灵活使用对数换底公式
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果a>0，a ?1，M>0，N>0有：二、新授内容：1.对数换底公式：aN N m m a log log log =(a>0,a ?1，m>0,m ?1,N>0)证明：设a log N=x,则xa =N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log =∴aN m m a log log = 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ，log log log =⋅⋅a c b c b a②b mn b a n a m log log =（a,b>0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a ②m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：例1已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56解：因为2log 3=a ，则2log 13=a ,又∵3log 7=b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab例2计算：①3log 12.05-②2194log 2log 3log -⋅解：①原式=315555531log 3log 52.0===②原式=245412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==1?求证zy x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2?k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lglg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64<∴z y x 643<<例4已知a log x=a log c+b ，求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式解法一：由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a⋅=log a c ⋅= 解法二：由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a=log 由对数定义知：b a cx=a c x ⋅=∴ 解法三：四、课堂练习：①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818∴18log 2=1?a ∵b 18=5∴18log 5=b∴ab a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ⇒p 33log 2=⇒p312log 3= 又∵q =5log 3∴5log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+==pqpq 313+= 三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业：1．证明：b xx a ab a log 1log log += 证法1：设p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log 则：p a x =q q q b a ab x ==)(r a b = ∴)1()(r q q p a ab a +==从而)1(r q p += ∵0≠q ∴r qp +=1即：b x x a ab a log 1log log +=（获证） 证法2：由换底公式左边＝b ab a ab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n证明：由换底公式λ====n n a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n。
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
log 换底公式
log 换底公式
log 换底公式是指：若 a > 0 且 a ≠ 1，则对于任意的正实数 b 和 c，有以下等式成立：
log a b = log c b / log c a
其中，a 被称为“底数”，b 被称为“真数”，log a b 被称为“以 a 为底 b 的对数”。
使用 log 换底公式可以简化计算，特别是在计算复杂对数时非常有用。
例如，要计算以 2 为底 5 的对数，可以使用 log 换底公式将其转化为以任意底数 c 为底的对数：
log 2 5 = log c 5 / log c 2
选择 c = 10 时，可以得到：
log 2 5 ≈ 2.3219
因此，以 2 为底 5 的对数约为 2.3219。
除了以 10 为底的常用对数和以自然数 e 为底的自然对数外，log 换底公式还可以用于计算其他底数的对数。
对数的换底公式推导过程
对数的换底公式推导过程对数是数学中的一种运算，它有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要计算不同底数的对数之间的关系，这就需要用到换底公式。
下面我们将从推导过程的角度，详细介绍对数的换底公式。
我们先来看一下对数的定义。
设a是一个大于0且不等于1的数，b是一个大于0的数，那么对数的定义可以表示为：logₐ b = x ⇔ a^x = b其中，logₐb表示以a为底b的对数，x表示满足等式a^x = b的一个实数。
接下来，我们要推导对数的换底公式。
假设我们要计算logₐc的值，但是我们只知道logₐ b和logₐ a的值，那么怎么办呢？我们可以利用指数的基本运算法则来推导换底公式。
