2021年高中数学 2.2.1第2课时圆的一般方程课时作业 苏教版必修2
2.2.1圆的方程作业2 高中数学 必修二 苏教版 含答案
双基达标 (限时15分钟)1．请将下表中的圆的方程所表示圆的圆心与半径填写在对应的表格中：解析 即可写出相应的圆的圆心与半径．答案2.． 解析 根据圆的标准方程得所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝43．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是________．解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，它到直线y ＝33x 的距离是d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3313＋1＝12. 答案 124．若点(1,2)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝m的内部，则实数m的取值范围是________．解析点(1,2)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝m的内部，则点(1,2)到圆心(2，－1)的距离小于半径m，故1＋9＜m，解得m＞10.答案m＞105．过点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程是________．解析设圆心坐标为(a,0)，据C(－1,1)和D(1,3)到圆心距离相等得(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，故圆心为(2,0)，半径为(a＋1)2＋1＝10.答案(x－2)2＋y2＝106．求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的方程，并判断点M(5，－7)，N(－5，－1)是否在这个圆上．解∵圆心为A(2，－3)，半径长为5，∴该圆的标准方程为：(x－2)2＋(y ＋3)2＝25.把点M(5，－7)代入方程的左边，(5－2)2＋(－7＋3)2＝32＋42＝25＝右边，即点M(5，－7)的坐标适合方程，∴点M(5，－7)是这个圆上的点；把点N(－5，－1)的坐标代入方程的左边，(－5－2)2＋(－1＋3)2＝13＋45≠25.即点N(－5，－1)坐标不适合圆的方程，∴点N不在这个圆上．综合提高(限时30分钟)7．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为________．解析由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，∴该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.答案(x＋1)2＋(y－2)2＝58．已知一个圆的圆心为(2，－3)，其一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是________．解析由平面几何知识易知，r就是圆心与原点的距离．∴r＝(2－0)2＋(3－0)2＝13∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. 答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝139．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是________． 解析 两圆关于原点对称，即两圆圆心关于原点对称，半径相等；故圆C 的圆心为(2，－1)，半径为1，方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝110．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)、B (0，－2)，则圆C 的方程为________．解析 ∵圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)，∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上．又已知圆心在直线2x －y －7＝0上，∴联立y ＝－3,2x －y －7＝0；解得x ＝2，∴圆心为(2，－3)，半径为r ＝|AC |＝22＋[－3－(－4)]2＝ 5. ∴所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝511．已知两点P (4,9)，Q (6,3)，求以线段PQ 为直径的圆的方程． 解 ∵PQ 为直径，∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即M (5,6)，又因为PQ ＝(6－4)2＋(3－9)2＝4＋36＝210，所以r ＝PQ2＝10， ∴圆的标准方程为：(x －5)2＋(y －6)2＝10.12．求圆C ：(x －3)2＋(y ＋2)2＝36关于直线x －y ＋1＝0对称的圆C ′的标准方程．解 圆C 的圆心为C (3，－2)，圆C ′的圆心与C (3，－2)关于x －y ＋1＝0对称，∴设圆C ′的圆心为C ′(a ，b ) 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32－b －22＋1＝0，b ＋2a －3×1＝－1，，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.所以，圆C ′的标准方程为：(x ＋3)2＋(y －4)2＝36.13.(创新拓展)如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上．(1)求BC边所在直线方程；(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．解(1)∵k AB＝－2，AB⊥BC，∴k CB＝2 2，∴BC：y＝22x－2 2.(2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)，∴圆心M(1,0)，又∵AM＝3，∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.。
数学：第2章2.2.1圆的方程 课件(苏教版必修2)
备选例题
1.求圆心在直线5x－3y－8＝0上，且与两坐标
轴都相切的圆的标准方程．
解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2， ∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又∵圆心(a，b)在直线5x－3y－8＝0上，∴5a
－3b＝8.
a＝±b， a＝4， a＝1， 由5a－3b＝8，得b＝4，或b＝－1， r＝|a|， r＝4， r＝1. ∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－ 1)2＋(y＋1)2＝1. 法二：圆与两坐标轴都相切，那么圆心必在直 线 y＝±x 上．
3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆 的标准方程．
【思路点拨】
解答本题可以先根据所给条
件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出 方程用待定系数法求解．
【解】
法一：设点C为圆心．
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．(2分)
名师微博
据定义，求圆心，定半径，方便快捷.
