最小生成树
最小生成树MinimumSpanningTree
8
1、Prim算法
算法求精－初始化
将根r涂红加入红点集U，TE＝φ。
对每个白点i (0≤i ≤n-1, i≠r ), i所关联的最短紫边（r,i）的 长度为G[r][i], 这n-1条最短紫边构成了初始的候选轻边集。
因为树边为空，故将T[0..n-2]全部用来存放候选轻边集。
❖设V(G)={0,1,…,n-1}
❖算法的每一步均是在连接红、白点集的紫 边中选一轻边扩充到T（贪心），T从任意 一点r开始（r为根），直至U＝V为止。 MST性质保证了贪心选择策略的正确性。
3
1、Prim算法
如何找轻边？
❖可能的紫边集
设红点集|U|=k, 白点集|V-U|=n-k，则可能的紫边 数为：k(n-k)。
//将(u,v)涂红加入树中，白点v加入红点集
ModifyCandidateSet(…);
//根据新红点v调整候选轻边集
}
}
算法终止时U＝V，T=(V,TE)
6
1、Prim算法
实例
6 1
5
35 4
05
1
3
27 2
4
5
6
60 5
1
1
3
∞2
∞
4
5
0
151
3
2
5
2 4
4
5
0
151
3
2
5
2 4
4
5
0
151 2
int i, minpos, min=Infinity; for (i=k; i<n-1; i++) //遍历候选集找轻边
最小生成树---普里姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）
最⼩⽣成树---普⾥姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）最⼩⽣成树的性质：MST性质（假设N=(V,{E})是⼀个连通⽹，U是顶点集V的⼀个⾮空⼦集，如果（u，v）是⼀条具有最⼩权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在⼀颗包含边（u，v）的最⼩⽣成树）普⾥姆算法（Prim算法)思路：以点为⽬标构建最⼩⽣成树1.将初始点顶点u加⼊U中，初始化集合V-U中各顶点到初始顶点u的权值；2.根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩。
循环n-1次如下操作：（1）从数组lowcost[k]中找到vk到集合U的最⼩权值边，并从数组arjvex[k] = j中找到该边在集合U中的顶点下标(2)打印此边，并将vk加⼊U中。
（3）通过查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，即vk点到V-U中各顶点的权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中以下图为例#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXVEX 100#define INF 65535typedef char VertexType;typedef int EdgeType;typedef struct {VertexType vexs[MAXVEX];EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;}MGraph;void CreateMGraph(MGraph *G) {int m, n, w; //vm-vn的权重wscanf("%d %d", &G->numVertexes, &G->numEdges);for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {getchar();scanf("%c", &G->vexs[i]);}for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {for(int j = 0; j < G->numVertexes; j++) {if(i == j) G->arc[i][j] = 0;else G->arc[i][j] = INF;}}for(int k = 0; k < G->numEdges; k++) {scanf("%d %d %d", &m, &n, &w);G->arc[m][n] = w;G->arc[n][m] = G->arc[m][n];}}void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {int min, j, k;int arjvex[MAXVEX]; //最⼩边在 U集合中的那个顶点的下标int lowcost[MAXVEX]; // 最⼩边上的权值//初始化,从点 V0开始找最⼩⽣成树Tarjvex[0] = 0; //arjvex[i] = j表⽰ V-U中集合中的 Vi点的最⼩边在U集合中的点为 Vjlowcost[0] = 0; //lowcost[i] = 0表⽰将点Vi纳⼊集合 U ，lowcost[i] = w表⽰ V-U中 Vi点到 U的最⼩权值for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {lowcost[i] = G.arc[0][i];arjvex[i] = 0;}//根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {min = INF, j = 1, k = 0;//寻找 V-U到 U的最⼩权值minfor(j; j < G.numVertexes; j++) {// lowcost[j] != 0保证顶点在 V-U中，⽤k记录此时的最⼩权值边在 V-U中顶点的下标if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {min = lowcost[j];k = j;}}}printf("V[%d]-V[%d] weight = %d\n", arjvex[k], k, min);lowcost[k] = 0; //表⽰将Vk纳⼊ U//查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {if(lowcost[i] != 0 && G.arc[k][i] < lowcost[i]) {lowcost[i] = G.arc[k][i];arjvex[i] = k;}}}int main() {MGraph *G = (MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));CreateMGraph(G);MiniSpanTree_Prim(*G);}/*input:4 5abcd0 1 20 2 20 3 71 2 42 3 8output:V[0]-V[1] weight = 2V[0]-V[2] weight = 2V[0]-V[3] weight = 7最⼩总权值: 11*/时间复杂度O(n^2)克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）思路：以边为⽬标进⾏构建最⼩⽣成树在边集中依次寻找最⼩权值边，若构建是不形成环路（利⽤parent数组记录各点的连通分量），则将其添加到最⼩⽣成树中。
最小生成树唯一的充要条件
最小生成树唯一的充要条件最小生成树是一种在图论中常见的概念，它是一个连通无向图中的一棵生成树，其所有边的权值之和最小。
在实际应用中，最小生成树有着广泛的应用，比如在通信网络、电力网络和交通运输等领域。
要确定一个图的最小生成树是否唯一，需要满足以下充要条件：图中的每条边的权值互不相同。
这个条件是非常重要的，因为只有当图中的每条边的权值都不相同时，才能确保最小生成树的唯一性。
如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么可能会有多个最小生成树。
为了更好地理解最小生成树唯一的充要条件，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个无向图，其中包含4个顶点A、B、C、D，以及4条边AB、AC、BC、BD。
如果这些边的权值分别为1、2、3、4，那么根据最小生成树的算法，我们可以得到唯一的最小生成树，即连接顶点A、B、C的边AB、AC。
因为在这种情况下，每条边的权值都不相同，所以最小生成树是唯一的。
相反，如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么就会出现多个最小生成树的情况。
