数学：1.6 微积分基本定理(教案)

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人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理

的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式，再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)

微积分基本定理

(理)1.6微积分基本定理【素养目标】1．利用图形直观了解并掌握微积分基本定理的含义，培养直观想象的核心素养。

2．会利用微积分基本定理求函数的积分，培养数学运算的核心素养。

【课前·预习案】[问题导学]知识点1.微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，【思考1】f(x)和F(x)有何关系？[提示]F′(x)＝f(x)．【思考2】利用定积分的几何意义求⎰20(2x＋1)d x 的值．[提示]由定积分的几何意义得⎰20(2x＋1)d x＝6. 【思考3】求F(2)－F(0)的值．[提示]F(2)－F(0)＝4＋2＝6.【思考4】你得出什么结论？[提示]⎰20f(x)d x＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．〖梳理〗微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．知识点2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃbaf(x)d x＝0.[达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：(1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一。

（）(2)如果⎰b a f(x)d x＝⎰b a g(x)d x，那么是否一定有f(x)＝g(x)。

（）（3）⎰b a f(x)d x=⎰b a|f(x)|d x。

（）解析：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值，（1）错；当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，⎰102x d x＝⎰103x2d x，但f(x)≠g(x)，（2）错；⎰b a f(x)d x表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)，||f(x)是非负的，所以⎰b a|f(x)|d x表示在区间[a，b]上所有以||f(x)的图象为曲边的曲边梯形的面积和，（3）错；答案：（1）×（2）×（3）×2．π2π2-⎰(1＋cos x)d x等于()A．π B．2C ．π－2D ．π＋2解析：∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 答案：D 3．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.答案：D4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 解析：ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43. 答案：435．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.解析：∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k＝1. 答案：1【课堂·探究案】探究一求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x . 解：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.（2）因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 【方法总结】求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．【跟踪训练1】若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3.答案：B探究二分段函数的定积分【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【素养解读】解：图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.【方法总结】求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．【跟踪训练2】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解：ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究三定积分的应用【例3】已知x ∈(0,1]，t ∈[－1,1]，f (x )＝⎰1(1－2x＋2t )d t ，则f (x )的值域为________．解析：f (x )＝⎰1(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]|10＝2－2x∵x ∈(0,1]，∴f (x )∈[0,2)．答案：[0,2)【方法总结】解决定积分问题时，一要确定好积分变量，二要清楚积分上、下限，三要明确积分的几何意义，注意积分与平面图形面积的区别与联系，四要会用导数方法寻找原函数，五要用好积分性质和微积分基本定理．【互动探究】⎰1(t 2＋t )d x ＝________．解析：⎰1(t 2＋t )d x ＝(t 2＋t )x |10＝t 2＋t .答案：t 2＋t【跟踪训练3】求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解：所求面积为 S ＝5π4π2-⎰|sin x |d x＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.【本节小结】【基础巩固】1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑=n1i b －ans ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④解析：由定积分可得①②③④都正确。

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.6 微积分基本定理

2
01dx＝x|0＝1；
1
1
1 1 1 11 0 dx＝ x 0＝ . 2 2 2
答案：C
自测自评
2. x
41 2 dx
等于(
) B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
栏目链接
A．－2ln 2
解析： x 答案：D
41 2 dx＝ln
x|4 2＝ln 4－ln 2＝ln 2.
基础梳理
(2) 当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 2 ，则
S下 f(x)dx＝__________.
栏目链接
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时，
S上－S下，如图 3，则 b 若 S 上＝S 下，则 baf(x)dx a f(x)dx＝__________ 0 ＝__________.
π 2 2 (3)因为 2sinx＋4＝ 2sin x· ＋cos x· ＝ 2 2
sin x＋cos x，又(－cos x＋sin x)′＝sin x＋cos x，所以＝＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.