①当 D2＋E2－4F＞0 为圆心，
D E － ，－ 2 2 时， 表示以____________
1 2 D ＋E2－4F 2 ____________为半径的圆； ②当 D2＋E2－4F＝0 时，方程只有实数解 x＝ D E D E － ，－ － ， y＝－ ， 即只表示一个点____________； 2 2 2 2 ③当 D2＋E2－4F＜0 时，方程没有实数解，因 而它不表示任何图形．
名师微博
这里采用的是待定系数法，此法常用，勿必 掌握.
a＝－1 解得b＝－2，(10 分) 2 r ＝10 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. (14 分)
2021年高中数学第二章2.2.1圆的标准方程学案北师大版必修2
§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程练习 苏教版必修2(2021年最新整理)
高中数学第二章平面解析几何初步2.2 圆与方程练习苏教版必修2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面解析几何初步2.2 圆与方程练习苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
2 圆与方程一、填空题1. 已知点A（1，－1），B(－1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是__________．2. 已知A(－1，5），B(－2,－2），C（5，5），则△ABC的外接圆的方程是__________．3。
若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是__________．4. 若方程x2＋y2＋ax－2ay＋错误!a2＋3a＝0表示的图形是半径为r（r＞0）的圆,则该圆的圆心在第________象限．5. 设圆C的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是________．6。
圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为__________．7。
点P（4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是__________．8。
圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0上的动点M到坐标原点的距离的最大值、最小值分别是________、________．9。
如图，已知点A(0，2)和圆C：（x－6）2＋(y－4）2＝8,M和P分别是x轴和圆C上的动点,则AM＋MP的最小值是________．10。
已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有MB＝λMA,则b＋λ＝________．二、解答题11。
苏教版数学必修二新素养同步课件：2.2.1 第2课时 圆的一般方程
第2章 平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么 关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是 否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为 大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程 不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示 圆．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0， 即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0， 所以原方程表示圆，
高中数学2.2.2圆的一般方程课时分层作业含解析北师大版必修2.doc
课时分层作业(二十) 圆的一般方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为()A．(1，－1) B.⎝⎛⎭⎫12，－1C．(－1,2) D.⎝⎛⎭⎫－12，－1D[将圆的方程化为标准方程，得⎝⎛⎭⎫x＋122＋(y＋1)2＝454，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－12，－1.] 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()A.2πB．2πC．22πD．4πC[圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的半径r＝2，∴周长＝2πr＝22π.]3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为()A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0A[由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－21－2，即x＋y－3＝0.] 4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最小值是()A．2 B.2－1C．2＋22D．1＋2 2B[圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，∴所求的最小值为2－1.]5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为()A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25C [线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．] 二、填空题6．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的一般方程为______．x 2＋y 2－4x －6＝0 [由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10， ∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10，化为一般方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.]7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．(－∞，1) [由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a <5，由此，得a －b <1.]8．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．x 2＋y 2＝4 [设M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 02，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.]三、解答题9．若点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a 2＋1－7a －3＋2＝0，∴a ＝0或a ＝7.10．等腰三角形的顶点A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解] 设底边另一个端点C 的坐标是(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10， 这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合且不能为圆A 的一条直径的两个端点，所以点C 不能为(3,5)且x ＋32≠4，y ＋52≠2，即点C 也不能为(5，－1)，故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．1．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F B [由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .] 2．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)D [由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a <0，2a >0，|－a |>2，解得a >2，故选D.]3．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．(－∞，1) [∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，(－2a )2－4×(－4)>0， 即2a <2，a <1.]4．已知M (0,4)，N (－6,0)，若动点P 满足PM ⊥PN ，则动点P 的轨迹方程是________． (x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6) [由于PM ⊥PN ，所以动点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆(不包括端点M ，N )，其圆心为线段MN 的中点(－3,2)，直径|MN |＝36＋16＝213，于是半径等于13，故轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6)．]5．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．[解] (1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0可化为x 2＋y 2＋2x －y ＋b (1－y )＝0，因为过定点，则与b 无关，即y ＝1代入上式，可得x ＝0或x ＝－2，所以圆C 必过定点(0,1)，(－2,1)．。
【2020】最新高中数学第2章平面解析几何初步2-2圆与方程2-2-1第二课时圆的一般方程课时作业苏教版必修2
3．已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0，
(1)当a取何值时，方程表示圆；
(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
解：(1)当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；
当a≠－1时， 2＋ 2＝ 表示圆．
(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.