比如，如果在上面的例子中，边AC的权值改为1，那么就会有两个最小生成树，一个是连接顶点A、B、C的边AB、AC，另一个是连接顶点A、C、D的边AC、CD。
这是因为存在两条权值相同的边AB和AC，所以会有多个最小生成树。
因此，最小生成树的唯一性与图中每条边的权值是否相同密切相关。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个充要条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
最小生成树唯一的充要条件是图中的每条边的权值互不相同。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解最小生成树的唯一性条件，为实际应用提供参考。
最小生成树的概念
最小生成树的概念
在图论中，最小生成树是一个连通图的生成树，其边的权值之和最小。
通俗地说，最
小生成树是指在一个图中找到一棵权值最小的生成树，这个生成树包含了连通图的所有顶点，且边的数量最小。
怎么找到最小生成树呢？有两种常用算法：Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法首先任选一个点作为起点，然后在剩余的点中选择与当前集合距离最短的点加入集合，直到所有点被加入。
在加入每一个点时，找到与当前集合连接的距离最短的边，加入到生成树中。
重复以上步骤，直到所有点都被加入到生成树中。
Kruskal算法则是将边按照权值从小到大排序，选择权值最小的边加入到生成树中，
如果加入当前边后不构成环，则加入，否则继续找下一条权值最小的边。
重复以上步骤，
直到所有点都被加入到生成树中。
最小生成树有很广泛的应用，如在通信、传输、路网规划等领域都有很重要的作用。
在有些应用中，最小生成树不仅要求边的权值之和最小，还要满足一些约束条件，比如边
的数量、每个点的度数等，这时我们需要采用更加复杂的算法来求解问题。
最小生成树的应用非常广泛，比如在计算机网络中，路由协议需要找到最短的数据传
输路径；在城市交通中，规划出最优的交通路径能够有效减少能源的消耗；在电力系统中，设计最短的输电线路可以节省能源成本。
最小生成树的运用如此广泛，它不仅在计算机科
学中有重要作用，也在其他各个领域有着不可替代的作用。
最小生成树
如此进行下去，每次往生成树里并入一 个顶点和一条边，直到n-1次后，把所有 n 个顶点都并入生成树T的顶点集U中， 此时U=V，TE中包含有（n-1）条边；
图
图6.10 图G 及其生成树
无向连通图 G 图
➢ 生成树
图6.10 图G 及其生成树
生成树
➢ 最小生成树
图
1.1 普里姆(prim)算法
假设G=(V,E)是一个具有n 个顶点的连通网络， T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点 集，TE是T的边集，U和TE的初值均为空。
算法开始时，首先从V中任取一个顶点（假定 为V1），将此顶点并入U中，此时最小生成树 顶点集U={V1}；
这样，T就是最后得到的最小生成树。
普里姆算法中每次选取的边两端，总是 一个已连通顶点（在U集合内）和一个未 连通顶点（在U集合外），故这个边选取 后一定能将未连通顶点连通而又保证不 会形成环路。
图
图6.11 普里姆算法例子
图
为了便于在顶点集合U和V-U之间选择权 最小的边，建立两个数组closest和 lowcost,closest[i]表示U中的一个顶点，该 顶点与V-U中的一个顶点构成的边具有最 小的权；lowcost表示该边对应的权值。
姆
{
算
min=lowcost[j];
法
k=j;
续
} printf(“(%d,%d)”,k,closest[j]);
/* 打印生成树的一条边*/
最小生成树（普里姆算法）
最⼩⽣成树（普⾥姆算法）：所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。
⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。
⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。
如上图所⽰⽆向图：int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。
具体⽅法是：1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。
如1作为起点。
visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。
low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。
//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记，不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新low[3]=2; //已标记，不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后，结果最⽣成树如上图所⽰。
所有权值相加就是最⼩⽣成树，其值为2+1+2+4+3=12。
⾄于具体代码如何实现，现在结合POJ1258例题解释。
最小生成树算法比较Prim和Kruskal算法的优劣
最小生成树算法比较Prim和Kruskal算法的优劣在图论中，最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是指一个连通图的生成树，它的所有边的权值之和最小。
最小生成树算法是解决最小生成树问题的常用方法，而Prim算法和Kruskal算法是两种经典的最小生成树算法。
本文将比较Prim算法和Kruskal算法的优劣，为读者提供更全面的了解。
一、Prim算法Prim算法是一种贪心算法，通过逐步扩展生成树的方式来构建最小生成树。
Prim算法以一个初始节点开始，然后逐渐添加与当前生成树相连的最短边，直到生成树包含图中的所有节点为止。
以下是Prim算法的基本步骤：1. 选择任意一个节点作为初始节点，并将其加入生成树中。
2. 从生成树的节点中选择一个最短边，并将与该边相连的节点加入生成树。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有节点。
相比于Kruskal算法，Prim算法在每一步只考虑一个节点，并且每次选择最短边，因此Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数。
二、Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，通过按照边的权值递增的顺序来构建最小生成树。
Kruskal算法从图中所有边中选择最短边，并将其加入生成树中，同时保证生成树不形成环，直到生成树中包含所有节点为止。
以下是Kruskal算法的基本步骤：1. 对图中的所有边按照权值进行排序。
2. 依次遍历排序后的边，将权值最小的边加入生成树中，并检查是否形成环。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有节点。
Kruskal算法中的关键步骤是判断是否形成环，可以使用并查集数据结构来实现。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是图中的边数。
三、Prim算法与Kruskal算法的比较1. 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，而Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
由于E通常小于V^2，所以Kruskal算法在大多数情况下更快。
最小生成树
对于图G=(V,E)的每一条e∈E, 赋予相应的权数 f(e),得到一个网络图，记为N＝（V,E,F）,
设T＝（为T的权，N中权数最小的 生成树称为N的最小生成树。 许多实际问题，如在若干个城市之间建造铁路网、 输电网或通信网等，都可归纳为寻求连通赋权图 的最小生成树问题。 下面介绍两种求最小生成树的方法：
例1 求下图所示的最小生成树。
v2 e1 v1 e2 e6 v4 e 7 v3
v5
解：按各边的权的不减次序为：
e1 e 2 e3 e7 e6 e 4 e5 e8
所以，首先取 e1 , e2 ,尔后再取 e7 和 e6 , 则构成最小生成树 .