π 0
跟踪训练
(4)
＝
栏目链接
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
题型2
求分段函数的定积分
3 x ，x∈[0，1]，
例2
若函数 f(x)＝ x，x∈1，2]， 2x，x∈2，3]，
解析：由积分的性质，知：
3 1 2 3
求 3 0f(x)dx 的值．
＝________________. F(b)－F(a)
栏目链接

微积分基本定理教案

1.6微积分基本定理一：教学目标知识与技能目标通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力;二：教学重难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分;难点：了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、知识链接：定积分的概念：用定义计算的步骤：2、合作探究：⑴导数与积分的关系;我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法;有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为St,速度为vt ()v t o ≥, 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰; 另一方面,这段路程还可以通过位置函数St 在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - 而()()S t v t '=;说出你的发现⑵ 微积分基本定理对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数即满足()()F x f x '=的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法;设()()F x f x '=则在[,]a b 上,⊿y=()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份,在第i 个区间x i-1,x i 上,记⊿yi=F x i -F x i-1,则⊿y=∑⊿y i 如下图,因为⊿h i =f x i-1 ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以⊿y ≈∑⊿h i =∑f x i-1 ⊿x 故⊿y=lim ∑⊿h i =∑f x i-1 ⊿x=⎰b a dx x f )(即⎰b a dx x f )(=()()F b F a - 所以有微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见,还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -,即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式;它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁; 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础;因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果;⑶应用举例例1．计算下列定积分： 1211dx x ⎰； 23211(2)x dx x-⎰; 解：1因为'1(ln )x x=, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰; 2因为2''211()2,()x x x x==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=; 练习：计算120x dx ⎰ 解：由于313x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13例2．计算下列定积分： 2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰; 由计算结果你能发现什么结论试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论;解：因为'(cos )sin x x -=,所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰,22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰, 2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:l 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时图1.6一3 ,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 一 3 22当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时图 1 . 6 一 4 ,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数；3当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0图 1 . 6 一 5 ,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶,到某处需要减速停车;设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间;当t=0时,汽车速度0v =32公里/小时=3210003600⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是4.934.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．⑷课堂练习课本p55练习⑴----⑻四：课堂小结：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定积分的简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练,希望,不明白的同学,回头来多复习五：教学后记：从教以来,一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点;当然,理论方面自己早已烂熟于心,关键是缺乏实践方面的体验及感悟;在今天的课堂上,本来一个相当简单的问题,可在课堂上却花费了大量时间,更严重的是学生却听得更为糊涂;一个主要原因在于,对相关知识结构理解不到位,眉毛胡子一把抓,而难点又无法解决;。

【数学】1.6《微积分基本定理(第2课时)》课件(人教A版选修2-2) (2)

π
πБайду номын сангаас
(cosx－e )dx＝ cosxdx－ exdx (3)－π －π －π
1 ＝sinx|－π－e |－ π＝ π－1. e
0 x0
0
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
变式训练 1 计算下列定积分： ∫105x4dx； (1) 2 3 ( x＋ 1 )26xdx. (2)1 x
解：(1)∵(x5)′＝5x4， ∫105x4dx＝x5|10＝105－25＝99968. ∴ 2 2 3 3 1 2 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋1＋2)6xdx (2)1 1 x x ＝1(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|3 1 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
0 0
【解】
2
(1)1(x2＋2x＋3)dx
2 2
2
＝1x2dx＋12xdx＋13dx x 2 25 22 2 ＝ |1＋x |1＋3x|1＝ . 3 3
π
3
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
0 b
3.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上， x 轴下在方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 a
b
S上 f(x)dx＝_____
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则a f(x)dx＝______．－S下
b
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时， b S上－S下如图③，则 f(x)dx＝____________．

《微积分基本定理》微课教学设计

《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭、标准型1 lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭以及推广型()()1lim1()xxexϕϕϕ→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。

2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。

通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。

学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。

3)认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是解决未定式1∞型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。

2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。

2)重要极限公式初始型和标准型的证明。

3)未定式1∞型的极限问题的解法。

4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。

3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。

处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。

2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。

处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。

4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。

2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。

5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

其主要内容是微分学和积分学。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

郑011 1.6微积分基本定理导学案2013-14高二下数学2-2

f′(3x)dx＝(
a
A．f(b)－f(a)
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬
答案
题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、
C．－cosx 4.答案 A 解析 F(x)＝
D．－sinx

x
costdt＝sint
0

6
x ＝sinx－sin0＝sinx. 0
(2x－4)dx＝16－4＝12.
0
所以 F′(x)＝cosx，故应选 A. ) B．f(3b)－f(3a) D．3[f(3b)－f(3a)]

b
f′(3x)dx＝(
a
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬课题学习目标重点难点 §1.6 微积分基本定理课时 1 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），了解牛顿-莱布尼兹公式通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义学习流程 [知识链接]：（1）定义表达式：
sin xdx的几何意义？
③当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取____值，且等于_______________面积；
问题 3：① 求 ②

2
0
sin xdx ______________ .