答案：9π
4．点A(1,0)在圆x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上，则a的值为________．
解析：∵点A在圆上，∴a应满足的条件为
，即 ，
解得 ，∴a＝－2.
答案：－2
5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心的坐标是________．
解析：将x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为(x＋ )2＋(y＋1)2＝1－ k2，可知当k＝0时，圆的半径最大，即圆面积最大，此时圆心坐标是(0，－1)．
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意知b≠0且Δ＞0，
解得b＜1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，
对于a取任何值，上式成立，则有
解得 或
∴C过定点A(0,0)，B .
(3)由(2)曲线C过定点A、B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆，AB为弦，直径大于AB的长，圆的面积也大)，
高中数学(苏教版必修2)同步文档第2章 2.2.1 第2课时 圆的一般方程 Word版含解析
第课时圆的一般方程．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理圆的一般方程的定义阅读教材，完成下列问题．．圆的一般方程的定义时，方程＋＋＋＋＝叫做圆的一般方程，其圆心为()当＋－>，半径为.()当＋－＝时，方程＋＋＋＋＝表示点.()当时，方程＋＋＋＋＝不表示任何图形．＋－<．点与圆的位置关系已知点(，)和圆的方程＋＋＋＋＝(＋－>)，则其位置关系如下表：．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)()二元二次方程＋＋＋＋＝一定是某个圆的方程．(×)()方程＋－＋＋＝表示圆，则≠.(√) ()二元二次方程＋＋＋＋＋＝表示圆应满足的条件是①＝≠；②＝；③＋－>.(√)．圆＋－＋＋＝化为标准形式为．【解析】由＋－＋＋＝，得(－)＋(＋)＝.故圆的标准形式为(－)＋(＋)＝.【答案】(－)＋(＋)＝．方程＋＋－＋＝表示圆的条件是．【解析】由题意可知，＋(－)－＞，解得＜.【答案】(－∞，)[小组合作型]二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．()＋－＋＝；()－＋＋＋＝；()＋－－＋＝；()＋－＝；()＋－(－)＋＝(≠)．【精彩点拨】根据二元二次方程表示圆的条件判断．【自主解答】()∵≠，∴不能表示圆．()∵前的系数不等于，∴不能表示圆．()∵＋－＝(－)＋(－)－×<，∴不能表示圆．()方程变形为＋－＝.配方得＋(－)＝，故方程表示圆，其圆心为()，半径为.()法一：∵≠，∴原方程可化为＋－＋＝，即＋＝.。
2021高中数学第2章平面解析几何初步第二节圆与方程1圆的方程习题苏教版必修2
2021高中数学第2章平面解析几何初步第二节圆与方程1圆的方程习题苏教版必修2（答题时刻：40分钟）*1.（南京检测）方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是______________。
**2. 已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________。
*3.（衡水检测）通过圆（x ＋3）2＋（y －5）2＝36的圆心，同时与直线x ＋2y －2＝0垂直的直线方程为______________。
**4. 已知点P （x ，y ）在圆x 2＋y 2＝1上，则22(1)(1)x y -+-的最大值为________。
**5. 设△ABC 顶点坐标A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0），其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆。
（1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由。
**6.（龙岩检测）已知以点C 为圆心的圆通过点A （－1，0）和B （3，4），且圆心C 在直线x ＋3y －15＝0上。
（1）求圆C 的方程；（2）设点Q （－1，m ）（m ＞0）在圆C 上，求△QAB 的面积。
***7.（福建师大附中检测）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成。
已知隧道总宽度AD 为63 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA 、FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m 。
（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m 。
请运算车辆通过隧道的限制高度是多少。
1.（－∞，1） 解析：由题意可知，16＋（－2）2－20m ＞0，解得m ＜1。
2. －10 解析：由题意可知，圆C 的圆心（－2a ，－2）在直线x ＋2y －1＝0上，即－2a －4－1＝0，解得a ＝－10。
苏教版数学必修二：2.2.1 第2课时 圆的一般方程 应用案巩固提升
[A 基础达标]1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：选C.由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2.故选C. 2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C.直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1，2)． 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.3．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析：选A.方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．4．动点P 到点A (8，0)的距离是到点(2，0)的距离的2倍，那么点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B.设P (x ，y )，根据题意有2（x －2）2＋y 2＝（x －8）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.5．过P (5，4)作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －3＝0的切线，切点分别为A 、B ，则四边形P ACB 的面积是( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选B.将圆C 的方程化为标准方程(x －1)2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心坐标为C (1，1)，半径为CA ＝5，CP ＝（5－1）2＋（4－1）2＝5，在Rt △ACP 中，AP ＝CP 2－CA 2＝25－5＝25，所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12CA ×AP ＝10. 6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：点(3，5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径，所以AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，所以BD ＝46，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝20 6. ★★答案★★：20 67．