自动控制-7-3

可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说 明对于非奇异线性变换，系统特征值具有不变性。
（2）变换后系统传递矩阵不变 变换后系统的传递矩阵为
G ′( s ) = CP( sI − P −1 AP ) −1 P −1 B + D
= CP( P −1 sIP − P −1 AP ) −1 P −1 B + D
a12 L a1n ⎤ ⎥ a22 L an1 ⎥ M M ⎥ ⎥ an 2 L ann ⎦
⎡ ⎤ λ − a22 L −a2 n − a12 L − a1n ⎢ ⎥ 1+1 n +1 − M M LL − M M ( 1) ( 1) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ − ann − an 2 − an −1,2 L − an −1,n ⎢ ⎥ M M ⎢ ⎥ adj (λ I − A) = ⎢ ⎥ M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ − a11 L − a1,n −1 − a21 L − a2,n −1 ⎢ ⎥ 1+ n n+n M M LL (−1) M M ⎢(−1) ⎥ ⎢ ⎥ L L a a a λ a − − − − − − − − n 1 n , n 1 n 1,1 n 1, n 1 ⎣ ⎦
¾ 线性变换的不变性 （1） 特征方程和特征值的不变性 变换后系统的特征值为
λI − P AP = λP P − P AP = P λP − P AP
−1 −1 −1 −1 −1
= P ( λI − A) P = P
−1 −1
−1
λI − A P = P
−1
P λI − A
= P P λ I − A = I λI − A = λI − A
& = APx + Bu⎫ Px ⎬ y = CPx + Du ⎭
⇒
& = P −1 APx + P −1 Bu⎫ x ⎬ y = CPx + Du ⎭
−1
⇓ A = P AP , B = P B , C = CP , D = D
称满足条件的系统{A, B, C, D}和{ A , B , C , D }互为相似系统, 相应的动态方程称为等价动态方程， 实现他们之间转换的线性变换为等价变换。
∞
k
& (t) = b1 + 2b2t + ⋅ ⋅ ⋅ + kbk tk −1 + ⋅ ⋅ ⋅ x & = Ax A(b0 + b1t + ⋅ ⋅ ⋅ + bt k + ⋅ ⋅ ⋅) = ∑kbk tk −1 x
k =1
b1 =
Ab
0
b
2
=
1 2
A b
2
0
L
b
k
=
1 k ⋅ b0 A k!
1 2 2 1 2 2 x(t ) = b 0 + Ab 0 t + A b 0 t + ⋅ ⋅ ⋅ + A b 0 t + ⋅ ⋅ ⋅ 2 k! 1 2 2 1 k k = (I + At + A t + ⋅ ⋅ ⋅ + A t + ⋅ ⋅ ⋅)b 0 k! 2 x ( 0 )= b 0 ∞ 1 k k = ( ∑ A t )x(0) k = 0 k!
状态方程描述(模型) 系统的运动分析(求解状态方程） 保证状态方程解的存在性和唯一性： A和B中各元必须有界 7.3.1 齐次状态方程的解
(1) 幂级数法
& = Ax ← 自由运动 ) (x
设解为：
x( t ) =
b
∞
0
+
b1 t +
b t
2
2
+ ⋅⋅⋅⋅ +
b t
k
k
+ ⋅⋅⋅ =
∑b t
k =0 k
S12 S 22 M Sn2
Q
−1 c
(３) 选择
取出 Q c
−1
的最后一行，构成p1行向量
p1 = [ S n1 S n 2 L S nn ]
−1 P (４) 构造
P −1
⎡ p1 ⎤ ⎢ p A ⎥ ⎥ = ⎢ 1 ⎢ ⎥ M ⎢ n−1 ⎥ ⎣p 1 A ⎦
(5)
计算P。
7.3 线性定常系统状态方程的解
7.1.4、由状态空间表达式求传递函数阵
& = Ax + Bu x y = Cx + Du
若对上式求拉氏变换，并令初始条件为零，则有
sX ( s ) = AX ( s ) + BU ( s ) Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )
整理式得
( sI − A) X ( s ) = BU ( s )
−1
7.2.2 线性变换的不变性
& = Ax + Bu x
令 x = Px
y = Cx + Du
& = P − 1 AP x + P − 1 B u x
y = CP x + D u
¾ 线性定常系统的特征方程，特征根与特征向量
1. 线性系统 { A , B , C , D }的特征方程 f ( λ ) = det( λ I − A ) = λ I − A = 0 2. 矩阵 A 的特征值 : 特征方程的根，也称为 特征根。 3 . 特征向量：若矩阵的特征值 λ ， 存在向量 ρ ， 如果 λρ = A ρ 则称 ρ 为矩阵的关于特征值 λ 的特征向量。
= CP P ( sI − A) P
[
−1
]
