作业
P27 1( 2), ( 3)
-16-
1 2 1 4 例5 设 A = 5 − 8 0 2 1 1 3 7
解：
求 E 3 A 和 AE 4
2 1 4 1 1 2 1 4 1 1 5 − 8 0 2 = 5 − 8 0 2 1 3×3 1 1 3 7 3×4 1 1 3 7 3×4
a11 a 21
a12 a 22
b11 a13 b21 a 23 b31
b12 def c11 b22 c 21 b32
c12 c 22
-9-
定义： A = (a ij ) m× s B = (bij ) s×n 设
a11 L a1 j M M A = a i 1 L a ij M M a m1 L a mj L a1 s b11 L b1 j L b1n M M M M L a is B = bi 1 L bij L bin M M M M a L bsj L a sn L a ms s×n m × s s1
c11 = a11b11 + a12b21 + a13 b31 c21 = a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 c22 = a 21b12 + a 22b22 + a 23b32
y1 = a11 (b11t1 + b12 t 2 ) + a12 (b21t1 + b22 t 2 ) + a13 (b31t1 + b32 t 2 )
高等代数-矩阵
• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
大学数学基础(2)mooc-矩阵的逆(1)
A1 1 A 2 1
称 A A1 2
A22
A 1n
A 2n
An1
An 2 为 A的 伴 随 矩 阵 .
A nn
代数余子式的顺序!
结 论1 AA A A | A | E.
结 论 2 | A || A |n1 .
二、矩阵可逆的判定定理
定理
0
1
2
0 0 1 0 2 3
1 0 0
3
1
0
2 0 1
1 1 1
0
1
2
0 2 3
1 0 0
0
1
0
0 0 1
1 0 0
1 1 1
3
1
0
0
1
2
2 0 1
0 0 1
1 0 0
得
1 A(
A) ( 1
A)A E
A
A
知 A可 逆 ,且
A 1 1 A A
【典型例题】
a
1.求 A
c
b
d
(ad bc 0) 的 逆 矩 阵 .
解
A 1
1 A
A
1 d
ad
bc
c
b
a
.
a
A
c
b
，
则
A
d
d
数学基础 (2)
第二章 矩阵
第二章多项式矩阵
第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。
多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。
§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。
记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。
容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。
[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。
多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。
()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。
《线性代数》第二章 矩阵(2)
2 1 0 0 ③+②(-2) 1 2 0 3 6 2 1 0 0 6 3 2 0 1 2 1 0 0 1 2 0 3 6 2 1 0 0 0 9 2 2 1
第三步，再用初等行变换将上面矩阵的前面 部分B变成单位矩阵： I D
－ 1
1若A可逆，则 A 也可逆，且 A 2若A, B都可逆，则 AB也可逆，且 1 1 1 AB B A .
1 1
A.
ABC C B A 同理：
1 1 1
1
3若A可逆，则 AT 也可逆，且
A A .
T 1 1 T
转置和逆可交换。
2 2 1 即A的逆矩阵为： 9 9 9 2 9 19 2 9 2 2 1 9 9 9
2 1 2 1 1 记为： A 2 1 2 9 2 2 1
注意：阶梯形矩阵化为单位矩阵的方法
1、首先从最后一行的首非0元开始，将首 非0元化为1；然后将其所在的列的其余元 素化为0。 2、再把倒数第二行的首非0元化为1，将其 所在的列的其余元素化为0。
经济数学基础
《线性代数》
第二章
矩阵(2)
本章重点：
•矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩 阵的秩和逆矩阵
本章难点：
•求逆矩阵
五、逆矩阵
为了讨论矩阵的除法，数学家引进了 逆矩阵的概念。 先看看实数中的“倒数” 1 1 【例如】2的倒数是 ;同样地， 的倒数是 2。 2 2
1 1 2 2 2 1 2 2 2
4 1 1 ③+①(－2) 0 1 2 ③+②×3 0 3 8
（二）求逆矩阵。