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F >0的条件．★★答案★★：－108．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.★★答案★★：59．求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E .由题知x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4，2)，B (－1，3)在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③由①②③解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.10．设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为 ⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝⎛⎭⎫－95，125和点⎝⎛⎭⎫－215，285. [B 能力提升]1．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．解析：设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0，得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m >0y 1＋y 2＝－2y 1y 2＝m，而C (2，－1)，由∠ACB ＝90°知AC ⊥BC ，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2×y 2＋1－2＝－1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4，代入上面的结果得m －2＋1＝－4.所以m ＝－3，符合m <1的条件．★★答案★★：－32．已知曲线C ：(1＋a )x 2＋(1＋a )y 2－4x ＋8ay ＝0，(1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点；(3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，表示一条直线；当a ≠－1时，⎝⎛⎭⎫x －21＋a 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 2（1＋a ）2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.对于a 取任何值，上式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝165，y ＝－85， 所以C 过定点A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫165，－85. (3)由上一问曲线C 过定点A 、B ，在这些圆中，当以AB 为直径时，圆的面积最小(其余不以AB 为直径的圆，AB 为弦，直径大于AB 的长，圆的面积也大)，从而得以AB 为直径圆的方程：⎝⎛⎭⎫x －852＋⎝⎛⎭⎫y ＋452＝165， 所以21＋a ＝85，4a 1＋a ＝45，4＋16a 2（1＋a ）2＝165， 解得a ＝14. 3．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )；令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意知b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0与b 无关)，将该点代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0(*)，为使(*)式对所有满足b ＜1且b ≠0的b 都成立，只需1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1. 经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点．。
2021_2022学年高中数学课时分层作业20圆的一般方程(含解析)苏教版必修2
课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，那么k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ A [方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时表示圆．] 2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0C [要将圆平分，只要直线经过圆心即可，圆心坐标为(1，2)．经历证只有C 中直线过点(1，2)．]3．动点M 到点(8，0)的距离等于点M 到点(2，0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16B [设M (x ，y )，那么〔x －8〕2＋y 2＝2〔x －2〕2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.] 4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，那么以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0C [(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1，2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.]5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [∵圆心(－1，－2)，r ＝22， 又圆心到直线的距离d ＝2， ∴共有3个点．]二、填空题6．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是____________． [2，＋∞) [圆的半径r ＝124＋4〔k 2－2k ＋2〕＝k 2－2k ＋3＝〔k －1〕2＋2≥ 2.]7．圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，那么直线AB 的方程为________．x ＋y －4＝0 [圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2，0)，半径为3.AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1， ∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0.]8．假设圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，那么D ＋E 的值为__________．4 [∵l 1，l 2过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.] 三、解答题9．设A (－c ，0)，B (c ，0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹．[解] 设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得〔x ＋c 〕2＋y 2〔x －c 〕2＋y2＝a 2， 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)·y 2＝0. 