湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》课件(共22张PPT)
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湘教版九年级数学下册1 二次函数课件
S 1 r2 5r r 0
2
一般地，形如 y = ax²+ bx + c ( a, b, c 是常数，a ≠ 0 ) 的函数叫做二次函数.
判定一个函数是否为二次函数的思路: 1. 将函数化为一般形式 y = ax2 + bx + c. 2. 自变量的最高次数是 2 次. 3. 若二次项系数中有字母, 二次项系数不能为 0.
m2 2m 1 2 m2 m 0
综上所述，该二次函数的解析式为： y = 6x2+9 或 y = 2x2-4x +1.
5. 如图为一隧道的截面示意图， 它的上部是一个半圆， 下部是一个矩形， 且矩形的竖直的边长为 2.5 m. 设 隧道截面积为 S（m2）， 截面半圆的半径为 r（m）， 试写出 S 关于 r 的函数表达式．
x
1. 药店决定对某药物价格分两次降价,若设平均每次降价
的百分率为 x, 该药品的原价为 36 元间的函数表达式为（ ）
A．y＝72(1－x)
B．y＝ 36(1－2x)
C．y＝36(1－x2)
D．y＝ 36(1－x)2
2. 如图, 在一幅长 50 cm,宽 30 cm 的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边, 制成一幅矩形挂画, 设整个挂画的 总面积为 y cm2,金色纸边的宽为 x cm, 则 y 与 x 之间 的函数表达式是_______________________．
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。 宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树， 转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是 靠追的，不是等来的！
2
一般地，形如 y = ax²+ bx + c ( a, b, c 是常数，a ≠ 0 ) 的函数叫做二次函数.
判定一个函数是否为二次函数的思路: 1. 将函数化为一般形式 y = ax2 + bx + c. 2. 自变量的最高次数是 2 次. 3. 若二次项系数中有字母, 二次项系数不能为 0.
m2 2m 1 2 m2 m 0
综上所述，该二次函数的解析式为： y = 6x2+9 或 y = 2x2-4x +1.
5. 如图为一隧道的截面示意图， 它的上部是一个半圆， 下部是一个矩形， 且矩形的竖直的边长为 2.5 m. 设 隧道截面积为 S（m2）， 截面半圆的半径为 r（m）， 试写出 S 关于 r 的函数表达式．
x
1. 药店决定对某药物价格分两次降价,若设平均每次降价
的百分率为 x, 该药品的原价为 36 元间的函数表达式为（ ）
A．y＝72(1－x)
B．y＝ 36(1－2x)
C．y＝36(1－x2)
D．y＝ 36(1－x)2
2. 如图, 在一幅长 50 cm,宽 30 cm 的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边, 制成一幅矩形挂画, 设整个挂画的 总面积为 y cm2,金色纸边的宽为 x cm, 则 y 与 x 之间 的函数表达式是_______________________．
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。 宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树， 转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是 靠追的，不是等来的！
湘教版九年级数学下册课件：1.1二次函数(共16张PPT)
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【例2】若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a ≠ -2 ________. 【解析】本题考查了二次函数的一般形式，y=ax2+bx+c(a，b，c 为 常数，a ≠ 0).所以若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，只要a+2≠0即可， 即a ≠ -2.故答案是 a≠价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？
Page
5
笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍， 于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下关系： y=6000(1-x)2，0＜x＜1， 即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S=x2 二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
S=π r 2
一次函数
二次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数； （4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
1 S xy 2 2S y x
Page 15
反比例函数
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
Page 12
练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
1 ( 2) y 2 x
(3) y 3x 1
(4) y x 2x 1
2
答案：（1）（4）
2
(5) y ( x 5) x
2
2
(6) y 3x 2 x
3
(8) y x x
【例2】若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a ≠ -2 ________. 【解析】本题考查了二次函数的一般形式，y=ax2+bx+c(a，b，c 为 常数，a ≠ 0).所以若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，只要a+2≠0即可， 即a ≠ -2.故答案是 a≠价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？
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5
笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍， 于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下关系： y=6000(1-x)2，0＜x＜1， 即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S=x2 二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
