2020届百校联考高考数学百日冲刺金卷全国一、二卷(文科)六套及答案解析
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|4x 2−3x ≤0}，B ={x|y =√2x −1}，则A ∩B =( )A. [0,34]B. ⌀C. [0,12]D. [12,34]2. 设复数z =4−2i7−3i ，则复数z 的虚部为( )A. −1729B. 1729C. −129D. 1293. 为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4. 若双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√133，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√22x C. y =±23xD. y =±32x5. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n <2019，则输出A 的值为( )A. 12 B. 2 C. −1 D. −26. 《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1丈=10尺．)A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=769，若a2=83，则数列{a n}的公比为()A. 12B. 13C. 23D. 348.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331611.记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6=18，S11=121.若3a2，a14，S m成等比数列，则a m=()A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知首项为1的数列{a n}满足a n+1=5a n−9，则数列{a n}的通项公式为a n=______．15.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2,π]上的取值范围为______．16.已知函数f(x)=x3−6x2+11x−3，若直线l与曲线y=f(x)交于M，N，P三点，且|MN|=|NP|，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，∠BAC=π4，AB=2，BC=√172，M是线段AC上的一点，且tan∠AMB=−2√2．(Ⅰ)求AM的长度；(Ⅱ)求△BCM的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知△PF 1F 2中，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|.(Ⅰ)求点Q 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若点M ，N 在曲线E 上，且M ，N ，F 1三点共线，求△F 2MN 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =3+3sinθ(θ为参数)，点M 是曲线C 上的任意一点，将点M 绕原点O 逆时针旋转90°得到点N.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点N 的轨迹C′的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线y =−√33x(y >0)与曲线C ，C′分别交于点A ，B ，点D(−6,0)，求△ABD的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|+|3x+5|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m≤2x2+|3x+5|在R上恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：依题意，A={x|4x2−3x≤0}={x|0≤x≤34}，B={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，故A∩B=[12,34 ]．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i58=1729−129i，∴复数z的虚部为−129．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得n=1，A=12满足条件n<2019，执行循环体，A=−1，n=2满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=3满足条件n<2019，执行循环体，A=12，n=4…观察规律可知A的取值周期为3，且2018=672×3+2，可得n=2018时，满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=2019此时，不满足条件n<2019，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：进行分割如图所示，故V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−PQFD1)+V BCGH−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=769，a2=83，∴83q+83+83q=769，解得：q=23，或32(舍去)．则数列{a n}的公比为23．故选：C．设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，由S3=769，a2=83，可得：83q+83+83q=769，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：S=2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得E(−1,y2)，可得k EF=y2−1−1=4，所以y2=−8，将y2=−8代入抛物线中，64=4x2，x2=16，及B(16,−8)，所以k BF=16−1−8=−158，所以直线AB的方程为：y=−158(x−1)，与抛物线联立可得225x2−706x+225=0，所以x1x2=1，所以x1=116，所以|AF|=x1+1=1716，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，由a4+a6=18，可得2a1+8d=18，即a1+4d=9，由S11=121，可得11a1+55d=121，即a1+5d=11，解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1，S n=12n(2n−1+1)=n2，若3a2，a14，S m成等比数列，则a142=3a2S m，即为272=9m2，可得m=9，则a m=a9=17．故选：C．等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4，根据三角函数的值cos34>sin34，则c=43cos34>b=43sin34，由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−5n 4+94【解析】解：∵a n+1=5a n −9， ∴a n+1−94=5(a n −94)，又a 1−94=−54，∴数列{a n −94}是首项为−54，公比为5的等比数列， ∴a n −94=(−54)×5n−1=−5n 4，∴a n =−5n 4+94，故答案为：−5n 4+94．由a n+1=5a n −9可得a n+1−94=5(a n −94)，所以构造出等比数列{a n −94}，再利用等比数列的通项公式即可求出a n ．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x −6×1−cos2x2+3=3√3sin2x +3cos2x=6(√32sin2x +12cos2x)=6sin(2x +π6)，当π2≤x ≤π时，π≤2x ≤2π，7π6≤2x +π6≤13π6，则当2x +π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sin π6=6×12=3，当2x +π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin 3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]， 故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.【答案】(2,3)【解析】解：函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，若直线l 与曲线y =f(x)交于M ，N ，P 三点，且|MN|=|NP|，所以N 是MP 的中点， 因为函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，可得f′(x)=3x 2−12x +11，f″(x)=6x −12，令f″(x)=6x −12=0，解得x =2， 此时f(2)=3，所以函数的对称中心的坐标(2,3)． 所以N(2,3)， 故答案为：(2,3)．利用已知条件说明N 是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan∠AMB =−2√2；∴sin∠AMB =2√23，cos∠AMB =−13；由正弦定理，BMsin∠A =ABsin∠AMB，即BM√22=22√23，解得BM=32；由余弦定理，cos∠AMB=AM2+BM2−AB22AM⋅BM ，即−13=AM2+94−42×AM×32，解得AM=√2−12；(Ⅱ)∵cos∠CMB=cos(π−∠AMB)=−cos∠AMB=13，∴sin∠CMB=2√23，在△BCM中，由余弦定理，有BC2=BM2+CM2−2BM⋅CM⋅cos∠CMB∴CM=2，∴S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB=12×32×2×2√23=√2．【解析】(Ⅰ)先求出∠AMB的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM的长；(Ⅱ)利用正弦定理求出sin∠CMB的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB求出△BCM的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.【答案】解：(1)取AB的中点E，连接PE，DE，∵AB=2CD=2，∴DC=BE，又∠ABC=∠BCD=90°，∴DC//BE，则四边形DCBE为平行四边形，可得BC//DE．∵DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，则BC//平面PDE；(2)∵BC⊥PD，BC⊥CD，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又BC⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，可得PF⊥平面ABCD，在Rt△PFA与Rt△PFD中，∵PA=PD，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD =V B−PAD ，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，可证四边形DCBE 为平行四边形，得BC//DE ，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE ；(2)由已知证明BC ⊥平面PCD ，可得平面PCD ⊥平面ABCD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ，得PF ⊥平面ABCD ，求解三角形求得AF =DF =PF =1，再由等体积法求点B 到平面PAD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K 2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关． (2)表2中的数据整理如下， ∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)． (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟， 当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设Q(x,y)，y ≠0，∵|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|，∴|PF 1|=4=|QF 1|+|QF 2|>|F 1F 2|=2 ∴点Q 为焦点在x 轴上，长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆上的点，且b 2=4−1=3，∴点Q 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1(y ≠0)；(Ⅱ)设直线MN 的方程为x =ky +1，联立{x =ky +1x 24+y 23=1可得(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4． ∵|MN|=√1+k 2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12(k 2+1)3k 2+4，点F 2到直线MN 的距离d =2√1+k 2，∴S △MNF 2=12|MN|⋅d =12√k 2+13k 2+4，令√k 2+1=t ≥1，则S △MNF 2=12t3t 2+1=123(t+13t)在[1,+∞)上单调递减，故当t =1也即k =0时，△F 2MN 面积的最大值为3．【解析】(Ⅰ)先设点Q 的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；(Ⅱ)先设出直线MN 的方程与椭圆方程联立求得y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4，进而求得|MN|与点F 2到直线MN 的距离d ，找出△F 2MN 面积的表达式，最后解决其最值问题． 本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C的普通方程为x2+(y−3)2=9，即x2+y2−6y=0，整理可得：ρ2=6ρsinα，故曲线C的极坐标方程为ρ=6sinα，设N(ρ,φ)，则M(ρ,φ−π2)，则有ρ=6sin(φ−π2)=−6cosφ，故点N的轨迹C′的极坐标方程为ρ=−6cosφ．(Ⅱ)曲线y=−√33x(y>0)的极坐标方程为θ=5π6(ρ>0)，D到曲线θ=5π6的距离为d=6sinπ6=3，曲线θ=5π6与曲线C交点A(3,5π6)，曲线θ=5π6与曲线C′交点B(3√3,5π6)，∴|AB|=3√3−3，故△ABD的面积S=12×|AB|×d=9√3−92．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x−1|+|3x+5|>8，当x<−53时，原式化为1−x−3x−5>8，解得x<−3，故x<−3，当−53≤x≤1时，原式化为1−x+3x+5>8，解得x>1，故无解，当x>1时，原式化为x−1+3x+5>8，解得x>1，故x>1，综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)．(Ⅱ)依题意，|x−1|+|3x+5|+m≤2x2+|3x+5|，则|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ， 即{2x 2+x −(m +1)≥02x 2−x +(1−m)≥0， 则只需{1+8(m +1)≤01−8(1−m)≤0，解得m ≤−98，∴实数m 的取值范围是(−∞,−98]．【解析】(Ⅰ)依题意，|x −1|+|3x +5|>8，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)依题意可得|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（二）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合且，则A的非空真子集的个数为A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足，则A. 2B. 4C.D. 53.▱ABCO，O为原点，，，则B点坐标为A. B. C. D.4.袋中有4个球，3个红色，1个黑色，从中任意摸取2个，则恰为2个红球的概率为A. B. C. D.5.已知，则A. B. C. D.6.若双曲线C：的渐近线与圆相切，则C的渐近线方程为A. B. C. D.7.已知等差数列的前n项和满足：，则A. 4aB.C. 5aD.8.李冶，真定栾城今河北省石家庄市栾城区人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”在数学上的主要贡献是天元术设未知数并列方程的方法，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著测圆海镜中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为A. ？B. ？C. ？D. ？9.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知：在R上为增函数．，，则M，N的大小关系是A. B.C. D. M，N大小不能确定11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为A.B.C. 3D.12.已知则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.过上一点作曲线的切线，则切线方程为______．14.已知x，y满足线性约束条件目标函数的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知椭圆C：，的左、右焦点分别为，，右焦点与抛物线E：的焦点重合．椭圆C与抛物线E交于A，B两点，A，，B三点共线，则椭圆C的离心率为______．16.数列满足：，且恒成立，则m的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在中，．Ⅰ求角C；Ⅱ若，求周长的最大值．18.如图，在四棱锥中，，，，为锐角，平面平面PBD．Ⅰ证明：平面ABCD；Ⅱ与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积．