二、破圈法 破圈法就是在图中任取一个圈，从圈中去 掉权最大的边，将这个圈破掉。重复这个 过程，直到图中没有圈为止，保留下的边 组成的图即为最小生成树。 例2 同例1。 解：在圈v2v2v3中，去掉权最大的边e2或e3； 在圈v2v3v4中，去掉权最大的边e4； 在圈v3v4v5中，去掉权最大的边e5； 在圈中v2v3v5，去掉权最大的边e8；
在剩下的图中，已没有圈，于是得到最小生成树， 如下图：
v2 e1 v1 e2 e6 v4 v3 e7
v5
例3 求下图的最小生成树。
C1 1 B1 3 5 A 4 B2 6 5 8 7 6 C4 C3 3 3 4 D3 8 3 C2 8 D2 4 E A
4 3 B2 C4 4 D3 C3 3
B 2 A 3 5 J 2 2 H 5 G 1 F 2 1 S 3 1 4 C 3 4 1 4 E
5
D 2
A 2
B
1
C D 1 2 E
1 S 2 H
最小生成树
}edge[111边的条数,s用来存放最小生成树的总权值 int root[111];//存储父节点
bool cmp(Edge a,Edge b) {
return a.d<b.d; } int find(int a)//寻找父节点
T1
u
顶 点 集 U
u'
T2 v
顶 点 集 V－U
13
应用举例——最小生成树
Prim算法
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
25 38
C
D
17
U={A}
V-U={B, C, D, E, F}
cost={(A, B)34, (A, C)46, (A, D)∞, (A, E)∞, (A, F)19}
最小生成树
生成树是一个连通图G的一个极小连通子 图。包含G的所有n个顶点，但只有n-1条 边，并且是连通的。
当生成树中所包含的边的权值和最小， 我们称之为最小生成树。
最小生成树性质
最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。 最小生成树不可以有循环。 最小生成树不必是唯一的。
16
应用举例——最小生成树
Prim算法
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
25 38
C
D
17
U={A, F, C, D} V-U={B, E} cost={(A, B)34, (F, E)26}
{ if(root[a]==a) return a; return root[a]=find(root[a]);
伪代码描述算法
伪代码描述算法算法标题：最小生成树（Prim算法）在图论中，最小生成树是指在一个连通图中找出一棵包含所有顶点且权值最小的树。
Prim算法是一种常用的解决最小生成树问题的算法。
1. 算法思想Prim算法的核心思想是以一个顶点为起点，逐步扩展生成最小生成树。
具体步骤如下：- 首先选取一个起始顶点，将其加入最小生成树的集合中。
- 然后，从与起始顶点相连的边中选择一条权值最小的边，并加入最小生成树的集合中。
- 接着，从已选取的边所连接的顶点中，选择一条权值最小的边，并加入最小生成树的集合中。
- 重复上述步骤，直到最小生成树的集合包含了所有顶点。
2. 算法实现下面通过伪代码来描述Prim算法的实现过程：```Prim(G, s):初始化集合V为图G的所有顶点初始化集合S为空，用于存放最小生成树的顶点集合初始化集合E为空，用于存放最小生成树的边集合将起始顶点s加入集合S中重复以下步骤，直到集合S包含了所有顶点：从集合V-S中选择一条连接到集合S中的顶点的权值最小的边(u, v)将顶点v加入集合S中将边(u, v)加入集合E中返回最小生成树的边集合E```3. 算法示例下面通过一个示例图来演示Prim算法的具体执行过程。
```输入：图G(V, E)，其中V为顶点集合，E为边集合输出：最小生成树的边集合E1. 初始化集合V为{A, B, C, D, E, F, G, H}初始化集合S为空，用于存放最小生成树的顶点集合初始化集合E为空，用于存放最小生成树的边集合2. 将起始顶点A加入集合S中3. 重复以下步骤，直到集合S包含了所有顶点：- 从集合V-S中选择一条连接到集合S中的顶点的权值最小的边(u, v)- 将顶点v加入集合S中- 将边(u, v)加入集合E中第一次循环：- 选择边(A, B)，将顶点B加入集合S中，将边(A, B)加入集合E 中第二次循环：- 选择边(B, D)，将顶点D加入集合S中，将边(B, D)加入集合E 中第三次循环：- 选择边(D, C)，将顶点C加入集合S中，将边(D, C)加入集合E 中第四次循环：- 选择边(C, F)，将顶点F加入集合S中，将边(C, F)加入集合E 中第五次循环：- 选择边(F, E)，将顶点E加入集合S中，将边(F, E)加入集合E 中第六次循环：- 选择边(E, G)，将顶点G加入集合S中，将边(E, G)加入集合E中第七次循环：- 选择边(G, H)，将顶点H加入集合S中，将边(G, H)加入集合E中4. 返回最小生成树的边集合E，即{(A, B), (B, D), (D, C), (C, F), (F,E), (E, G), (G, H)}```4. 算法分析- 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(|V|^2)，其中|V|为顶点的数量。
最小生成树应用场合
最小生成树算法
1.网络布局问题：在一个连通加权无向图中，最小生成树算法可以帮助找到一个包含所有顶点的最小权重树，从而在地图上实现有效的布局。
2.地图着色问题：在地图着色问题中，最小生成树算法可以用于优化颜色分配，使得相邻区域的颜色不同，同时最小化所需的颜色数量。
3.车辆路径优化问题：在物流和运输行业中，最小生成树算法可以用于优化车辆的行驶路径，使得车辆能够更高效地完成配送任务，降低运输成本。
4.通信网络设计：在通信网络设计中，最小生成树算法可以用于构建高效的数据传输网络，使得数据能够在不同的节点之间快速传输。
5.电力系统设计：在电力系统的设计中，最小生成树算法可以用于构建高效的输电网络，使得电能能够从发电厂传输到各个用户。
请注意，这些应用场景中都需要用到最小生成树算法来寻找最优解。
详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)
详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。
1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。
