用二分法求方程的近似解(1) 必修一教案30
高中数学3.1.2用二分法求方程近似解教学设计新人教A版必修1
《用二分法求方程的近似解》教学设计一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。
知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。
过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。
二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想四．教学准备（前置作业）五．教学过程精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
高一《用二分法求方程的近似解》数学教案
高一《用二分法求方程的近似解》数学教案高一《用二分法求方程的近似解》数学教案通过本节课的学习，使学生在知识上学会用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的绘制新函数功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作。
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教学目标知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.教材分析本节课注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点的步骤中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在阅读与思考中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.教学媒体分析多媒体微机室、Author）.2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证0，给定精确度；（2）求区间，的中点；（3）计算：1若=，则就是函数的零点；2若0，则令=（此时零点）；3若0，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精确度；即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4.结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由，便可判断零点的近似值为（或）?师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤.师：分析条件0、精确度、区间中点及的意义.生：结合求函数在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理.AuthorA2+2*A2-6，得到与A2相应的函数值.第八步:然后双击（或拖动）B2的填充柄，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间（2.5，3）内.第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A7、B7、C7，把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动填充柄到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击（或拖动）B8的填充柄，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间（2.5，2.75）内.Microsoft Excel软件环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用结论：借助信息技术求方程近似解（函数零点）的步骤如下：1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间；2.利用然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.生：观察所得函数值，并且精确度为0.00781250.01，所以零点在区间（2.53125 ，2.5390625）内，*=2.53125可以为函数的零点.生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论.Microsoft Excel软件例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度0.1）解：（略）. 打开几何画板打开Excel尝试练习：1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数的零点（精确度0.1）2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似值（精确度0.01）师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析.Authorternet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识.3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识?将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学文化方面的熏陶；充分地利用学校资源进行后续学习和交流.Authorware7.02课件展示。
2019-2020年高中数学用二分法求方程的近似解教案1(I)新课标人教版必修1(A)
2019-2020年高中数学用二分法求方程的近似解教案1(I)新课标人教版必修1(A)教学目的：引导学生探究发现求一元方程近似解的常用方法，鼓励学生能够应用二分法来解决有关问题，在教学过程中注重培养学生探究问题的能力，让学生能够初步理解算法思想。
教学过程：一、提出问题能否求解方程式 lgx=3-x ;x2-2x-1=0,x3+3x-1=0; 能否解出这个方程的近似解？（创设问题情景，激发学生探究热情）二、探究解法不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）？（探究离不开问题，问题式教学有赖于教师对问题情景的创设，以及对问题的呈现方式）让学生先自行探求，并进行组织交流。
（倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性。
）（2）师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(x)<0,f(3)>0,可得出根所在区间为(2,3)。
（3）引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间（4）共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，将有助于问题的解法。
（5）用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解。
2．让学生简述上述求方程近似解的过程，（通过自己的语言表达，有助于学生对概念、方法的理解）3．揭示二分法定义三、自行探究问题：利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解（精确到0.1）（本例鼓励学生自行尝试，即能否利用二分法来求解本例，此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化。
要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，感受数学学习的乐趣。
）四、归纳总结在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上，引导学生归纳二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤：寻找解所在区间图像法函数状态法不断二分解所在的区间根据精确度得出近似解（通过归纳总结，能够完善学生的认知结构）五、知识拓展介绍如何利用excel来帮助研究方程的近似解？（教师现场示范，既体现了信息技术与数学课程的有效整合，也有助于学生认识数学的本质）六、思考题从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？（此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识）七、课堂小结1．引导学生回顾二分法，明确它是一种求一元方程近似解的通法。
《用二分法求方程的近似解》教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。
它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。
二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。
在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。
这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。
通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。
在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。
通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。
1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。
特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。
我们需要借助数值计算方法来求得近似解。
二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。
掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。
本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。
1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。
通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。
通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。
本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。
通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
人教版数学高中必修一《用二分法求方程的近似解》教案
1.注重引导学生对问题作出合理、高效的自主探究、合作探究.
2.应该大胆放手让学生去感受每一个知识点的形成过程.
合作探究教学模式
天平称、激光笔、三角板
教学过程
教师活动及主要语言
学生活动
设计意图
情景问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医
生正在抢救一个危重病人，忽然电停了.据了解原 因是供电站到医院的某处线路出现了故障.这是一 条 10km 长的线路，每 50 米一根电线杆,假设你是 线路维修工人，如何迅速查出故障所在？
零点的大概范围，得到结果（注意：结果的得到
始终要关注零点的存在性定理）：
函数 有且只有一个零点x0 , x0 (2, 3)
问题 3：你有进一步缩小函数零点的范围的方 认真思考问题 3，
法吗？
通过小组讨论，初
引导学生用处理线路的方法来缩小零点的范围， 要用好课件的动画效果，充分展现把函数零点所 在区间一分为二，使区间的两个端点不断逼近零 点的这一过程，并合理引导学生根据课件的动画 过程自己把二分法的定义归纳出来.