首先，我们将logₐ c表示为logₐ b，再将logₐ b表示为logₐ a，然后将其代入到对数的定义中，得到以下等式：logₐ c = logₐ b = logₐ a接下来，我们将对数的定义展开，得到以下等式：a^logₐ c = a^logₐ b = a^logₐ a根据指数和对数的定义，我们知道a^logₐa = a，因此上述等式可以简化为：c = b = a接着，我们将上述等式进行对数运算，得到以下等式：logₐ c = logₐ b = logₐ a其中，logₐc表示以a为底c的对数，logₐb表示以a为底b的对数，logₐ a表示以a为底a的对数。
我们通过对数的定义和指数的基本运算法则，推导出了对数的换底公式：logₐ c = logₐ b / logₐ a换底公式告诉我们，如果我们只知道以同一个底数a为底的两个对数，而想要计算以a为底的另一个数的对数，可以通过这个公式进行计算。
其中，底数a可以是任意正数，只要不等于1即可。
需要注意的是，当底数a为10时，换底公式可以进一步简化为常用对数和自然对数之间的关系：log c = log b / log a该公式是计算以10为底的对数的常用形式。
总结一下，对数的换底公式是通过对数的定义和指数的基本运算法则推导得出的。
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
对数的换底公式推导
对数的换底公式推导对数是求解一个数除以另一个数的倒数的次方，它是数学里一种重要的概念，也是许多数学公式中的基础概念，如果能正确理解对数的概念，将对之后其他数学公式和推导有很大的帮助。
二、对数的取值范围对数可以是大于0小于等于1（0不属于范围内）的正数，也可以是大于1的自然数，也可以是正、负数或0。
三、什么是对数的换底公式对数的换底公式是一种定义在大于0的实数上的特殊函数，它是以某一个定义域为基础，将对数函数换算成另一个定义域中的对数，从而使某一个实数关系变成换底关系。
四、对数的换底公式推导（1）两个底换算由于对数函数是定义在大于0的实数上的函数，而且它可以用任意基数表示，因此要把一个基数下的对数等式换算成另一个基数下的对数等式，可以用对数的换底公式来解决。
对数的换底公式的一般形式为：logaX=logbX/logbA其中，a，b是定义域，X是实数，等号两边均为同一个实数的不同基数的对数。
（2）三个底换算如果要从一个基数换算成另外两个基数的话，可以利用对数的换底公式：logcX=logaX/logaC其中，c，a，b均为定义域，X是实数，等号两边均为同一个实数的不同基数的对数。
五、对数的换底公式的应用（1）在求解复杂函数时，可以用对数的换底公式来简化计算；（2）在描述和分析能量、压力、温度等使用了对数函数时，可以用对数的换底公式来进行换算；（3）在分析流体动力学和气体统计学时，也可以用对数的换底公式来进行换算。
六、总结对数的换底公式是一种重要的换算公式，它能够把一个实数关系换算成另一个定义域中的对数，其应用范围很广，可以简化求解复杂函数时的计算，也可以用来换算能量、压力、温度等，甚至可以用来换算流体动力学和气体统计学上的定义等。
总之，对数的换底公式对于我们的数学学习和数学公式的推导具有重要的意义。
对数的运算换底公式
回归分析
在统计学中，对数经常用于回归分析，特别是逻辑回归 和泊松回归。通过使用对数函数，我们可以将非线性关 系转换为线性关系，从而更容易地进行分析。
在计算机科学中的应用
数据压缩
在计算机科学中，对数被广泛用于数据压缩技术。例如，音 频和视频信号经常被转换为对数形式，以节省存储空间并减 少数据传输的带宽需求。
04
对数的换底公式证明
利用对数的定义证明换底公式
总结词
利用对数的定义，我们可以证明换底公式。
详细描述
根据对数的定义，我们知道，对于任意两个正数a和b，当且仅当a=1时， log_a(b)=0。因此，我们可以根据对数的定义推导出换底公式。
利用对数的性质证明换底公式
总结词
利用对数的性质，我们可以证明换底公式。
对数的换底公式的应用
简化不同底的对数运算
使用换底公式可以将不同底的对数转换为同底的对数，从而简化计算。
解决实际问题
例如在计算机科学、物理学、经济学等领域中，经常需要使用对数来解决实际问题。使用换底公式可以方便地 计算对数，从而提高解决问题的效率。
03
对数的运算
对数的加法运算
总结词
对数的加法运算规则是将两个对数相加，底数不变，指数相加。
总结词
对数的减法运算规则是将两个对数相减，底数不变， 指数相减。
详细描述
对数的减法运算可以通过简单的代数运算来实现，假 设有两个对数log(base A)B和log(base A)C，那么它 们的差为log(base A)(B-C)。例如，log(base 2)3log(base 2)4=log(base 2)(3-4)=log(base 2)-1。
什么是对数单位
对数单位是一种用于表示对数值的单位，通常用“log”表示。例如，对于一个 正数a，其常用对数的值为log10(a)，其自然对数的值为loge(a)。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
灵活使用对数换底公式
灵活使用对数换底公式对数公式（一）证明：换底公式 ab bc c a log log log = （由脱对数→取对数引导学生证明）证明：设x b a =log ，则b a x =两边取c 为底的对数，得：b a x b a c c c x c log log log log =⇒=a b x c c log log =∴，即ab bc c a log log log = 注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ；1. 