说说最小生成树（MinimumSpanningTree）
说说最小生成树（MinimumSpanningTree）minimum spanning tree(MST)转自：/gsky1986/article/details/45149931 最小生成树是连通无向带权图的一个子图，要求能够连接图中的所有顶点、无环、路径的权重和为所有路径中最小的.graph-cut对图的一个切割或者叫切断，会使图分离成为两个不相连的顶点集.它基于树的两个基本属性：为树的任意两个节点间添加一条边，会在树中形成一个环.删去树中的一条边，会将原树分离成两棵不相连的树.crossing edge有了切断的概念，很容易就会问到，被切开的那些边是什么？切断造成了两个不相连的顶点集，而切断的操作施加在这些边上，那么这些边本身就横跨了两个顶点集.prim’s algorithm最常用的一种求MST的算法是普利姆算法它是一种贪心算法.它搜索的方向是从某一个顶点开始，对所有邻接的边进行考察，然后将最轻的边（权重最小的边）加入MST.决定它下一步搜索方向的，是最轻边的另一端的顶点，从这个顶点开始，它重复上一步，直到所有的顶点访问完毕.由于普利姆算法每次都贪心地找当前看来最轻的边，它不会综合考量全局，所以它是一种贪心算法.由于它从最轻边的另一个端点继续它的搜索之旅，所以每一步求出的在MST中的边都会自然地连成一颗树，直到最后长大为MST. PriorityQueue在普利姆算法中，一个重要的操作是挑选最轻边，所以一个优先队列可以对这个操作进行优化支持.优先队列通常基于堆来实现，比如二叉堆.它可以给我们对数级的时间返回队头元素，而这个队头元素具有最高的优先级.如果我们规定越轻的边的优先级越高，那么一个小根堆实现的升序优先队列就可以用在普利姆算法中.lazy prim普利姆算法在找到一条最轻边（v,w）后，这条边就不应该在以后的搜索中成为一个备选，同时点w也被加入了MST，那么优先队列中所有还未访问的但和点w连着的那些边都成了废弃边，它们不应该被再次考察.那么如何处理这种不再备选的边？我们可以删除这些边，但是删除这条边后，边的另一端顶点还没有访问，我们的删除操作会波及那些还没有访问的顶点.那么，一个比较懒而直观的方式是推迟对所有的废弃边的删除操作，任由它们在优先队列中，作为队列一员参与队列的每次调整操作.采取懒惰方式的普利姆算法的时间复杂度是O(ElogE).从这里看出，它对边比较稠密的图来说，是低效的.如果要了解懒惰方式的的普利姆算法，请参考：普利姆算法lazy 实现eager prim以懒惰方式处理不再备选的边，会使得算法多次考察这样的边,影响了效率.有没有方法对它进行改进？考虑一下，我们在找出一条最轻边并将它加入MST后，实际上使得其它的还没有被访问的边被访问的机会增加了.而我们只对最轻边感兴趣，所以在考察一个顶点时，只需要在优先队列中维护一条目前已知的到这个顶点的最短距离或最小权重就可以了.为了不将废弃边加入队列，我们需要以索引方式来组织优先队列.关于索引式的优先队列，请参考：索引式优先队列以积极方式队列废弃边的算法，请参考：普利姆算法eager实现普利姆算法的eager实现的时间复杂度是最差O(ElogV ) kruskal’s algorithm克鲁斯卡尔算法是求MST的另一种常用算法，它非常简单：1.每一步都挑选当前看来最轻的边.如果这条边的两个端点的加入，没有在mst中造成回路，将这条边加入mst.2.对所有的边重复上一步.算法中比较关键的一个操作是判断是否形成回路(cycle)，这可以借助并查集来做，请参考：快速并查集克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE).这里是一个完成的算法实现，请参考：克鲁斯卡尔算法实现综述最小生成树和最小生成森林（minimum spanning forest）技术，对于连通性考察很有意义.克鲁斯卡尔算法和懒惰方式的普利姆算法形式简单、易于理解，适合处理边不稠密的图.积极方式的普利姆算法,初次接触会不易理解.但它效率高于懒惰方式，平均适用性更好.求MST的贪心算法，都离不开优先队列或堆的支持，堆的操作效率决定了这些算法的效率.如果用斐波那契堆来实现优先队列，则decrease-key操作的摊还代价是O(1 )，普里姆算法将可优化到：O(E+VlogV ).。
数据结构（三十三）最小生成树（Prim、Kruskal）
数据结构（三⼗三）最⼩⽣成树（Prim、Kruskal） ⼀、最⼩⽣成树的定义 ⼀个连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图，它含有图中全部的顶点，但只有⾜以构成⼀棵树的n-1条边。
在⼀个⽹的所有⽣成树中，权值总和最⼩的⽣成树称为最⼩代价⽣成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最⼩⽣成树。
构造最⼩⽣成树的准则有以下3条：只能使⽤该图中的边构造最⼩⽣成树当且仅当使⽤n-1条边来连接图中的n个顶点不能使⽤产⽣回路的边 对⽐两个算法，Kruskal算法主要是针对边来展开，边数少时效率会⾮常⾼，所以对于稀疏图有很⼤的优势；⽽Prim算法对于稠密图，即边数⾮常多的情况会更好⼀些。
⼆、普⾥姆（Prim）算法 1.Prim算法描述 假设N={V,{E}}是连通⽹，TE是N上最⼩⽣成树中边的集合。
算法从U={u0，u0属于V}，TE={}开始。
重复执⾏下⾯的操作：在所有u属于U，v 属于V-U的边(u,v)中找⼀条代价最⼩的边(u0,v0)并加⼊集合TE，同时v0加⼊U，直到U=V为⽌。
此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最⼩⽣成树。
