概率论与数理统计第二章补充题与答案

《概率论与数理统计》第二单元补充题

一、 填空题：

1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是

12），）

2、随机变量X 的分布律为5

110

32

12

10

P

X ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________

3、设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k

，则随机变量X

Y 2sin π

=的分布律为

4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= .

5、设随机变量X 的概率密度函数为

，

则P (0

6、随机变量)3

1

,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=

7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5

a P X k k ==

=，（， 则a =

，(2.5)F =

8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1

133

P X <<=

，则b =

9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==

，

{}1P X ≤=

二、选择题：

1、下列命题正确的是 。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数

2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使

12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________

（ A ） 32,55a b =

=- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13

,22

a b =-=-

三、计算题

1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为c

c c c 167

,

85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.

2、已知ξ~⎩

⎨⎧<<=其它01

02)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).

3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤<=1

11000

)(2

x x Ax

x x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).

4、设随机变量X 的密度函数⎩

⎨

⎧<<=其他01

02)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察

中事件}2

1

{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.

5、已知离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,32

}{==

=n n X P n

，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.

6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2

x

X f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。

（2）、已知随机变量X 的分布函数为(),X F x 另有随机变量

1,0,

1,

X Y >⎧=⎨

-≤⎩X 0。

试求Y 的分布律和分布函数。

7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。记Y 表示二人投篮的总次数。（1）求Y 的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？

8、假设随机变量X 的绝对值不大于1，81}1{=

-=X P ；4

1

}1{==X P ；在事件“|X |<1”发生的条件下，X 在（-1，1）任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X 的分布函数.

9.一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效

的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？

四、问答题

1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？

2、随机变量的分布函数有什么意义？

3、连续型随机变量的dx x f )(与离散型随机变量的k p 在概率中的意义是否相同？

4、为什么0}{==a X P 不能说明X =a 是不可能事件？

5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？

《概率论与数理统计》第二单元补充题参考答案

一、填空题：

1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是

（1）,0)(≥x f （2）

.1)(⎰

∞

∞

-=dx x f

2、随机变量X 的分布律为

5110

3212

10P

X

，则2X 的分布律为5

11032141

02P

X ,2X +1的分布律为5

110

3215311

2P

X + 3、设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,2

1}{===k k X P k

，则随机变量X Y 2sin π

=的分布律为15

8311521

01p

Y

-

4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= 0.5 .

5、设随机变量X 的概率密度函数为

，

则P (0

6、随机变量)31,10(~b X ，则10

32)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，.321)1(10

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=≥X P 7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5

a

P X k k ==

=，（， 则1

=

a ，5

2

)5.2(=F

8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1

133

P X <<=

，则2

36b 或

=

9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则,e 2)1(-2

=

=X P ，

,e 3)1(-2

=

≤X P

二、选择题：

1、下列命题正确的是 C 。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数

2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使

12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是__A______