19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量单位：只如表：x1415161718频数4560756060厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理．Ⅰ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元关于A饭店当天需求量单位：只，的函数解析式；Ⅱ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值；Ⅲ时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率．20.已知抛物线上有两点A，B，过A，B作抛物线的切线交于点，且．Ⅰ求p；Ⅱ斜率为1且过焦点的直线交抛物线于M，N两点，直线交抛物线于C，D 两点，求四边形MNDC面积的最大值．21.已知函数，，且与的图象有一个斜率为1的公切线为自然对数的底数．Ⅰ求；Ⅱ设函数，讨论函数的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为．Ⅰ当时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；Ⅱ直线l交椭圆C于A，B两点，且A，B中点为，求直线l的斜率．23.已知函数．Ⅰ若恒成立，求实数a的取值范围；Ⅱ的解集为，求a和m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合且，2，3，4，，故A的子集个数为，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合且，2，3，4，，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，▱ABCO中，有，又由，，则，，则，则；故选：A．根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得，求出、的坐标，计算可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量的加法运算，属于基础题．4.答案：D解析：解：设3个红球分别为a，b，c，黑球为m．所有2个红球的取法有3种：ab，ac，bc．所有不同的取法有6种：ab，ac，bc，am，bm，cm，故所求概率为．故选：D．设3个红球分别为a，b，c，黑球为利用列举法能求出从中任意摸取2个，恰为2个红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：，故．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．根据题意，设双曲线C的渐近线为，由直线与圆的位置关系可得，解可得k的值，将k的值代入直线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线C的渐近线为，即，若双曲线C：的渐近线与圆相切，则圆心到渐近线的距离，解可得，则C的渐近线方程为故选B．7.答案：B解析：解：，．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：由题知，，，，由勾股定理可知．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：C解析：解：令，解得，分别为的y轴右侧由左往右最近的三条对称轴．要满足图象在上有且仅有两条对称轴，只需，解得．故选：C．只要保证在y轴右侧的最近三条对称轴，左边两条对称轴落在内，第三条在外即可，由此构造不等式组．本题考查三角函数的图象与性质，注意结合正余弦函数的图象与性质解决的性质的基本路子，属于中档题．10.答案：B解析：解：由题意，，，又，且是R上的增函数，，即．故选：B．根据是R上的增函数即可得出，从而得出，并且可得出，从而可得出M与N的大小关系．本题考查了增函数的定义，分段函数的单调性，对数的运算性质，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：，，，，．最长的棱的长度为3．故选：C．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.答案：B解析：解：，时，，，即，故，故．故选：B．时，，推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：或解析：【分析】设切点为，然后利用表示切线方程，再根据切线过求出，进而得到切线方程．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．【解答】解：设上的切点为，则切线的斜率，在上，，切线方程为，在切线上，，或，切线方程为或，故答案为：或．14.答案：解析：解：x，y满足线性约束条件表示的可行域如图：目标函数化为，时，可知：最优解在直线上，而在可行域内，且满足故可知：实数k的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：如图，根据题意可得抛物线准线l过左焦点，作交于点l于点，则则易得四边形是正方形，故椭圆C的离心率．故答案为：．作出图形，作准线l交于点l于点，则可得四边形是正方形，所以离心率即可．本题考查椭圆离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．16.答案：9解析：解：由，得：．两式相减得：，故．令，则．两式相减得：，故．而当时，，故m的最小值为9．故答案为：9．先由题设条件求出，再求其前n项和，然后处理m的最小值．本题主要考查数列通项公式的求法及前n项和的最值，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ由，可得：，可得，因为，可得．Ⅱ由题意可得：，可得：，当时，周长取最大值为．解析：Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求，结合范围，可求C的值．Ⅱ由正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质即可求解，即可得解周长的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：作于M，则由平面平面平面．取AD中点为Q，则．又为锐角，点M与点B不重合．平面．又，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，故平面ABCD．Ⅱ解：由Ⅰ知：平面PBD，故即为AD与平面PBD所成角，．在中，，故，，，．而，故所求表面积为：．解析：Ⅰ作于M，则平面PBD，取AD中点为Q，推导出平面由此能证明平面ABCD．Ⅱ由平面PBD，得即为AD与平面PBD所成角，由此能求出三棱锥的表面积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、锥体表面积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ当时，，当时，，，由，得；Ⅱ由Ⅰ知，，，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值为元．Ⅲ当时，，当时，鸡厂当天在A饭店得到的利润元，鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率为．解析：Ⅰ根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量，剩下的鸡只能以每只元的价格处理，建立分段函数模型，再将代入求解；Ⅱ由Ⅰ知，将代入，得，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，再由平均数公式求解；Ⅲ当时，，把代入求得，再由表中记录，利用频率求概率．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．20.答案：解：Ⅰ过点Q作的切线，方程设为，即，代入，由即，化为，由，可得两切线相互垂直，可得它们的斜率之积为，．Ⅱ由题意可得直线MN：，联立抛物线方程，可得，即有，故．由CD：，联立抛物线方程，可得，且由，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC的高为，故，令，则，．在上，，S递增；在上，，S递减．故当时，S取最大值为．解析：Ⅰ设过Q的切线方程为，联立抛物线的方程，再由相切的条件：判别式为0，再由两直线相互垂直的条件：斜率之积为，结合韦达定理，可得所求值；Ⅱ由直线MN的方程和抛物线方程联立，求得，由CD的方程联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得，求得梯形MNDC的高，由梯形的面积公式可得四边形MNDC面积S，运用换元法和导数，求得单调性和最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．21.答案：解：．在处的切线方程为，即，，．在处的切线方程为，故．，，令，则，当时，有两根，，且，，，在上，；在上，，此时，又时，，时，，故在和上，各有1个零点；当时，最小值为，故仅有1个零点．当时，，其中，同，在与上，各有1个零点，当时，，仅有1个零点，时，对方程，．方程有两个正根，，．在上，；在上，；在，．由，故，．，，，，故．故在上，，在上，；在上，有1个零点，当时，恒成立，为增函数，仅有1个零点．综上，或时，有1个零点，或时，有2个零点．解析：Ⅰ根据条件求出与的公切线方程，然后建立关于a，b的方程，再求出；Ⅱ先求出的解析式，然后令，得到，再对m分类，讨论函数的零点个数．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性和函数零点的判断，考查了分类讨论思想和方程思想，属难题．22.答案：解：Ⅰ直线l的普通方程为：；椭圆C的直角坐标方程为：．Ⅱ将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：，由题意得：，故，所以直线l的斜率为．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ，当且仅当时取等号，故的最小值为，或．Ⅱ由不等式解集的意义可知：时，，即，解得或4．时，如图所示：不合题意，舍去；时，如图所示：由与，解得：．即，综上，，．解析：Ⅰ根据绝对值三角不等式，由，求得最小值，再由求解；Ⅱ不等式的解集与相应方程根的关系，当时，，即，解得或再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅱ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅱ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合{1,2，3}的非空真子集共有 ( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −3B. −2C. 2D. 34. 从1，2，…，10这十个数中任取三个不同的数，则至少有一个奇数和一个偶数的概率为( )A. 56B. 512C. 518D. 5365. 已知sin(x +π12)=13，则cos(x +712x)的值为( )A. 13B. −13C. −23√2D. 23√26. 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29−y 227=1的左、右焦点，点A 为双曲线上一点，∠F 1AF 2的平分线交x 轴于点 (2,0)，则|AF 2|=( )A. 3B. 6C. 8D. 107. 已知等差数列{a n }满足a 1=2，公差d ≠0，且a 1,a 2,a 5成等比数列，则d =( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 给出50个数：1，3，5，7，…，99，要计算这50个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )A. i ≤50？和p =p +1B. i ≤51？和p =p +1C. i ≤51？和p =p +2D. i ≤50？和p =p +29. 已知f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)在区间[π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围是( )A. (0,23]B. (0,23]∪[7,263] C. [7,263]∪[503,19]D. (0,23]∪[503,19]10. 对于定义域是R 的任意奇函数f(x)，都有( )A. f(x)−f(−x)>0B. f(x)−f(−x)≤0C. f(x)⋅f(−x)≤0D. f(x)⋅f(−x)>011. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱12. 设f(x)={3−x +a(x ≤2)f(x −1)(x >2)，若f(3)=−89，则实数a 是( )A. 1B. −1C. 19D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )=x 3+ax 在点(1,2)处的切线方程为____．14. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的半焦距为c ，(c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2=158(a +c)x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是______．16. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50． 通项公式：a n ={n 2−12,n 为奇数n 22,n 为偶数如果把这个数列{a n }排成右侧形状，并记A(m,n)表示第m 行中从左向右第n 个数，则A(10,4)的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 在△ABC 中，cosBcosC =−b2a+c ，(1)求B ；(2)b =√13,a +c =4，求S △ABC ．18. 如图，ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF//DE ，DE =DA =2AF =2．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求AE 与平面BDE 所成角的大小； (3)求三棱锥D −BEF 的体积．19.改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利．已知某市某快递点的收费标准为：首重(重量小于等于1kg)收费10元，续重5元/kg(不足1kg按1kg算).(如：一个包裹重量为2.5kg，则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)(1)若你有三件礼物A，B，C重量分别为0.4kg，1.2kg，1.9kg，要将三个礼物分成两个包裹寄出，如：A，B合为一个包裹，C一个包裹．那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？(2)对该快递点近5天的每日揽包裹数(单位：件)进行统计，得到的日揽包裹数分别为56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率．20. 已知函数f(x)=ax +1nx(a ∈R)，g(x)=e x ．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当a =0时，g(x)>f(x)+2．21. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．22. (1)已知f(x +1)=x 2+2x ，求f(x)的解析式．(2)已知不等式｜x −2｜+｜x +1｜>a 对于一切的实数x 恒成立，求a 的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【试题解析】本题考查的知识点是计算集合非空真子集的个数．根据集合{1,2，3}把集合的非空真子集列举出来，即可得到个数； 解：集合{1,2，3}的非空真子集有： {1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个； 故选：B ．2.答案：C解析：解：∵Z =3−4i ， ∴|Z|=√32+(−4)2=5． 故选：C ．直接利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积，向量的模的运算，向量的加减运算，属基础题．由题意可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，然后利用向量的模与数量积进行求解即可得． 解：因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+(t −3)2=1，解得t =3， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+3×0=2， 故选C ．4.答案：A解析：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53= 100，由此能求出至少有一个奇数和一个偶数的概率．解：从1，2，3，…，10这十个数中任取3个不同的数，基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53=100，∴至少有一个奇数和一个偶数的概率为P=mn =100120=56．故选A．5.答案：B解析：本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题．根据诱导公式直接计算即可．解：故选B．6.答案：B解析：解：双曲线C：x29−y227=1的a=3，b=3√3，c=√a2+b2=6，则F1(−6,0)，F2(6,0)，∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得|F1M||F2M|=|AF1||AF2|=48=12，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理，以及双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|= 6，进而可得所求；本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．7.答案：D解析：本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d．解：等差数列{a n}满足a1=2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a1a5，即为(2+d)2=2(2+4d)，即d2=4d，解得d=4(d=0舍去)，故选D．