2.Prim算法的C语⾔代码实现/* Prim算法⽣成最⼩⽣成树 */void MiniSpanTree_Prim(MGraph G){int min, i, j, k;int adjvex[MAXVEX]; /* 保存相关顶点下标 */int lowcost[MAXVEX]; /* 保存相关顶点间边的权值 */lowcost[0] = 0;/* 初始化第⼀个权值为0，即v0加⼊⽣成树 *//* lowcost的值为0，在这⾥就是此下标的顶点已经加⼊⽣成树 */adjvex[0] = 0; /* 初始化第⼀个顶点下标为0 */for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) /* 循环除下标为0外的全部顶点 */{lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存⼊数组 */adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */}for(i = 1; i < G.numVertexes; i++){min = INFINITY; /* 初始化最⼩权值为∞， *//* 通常设置为不可能的⼤数字如32767、65535等 */j = 1;k = 0;while(j < G.numVertexes) /* 循环全部顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值⼩于min */{min = lowcost[j]; /* 则让当前权值成为最⼩值 */k = j; /* 将当前最⼩值的下标存⼊k */}j++;}printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最⼩的边 */lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表⽰此顶点已经完成任务 */for(j = 1; j < G.numVertexes; j++) /* 循环所有顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]){/* 如果下标为k顶点各边权值⼩于此前这些顶点未被加⼊⽣成树权值 */lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较⼩的权值存⼊lowcost相应位置 */adjvex[j] = k; /* 将下标为k的顶点存⼊adjvex */}}}}Prim算法 3.Prim算法的Java语⾔代码实现package bigjun.iplab.adjacencyMatrix;/*** 最⼩⽣成树之Prim算法*/public class MiniSpanTree_Prim {int lowCost; // 顶点对应的权值public CloseEdge(Object adjVex, int lowCost) {this.adjVex = adjVex;this.lowCost = lowCost;}}private static int getMinMum(CloseEdge[] closeEdges) {int min = Integer.MAX_VALUE; // 初始化最⼩权值为正⽆穷int v = -1; // 顶点数组下标for (int i = 0; i < closeEdges.length; i++) { // 遍历权值数组，找到最⼩的权值以及对应的顶点数组的下标if (closeEdges[i].lowCost != 0 && closeEdges[i].lowCost < min) {min = closeEdges[i].lowCost;v = i;}}return v;}// Prim算法构造图G的以u为起始点的最⼩⽣成树public static void Prim(AdjacencyMatrixGraphINF G, Object u) throws Exception{// 初始化⼀个⼆维最⼩⽣成树数组minSpanTree，由于最⼩⽣成树的边是n-1，所以数组第⼀个参数是G.getVexNum() - 1，第⼆个参数表⽰边的起点和终点符号，所以是2 Object[][] minSpanTree = new Object[G.getVexNum() - 1][2];int count = 0; // 最⼩⽣成树得到的边的序号// 初始化保存相关顶点和相关顶点间边的权值的数组对象CloseEdge[] closeEdges = new CloseEdge[G.getVexNum()];int k = G.locateVex(u);for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (j!=k) {closeEdges[j] = new CloseEdge(u, G.getArcs()[k][j]);// 将顶点u到其他各个顶点权值写⼊数组中}}closeEdges[k] = new CloseEdge(u, 0); // 加⼊u到⾃⾝的权值0for (int i = 1; i < G.getVexNum(); i++) { // 注意，这⾥从1开始，k = getMinMum(closeEdges); // 获取u到数组下标为k的顶点的权值最短minSpanTree[count][0] = closeEdges[k].adjVex; // 最⼩⽣成树第⼀个值为uminSpanTree[count][1] = G.getVexs()[k]; // 最⼩⽣成树第⼆个值为k对应的顶点count++;closeEdges[k].lowCost = 0; // 下标为k的顶点不参与最⼩权值的查找了for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (G.getArcs()[k][j] < closeEdges[j].lowCost) {closeEdges[j] = new CloseEdge(G.getVex(k), G.getArcs()[k][j]);}}}System.out.print("通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {");for (Object[] Tree : minSpanTree) {System.out.print("(" + Tree[0].toString() + "-" + Tree[1].toString() + ")");}System.out.println("}");}} 4.