CD 段. 5.再到 CD 中点 E 来看. 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩
减一半,算一算，要把故障可能发生的范围缩小到
学生对情景问题 分组讨论，发表个 人意见，形成小组 方案，小组代表发 言，最终形成解决 实际问题的班级 方案. 认真听取老师的 对方案的总结，和 老师一起感受“对 半分”的思想.
呢？
问题 1 的设计遵循 了从易到难的规 律，符合学生的学 习认知规律，学生 很轻松的解决第 一个方程，而通过 第二个方程引起 学生的认知冲突， 激起学生进一步 探究的欲望.
新
引导学生复习旧知识：
观察课件，伴随老
1、函数的零点与相应方程的根的关系？
3.1.2_用二分法求方程的近似解_教案1 人教A版数学必修1
《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，在教学过程要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步。
二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．三、设计思想倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.四、教学目标知识与技能目标：（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法。
（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
过程与方法目标：（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。
（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。
情感态度与价值观目标：（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。
（2）在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。
五、教学重、难点：重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。
难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。
六、教学过程设计（一）设置情景，导入新课问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．（二）引导探究，获得新知问题2：假设电话线故障点大概在函数()ln26=+-的零点位置，请同学f x x x们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？我们已经知道，函数()ln26ff x x x=+-在区间（2，3）内有零点，且(2)＜0，(3)f＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间(,)a b的中点的方法合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f≈-<.由(3)f f⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。
《利用二分法求方程的近似解》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《利用二分法求方程的近似解》教学设计1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．2.体会函数在解方程中的作用．重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握．一、情境导入情境：怎样工作最合理？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长10 km 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？首先从整条线路AB 的中点C 查起，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再查CD 中点E …每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m 左右，即两根电线杆附近，要查多少次？答案：只要8次就够了．设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．二、新知探究问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如ln x +2x −6=0，那么如何确定方程ln x +2x −6=0的解呢？设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．方程ln x +2x −6=0一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？答案：方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点．所以，函数y =f (x )的零点就是y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，即方程f (x )=0的◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程实数解．若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)•f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解．追问2：能否找出方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间呢？答案：设f(x)=ln x+2x−6，容易得出f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，结合零点存在定理，可知f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，即方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间为(2，3)．追问3：我们已经知道， ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）设x̂是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0−x̂|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．追问4：如果要获得精确度为0.5的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？答案：已知ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，即函数f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，又f(2.5)= ln2.5−1<0，f(3)=ln3>0，则f(2.5)f(3)<0．根据函数零点存在定理可知，函数f(x)= ln x+2x−6在区间(2.5，3)内存在零点，即ln x+2x−6=0在区间(2.5，3)内存在实数解，区间长度为0.5，因此，区间[2.5，3]内任意一个数都是满足精确度的近似解．追问5：如果要获得精确度为0.01的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？答案：当精确度为0.01时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到0.01．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．