公式的运用：利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法； 例题1：求32log 9log 278⋅的值；分析：利用换底公式统一底数；解法（1）：原式=9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅ 解法（2）：原式=9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=⋅=⋅ 例题2：计算37254954log 31log 81log 2log ⋅⋅的值 分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；解：原式=37lg 32lg 25lg 23lg 7lg 23lg 45lg 2lg 21-=⋅-⋅⋅ 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：（1）a b b a log 1log =（2）b nm b a m a n log log =并应注意其在求值或化简中的应用：3. 求证：z z y x y x log log log =⋅分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数； 证明：z yz y z y x x x x y x log log log log log log =⋅=⋅ 分析（2）：换成常用对数证明：（略）注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如：z xz x log lg lg =就是换底公式的逆用； 4. 已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18ab a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 5. 强化练习 （1）50lg 2lg 5lg 2⋅+（2）91log 81log 251log 532⋅⋅ （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++（4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6；6. 归纳小结，强化思想1． 对数运算性质（1）N M MN a a a log log )(log +=（2）N M NM a a a log log log -= （3）N n N a n a log )(log ⋅=2． 换底公式：ab bc c a log log log =3． （1）a b b a log 1log =（2）b nm b a m a n log log = 4． 利用换底公式“底数化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；7．补充：（1）12527lg 81lg 6log 2+⋅ （2）41log3log 8log 2914+- （3）已知514,7log 14==b a ，求28log 35【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
log的转换公式
log的转换公式log的转换公式一、基本概念在数学中，对数是指一个数以另一个固定的正数为底的幂的值。
对数常用于求指数格式的乘法、除法运算中。
其中常见的对数有自然对数和常用对数。
二、常用log公式1. log的定义log的定义为：log_a(x) = y => a^y = x公式中，x为真数，a为底数，y为对数。
2. log的乘法公式log的乘法公式为：log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)公式中，x和y为真数，a为底数。
例如，计算log以10为底的100与log以10为底的1000的乘积：log_10(100 * 1000) = log_ + log_化简得：log_ = log_ + log_左边可以转换为：5 = 2 + 3因此，log以10为底的100与log以10为底的1000的乘积等于5。
3. log的除法公式log的除法公式为：log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)公式中，x和y为真数，a为底数。
例如，计算log以10为底的100除以log以10为底的10的结果：log_10(100 / 10) = log_ - log_10(10)化简得：log_10(10) = log_ - log_10(10)左边可以转换为：1 =2 - 1因此，log以10为底的100除以log以10为底的10的结果等于1。
4. log的幂公式log的幂公式为：log_a(x^y) = y * log_a(x)公式中，x为真数，a为底数，y为幂。
例如，计算log以10为底的(100的平方)：log_10(100^2) = 2 * log_化简得：log_ = 2 * log_左边可以转换为：4 = 2 * 2因此，log以10为底的(100的平方)等于4。
三、总结以上是一些常用的log转换公式，包括定义、乘法公式、除法公式和幂公式。
这些公式在求解对数时非常有用，可以极大地简化计算过程，提高效率。
高中数学例谈对数换底公式“四用”学法指导
例谈对数换底公式“四用”吉晓波换底公式是对数运算中的重要公式，它有好几种变形，通过它及其变形可以解决以下几种问题。
一、求值例1. 已知xlog x log ,m b log ab a a 求=的值。
分析：把所求式子利用对数换底公式展开，使它含有已知量m 。
所以要把式子xlog x log ab a 中分子、分母化为以x 为底的对数进行求解。
解：根据换底公式及对数的运算性质得alog )ab (log )ab (log x log a log xlog x log x log x x x x x x ab a == m 1b log 1alog b log 1a log b log a log a x x x x x +=+=+=+=。
点评：我们不但要善于正用对数换底公式，即alog N log N log c c a =，更重要的是应该会逆用公式，即N log alog N log a c c =。
如果能够对自己的逆向思维有意识地锻炼，就会在解题规律的寻求中获得较快的提高。
二、化简对数式例2. 化简：)N n ,m )(m log m m log n )(n log n (log *n1n log n m log m m m n n m ∈++ 分析：利用公式M log mn M log N n N M ⋅=把式子化为同底对数，然后化简。