S=π r 2
一次函数
二次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数； （4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
1 S xy 2 2S y x
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反比例函数
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
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练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
1 ( 2) y 2 x
(3) y 3x 1
(4) y x 2x 1
2
答案：（1）（4）
2
(5) y ( x 5) x
2
2
(6) y 3x 2 x
3
(8) y x x
湘教版九年级数学下册第1章二次函数课件
求m的值.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
首页
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
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1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
最全最新湘教版初中数学九年级下册数学知识点大全 ppt课件
d=r
点P在圆上； 的距离与半径之间的关
系；反过来，也可以通
d＞r
点P在圆外. 过这种数量关系判断点
与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
d与r的关系 d＞r 公共点个数 0个 公共点名称
直线名称
d=r 1个 切点 切线
d＜r 2个 交点 割线
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
第2章 圆
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》PPT课件 湘教版
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
湘教版数学九年级下册1.1二次函数课件
①y＝1－2x2
1
1
②y＝ (x－2)(x＋3)－ x2
2
2
③y＝(a2＋1)x2＋bx
1 1
④y＝ 2＋ －1
x x
2
⑤y＝ x －2x－3
⑥y＝( x2)＋2 x－1
解：
①③是二次函数，
其余都不是二次函数．
【归纳总结】
“一化三注意”判定二次函数：
一化
化简函数
注意表达式
是整式
注意自变量的
最高次数式2
其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，
c为常数项.
二次函数的一般情势:
y＝ax 2 ＋bx＋c (其中a 、 b 、 c是常数,a≠0)
二次函数的特殊情势：
当b＝0时， y＝ax 2 ＋c
当c＝0时， y＝ax 2 ＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax 2
例题讲授
例1 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？
x
获取新知
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙
围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，
设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形
植物园的面积S（m2）与x之间函数关系式.
= (100 − 2), 0 < < 50
即 = −2 2 + 100, 0 < < 50
______．
5．如图，用一段长为30 m的篱笆围一个一边靠墙(墙的
长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边的长为x m.
(1)求菜园的面积y(m2)与x(m)之间的函数表达式；
(2)求(1)中自变量x的取值范围．
解：
(1)∵AB边的长为x m，菜园ABCD是矩形菜园，
1
1
②y＝ (x－2)(x＋3)－ x2
2
2
③y＝(a2＋1)x2＋bx
1 1
④y＝ 2＋ －1
x x
2
⑤y＝ x －2x－3
⑥y＝( x2)＋2 x－1
解：
①③是二次函数，
其余都不是二次函数．
【归纳总结】
“一化三注意”判定二次函数：
一化
化简函数
注意表达式
是整式
注意自变量的
最高次数式2
其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，
c为常数项.
二次函数的一般情势:
y＝ax 2 ＋bx＋c (其中a 、 b 、 c是常数,a≠0)
二次函数的特殊情势：
当b＝0时， y＝ax 2 ＋c
当c＝0时， y＝ax 2 ＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax 2
例题讲授
例1 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？
x
获取新知
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙
围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，
设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形
植物园的面积S（m2）与x之间函数关系式.
= (100 − 2), 0 < < 50
即 = −2 2 + 100, 0 < < 50
______．
5．如图，用一段长为30 m的篱笆围一个一边靠墙(墙的
长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边的长为x m.
(1)求菜园的面积y(m2)与x(m)之间的函数表达式；
(2)求(1)中自变量x的取值范围．
解：
(1)∵AB边的长为x m，菜园ABCD是矩形菜园，
二次函数的图像与性质课件(湘教版)
如图1-2-10, 过点N作NH⊥AC于点H, 则
NH∥BC, 所以△ANH∽△ABC, 有
.
因为在Rt△ABC中, AB=
=13(米),所
以
，
所以NH= =
米, 所以S△AMN = ·AM·NH= (12-t)· = ，
所以当t=6时, S最大值 = ,即当t=6时, △AMN的面积最大,这个最大值为 .