追问6：给定精确度ε，为什么当|a－b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x0与其准确值x̂的接近程度．近似值x0的误差不超过某个数ε，即|x0−x̂|<ε，就说它的精确度是ε．所以当|a－b|<ε时，x̂所在的区间[a，b]中任意一个值x0与x̂的误差都不超过|a－b|，当然也就不超过ε．区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值．追问8：你给出ln x+2x−6=0的精确度为0.01的近似解吗？答案：由|2.53125－2.5390625|=0.0078125<0.01知，区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为解的近似值．如：取x=2.532作为函数f(x)=ln x+2x−6零点的近似值，也即方程ln x+2x−6=0的近似解．问题2 上面这种求方程ln x+2x−6=0的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数f(x)=ln x+2x−6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．取区间(a，b)的中点a+b2，若f(a+b2)·f(b)<0，则区间(a+b2，b)内有方程的解．再取区间(a+b2，b)的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f(x0)异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解．像这样，对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．追问：你能提炼出给定精确度ε，用二分法求方程f(x)=0的近似解x0的一般步骤吗？答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．若方程f(x)=0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．三、应用举例例1:求方程2x3+3x−3=0的一个近似解．（精确度为0.01）解：考察函数f(x)=2x3+3x−3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．经试算，f(0)=−3<0，f(1)=2>0．所以方程f(x)=0在区间(0，1)内有解．取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)=−1.25<0，所以方程f(x)=0在区间(0.5，1)内有解．如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间，如下表：至此，可以看出，区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74 就是方程2x3+3x−3=0精确度为0.01的一个近似解．四、课堂练习1．思考辨析(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．()(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b−a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．()2．用二分法求函数f(x)=3x−7的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)3．若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.5参考答案：1.(1)只有当函数图象在区间[a，b]是连续的曲线，且与x轴有交点时（即f(a)·f(b)<0），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2)使用二分法时，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．2.解：f(−1)=3−1−7=13−7=−203<0，f(0)=30−7=1−7=−6<0，f(1)=31−7=−4<0，f(2)=32−7=9−7=2>0，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)．选C．3.解：根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，又|1.437 5－1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.40625，故选C．五、课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0．上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．六、布置作业教材第132页练习第1题．。
用二分法求方程的近似解教案
用二分法求方程的近似解教案教案：用二分法求方程的近似解一、教学目标：1.理解二分法的基本原理。
2.掌握二分法在求解方程中的应用方法。
3.能够运用二分法求解方程的近似解。
二、教学准备：1.教师准备：（1）多个方程，例如x^2 - 2 = 0，x^3 - 5x + 3 = 0等，以便学生进行求解练习。
（2）计算器或电脑，帮助学生验证最终的近似解是否正确。
2.学生准备：（1）理解二分法的基本概念。
（2）掌握求解一元方程的基本方法。
三、教学过程：步骤一：导入1.引入二分法的概念：二分法是一种在有序数列中寻找特定元素的搜索算法，它通过将问题分为两个子问题，并逐渐缩小搜索范围，最终找到目标元素或近似解。
2.提问：你对二分法有什么了解？步骤二：讲解二分法的基本原理1.展示二分法示意图，并解释其基本原理。
例如：对于一个有序数列，假设我们想找到该数列中值为x的元素，我们可以先求出数列的中间值mid，然后根据mid与x的比较结果，将搜索范围减半，再在剩余部分中执行同样的步骤，直到找到x或搜索范围足够小。
2.举例说明：假设要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为3的元素，首先计算中间值mid = 3，因为mid与目标值相等，所以找到了3这个元素。
若要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为6的元素，计算中间值mid = 3，因为mid小于6，所以在数列4, 5中继续查找，计算中间值mid = 4，最终找到值为6的元素。
步骤三：应用二分法求解方程1.提问：我们可以将二分法用于求解方程吗？2.解释：是的，我们可以将要求解的方程转化为一个函数的零点问题。
例如：对于方程f(x) = x^3 - 5x + 3 = 0，我们可以尝试寻找函数的零点，即找到f(x) = 0的解。
3.讲解求解步骤：（1）根据给定方程确定搜索区间[a, b]，确保f(a)和f(b)异号，否则不能保证方程在[a, b]范围内有解。
（2）计算中间值mid = (a + b) / 2，并计算f(mid)。
“用二分法求方程的近似解”教案