8.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知，要计算50个数的和．故循环次数要50次，由循环变量的初值为1，故判断框①处应填：i≤50？由于每次累加的值步长为2，故执行框②处应填：p=p+2，故选：D．9.答案：B解析：解：f(x)=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π3)， 由2kπ−π2≤ωx +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得2kπ−5π6≤ωx ≤2kπ+π6，k ∈Z ，即2kπ−5π6ω≤x ≤2kπ+π6ω，即函数的单调递增区间为[2kπ−5π6ω,2kπ+π6ω]，k ∈Z ，∵f(x)在区间[π6,π4]上单调递增，∴{2kπ−5π6ω≤π62kπ+π6ω≥π4，即{ω≥12k −5ω≤8k +23，即12k −5≤ω≤8k +23， ∵ω>0，∴当k =0时−5≤ω≤23，此时0<ω≤23， 当k =1时，7≤ω≤263，当k =2时，19≤ω≤16+23，此时不成立， 综上ω的范围是0<ω≤23或7≤ω≤263，即(0,23]∪[7,263]， 故选：B ．根据辅助角公式进行化简，结合函数单调递增的性质求出单调递增区间，建立不等式组关系进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合辅助角公式进行化简，以及利用三角函数单调性的性质是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：∵函数f(x)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)，则f(x)⋅f(−x)=−f(x)⋅f(x)=−f 2(x)≤0， 故C 正确，其他不一定正确，故选：C根据函数奇偶性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，比较基础．11.答案：B解析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．考点：三视图的考查12.答案：B解析：本题考查分段函数求值，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．推导出f(3)=f(2)=3−2+a=−89，由此能求出a的值．解：∵f(x)={3−x+a(x≤2)f(x−1)(x>2),f(3)=−8 9 ,∴f(3)=f(2)=3−2+a=−89，解得a=−1．故选B．13.答案：y=4x−2解析：本题主要考查了利用导数求解曲线某点处的切线方程，属于基础题.将点(1,2)代入f(x)中得到a值，然后求解f(x)的导数，利用导数的几何意义求解即可．解：因为(1,2)在f(x)上，所以1+a =2，解得：a =1，所以f (x )=x 3+x ，所以f′(x )=3x 2+1，所以f′(1)=4，所以f(x)在点(1,2)处的切线方程为y −2=4(x −1)，即y =4x −2．故答案为y =4x −2．14.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)， 此时C 在2x −y −m =0上，则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小，由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5，故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：12 解析：本题给出椭圆与抛物线相交得到菱形ABFC ，求椭圆的离心率e ，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．根据四边形ABFC 是菱形得到B 的横坐标为12(a −c)，代入抛物线方程求出B 的纵坐标为√154b ，因此将点B 的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e 的方程，即可得到该椭圆的离心率． 解：如图∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，∴A(a,0)，F(−c,0)，a 2−c 2=b 2， ∵抛物线y 2=158(a +c)x 与椭圆交于B ，C 两点，∴B 、C 两点关于x 轴对称，可设B(m,n)，C(m,−n)(n >0)，∵四边形ABFC 是菱形，∴m =(a−c )2将B(m,n)代入抛物线方程，得n 2=15(a +c )×(a −c )=15b 2 ∴B((a−c )2,√154b)，再代入椭圆方程， 得[12(a−c)]2a 2+(√154b)2b 2=1，又∵离心率e =ca ，化简整理，得4e 2−8e +3=0，解之得e =12(e =32>1不符合题意，舍去)，故答案为：12．16.答案：3612解析：解：由题意，前9行，共有1+3+⋯+17=9×182=81项，A(10,4)为数列的第85项，∴A(10,4)的值为852−12=3612．故答案为3612．由题意，前9行，共有1+3+⋯+17=9×182=81项，A(10,4)为数列的第85项，即可求出A(10,4)的值．本题考查归纳推理，考查等差数列的求和公式，属于中档题．17.答案：解：(1)由cosBcosC =−b2a+c，根据正弦定理，可得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，2cosBsinA+cosBsinC=−sinBcosC，即2cosBsinA=−sinA∵0<A<π，sinA≠0．∴cosB=−12∵0<B<π，∴B=2π3(2)b=√13,a+c=4，由余弦定理：cosB=a2+c2−b22ac，可得：−ac=a2+c2−13，即(a+c)2−ac−13=0得：ac=3那么三角形的面积S△ABC=12acsinB=3√34．解析：(1)利用正弦定理化简后，根据和与差的公式可得B的大小．(2)根据余弦定理建立关系，求出ac的值，即可得S△ABC的值．本题考查三角形的正余弦定理和和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE；(2)设AC∩BD=O，连接AE，EO，∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO是AE与平面BDE所成角，在Rt△EAD中，EA=√AD2+DE2=2√2，AO=√2，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=AOEA =12，∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成角为30°；(3)∵DE⊥平面ABCD，DE⊂平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，∴AB⊥AD，∵平面ADEF∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADEF，∴三棱锥D−BEF的体积V D−BEF=V B−DEF=13×S△DEF×AB=13×12×22×2=43．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由AC⊥BD，得DE⊥平面ABCD，从而AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE；(2)设AC∩BD=O，连接AE，EO，由AC⊥平面BDE，得∠AEO是AE与平面BDE所成角，由此求出AE与平面BDE所成角；(3)推导出平面ADEF⊥平面ABCD，从而AB⊥AD，三棱锥D−BEF的体积V D−BEF=V B−DEF，由此能求出结果．19.答案：解：(1)A，B一个包裹，C一个包裹时，需花费15+15=30(元)，A，C一个包裹，B一个包裹时，需花费20+15=35(元)，B，C一个包裹，A一个包裹时，需花费25+10=35(元)，综上，A，B一个包裹，C一个包裹时花费的运费最少，为30元．(2)5天中有3天的日揽包裹数超过100件，记这三天为a1，a2，a3，其余两天为b1，b2，从5天中随机抽出2天的所有基本事件如下：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3，b2)，(b1,b2)，一共10种，2天的日揽包裹数均超过100件的基本事件有(a1,a2)，(a1,a3)，(a2,a3)，一共3种，所以从这5天中随机抽出2天，2天的日揽件数均超过100件的概率为310．解析：本题考查实际应用问题以及古典概型的计算与应用，属于中档题．(1)分别求出A，B一个包裹，C一个包裹时；A，C一个包裹，B一个包裹；B，C一个包裹，A一个包裹时三种情况的快递费用，再比较大小，即可得到答案；(2)5天中有3天的日揽包裹数超过100件，记这三天为a1，a2，a3，其余两天为b1，b2，得到所有的基本事件数，以及这2天的日揽包裹数均超过100件的事件个数，再通过古典概型的概率公式计算，即可得到答案．20.答案：(本小题满分12分)解(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+1x,(x>0)10当a≥0时，f′(x)>0，所以在(0,+∞)单调递增；20当a<0时，由f′(x)=0，解得x=−1a．则当x∈(0,−1a )时．f′(x)>0，所以f(x)单调递增．当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减．综上所述：当a ≥0时，f(x)增区间是(0,+∞)；当a <0时，f(x)增区间是(0,−1a )，减区间是(−1a ,+∞). …(4分)(2)f(x)=lnx ，f(x)与g(x)的公共定义域为(0,+∞)，令F(X)=e x −lnx ，F′(x)=e x −1x ，F″(x)=e x +1x 2>0，所以F′(x)单调递增因为F′(12)=√e −2<0,F′(1)=e −1>0，所以存在唯一x 0∈(12,1)使得F′(x 0)=e x 0−1x 0=0，∴x 0=e −x 0 且当x ∈(0,x 0)时F′(x)<0，F(x)递减； 当x ∈(x 0,+∞)时F′(x)>0，F(x)当递增；所以F min (x)=F(x 0)=e x 0−lnx 0=e x 0+x 0>e 12+12>1.6+12>2 故g(x)>f(x)+2. …(12分)解析：(1)求出f(x)的定义域是(0,+∞)，导函数f′(x)=a +1x ,(x >0)，通过10当a ≥0时；20当a <0时，求解函数的单调区间．(2)求出函数的定义域，化简令F(X)=e x −lnx ，求出导函数，通过二次求导，求出函数的最值，判断导数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ，整理得(ρcosθ)2=2ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2=2y ．(2)把直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t，代入x 2=2y ，得到：(√22t −1)2=2×√22t ， 整理得12t 2−2√2t +1=0，即：t 2−4√2t +2=0，故t 1+t 2=4√2，t 1t 2=2，所以：|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.答案：解：(1)令t=x+1，则x=t−1，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，∴f(x)=x2−1(2)要使不等式｜x−2｜+｜x+1｜>a，只需不等式(｜x−2｜+｜x+1｜)min>a，而不等式｜x−2｜+｜x+1｜≥|(x−2)−(x+1)|=3，当且仅当(x−2)(x+1)≥0时等号成立；所以a<3．解析：本题主要考查了求函数解析式和不等式中的恒成立问题，属于基础题．(1)首先令t=x+1，则x=t−1，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，再利用同一函数确定f(x)的解析式；(2)要使不等式｜x−2｜+｜x+1｜>a，只需不等式(｜x−2｜+｜x+1｜)min>a，而不等式｜x−2｜+｜x+1｜≥|(x−2)−(x+1)|=3，所以a<3．。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学试卷及其答案(文科)(二)
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I卷·文数(二)第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A＝{x|x<6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为(A)30 (B)31 (C)62 (D)63(2)已知复数z满足：z·(1＋i)＝1＋3i，则|z|＝(A)2 (B)4 (C)5(D)5(3)ABCO，O为原点，A(1，－2)，C(2，3)，则B点坐标为(A)(3，1) (B)(－1，－5) (C)(1，5) (D)(－3，－1)(4)袋中有4个球，3个红色，1个黑色，从中任意摸取2个，则恰为2个红球的概率为(A)13(B)23(C)14(D)12(5)已知sin(32π＋α)＝13，则cosα＝(A)13(B)－13(C)23(D)－23(6)双曲线C1：22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线C1的渐近线方程为(A)y＝±12x (B)y＝±13x (C)y＝±22x (D)y＝±33x(7)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝(A)4a (B)307a(C)5a (D)407a(8)李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人。
金元时期的数学家。
与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。
在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。
李冶所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何。
翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，第1 页共9 页。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国ⅱ卷)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科） （二）（全国H 卷） 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的•4项，则的通项公式为（ ） 方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北 斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点 C 处，乙向东行走到 B 处，甲向南行走到 A 处，甲看到乙，便、选择题：本大题共 1. （5分） 已知集合A ｛x|x 6且x N ｝，则A 的非空真子集的个数为 （ 2. 3. A . 30 （5分） （5分） B . 31 C . 62 63 复数z 满足zg i ） 1 3i ，贝U |z| （ C . UCI 若正六边形 ABCDEF 边长为2,中心为O ，则| EB luir uuu OD CA| B . 2.3 C . 4 4. （5分） 从集合 A ｛1 , 2, 3, 4, 5｝中任取2个数，和为偶数的概率为 A . 1 5 B .2 5 5. （5分） 在（26. （5分）双曲线: 的直线交双曲线于B . 32占1（a 0,b 0），左、右焦点分别为R 、 bB 两点， ARB 90，则一条渐近线斜率为 F 2，过F 2且垂直于x 轴A . 2 23 C . 2 2、37. （ 5分）递减的等差数列｛ %｝满足: 1，且a ,a 2, a 8分别是A . 5 4nB . 4 3n 3 2n D . 2n 1& （ 5分）李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列x ）的x 值为（2 ）上，满足方程 sin （2x ） 2 -从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为（）z2? C. y29. ( 5 分) 已知f(x) sin(2x25295则f(x)2在［0，265C.10. （5分）奇函数 f （x）满足：对任意都有则 f (log 2 2019)(2 ）上的所有解的和为（f(2 x) f(x)，在(0,1)上,xf(x) 2 ,A .型1024B .型1024 C.20192048D.竺204811. （5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中, 最长的棱的长度为A . 23B . 2 2 D . -6B 为切点的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是则实数k 的取值范围是点共线，则椭圆C 的离心率为16. （5 分）自然奇数列 佝｝排成如图数列，若第n 行有2n 1个数，则前n 行数字的总和为 3,5 7 J) J L15.17,19,21,23,25,27.29三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在 ABC 中，a b 2c ，且 3ccosC(1 )求 cosC（n ） AD 与平面PBD 所成角的正弦值为—，求三棱锥P ABD 的表面积.412. (5 分)已知 f(x) 二、填空题：本大题共 13. (5 分)已知 f(x)Qx, 2 f (x 1) f(x 4小题，每小题3 2 x 3x ax(0 则 f(2019)( 2),x 2, C . 2 x 2），曲线y f （x ）上存在两点 A , B ，使以A ,(2)右 S ABC，求ABC 的周长. 2 18 .如图， 在四棱锥P ABCD 中 ,AD 2 , AB BC CD 1 , BC / /AD , PAD 90 . PBA 为锐角，平面PAB平面PBD . （I ）证明: PA 平面 ABCD ; 14. （ 5分）已知x , y 满足线性约束条件 x y x 2, kxy2-0,目标函数z2…0, 2x y 的最大值为2, 15.（ 5分）已知椭圆 2 x C : p a 2 詁 1(a b 0），的左、右焦点分别为 F , F 2，右焦点F 2与抛物线E : y 2px(p0）的焦点重合•椭圆 C 与抛物线E 交于A ,B 两点，A , F 2 , B 2acosB 2bcosA .。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数，则复数z的虚部为A. B. C. D.3.