《计量经济学》第二章知识
第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
第二章矩阵概念
矩阵概念和理论是学习经典数学的基础，又 是最有实用价值的数学概念和理论。特别是 计算机的广泛应用，它已成为现代各科技领 域处理信息的量化和表格化及信息分析处理 的强有力的工具。
§2．1 矩阵的概念
2.1 .1 关于矩阵的实际例子
先看三个实际例子：
例2．1 设要将某种物质从三个产地、、运 往四个销地、、、，用表示由产地调往销地 的物质数量，那么这一调运方案可用下面的 表格表示：
C A B 0 0 1 4
45
2
0
0
59
2
7 9 1 3 2 2 0 0 16 4 4 0
为上半年完成的物质调运表。
由于矩阵的加法是把对应元素相加，而数的加
法满足交换律与结合律，因此易知矩阵的加法 满足：
交换律 A+B=B+A，
矩阵
b11 b12 b1p
B b21
b22
b2 p
，
bn1
bn2
bnp
n
则由元素 cij ai1b1 j ai2b2 j ... ainbnj aik bkj
（i=1,2,…,m;j=1,2,…,p）
aij bij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n），则称矩阵
A 与B 相等，记为A=B。也就是说，两个矩阵 完全一样时，才叫做相等。
特别当m=n时，矩阵 A (aij )nn称为n阶方阵。
当m=1时，即只有一行的矩阵 A [a1, a2 ,..., an ]1n
称为行矩阵或行向量。
矩阵的运算
例1
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2×2 − 3 − 6 2×2
例2 设
16 − 32 − ? 16 2 × 2 8
3 4 2 1 1 − 1 2 1
1 0 − 1 2 A = − 1 1 3 0 0 5 − 1 4
( A+ B)
m
k = ∑Cm Ak Bm−k k=0
m
A2 − B 2 = ( A + B )( A − B ) A3 − B 3 = ( A − B )( A2 + AB + B 2 )
(2)
试用变量 z1 , z2 表示变量 x1 , x2 。 将第2个变换代人第 个变换代人第1个变换得到 解 将第 个变换代人第 个变换得到
x1 = a11 (b11 z1 + b12 z2 ) + a12 (b21 z1 + b22 z2 ) x2 = a21 (b11 z1 + b12 z2 ) + a22 (b21 z1 + b22 z2 )
λ a12 ⋯ λ a1n λ a22 ⋯ λ a2 n
.
2、数乘矩阵的运算规律： 、数乘矩阵的运算规律：
、 矩阵， 为数） （设 A、B为 m × n 矩阵，λ , µ 为数）
( 1) ( λµ ) A = λ ( µ A) ;
(2) (λ + µ ) A = λA + µA; (3 ) λ ( A + B ) = λA + λB .
一、矩阵的加法 １、定义 设有两个m × n 矩阵 A = (a ij ), B = (bij ), 那末 矩阵A与 的和记作 的和记作A+B，定义为 矩阵 与B的和记作 ，
线性代数C第2章矩阵6讲1
0 1 A= 0 1
1 1 1 0 0 0 . 1 0 0 0 1 0
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§2 矩阵的运算
2.1 矩阵的加法 1. 定义 定义2 .1 设有两个m×n矩阵 A =(aij) 定义 末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B , 规定为
a11 a12 a13 a14 a a A = 21 22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.
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若用bi1 表示第 i 种产品的单价，bi2 表示第 i 种产品的 单件重量，则着四件产品的单价即单件重量也可用矩阵表 示为
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2. 矩阵的定义 定义1.1 由m×n个数排成m个行n个列的数表 定义 a11 a12 ⋯ a1n a a22 ⋯ a2n 21 ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 ⋯ amn 叫做m行n列的矩阵 列的矩阵，或称m×n矩阵 矩阵. 行 列的矩阵 矩阵 表示法： ①A、B、C、E；等； ② A m×n， B s ×r 等； ③ A=(aij) 或 A=(aij) m×n等.
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2.3 矩阵与矩阵相乘 1. 对乘加法则
( ai1
ai2
= ai1b j + ai2b2 j +⋯+ aisbsj 1
= ∑ aikbkj = cij .