“用二分法求方程的近似解”教案一、教学目标1．让学生掌握二分法，并能利用计算器或计算机用二分法求方程的近似解；2．培养和加强函数与方程思想和数形结合思想的运用．二、教学重点通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数的观点处理问题的意识．三、教学难点１．理解方程实根的本质及几何意义；２．对方程近似解精确度的把握．四、教具以几何画板课件为主．五、教学过程１．问题情境（旨在引导学生感知寻求新方法解方程之必要性——为什么）【问题１】求方程323310x x x -+-=的实根．【解析】由配方可得3(1)0x -=，所以1x =．【问题２】解方程321109140x x x ++-=...．教师：方程左边无法配方，所以我们暂时还无法解此方程．以前数学家也有像解一元二次方程那样去寻找一元三次方程的求根公式，但因其推导过程比较复杂且公式不易记忆，所以中学课本 图1一般都不作介绍．当然，我们现在可以利用几何画板来求解．在几何画板上绘出函数321109140x x x ++-=...的图象，在图象上选取一个点并度量其横坐标以及纵坐标．当移动该点时，函数值就会相应地改变．当函数值为0或接近0时，这个横坐标的值（0.67066）就是此方程的（近似）解（见图1）．学生：这方法简单，又易操作，很好！教师：此法虽简单，但其精度无法估算．能否寻找一种比较通用的、特别是可以利用程序让计算机自动求解的其它方法呢？【问题３】孔子（前551－前479），名丘，字仲尼，鲁国人．中国春秋末期伟大的思想家和教育家，儒家学派的创始人．全世界300万姓孔的人都可能被认为是孔子的后代．孔子的族人传承2550年至今，已繁衍有82代．假设三代同堂的话，那么一个父母每个世代平均繁衍的数量是多少？【解析】设一个父母每代平均繁衍的数量为x 个，则7980813000000x x x ++=．此方程现在我们也无法解．类似地，我们用几何画板先绘出函数798081y x x x =++的图 图2象，然后利用度量功能，估算出当函数值等于或接近3000000时方程的近似解 1.18836x ≈（见图2）．由于指数太大，曲线几乎是垂直上升，所以操作起来很不方便．为了使移动点更方便些，也可把点选在x 轴上，而不是在曲线上，然后再计算其函数值．一般地，高于4次的一元高次方程就不再有求根公式可寻了，（有兴趣的学生可以自己去阅读有关高次方程解的书籍或上网查找相关的网页）这就更加使得寻找一种新的求解方程方法的必要．（利用二分法解此方程，可得 1.1883x ≈个）２．新课引入（旨在引导学生怎样寻求一种恰当的方法——怎么样）【问题１】人们常说“天下乌鸦一般黑”，如果有人对此有怀疑，想要否定它，他该如何做？教师：当结论只有成立或不成立两种情形时，可用反证法．譬如，我们找到了一只或几只（换句话说就是至少有一只）白乌鸦，那么就可以否定“天下乌鸦一般黑”．【问题２】当电灯不亮的时候，若要寻找原因，我们是如何做的？教师：我们一般会检查电灯或开关是否坏了，抑或是保险丝烧了、外部线路坏了，等等．如果是外部线路坏了，而线路又很长（譬如几千米甚至几十千米以上），我们要进一步确定线路究竟坏在那里时，一般有经验的电工总是先根据停电的范围来确定断路的可能区间，再采用对分法来逐段排除，从而很快地找到线路究竟坏在何处．这种方法叫做分类归缪法．引导：解决问题的途径一般有两种，一是从已知条件→结论（演绎推理），二是从问题的结论→已知信息→与已知条件矛盾．后一种方法又常采用归缪法，它又可细分为：（１）反证法．当结论只有成立或不成立两种情形时．譬如，我们要说明平面内两条直线的位置关系——平行或相交时，即可用反证法．譬如，两直线不相交，它们就必平行；反之，如果它们不平行，它们就必相交．（２）选择法．供选择的结论不多．【例】下列那一项是三次方程3247100x x x +--=的解？A ．－2B ．－5C ．4D ．3（３）分类归缪法．供选择的结论很多．譬如，要证明有关三角形的某个定理，我们并不是对每个三角形进行论证的，而是分别从锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形等三种情形加以证明．思考：分类归缪法与方程的解有关系吗？（类比法难在要找出似乎毫无关联的两类事物之间的相同之处）引导：从前一节我们了解了方程的根与函数零点的关系，事实上，零点就是对应方程的实根，它是方程的精确解．但在实际问题中，这个解一般不易求出，在应用上，我们更多地是求满足一定精确度的近似解．很显然，要找到零点，就像电工师傅一样，可用分类归缪法来寻找，即在一个单调区间内，若两端点处的函数值同号，那么区间内对应方程必定无实根；反之，若两端点处的函数值异号，那么区间内对应方程必定有一实根（为方便起见，一般取其中点作为近似解）．通过逐个排除，从而逐渐缩小区间的范围，直到找出满足精确度的近似解．为了便于计算机计算，在求方程的近似解时，可采用二分法．（其实，如果我们借助几何画板寻找零点时就不一定要用二分法）３．新课（怎么做）让学生陈述课前预习时所掌握的二分法的原理以及解题步骤．教师在黑板上作纪录，并逐步补充完整．注意：（１）从几何上看，求方程的解其实是找相应函数图象与x 轴交点或两个函数图象交点的横坐标，而二分法并不是直接寻找交点，而是寻找函数值变号的一个尽可能小的区间中的某个值；（２）求方程的近似解时，精确解（m ）是未知的．当相邻两个近似解满足1||(*)i i x x i N ε--≤∈时，由1()()0i i f x f x -<，说明精确解介于1i x -和i x 之间，故有1||(*)i x m i N ε--≤∈或||(*)i x m i N ε-≤∈，所以1i x -和i x 都已满足精确度，均可作为近似解．所以通过比较相邻两个的近似解可以确定精确度；（３）如果方程有整数解，那么用二分法解方程反而有可能得不到此解；同样地，如果方程有重根，即相应函数在区间端点的函数值不变号，曲线与x 轴相切时，这个解也可能求不出．【例１】用二分法求方程321109140x x x ++-=...在0与1之间的实根的近似值，使误差不超过0.001．为方便起见，可借助几何画板的计算功能进行演示（见图3）．操作过程：①根据精确度要求，通过参数选项选择精确度（如万分之一）；②绘制函数图象；③利用函数计算函数值，同时计算区间中点的值；④计算误差，并确定近似解．由计算可知，此方程的近似解为0.670x ≈或0.671x ≈．（事实上，从函数值来看，0.671x ≈会更精确些．显然，要得到一个比较精确的值，其计算次数是比较大的．（说明其收敛速度慢，所以在实际应用中比较少用）练习：（１）求方程ln 260x x +-=的近似解，使误差不超过001.．（为了减少计算量，可先作出函数ln y x =和26y x =-+的图象，确定其交点横坐标的大概值． 图3练习时，可让同桌同学合作，一个计算，另一个纪录）（２）借助计算器用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度0.1）．４．拓展探究（从几何画板方面）【例２】利用几何画板求方程237x x +=的近似解（精确度0.0001）．【解析】几何画板中用解析式绘制的函数图象与坐标轴不能构造交点，但利用不是用解析式绘制的图形，那是可以构造交点并度量其坐标的．既然是求方程的近似解，所以我们可以在零点附近构造一条线段（弦），然后构造弦与x 轴的交点并度量其横坐标．接着，一端固定（此点的选择与函数的单调性以及凹性有关，如此题的A 点），另一端在曲线上找一点（其横坐标等于交点的横坐标），两端点连成新的弦，再构造交点，依次进行下去，直到求出满足精确度的近似解为止（见图4）．显然， 1.4332x ≈满足要求．５．课堂小结（１）二分法是分类归谬法的一种具体表现形式（体现方法的通性）；（２）引导学生回顾二分法，明确它是一种求一元方程近似解的通法（仅适用于单调区间上端点函数值异号的情形）；（３）利用估值或根据函数图象（简图）确定初始区间；（４）近似解精确度的估算：1||(*)i i x x i N ε--≤∈； 图4（５）揭示算法定义，了解算法特点．算法定义：算法一般是指求解某个问题的长度有限的指令序列，每条指令都是确定的、简单的，机械的，可执行的．对于任一属于这个问题的实例的有效输入，应在有限步（一步执行一条指令）内给出结果（输出），并中止．算法语言就是比较高级的程序设计自动化语言，它与数学公式非常接近而与计算机的内部逻辑结构无关．用二分法求方程的近似解，由于计算量较大，而且都是程式化的步骤，因此二分法可以利用计算机程序，借助计算机解题．６．布置课外作业（１）精选课本上的习题；（２）收集并阅读有关资料，写一篇古今中外数学家关于方程求解问题探索历程的文章．报名表。
福建数学必修1用二分法求方程的近似解说课教案
课题：用二分法求方程的近似解全日制普通高级中学教科书数学必修1第三章第一节第三课时一、教材背景分析1.教材的地位和作用以及学情本节内容位于数学必修1第三章第一节“函数与方程”，共分三个课时。
第一课时学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。
掌握了基本初等函数的图像和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。
本节是第三课时，二分法是求方程近似解的常用方法，它体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学3中算法内容的学习做了铺垫。