当a ＝1时， 方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆．10．过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)假设O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．[解] (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1<1，得4－73<k <4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝4〔1＋k 〕1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k 〔1＋k 〕1＋k 2＋8＝12， ∴4k 〔1＋k 〕1＋k2＝4，解得k ＝1. [等级过关练]1．假设圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，那么实数m 的值为( )A ．2或1B ．－2或－1C ．2D ．1C [∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)>0，∴m >1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.]2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝FA [由D 2＋E 2－4F >0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，故D＝E .]3．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，那么实数k 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.]4．假设直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，那么r ＝__________．2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，那么|OD |＝532＋〔－4〕2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]5．方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)假设点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．[解] (1)方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知，r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167，∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.∴t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.。
2020-2021学年高一数学苏教版必修2同步课时作业2.2 圆与方程
2020-2021学年高一数学苏教版必修2同步课时作业2.2 圆与方程1.以点()3,1A --和()5,5B 为直径端点的圆的方程是( )A.()()221225x y -+-=B.()()221225x y +++=C.()()2212100x y +++=D.()()2212100x y -+-= 2.圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则a =( )A.43- B.34- D.2 3.圆()()22213x y -+-=关于直线3560x y ++=对称的圆的方程为( )A.()()22233x y +++= B .()2213x y -+= C.()()22143x y +++=D.()2233x y ++= 4.已知直线0x y +=与圆()()2212x y b -+-=相切，则b =( )A.3-B.1C.52D.3-或15.圆221:4C x y +=和222(3)(4)49:C x y -++=的位置关系是( )A.相交B.相离C.内切D.外切 6.已知直线l 经过点()4,2P -，且被圆()()221225x y +++=截得的弦长为8，则直线l 的方程是( )A.724200x y +-=B.43250x y ++=C.43250x y ++=或4x =-D.724200x y +-=或4x =-7.圆：222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是( )A.2B.1+C.1D.1+8.已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点()0,0O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.6B.8C.10D.129.圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )C. D.10.己知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交的弦长为6，则圆C 的方程为( )A.22(1)18x y ++=B.22(1)x y +-=C.22(1)18x y -+=D.22(1)x y -+=11.若过点(),A a a 可作圆222:2230C x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数a 的取值范围为_________________. 12.已知圆()()22:124C x y ++-=关于直线:0l x y m -+=对称，则实数m =_____________.13.已知圆()22:39C x y +-=，过原点作圆C 的弦OP ，则弦OP 的中点Q 的轨迹方程为_________________.14.若曲线225x y +=与曲线222()2200x y mx m m +-+-=∈R 相交于,A B 两点，且两曲线在A 处的切线相互垂直，则m 的值是_________________.15.已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于,A B 两点.(1)求直线AB的方程，并求出AB；PQ P的(2)在直线AB上取点P，过P作圆1C的切线PQ(Q为切点)，使得||坐标.答案以及解析1.答案：A解析：由题意可得，圆心为线段AB 的中点()1,2，半径1||52r AB ==，故所求的圆的方程为22(1)(2)25x y -+-=. 2.答案：B解析：圆的方程可化为22(2)(3)4x y -+-=，所以圆心为(2,3)，则圆心到直线的距离2d ==，即22(2)1a a +=+，解得34a =-.故选B. 3.答案：C解析：设对称圆的圆心为(),a b ，则依题意得15,23213560,22b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⨯+⨯+=⎪⎩解得1,4,a b =-⎧⎨=-⎩所以所求的圆的方程为22(1)(4)3x y +++=.故选C.4.答案：D解析：圆22(1)()2x y b -+-=的圆心坐标为(1,)b=即12b +=，解得1b =或3b =-.故选D.5.答案： C解析：圆221:4C x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2；圆222:(3)(4)49C x y -++=的圆心坐标为(3,4)-，半径为7.572==-，所以两个圆内切.故选C.6.