−1
P −1 B + D
= CPP −1 ( sI − A) −1 PP −1 B + D
= C ( sI − A) −1 B + D = G ( s )
这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传 递矩阵对于非奇异线性变换具有不变性。
(λI − A)−1 =
对线性系统进行非奇异变换的目的: 计。 1. 2. 3. 系统矩阵Ａ对角化、约当化 {A,C}化为可观统分析与综合设
任何一个可控系统，当A，b 不具有可控标准型时，一定可通过 适当的变换化为可控标准型。
⎡0 1 ⎢0 0 ⎢ & = Ax + b u = ⎢ M x ⎢ ⎢0 0 ⎢− a0 ⎣
⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢M⎥ ⎥ ⎥ x + ⎢ ⎥u ⎢0 ⎥ ⎥ 0 L 1 ⎢ ⎥ ⎥ 1⎦ ⎣ ⎥ − a 1 L − a n −1 ⎦ 0 1 L L 0 0
可控性矩阵 Qc = [b
A b L A n − 1b ]
一个不具有可控标准型的可控系统，可以通过线性变换化 为可控标准型。 设
& = Ax + b u x
y = [c11
c12
c13
c4
称重极点对应的
⎡λ1 ⎢0 ⎢ ⎢ ⎣0
1
λ1
0
0⎤ 1⎥ ⎥ λ1 ⎥ ⎦
为约当块
P43 2-14, 2-15
7.2 状态空间的线性变换
回顾系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发， 还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出 发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而 求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性， 因此会得出不同的系统状态方程。所以说系统动态方程是非唯 一的。 虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所 产生的动态方程各种各样，但其独立的状态变量的个数是相同 的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就 是变量间的线性变换关系。
X ( s ) = ( sI − A) −1 BU ( s )
Y (s) = C ( sI − A) −1 B + D 根据传递函数阵的定义有 G ( s ) = U (s)
可控标准型
& = Ax + bu x y = cx
0 L 0 ⎤ 1 L 0 ⎥ ⎥ M M ⎥ ⎥ 0 M 1 ⎥ − a2 L − an− 1 ⎥ ⎦
x = Px
& = P − 1 A P x + P − 1b u x
⎡0⎤ ⎢M⎥ P − 1b = ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
⎡0 1 0 L 0 ⎤ ⎢ ⎥ L 0 0 1 0 ⎢ ⎥ ⎥, P − 1 AP = ⎢ M ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 L 1 ⎥ ⎢ ⎣ − a 0 − a1 L − a n−1 ⎥ ⎦
[
0 L 1]
对角阵标准型(I) 写成矩阵形式有对角阵标准型
&1 ⎤ ⎡λ1 ⎡x ⎢x &2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢M⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ &n ⎦ ⎣ 0 ⎣x y = [c1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢1⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ + ⎢ ⎥u ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥ O ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ n ⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣1⎦
& = Ax + Bu & = Ax + Bu ⎫ x = P x x ⎫ x ⎯ ⎯→ ⎬⎯ ⎬ 等价变换 y = Cx + Du ⎭ y = Cx + Du = y⎭ （不规范） （规范型）
② 变换前后系数矩阵关系：
&, & = Px Q x = Px , x
代入原状态方程，有
P为nxn的常数非奇异矩阵。
(1)
如果我们将各变量次序颠倒，即令：
将
代入该动态方程：
因此有:
(2)
上式与（1）相同。也就是说（1）与（2）代表的动态方 程是一种线性变换的关系。 进一步，由于上述非奇异的变换矩阵T可以有无数种，所 以系统的动态方程也有无数种。