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4.若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为，则输出A的值为A.B. 2C.D.6.九章算术卷第五商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为注：1丈尺．A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列的前n项和为，且，若，则数列的公比为A. B. C. D.8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.9.设函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.10.设抛物线C：的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则A. B. C. D.11.记等差数列的前n项和为，且，若，，成等比数列，则A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数的值为______．14.已知首项为1的数列满足，则数列的通项公式为______．15.已知函数，则函数在上的取值范围为______．16.已知函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，，，，M是线段AC上的一点，且．Ⅰ求AM的长度；Ⅱ求的面积．18.如图，在四棱锥中，，，．在线段AB上作出一点E，使得平面PDE，并说明理由；若，，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性8001000女性600总计1200相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：时间分钟频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：根据行驶里程数按1元公里计费；行驶时间不超过45分钟，按元分计费；超过45分钟，超出部分按元分计费．是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；根据表中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：k20.已知中，，，，点Q在线段上，且Ⅰ求点Q的轨迹E的方程；Ⅱ若点M，N在曲线E上，且M，N，三点共线，求面积的最大值．21.已知函数．求曲线在处的切线方程；已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若，，求的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，点M是曲线C上的任意一点，将点M绕原点O逆时针旋转得到点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点N的轨迹的极坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线C，分别交于点A，B，点，求的面积．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：依题意，，，故．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.答案：C解析：解：，复数z的虚部为．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：C解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，解得，双曲线C的渐近线方程为：．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，观察规律可知A的取值周期为3，且，可得时，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：进行分割如图所示，故立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：设单调递减的等比数列的公比为，，，，解得：，或舍去．则数列的公比为．故选：C．设单调递减的等比数列的公比为，由，，可得：，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.答案：B解析：解：函数的定义域为R，，则函数为偶函数，可排除选项C；当时，，可排除选项D；又，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.答案：C解析：解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得，所以抛物线的方程为：所以可得焦点，准线方程为，设，，由题意可得，可得，所以，将代入抛物线中，，，及，所以，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，所以，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.答案：C解析：解：等差数列的公差设为d，前n项和为，由，可得，即，由，可得，即，解得，，则，，若，，成等比数列，则，即为，可得，则．故选：C．等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：由于，根据三角函数的值，则，由于，所以，根据近似值的运算，整理得．故．故选：A．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：解析：解：根据题意，向量，则，若，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的坐标公式可得，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：解析：解：，，又，数列是首项为，公比为5的等比数列，，，故答案为：．由可得，所以构造出等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.答案：解析：解：，当时，，，则当时，函数取得最大值，最大值为，当时，函数取得最小值，最小值为，即的取值范围是，故答案为：．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.答案：解析：解：函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，所以N是MP的中点，因为函数，可得，，令，解得，此时，所以函数的对称中心的坐标．所以，故答案为：．利用已知条件说明N是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.答案：解：Ⅰ；，；由正弦定理，，即，解得；由余弦定理，，即，解得；Ⅱ，，在中，由余弦定理，有，．解析：Ⅰ先求出的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM 的长；Ⅱ利用正弦定理求出的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式求出的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.答案：解：取AB的中点E，连接PE，DE，，，又，，则四边形DCBE为平行四边形，可得．平面PDE，平面PDE，则平面PDE；，，且，平面PCD，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，在平面PCD内过P作，可得平面ABCD，在与中，，，又由题意，，，由已知求得．．连接BD，则，又求得，设B到平面PAD的距离为h，则由，得，即．解析：取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面PDE；由已知证明平面PCD，可得平面平面ABCD，在平面PCD内过P作，得平面ABCD，求解三角形求得，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.答案：解：补充完整的列联表如下所示，愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车合计男性 800 200 1000女性 400 600 1000合计 1200 800 2000，故有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．表2中的数据整理如下，时间分钟频数 150 200 100 50频率所求的平均使用时间为分钟．设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当时，；当时，．故，当时，；当时，，令，解得，综上所述：当时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算；当时，使用滴滴打车上班更加合算；当时，两种方案情况相同．解析：先根据现有数据补充完整列联表，再利用的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可；设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，写出y关于t的分段函数，并求出每段中对应的y的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后，解得，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，，点Q在线段上，且，点Q为焦点在x轴上，长轴长，焦距的椭圆上的点，且，点Q的轨迹E的方程为；Ⅱ设直线MN的方程为，联立可得，设，，则，．，点到直线MN的距离，，令，则在上单调递减，故当也即时，面积的最大值为3．解析：Ⅰ先设点Q的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；Ⅱ先设出直线MN的方程与椭圆方程联立求得，，进而求得与点到直线MN的距离d，找出面积的表达式，最后解决其最值问题．本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.答案：解：依题意，函数的定义域为，，故，而，故所求切线方程为，即；依题意，，故，显然，令，解得或，因为极大值，故，此时，函数，所以，令，得，当a变化时，，，变化情况如下表：a2e增极大值减所以函数的最大值为．解析：根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ依题意，曲线C的普通方程为，即，整理可得：，故曲线C的极坐标方程为，设，则，则有，故点N的轨迹的极坐标方程为．Ⅱ曲线的极坐标方程为，D到曲线的距离为，曲线与曲线C交点，曲线与曲线交点，，故的面积．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：Ⅰ依题意，，当时，原式化为，解得，故，当时，原式化为，解得，故无解，当时，原式化为，解得，故，综上所述，不等式的解集为．Ⅱ依题意，，则，即，即，则只需，解得，实数m的取值范围是．解析：Ⅰ依题意，，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ依题意可得，即，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(二)数学(文)试题(解析版)
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|6A x x =<且}*Nx ∈，则A 的非空真子集的个数为( ) A ．30B ．31C ．62D ．63 【答案】A【解析】先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解.【详解】因为集合{|6A x x =<且}{}*N 1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= .故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.2．复数z 满足()113z i i ⋅+=+，则z =（ ）A ．2B ．4CD ．5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z ，再求出模长|z |．【详解】 ()()13113212i i i z i i +-+===++，故z =故选：C .【点睛】本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．3．若正六边形ABCDEF 边长为2，中心为O ，则||EB OD CA ++=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】由正六边形的性质的易得OD BC =，由此可化简得||EB OD CA EA ++=，运用平面向量的运算法则计算即可.【详解】如图所示，为正六边形ABCDEF ，易知OD BC =∴EB OD CA EB BC CA EA ++=++=， ∴||EB OD CA EA ++=， 正六边形ABCDEF 边长为2，EA EF FA =+，即()2EA EF FA =+， ∴22221||2cos 22222362EA EF EF FA FA π=++=+⨯⨯⨯+=， ∴||23EB OD CA ++=.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积公式，属于基础题.4．从集合{1,2,3,4,5}A =中任取2个数，和为偶数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．13【答案】B【解析】通过列举法，计算出符合条件的基本事件总数，以及“和为偶数”这一事件所含基本事件个数，再由古典概型的计算公式计算即可.【详解】集合{}1,2,3,4,5A =中任取2个数，则基本事件为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，10个；“和为偶数”这一事件包含的基本事件为：()2,4，()1,3，()1,5，()3,5，共4个； 故所求概率为42105=.故选：B.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.5．在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，满足方程3sin 2cos 22x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的x 值为（ ） A ．3π B ．3π± C ．6π D ．6π± 【答案】C【解析】先利用诱导公式对原方程进行化简，再利用二倍角的余弦公式，结合角的范围，解出x 即可.【详解】3sin 2cos 22x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴cos2sin x x =，∴212sin sin x x -=，∴22sin sin 10x x +-=， 解得1sin 2x =或1-， 又,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ∴()sin 1,1x ∈-， ∴1sin 2x =，6x π= 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了转化能力，属于中档题. 6．双曲线：22221x y a b-=（0a >，0b >），左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，190AF B ∠=︒，则一条渐近线斜率为（ ）A ．2+B ．2+C D【答案】D【解析】由已知条件求出A 坐标，可得2AF ，由双曲线的对称性可知，11AF BF =，结合190AF B ∠=︒可得122F F AF =，列方程解出b a，即可得双曲线的一条渐近线斜率.【详解】把x c =代入22221x y a b -=，解得2b y a =±， ∴22b AF a=， 结合双曲线的对称性，由题可知，11AF BF =，又190AF B ∠=︒，∴1AF B △为等腰直角三角形， 易得：122F F AF =，即22b c a=， 两边平方得4224c a b =，又222c a b =+，∴整理得4224440b a b a --=， 故42440b b a a ⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b a= 又0a >，0b >，∴b a=∴双曲线的渐近线方程为b y x a=±=，∴故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质的应用，考查了计算能力，属于基础题.7．递减的等差数列{}n a 满足：11a =，且1a ，2a ，8a 分别是某等比数列的第1，2，4项，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．54n -B ．43n -C ．32n -D ．21n -【答案】A【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，由题可知0d <，表示出2a ，8a ，设题干中的等比数列公比为q ，表示出2a ，8a ，列方程组，消去q 得到关于d 的方程组，解出符合要求的d ，即可得到{}n a 的通项公式.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由题可知0d <，则211a a d d =+=+，18717d a a =+=+，()11n a a n d +-=，1a ，2a ，8a 分别是某等比数列的第1，2，4项，设该等比数列公比为q ，∴21a a q q ==，3381a a q q ==，∴3117q d q d =+⎧⎨=+⎩， ∴()3171d d =++，整理得()2340d d d +-=，而0d <， ∴4d =-，∴54n a n =-.故选：A.【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了方程思想与计算能力，属于基础题. 8．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为( )A ．222?x z y +=B ．222?x y z +=C ．222?y z x +=D ．?x y =【答案】A 【解析】根据题意得，,,,AC x AB y BC z === 则1600,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，再根据ABC 为直角三角形90C =∠ 求解.【详解】 由题意得，,,,AC x AB y BC z ===则1000,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，符合程序框图所示:又ABC 为直角三角形，且90C =∠，所以222x z y += .