举例说明Prim算法实现过程 以下图为例： 测试类：// ⼿动创建⼀个⽤于测试最⼩⽣成树算法的⽆向⽹public static AdjacencyMatrixGraphINF createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree() {Object vexs_UDN[] = {"V0", "V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6", "V7", "V8"};int arcsNum_UDN = 15;int[][] arcs_UDN = new int[vexs_UDN.length][vexs_UDN.length];for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = 0; j < vexs_UDN.length; j++)if (i==j) {arcs_UDN[i][j]=0;} else {arcs_UDN[i][j] = arcs_UDN[i][j] = INFINITY;}arcs_UDN[0][5] = 11;arcs_UDN[1][2] = 18;arcs_UDN[1][6] = 16;arcs_UDN[1][8] = 12;arcs_UDN[2][3] = 22;arcs_UDN[2][8] = 8;arcs_UDN[3][4] = 20;arcs_UDN[3][6] = 24;arcs_UDN[3][7] = 16;arcs_UDN[3][8] = 21;arcs_UDN[4][5] = 26;arcs_UDN[4][7] = 7;arcs_UDN[5][6] = 17;arcs_UDN[6][7] = 19;for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = i; j < vexs_UDN.length; j++)arcs_UDN[j][i] = arcs_UDN[i][j];return new AdjMatGraph(GraphKind.UDN, vexs_UDN.length, arcsNum_UDN, vexs_UDN, arcs_UDN);}public static void main(String[] args) throws Exception {AdjMatGraph UDN_Graph = (AdjMatGraph) createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree();MiniSpanTree_Prim.Prim(UDN_Graph, "V0");} 输出为：通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {(V0-V1)(V0-V5)(V1-V8)(V8-V2)(V1-V6)(V6-V7)(V7-V4)(V7-V3)} 分析算法执⾏过程：从V0开始：-count为0，k为0，closeEdges数组的-lowCost为{0 10 INF INF INF 11 INF INF INF}，adjVex数组为{V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0}-⽐较lowCost，于是k为1，adjVex[1]为V0，minSpanTree[0]为（V0，V1），lowCost为{0 0 INF INF INF 11 INF INF INF}-k为1，与V1的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为：{0 0 18 INF INF 11 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V0，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为5，adjVex[5]为V0，minSpanTree[1]为（V0，V5），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 12}-k为5，与V5的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为{0 0 18 INF 26 0 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V5，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为8，adjVex[8]为V1，minSpanTree[2]为（V1，V8），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 0}... 三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 1.Kruskal算法描述 Kruskal算法是根据边的权值递增的⽅式，依次找出权值最⼩的边建⽴的最⼩⽣成树，并且规定每次新增的边，不能造成⽣成树有回路，直到找到n-1条边为⽌。
phyloviz最小生成树解读
phyloviz最小生成树解读摘要：I.引言- 介绍phyloviz 和最小生成树- 说明本文的目的和结构II.最小生成树的概念和原理- 最小生成树的定义- 最小生成树的重要性- 最小生成树的算法原理III.phyloviz 中的最小生成树- phyloviz 的概述- phyloviz 中的最小生成树的实现- phyloviz 中最小生成树的应用示例IV.最小生成树的优缺点分析- 最小生成树的优点- 最小生成树的缺点V.结论- 总结最小生成树在phyloviz 中的作用- 展望最小生成树在phyloviz 未来的发展正文：I.引言Phyloviz 是一款基于Web 的应用程序，旨在提供生物信息学数据的可视化和分析功能。
在Phyloviz 中，最小生成树是一种重要的分析工具，用于处理和可视化生物信息学数据。
本文将介绍最小生成树的概念和原理，以及如何在Phyloviz 中实现最小生成树。
II.最小生成树的概念和原理最小生成树是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
最小生成树是一种重要的图论算法，可以用于寻找网络中最短路径、解决最小生成树问题等。
III.phyloviz 中的最小生成树Phyloviz 是一个基于Web 的应用程序，提供生物信息学数据的可视化和分析功能。
在Phyloviz 中，最小生成树是一种重要的分析工具，用于处理和可视化生物信息学数据。
Phyloviz 中的最小生成树可以通过输入树状结构的数据来实现，并可以通过Phyloviz 的可视化工具进行交互式探索和分析。
IV.最小生成树的优缺点分析最小生成树是一种重要的图论算法，可以用于寻找网络中最短路径、解决最小生成树问题等。
最小生成树的优点包括：- 算法简单：最小生成树算法简单易懂，实现容易。
- 高效性：最小生成树算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E 表示边的数量，V 表示节点的数量。