答案： D解析：点P 在圆上，直线l 有两条.当直线斜率存在时，设直线方程为2(4)y k x -=+，即420kx y k -++=.由圆的方程可知圆心为()1,2--，半径5r =，22425⎛⎫∴+=，解得7,24k =-∴直线方程为724200x y +-=. 当直线斜率不存在时，直线方程为4x =-，满足弦长为8.综上，所求直线方程为724200x y +-=或4x =-.7.答案：B解析：圆：222210x y x y +--+=化为标准方程得22(1)(1)1x y -+-=，所以圆心为(1,1)，半径为1.所以圆心(1,1)到直线2x y -=的距离d =，则所求距离的最大值为18.答案：D解析：化圆224240x y x y +-+-=为22(2)(1)9x y -++=，得圆心M 的坐标为()2,1-，半径为3.由圆的弦的性质可得，最长的弦即为圆的直径，AC ∴的长为6.点(0,0),O MO ∴=当弦BD 最短时，弦BD 和MO 垂直，且经过点O ，此时4BD =.四边形ABCD 的面积为11||||641222AC BD ⋅=⨯⨯=.故选D.9.答案：C解析：圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的方程相减得20x y -+=.圆心()0,0到直线20x y -+=的距离2d r ===，则公共弦长为=故选C.10.答案：A 解析：直线10x y ++=与直线10x y --=的交点为()0,1-，圆C 的圆心坐标为()0,1-.设圆C 的半径为r ，由题意可得2223r ⎛⎫+=，解得218r =.圆C 的方程为22(1)18x y ++=.故选A.11.答案：3(,3)1,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭解析：方程表示圆，则320a ->，即32a <.圆心为(,0)C a ，半径r 由于过点(,)A a a 可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即22222230a a a a a +-++->，解得3(,3)1,2a ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 12.答案：3解析：由题意得圆心()1,2C -在直线:0l x y m -+=上，120,3m m ∴--+=∴=.13.答案：2239(0)24x y y ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭ 解析：设()(),0Q x y y ≠，则()2,2P x y ，代入圆C 的方程，得()()222239x y +-=，即点Q 的轨迹方程为2239(0)24x y y ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭. 14.答案：5±解析：曲线225x y +=是圆心为()10,0O ，半径1r =曲线2222200x y mx m +-+-=是圆心为()2,0O m ，半径2r =的圆.由两圆相交于,A B 12O O <<||m <<由A 处的切线互相垂直可知，12O A O A ⊥，所以有22225m =+=，解得5m =±||m <15.答案：(1)由两圆方程相减，得直线AB 的方程为240x y -+=.又圆心2(1,1)C --，半径2r圆心2C 到直线AB 的距离d =公共弦长||AB =(2)由题知在直线AB 上取点P ，过P 作圆1C 的切线PQ (Q 为切点)，使得||PQ = 又圆1C 的标准方程为()()221550x y -++=，圆心1(1,5)C -，半径1r =1||15,PQ r ==，1PC ∴=.设()24,,P b b -则2510150b b --=，即2230b b --=，得3b =或1b =-，此时点P的坐标为()--或()6,12,3.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
苏教版高中数学必修二2.2.1圆的方程.docx
2.2.1圆的方程
一、填空题
1、圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是____________ (2,-3), 2
2、过两点P (2,2),Q (4,2)且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是___2)3()3(22=-+-y x
3、方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是___________________1<m
4、圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线x-y=1的距离为___________2
5、圆0222222=-++y x y x 关于y=x 对称的圆的方程_________
6、)0,3(M 是圆0102822=+--+y x y x 内一点，过M 点最长的弦所在的直线
方程是_______ x-y-3=0
7、已知点)1,6(),5,4(---B A ，则以线段AB 为直径的圆的方程____(x-1)2+(y+3)2=29
8、若实数x 、y 满足042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是____5+3
9、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1)，则直线AB 的方程是_x+y-4=0
二、解答题：
10、求经过点)2,3(),2,5(B A ，圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程。
答案：(x-4)2+(y-5)2=10
11、求经过三点)2,4(),4,1(),1,1(--C B A 的圆的方程。
答案：x 2+y 2-7x-3y+2=0
12、已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射
到圆周C 的最短路程。
答案：8。
高中数学苏教版必修二 2.2.1 圆的方程 (17张)2
应用巩固
变式：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心 在直线 l : x y 1 0 上，求圆心为C的圆的标准方程。
法二：几何法
由已知得AB中点坐标(3
2
,
1 ),且AB的斜率k=-3
2
则AB垂直平分线方程：y
1x
3
1
Y
A (a, b)
0
X
复习引入
问题1：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹） 是圆。
问题2：如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的
圆？ 圆上点的集合
rP
M P || PC | r
C
问题3：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
可知，若点P(x，y)在圆上,则点M的坐标满足
方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点P(x，y)的
坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点P一
定在这个圆上吗？
y
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
rP
C
( x a)2 ( y b)2 r
O
x
标准方程
(x a)2 (y b)2 r2
(x0 a)2 ( y0 b)2 r2 (x0 a)2 ( y0 b)2 r2 (x0 a)2 ( y0 b)2 r2
概念巩固
变式：根据下列条件，求圆的标准方程。
⑴.圆心在点C（2，-2），并且过点A（6,3）； ⑵.过点A（0,1）和点B（2,1），半径为 5 ； ⑶.已知点A(2,3)，B（4,9）圆以线段AB为直径； ⑷.求圆心在(1,3)，且和直线3x-4y-7=0相切的圆。