故选：A【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9．已知2()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2()3f x =在[0,2)π上的所有解的和为（ ） A ．6πB ．295πC ．265πD ．215π 【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式得到()f x 的最小正周期，结合正弦型函数的特征，从而判断解的个数及分布，根据对称性即可求出2()3f x =在[0,2)π上的所有解的和. 【详解】函数()2sin 25f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，值域为[]1,1-， ∴()23f x =在[)0,π，[),2ππ上各有两解，分别为1x ，2x ，3x ，4x ， 令2252x k πππ+=+，解得220k x ππ=+，k Z ∈， ∴()f x 对称轴：220k x ππ=+，k Z ∈， 又()220sin 53f π=>， ∴当[)0,x π∈时，()y f x =与23y =的交点关于220x ππ=+对称， 当[),2x ππ∈时，()y f x =与23y =的交点关于3220x ππ=+对称， 由()f x 的对称性可得，122220x x ππ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭，3432220x x ππ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴1234215x x x x π+++=. 故选：D.【点睛】 本题考查了正弦型三角函数的图象与性质，考查了转化能力，属于中档题.10．奇函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，在()0,1上，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20191024-B ．20191024C ．20192048-D ．20192048【答案】A【解析】由()f x 为奇函数，结合()()2f x f x -=，得到()f x 的周期，从而化简所求的表达式，即可求解.【详解】()f x 为奇函数，定义域为R ，∴对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-，∴()()22f x f x -=--，又对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，∴()()2f x f x --=，∴()()()42f x f x f x +=-+=，∴()f x 为周期是4的函数，又210log 201911<<，在()0,1上，()2x f x =，∴()()()2log 2019102222019log 2019log 20198log 20191021024f f f -=-=--=-=-. 故选：A.【点睛】 本题考查了函数的周期性和奇偶性，考查了转化能力与计算能力，属于中档题. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．3B ．22C ．3D 6【答案】C 【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A 、C 为所在棱的中点，则CD =1，BC =AD 5，BD =BE =CF =22结合图形可得, △AEB ，△AFC ，△AFD 为直角三角形，由勾股定理得AB 22=813BE AE +=+=，AC 22=5+1=6CF AF + 最长的棱为AB=3，故选：C .【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12．已知()()()12,2112,2x x f x f x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩，则()2019f =( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据()()()12f x f x f x =---，转化变形推出()()6f x f x +=，得到函数()f x 的周期为6再求解.【详解】因为()()()12f x f x f x =---，所以()()()11f x f x f x +=--所以()()12f x f x +=--所以()()3f x f x +=-，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 的周期为6，故()()()()()()()()()0201963363321101021=⨯+==-=--=-=-=-⎡⎤⎣⎦f f f f f f f f f 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了变形转化解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()323f x x x ax =-+（02x <<），曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是_________.【答案】3322⎛+ ⎝⎭【解析】写出()f x 的导数，并求出范围，结合导数的几何意义列出不等式，进行求解即可.【详解】由题可得，()()2236313f x x x a x a '=-+=--+，()0,2x ∈， ∴()[)3,f x a a -'∈，曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，∴[)12,3,k k a a ∃∈-，121k k =-，∴()31a a -<-，解得3322a +<<故答案为：⎝⎭.【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了转化能力，属于中档题.14．已知x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩目标函数2z x y =-+的最大值为2，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(]1,2-【解析】根据x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，且直线20kx y -+=过定点()0,2 ，将目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，根据2z =时，最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=结合图形求解.【详解】x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，直线20kx y -+=，过定点()0,2目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，在y 轴上截距最大时，目标函数值最大， 当2z =时，可知：最优解在直线220x y -+=上， 而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=. 所以最大值点为()0,2 如图所示：所以实数k 的取值范围是(]1,2-.故答案为：(]1,2- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 与抛物线E ：()220y px p =>的焦点重合.椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则椭圆C 的离心率为______.1【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则有22b AF p a == ，122F F c p ==，再由221212b AF a cF F ==求解. 【详解】因为椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，所以22b AF p a== ，122F F c p ==，221212b AF a cF F ==， 即22b ac = ，所以2220c ac a --=， 所以2210e e --=，解得1e =.1 【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．自然奇数列{}n a 排成以下数列，若第n 行有12n -个数，则前n 行数字的总和为_________. 【答案】()221n -【解析】由题中数列的规律可得，第n 行数字的个数及其第1个数字和最后一个数字，由此结合题中数据，利用等比数列的求和公式，求出前n 行数的个数，再利用等差数列求和公式，求出前n 行数字的总和即可. 【详解】通过观察可知，第n 行共有12n -个，第1个数字为21n -，最后一个为123n +-， 前n 行数的个数1112221n n -+++=-，∴前n 行数字总和为：()()()1212321212n n n++--=-.【点睛】本题考查了等差（比）数列的求和公式，考查了归纳推理能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，2a b c +=，且3cos 2cos 2cos c C a B b A -=. （1）求cos C ； （2）若352ABCS=，求ABC 的周长. 【答案】（1）2cos 3C =；（2）310【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，可得3sin cos 2sin C C C =，结合C 的范围，可得cos C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式可得9ab =，进而根据余弦定理，结合已知求出c 的值，即可得到ABC 的周长. 【详解】（1）在ABC 中，则A B C π++=，A ，B ，C ()0,π∈，∴()()sin sin sin A B C C π+=-=，sin 0C ≠，3cos 2cos 2cos c C a B b A -=，∴由正弦定理得，()()3sin cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin C C B A A B A B C =+=+=，∴2cos 3C =. （2）由（1）得，2cos 3C =， C ()0,π∈，∴5sin C =，35ABCS=， ∴1535sin 262ABCSab C ab ===， ∴9ab =，在ABC 中，由余弦定理得，()22222242cos 303c a b ab C a b ab a b =+-⋅=+-=+-， 又2a b c +=，∴()22230c c -=，解得10c =（负值舍去）， 故3310a b c c ++==. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用以及三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，考查了转化能力，属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，2AD =，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ∠=︒.PBA ∠为锐角，平面PAB ⊥平面PBD .（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）AD 与平面PBD 所成角的正弦值为24，求三棱锥P ABD -的表面积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）336++.【解析】（Ⅰ）作AM PB ⊥于M ，根据平面PAB ⊥平面PBD 得到AM ⊥平面PBD .AM BD ⊥，取AD 中点为Q ，则=BC QD ，且//BC QD ，得到1====BQ CD QD QA ，有BD AB ⊥，由线面垂直的判定定理，得到DB ⊥平面PAB DB PA ⇒⊥，再由PA AD ⊥得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM ⊥平面PBD ，根据线面角的定义，故ADM ∠即为AD 与平面PBD 所成角，所以有22AM AM AD =⇒=，三棱锥的四个面都是直角三角形，由三角形的面积公式求解. 【详解】 （Ⅰ）如图所示：作AM PB ⊥于M ， 因为平面PAB ⊥平面PBD 所以AM ⊥平面PBD . 所以AM BD ⊥ 取AD 中点为Q ， 则=BC QD ，且//BC QD 所以1====BQ CD QD QA 所以90ABD ∠=︒，BD AB ⊥ 又PBA ∠为锐角，∴点M 与点B 不重合. 所以DB ⊥平面PAB DB PA ⇒⊥.又PA AD ⊥，DB 与AD 为平面ABCD 内两条相交直线，故PA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM ⊥平面PBD ， 故ADM ∠即为AD 与平面PBD 所成角，42AM AM AD =⇒=.在Rt PAB 中，45AM PBA =⇒∠=︒， 故1PA =，12PAB S =△，1PAD S =△，2ABD AB BD S ⋅==△而90PBD ∠=︒，所以222△⋅===PBD PB BDS故所求表面积为：1312222+++=. 【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x （单位：只）如下表：这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可.这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数()71418a a ≤≤，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x a <时，剩下的鸡只能以每只56a -元的价钱处理.（Ⅰ）若15a =，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（Ⅱ）若16a =，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值； （Ⅲ）17a =时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率. 【答案】（Ⅰ）()*2915,15N 450,15x x y x x +<⎧=∈⎨≥⎩；（Ⅱ）465元；（Ⅲ）25.【解析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x a <时，剩下的鸡只能以每只56a -元的价钱处理，建立分段利润函数模型..再将15a =代入求解.（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，将16a =，代入得()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，再用平均数公式求解.（Ⅲ）当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，令479y = 得到16x =，再从表中记录，根据频率求解概率. 【详解】（Ⅰ）当x a <时，()()()()2704056401416y x a a x a x a a =-+---=++-，当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩， 15a =，得：()*2915,15N 450,15x x y x x +<⎧=∈⎨≥⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，16a =，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩， 300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，所以鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值为()14204545060195480465300⨯⨯+⨯+⨯=（元）. （Ⅲ）当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，当16x =时，鸡厂当天在A 饭店得到的利润479y =元， 所以鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率为606023003005+=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体，还考查了分段函数的应用和运算求解的能力，属于中档题. 20．已知：()e 1xf x ax =--仅有1个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：2e e e ln 1x x x x x x x -->+. 【答案】（1）(]{},01-∞⋃；（2）见解析【解析】（1）求出()f x 的导数，对a 进行分类讨论，判断导函数的符号，判断函数单调性，利用零点存在性定理，判断是否为符合题意的a 范围即可； （2）将不等式的左边可变形为()2ee e ln e e ln xx x x x x x x x x x --=--，构造函数()e ln x g x x x x =--，利用导数证明e ln 1x x x x --≥，由（1）可得不等式右边有1x x e +≤，利用放缩法证明原不等式成立即可，在放缩过程中需要注意等号成立的条件. 【详解】 （1）()e 1x f x ax =--，定义域为R ，∴()00e 010f a =-⋅-=，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 为增函数，而(0)0f =，∴()f x 仅有1个零点，满足题意，当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <，∴在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增， ∴()()min ln f x f a =，①当ln 0a =，即1a =时，()()()min ln 00f x f a f ===，()e 1x f x x =--，当()(),00,x ∈-∞+∞时，()0f x >，此时()f x 仅有1个零点，符合条件； ②当ln 0a <，即01a <<时，1ln ln a a a-<， 在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增，()00f =，()f x 有一个零点，∴()ln 0f a <，在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，11ln ln 11ln e ln 1n 0e l a a a a a f a a a a a a --⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝->⎭，由零点存在性定理可得()f x 在(,ln )a -∞也有一零点， 不符合条件；③当ln 0a >，即1a >时，在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，()00f =，()f x 有一个零点，∴()ln 0f a <，在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增，由①知，1a e a >+，a e a >，即ln a a >，()3ln ,a a ∈+∞，∴()()()33322233313113130a af a e a e a a a a a =--=-->+--=+>，由零点存在性定理可得()f x 在(ln ,)a +∞也有一零点， 不符合条件；综上所述，实数a 的取值范围是(]{},01-∞⋃. （2）()2ee e ln e e ln xx x x x x x x x x x --=--.