勾股定理复习导学案

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勾股定理复习课导学案(1)

通辽四中导学案班级：姓名：导学案编号：课题第17章勾股定理复习课授课教师课型新授课主备审核学习目标1.思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程2.体会出入相补思想、数形结合思想、方程思想、转化思想在解决数学问题中的作用.导学过程一、单元导入，明确目标二、自学指导，合作探究：1.在Rt △ABC 中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的为．2.在Rt △ABC 中，已知a=1，b=3，则第三边c 的长为．3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17； ④4，5，6．其中能构成直角三角形的有．4. 命题“对顶角相等”的逆命题是______________________________________，这个是______________命题(选填真或假)．5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当他把绳子的下端后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高（）．A ．8 mB ．10 mC ．12 mD ．14 m6.如图K17－16－2，数轴上的点A 表示的数是－1，点B 表示的数是1，CB⊥AB 于点B ，且勾股定理直角三角形边长的数量关系勾股定理的逆定理直角三角形的判定互逆定理BC ＝2，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为__________.（6题）（7题）（8题） 7. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______． 8. 如下图所示的一块地，AB ＝3，CB ＝4，∠ABC＝90°，CD ＝13，AD ＝12.则这块地的面积．9. 如下图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕AG 的长为10.已知a,b,c 满足0)11(3522=-+-+-c b a ，则a= ，b= ，c= 以a ，b ，c 为边的三角形为三角形三、大组汇报，教师点拨：1. 如图K17－16－4，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝4 ，∠A ＝90°，∠CBD ＝30°， ∠C ＝45°，求BD 及BC 的长l321S 4S 3S 2S 12. 如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE= 41BC ．你能说明∠AFE 是直角吗？通辽四中达标检测题1. 如图K17－16－3，每个小正方形的边长为1.(1)直接写出四边形ABCD 的面积和周长；(2)求证：∠BCD ＝90°.FE D CBA2.如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为AD 边中点，求EP+DP 最小值。

勾股定理的复习导学案

首先利用勾股定理求出AB的长度。然后利用线段的性质求出AD的长度。最后利用相似三角形的性质求出AE的长度。
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答案
BC=3
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即，AC²+BC²=AB²。代入已知值， 4²+BC²=5²，所以BC=3。
进阶练习题
题目
在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√5，BC=2√5，则 AB的长度为多少？
答案
AB=3√5
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即，AC²+BC²=AB²。代入已知值， (√5)²+(2√5)²=5+20=25，所以AB=3√5。
通过勾股定理可以推导出直角三角形的面积公式为$frac{1}{2}ab$，其中a和b 为直角边。
勾股定理与相似三角形的关系
勾股定理与相似三角形之间存在一定的联系。如果两个直角三角形相似，那么它们的对应边长比例满足勾股定理。
勾股定理与三角函数的关系
勾股定理与三角函数之间存在密切的联系。
在直角三角形中，三角函数（如正弦、余弦、正切）可以用于描述角度和边长之间的关系。
误解二
只有当直角三角形中两条直角边分别为3和4时，斜边才为5。实际上，勾股定理适用于任意直角三角形，只要满足勾股定理的条件即可。
勾股定理应用中的单位问题
单位不统一
在应用勾股定理时，必须确保涉及的所有边长单位统一，否则会导致计算错误。
忽视单位换算
在涉及不同单位时，需要正确进行单位换算，以确保计算结果的准确性。
确保给定的三边满足勾股定理的条件，避免误解。

勾股定理复习课导学案

（4）分别以下列四组数为一个三角形的边长：3、4、5；5、12、13；8、15、17；4、5、6，其中能够成直角三角形的有
（5）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）
A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c)D．a:b:c=13∶5∶12
3．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不能
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=；
（2）b=8，c=17，则 =
6．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段长的平方为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
7.在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________
8．等腰三角形的周长是16cm,底边长是6cm,则底边上的高是____________
12.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，
则该地毯的长度至少是米。
问
题
序
列
Ⅲ
归纳总结：写下今天的收获
1、知识点：
2、规律点：
作业
1、完成学案2、练习册
课后
反思
(3)、满足的三个正整数，称为勾股数。例如：。
2.点对点应用训练
（1）在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长的平方为______．
（2）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是______________．