【提分必做】高中数学 第2章2.2 圆与方程 2.2.1 第一课时 圆的标准方程课时作业 苏教版必修2
2.2.1 第一课时 圆的标准方程[学业水平训练]1．圆心为C (6,5)，且过点B (3,6)的圆的标准方程为________．解析：由圆心为C (6,5)，可设圆的标准方程为(x －6)2＋(y －5)2＝r 2，又该圆过点B (3,6)，则(3－6)2＋(6－5)2＝10，故所求圆的标准方程为(x －6)2＋(y －5)2＝10.答案：(x －6)2＋(y －5)2＝102．已知点A (8，－6)与圆C ：x 2＋y 2＝25，P 是圆C 上任意一点，则AP 的最小值是________．解析：由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A 在圆外，从而AP 的最小值为82＋－2－5＝10－5＝5.答案：53．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点O (0,0)对称的圆的方程为________．解析：已知圆心坐标是(－2,0)，其关于原点对称的点是(2,0)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：(x －2)2＋y 2＝54．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是________．解析：设直径的两个端点为M (a,0)，N (0，b )，则a ＋02＝2⇒a ＝4，b ＋02＝－3⇒b ＝－6. 所以M (4,0)，N (0，－6)．因为圆心为(2，－3)，故r ＝－2＋－3－2＝13.所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝135．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程是________．解析：将直线方程整理为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝56．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．解析：由题意知l 过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k ≤2.答案：[0,2]7．已知圆C 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a ＞0)．(1)若点M (6,9)在圆上，求半径a ；(2)若点P (3,3)与Q (5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a 的取值范围． 解：(1)∵点M (6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，即a 2＝10.又a ＞0，∴a ＝10. (2)∵PC ＝－2＋－2＝13，QC ＝－2＋－2＝3，PC ＞QC ，故点P 在圆外，点Q 在圆内，∴3＜a ＜13.8．(2014·临沂高一检测)一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的方程．解：法一：∵圆心在直线y ＝x ＋2上，∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2，∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋－a －2＝r 2，－a 2＋－a －2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－14，r 2＝258，∴所求的圆的方程为(x ＋14)2＋(y －74)2＝258. 法二：由题意，圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为(12，32)， ∴弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13(x －12)， 即x ＋3y －5＝0，∵圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－14，y ＝74.即圆心坐标为C (－14，74)， 又圆的半径r ＝OC ＝－142＋742＝258， ∴所求的圆的方程为(x ＋14)2＋(y －74)2＝258. [高考水平训练]1．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：由图可知：过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2的圆心为C (1,1)，半径为2，点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝|1－1＋4|2＝22， ∴AD ＝CD －AC ＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.答案： 22．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则x－2＋y－2的最大值为________．解析：x－2＋y－2表示点P(x，y)到定点(1,1)的距离，由于点P是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，圆心C(0，－4)与定点的距离为－2＋－4－2＝26，故x－2＋y－2的最大值为26＋2.答案：26＋23．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解：由题设AC＝r＝5，AB＝8，∴AO＝4，在Rt△AOC中，OC＝AC2－AO2＝52－42＝3.如图所示：设点C坐标为(a,0)，则OC＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.4．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．(1)求圆C的方程；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．解：(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．∵圆C过定点P(4,2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．∴r2＝2x20－12x0＋20.∴圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20.(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.。
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2021年高中数学 2.2.1第2课时圆的一般方程课时作业苏教版必修2【课时目标】1．理解圆的一般方程及其特点，会由圆的一般方程求其圆心、半径．2．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．
1．圆的一般方程的定义
(1)当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为____________．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点____________．
(3)当____________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：
位置关系代数关系
点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0