解：原式)m log n m log m )(n log n (log n n n m m m -+=22n m n n m m n m m log )n m (n log )n m ()m log n m log m )(n log n n log m (-=-⋅+=-+= 点评：熟悉和掌握换底公式及其变形式是解决此类问题的关键。
三、证明等式例3. 已知)1x (x log x log x log 2c a b ≠+=，求证：blg 2c lg 1a lg 1=+。
对数换底公式
换底公式的变换
(1） l
b
1 log b
a
）
(2）log a b log b c log c a 1
（变形式： log a b log b c log c d log a d ）
(2）使用换底公式时，相同底数 的取值应根据实际情况 选择，通常化成以10为底的常用对数。
（典例）例 1.求 log8 9 log 27 32 的值
练习：求下列各式值
1. log3 2 log2 3
2. log2 3 log3 5 log5 2
lg 3 lg 5 lg8 lg8 lg 2 lg 3 lg 5 lg 2
(3） log am
bn
n m
log
a
b
例 2.已知log 5 3 a ，log 5 4 b ，求证
log 25
12
1 2
a
b
课堂小结：
1.换底公式：
log b
N
log a N log a b
2. 换底公式的变换
(1） log a b log b a 1
（变形式： log
a
b
1 log b
a
）
(2）log a b log b c log c a 1
（变形式： log a b log b c log c d log a d ）
(3） log am
bn
n m loga
b
课前预习
1.换底公式：log b
N
log a N log a b
2.计算：
(1) log100 1000
3 2
(2) log4
对数的换底公式
2.7（第三 课时 对数的换底公式）教学目的：掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
教学重点：换底公式及推论教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 教学过程：一、 复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、新授内容：1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ aNN m m a log log log = 2常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1,m ≠0） ○3a b 1log b (a 0,a 1,b 0,b 1)log a=>≠>≠ 三、例题：例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a, 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab 例2计算：①3log 12.05- ② 4219432log 2log 3log -⋅解：①原式 =15315555531log 3log 52.0=== ②原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== (1) 求证zy x 1211=+ ； (2) 比较z y x 6,4,3的大小。
对数的运算换底公式
02
对数的性质
对数的运算性质
零指数幂
$a^0 = 1$（当$a \neq 0$）
乘方
$a^{m+n} = a^m \times a^n$
什么是常用对数
常用对数是指以10为底的对数，用符号“lg”表示。例如， 对于一个正数a，其常用对数为log10(a)。
常用对数的特点是：对于任意正整数n，有log10(10^n)=n ；一个正数的常用对数等于它的小数点向左移动n个位置后所 得到的整数。
什么是对数单位
对数单位是指以某个数为底的对数的单位，用符号 “lg(a)/lg(b)”表示，其中a和b分别为两个正数。
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THANKS
简化不同底的对数运算
利用换底公式可以将不同底的对数转化为同底的对数，从而简化计算。
解决实际问题
在科学、工程、经济等领域中，对数的换底公式常常被用来解决实际问题，例如在金融中计算复利、在化学中 计算浓度等。
03
对数的运算
对数的加法运算
总结词
对数的加法运算可以像普通加法一样进行，也可以通过换底公式进行计算。
详细描述
对数的除法运算是通过将指数相除来进行的 。例如，log(a) / log(b) = log(a^b)。此外
，也可以使用换底公式进行计算，即 log(a/b)=log(a)-log(b)。
04
对数的换底公式证明
利用对数的定义证明
要点一
总结词
基于对数的定义，我们可以推导出换底公式。
要点二
对数函数高考知识点
对数函数高考知识点对数函数是高中数学中的一个重要知识点，在高考中也是经常出现的考点之一。
在本文中，我们将探讨对数函数的定义、性质以及一些常见的解题方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个正数b（b ≠ 1且b > 0）为底的函数，记作y = logbx。
其中，x称为真数，b称为底数，y称为对数。
对数函数是指对数方程y = logbx与坐标轴构成的图像。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域是正数集合R+，值域是实数集合R。
2. 当b > 1时，对数函数的图像是递增的，即随着真数的增加，对数值也随之增加。
3. 当0<b<1时，对数函数的图像是递减的，即随着真数的增加，对数值反而减小。
4. 对数函数y=logbx与指数函数y=b^x 是互逆函数，即互为反函数。