初中八年级数学《勾股定理》复习导学案设计

第十七章勾股定理学习目标：1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构；2．思考勾股定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用.学习重点：勾股定理的应用．教学过程：复习勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.一. 基础知识运用第一组练习: 勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a，斜边为b，则另一直角边c满足c2 = .【思考】为什么不是c²=a²+b²？2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3.求AB、BC的长。

（二）知一边及另两边关系型如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ， AB＝x ，AC=8-x，则AB= ,AC= .（三）分类讨论的题型1. 对三角形边的分类.已知一个直角三角形的两条边长是 3 cm和 4 cm，第三条边的长是．注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．2. 对三角形高的分类.已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求S△ABC．【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论.思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？第二组练习: 用勾股定理解决简单的实际问题1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对2. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？二、努力提高：会用勾股定理解决较综合的问题。

勾股定理导学案(同名13074)

第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理（1）学习目标：1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。

2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。

学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。

猜想：三、合作探究：：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？AB CACB 图1-1图1-2ABCACB图1-3图1-4问题1、你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？问题2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。

问题3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。

问题（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°，则：；若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为：。

四、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积如图示:A 代表的正方形面积为它的边长为B 代表的正方形面积为它的边长为64225AB169144AB蚂蚁沿图中所示的折线由A 点爬到B 点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长1、2、2、求出下列各图中x 的值。

初中数学八年级下册17.1勾股定理复习导学案

BCA 30° 17.1勾股定理复习姓名学习目标：掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

一．勾股定理1．求出下列图形中x 的值。

归纳：上题得以解决运用的定理是___________,具体内容是：；2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．3．某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为．4．现有一长5米的梯子，架靠在建筑物上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米，若梯子沿建筑物竖直下滑1米，则建筑物底部与梯子底部在地面的距离是__________米。

5.若一个三角形的三边长为6,8,x,求使此三角形是直角三角形的x 的值。

6.已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；C BA DEF ②ΔABC 的面积．7.三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC 的长8．在数轴上作出表示10的点．9．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时FC 有多长？EC 有多长？二．勾股定理逆定理 10．判断由下列线段组成的三角形是不是直角三角形：（若是直角三角形，并指出斜边）（1）6，8，11； (2)a=1.5，b=2，c=2.5；（3）8，40，41．归纳：上题得以解决运用的定理是___________,具体内容是：；11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，试说明网格上的△ABC 是什么三角形？12．如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标．现测得AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，CD ＝12cm ，AD ＝13cm ，∠ABC=90°．根据这些条件，能否知道∠ACD等于90°？C D B C D B归纳：上题得以解决运用的定理有__________ ____ ____,这两个定理的题设和结论正好__ __，二者是__ __关系；。

勾股定理复习导学案 2022-2023学年七年级上册数学

七年级数学导学案第___周第___课时课题勾股定理复习课型级部审核主备人学生姓名备课组审核七年级备课组新授教师寄语做好自己，才能成就自己。

学习目标会用勾股定理及其逆定理解决较综合的问题1. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A ．32B ．40C ．48D ．602. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A ．B ．53:4:::=c b aC ．∠C=∠A-∠BD ．∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶153．下列各命题的逆命题成立的是（）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等4. 三角形三边长分别为6，8，10，那么最短边上的高为（）A ．4B ．8C ．6D ．55. 如图：有一圆柱，它的高等于cm 8，底面直径等于cm 4（3=π），在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A ．10cmB ．12cmC ．19cmD ．20cm 6. 在△ABC 中，∠C=，D 点在BC 边上，且BD=，∠ADC=，△ABD 与△ADC 面积相等，则AB 长为_______。

7.如图，高为4米的A 树与高为1米的B 树相距4米，一只小鸟从A 树树梢飞到B 树树梢，至少需飞________米。

8. 如果三角形的三边长为7、24、25，那么它的面积是_______。

9. 等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为____________。

10. 已知△ABC 的三边长BC=41，AC=40，AB=9，则△ABC 为__________三角 B A形，__________是最大的角，最大角是__________°11．已知两条线段的长为5和12,当第三条线段的长为时,这三条线段能组成一个直角三角形。

人教初中数学《勾股定理》导学案(打印版)