令()e ln xg x x x x =--，则()()()111e 11e xx g x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭. 令()1e xh x x =-则()21e 0xh x x'=+>，即()h x 在()0,∞+单调递增，又102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10h >， ∴()h x 在()0,∞+有且仅有1个零点，设为0x ，()00x ∈+∞,，则01e x x =，即00ln x x =-，()00g x '=， ∴()g x 最小值为()()0000000e ln 11x g x x x x x x =--=---=，即e ln 1x x x x --≥，当且仅当0x x =时取等号， 又由（1）知，e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号， 可得：()ln 1xxx exex x e x --≥≥+，而以上两式不同时取等， 故2e e e ln 1x x x x x x x -->+. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了利用导数证明不等式以及放缩法在不等式证明中的应用，考查了分类讨论的思想，属于较难题.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）当3πϕ=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为()2,1M ，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ10y -+-=，2211612x y +=；（Ⅱ）32-. 【解析】（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，消去t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C 的极坐标方程222483cos 4sin ρθθ=+，变形为22223cos 4sin 48ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求解.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，利用A ，B 中点为()2,1M ，且直线过()2,1M ，利用参数的几何意义求解.【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，所以12212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t10y -+-=，所以直线l10y -+-=；因为椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. 所以22223cos 4sin 48ρθρθ+=，223448x y +=，椭圆C 的直角坐标方程为：2211612x y +=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=， 因为A ，B 中点为()2,1M所以120t t +=， 故312cos 8sin 0tan 2k ϕϕϕ+=⇒==-， 所以直线l 的斜率为32-. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数()2f x x a x =-+-. （Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由()()222x a x x a x a -+-≥---=-，求得()f x 最小值，再由23a -≥求解.（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.，再分类求解.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a ，235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(二)试题(解析版)
一、单选题
1．已知集合 A x | x 6 且 x N* ，则 A 的非空真子集的个数为( )
A．30
B．31
C．62
D．63
【答案】A
【解析】先化简集合 A，再根据非空真子集的个数与集合 A 的元素个数间的关系求解.
【详解】
因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
x 22 y2 1相切，则有 2b 1求解.
a2 b2
【详解】
双曲线 C1 的一条渐近线方程为 bx ay 0 ，
圆心 2,0 到渐近线的距离为 1，
即
2b a2 b2
1，得 a2 =
3b2
即b 3. a3
所以双曲线 C1 的渐近线方程为： y
3x 3
故选;D
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属
1 i
2
故选：C.
【点睛】
本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．
3．在 ABCO 中， O 为原点， A1, 2 ， C 2,3 ，则 B 点坐标为( )
A． 3,1
B． 1, 5
C． 1,5
D． 3, 1
【答案】A
【解析】设 B x, y
，根据四边形为平行四边形，则有 OB OA OC 求解。
于基础题.
7．已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： S37 S23 a ，则 S60 ( )
A． 4a
B． 30 a 7
C． 5a
D． 40 a 7
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【答案】B
2020届百校联考高考百日冲刺全国II卷文科数学试题一和答案详细解析及备考策略
多地确定高三返校时间，以“云考试”模拟测试
“真的很着急，希望赶紧开学，不过还是安全第一吧。”北京高三学生戴兆均纠结地说。
记者了解到，多地遵循高三、初三率先开学的原则，实行分类分批、错时错峰开学，已 有不少省份明确毕业生的开学返校日期。截至 3 月 30 日，贵州、新疆、西藏等 10 地高三年 级已开学，广西、江西、湖南、海南等省份定于 4 月 7 日高三、初三年级开学，辽宁省高三 年级 4 月中旬起返校。北京、上海、广东、湖北等省份还未明确开学时间。
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
D．b＜a＜c
13． （5 分）已知向量
，若
，则实数 λ 的值为
．
14．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 z＝3x﹣y 的最小值为
．
15．（5 分）《九章算术（卷第五）商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广
居家考试能否保证成绩的真实性？受访学生认为，“作弊没有意义，模拟考试的目的就 是为了测试真实水平。”厦门市教育科学研究院副院长傅兴春说，目前高三年级处于第二轮 复习阶段。线上考试的目的，一是让学生了解存在的知识缺陷，有的放矢地复习；二是让老 师深入了解学生学习情况，更有针对性地安排后期教学。
“云考试”面临技术、流程与公平挑战
【我说】在对高考考生压力来源的一次调查中，我们发现，考生真正的压力不是高考本 身，而是来自不合理的比较，但孩子的攀比心理有些并非来自他们自身，而是来自家长。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(一)及答案
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(一)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y ＝21x -}，则A ∩B ＝ (A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D) [12，34] (2)设复数4273i z i-=-，则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为133，则双曲线C 的渐近线方程为 A.2y x =± B.22y x =± C.23y x =± D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2 (6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺(B)52000立方尺(C)63000立方尺(D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
，且S3＝0，若az＝号，则数列{an}的公比为(A)12(B)13(C)23(D)34(8)图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A)104＋85＋2π(B)104＋45＋(2－2)π(C)104＋85＋(2－2)π(D)104＋85＋(22－2) π(9)设函数f(x)＝e|x|－5cosx－x2，则函数f(x)的图象大致为(10)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|＝(A)178(B)98(C)1716(D)3316(11)记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4＋a6＝18，S11＝121。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（二）数学（文）试题（解析版）
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|6A x x =<且}*Nx ∈，则A 的非空真子集的个数为( ) A ．30B ．31C ．62D ．63 【答案】A【解析】先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解.【详解】因为集合{|6A x x =<且}{}*N 1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= .故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.2．复数z 满足()113z i i ⋅+=+，则z =（ ）A ．2B ．4CD ．5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z ，再求出模长|z |．【详解】 ()()13113212i i i z i i +-+===++，故z =故选：C .【点睛】本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．3．若正六边形ABCDEF 边长为2，中心为O ，则||EB OD CA ++=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】由正六边形的性质的易得OD BC =，由此可化简得||EB OD CA EA ++=，运用平面向量的运算法则计算即可.【详解】如图所示，为正六边形ABCDEF ，易知OD BC =∴EB OD CA EB BC CA EA ++=++=， ∴||EB OD CA EA ++=， 正六边形ABCDEF 边长为2，EA EF FA =+，即()2EA EF FA =+， ∴22221||2cos 22222362EA EF EF FA FA π=++=+⨯⨯⨯+=， ∴||23EB OD CA ++=.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积公式，属于基础题.4．从集合{1,2,3,4,5}A =中任取2个数，和为偶数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．13【答案】B【解析】通过列举法，计算出符合条件的基本事件总数，以及“和为偶数”这一事件所含基本事件个数，再由古典概型的计算公式计算即可.【详解】集合{}1,2,3,4,5A =中任取2个数，则基本事件为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，10个；“和为偶数”这一事件包含的基本事件为：()2,4，()1,3，()1,5，()3,5，共4个；故所求概率为42105=. 故选：B.【点睛】 本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.5．在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，满足方程3sin 2cos 22x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的x 值为（ ） A ．3π B ．3π± C ．6π D ．6π± 【答案】C【解析】先利用诱导公式对原方程进行化简，再利用二倍角的余弦公式，结合角的范围，解出x 即可.【详解】3sin 2cos22x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴cos2sin x x =，∴212sin sin x x -=，∴22sin sin 10x x +-=， 解得1sin 2x =或1-， 又,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ∴()sin 1,1x ∈-， ∴1sin 2x =，6x π= 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了转化能力，属于中档题. 6．双曲线：22221x y a b-=（0a >，0b >），左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，190AF B ∠=︒，则一条渐近线斜率为（ ）A ．2+B ．2+C D【答案】D【解析】由已知条件求出A 坐标，可得2AF ，由双曲线的对称性可知，11AF BF =，结合190AF B ∠=︒可得122F F AF =，列方程解出b a，即可得双曲线的一条渐近线斜率.【详解】把x c =代入22221x y a b -=，解得2b y a =±， ∴22b AF a=， 结合双曲线的对称性，由题可知，11AF BF =，又190AF B ∠=︒，∴1AF B △为等腰直角三角形， 易得：122F F AF =，即22b c a=， 两边平方得4224c a b =，又222c a b =+，∴整理得4224440b a b a --=， 故42440b b a a ⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b a= 又0a >，0b >，∴b a=∴双曲线的渐近线方程为b y x a=±=，∴故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质的应用，考查了计算能力，属于基础题.7．递减的等差数列{}n a 满足：11a =，且1a ，2a ，8a 分别是某等比数列的第1，2，4项，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．54n -B ．43n -C ．32n -D ．21n - 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，由题可知0d <，表示出2a ，8a ，设题干中的等比数列公比为q ，表示出2a ，8a ，列方程组，消去q 得到关于d 的方程组，解出符合要求的d ，即可得到{}n a 的通项公式.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由题可知0d <，则211a a d d =+=+，18717d a a =+=+，()11n a a n d +-=，1a ，2a ，8a 分别是某等比数列的第1，2，4项，设该等比数列公比为q ，∴21a a q q ==，3381a a q q ==，∴3117q d q d=+⎧⎨=+⎩， ∴()3171d d =++，整理得()2340d d d +-=，而0d <， ∴4d =-，∴54n a n =-.故选：A.【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了方程思想与计算能力，属于基础题. 8．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为( )A ．222?x z y +=B ．222?x y z +=C ．222?y z x +=D ．?x y =【答案】A 【解析】根据题意得，,,,AC x AB y BC z === 则1600,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，再根据ABC 为直角三角形90C =∠ 求解.【详解】 由题意得，,,,AC x AB y BC z ===则1000,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，符合程序框图所示:又ABC 为直角三角形，且90C =∠，所以222x z y += .故选：A【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9．已知2()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2()3f x =在[0,2)π上的所有解的和为（ ） A ．6πB ．295πC ．265πD ．215π 【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式得到()f x 的最小正周期，结合正弦型函数的特征，从而判断解的个数及分布，根据对称性即可求出2()3f x =在[0,2)π上的所有解的和. 