2
0
sin xdx的几何意义？
3 1 2. （ - 2 sin 0
③当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为_____ ，且等于_________________ _______________________面积．

数学：《定积分与微积分基本定理》教案

定积分与微积分基本定理一. 教学内容：定积分与微积分基本定理二. 教学目的：1. 了解定积分的定义和定积分的几何意义；2. 会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。

三. 重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。

［知识分析］知识点1：定积分的定义1. 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的．它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下：（1）把闭区间［a ，6］用n ＋1个分点（包括两个端点0n x a,x b ==）分为任意n 个小区间，并非要求一定分成n 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n 等分的方法去布列分点．（2）在每个小区间i x ∆上，点ξ的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即i i 1i x x 2-+ξ=，也可以取在小区间的两个端点，即i i x ξ=或i i 1x -ξ=，还可以取在小区间的其他任何位置（i ＝1，2，…，n ）．（3）从几何意义上讲，i i f ()x ξ⋅∆（i ＝1，2，…，n ）表示以i x ∆为底边，以i f ()ξ为高的第i 个小矩形的面积，而不是第i 个小曲边梯形的面积，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑表示n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高．（4）总和n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑取极限时的极限过程为“i x 0∆→”（n →∞），当分割无限变细，即n →∞时，不一定能保证和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积．（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义n 1bi iax 0i 0f (x)dx lim f ()x -∆→==ξ⋅∆∑⎰实际上给出了定积分baf (x)dx⎰的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用．2. 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bb ba a a f (x)dx f (u)du f (t)dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分baf (x)dx⎰与积分区间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如12(x1)dx+⎰与320(x 1)dx+⎰的值就不同。