二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用。
因此决定了它的重要地位。
2.教学重点与难点重点：渗透二分法思想；理解二分法的原理；掌握用二分法求给定方程近似解。
难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解。
[理论依据]学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时随地发生作用，使他们受益终身。
因此数学思想方法的渗透是重点之一。
二、教学目标（1）知识与技能：1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤。
2.会用二分法求方程的近似解，并能用计算机辅助求解。
3.会用二分法思想解决其他的实际问题。
（2）过程与方法：1.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识。
2.通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程。
3.利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。
（3）情感与态度：1.通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感。
人教版数学高中必修一《用二分法求方程的近似解》教案
3.1.2用二分法求方程的近似解[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.知识点一二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考所有的函数都可以用二分法求零点吗？答用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值. 知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).题型一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案 A解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.反思与感悟判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.跟踪训练1下列函数中，能用二分法求零点的为()答案 B解析函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.题型二用二分法求方程的近似解例2(1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________.解析由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.反思与感悟利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.跟踪训练2用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：解令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.忽视给定区间造成失误例3函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是()A.0B.1C.2D.3错解由f(x)＝2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C.正解前同错解得x1＝－3，x2＝1.因为－3∉[－1,2]，1∈[－1,2]，所以f(x)在[－1,2]上只有一个零点，故选B.纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键.忽视二次项系数为零致误例4 已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1，若f (x )的图象与x 轴只有一个交点，求m 值. 错解 ∵f (x )的图象与x 轴只有一个交点，∴Δ＝0，即16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.∴当m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.正解 当m －1＝0，即m ＝1时，f (x )＝－4x ＋1， 满足函数图象与x 轴只有一个交点.当m －1≠0，即m ≠1时，函数图象与x 轴只有一个交点等价于方程2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.所以当m ＝1或m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.纠错心得 当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形.跟踪训练3 已知方程mx 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 设f (x )＝mx 2－x －1，因为方程mx 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解， 所以当m ＝0时，方程－x －1＝0在(0,1)内无解， 当m ≠0时，由f (0)f (1)<0，即－(m －1－1)<0，解得m >2.1.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( )答案 B2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3，＋∞)答案 B3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A.[－2,1]B.[－1,0]C.[0,1]D.[1,2]答案 A解析∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为()A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定答案 A解析由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.答案(2,2.5)解析f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，∴下一个有根的区间是(2,2.5).1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.一、选择题1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1B.x2C.x3D.x4答案 C解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.2.用二分法求函数零点的近似值适合于()A.变号零点B.不变号零点C.都适合D.都不适合答案 A3.下列关于二分法的叙述，正确的是()A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成D.只有求函数零点时才用二分法答案 B解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错.求方程的近似解也可以用二分法，故D错.4.为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(f(x)的值精确到0.01)如下表如示：A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)答案 C解析 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.25)＜0， ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选C.5.