点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0
点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0
一、填空题
1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标为________，半径为________．
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________．
3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是__________．
4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．
5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O与圆的位置关系为____________．
6．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为__________．7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．
9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为________．
二、解答题
10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？
11．如果方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求该圆半径r的取值范围．
能力提升
12．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．13．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，
并掌握求轨迹方程的一般步骤．
第2课时 圆的一般方程 答案
知识梳理
1．(1)D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2 (3)D 2＋E 2－4F <0
2．
作业设计
1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 192
解析 由一般方程圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 两公式易得答案． 2．m <1
解析 表示圆应满足D 2＋E 2－4F >0．
3．x －y －3＝0
解析 过M 最长的弦应为过M 点的直径所在直线．
4． 2
解析 先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之．
5．点O 在圆外
6．x ＋y －4＝0
解析 圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3．AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2
＝1． ∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0．
7．(0，－1)
解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝12
4－3k 2． 当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，
即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
8．－2
解析 由题意知圆心⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－a 2应在直线l ：x －y ＋2＝0上，即－1＋a
2＋2＝0， 解得a ＝－2．
9．20 6
解析 点(3,5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径，
∴AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，∴BD ＝46，S 四边形ABCD ＝12
AC ·BD ＝206． 10．解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ D －5E －F ＝265D ＋5E ＋F ＝－50
6D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4E ＝－2F ＝－20
． 所以过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．
将点D (－2，－1)代入上述方程等式不成立．
故A 、B 、C 、D 四点不能在同一个圆上．
11．解 (1)方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆必须有：D
2＋E 2－4F ＝4(t ＋3)2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，
即：7t 2－6t －1<0，
∴－17
<t <1． (2)该圆的半径r 满足：
r 2＝D 2＋E 2－4F 4
＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－(16t 4＋9)
＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167
， ∴r 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，167，∴r ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，477． 12．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆
在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之
和为y 1＋y 2＝－E ；
由题设，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，
所以D ＋E ＝－2． ①
又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ②
1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③
由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，
故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．
13．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M
是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02
于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y ． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，
则(2x －3)2＋4y 2＝1，
整理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝14． 所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝14．=38871 97D7 韗'30834 7872 硲V=(29048 7178 煸no32535 7F17 缗27262 6A7E 橾 "。