17.1勾股定理学习目标知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

能力：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

情感：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

学习重点:1. 勾股定理的内容及证明。

学习难点:1. 勾股定理的证明。

教学流程【导课】目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？【阅读质疑自主探究】例1已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

勾股定理复习导学案

勾股定理复习导学案一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么。

２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，无重叠、空隙，面积不改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列等式，推导出定理常见方法如下：方法一：4E F G H S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可得：。

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和=大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+大正方形面积为S= ，所以222a b c +=。

方法三：S梯形= ，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证。

３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是三角形。

４.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，主要求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-5、利用勾股定理作长为的线段例如：作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：如图所示6.勾股定理的逆定理①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 7.勾股数:①记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ②用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n为正整数），2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）题型一：直接考查勾股定理例１.在A B C ∆中，90C ∠=︒．⑴ 已知6AC =，8B C =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15A C =，求BC 的长解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在A B C ∆中，90AC B ∠=︒，5A B =cm ，3B C =cm ，C D AB ⊥于D ，C D ＝⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图A B C ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5C D =， 2.5BD =，求A C 的长例4.如图R t A B C ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BACcba HG F EDCB Abacba ccabcab a bcc baE D CBA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8A B =m ，2C D =m ，8B C =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6A E =m ，8D E =m 在R t A D E ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE=+=题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定A B C ∆是否为R t ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知A B C ∆中，13AB =cm ，10B C =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：A B A C = 证明：填空：1．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2，10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．2．如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝60c m ，CA ＝80c m ，一只蜗牛从C 点出发，以每分钟20c m 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，需要分钟的时间．3．已知x 、y 为正数，且｜x 2-4｜+(y 2-16)2＝0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为．4．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙米处．5．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为和．（注：两直角边长均为整数） 6、如果正方形ABCD 的面积为29，则对角线AC 的长度为（）选择：1．下列各组数为勾股数的是（） A ．6，12，13B ．3，4，7C ．4，7.5，8.5D ．8，15，162．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5，顶端离地面12，则梯子的长度为（）A ．12B ．13C ．14D ．15 3．直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为（） A ．10cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍5．下列说法中，不正确的是（）A ．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B ．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C ．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D ．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a +b )2=c 2+2ab ，则这个三角形是（） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（）A ．3B ．4C ．12D ．13解答：四边形ABCD 中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4， ∠BAD=900，求这个四边形的面积．D CBA勾股定理练习姓名一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。

勾股定理及逆定理复习导学案

勾股定理及逆定理复习（1）(导学案)一、复习目标1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构。

2．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会数形结合，分类讨论，方程思想，转化化归，由特殊到一般，数学建模思想在解决数学问题中的作用。

3、在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。

重点：勾股定理及逆定理的应用难点：灵活应用勾股定理及逆定理二、学案引导、自主学习（一）本章知识结构图（二）本章相关知识 1. 勾股定理及逆定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么。

A直角三角形 a 2+b 2=c 2(数) （形）B C公式的变形：（1）c 2= , c= ;（2）a 2= , a= ; （3）b 2= , b= ;（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是． Aa 2+b 2=c 2(数) 直角三角形（形）2、勾股数 B C满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

实际问题（直角三角形边长计算）勾股定理的逆定理勾股定理实际问题（判定直角三角形）3、勾股定理的验证 4.互逆命题和互逆定理5、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）三、合作探究、交流展示考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做 cm .2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（提示：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch) 考点2：勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想）1、如图，将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD 折叠使C 点与A 点重合，则EB 的长是（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、52、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，试求CD 的长。

第十七章_勾股定理及全章复习导学案.

17.1 勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。

重点：勾股定理的内容及证明。

难点：勾股定理的证明。

学习过程：一. 预习新知（阅读教材第22至24页，并完成预习内容。

） 1、正方形A 、B 、C 的面积有什么数量关系？2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？3、归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。

(1那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？(2组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。

(3通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？(4对于更一般的情形将如何验证呢？二. 课堂展示方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S 正方形＝_______________＝____________________方法二；已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即化简可得。

方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD≌ Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º. ∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c 2. 又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________归纳：勾股定理的具体内容是。