即logbx = y 等价于 b^y = x。
三、对数函数的解题方法1. 对数函数的性质可以用于解决一些特殊形式的方程，如求解logbx = logby 这样的问题。
根据对数函数的互逆性质，可以得到b^x =b^y，进而推出x = y。
这种方法在解对数方程的过程中常常会用到。
2. 对数函数的换底公式是解题中常用的工具之一。
换底公式是指logab = logcb / logca。
当遇到对数底数不同的情况时，可以通过换底公式将其转换为以常用底数表示的对数，然后进一步计算。
3. 对数函数还有一些特殊的性质，如logbac = 1 / logcab，logba*b = a，logba^m = m * logba等，这些性质在解题过程中也经常会被使用到。
四、对数函数在高考中的应用对数函数在高考中的应用非常广泛，常出现在函数的性质、方程的求解、不等式的求解等问题中。
在考试中，同学们需要熟练掌握对数函数的性质和解题方法，灵活应用于各种题型中。
最后，我们通过一个例题来加深理解。
例题：已知f(x) = 2^x和g(x) = log2x，求f(g(8))的值。
3.4.2换底公式
342换底公式导入新课问题从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表， 只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以 10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式， 数的换底公式，从而引出课题.新知探究 提出问题①已知 lg 2 = 0.301 0 , lg 3 = 0.477 1，求 log 23的值.② 根据①，如a >0, a z 1,你能用含a 的对数式来表示log 23吗？log c b③ 更一般地，我们有log a b = l-—，如何证明？log c a④ 证明log a b =黑凹的依据是什么？log c a⑤ 你能用自己的话概括出换底公式吗？ ⑥ 换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时 提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力.目前还没有学习对数的换底公式， 它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；用对数的定义来证明； 对④根据证明的过程来说明； 对⑤抓住问题的实质，述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了， 的要求接近了.讨论结果：①因为lg 2 = 0.301 0 , lg 3 = 0.477 1，根据对数的定义，所以 2,100.477 1= 3.不妨设 log 23 = x ，则 2x = 3，所以(10 0.301 0 )x = 100.477 1 ,“0 301 0 X x "0.477 1口r e c 一 e e 」.477 1lg 310-= 10 '即 0.301 0 x = 0.477 1 , x = 0.301 0 = igT.…Ig 3 0.477 1因此 log 23^—^——^ 1.585 1.Ig 2 0.301 0②根据①我们看到，最后的结果是 log 23用Ig 2与Ig 3表示，是通过对数的定义转化 的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23 = x ，由对数定义知道，2x = 3,两边都取以a 为底的对数，得这样log 23就表示成了以即对对① 转化成方程来 对③借助①②的思路，利 用准确的语言描 与我们.-.0.301 010 = xw a 。
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。
对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。
本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。
对数换底公式的推导首先，给出对数换底公式的通式：logaX = logbX/logbA其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。
这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。
要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = A^(logaX)第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = B^(logbX)结合上面两个步骤，得到：A^(logaX) = B^(logbX)将A和B都取以b为底的对数，得到：logbA^(logaX) = logbB^(logbX)化简得到：logbA * logaX = logbB * logbX从而得到：logaX = logbX/logbA实例验证下面利用实例来加深对换底公式的理解。
假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33得出结论：log81024=3.33结论本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。
由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。
幂对数的转化教案二：灵活掌握幂与对数之间的转换技巧
幂对数的转化教案二：灵活掌握幂与对数之间的转换技巧在学习数学的过程中，幂和对数是常见的数学概念，它们在数学中扮演着重要的角色。
幂和对数之间的转换是数学学习中的重要内容，对于学生来说，掌握幂和对数之间的转换技巧是非常重要的。
在上一篇文章中，我们已经了解到了幂和对数的概念和基本性质，本文则会重点介绍关于灵活掌握幂与对数之间的转换技巧的内容。