设方程2x ＋2x ＝10的根为β，则β属于( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝2x ＋2x －10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点.f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0. ∴β∈(2,3).6.函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 答案 C解析 ∵f (1.437 5)＝0.162，f (1.406 25)＝－0.054， ∴f (1.437 5)·f (1.406 25)＜0，即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内. 又∵方程的解精确到0.1， ∴可取方程近似解为1.4. 二、填空题7.在用二分法求方程f (x )＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1). 答案 0.75解析 0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.8.用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2解析 令f (x )＝ln x －2＋x ， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12<0， ∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2.9.用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01. 答案 7解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01， ∵区间(2,3)的长度为1， ∴12n <0.01，即2n >100. 注意到26＝64<100,27＝128>100. 故要经过7次二分后精确度能达到0.01.10.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________. 答案 (0,0.5)，f (0.25)解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由f (0)＜0，f (0.5)＞0，知x 0∈(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0更准确的位置. 三、解答题11.用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1). 解 f (1)＝－1<0，f (1.5)＝278－32－1＝78>0，f (1.25)＝12564－54－1<2－54－1＝－14<0，故零点在(1.25,1.5)内，此时0.25>0.1； f (1.375)>0，所以零点在区间(1.25,1.375)内， 此时0.125>0.1；又f (1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时0.062 5<0.1， 故f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点是x ＝1.312 5. 12.求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1). 解 令f (x )＝ln x ＋x －3，求函数f (x )＝0在(2,3)内的零点.∵f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.25－2.187 5∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).解设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1,2]内存在零点，即方程2x＋3x－7＝0在[1,2]内有解.取[1,2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在[1,1.5]内有解.如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：由表可以看出，区间 1.4，所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点.。
高中数学《用二分法求方程的近似解》教学设计
用二分法求方程的近似解一、内容与内容解析1.内容利用二分法求方程的近似解.2.内容解析对于区间[a,b]上的连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法，这种方法由“区间”端点对应的数，研究“点”对应的具体的数：通过不断缩小“区间”，由“区间”左端点对应的单调递增数列，以及右端点对应的单调递减数列，不断逼近这一系列“区间”组成的区间套中的具体点对应的数.二分法的本质仍然是通过数的运算研究问题.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.从高中数学角度，二分法体现出函数在数学内部的应用.从高等数学角度，二分法所采用的使实数区间向某一个点收敛的方法，是证明有关连续性结论的基本思路.从函数零点与方程的解的关系，到函数零点存在定理，再到利用二分法求方程的近似解，学生经历了一个完整的利用函数研究问题和解决问题的过程.从中不但能体会到函数的工具性，还获得了从个别问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验，这对提高学生分析问题和解决问题能力，培养学生理性精神有一定的帮助.通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，体现了由具体到一般的认知过程；在求方程的近似解的过程中，需要重复计算区间中点，以及中点的函数值，涉及到的较复杂的数据.因此本节课主要发展学生的数学抽象和数据处理核心素养.教学重点：用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.二、目标与目标解析1.目标（1）通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程方面的应用，渗透极限思想.（2）通过总结二分法的实施步骤，使学生经历由具体到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力.（3）根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解，发展数据处理核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志：（1）能够根据函数零点存在定理想到通过一分为二的逐渐缩小零点所在区间的办法，来求方程lnx+2x-6=0的近似解，知道二分法是求方程近似解的常用方法.（2）能够根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.（3）能够借助信息技术，用二分法求具体方程的近似解.三、教学问题诊断分析（1）学生已经学习了零点存在定理，容易想到通过逐渐缩小函数零点所在区间的办法来求方程的近似解，对二分法的理解不存在困难.（2）学生还没有算法的基本思想，对于求近似值的问题也接触较少，因此在总结用二分法求函数零点近似值的一般步骤时，得出步骤3中的“令b=c”、“令a=c”和步骤4中的“若|a-b|<ε，则得到零点的近似值为a或b”可能会有些困难.因此本节课的教学难点为：根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值的一般步骤.破解这个难点的关键是，让学生用自己的语言准确描述求方程lnx+2x-6=0近似解的每一步，理解精确度的含义，搞清楚其中循环的部分，明确循环结束的条件.（3）在利用二分法求方程近似解的过程中，数值计算较为复杂，这对获得给定精确度的近似值增加了困难.