《勾股定理的复习》导学案

《勾股定理的复习》导学案姓名：学习目标：掌握两个定理的内容并会用。

教学过程：一、理清知识，初步掌握勾股定理在Rt △ABC 中，∠C=900,则有 2+ 2= 2勾股定理的逆定理：若 2+ 2= 2，则此三角形是Rt △。

二、运用面积思想，加深理解二、勾股定理的证明c ca ab bc c aa bb b ac Ｃａｂcc aabb （一）（二）（三）证明：∵S 正方形=（从整体看正方形的面积）又∵S 正方形=（从分割组合来表示正方形的面积）∴ =因此，a 2+b 2=c 2图二：（下去后自己证明）图三：证明：三、运用定理，尝试成功（一）直接运用勾股定理求边1.已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，若a=3, b=4, 求c 的值。

解：在Rt △ 中，∠ =90°，由勾股定理得：C= 答：c= 。

检查题：变式练习:1. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，其对边为c ，若40,9a b ==，则c =. 2．已知直角三角形的三边长分别为3、4、x ，则x 的值是（） D.无法确定 3、阴影部分是一个正方形，则正方形的面积为。

4、已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，若c-a=2, b=6，求c 的值（二）先构造Rt △，再运用勾股定理如图，求△ABC 的面积（三）、直接运用勾股定理的逆定理已知在△ABC 中， AC ＝10cm ，BC ＝24cm ，AB ＝26cm ，试说明△ABC 是直角三角形。

证明：：∵AC 2+ BC 2= 2+ 2=而AB 2= 2= ∴ 2+ 2= 2 故△ABC 是直角三角形（四）、勾股定理的综合运用 1、四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm且∠A=90°，∠CBD=550,求∠C 的度数。

解：变式练习：如图，在四边形ABCD 中，∠B=900，AB=BC=4,CD=6,AD=2，求：四边形ABCD 的面积。

勾股定理复习导学案

b B八年级数学复习：勾股定理复习目标：能综合利用勾股定理及其逆定理进行实际问题的计算和证明。

一、知识回顾1、如图，∠ACB=90º222a b c +=2、原命题与逆命题。

3、勾股定理的几种常见证明方法。

（P24，P30）二、例题选讲1、如图所示，甲船以16海里/时的速度离开港口, 向东南航行, 乙船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口一个半小时后分别到达B ，A 两点，且知AB=30海里。

问乙船每小时航行多少海里？2、P2910、13、143、如图所示，南北向PQ 为我国的领海线，PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚10点28分，我边防反偷渡巡逻艇101号在A 处发现其正西方向有一可疑船只C 向我领海靠近，便立即通知正在PQ 上B 处巡逻的102号巡逻艇注意其动向，经观测发现A 艇与可疑船只C 之间的距离为10海里，A 、B 两艇之间的距离为6海里，B 艇与可疑船只C 之间的距离为8海里，若该可疑船只的速度为12.8海里/时，问该可疑船只最早在何时进入我领海？勾股定理逆定理勾股定理E 4、如图所示，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙壁上时，梯子的顶端在D 点，已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，D 到地面的垂直距离DE=B 到地面的垂直距离BC 。

5、如图所示，正方形ABCD 的边长为16米，现在B 、C 两点处有E 、F 两动点，点E 是以2米/秒的速度由B 向A 运动，F 点同时以4米/秒的速度由C 向B 运动。

（1）运动多少秒后，△BEF 为等腰直角三角形？此时你能求出△DEF 的面积吗？（2）运动2秒后，试问DF 与EF 的位置关系如何？此时你能求出△DEF 的面积吗？二、练习题1、如图直角形ABC 的面积为S ，在AB 的同侧，分别以三边为直径作三个半圆，阴影部分的面积为2、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是尺。

勾股定理复习课导学案

勾股定理复习学案一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：;____________________________________________________________________________也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么_____________________________。

公式的变形：a 2 = _________， b 2= ____________ 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足______________，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

常用的勾股数组有:______________________________________________________________________ 注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

二、知识点剖析知识点一：在三角形中，已知两边求第三边长，或求各边上的高。

练习：1..已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．2.已知等腰三角形等腰中，，若，求各边上的高.知识点二：构造直角三角形解决有关问题例、如图，在棱长为1的正方体ABCD —A ’B ’C ’D ’的表面上，求蚂蚁从顶点A 爬到顶点C ’的最短距离．对应练习：如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行cmAB知识点三：利用方程思想解决有关问题例：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。

.对应练习：如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF 。