人教版数学高二第一章 1.6微积分基本定理

1.6 微积分基本定理数学选修2－21.6 微积分基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 51～P 54的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ＝y (t )，并且y (t )有连续的导数，设这个物体在时间段[a ，b ]内的位移为S .①由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )与y (t )之间有什么关系？提示：v (t )＝y ′(t )．②如何利用y ＝y (t )表示物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝y (b )－y (a )．③若v (t )表示物体在任意时刻t 的速度，如何用v (t )求物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝⎠⎛a bv (t )d t .④由①②③能否得出结论S ＝⎠⎛a bv (t )d t ＝⎠⎛a by ′(t )d t ＝y (b )－y (a )成立？提示：能．(2)计算定积分⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x ，∫2π0S i n x d x ，由计算结论你能发现什么规律？提示：⎠⎛0πS i n x d x ＝2，∫2ππS i n x d x ＝－2，∫2π0 S i n x d x ＝0. 即定积分的值可正，可负，还可能为0.(3)根据⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x 和∫2π0S i n x d x 值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P 54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．提示：当曲边梯形在x 轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在x 轴下方时，定积分的值取负值；当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.2．归纳总结，核心必记 (1)微积分基本定理内容如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．符号⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ). 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 ①当曲边梯形在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上． ②当曲边梯形在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 下．③当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛a bf (x )d x ＝0.[问题思考](1)满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．(2)如果⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bg (x )d x ，那么是否一定有f (x )＝g (x )？请举例说明．提示：不一定，例如：当f (x )＝2x ，g (x )＝3x 2时，⎠⎛012xdx ＝⎠⎛013x 2dx ，但f(x )≠g(x )．(3)如图，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf(x )dx 的值？提示：⎠⎛a bf(x )dx ＝S 1－S 2＋S 3.(4)你认为⎠⎛a bf(x )dx ，⎠⎛a b|f(x )|dx 和||⎠⎛a bf (x )d x 有什么不同？提示：①⎠⎛a b f(x )dx 表示的是由x 轴，函数f(x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)；②||f (x )是非负的，所以⎠⎛a b|f(x )|dx 表示在区间[a ，b]上所有以||f (x )的图象为曲边的曲边梯形的面积和；③||⎠⎛a bf (x )d x 则是⎠⎛a bf(x )dx 的绝对值．三者的值一般情况下是不同的，但对于f(x )≥0，x ∈[a ，b]，三者的值是相同的．[课前反思](1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分与曲边梯形的面积有什么关系？知识点1求简单函数的定积分[思考1] 如何利用微积分基本定理求函数f(x )在[a ，b]上的定积分⎠⎛a bf(x )dx ?名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤： (1)求f(x )的一个原函数F(x )； (2)计算F(b)－F(a)．[思考2] 我们知道，已知函数f(x )，则满足F ′(x )＝f(x )的函数y ＝F(x )不唯一，那么⎠⎛abf(x )dx 的值唯一吗？名师指津：由于⎠⎛a bf(x )dx ＝F(b)－F(a)，且f(x )的原函数间相差一个常数，在计算时，不影响F(b)－F(a)的值，故⎠⎛a b f(x )dx 是唯一的．讲一讲1．(链接教材P 53－例1)计算下列定积分． (1)⎠⎛01(x 3－2x )dx ； (2)∫π20(x ＋coS x )dx ；(3)∫π20Sin 2x 2dx ; (4)⎠⎛121x (x ＋1)dx .[尝试解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2′＝x 3－2x ， ∴⎠⎛01(x 3－2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2|10＝－34. (2)∵⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x ′＝x ＋coS x ， ∴∫π20(x ＋coS x )dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x |π20＝π28＋1. (3)Sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12coS x ， ∴∫π20Sin 2x 2dx ＝∫π20⎝⎛⎭⎫12－12cos x dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (4)∵f(x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，且[ln x －ln(x ＋1)]′＝1x －1x ＋1，∴⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]21＝ln 43.类题·通法用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．练一练1．计算下列定积分．(1)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(2)⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ；(3)⎠⎛49x(1＋x)dx ；(4)⎠⎛0e33x ＋2dx ；(5)∫π2－π2coS 2xdx .解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝⎝⎛⎭⎫1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝274. (2)∵(Sin x ＋e x )′＝coS x ＋e x ， ∴⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ＝(Sin x ＋e x )0－π＝(0＋1)－(0＋e －π)＝1－e －π. (3)原式＝⎠⎛49(x ＋x )dx＝⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx . ∵⎝⎛⎭⎫23x 32′＝x 12，⎝⎛⎭⎫12x 2′＝x ， ∴⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx＝23x 3294＋12x 294＝2716. (4)∵[ln(3x ＋2)]′＝33x ＋2，∴⎠⎛0e33x ＋2dx ＝ln(3x ＋2)e 0＝ln(3e ＋2)－ln(3×0＋2)＝ln 3e ＋22.(5)原式＝∫π2－π2coS 2xdx ＝∫π2－π21＋cos 2x2dx∵⎝⎛⎭⎫x 2＋sin 2x 4′＝1＋cos 2x 2，∴∫π2－π2coS 2xdx ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋14sin 2x |π2－π2 ＝π4＋14Sin π－⎝⎛⎭⎫－π4＋14sin (－π) ＝π2.知识点2求分段函数的定积分[思考] ⎠⎛ab f(x )dx 、⎠⎛ac f(x )dx 、⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)之间有什么关系？名师指津：⎠⎛a b f(x )dx ＝⎠⎛a c f(x )dx ＋⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)．讲一讲2．求函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈[1，2]，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．[尝试解答] 由积分性质，得：⎠⎛03f(x )dx ＝⎠⎛01f(x )dx ＋⎠⎛12f(x )dx ＋⎠⎛23f(x )dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x dx ＋⎠⎛232x dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 12dx ＋⎠⎛232x dx ＝x 4410＋23x 3221＋2x ln 232＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.类题·通法分段函数定积分的求法求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分．练一练2．计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|dx . 解：因为f(x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|dx＝⎠⎜⎛－4－3(－x －3)dx ＋⎠⎛－30(x ＋3)dx＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.知识点3根据定积分求参数讲一讲3．设函数f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f(x )dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[思路点拨] 分别求出⎠⎛01f(x )dx 和f(x 0)的值，然后利用二者相等建立关于x 0的方程求解．[尝试解答] 因为f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，且⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ′＝a x 2＋c ，所以⎠⎛01f(x )dx ＝∫10(a x 2＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝a x 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33.