第6讲 分式方程

第6讲 分式方程

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1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程． 2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题． 3．会列分式方程解决实际问题. 中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.

知识梳理

一、分式方程

1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．

2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征：

(1)增根使__________为零；

(2)增根是分式方程化成的__________方程的根．

二、分式方程的基本解法 解分式方程的一般步骤：

(1)去分母，把分式方程转化为__________方程．

(2)解这个整式方程，求得方程的根．

(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．

三、分式方程的实际应用

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；

(2)检验所求的解是否符合实际．

自主测试

1．分式方程32x －4－x x －2＝12

的解为( ) A ．x ＝52 B ．x ＝53 C ．x ＝5 D ．无解 2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是

( )

A ．25

x ＝35x －20 B ．25x －20＝35x

C ．25x ＝35x ＋20

D ．25x ＋20＝35x

3．已知关于x 的分式方程a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是__________．

考点一、分式方程的解法

【例1】解方程：x ＋12x ＝x ＋13

.

分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．

解：原方程两边同乘6x ，得3(x ＋1)＝2x ·(x ＋1)，整理得2x 2－x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝32.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x ＝－1或x ＝32

. 方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．

触类旁通1 解方程：x x ＋2＋x ＋2x －2＝8x 2－4

. 【例2】解方程：x －1x ＋x x －1＝52

. 解：设x －1x ＝y ，则原方程化为y ＋1y ＝52

. 解得y 1＝2，y 2＝12.当y ＝2时，x －1x

＝2，解得x ＝－1； 当y ＝12时，x －1x ＝12

，解得x ＝2. 经检验，x 1＝－1，x 2＝2均符合题意，

所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝2.

方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：

第一种情况是“倒数型”，如2x x －1＋x －1x ＝52，由于x x －1与x －1x 互为倒数，当设x x －1

＝y 时，原方程可化为2y ＋1y ＝52

；第二种情况是“平方型”，如⎝⎛⎭⎫x －1x 2－2⎝⎛⎭⎫x －1x －3＝0，此时设x －1x

＝y ，则原方程可化为y 2－2y －3＝0. 触类旁通2 方程66x ＋3－60x

＝0的根是________． 考点二、分式方程的增根

【例3】分式方程x x －1－1＝m (x －1)(x ＋2)

有增根，则m 的值为( ) A ．0或3 B ．1

C ．1或－2

D ．3

解析：由(x －1)(x ＋2)＝0得增根可能是x ＝1或x ＝－2，把方程两边都乘(x －1)(x ＋2)得x (x ＋2)－(x －1)·(x ＋2)＝m ，当x ＝1时，得m ＝3，当x ＝－2时，得m ＝0，此时方程变

为x x －1

－1＝0，即x ＝x －1，此时方程无解，故m ＝0舍去，∴当m ＝3时，原方程有增根x ＝1.

答案：D

方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．

触类旁通3 若解分式方程mx ＋1x －1

＝－1时产生增根，则m 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1

考点三、分式方程的应用

【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？

解：设该品牌饮料一箱有x 瓶，依题意，得26x －26x ＋3

＝0.6，

化简，得x 2＋3x －130＝0，解得x 1＝－13(不合题意，舍去)，x 2＝10.经检验：x ＝10符合题意．

答：该品牌饮料一箱有10瓶．

方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．

触类旁通4 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．

(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；

(2)若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；

(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？

1．(2012浙江丽水)把分式方程2x ＋4＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( ) A ．x B ．2x

C ．x ＋4

D ．x (x ＋4)

2．(2012四川宜宾)分式方程12x 2－9－2x －3＝1x ＋3

的解为( ) A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－3

3．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返

回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14

，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是( ) A ．40x ＋20＝34×40x

B ．40x ＝34×40x ＋20

C ．40x ＋20＋14＝40x

D ．40x ＝40x ＋20－14 4．(2012四川攀枝花)若分式方程：2＋1－kx x －2＝12－x

有增根，则k ＝__________. 5．(2012广东梅州)解方程：4x 2－1＋x ＋21－x

＝－1. 6．(2012山东临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件．若加工1 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工

所用时间的37

倍．求手工每小时加工产品的数量．

1．解方程x x 2－1＋2(x 2－1)x ＝3时，设x x 2－1

＝y ，则原方程化为y 的整式方程为( ) A ．2y 2－6y ＋1＝0 B ．y 2－3y ＋2＝0

C ．2y 2－3y ＋1＝0

D ．y 2＋2y －3＝0

2．分式方程2x －5x －2＝32－x

的解是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝2

C ．x ＝1

D ．x ＝1或x ＝2

3．若关于x 的方程m －1x －1－x x －1

＝0没有增根，则m 的值不能是( )