轴越近(即离顶点越近), 纵坐标越小；若抛物线开口向下, 则顶 点的纵坐标最大, 由图像的变化趋势可知抛物线上的点距离对 称轴越近(即离顶点越近), 纵坐标越大.
题型四 系数相关的两个函数图像的推断问题
例题4 一次函数y=ax+c(a≠0)与二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)在 同一个平面直角坐标系中的图像可能是(D ).
A．y=2(x-3)2 -5
B．y=2(x+3)2 +5
C．y=2(x-3)2 +5
D．y=2(x+3)2 -5
锦囊妙计
抛物线的平移规律 将抛物线y=ax2 (a≠0)向上平移k(k>0)个单位, 所得抛物线的函 数表达式为y=ax2 +k；向下平移k(k>0)个单位, 所得抛物线的函数表 达式为y=ax2 -k；向左平移h(h>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式 为y=a(x+h)2 ；向右平移h(h>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式为 y=a(x-h)2 . 这一规律可简记为“上加下减, 左加右减”. 若抛物线的 函数表达式是一般式, 可将其化为顶点式后, 再按此平移规律解答.
锦囊妙计
利用二次函数解决面积最值问题的思路 第一根据题中所给条件及面积公式, 列出二次函数的表达 式, 然后将表达式化为顶点式,再根据二次函数的性质求出最大 (小)值.
《二次函数》湘教版九年级下册课件
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
已知二次函数y=ax2+bx。当x=-1时， y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
解：把x=-1，y=7； x=2，y=10代入
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关键 是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做x的二次函数
观察下列函数有什么共同点:
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都
是二一次。般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
知识运用
温馨提示：需要细心 考虑哦！
例4:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1）
是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
已知二次函数y=ax2+bx。当x=-1时， y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
解：把x=-1，y=7； x=2，y=10代入
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关键 是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做x的二次函数
观察下列函数有什么共同点:
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都
是二一次。般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
知识运用
温馨提示：需要细心 考虑哦！
例4:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1）
是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2
湘教版数学九年级下册第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质课件
标增大时，纵坐标怎样变化？
y = 的图象关
于y轴对称,y轴就
是它的对称轴.x2yA Nhomakorabea9
B
6
A'
B'
3
-3
o
3
图象在y轴右边的部
分，函数值随自变量
取值的增大而增大，
简称为“右升”.
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边
的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线
值范围为______．
k>－1
4．在同一直角坐标系中，画出y ＝ x2 ，
y＝2x2的图象．
解：列表：
x
… －2 －1
0
1
2
…
0
2
…
＝
…
2
描点：将表中的数据作为点的坐标在平
面直角坐标系中描出．
连线：用光滑的曲线
分别顺次连接
各对应点，
如图所示．
课堂小结
二次函数y=ax2
的(a＞0）图象
顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
y
9
6
3
-4
-2
o
2
4
x
函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”
外，还具有哪些性质？
y
y=x2
1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
o
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．
y = 的图象关
于y轴对称,y轴就
是它的对称轴.x2yA Nhomakorabea9
B
6
A'
B'
3
-3
o
3
图象在y轴右边的部
分，函数值随自变量
取值的增大而增大，
简称为“右升”.
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边
的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线
值范围为______．
k>－1
4．在同一直角坐标系中，画出y ＝ x2 ，
y＝2x2的图象．
解：列表：
x
… －2 －1
0
1
2
…
0
2
…
＝
…
2
描点：将表中的数据作为点的坐标在平
面直角坐标系中描出．
连线：用光滑的曲线
分别顺次连接
各对应点，
如图所示．
课堂小结
二次函数y=ax2
的(a＞0）图象
顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
y
9
6
3
-4
-2
o
2
4
x
函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”
外，还具有哪些性质？
y
y=x2
1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
o
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．
湘教版九年级数学下册1.1二次函数课件(共13张ppt)
如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函
数称为二次函数。
它的一般形式是：y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0).