类题·通法利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．练一练3．设f(x )＝a x ＋b ，且⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1，求f(a)的取值范围．解：由⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1可得，⎠⎛1－1(a x ＋b)2dx ＝⎠⎛1－1(a 2x 2＋2ab x ＋b 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 23x 3＋abx 2＋b 2x |1－1＝1，即2a 2＋6b 2＝3，则b 2＝3－2a 26≤36＝12，即－22≤b ≤22. 于是f(a)＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝⎛⎭⎫b －162＋1912，所以－22≤f(a)≤1912.即f(a)的取值范围为⎣⎡⎦⎤－22，1912. [课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是利用微积分基本定理求定积分，难点是根据定积分求参数． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用微积分基本定理求定积分，见讲1和讲2； (2)根据定积分求参数的值(或取值范围)，见讲3.3．正确确定原函数是利用微积分基本定理求定积分的关键，也是本节课的易错点．课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1 求简单函数的定积分 1.⎠⎛02(x －1)d x 等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．2解析：选C ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0.2.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ⎠⎛01(e x ＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)10＝(e 1＋1)－e 0＝e .3．∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析：选D ∵(x ＋Sin x )′＝1＋coS x ， ∴∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝(x ＋Sin x )π2－π2＝π＋2.4．计算定积分∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝________.解析：∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cos x |1－1＝23. 答案：23题组2 求分段函数的定积分5．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f(x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在解析：选C ⎠⎛02f(x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 310＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋4－2－2＋12＝56. 6．计算下列定积分： (1)⎠⎛25|x －3|dx ；(2)若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x>0，求∫π2－1f(x )dx .解：(1)∵|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ∈[2，3)，x －3，x ∈[3，5]，∴⎠⎛25|x －3|dx ＝⎠⎛23|x －3|dx ＋⎠⎛35|x －3|dx＝⎠⎛23(3－x )dx ＋⎠⎛35(x －3)dx＝⎝⎛⎭⎫3x －12x 232＋⎝⎛⎭⎫12x 2－3x 53 ＝⎝⎛⎭⎫9－12×9－6＋2＋⎝⎛⎭⎫252－15－92＋9＝52.(2)由已知∫π2－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋∫π20(coS x －1)dx ＝13x 30－1＋(Sin x －x )π20 ＝13＋⎝⎛⎭⎫1－π2＝43－π2. 题组3 根据定积分求参数7．若∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选D ∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝(a 2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝3，a>1，a ＝2，∴a ＝2.8．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，得a 3＝1，a ＝1. 答案：19．已知2≤⎠⎛12(k x ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________．解析：⎠⎛12(k x ＋1)dx ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤23，210．已知f(x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f(x )dx ＝0，求f(x )的解析式．解：设f(x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)，∴a ＋b ＋c ＝0.∵f ′(x )＝2a x ＋b ，①∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(a x 2＋b x ＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f(x )＝－32x 2＋2x －12. [能力提升综合练] 1．已知⎠⎛02f(x )dx ＝3，则⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18解析：选C ⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝⎠⎛02f(x )dx ＋⎠⎛026dx ＝3＋6x 20＝3＋12＝15. 2．若函数f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A .56B .12C .23D .16 解析：选A ∵f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f(x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f(－x )dx ＝⎠⎛12(x 2－x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56.3．若y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ，则y 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0解析：选B y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ＝⎠⎛0x Sin t d t ＋⎠⎛0x sin 2t 2d t ＝－coS t x 0－14coS 2t x 0＝－coS x ＋1－14(coS 2x －1)＝－14coS 2x －coSx ＋54＝－12coS 2x －coS x ＋32＝－12(coS x ＋1)2＋2≤2. 4．若f(x )＝x 2＋2⎠⎛01f(x )dx ，则⎠⎛01f(x )dx 等于( ) A ．－1 B ．－13 C .13D ．1解析：选B 因为⎠⎛01f(x )dx 是常数，所以f ′(x )＝2x ，所以可设f(x )＝x 2＋c(c 为常数)，所以c ＝2⎠⎛01f(x )dx ＝2⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝2⎝⎛⎭⎫13x 3＋cx |10，解得c ＝－23，⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 2－23dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－23x 10＝－13. 5.⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝________. 解析：⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝⎠⎛02(16－12x 2－8x ＋6x 3)dx ＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 3－4x 2＋32x 420＝8. 答案：86．若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，sin x －1，x>0，则⎠⎛1－1f(x )dx ＝________. 解析：⎠⎛1－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋⎠⎛01(Sin x －1)dx ＝13x 30－1＋(－coS x －x )10＝13－coS 1. 答案：13－coS 1 7．计算下列定积分．(1)⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ；(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx . 解：(1)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x ≤－32，6，－32＜x ＜32，4x ，x ≥32.∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝∫－32－3(－4x )dx ＋∫32－326dx ＋⎠⎛3324xdx ＝－2x 2－32－3＋6x 32－32＋2x 2332＝(－2)×⎝⎛⎭⎫－322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx ＝⎠⎛142x dx －⎠⎛141xdx ＝2x ln 241－2x 41＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. 8．已知f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ，F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ，求函数F(a)的最小值．解：∵f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ＝(6t 2＋4at)x －a ＝6x 2＋4a x －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4a x －2a 2， ∴F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ＝⎠⎛01(6x 2＋4a x ＋a 2)dx ＝(2x 3＋2a x 2＋a 2x )10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，∴当a ＝－1时，F(a)最小值＝1.。