k= 1 s
b j 1 b 2j ⋯ ais ) ⋮ bsj
称此运算为行矩阵与列矩阵的对乘加法则 对乘加法则. 对乘加法则
29 例2.4 设
第二章 矩阵运算
据全下标换算出单下标。 据单下标换算出全下标。
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“逻辑1”标识
所谓“逻辑1”标识 法是：通过与A同样大小的 逻辑数组L中“逻辑值1”所在的位置，指出A中 元素的位置。 L的元素或是0或是1，它是“逻辑数组(Logical Array)”。是一种特殊的数据类型。 例
（3）定数线性采样法
在设定的“总点数”下，均匀采样生成一维“行”数组。 – 通用格式：x=linspace(a,b,n) [说明]该指令生成（1 ×n）数组，其作用与x=a:(b-a)/(n-1):b同。
–
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一维数组的子数组寻访和赋值
例1：子数组的寻访（Address）。 例2：子数组的赋值（Assign）。
其显示结果是一样的。
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特殊矩阵(P42)
非数NaN “空”数组（空阵） 全 0阵 单位阵 全 1阵 随机阵 其他特殊矩阵（表2-6）
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非数NaN
按IEEE规定，0/0，∞/∞，0×∞等运算都会产生非数 （Not a Number）。该非数在MATLAB中用NaN或 nan记述。 根据IEEE数学规范，NaN具有以下性质：
A.^n
A.^p p.^A A+B A-B
A^n
A^p p^A A+B A-B
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数组运算和矩阵运算指令对照汇总（二）
数 指 令 组 运 含
对应元素相乘 A的元素被B的对应元素除 （一定与上相同） 以自然数e为底，分别以A的 元素为指数，求幂 对A的各元素求对数 对A的各元素求平方根 求A各个元素的函数值。f(.) 表示为上节所列各函数 A、B阵对应元素间的关系 运算。#代表关系运算符
线性代数(行列式新)
b b ba
将第 2,3,,n 列都加到第一列上,得
a n 1 b b b b
a n 1 b a b b
D a n 1 b b a b
a n 1 b b b a
-28-
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
1 b ba
1b bb
ri r1 a (n 1)b
-2-
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
例如：
a22 a23 a2n
M11
a32
a33
a3n
an2 an3 ann n1
A11 (1)11 M11
a21 a23 a2n
M12
a31
a33
a3n
an1 an3 ann n1
A12 (1)12 M12
-26-
推论5 由 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成
矩阵的转置矩阵 A11 A21 An1
A
A12
A22
An2
A1n
A2n
Ann
称为 A 的伴随矩阵。
由行列式展开定理
AA A A A E
伴随矩阵——研究可逆矩阵
-27-
例6 解
a bbb
ba bb计算 n 阶行源自式 D b b a ba11 a1k p11
设为 D1
p11 pkk
ak1 akk pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
b11 b1n q11
0
设为 D2
q11 qnn
bn1 bnn qn1 qnn
大学数学基础(2)mooc-矩阵的秩(2)
数学基础(2)第二章矩阵第六讲矩阵的秩(2)主讲教师王玮副教授抽象矩阵求秩,()()()()A m n P Q m n r A r P A r A Q r P A Q ⨯===结论1：设为矩阵、分别为阶、阶满秩矩阵，则；{},()()()m in (),()A m n B n s r A r B n r A B r A r B ⨯⨯+-≤≤结论2：设为矩阵为矩阵，则；,0()()A m n B n s A B r A r B n ⨯⨯=+≤结论3：设为矩阵为矩阵，若，则；,()()().A m nB m n r A B r A r B ⨯⨯±≤+结论4：设为矩阵为矩阵，则102143()2020103()____.A r AB r A B ⎡⎤⎢⎥⨯==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=例设是矩阵，且，而，则102020100.13BB ==≠-解因为即矩阵满秩()()2r A B r A ==,()()()()A m n P Q m n r A r P A r A Q r P A Q ⨯===结论1：设为矩阵、分别为阶、阶满秩矩阵，则；2故应填【典型例题】11121212221220,0(1,2,,)()_____.nni in n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b i n A r A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==例设，其中，则矩阵的秩[]1212,,nna a Ab b b G Ha ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解()()1r G r H ==，()m in {(),()}1r A r G r H ≤=所以，00(,1,2,,)0() 1.i i a b i j n A r A ≠≠=≠≥由于，，故，所以()1r A =从而1故应填()()m n r A n r B n >≤≤解当时，由秩的定义知，，，{}()m in (),().r A B r A r B n m ≤≤<()A B m r A B m A B <又为阶方程，当时，为降秩阵，3,0.m n A m n B n m C A B C >⨯⨯==例设，为矩阵，为矩阵，证明：0.A B =故24()().A n A E r A E r A E n =++-=例已知为阶矩阵，且满足，证明：22A E-=证一方面，()()[()()]r A E r A E r A E A E ++-≥+--另一方面，,0()()A m n B n s A B r A r B n ⨯⨯=+≤结论3：设为矩阵为矩阵，若，则；,()()().A m nB m n r A B r A r B ⨯⨯±≤+结论4：设为矩阵为矩阵，则(2)r