因此，本节课的另一个教学难点为：利用二分法求方程在给定精确度下的近似解.要破解这个难点，需要恰当的使用信息工具.四、教学支持条件分析本节课的教学，需要利用GGB软件绘制函数图象，并进行函数值的计算.五、教学过程设计（一）引入问题、探讨方法引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？追问1：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验给出判断，教师补充.预设的答案：学生的回答是否定的，原因是方程lnx+2x-6=0没有求根公式.教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（“精确度为ε”的含义是：“近似值与精确值之差（即误差）不大于ε”）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生思考和回答，教师启发学生说明理由,给出区间的中点的定义.预设的答案：零点在区间（2,3）内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.教师指出：一般地，称为区间(a,b)的中点.追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：由计算工具算得f(2.5)=-0.084，由f(2.5)f(3)<0可知,零点在区间（2.5，3）内，由数轴上2.5和3之间的距离为0.5可知,零点和3之间的距离小于0.5，因此，3可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围。
《用二分法求方程的近似解》教案及教案
解的常用方法之一，体现了函数与方程的联系，体现了数学的工具性、应用性，同时
也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。
在本节之前， 关于方程根的求解的学习， 都是在等式状态下研究方程的变化关系，
通过公式化的方式诸如求根公式、因式分解来求解方程的根，并以精确形式表示求解
结果。而以“数形结合”为导引，以“零点存在定理”为理论基础，用“区间逼近”
本质，为学生总结归纳二分法的定义和步骤奠定基础。
课堂练习是例题的变式，目的是让学生对求一个函数零点（方程根的近似解）的
探究有更完整的认识。
课堂小结使学生明确本节课的知识体系，提升数学思想。
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四、教学反思 本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼教学素材，
使学生在熟悉的背景下，在认知冲突中展开学习，学生在试验、探究活动中获取原始 数据， 进而运用抽象建模， 数形类比， 在老师的引导、 启发下领悟二分法的思想方法， 通过二分法的运用，实现学生在学习过程中对知识的探究、发现的完整经历，调动了 学生学习的主动性和积极性，学生在亲身经历知识的探究中获得对数学价值的新认 识。
二、 新 课 学 习
1．模仿尝试，体会思想方法
例 1：求 2 的近似值。
解析：即求解方程 x2- 2=0 设 f (x)=x2- 2
f (1)= –1<0,f(2)= 2>0, 1<x1<2 f (1)= –1<0, f (1.5)=0. 25>0, 1<x2<1.5 f (1.25)=–0.4375<0, f (1.5)= 0.25>0, 1.253<<x1.5 f (1.375)=–0.109<0, f (1.5)= 0.25>0, 1.3754<<x1.5 f (1.375)=–0.109<0,f(1.4375)= 0.066>0, 1.375<x4<1.4375x4=1.40625 ... ... 2．归纳总结，提炼升华 二分法（bisection：) 对于在区间[a,b]上连续不断且
《用二分法求方程的近似解》示范课教案【高中数学】
《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。
人教课标版高中数学必修一《用二分法求方程近似解》教案(1)-新版
3.1.2 用二分法求方程的近似解一、教学目标 （一）核心素养本节内容是在学习了集合与函数概念、基本初等函数以及方程的根与函数零点的关系之后，研究函数与方程关系的内容，是高中新增加的内容.二分法是求方程近似解的一种方法，意在培养学生的数学抽象、数学运算、数据处理素养. （二） 学习目标1.从具体方程出发，经历用二分法求方程近似解的过程，初步体会、理解“一分为二”、“逐步逼近”的思想.2.能从具体事例中归纳概括用二分法求方程近似解的步骤，认识算法化的形式表达，初步体会其中蕴含的算法思想.3.能用二分法求解一些方程的近似解，感受方程与函数之间的联系，初步形成用函数观点处理问题.（三）学习重点1. 用二分法求方程近似解，体会逐步逼近和无限的思想;2. 用二分法求方程近似解的操作步骤. （四） 学习难点1. 用二分法求方程近似解的理解，对函数与方程之间的关系的体会；2. 求解过程中较复杂的计算量. （一）课前设计 1． 预习任务（1）读一读：阅读教材第89页探究至91页.（2）想一想：一元二次方程的根如何求解？ 不是一元二次的方程还能用这种方法吗？ （3）试一试：试探索如何求方程x 3-3x +5=0的解. 2．预习自测（1）求方程x 2-2x -4=0的解. 【知识点】函数与方程【解题过程】由一元二次方程求根公式可得：1211x x ==+ 【思路点拨】一元二次方程求根公式.【答案】1211x x ==+.（2）函数y =x 2-5x -6在（0,2）上零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．0D ．不确定 【知识点】零点定理 【数学思想】【解题过程】y =x 2-5x -6=0得错误！未找到引用源。
,故在（0,2）无零点. 【思路点拨】函数零点转化为对应方程的根. 【答案】C（3）函数y =-x 3-3x +5的零点所在区间为（ ）A ．（0,1）B ．（-1,0）C ．（1,2）D ．（2,3） 【知识点】零点定理 【数学思想】【解题过程】令y =-x 3-3x +5=0即x 3=-3x +5，由图像可得其交点在（1,2）之间.xyO【思路点拨】分解为y =x 3与y=-3x +5图像的交点所在区间. 【答案】C 二、教学设计 (二)课堂设计 1． 知识回顾（1）一元二次方程求根方法：△>0时有两个实根，1,2x ==0时有一个实根，2bx a=-；△<0时方程无实根.（2）零点定理：一般地，若函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )<0,那么函数y =f (x )在区间（a , b ）内有零点，即存在c ∈（a , b ）,使得f (c )=0，这个c 也就是方程f (x )=0的根. 2.问题探究探究一 从具体函数出发，体会二分法求近似解★▲ ●活动① 回顾求一元二次方程根的求法.求下列方程的解:（1）2210x x --=；（2）2440x x -+=.【设计意图】求一元二次方程根的解，回顾求方程的根的方法，为后面做铺垫. ●活动② 发现问题，产生认知冲突. 探究：（1）方程ln 260x x +-=有几个解？（2）你能找出方程ln 260x x +-=的根所在区间吗？ （3）该区间内的任意一个值都可以看作方程的解吗？【设计意图】通过这个非一元二次型方程根的个数起到承前启后的作用.用零点定理可以判断方程根的个数和所在区间，但这个根到底是多少？如何求解？这些问题要解决就要进一步学习、探究.●活动③ 近似程度与精确度，（1）求其精确到0.1的近似值； （2）若要求近似程度即精确度为0.1，它的近似值有哪些？ （3）对于数值x 和精确度ξ，满足条件的x 的近似值有哪些？【设计意图】由具体实数的近似值来理解精确度，同时区别精确度为0.1与精确到0.1. 归纳出对于实数x 和精确度ξ，若a b ξ-<则区间[],a b 内的任意一个实数都可以作为实数x 的近似值.●活动④ 探索用二分法求方程的近似解.小组讨论：已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间(2,3)上. （1）能将根所在范围缩小吗？缩小在哪个范围？