欧拉定律和最小生成树
欧拉定律（Euler's Law）欧拉定律是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中叶提出的一个重要定律。
它描述了在一个连通的平面图中，顶点的度数（即与该顶点相连的边的数量）的性质。
根据欧拉定律，一个连通的平面图中满足以下条件：若图中有一个或多个顶点的度数为奇数，则此图不是欧拉图（Eulerian graph）；若所有顶点的度数都为偶数，则此图是欧拉图。
对于一个连通平面图，它至少存在一条欧拉路径（Eulerian path），即从某个顶点开始，沿着边行走，可以遍历图中所有边且各边只经过一次。
（欧拉路径可以从任意顶点出发）对于一个连通平面图，要满足存在欧拉回路（Eulerian circuit），即从某个顶点出发，可以遍历图中所有边且各边只经过一次，并最终回到出发顶点。
最小生成树（Minimum Spanning Tree）最小生成树是在一个无向连通图中，选择连通所有顶点的一棵树，并使得树的所有边权重之和最小的一种树结构。
最小生成树问题通常用于求解网络、运输和通信等领域中的优化问题。
常用的算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法（Prim's Algorithm）: 从一个起始顶点开始，每次选择与已选顶点集合最近的一个顶点，并将其加入集合，直到所有顶点被加入。
Kruskal算法（Kruskal's Algorithm）: 将边按照权重从小到大排序，逐个加入到生成树中，只要边加入不构成闭合回路即可。
最小生成树的应用广泛，比如在通信网络中优化传输成本、在城市规划中优化建设成本等。
它可以帮助我们找到满足条件的连通子图，在保证最小总成本的前提下建立起高效的连接关系。
bp算法例题
bp算法例题
以下是BP算法的一些例题:
1. 最小生成树:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中最小的生成树。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从根节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,同时记录当前节点的前缀和
- 对于每个相邻节点,计算它的最小权重向量与当前节点的最小权重向量的商,得到当前节点的权重向量
- 根据权重向量更新生成树
- 重复步骤直到生成树为空
2. 最短路径问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点到另一个节点的最短路径。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点到另一个节点的最短路径
- 根据最短路径更新权重向量,并返回最短路径
3. 最小费用最大流问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点去往另一个节点的最小费用最大流。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点去往另一个节点的最小费用最大流
- 根据最小费用最大流更新权重向量,并返回最小费用最大流
这些例题只是BP算法的一些典型应用,实际上BP算法还可以用于解决其他类型的问题,例如网络拓扑优化、约束优化等。
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即最小k+1度限制生成树属于最小k度限制生成树的邻集。
假设我们已经得到了最小p度限制生成树， 如何通过它来求最小p+1度限制生成树呢？
如图，假设我们 已经得到了v0度为 2时的最小生成树， 现在要求v0度为3 时的最小生成树。 V0
枚举与V0关联且 不在树上的边， 添加到树上。
为了使V0的度增 加，下面两条边 红色的边是不能 删除的。
总复杂度：O(VlogV+E+kV);
例题3：还是通讯网络
某地区共有n座村庄，每座村庄的坐标用一 对整数(x, y)表示，现在要在村庄之间建立通 讯网络。 通讯工具有两种，分别是需要铺设的普通 线路和卫星设备。 只能给k个村庄配备卫星设备，拥有卫星设 备的村庄互相间直接通讯。 铺设了线路的村庄之间也可以通讯。
如何判断欲加入的一条边是否与生成树 中边构成回路。 将各顶点划分为所属集合的方法来解决， 每个集合的表示一个无回路的子集。开 始时边集为空，N个顶点分属N个集合， 每个集合只有一个顶点，表示顶点之间 互不连通。 当从边集中按顺序选取一条边时，若它 的两个端点分属于不同的集合，则表明 此边连通了两个不同的部分，因每个部 分连通无回路，故连通后仍不会产生回 路，此边保留，同时把相应两个集合合 并
动态规划
Best(v)的状态转移方程为 Best(v)=max(Best(Father(v)),w(Father(v),v)) 边界条件为 Best[v0]=-∞，{Best[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T)}。
动态规划
状态总共|V|个，而状态转移的时间复杂度 为O(1),因而总的时间复杂度是O(V),即通过 最小p度限制生成树求最小p+1度限制生成 树的时间复杂度是O(V)。
次小生成树有可能也是最小生成树
定理
定理：次小生成树属于最小生成树的邻集。 即次小生成树可以通过由最小生成树换一条 边来得到。
结论
另一个结论： T是某一棵最小生成树，T0是任一棵异于T 的树，则定可通过变换 T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T) 变成最小生成树。 所谓的变换是，每次把Ti中的某条边换成T 中的一条边, 而且树T(i+1)的权小于等于Ti的 权。
还是应当掌握度限制生成树的正规算法
最小度限制生成树的定义
设G=(V,E,ω)是连通的无向图，v0 ∈V是特别 指定的一个顶点 , k为给定的一个正整数。 V0在T中的度为DT(v0)。
如果T是G的一个生成树且DT(v0) =k，则称T 为G的k度限制生成树。G中权值和最小的k 度限制生成树称为G的最小k度限制生成树。
例题2：POJ 1639 Picnic Planning
这是在一个特殊点V0所连边数有限制(不大于K)条件 下求最小生成树的问题。
最土解法: 枚举去掉V0的一些边，使得V0的度变为K 的方案数，对每种方案求一个最小生成树，然后在 所有的最小生成树里再取最小的。 复杂度极高，但是本题数据弱，可以过。