E n ==()().r A E r A E n ∴++-=()()0A E A E ⇒+-=()()r A E r A E n ++-≤得；52_____.A A *例设四阶矩阵的秩为，则其伴随矩阵的秩为0故应填()20r A A =解法一由得的所有三阶代数余子式全为，解法二使用结论4()2()0.n r A r A *===，，则()()1()10()1n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若，若，若0A*=从而，()0.r A *=所以满秩矩阵、非奇异矩阵..A A A 若方阵的秩与其阶数相等，则称为满秩矩阵否则，称矩1阵定为降秩阵义⇔⇔满秩非奇异降秩奇异..A A E A 设为满秩阵，则的标准型为即与单位定矩阵等价理12(i)(ii);(iii)(iv );()m i A A E A A P P P P ≅=以下命题等价：满秩；非奇异；其中推为初等矩阵论..A A A 若方阵的行列式值不为零，则称为非奇异矩阵否则，称矩阵为奇定2异矩阵义数学基础(2)第二章矩阵第六讲矩阵的秩(2)END。
第二章 矩阵运算基础PPT课件
2．矩阵的四种创建方式
（1）直接输入法
最简单的建立矩阵的方法是在命令窗口从 键盘直接输入矩阵的元素。
具体方法如下： ①将矩阵的元素用方括号括起来； ②按矩阵行的顺序输入各元素； ③同一行的各元素之间用空格或逗号分隔； ④不同行的元素之间用分号分隔。
14
例2-3. 在命令窗口创建简单的数值函数。
a.冒号表达式可生成一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 b.在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行 向量。其调用格式为：
linspace(a,b,n) 其中，a和b分别是生成向量的第一个和最后一 个元素，n是元素总数。 显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
②选中某些变量后，单击Open按钮，进入
变量编辑器,可以直接观察或修改变量中的具 8
体元素。
（2）命令窗口输入命令进行操作： ①clear命令用于删除MATLAB工作空间中
的变量。 ②who和whos这两个命令用于显示在
MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单 。
9
2．内存变量文件
MAT文件是MATLAB系统的二进制数据文件，用于保存系 统
③-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文 件将以二进制格式处理。save命令中的-append选项控10 制将变量追加到MAT文件中。
2.1.4 MATLAB数学函数
MATLAB提供了许多数学函数，函数的变量规定为矩阵变
量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算
的结果是一个与自变量同维数的矩阵。
》z=(cos(abs(x+y))-
矩阵基础知识
第二章矩阵本章要点1. 矩阵的概念与运算；2. 分块矩阵；3. 可逆矩阵及性质；4. 矩阵的初等变换；5. 矩阵的秩。
学习目标1．理解矩阵的基本概念；2．掌握矩阵的运算及其基本性质；3. 掌握逆矩阵和矩阵的秩的求法；4. 掌握矩阵的初等变换；5. 会进行矩阵的分块运算。
矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
第一节矩阵的概念与运算一、矩阵的概念矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念,它在自然科学的各个领域和经济管理、经济分析中有着广泛的应用。
来看这样一个简单的实例：例2.1某种物资有3个产地,4个销地,调配量如表2.1所示。
表 2.1那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210402135361或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210402135361 在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由n m ⨯个数或代数式()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==构成的一个m 行n 列的矩形列表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a212222111211称为一个m 行n 列的矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行j 列的元素()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==。
矩阵的元素属于数域F ，称其为数域F 的矩阵。
若无特别说明，本书里的矩阵均指实数域R 上的矩阵。
一般用大写的字母A ，B ，C ,表示矩阵；有时为了突出矩阵的行列规模，也对大写字母右边添加下标，如n m ⨯的矩阵A 可以表为n m A ⨯；还有，要同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式()nm ija ⨯标记。
数值分析(02)线性空间
例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rmn ．
验证：Rmn中任意两个矩阵定义矩阵的“加法”
和“数乘”运算，且封闭
即：A (aij )mn Rmn , B (bij )mn Rmn
加法
A B (aij bij )mn Rmn
数乘
A (aij )mn Rmn , R
数值分析
第二章 矩阵分析基础
第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节 线性空间
一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间
p a0a1x
a2x2a3x3a4x4
b1
q 1
b2
q 2
b3
q 3
b4
q 4
b5
q 5
b b b b b (1 x) 2x2 x3 x4
1
2
3
4
5
b b b 2b b b ( ) x x2 x3 x4
1
2
2
3
4
5
bb21b2 3
b2 a1 a2
a0
b4 a3
解得
bb12
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
矩阵秩与矩阵的等价标准形
3 2 2 它就是矩阵 A 的秩。
规定:零矩阵的秩是零.