【详解】函数()2sin 25f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，值域为[]1,1-， ∴()23f x =在[)0,π，[),2ππ上各有两解，分别为1x ，2x ，3x ，4x ， 令2252x k πππ+=+，解得220k x ππ=+，k Z ∈， ∴()f x 对称轴：220k x ππ=+，k Z ∈， 又()220sin 53f π=>， ∴当[)0,x π∈时，()y f x =与23y =的交点关于220x ππ=+对称， 当[),2x ππ∈时，()y f x =与23y =的交点关于3220x ππ=+对称， 由()f x 的对称性可得，122220x x ππ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭，3432220x x ππ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴1234215x x x x π+++=. 故选：D.【点睛】 本题考查了正弦型三角函数的图象与性质，考查了转化能力，属于中档题.10．奇函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，在()0,1上，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20191024-B ．20191024C ．20192048-D ．20192048【答案】A【解析】由()f x 为奇函数，结合()()2f x f x -=，得到()f x 的周期，从而化简所求的表达式，即可求解.【详解】()f x 为奇函数，定义域为R ，∴对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-，∴()()22f x f x -=--，又对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，∴()()2f x f x --=，∴()()()42f x f x f x +=-+=，∴()f x 为周期是4的函数，又210log 201911<<，在()0,1上，()2x f x =，∴()()()2log 2019102222019log 2019log 20198log 20191021024f f f -=-=--=-=-. 故选：A.【点睛】 本题考查了函数的周期性和奇偶性，考查了转化能力与计算能力，属于中档题. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．3B ．22C ．3D 6【答案】C 【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A 、C 为所在棱的中点，则CD =1，BC =AD 5，BD =BE =CF =22结合图形可得, △AEB ，△AFC ，△AFD 为直角三角形，由勾股定理得AB 22=813BE AE +=+=，AC 22=5+1=6CF AF + 最长的棱为AB=3，故选：C .【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12．已知()()()12,2112,2x x f x f x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩，则()2019f =( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据()()()12f x f x f x =---，转化变形推出()()6f x f x +=，得到函数()f x 的周期为6再求解.【详解】因为()()()12f x f x f x =---，所以()()()11f x f x f x +=--所以()()12f x f x +=--所以()()3f x f x +=-，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 的周期为6，故()()()()()()()()()0201963363321101021=⨯+==-=--=-=-=-⎡⎤⎣⎦f f f f f f f f f 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了变形转化解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()323f x x x ax =-+（02x <<），曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是_________.【答案】3322⎛+ ⎝⎭【解析】写出()f x 的导数，并求出范围，结合导数的几何意义列出不等式，进行求解即可.【详解】由题可得，()()2236313f x x x a x a '=-+=--+，()0,2x ∈， ∴()[)3,f x a a -'∈，曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，∴[)12,3,k k a a ∃∈-，121k k =-，∴()31a a -<-，解得3322a +<<故答案为：⎝⎭.【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了转化能力，属于中档题.14．已知x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩目标函数2z x y =-+的最大值为2，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(]1,2-【解析】根据x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，且直线20kx y -+=过定点()0,2 ，将目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，根据2z =时，最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=结合图形求解.【详解】x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，直线20kx y -+=，过定点()0,2目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，在y 轴上截距最大时，目标函数值最大， 当2z =时，可知：最优解在直线220x y -+=上， 而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=. 所以最大值点为()0,2 如图所示：所以实数k 的取值范围是(]1,2-.故答案为：(]1,2- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 与抛物线E ：()220y px p =>的焦点重合.椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则椭圆C 的离心率为______.1【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则有22b AF p a == ，122F F c p ==，再由221212b AF a cF F ==求解. 【详解】因为椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，所以22b AF p a== ，122F F c p ==，221212b AF a cF F ==， 即22b ac = ，所以2220c ac a --=， 所以2210e e --=，解得1e =.1 【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．自然奇数列{}n a 排成以下数列，若第n 行有12n -个数，则前n 行数字的总和为_________. 【答案】()221n -【解析】由题中数列的规律可得，第n 行数字的个数及其第1个数字和最后一个数字，由此结合题中数据，利用等比数列的求和公式，求出前n 行数的个数，再利用等差数列求和公式，求出前n 行数字的总和即可. 【详解】通过观察可知，第n 行共有12n -个，第1个数字为21n -，最后一个为123n +-， 前n 行数的个数1112221n n -+++=-，∴前n 行数字总和为：()()()1212321212n n n++--=-.【点睛】本题考查了等差（比）数列的求和公式，考查了归纳推理能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，2a b c +=，且3cos 2cos 2cos c C a B b A -=. （1）求cos C ； （2）若352ABCS=，求ABC 的周长. 【答案】（1）2cos 3C =；（2）310【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，可得3sin cos 2sin C C C =，结合C 的范围，可得cos C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式可得9ab =，进而根据余弦定理，结合已知求出c 的值，即可得到ABC 的周长. 【详解】（1）在ABC 中，则A B C π++=，A ，B ，C ()0,π∈，∴()()sin sin sin A B C C π+=-=，sin 0C ≠，3cos 2cos 2cos c C a B b A -=，∴由正弦定理得，()()3sin cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin C C B A A B A B C =+=+=，∴2cos 3C =. （2）由（1）得，2cos 3C =， C ()0,π∈，∴sin 3C =，ABCS=，∴1sin 2ABCSab C ===， ∴9ab =，在ABC 中，由余弦定理得，()22222242cos 303c a b ab C a b ab a b =+-⋅=+-=+-， 又2a b c +=，∴()22230c c -=，解得c =，故3a b c c ++==【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用以及三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，考查了转化能力，属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，2AD =，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ∠=︒.PBA ∠为锐角，平面PAB ⊥平面PBD .（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）AD 与平面PBD 所成角的正弦值为2，求三棱锥P ABD -的表面积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3362++.【解析】（Ⅰ）作AM PB ⊥于M ，根据平面PAB ⊥平面PBD 得到AM ⊥平面PBD .AM BD ⊥，取AD 中点为Q ，则=BC QD ，且//BC QD ，得到1====BQ CD QD QA ，有BD AB ⊥，由线面垂直的判定定理，得到DB ⊥平面PAB DB PA ⇒⊥，再由PA AD ⊥得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM ⊥平面PBD ，根据线面角的定义，故ADM ∠即为AD 与平面PBD 所成角，所以有2242AM AM AD =⇒=，三棱锥的四个面都是直角三角形，由三角形的面积公式求解. 【详解】 （Ⅰ）如图所示：作AM PB ⊥于M ， 因为平面PAB ⊥平面PBD 所以AM ⊥平面PBD . 所以AM BD ⊥ 取AD 中点为Q ， 则=BC QD ，且//BC QD所以1====BQ CD QD QA 所以90ABD ∠=︒，BD AB ⊥ 又PBA ∠为锐角，∴点M 与点B 不重合. 所以DB ⊥平面PAB DB PA ⇒⊥.又PA AD ⊥，DB 与AD 为平面ABCD 内两条相交直线， 故PA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM ⊥平面PBD ， 故ADM ∠即为AD 与平面PBD 所成角，AM AM AD =⇒=在Rt PAB 中，452AM PBA =⇒∠=︒， 故1PA =，12PAB S =△，1PAD S =△，22ABD AB BD S ⋅==△. 而90PBD ∠=︒，所以222△⋅===PBD PB BDS故所求表面积为：112++=. 【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x （单位：只）如下表：这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可.这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数()71418a a ≤≤，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x a <时，剩下的鸡只能以每只56a -元的价钱处理.（Ⅰ）若15a =，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（Ⅱ）若16a =，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值； （Ⅲ）17a =时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率. 【答案】（Ⅰ）()*2915,15N 450,15x x y x x +<⎧=∈⎨≥⎩；（Ⅱ）465元；（Ⅲ）25.【解析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x a <时，剩下的鸡只能以每只56a -元的价钱处理，建立分段利润函数模型..再将15a =代入求解.（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，将16a =，代入得()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，再用平均数公式求解.（Ⅲ）当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，令479y = 得到16x =，再从表中记录，根据频率求解概率. 【详解】（Ⅰ）当x a <时，()()()()2704056401416y x a a x a x a a =-+---=++-，当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a ⎧++-<=∈⎨≥⎩， 15a =，得：()*2915,15N 450,15x x y x x +<⎧=∈⎨≥⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，16a =，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，所以鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值为()14204545060195480465300⨯⨯+⨯+⨯=（元）. （Ⅲ）当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，当16x =时，鸡厂当天在A 饭店得到的利润479y =元， 所以鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率为606023003005+=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体，还考查了分段函数的应用和运算求解的能力，属于中档题. 20．已知：()e 1xf x ax =--仅有1个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：2e e e ln 1x x x x x x x -->+. 【答案】（1）(]{},01-∞⋃；（2）见解析【解析】（1）求出()f x 的导数，对a 进行分类讨论，判断导函数的符号，判断函数单调性，利用零点存在性定理，判断是否为符合题意的a 范围即可； （2）将不等式的左边可变形为()2ee e ln e e ln xx x x x x x x x x x --=--，构造函数()e ln x g x x x x =--，利用导数证明e ln 1x x x x --≥，由（1）可得不等式右边有1x x e +≤，利用放缩法证明原不等式成立即可，在放缩过程中需要注意等号成立的条件. 【详解】 （1）()e 1x f x ax =--，定义域为R ，∴()00e 010f a =-⋅-=，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 为增函数，而(0)0f =，∴()f x 仅有1个零点，满足题意，当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <，∴在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增， ∴()()min ln f x f a =，①当ln 0a =，即1a =时，()()()min ln 00f x f a f ===，()e 1x f x x =--，当()(),00,x ∈-∞+∞时，()0f x >，此时()f x 仅有1个零点，符合条件； ②当ln 0a <，即01a <<时，1ln ln a a a-<， 在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增，()00f =，()f x 有一个零点，∴()ln 0f a <，在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，11ln ln 11ln e ln 1n 0e l a a a a a f a a a a a a --⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝->⎭，由零点存在性定理可得()f x 在(,ln )a -∞也有一零点， 不符合条件；③当ln 0a >，即1a >时，在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，()00f =，()f x 有一个零点，∴()ln 0f a <，在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增，由①知，1a e a >+，a e a >，即ln a a >，()3ln ,a a ∈+∞，∴()()()33322233313113130a af a e a e a a a a a =--=-->+--=+>，由零点存在性定理可得()f x 在(ln ,)a +∞也有一零点，不符合条件；综上所述，实数a 的取值范围是(]{},01-∞⋃. （2）()2ee e ln e e ln xx x x x x x x x x x --=--.