高中数学第一章三角函数.任意角和弧度制教学案新人教A版

1.1 任意角和弧度制第1课时任意角[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕O 旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．2．归纳总结，核心必记(1)角的有关概念其中O为顶点，OA为始边，OB为终边(2)①②按角的终边位置(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[问题思考](1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边．(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．[课前反思](1)角的概念：；(2)角的分类：；(3)终边相同的角：．[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．讲一讲1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，31136≤k ＜61136. 故k ＝4，5，6，k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z }，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z }．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }．(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z 且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k .可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．练一练1．在与角1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．解：1 030°÷360°＝2……310°，所以1 030°＝2×360°＋310°，所以与角1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．[思考2] 如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．讲一讲2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．练一练2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S 1＝{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S 2＝{α|α＝105°＋k ·180°，k ∈Z }，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°＋k ·180°≤α＜105°＋k ·180°，k ∈Z }．讲一讲3．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？ [尝试解答] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )．法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角． 法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角．(1)n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (2)αn所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角αn的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． Ｋ练一练3．在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 016°；(4)－120°.解：如图所示，分别作出各角．可以发现(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2 016°＝216°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 016°角终边相同的角是216°，所以2 016°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．4．已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2是第几象限角． 解：∵α为第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )．(1)(2k ＋1)·360°<2α<(2k ＋1)·360°＋180°(k ∈Z )，则2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y 轴非负半轴上的角．(2)k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°(k ∈Z )， 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°(n ∈Z )， 此时α2为第二象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°(n ∈Z )， 此时α2为第四象限角． 综上所述，α2可能是第二象限角或第四象限角． ———————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n α及αn 所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；(2)象限角及n α、αn所处象限的判断，见讲2和讲3. 3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k ∈Z}．2．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}解析：选D 因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A、B.又C项中的角出现在第一、三象限，故选D.3．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．解析：－1 560°＝(－5)×360°＋240°，而240°＝360°－120°，故最小正角为240°，而最大负角为－120°.答案：240°－120°4．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.解析：∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1 110°<k·360°<－750°.当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.答案：－960°5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－60°，120°.题组2 象限角的判断6．－1 120°角所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7．下列叙述正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错．8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选B ∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B. 题组3 n α或αn所在象限的判定9．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一或第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第一或第四象限角解析：选C 由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )， ∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．[能力提升综合练]1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( ) A ．{α|90°<α<180°}B ．{α|90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z }C ．{α|－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z }D ．{α|－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z }解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k ·360°<α<180°＋k · 360°，k ∈Z }，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确．3．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M NC ．MN D ．M ∩N ＝∅解析：选C M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴MN .4．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°. 法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称， ∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ， 即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －606．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边， ∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z .得 4α＝k ·360°， 当 k ＝3时，α＝270°. 答案：270°7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|150°＋k ·360°≤α≤390°＋k ·360°，k ∈Z }．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与 670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z . ∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z ，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°. 取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.第2课时 弧 度 制[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 6～P 9的内容，回答下列问题．(1)我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？ 提示：1度的角等于周角的1360. (2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1弧度的角是如何定义的？ 提示：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)阅读教材P 6“探究”的内容，思考：①如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是多少？提示：|α|＝l r.②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？ 提示：π＝180°. 2．归纳总结，核心必记 (1)度量角的两种制度(3)角度制与弧度制的换算(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表(5)设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．(2)比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：无关．(3)在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以略去不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？提示：不能省略．(4)你认为式子“α＝k ·360°＋π3，k ∈Z ”正确吗？提示：不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．[课前反思](1)角度制的定义： ；(2)弧度制的定义： (3)任意角的弧度数与实数的对应关系： ；(4)角的弧度数的计算公式： ；(5)角度与弧度的互化： ；(6)扇形的弧长及面积公式： ．讲一讲1．有关角的度量给出以下说法：①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1 rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是________．[尝试解答]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°≠1°，故②不正确．答案：①③④(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系．(2)角度制和弧度制的比较：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．④用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad ”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．练一练1．下列说法正确的是( )A ．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B ．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D ．－120°的弧度数是2π3答案：B讲一讲2．把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[尝试解答] (1)72°＝72×π180＝2π5； (2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数． 练一练2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，α2＝750°＝750π180＝25π6.∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝25π6＝2×2π＋π6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k ·360°＋108°(k ∈Z )， 则由－720°≤θ＜0°，得－720°≤k ·360°＋108°＜0°(k ∈Z )， 解得k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°； β2＝－π3＝－13×180°＝－60°，设γ＝k ·360°－60°(k ∈Z )，则由－720°≤k ·360°－60°＜0(k ∈Z )， 得k ＝－1或k ＝0，∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°.讲一讲3．(1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________cm 2.(2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？[尝试解答] (1)设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4.故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是l R ＝2(π－1)，扇形的面积是12lR ＝(π－1)R 2.答案：(1)4弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． 练一练3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝30， 故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r＝－r 2＋15r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254⎝ ⎛⎭⎪⎫15π＋1<r <15，所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad ；(3)1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.3．本节课要重点掌握以下规律方法(1)弧度制的概念辨析，见讲1； (2)角度与弧度的换算，见讲2；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用，见讲3. 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．课下能力提升(二) [学业水平达标练]题组1 弧度的概念1．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 解析：选D 由弧度的定义知，选项D 正确． 2．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6 B.π3 C.11π6 D.2π3解析：选C 与角－π6终边相同的角的集合为{α|α＝－π6＋2k π，k ∈Z }，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.3．角－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D.题组2 角度与弧度的换算 4．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.5．把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________． 解析：法一：－690°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫690×π180＝－236π.∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π66．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z ，0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0，5π)上找出与α终边相同的角． 解析：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为β＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤β＜0，∴k ＝－3，－2，－1.当k ＝－3时，β＝－29π6；当k ＝－2时，β＝－17π6；当k ＝－1时，β＝－5π6.(3)与α终边相同的角可以写为γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又0≤γ＜5π，∴k ＝0，1.当k ＝0时，γ＝7π6；当k ＝1时，γ＝19π6.题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( ) A.403π B.203π C.2003 D.4003π 解析：选A 240°＝240180π＝43π，∴弧长l ＝43π×10＝403π，选A.8．若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2 B.3π4 C.3π8 D.3π16解析：选B S 扇形＝12lR ＝12(αR )·R ＝12αR 2，由题中条件可知S 扇形＝3π8，R ＝1，从而α＝2S 扇形R 2＝3π41＝3π4，故选B.9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________． 解析：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1.解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.答案：210.如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，有S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.[能力提升综合练]1．角α的终边落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.1sin 0.5B ．sin 0.5C ．2sin 0.5D ．tan 0.5解析：选A 连接圆心与弦的中点，则弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形．弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，所以圆的半径为1sin 0.5，所以该圆心角所对的弧长为1×1sin 0.5＝1sin 0.5，故选A.3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3 D ．2 解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3.4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}解析：选B 如图，在k ≥1或k ≤－2时，[2k π，(2k ＋1)π]∩[－4，4]为空集，分别取k ＝－1，0，于是A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．5．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15. 答案：π5，π3，7π156．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π107．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与14π9角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.8．如图所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．解：AA 1︵所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝（9＋23）π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4(dm 2)．。