1 2 2
r(A) = r(AT)
2 1 3 0 (5) r(A) = r(AT)
每一个元素都是一阶子式.
0 1 3 0 rA2
求和
015
2 1 5
-4-
回答下面问题：
(1) 矩阵的秩是否惟一? 当然惟一 (2) m×n 的矩阵 A , 其秩最大可能是? r(A)≤min(m, n)
第二章 矩阵理论基础
§2.1 矩阵的运算 §2.2 n阶(方阵的)行列式 §2.3 可逆矩阵 §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 §2.5 矩阵分块法 §2.6 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则
-1-
§2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形
主要内容：一、秩的定义； 二、秩的求法； 三、矩阵的等价标准 形 四、一些重要的性质
(其中 P，Q 是可逆矩阵)
注：该定理回答了矩阵标准形
AE0r
0 0
中 r 是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。
于是得到求秩的方法：A行 变 换T(行阶梯形)矩阵 则： r(A)T的台阶数
-7-
例1 (P68 例5) 求矩阵 A 的秩
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
例如 (6) A为 n 可逆矩阵的充要条件是 r(A) =
A 0 2 1 (7) A = O 的充要条件是 r(A) =
2 3
规定:零矩阵的秩是零.
用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形（也称相抵标准形）：
2 0 1 5 (6) A为 n 可逆矩阵的充要条件是 r(A) = (P68 例5) 求矩阵 A 的秩 1 3 2 1 3 2 如果矩阵Ａ中有一个不为零的ｒ阶子式，且所有ｒ＋１阶的子式（如果存在的话）全等于零, 称ｒ为A的秩, 记为r(A)＝ｒ.
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在10的a次方与10的b次方之间产生n个数。 N缺省，默认取50点。 指令产生(1×n)数组。
2.元素的访问与赋值
子数组的访问
访问什么样的子数组，取决于x (index)中
的序号index，index可以是单个正整数或
者是数组，取值必须在[1, end]闭区间内。
子数组的赋值
重新被赋值的数组长度与送入的数据长度
全下标(subscript)与单下标 (index)的转换 (index)与 (subscript )是一一对应的，以m×n 矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。 其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函 数求得。 >> A = [1 2 3; 4 5 6;7 8 9] >> sub2ind(size(A),1,2) >> [i,j]=ind2sub(size(A),3)
Hale Waihona Puke 魔方矩阵 magic (n)
魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每
列及两条对角线上的元素和都相等。对于n
阶魔方阵，其元素由从1开始的，n的平方
个连续的整数组成。MATLAB提供了求魔
方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一
个n阶魔方阵。
范德蒙矩阵 vander (v) 范得蒙矩阵最后一列全为1，倒数第二列为 一个指定的向量，其他各列是其后列与倒 数第二列的点乘积。可以用一个指定向量 生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函 数vander(V)生成以向量V为基础向量的范
托普利兹矩阵 toeplitz (x,y) 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外， 其他每个元素都与左上角的元素相同。生成 托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生 成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹
矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。
toeplitz(x)用向量x生成对称的托普利兹矩
关系运算 MATLAB提供了6种关系运算符：<(小于)、 <=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、 ==(等于)、～=(不等于)。它们的含义不难理 解，但要注意其书写方法与数学中的不等式 符号不尽相同。
关系运算符的运算法则
当两个比较量是标量时，直接比较两数的大 小。若关系成立，关系表达式结果为1，否 则为0。
三、数组计算与矩阵计算
数组运算是指无论在数组上施加什么运算， 总认定该种运算对被运算数组中的每一个元 素平等的实施同样的操作。从外观形状和数 据结构上看，二维数组和数学中的矩阵没有 区别。但是，矩阵作为一种变化或者映射算 子的体现，矩阵的运算有着明确而严格的数 学规则。因此，数组运算和矩阵运算在 MATLAB里面是有区别的。
2.数组运算（点运算） 在MATLAB中，数组运算因为其运算符是 在有关算术运算符前面加点，所以又叫点 运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进
行点运算是指它们的对应元素进行相关运
算，要求两矩阵的维参数相同。
3.逻辑数组 在所有关系表达式和逻辑表达式中，作为输入的 任何非零数都被看做是逻辑真，只有零才被认为 是逻辑假。
最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵
相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
>> A = 1 : 9, B = 10 – A,
>> r1 = (A < 4), r2 = (A = = B)
对二维数组进行一维编号的规则是，把二维数组 的所有列按照先后顺序首尾相连构成一个一维的 数列，然后按照先后顺序对这个一维长列进行一 维编号。
逻辑标识 逻辑标识的基础是逻辑数组，它一般产生 于逻辑运算。
3.二维矩阵的访问与赋值 元素访问 指定行和列访问 x (a, b) 指定行访问 x (a, : ) 指定列访问 x (: , b) 单下标全元素访问 x ( : ) 单下标定点访问 x (a) 逻辑标识访问 x (L) L为逻辑数组
>> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] >> a = length(A) >> b = ndims(A) >> c = numel(A) >> [m,n] = size(A) 下面两条语句等效 >>zeros(size(A))
>>zeros(m,n)
6.特殊计算矩阵
所有关系表达式和逻辑表达式的计算结果，是一 个由0和1组成的逻辑数组，1表示真，0表示假。 用islogical()函数来判断是否为逻辑数组 逻辑数组是数值类的子类。它继承了数值数组的 全部属性，因此完全接受对数值数组进行个各项 操作；同时它表示着事物的判断结果，可以用于 对数组的寻访等特殊用途。
矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和AB实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和 B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减 运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A 与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误 信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。
矩阵乘法
假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，
利用利用小矩阵组成大的矩阵
为了表达简便，大矩阵可由小矩阵或者向
量组合而成。
x1 = [1 2 3; 4 5 6;7 8 9] x2 = [1 2 3] A = [x1, x1; x2, x2] 注意组合过程中各个分块的行列要匹配
2.二维矩阵的标识 全下标标识 指出元素位于第几行第几列。 单下标标识 用一个标识来指出元素在数组中的位置。
矩阵赋值
双下标赋值
单下标赋值 全元素赋值
x (a, b) = c
x (n) = c x(:)=S(:)
>> x = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] >> x(3,2) >> x(3,:) >> x(:,2) >> x(8) >> x(6:10) >> x(8:-1:4) >> x(:) =1:12 >> x(3,2)=1 >> x(8)=1
当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时， 比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系 运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。 最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵 相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵 时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关
系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。
第二章 矩阵基础
MATLAB设计矩阵及其运算的目的
使计算程序简单、易读，使程序指令更接
1.
近于教科书上的数学计算公式。
2.
提高程序的向量化程度，提高计算效率，
节省计算机开销。
一、一维数组/向量
1.数组创建
逐个元素输入法 x = [2, pi/2, sqrt(3), 3+5i] x = [1 2 3 4 5 6]
B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。
矩阵的乘方
一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要
求A为方阵，x为标量。
矩阵除法 在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/， 分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方 阵，则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A 的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等 效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。 对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相 同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又 如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。 对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除 数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算， 一般A\B≠B/A。
输入数组必须用[ ]为输入界限。 数组元素之间必须用逗号或者空格键分隔。
单个元素可以为数值、赋值变量或者表达式。
冒号生成法 冒号用于表示向量、带有下标的数组以及 用来表示循环。这里冒号表示步长设定。 x = a : inc : b
a为数组起点，b为数组终点，inc为步长。 inc可以省略，缺省时默认为1；inc可以为 正也可以为负。
4.特殊二维矩阵建立
全1矩阵 ones (a,b)
对角矩阵 eye (n)，对角全为1的n维方阵
全0矩阵 zeros (a,b)
任意对角矩阵 diag (n)，n为一维数组
随机均匀分布矩阵 rand (a,b)，产生[0 1]之 间均匀分布的随机数组 正态随机分布矩阵 randn (a,b)，产生均值 为0，方差为1的标准正态分布矩阵
要相等 。
>>x = [1 4 12 3 6 4 7 5 8 6] >>a = x(3) >>a = x([1 3 10]) >>a = x(8:end) >>a = x(6:-1:1) >>x(4)=50 >>x(16)=50
二、二维数组/矩阵
1.矩阵创建
逐个元素输入法
x = [1 2 3; 4 5 6;7 8 9]
输入数组必须用[ ]为输入界限。
数组元素之间必须用逗号或者空格键分隔。
单个元素可以为数值、赋值变量或者表达式。
行与行之间用分号或者换行隔离。
利用M文件创建保存数组矩阵 对于需要经常调用的数组，我们可以用一个 M文件来保存它，便于经常调用。 第一步，在文件编辑器中输入数组的内容； 第二步，保存此文件为.M文件； 第三步，在命令窗口运行此文件，该数组就 会产生在工作空间中。