令()e ln xg x x x x =--， 则()()()111e 11e xx g x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭. 令()1e xh x x=-则()21e 0xh x x'=+>，即()h x 在()0,∞+单调递增， 又102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10h >，∴()h x 在()0,∞+有且仅有1个零点，设为0x ，()00x ∈+∞,，则01e x x =，即00ln x x =-，()00g x '=， ∴()g x 最小值为()()0000000e ln 11x g x x x x x x =--=---=，即e ln 1x x x x --≥，当且仅当0x x =时取等号， 又由（1）知，e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号， 可得：()ln 1xxx exex x e x --≥≥+，而以上两式不同时取等， 故2e e e ln 1x x x x x x x -->+. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了利用导数证明不等式以及放缩法在不等式证明中的应用，考查了分类讨论的思想，属于较难题.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）当3πϕ=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为()2,1M ，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ10y -+-=，2211612x y +=；（Ⅱ）32-. 【解析】（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，消去t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C 的极坐标方程222483cos 4sin ρθθ=+，变形为22223cos 4sin 48ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求解.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，利用A ，B 中点为()2,1M ，且直线过()2,1M ，利用参数的几何意义求解.【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，所以1221x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 消去t10y -+-=，所以直线l10y -+-=；因为椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. 所以22223cos 4sin 48ρθρθ+=，223448x y +=，椭圆C 的直角坐标方程为：2211612x y +=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=， 因为A ，B 中点为()2,1M所以120t t +=， 故312cos 8sin 0tan 2k ϕϕϕ+=⇒==-， 所以直线l 的斜率为32-. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由()()222x a x x a x a -+-≥---=-，求得()f x 最小值，再由23a -≥求解.（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.，再分类求解.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a ， 235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅱ卷)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（二）（全国Ⅱ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合且，则A的非空真子集的个数为A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足，则A. 2B. 4C.D. 53.若正六边形ABCDEF边长为2，中心为O，则A. 2B.C. 4D.4.从集合2，3，4，中任取2个数，和为偶数的概率为A. B. C. D.5.在上，满足方程的x值为A. B. C. D.6.双曲线：，左、右焦点分别为、，过且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，，则一条渐近线斜率为A. B. C. D.7.递减的等差数列满足：，且，，分别是某等比数列的第1，2，4项，则的通项公式为A. B. C. D.8.李冶，真定栾城今河北省石家庄市栾城区人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”在数学上的主要贡献是天元术设未知数并列方程的方法，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著测圆海镜中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为A. ？B. ？C. ？D. ？9.已知，则在上的所有解的和为A. B. C. D.10.奇函数满足：对任意，都有，在上，，则A. B. C. D.11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为A.B.C. 3D.12.已知则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，曲线上存在两点A，B，使以A，B为切点的切线相互垂直，则实数a的取值范围是______14.已知x，y满足线性约束条件目标函数的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知椭圆C：，的左、右焦点分别为，，右焦点与抛物线E：的焦点重合．椭圆C与抛物线E交于A，B两点，A，，B三点共线，则椭圆C的离心率为______．16.自然奇数列排成如图数列，若第n行有个数，则前n行数字的总和为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，，且．求cos C；若，求的周长．18.如图，在四棱锥中，，，，为锐角，平面平面PBD．Ⅰ证明：平面ABCD；Ⅱ与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积．19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量单位：只如表：x1415161718频数4560756060厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理．Ⅰ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元关于A饭店当天需求量单位：只，的函数解析式；Ⅱ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值；Ⅲ时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率．20.已知：仅有1个零点．求实数a的取值范围；证明：．21.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为．Ⅰ当时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；Ⅱ直线l交椭圆C于A，B两点，且A，B中点为，求直线l的斜率．22.已知函数．Ⅰ若恒成立，求实数a的取值范围；Ⅱ的解集为，求a和m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合且，2，3，4，，故A的子集个数为，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合且，2，3，4，，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：正六边形ABCDEF中，，在中，，，．即．故选：B．首先将化简为，再根据正六边形ABCDEF边长为2，每个角是，通过余弦公式解三角形求解出，即本题主要考查平面向量的线性运算和通过余弦公式解三角形，较简单，属基础题．4.答案：B解析：解：从集合2，3，4，中任取2个数，基本事件总数，和为偶数包含的基本事件个数，和为偶数的概率为．故选：B．基本事件总数，和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出和为偶数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：解：方程，根据三角函数的诱导公式的应用，整理得，即，整理得即或由于，所以：．故选：C．直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用及三角函数的方程的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，三角函数的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：D解析：解：由双曲线的方程可得：，，因为过且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，所以可得，，因为，因为，即，整理可得，又，所以解得，所以渐近线的斜率为，故选：D．由题意可得A，B的坐标，及的坐标，求出的坐标，由，可得，进而求出a，b的关系，再求出渐近线的斜率．本题考查双曲线的性质，及角为用数量积表示的方法，属于中档题．7.答案：A解析：解：递减的等差数列，可设公差为d，，由，且，，分别是某等比数列的第1，2，4项，可得，即，可得，化为，的通项公式为．故选：A．可设公差为d，，由等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得d的方程，解得，进而得到所求通项公式．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：由题知，，，，由勾股定理可知．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：D解析：解：函数的最小正周期为，值域为，在，上各有两解，分别为，，，，令，解得，对称轴：，又，当时，与的交点关于对称，当时，与的交点关于对称，由的对称性可得，，．故选：D．由函数的解析式得到的最小正周期，结合正弦型函数的特征，从而判断解的个数及分布，根据对称性即可求出在上的所有解的和．本题考查了正弦型三角函数的图象与性质，考查了转化能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：，关于对称，又函数为奇函数，关于点对称，故函数的周期为4，．故选：A．先求得函数的周期为4，再结合已知范围的解析式可得．本题考查了函数的周期性和奇偶性的综合运用，考查转化能力及计算能力，属于中档题．11.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：，，，，．最长的棱的长度为3．故选：C．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.答案：B解析：解：，时，，，即，故，故．故选：B．时，，推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：解析：解：，由题意，导函数在有两个互异零点，故，即，所以．，所以，当时，，递减；当时，，递增．且，，要使曲线上存在两点A，B，使以A，B为切点的切线相互垂直，只需即可，解得，结合式得：即为所求．故答案为：．先对函数求导数，然后使导数满足在上有两个互异零点，并且该两点处的导数值乘积为，以此列方程，构造函数或不等式求解．本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，同时考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．14.答案：解析：解：x，y满足线性约束条件表示的可行域如图：目标函数化为，时，可知：最优解在直线上，而在可行域内，且满足故可知：实数k的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：如图，根据题意可得抛物线准线l过左焦点，作交于点l于点，则则易得四边形是正方形，故椭圆C的离心率．故答案为：．作出图形，作准线l交于点l于点，则可得四边形是正方形，所以离心率即可．本题考查椭圆离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．16.答案：解析：解：由题意可知，前n行共有个奇数，所以前n行数字的总和为奇数列的前的和，所以，故答案为：．先利用等比数列的前n项和公式求出前n行共有个奇数，再利用等差数列的前n项和公式求奇数列的前的和即可．本题主要考查了合情推理中的归纳推理，以及等比数列和等差数列的前n项和公式，是中档题．17.答案：解：，由正弦定理可得，，；，可得，，解得，，整理可得，，，即，解得，可得，的周长．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合，即可解得cos C的值；利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，根据三角形的面积公式可求ab的值，进而利用余弦定理结合，可得，进而解得c，的值，即可求解的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ证明：作于M，则由平面平面平面．取AD中点为Q，则．又为锐角，点M与点B不重合．平面．又，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，故平面ABCD．Ⅱ解：由Ⅰ知：平面PBD，故即为AD与平面PBD所成角，．在中，，故，，，．而，故所求表面积为：．解析：Ⅰ作于M，则平面PBD，取AD中点为Q，推导出平面由此能证明平面ABCD．Ⅱ由平面PBD，得即为AD与平面PBD所成角，由此能求出三棱锥的表面积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、锥体表面积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ当时，，当时，，，由，得；Ⅱ由Ⅰ知，，，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值为元．Ⅲ当时，，当时，鸡厂当天在A饭店得到的利润元，鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率为．解析：Ⅰ根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量，剩下的鸡只能以每只元的价格处理，建立分段函数模型，再将代入求解；Ⅱ由Ⅰ知，将代入，得，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，再由平均数公式求解；Ⅲ当时，，把代入求得，再由表中记录，利用频率求概率．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．20.答案：解：，定义域为R，，，当时，，为增函数，而，仅有一个零点，满足题意；当时，令，解得，令，解得，在上，单调递减，在上，单调递增，，当，即时，，当时，，此时仅有一个零点，满足题意；当，即时，，在上，单调递增，，有一个零点，，在上，单调递减，而，由零点存在性定理可得在上也有一个零点，不满足题意；当，即时，在上，单调递减，，有一个零点，，在上，单调递增，由值，，，即，，，由零点存在性定理可得在也有一个零点，不满足题意；综上所述，实数a的取值范围为；证明：，令，则，令，则，即在上单调递增，又，在有且仅有一个零点，设为，，则，即，，的最小值为，即，当且仅当时取等号，又由知，，当且仅当时取等号，可得，而以上两式不同时取等，故．解析：求出的导数，对a进行分类讨论，判断导函数的符号，判断函数单调性，利用零点存在性定理，判断是否为符合题意的a的范围即可；将不等式的左边可变形为，构造函数，利用导数证明，由可得不等式右边有，利用放缩法证明原不等式成立即可，在放缩过程中需要注意等号成立的条件．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了利用导数证明不等式以及放缩法在不等式证明中的应用，考查了分类讨论的思想，属于较难题．21.答案：解：Ⅰ直线l的普通方程为：；椭圆C的直角坐标方程为：．Ⅱ将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：，由题意得：，故，所以直线l的斜率为．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．22.答案：解：Ⅰ，当且仅当时取等号，故的最小值为，或．Ⅱ由不等式解集的意义可知：时，，即，解得或4．时，如图所示：不合题意，舍去；时，如图所示：由与，解得：．即，综上，，．解析：Ⅰ根据绝对值三角不等式，由，求得最小值，再由求解；Ⅱ不等式的解集与相应方程根的关系，当时，，即，解得或再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。
2020届全国1卷百校联考高考冲刺金卷文科数学试卷含答案
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(一)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y 21x -，则A ∩B ＝(A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D) [12，34] (2)设复数4273i z i-=-，则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>13，则双曲线C 的渐近线方程为 A.2y x = B.2y x = C.23y x =± D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺(B)52000立方尺(C)63000立方尺(D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。