高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理

求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430，整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.

微积分基本定理教案

微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。

2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。

三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。

四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。

2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。

五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。

六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

人教a版数学【选修2-2】1.6《微积分基本定理》ppt课件

2
①
xf(x)dx＝ (ax
1 3 1 21 ＋bx)dx＝3ax ＋2bx 0
1 1 17 ＝3a＋2b＝ 6 .
a＝4 由①②得 b＝3
② ，∴f(x)＝4x＋3.
3．求下列定积分：
1 (1) xdx＝________.

0
(2)
1
sinxdx＝________.
a
′(x)＝
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x)
原函数，利用求导运＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__________
算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
3．被积函数的原函数有很多，即若 F(x)是被积函数 f(x)的
1 1 2 2 ＝ln2－ln1＝ [解析] (1)因为(lnx)′＝ x ，所以 d x ＝ ln x 1 x
1
ln2.
1 4 1 4 1 3 1 3 (2)∵ 4x ′＝x ，∴ x d x ＝ x 0 4
0
1 ＝4. 1 ＝e－e .
1 (9) x2dx＝________.
2 1
1 (10) x dx＝________. 1 2 [答案] (1)2 (2)1 (3)ln2
e 1
(4)0
(5)2
1 (6)－6
3π2 (7) 8 ＋
1 (8)24
1 (9)2
(10)1
2 x2 x 1 1 1 [解析] (1)∵( 2 )′＝x，∴ xdx＝ 2 |0＝2. 0
e 1
典例探究学案
利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分

(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)

高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
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附赠中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。

第一章 1.6 微积分基本定理

b (4) cos xdx＝sin x a .

a
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1 b (5) xdx＝ln x a (b>a>0)．
b
a
x b x (6) e dx＝e a .

b
a
x a b b x (a>0 且 a≠1)． (7) a dx＝ a ln a a
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1．计算下列定积分．
1 3 (1) (x －2x)dx；

0
(2) (x＋cos x)dx； (3)
2 0

1
2 0
x sin2 dx； 2
1 (4) dx. xx＋1
2
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1 4 解析：(1)∵( x －x2)′＝x3－2x， 4 1 4 3 1 2 ∴ (x －2x)dx＝( x －x )0 ＝－ . 4 4
3 (2)求 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx.

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在区间[0,3]上的定积分；
-3
[解析]
3 1 2 3 (1) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx＋ f(x)dx

0

0

1

2
1 3 2 3 x ＝ x d x ＋ x dx＋ 2 dx
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求分段函数与绝对值函数定积分的方法： (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算． (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．

1.6 微积分基本定理

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预习交流 2
填一填:结合下列各图形,判断相应定积分的值的符号: �� (1) �� f(x)dx 0
(2)
��
g(x)dx
0
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(3)
��
h(x)dx
0
提示:(1)> (2)< (3)>
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课堂合作探究
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问题导学
1.6
微积分基本定理
课前预习导学
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学习目标 1.能说出微积分基本定理; 2.能运用微积分基本定理计算简单的定积分; 3.能掌握微积分基本定理的应用. 重点难点重点:微积分基本定理以及利用定理求定积分; 难点:复合函数定积分计算.
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预习导引
1.微积分基本定理 (1)一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那么
一、简单定积分的计算活动与探究 1
计算下列各定积分. 2 (1) 0 xdx; (2) (3) (4)
1 3 (1-t )dt; -2 0 x ( cos x+ e )dx; -π 4 2 t dx. 2
思路分析:根据导数与积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数,再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合导数公式表.
1 3
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三、微积分基本定理的应用活动与探究 3
已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f'(0)=0, 的值. 思路分析:解决本题的关键是根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出 a,b,c 的值.