一、从幂转换为对数1、基本方法在前面提到的公式中， $\log _{a}{b}=x$ 是指“以a为底，b的对数是x。
”根据这个公式，我们可以得出幂和对数之间相互转化的基本方法：当幂和对数的底数相同时，幂和对数可以相互转化。
具体来说，若 $a^x = b$，则 $\log _{a}{b}=x$。
这种转换方法常用于解决幂指数问题。
例如，对于 $2^3 = 8$，则可以写成 $\log _{2}{8}=3$.在实际运用中，我们经常会遇到幂转换为对数的问题。
下面就举一个例子。
例题1：已知 $2^x=17$，则 $\log _{2}{17}=$？解：根据基本方法，我们可以得到 $\log _{2}{17}=x$，而 $2^x=17$。
因此，我们只需要求出 $x$ 的值就可以得到答案。
通过转化可得，$x=\log_2{17}$，因此， $\log _{2}{17}$ 的值等于$\log_2{17}$ 。
这就是一个从幂转换为对数的例子。
2、应用方法当我们遇到幂指数难以计算的时候，可以通过将幂转换为对数进行简化。
此时，我们需要运用换底公式，来将幂转换为可以计算的对数。
假设我们已知 $a$ 和 $b$ 是两个正实数，且 $a \neq 1$，$b>0$， $M$ 是一个正整数。
则有：$$\log _{a}{b^M}=M\log _{a}{b}$$通过上述公式，可以将幂转换为对数，运用上述公式时，需要注意底数与取对数的底数之间的关系。
当时用底数为10的对数时，2、5、10等可以相互转化，可以实现换底公式的变形。
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灵活使用对数换底公式
对数公式（一）
证明：换底公式 a
b b
c c a log log log = （由脱对数→取对数引导学生证明）
证明：设x b a =log ，则b a x =
两边取c 为底的对数，得：b a x b a c c c x c log log log log =⇒=
a b x c c log log =∴，即a
b b
c c a log log log = 注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ；
1. 公式的运用：
利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法； 例题1：求32log 9log 278⋅的值；
分析：利用换底公式统一底数；
解法（1）：原式=9
103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅ 解法（2）：原式=
9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=⋅=⋅ 例题2：计算37254954log 3
1log 81log 2log ⋅⋅的值 分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；
解：原式=37
lg 32lg 25lg 23lg 7lg 23lg 45lg 2lg 21-=⋅-⋅⋅ 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：
（1）a b b a log 1log =
（2）b n
m b a m a n log log =
并应注意其在求值或化简中的应用：
3. 求证：z z y x y x log log log =⋅
分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数； 证明：z y
z y z y x x x x y x log log log log log log =⋅=⋅ 分析（2）：换成常用对数
证明：（略）
注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如： z x
z x log lg lg =就是换底公式的逆用； 4. 已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）
分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；
解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18
a
b a -+=++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 5. 强化练习 （1）50lg 2lg 5lg 2⋅+
（2）9
1log 81log 251log 532⋅⋅ （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++
（4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6；
6. 归纳小结，强化思想
1． 对数运算性质
（1）N M MN a a a log log )(log +=
（2）N M N
M a a a log log log -= （3）N n N a n a log )(log ⋅=
2． 换底公式：a
b b
c c a log log log =
3． （1）a b b a log 1log =
（2）b n
m b a m a n log log = 4． 利用换底公式“底数化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值
或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：
（1）针对具体问题，选择好底数；
（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；
（3）换底公式的正用与逆用；
7．补充：
（1）125
27lg 81lg 6log 2+⋅ （2）41log
3log 8log 29
14+- （3）已知514,7log 14==b a ，求28log 35。