（2）能再缩小吗？在哪个范围内？此方法能不断缩小根所在范围吗？ （3）若要求精确度为0.01,函数零点的近似值在哪个范围？对于在区间[a ,b ]上连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把函数f (x )的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【设计意图】让学生探寻不断将零点所在区间缩小最优方法即二分法，将区间一分为二再缩小，不断逼近零点.初步体会二分法的优势，体会不断逼近的思想，初步意识到此问题的步骤是重复操作到满足条件为止即算法思想.探究二 二分法求方程近似解步骤的归纳. ★▲ ●活动① 初步应用二分法求方程近似解.用二分法求方程2370x x ++=的近似解（精确度为0.1）.【设计意图】初步体会、应用二分法求方程近似解，为归纳二分法求近似解的步骤做铺垫. ●活动② 归纳二分法求方程近似解的步骤.由以上两个例子，试用自然语言描述用二分法求方程近似解的步骤. 第一步：求给定区间的中点； 第二步：计算中点的函数值； 第三步：确定零点所在的新区间；第四步：判断是否达到精确度，如果达到，完成；如果没有达到，又回到第二步重复. 【设计意图】通过学生小组探究，先用学生熟悉的自然语言归纳二分法求近似解的步骤，同时建立数学规范，即第一步干什么，第二步干什么等等，初次认识算法书写形式特点. ●活动③ 完善二分法求方程近似解的步骤.给定精确度ξ，用二分法求函数()y f x =零点的近似值. (1)求区间(,)a b 的中点c ； (2)计算f (c )；(3)若()()0f a f c <，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； (4)若()()0f b f c <，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）；(5)判断是否达到精确度ξ：即若a b ξ-<，得到零点近似值a （或b ）,否则回到（1）. 【设计意图】引导学生获得用符号描述的二分法求函数零点近似值的一般步骤. 探究三 初步应用，理解巩固所学. ●活动① 巩固基础，检查反馈.例1．下列图像所表示的函数中，能用二分法求零点的是（ ）A．B．C．D．【知识点】二分法定义．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由二分法定义即可判断．【思路点拨】二分法的定义要求零点左右侧函数值有正负之分.【答案】B．【设计意图】辨析二分法求近似解.）A．B．C．D．【知识点】二分法定义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由二分法定义即可.【思路点拨】二分法的定义要求零点左右侧函数值有正负之分.【答案】C．【设计意图】二分法求近似解定义的理解.例2 用二分法求函数()34xf x x=--的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得()34xf x x=--的一个零点的近似值（精确度为0.01）为________。
【新课标必修一】《3-1-2用二分法求方程的近似解(1)》教学案例
课题用二分法求方程的近似解（1）教学目标：1 理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；2 能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．3 掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.4．体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.5．在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.教学重点难点：1．重点：理解函数零点存在性定理、用二分法求方程的近似解；2．难点：函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间、二分法原理的理解教法与学法：1．教法选择：讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果2．学法指导：自主探究、分组讨论、归纳总结教学过程：一、设置情境，激发探索教学环节教学过程设计意图师生活动设置疑问突出主题1函数零点的概念2 函数零点的意义：函数)(xfy=的零点就是方程0)(=xf实数根，亦即函数)(xfy=的图象与x轴交点的横坐标．复习回顾教师提问、学生回答问题概念介绍1．函数零点的求法：（1）（代数法）求方程0)(=xf的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，为解决难点作铺垫可以将它与函数)(xfy=的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2．二次函数的零点：零点存在性的探索：（1）观察二次函数32)(2--=xxxf的图象：①在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f_______，=)1(f_______,)2(-f·)1(f_____0（＜或＞）．②在区间]4,2[上有零点______；)2(f·)4(f____0（＜或＞）．二次函数)0(2≠++=acbxaxy．△＞０，方程02=++cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．△＝０，方程02=++cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点．△＜０，方程02=++cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．（2）观察下面函数)(xfy=的图象①在区间],[ba上______(有/无)零点；)(af·)(bf_____0（＜或＞）．②在区间],[cb上______(有/无)零点；)(bf·)(cf_____0（＜或＞）．③在区间],[dc上______(有/无)零点；通过观察图像给学生以直观的感受，由学生归纳得出零点存在定理。
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（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业
P92习题3.1A组第4题，第5题。
课后记：
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
人教版高中数学必修1教案
授课时间：年月日
备课时间:年月日
课题：用二分法求方程的近似解(1)
教学目标
理解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
教学重点
用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
教学难点
为何由︱a－b︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?
0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a－b︳＜ ，所以
︱x0－a︳＜b－a＜ ,︱x0－b︳＜∣a－b∣＜ ,
即a或b作为零点x0的近似值都达到了给 Nhomakorabea的精确度 。
㈢、巩固深化，发展思维
1．学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
（1）本节我们学过哪些知识内容？
教学过程
教学设想
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，即方程㏑x＋2x－6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，根据课本上二分法的一般步骤，探索求法。
2．为什么由︱a－b︳＜ 便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：