知识点例题精讲 第7讲分式方程 解析

2021年中考数学一轮复习----知识点例题精讲第二章方程（组）与不等式（组）第7讲分式方程

【思维框图】

【知识点归纳】

知识点一分式方程及其解法

1.分式方程的有关概念

定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.解分式方程的步骤

3.分式方程的增根

分式方程中使分母为0的根是增根.

【注意】无解和增根是两个不同的概念，无解不一定产生增根，产生增根也不一定无解.

知识点二分式方程的应用

1.用分式方程解实际问题的一般步骤

【注意】双检验：1.检验x是否为分式方程的解；2.检验x是否符合实际意义.

2.常见类型 常见类型 数量关系

行程问题 时间速度

路程= 工程（效率）

问题 工作完成时间工作效率工作总量= 注：有时工作总量可以看做整体“1”，这时，工作效率工作时间

=1 购买（盈利）问题

数量单价总价=，单价数量总价=

【例题精讲】

考点1 分式方程的解法

例1：下列方程中，是分式方程的是（ ）

A ．+＝1

B ．x +＝2

C ．2x ＝x ﹣5

D ．x ﹣4y ＝1

【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A 、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；

B 、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；

C 、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；

D 、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；

故选：B ．

针对训练

1．（2020秋•沙坪坝区校级月考）关于x的一元一次不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的分式方程﹣1＝有整数解，则符合条件的所有整数a个数为（）A．1B．2C．3D．4

【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由方程的解为非负数求出满足题意整数a的值．

【解答】解：一元一次不等式组整理得：，

由不等式组有且只有四个整数解，得到﹣3≤＜﹣2，

解得：﹣2≤a＜2，即整数a＝﹣2，﹣1，0，1，

解方程﹣1＝得：y＝，

∵关于y的分式方程﹣1＝有整数解且≠1，即a≠0，

∴a为﹣2，符合条件的所有整数a个数为1．

故选：A．

2．解分式方程：

（1）+＝；

（2）﹣＝．

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：4+3（x+3）＝7，

解得：x＝﹣2，

经检验x＝﹣2是分式方程的解；

（2）去分母得：2（x+2）﹣4＝x﹣2，

解得：x＝﹣2，

经检验x＝﹣2是增根，

则分式方程无解．

3．解分式方程：﹣＝1﹣．

【分析】根据解分式方程的过程进行计算即可．

【解答】解：去分母得：x﹣1+x+1＝x2﹣1﹣x2，

移项，合并同类项得2x＝﹣1，

系数化为1得x＝﹣，

检验：把x＝﹣代入x2﹣1≠0，

所以原方程的解为x＝﹣．

考点2 分式方程的增根

例2：若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）

A．4B．3C．2D．1

【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．

【解答】解：，

方程两边都乘（x﹣1）得2m﹣1﹣7x＝5（x﹣1），

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣1＝0，

解得x＝1，

当x＝1时，2m﹣1﹣7＝0，

解得m＝4．

故选：A．

针对训练

1．方程﹣＝增根为（）

A．1B．±1C．﹣1D．0

【分析】先把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．

【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：12﹣6（x+1）＝x﹣1，

解得：x＝1，

经检验x＝1不是原方程的根，是原方程的增根，

故选：A．

考点3 分式方程的应用

例4：某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（）

A．197元B．198元C．199元D．200元

【分析】设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据“花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数”列方程即可．

【解答】解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据题意列方程得：

＝，

解得：x＝200

经检验：x＝200是原方程的解，

故选：D．

针对训练

1．某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）

A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务

C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．

【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，

∵所列分式方程为﹣＝30，

∴为实际工作时间，为原计划工作时间，

∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．

故选：C．

2．某校组织八年级学生外出去博物馆参观，一部分学生步行，一部分学生骑车．已知骑车的路程是12km．而步行路程是骑车路程的．若骑车的速度是步行学生速度的2倍，且骑车时间比步行所需时间少用20分钟，求骑车的平均速度．

【分析】设步行学生的速度是x千米/小时，则骑车的平均速度是2x千米/小时，由题意列出分式方程，解方程进而得出结论．

【解答】解：设步行学生的速度是x千米/小时，则骑车的平均速度是2x千米/小时，12×＝8，

依题意得：﹣＝，

解得：x＝6，

经检验：x＝6是所列方程的解，且符合题意，