定理：设T是图G的最小k度限制树，E0是G中与v0有关联 的边的集合， E1=E0\E(T)， E1即是和V0相连，但是不在T中的边的集合 E2=E(T)\E0， E2即是T中不和V0相连的边的集合 A={(+a,-b)| a∈E1,b∈E2}
设ω(a’)－ω(b’)=min{ω(a)－ω(b)| (+a,-b)∈A}，则T + a’-b’是G 的一个最小k+1度限制生成树。
具体实现：从V0开始做一遍广搜即可。 问题：最先求几度的最小度限制生成树呢？ 即p从多少开始求？
答案
因为求最小k度限制生成树，当 k < DG(v0) 时，问题并不总是有解的。如图。
V0
所以如果将v0去掉，图会被分成m个连通支， 那么就先求最小m度限制生成树。
如何求最小m度限制生成树
例题3：还是通讯网络
问：怎样合理的分配卫星和铺设线路，使 得在保证每两座村庄之间都可以直接或间 接地通讯的前提下，铺设线路的总长度最 短。？ 数据规模：0 <= k <= n <= 500
分析
我们增加一个节点：卫星。卫星到所有节 点的权值都是 0 。 那么，我们要求的仍是一个最小生成树。 只不过卫星最多只能与 k 个节点相连。 也就是说，节点：卫星的度限制为 k 。 这是一个最小度限制生成树的问题！
答案
只需先求最小生成树，d 的最小值即为第 k 长边！
例题2：POJ 1639 Picnic Planning
矮人虽小却喜欢乘坐巨大的轿车，车大到可以装下 无论多少矮人。某天，N(N≤20)个矮人打算到野外 聚餐。为了集中到聚餐地点，矮人A 要么开车到 矮人B 家中，留下自己的轿车在矮人B 家，然后乘 坐B 的轿车同行；要么直接开车到聚餐地点，并 将车停放在聚餐地。虽然矮人的家很大，可以停 放无数量轿车，但是聚餐地点却最多只能停放K 辆轿车。给你一张加权无向图，描述了N 个矮人 的家和聚餐地点，求出所有矮人开车最短总路程。
算法：Kruskal 和 Prim
•
Kruskal:将所有边从小到大加入，在此过程中 判断是否构成回路
– – –
使用数据结构：并查集 时间复杂度：O(ElogE) 适用于稀疏图 使用数据结构：堆 时间复杂度：O(ElogV) 或 O(VlogV+E)(斐波那契堆） 适用于密集图 若不用堆则时间复杂度为O(V2)
删去边的权值越 大，所得到的生 成树的权值和就 越小，因此，需 要找到环上可删 除的权值最大的 边并将其删除。
简单的枚举，时 间复杂度非常高。
应该使用动态 规划！
动态规划
设最小p度限制生成树为T , T是无根树，为 了简便，我们把v0作为该树的根。 定义Father(v)为T中v的父结点，Father(v0) 无意义。 设Best(v)为路径v0->v上与v0无关联且权值 最大的边。
最小生成树(MST)问题
by yzc
图的生成树
在一个连通图G中，如果取它的全部顶点和 一部分边构成一个子图G’，即： V(G’)=V(G);E(G’) ∈E(G) 若边集E(G’)中的边既将图中的所有顶点连 通又不形成回路，则称子图G’是原图G的一 棵生成树。 一棵含有n个点的生成树，必含有n-1条边。
例题4：POJ1679 The Unique MST
题目：要求判断给定图的最小生成树是否唯一
解：显然，这是一个求次小生成树的问题， 如果求出来的次小生成树权值和与最小生 成树相同，则不唯一
次小生成树的定义
设G=(V , E , ω)是连通的无向图，T是图G的 一个最小生成树。如果有另一棵树T1，满 足不存在树T’ , T’ ≠ T , ω（T’）<ω（T1） ， 则称T1是图G的次小生成树。
最小生成树
对于一个连通网（连通带权图，假定每条 边上的权均为大于零的实数）来说，每棵 树的权（即树中所有边的权值总和）也可 能不同 具有权最小的生成树称为最小生成树。
最小生成树
生成树
无向连通图的边的集合 无回路 连接所有的点 所有边的权值之和最小
最小
Prim算法
假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网， T=(U,TE)是G的最小生成树，U,TE初值均为空集。
1）我们可以先删去v0，对各个连通分量求 最小生成树。
具体实现：枚举每个顶点作为起点执行Prim算 法，执行的过程中对同一连通支的顶点用相同 数字标记。
2）再在每个连通分量中找最小边和v0相连。 3）得到最小m度限制生成树。
时间复杂度分析
求最小m度生成树：O(VlogV+E);
最多k次从p度到p+1度的递推：k*O(V);
图例
关键问题
每次如何从连接T中和T外顶点的所有边中，找 到一条最短的 1) 如果用邻接矩阵存放图，而且选取最短边的 时候遍历所有边进行选取，则时间复杂度为 O(V2), V 为顶点个数 2)用邻接表存放图,并使用堆来选取最短边，则 时间复杂度为O(ElogV) 不加堆的Prim 算法适用于密集图，加堆的适用 于稀疏图
首先从V中任取一个顶点（假定取v1），将它并入 U中，此时U={v1}，然后只要U是V的真子集(U∈V)， 就从那些一个端点已在T中，另一个端点仍在T外 的所有边中，找一条最短边，设为(vi,vj),其中 vi∈U,vj ∈V-U，并把该边(vi, vj)和顶点vj分别并入T 的边集TE和顶点集U，如此进行下去，每次往生成 树里并入一个顶点和一条边，直到n-1次后得到最 小生成树。
证：设最小生成树有n条边，任意两棵最小生成树分别称为A, B, 如果e是一条边，用w(e)表示该边 的权值。 A的边按权值递增排序后为a1, a2,……an w(a1)≤w(a2)≤……w(an) B的边按权值递增排序后为b1, b2,……bn w(b1)≤w(b2)≤……w(bn) 设i是两个边列表中，第一次出现不同边的位置，ai≠bi 不妨设w(ai)≥w(bi) 情形1 如果树A中包含边bi，则一定有j>i使得 bi=aj ,事实上,这时有 w(bi)=w(aj)≥w(ai) ≥w(bi) 故 w(bi)=w(aj)=w(ai)，在树A的边列表中交换边ai和 aj的位置并不会影响树A的边权有序 列表，两棵树在第i个位置的边变成同一条边。 情形2 树A中并不包含边bi，则把bi加到树A上，形成一个圈，由于A是最小生成树，这个圈里任意 一条边的权值都不大于w(bi) ，另外，这个圈里存在边aj不在树B中。因此，有w(aj)≤w(bi)，且 j>i (因为aj不在B中)。于是，有w(bi)≤w(ai)≤w(aj)≤w(bi)，因此 w(ai)= w(aj) = w(bi)。那么在树A中把aj换成bi仍然保持它是一棵最小生成树，并不会影响树A的 边权有序列表，并且转换成情形1。