注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次多项式。（整式）
（2）自变量的最高次数为2，a，b，c为常数，且a≠0. （b，c可为0）。x的取值范围是任意实数.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
当c＝0时， y＝ax2＋bx
1、在引例1中，（1）与围墙相邻的每一面 A
D
墙长为26m，植物园的面积是多少？（2）
要使植物园得面积是1250m2，与围墙相对 B
C
的墙长是多少？
设与围墙相邻的墙长为xm 得：S = -2x2 +100x
(1).当x=26时，S=-2×262+100×26=-1352+2600=1248（m2） （已知自变量的值，求函数值。）
(2). 面积是1250m2，求墙长。 即：-2x2 +100x=1250
解得：x1=x2=25 则与围墙相对的墙长是50m. （已知函数值，求自变量的值。）解方程。
体现了函数与多项式、方程的关系。
电脑的价格. 一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现 在的售价为y元. 如果每年的平均降价率为x，那么降价率变 化时，电脑售价怎样变化呢？
根据我们在上学期学过的一元二次方程的知 识，我们容易得到平均降价率x与售价y之间有如 下的关系： y = 6000(1-x)2， 0＜x＜1
即： y = 6000x2-12000x+6000，0＜x＜1.
2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的 函数关系； （2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系 （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2) 与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
九年级数学下册(湘教版)1.2.1二次函数图像与性质课件
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时 ，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x0 1
2
3 ...
y 1 x2 2
0
0.5
2
4.5 ...
描点：在平面直角坐标
系内，以x取的值为横坐
标，相应的函数值为纵坐
标，描出相应的点，如右 图
A′
连线：根据上述分析，我
3
正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎 么样的？二次函数的图象是什么形状呢？通常怎 样画一个函数的图象？
y
O
x
画函数y=x2的图像 解:(1)列表
x
…
(2) 描点
y…
(3) 连线
我们可以用一条光滑曲线把
原点和y轴右边各点顺次连接起
来；然后利用对称性，画出图
象在y轴左边的部分（把y轴左
边的对应点和原点用一条光滑
8
描点
连线
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
1
9
4
4
描点
连线
我们已经画出了 y 1 x2 的图象，能不能从它得出二
2
次函数 y 1 x2 的图象呢？
2
1.在
y 1 x的2 图象上任取
2
y 1 x2 2
4
一点P（ a, 1 a2 ），它
2
2P
关于x轴的对称点Q的坐
24
【总结】
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是 今后在画 y ax2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
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二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系 数是________,常数项是______.
2+1 k 当k=_______时,函数y=(k-1)x +3x
是二次函数
说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数，常数项
对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( A、y=(k-1)2x2 C、 y=(k2+1)x2 B、y= (k+1)2x2 D、 y=(k2-1)x2
1
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
x
3
1.y
=πx2
2.y
= 2(1+x)2 =2x2+4x+2
3.y=
(60-x-4)(x-2)
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征 ? 经化简后都具有y=ax² +bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0
)
我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2 1 (2) y 2 x (3) y x(1 x)
是 不是 是
不是
不是
(4) y ( x 1) 2 x 2
(5)y=3x-1
先化简后判断
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2）y=x2+x （3）y=5x2-6
)
正方形的边长是４，若边长增加x，则面积增加y， 则y关于x的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿， 它是二次函数吗？
独立 作业 1、已知二次函数y=ax² +bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的解析试. 2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的 一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数关系式和自变 量的取值范围. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
2
解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x 12x 15
已知二次函数
y 2( x 1) 4
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？
当x=1时,函数y有最小值为4
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
x取任意实数
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y (cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
例1、若函数 求m的值。
y (m 1)x
2
m 2 m
为二次函数，
解：因为该函数为二次函数， 则
2 m m 2(1) 2 m 1 0( 2)
解（1）得：m=2或-1 解（2）得： m 1且m 1 所以m=2
例2：已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x px q, 得：
2
｛
1 p q 4 4 2 p q 5
x
3.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y= (2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（ 1 ）a 0 (2)a 0, b 0
(3)a 0, b 0, c 0
二次函数
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系： (1)圆的面积 y ( cm )与圆的半径 x ( cm )
2
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是 一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设 一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。